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青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优练习题2(附答案详解)

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青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2（附答案详解） 1．如图，在ABC 中，70B ∠=︒，4AB =，6BC =，将ABC 沿图示中的虚线DE 剪开，剪下的三角形与原三角形不．相似的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似B ．ABC ∆的三边长为3、4、5，A B C '''∆的三边长为3a +、4a 、5a +，则ABC A B C '''∆∆∽C ．若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1D ．都有一内角为80︒的两个等腰三角形相似3．如图，12∠∠=，如果增加一个条件就能使结论AB ?DE AD ?BC =成立，那么这个条件可以是A ．C D ∠∠=B ．B AED ∠∠=C ．AE AD AB AC = D ．AE AD AC AB = 4．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③②①④B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①5．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．两个等腰三角形一定相似B ．两个等边三角形一定相似C ．两个直角三角形一定相似D ．两个钝角三角形一定相似6．如图，在ABC ∆中，点D E 、分别在ABC ∆的边AB AC 、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使ADE ∆与ABC ∆相似，那么这个条件是（ ）A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠ C ．AD AE AC AB = D ．AD DE AB BC = 7．如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定．．．．A ABC DE ∽△△的是（ ）A ．AB BC AD DE = B ．AB AC AD AE = C ．B D ∠∠= D ．C AED ∠=∠ 8．如图所示，写出一个能判定ABC DAC △∽△的条件________．9．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ∥，交AB 于点E ，点F 在AB 上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使FCB ADE ∆∆∽，并给出证明.你添加的条件是：______.10．如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝12，DC ＝10，若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有_____个．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.12．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．15．如图，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠．ABC 与ADE 相似吗？为什么？16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，请你利用尺规在BC 边上求一点P ，使△ABC ∽△PAC （不写画法保留作图痕迹），并证明△ABC ∽△PAC ．17．如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的点，且AB AC DC ==，36B ∠=.求证：~ABC DBA ∆∆.18．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，连接DE ，过点A 作AF DE ⊥于点F ，DEC ∆与ADF ∆相似吗？请说明理由．19．如图，在ABC 中，D 为边AB 上一点，用尺规在边AC 上求作一点E ，使ADE ABC ．（保留作图痕迹，不写作法）20．在网格中画出与△ABC 相似的△A 1B 1C 1（相似比不为1）．21．（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n （n ＞m ），点P 在边AC 上．当AP ＝ 时，△APB ∽△ABC ；（2）如图②，已知△DEF （DE ＞DF ），请用直尺和圆规在直线DF 上求作一点Q ，使DE 是线段DF 和DQ 的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图，t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 为ABC ∆内部一点，135APB BPC ∠=∠=︒．求证：PAB PBC ∆∆．参考答案1．C【解析】【分析】依据相似三角形的判定定理一一证明，用排除法即可选择.【详解】解：A.∵B EDC ∠=∠,C C ∠=∠,∴ABC ∽EDC △;B.∵B DEC ∠=∠,C C ∠=∠,∴ABC ∽DEC ;D.∵A B C D 、、、在同一个圆上，∴180A DEC ∠+∠=︒,又∵180DEB DEC ∠+∠=︒,∴A DEB ∠=∠,B B ∠=∠,∴ABC ∽EBD △;故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.故选：C.【点睛】本题主要考查了相似的判定定理，同时考查了圆内接四边形对角互补的性质，注意隐含的条件公共角、熟悉几种常见的相似模型是解题的关键.2．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可.【详解】A.有两边对应成比例，且夹角相等的的两个三角形相似，故不正确；B. ∵ABC ∆的三边长为3、4、5，与A B C '''∆的三边长为3a +、4a 、5a +不一定成比例，∴ABC ∆与A B C '''∆不一定相似，故不正确；C. 若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1，正确；D. 当一个等腰三角形的顶角为80°，另一个等腰三角形的底角为80°时，两个三角形不相似，故不正确.故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，以及相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.3．D【解析】【分析】求出∠DAE=∠BAC ，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、∵∠DAE=∠BAC ，∠D=∠C ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AE DE AB BC=， ∴AB ?DE AE?BC =，故本选项错误；B 、∵AED B ∠=∠，∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AE DE AB BC=， ∴AB ?DE AE?BC =，故本选项错误；C 、∵AE AD AB AC=，∠DAE=∠BAC ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴AE DE AB BC=，∴AB?DE AE?BC=，故本选项错误；D、∵∠DAE=∠BAC，AE AD AC AB=，∴△ADE∽△ABC，∴AD DE AB BC=，∴AB?DE AD?BC=，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．4．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵DF∥AC，∴∠A=∠BDF，∴∆ADE~∆DBF．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理，掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．5．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，例如顶角是50°与顶角是70°的等腰三角形不相似，故本选项错误；B、两个等边三角形三个内角都是60°，一定相似，故本选项正确；C、两个直角三角形不一定相似，例如有一个锐角是50°与有一个锐角是60°的直角三角形不相似，故本选项错误；D、两个钝角三角形不一定相似，例如有一个角是120°与有一个角是150°的三角形不相似，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．6．D【解析】【分析】根据已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【详解】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当AD AEAC AB=时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当AD DEAB BC=时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．A【解析】【分析】先根据∠DAB=∠CAE得出∠DAE=∠BAC，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC．A．∵AB BCAD DE=，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；B．∵AB ACAD AE=，∴△ABC∽△ADE，故本选项错误；C．∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故本选项错误；D．∵∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．2AC DC BC=⋅（答案不唯一）【解析】【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【详解】已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；②AC2=DC•BC；故答案为：AC2=DC•BC（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．9．添加EA：ED=BA：BC （答案不唯一），理由见解析【解析】【分析】欲证△ADE∽△CFB，通过DE∥BC发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠B=∠AED此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加EA：ED=BA：BC （答案不唯一）．∵DE∥BC，∴∠B=∠AED．∵EA：ED=BA：BC，∴△ADE∽△CFB．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．10．3【解析】【分析】根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．【详解】解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝107，即PD＝107；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 11．= 8【解析】【分析】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD ·QD.【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时，∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）,∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）,∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时，∵AB ∥CQ ，∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP,∴△BQD ∽△PBD ， ∴BD QD PD BD=, ∴PD ·QD=BD 2=22+22=8，故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.12．6【解析】【分析】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，∵////AB EF DC ，//AD BC ，∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA共有6个组合分别为：△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 13．AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可）【解析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．14．5或203【解析】【分析】若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形, 所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF=时,ABE △与DEF 相似, 由6AB =,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =, ∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203． 故答案为: 5或203． 【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．15．相似，见解析【解析】【分析】利用“两个角对应相等，三角形相似”证得△ABC 与△ADE 相似．∠=∠，∵BAD CAE∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即∠BAC=∠DAE，∠=∠，又∵B D∴A△．ABC DE∽△【点睛】本题考查了相似三角形的判定,属于基础题．16．图及证明见解析．【解析】【分析】直接作出AB的垂直平分线，进而得出P点位置，利用相似三角形的判定方法得出即可．【详解】解：如图所示：点P即为所求，∵MN是AC的垂直平分线，交BC于点P，∴AP＝CP，∴∠C＝∠PAC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠PAC，∴△ABC∽△PAC．【点睛】此题主要考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．17．详见解析.【解析】36B ∠=是公共角，由AB=AC 可得36C ∠=，再证36DAB ∠=即可.【详解】证明：AB AC =，36B ∠=，36C ∴∠=又AC DC =18036722DAC -∴∠== 1802367236DAB ∴∠=-⨯-=ABC DBA ∴∆∆【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确地找出两组角分别相等是解决问题的关键.18．相似，见解析【解析】【分析】先得出ADE DEC ∠=∠，AFD C ∠=∠，再根据两角对应相等两个三角形相似即可判断．【详解】解：相似，理由如下：在矩形ABCD 中，,90AD BC C ︒∠=//，∴ADE DEC ∠=∠，∵AF DE ⊥，∴90AFD ︒∠=，∴AFD C ∠=∠，∴DEC ADF ∆∆∽．本题考查矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．19．图见解析．【解析】【分析】要使ADE ABC ，则只需过点D 作//DE BC 即可，再按照过直线外一点，作已知直线的平行线的方法尺规作图即可．【详解】如图，分以下四步：（1）以点B 为圆心，小于AD 长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点G 、F（2）以点D 为圆心，BG 长为半径画弧，交AD 于点M（3）以点M 为圆心，GF 长为半径画弧，与（2）所画的弧交ABC 内于点N（4）连接DN ，并延长DN ，交AC 于点E则点E 即为所作理由如下：由作图过程可知：BG BF DM DN ===，GF MN =在BFG 和DNM 中，BF DN BG DM GF MN =⎧⎪=⎨⎪=⎩()BFG DNM SSS ∴≅B MDN ∴∠=∠//DE BC ∴ADE ABC ∴．【点睛】本题考查了平行线的尺规作图、三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定、相似三角形的判定等知识点，依据相似三角形的判定方法转化所求问题是解题关键．20．见解析【解析】【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，将各边扩大2倍得出答案即可．【详解】如图所示：△A1B1C1，即为所求．．【点睛】此题主要考查了相似变换，根据题意正确利用相似三角形的判定得出对应边的长是解题关键．21．（1）2mn；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB ACAC AP=,即m nn AP=,∴AP=2mn.（2）解：作∠DEQ＝∠F, 如图点Q就是所求作的点【点睛】本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．22．详见解析【解析】【分析】利用等式的性质判断出∠PBC=∠PAB ，即可得出结论；【详解】解：90ACB ∠=︒，AB BC =45ABC PBA PBC ∴∠=︒=∠+∠，又135APB ∠=︒,45PAB PBA ∴∠+∠=︒，PBC PAB ∴∠=∠，又135APB BPC ∠=∠=︒，PAB PBC ∴∆∆．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠PBC=∠PAB 是解本题的关键．。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)

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青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试卷A卷（附答案详解）1．如图，点E、D 分别是△ABC 的边AC、AB 上一点，下列条件中能判断DE//BC 的条件是（）A．AD DEAB BC=B．AB AEAC AD=C．AB ADAC AE=D．AC ADAE AB=2．一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（）A．117米B．97米C．107米D．32米3．△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是( ) A．AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16B．AB＝2，BC＝3，AC＝5，DE＝6，EF＝3，DF＝3C．AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝16D．AB＝3，BC＝4，AC＝5，DE＝3，EF＝2，DF＝54．在平面直角坐标系中，Rt ABC按如图方式放置（直角顶点为A），已知A（2，0），B（0，4），点C在双曲线kyx=（x＞0）上，且AC=5，将ABC沿x轴正方向向右平移，当点B落在该双曲线上时，点A的横坐标变成（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边DC上，且DE=1，BE与AD的延长线交于点F，则DF的长度为（）A ．1B ．34C ．23D ．436．如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上.如果4BC =，ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是( )A ．127B ．1211C ．1213D ．7127．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ；使斜边DE 所在的直线经过点A ．测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m ．已知DF=1.5m ，EF=0.6m ，那么树AB 的高度等于（ ）A ．4mB ．4.5mC ．4.6mD ．4.8m8．如图，在Rt ABC △中，90AB BC ABC =∠=，°，点D 是AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CE ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ,给出以下五个结论：①AG FG AB FB=；②ADF CDB ∠=∠；③点F 是GE 的中点；④2AF AB =；⑤5ABC BDF S S =△△，其中正确结论的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．29．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么此三角形的周长为_____，面积为______．10．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高， 已知AD ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，则CD ＝_____cm. 11．如图，在矩形ABCD 中，12AB =,对角线AC ，BD 相交于点O ，OH ⊥BC 于点H ，连接DH 交OC 于点1O ，过1O 作110H BC ⊥于点1H ，连接1DH 交OC 于2O ,过2O 作22O H BC ⊥于点2H ······,则线段1010O H = ．12．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，3AD =，4AB =，8BC =，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，联结EF ．如果△CEF 沿直线EF 翻折，点C 与点A 恰好重合，那么DE EC的值是____．13．如图，点A 、B 、C 、D 的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE ∽△ABC ，则点E 的坐标是_____．14．如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且∠ADF=∠BED=∠CFE=90°，则△DEF 与△ABC 的面积之比为____________．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，﹣2），点B （3m ，2m+1），点C （6，2），点D ．（1）线段AC 的中点E 的坐标为_____；（2）▱ABCD 的对角线BD 长的最小值为_____．16．如图，90ABD BDC ∠=∠=，A CBD ∠=∠，3AB =，2BD =，则CD =________．17．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．（1）求证：EF AB BF DB=； （2）如果22BD AD DF =⋅，求证：平行四边形ABCD 是矩形．18．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．求路灯的高．19．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．20．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；（2）当BE=2EC时，求CDBC的值；（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是2105，求n 的值．21．如图，若ADE ABC ∽，DE 和AB 相交于点D ，和AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S =，求ADE S ．22．已知：AP 平分MAN ∠，点B 是射线AP 上一定点，点C 在直线AM 上运动，连接BC ．()1如图1，MAN 90∠=，将ABC(0ABC 90)∠∠<<的两边射线BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线AN 交于点D 和点E.当点C 在射线AM 上时，请直接写出：BD ①和BC 之间的数量关系是______；②线段AC ，AD 和AB 之间的数量关系是______．()2如果MAN 60∠=，将ABC(0ABC 120)∠∠<<的两边射线BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线AN 交于点D 和点E ．①如图2，当点C 在射线AM 上时，请探究线段AC ，AD 和AB 之间的数量关系，写出结论并给予证明；②如图3，当点C 在射线AM 的反向延长线上时，BC 交射线AN 于点F ，若AB 23=AC 2=，请直接写出线段AD 和DF 的长．23．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．24．网格中每个小正方形的边长都是1．在下列各个图中画一个格点DEF，使∽，并且注明相似比．DEF ABC相似比为________；相似比为________.参考答案1．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质得出同位角相等，即可得出结论．【详解】A．AD DEAB BC=，不能判断DE∥BC，故A错误；B．AB AEAC AD=，不能判断DE∥BC，故B错误；C．∵ABAC=ADAE，∴AEAC=ADAB．∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．故C正确；D．AC ADAE AB=，不能判断DE∥BC，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．2．C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用相似三角形对应线段成比例求解即可.【详解】如图所示，AD=20m，AB=70m，BC=5m，过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC，故△AED∽△ACB，∴DE ADBC AB=，即20570DE=，∴DE=107，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确画出图形，明确在此类题型中，重物在不同位置时，它的垂直高度的比值，和坡面距离的比值是相等的是解题的关键.3．A【解析】【分析】先根据各选项中数值计算对应边的比值,再根据三边对应成比例,两三角形相似进行判定.【详解】若使△ABC ∽△DEF ,则三边应满足AB BC AC DE EF DF==, A 选项中18AB DE =, 1.51128BC EF ==,21 168AC DF ==,所以AB BC AC DE EF DF ==,所以△ABC ∽△DEF ,符合题意,故选A.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 4．A【解析】【分析】作辅助线，证明BOA ADC ∽，则可得2OB AD OA DC==，设DC x =，则2AD x =，根据勾股定理得1x =，C 点坐标为（4，1），代入双曲线()0k y x x =＞可得4k =，根据平移后B 点的纵坐标不变，可得平移后B 点的横坐标，由此可得平移长度，即可得出结论.【详解】解：过C 作CD x ⊥轴于D ，如图，∵90ADC ∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAC BAO ∠+∠=︒，∴ACD BAO ∠=∠，∵90BOA ADC ∠=∠=︒，∴BOA ADC ∽， ∴422OB AD OA DC ===， 设DC x =，则2AD x =， ∵5AC =∴()22225x x +=， 1211x x ==，﹣（舍），∴21AD DC ==，，∴C （4，1），∴144k =⨯=，当4y =时，1x =，即ABC 向右平移1个单位时，点04B （，）落在该双曲线上， ∴点A 的横坐标为3；故答案为：A ．【点睛】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定及性质及待定系数法求反比例函数.解题关键在于求解反比例函数的k 值，根据平移性质得点A 坐标.5．D【解析】【分析】证明△DEF ∽△CEB ，列比例式DF BC =DE CE，代入可得DF 的长． 【详解】∵DE=1，DC=4，∴EC=4−1=3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AF ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB ， ∴DF BC =DE CE， ∴4DF =13， ∴DF=43. 故答案选：D.【点睛】本题考查了正方形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质与相似三角形的判定与性质.6．A【解析】【分析】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出AH =3，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF =x ，MH =x ，AM =3﹣x ，再证明△AGF ∽△ABC ，则根据相似三角形的性质得4x =33x -，然后解关于x 的方程即可． 【详解】 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，∵△ABC 的面积是6，∴12BC •AH =6，∴AH =264⨯=3，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF =x ，MH =x ，AM =3﹣x ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH ，即4x =33x -，解得：x =127，即正方形DEFG 的边长为127． 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．7．A【解析】解：如图，BG=DC=1m，DG=7.5m．∵EF∥AG，∴△DEF∽△DAB，∴EFAG=DFDG，即0.6 AG =1.57.5，∴AG=3，∴AB=BG+AG=1+3=4（m）．故选A．点睛：本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．8．A【解析】【分析】由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论②正确；由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以点F不是GE中点，可确定结论③错误；由△AFG≌△AFD可得AG=12AB=12BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论④正确；因为F 为AC 的三等分点，所以S △ABF =13S △ABC ，又S △BDF =12S △ABF ，所以S △ABC =6S △BDF ，由此确定结论⑤错误． 【详解】依题意可得BC ∥AG ，∴△AFG ∽△BFC ，∴AG BC ＝FG FB， 又AB=BC ，∴AG AB ＝FG FB, 故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4．在△ABG 与△BCD 中，3490AB BCBAG CBD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠=︒⎩＝＝＝ ， ∴△ABG ≌△BCD （ASA ），∴AG=BD ，又BD=AD ，∴AG=AD ；在△AFG 与△AFD 中，45AG AD FAG FAD AF AF ⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪⎩＝＝ ，∴△AFG ≌△AFD （SAS ），∴∠5=∠2，又∠5+∠3=∠1+∠3=90°， ∴∠5=∠1，∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB ．故结论②正确；∵△AFG ≌△AFD ，∴FG=FD ，又△FDE 为直角三角形，∴FD ＞FE ，∴FG ＞FE ，即点F 不是线段GE 的中点．故结论③错误；∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ；∵△AFG ≌△AFD ，∴AG=AD=12AB=12BC ； ∵△AFG ∽△BFC ，∴AG BC ＝AF FC，∴FC=2AF ，∴AF=13AB ． 故结论④正确；∵AF=13AC ， ∴S △ABF=13S △ABC ；又D 为中点， ∴S △BDF=12S △ABF ， ∴S △BDF=16S △ABC ，即S △ABC=6S △BDF ． 故结论⑤错误．综上所述，结论①②④正确，故选A【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 9．90 270【解析】分析：由相似三角形对应边比相等，知道已知三角形的三边和较大三角形的最大边，根据相应比求得边和周长，根据勾股定理的逆定理知道三角形直角三角形，即可求出面积． 详解：设较大三角形的其他两边长为a ，b .∵由相似三角形的对应边比相等.∴5a =12b =3913. 解得：a =15，b =36，又∵22251213+=，∴三角形为直角三角形.则较大三角形的周长为90，面积为270.点睛：相似三角形的性质：三边对应成比例；勾股定理的逆定理：判断三角形为直角三角形.10．6【解析】【分析】直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项．【详解】∵Rt △ABC 中，，CD 是斜边上的高，∴CD 2=AD ⋅BD =4×9=36， ∴CD =6.故答案为：6.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 11．1【解析】∵OH⊥AB,∴OH∥CD,△BHO∽△BCD,∴12 OH OBCD BD==,∴12OH CD=.∵OH∥CD,∴111 2HO OHDO CD==,∴11 3HOHD=. ∵O1H1⊥AB, ∴O1H1∥CD,∴1111 3O H HOCD HD==,∴111 3O H CD=.∵12OH CD=,1113O H CD=,……∴1010111121 121212O H CD AB===⨯=.点睛：本题主要考查矩形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能熟练运用平行线分线段成比例定理并根据结果得出规律是解此题的关键．12．2 5【解析】【详解】试题解析：延长AD交FE于点G，EF与AC交于点H，如图，在Rt △ABC 中，AB=4，AC=8∴22224845AB BC +=+=∴CH=AH=5由EF ⊥AC 得∠FHC=90°∵∠ABC=90°∴∠FHC=∠ABC∴△CFH ∽△CAB ∴CF CH CA CB= ∴CF=5∵AD ∥BC∴∠GAC=∠FCA在△AHG 和△CHF 中GAC FCA AH CHAHG CHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHG ≌△CHF∴AG=CF=5∵AD=3∴DG=AG-AD=5-3=2∵AD ∥BC∴△DGE ∽△CFE ∴25DE DG CE CF == 故答案为:2 5 13．（4，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（6，0）【解析】【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【详解】解：△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB ：BC=2．①当点E 的坐标为（4，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB ：BC=CD ：DE ，△CDE ∽△ABC ，故正确； ②当点E 的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB ：BC=DE ：CD ，△CDE ∽△ABC ，故正确；③当点E 的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB ：BC=CD ：CE ，△CDE ∽△ABC ，故正确；同理，当点E 的坐标为（4，2）、（4，5）、（6，0），故答案为：（4，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（6，0），【点睛】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键． 14．13【解析】试题解析：ABC 是正三角形，60.A B C ∴∠=∠=∠=︒90ADF BED CFE ∴∠=∠=∠=︒，30AFD BDE CEF ∴∠=∠=∠=︒，60DFE FED EDF ∴∠=∠=∠=︒，12BE BD =， DEF ∴是正三角形，: 3.BE DE ∴=①，:1:3BE AB =②，DEF ABC ∽，①÷②，:AB DF = :1:DE AB ∴= DEF ∴的面积与ABC △的面积之比等于1:3. 故答案为：1.3点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.15．（3，0）【解析】【分析】（1）根据点A 、点C 的坐标，根据中点坐标公式进行求解即可得； （2）如图，根据点B 的坐标确定出B 在直线y=23x+1上，根据垂线段最短可得当BD ⊥直线y=23x+1时，BD 最小，由此根据已知条件添加辅助线进行求解即可得． 【详解】解：（1）∵点A （0，﹣2），点C （6，2），∴线段AC 的中点E 的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．（2）如图，∵点B （3m ，2m+1），∴令321m x m y =⎧⎨+=⎩， ∴y=23x+1， ∴B 在直线y=23x+1上， ∴当BD ⊥直线y=23x+1时，BD 最小， 过B 作BH ⊥x 轴于H ，则BH=2m+1，∵BE 在直线y=23x+1上，且点E 在x 轴上， ∴E （﹣32，0），G （0，1）， ∵平行四边形对角线交于一点，且AC 的中点一定在x 轴上，∴F 是AC 的中点，∵A （0，﹣2），点C （6，2），∴F（3，0），在Rt△BEF中，BH⊥EF，∴△BEH∽△FBH，∴BH：FH=EH：BH，∴BH2=EH•FH，∴（2m+1）2=（3m+32）（3﹣3m），解得：m=713或﹣12（舍弃），∴B（2113，2713），∴BF=22212791331313⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴BD=2BF=1813，则对角线BD的最小值是1813，故答案为1813 13．【点睛】本题考查了函数与几何综合题，涉及了一次函数、垂线段最短、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定难度，正确添加辅助线、熟练运用相关知识是解题的关键．16．4 3【解析】【分析】由ABD BDC 90∠∠==，A CBD ∠∠=可证明△ABD ∽△BDC ，根据相似三角形的性质即可求出CD 的长度.【详解】∵ABD BDC 90∠∠==，A CBD ∠∠=，∴△ABD ∽△BDC ，∴CD ：BD=BD ：AB ，∴CD=2BD AB=43， 故答案为：43【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.17．（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】试题分析：由∠BAD+∠ADC=180°，∠BEF+∠DEF=180°，∠DEF =∠ADC 即可得∠BAD=∠BEF ，再由∠EBF=∠ADB ，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADB ∽△EBF ，根据相似三角形对应边的比相等即可证得结论；（2）由△ADB ∽△EBF ，根据相似三角形的性质可得AD BE BD BF=，在平行四边形ABCD 中，根据平行四边形的性质可得BE=ED= 12BD ，即可得AD·BF=BD·BE=212BD ，即22BD AD BF =⋅；因为22BD AD DF =⋅，可得BF=DF ，又因BE=DE ，根据等腰三角形三线合一的性质可得FE ⊥BD 即∠DEF=90°，所以∠ADC=∠DEF=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可判定平行四边形ABCD 是矩形.试题解析：证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD//BC ，AB//DC,∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BEF+∠DEF=180°， ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF ，∵∠DEF=∠ADC ，∴∠BAD=∠BEF ，∵AB//DC ，∴∠EBF=∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ， ∴；（2）∵△ADB ∽△EBF ， ∴，在平行四边形ABCD 中，BE=ED=， ∴，∴， 又∵， ∴，△DBF 是等腰三角形， ∵， ∴FE ⊥BD ，即∠DEF=90°， ∴∠ADC=∠DEF=90°，∴平行四边形ABCD 是矩形.18．6.6米．【解析】【分析】本题是中心投影的简单应用，根据题意，可以得到△EGH ∽△EAB 、△FGH ∽△FCD ，则有GH EH AB EB =、GH FH CD FD=，从而建立起关于BE 的方程，求出BE 的长，然后再把BE 代入GH EHAB EB=即可计算出AB的长.【详解】解：设路灯的高为x，∵GH⊥BD，AB⊥BD∴GH∥AB∴△EGH∽△EAB∴GH EHx EB=①同理△FGH∽△FCD GH FHx FD=②∴EH FH EH FH EB FD EB FD+==+∴3 4.512 4.5 EB=+解得EB=11，代入①得1.8311 x=解得x=6.6(米)【点睛】本题考查1相似三角形的应用，2中心投影，数形结合，正确推理计算是解题关键．19．（1）75；；（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴13 OD OBOA OC==．又∵AO=33，∴OD=13AO=3，∴AD=AO+OD=43．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=43．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴BO EO BE DO AO DA==．∵BO：OD=1：3，∴13 EO BEAO DA==．∵3，∴3∴3．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（32+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，∴AB=AC=8，AD=12．在Rt △CAD 中，AC 2+AD 2=CD 2，即82+122=CD 2，解得：【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD 的值；（2）利用勾股定理求出BE 、CD 的长度．20．答案见解析.【解析】【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF =12DE =EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC =∠FCE ，证出CF =CE ，由ASA 证明△BCF ≌△DEC 即可； （2）设CE =a ，则BE =2a ，BC =3a ，证明△BCF ∽△DEC ，得出对应边成比例CF BC EC ED =，得出226ED a =，由勾股定理得出DC ，即可得出结果；（3）过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC =∠FCE ，证出∠ADF =∠BCF ，由SAS 证明△ADF ≌△BCF ，得出∠AFD =∠BFC =90°，证出四边形C ′MFH 是矩形，得出FM =C ′H =5，设EM =x ，则FC =FE =x ，由勾股定理得出方程，解方程求出EM FC =FE 2）得：CF BC BC ED=，把CE =1，BE =n 代入计算即可得出n 的值． 【详解】（1）∵在矩形ABCD 中，∠DCE =90°，F 是斜边DE 的中点，∴CF =12DE =EF ，∴∠FEC =∠FCE ， ∵∠BFC =90°，E 为BC 中点，∴EF =EC ，∴CF =CE ，在△BCF 和△DEC 中，∵∠BFC =∠DCE ，CF =CE ，∠FCB =∠DEC ，∴△BCF ≌△DEC （ASA ）；（2）设CE =a ，由BE =2CE ，得：B E =2a ，BC =3a ，∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线，∴CF =12DE ， ∵∠FEC =∠FCE ，∠BFC =∠DCE =90°，∴△BCF ∽△DEC ， ∴CF BC EC ED =，即：132ED a a ED=，解得：226ED a =， 由勾股定理得：D C =22DE EC -=226a a -=5a ，∴CD BC =53a a =5； （3）过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，如图所示：∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线，∴FC =FE =FD ，∴∠FEC =∠FCE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠ADF =∠CEF ，∴∠ADF =∠BCF ， 在△ADF 和△BCF 中，∵AD =BC ，∠ADF =∠BCF ，DF =CF ，∴△ADF ≌△BCF （SAS ），∴∠AFD =∠BFC =90°，∵CH ⊥AF ，C ′C ⊥EF ，∠HFE =∠C ′HF =∠C ′MF =90°，∴四边形C ′MFH 是矩形，∴FM =C ′H =210，设EM =x ，则FC =FE =x +210， 在Rt △EMC 和Rt △FMC 中，由勾股定理得：2222CE EM CF FM -=-，∴22222102101()()x x -=+-，解得：x =10，或x =10-（舍去）， ∴EM =10，FC =FE =10210105+=10； 由（2）得：CF BC BC ED =，把CE =1，BE =n 代入计算得：C F =222n +，∴222n +=102，解得：n =4【点睛】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，（1）根据矩形的性质利用"角边角"证明三角形全等;(2)根据三角形相似和勾股定理用含a 的算式表示边长进而求解;(3)利用三角形全等、矩形的性质、勾股定理得到边的比例关系,进而构造方程求解.21．165． 【解析】【分析】先求出ADE ABC ，的相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求出.【详解】解：∵ADE ABC ∽， ∴2:()ABC ADE BC S S DE=， ∴2520:4ADE S =， 解得165ADE S =． 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.22．()1BD BC =①；AD AC +=②；()2①AD AC +=，证明见解析；AD 8=②，DF 7=．【解析】【分析】 ()1①先判断出GBH 90∠=，进而得出DBG CBH ∠∠=，判断出BDG ≌BCH ，即可得出结论；②先判断出四边形AGBH 是正方形，进而得出AB =，再判断出AG AH =，即可得出结论；()2①同()1的方法即可得出结论；②如图3中，作BG AM ⊥于G ，BH AN ⊥于H ，AK CF ⊥于K.由()1可知，ABG ≌ABH ，BGD ≌BHC ，易知BH GB ==AH AG EG 3===，BC BD 2===，推出AD 8=，由AK BH sin ACH AC BC ∠==，可得21AK =，设FG y =，则AF 3y =-，2BF y 3=+，由AFK ∽BFG ，可得AF AK BF BG =，求出y 即可解决问题． 【详解】()1①如图1，过点B 作BG AN ⊥于G ，BH AM ⊥于H ，MAN GBH 180∠∠∴+=，MAN 90∠=，GBH 90∠∴=，DBC 90∠=，DBG CBH ∠∠∴=，AP 是MAN ∠的平分线，BG AN ⊥，BH AM ⊥， BG BH ∴=，BGD BHC 90∠∠==，BDG ∴≌()BCH ASA ，DG CH ∴=，BD BC =；故答案为BD BC =；②如图1，由①知，过点B 作BG AN ⊥于G ，BH AM ⊥于H ， AGB AHB MAN ∠∠∠∴==，∴四边形AGBH 是矩形，由①知，BG BH =，∴矩形AGBH 是正方形，AG AH ∴=，AB 2AG ∴=，AD AC AG DH AH CH 2AG +=++-=， AD AC 2AB ∴+=； 故答案为AD AC 3AB +=；()2①如图2，过点B 作BG AN ⊥于G ，BH AM ⊥于H ， MAN GBH 180∠∠∴+=，MAN 60∠=，GBH 120∠∴=，DBC 120∠=，DBG CBH ∠∠∴=，AP 是MAN ∠的平分线，BG AN ⊥，BH AM ⊥， BG BH ∴=，BGD BHC 90∠∠==，BDG ∴≌()BCH ASA ，DG CH ∴=，AD AC AG DG AH CH 2AH ∴+=++-=，AP 是MAN ∠的平分线，PAM 30∠∴=，在Rt ABH 中，3AH AB cos PAM AB ∠=⋅=， AD AC 3AB ∴+=；②如图3中，作BG AN ⊥于G ，BH AM ⊥于H ，AK CF ⊥于K ．由①可知，BGD ≌BHC ，易证，ABG ≌ABH ， 易知BH GB 3==AH AG EG 3===，DG CH AC AH 5∴==+=，22BC BD BH CH 27∴==+=AD AG DG 8∴=+=，AK BH sin ACB AC BC∠==， AK 3227∴= 21AK 7∴=， 设FG y =，则AF 3y =-，2BF y 3=+AFK BFG ∠∠=，AKF BGF 90∠∠==，AFK ∴∽BFG ，AF AK BF BG∴=，=，两边平方，整理得，2y 7y 100-+=，解得y 2=或y 5(=大于AC ，舍去) DF GF DG 257∴=+=+=．即：AD 8=，DF 7=．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四边形的内角和定理，作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解本题的关键．23．证明见解析；【解析】【分析】根据文字，写出已知、求证，然后利用三角形相似的性质证明即可.【详解】已知：如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，连接DE .求证：//DE BC ,且12DE BC = 证明：∵点D 、E 分别是AB 与AC 的中点, ∴12AD AE AB AC == ∵A A ∠=∠∴ADE ∆∽ABC ∆∴ADE ABC ∠=∠，12DE AD BC AB == ∴//,DE BC 且12DE BC =【点睛】本题考查了利用三角形相似的性质来证明三角形的中位线定理，是对三角形中位线定理的加深理解.24．图见解析，相似比为2；图见解析，相似比为：2.【解析】【分析】根据网格结构，利用三边对应成比例两三角形相似，根据勾股定理作出相似的三角形，并计算相似三角形的相似比即可．【详解】如图所示：相似比为：2.如图所示：2.【点睛】本题考查了利用相似变换作图，熟练掌握网格结构，找出对应边成比例的三角形的顶点是解题的关键，求相似比时要注意两三角形的顺序．。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试题2（附答案详解） 1．矩形ABCD 中，AB=10，AD=4，点P 是CD 上的动点，当∠APB=90°时，DP 的长是（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．2或82．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝BD ＝5，AB ＝6，E 为AB 的中点，F 为CD 上一点，连接EF 交BD 于点G ，若S △FDG ：S △EDG ＝2：3，则EF 的长是（ ）A ．5B ．25C ．210D ．53．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，CD ，BE 分别是边AB 、AC 上的高线，连接DE ，那么ADE ∆和ACB ∆的周长之比为（ ）A ．12B ．3C ．14D ．344．若△ABC ∽△DEF 且面积比为9：25，则△ABC 与△DEF 的周长之比为（ ） A ．9：25 B ．3：25 C ．3：5 D ．2：55．如图，在△ABC 中，点E 和点F 分别在边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，若AE ＝3，EB ＝6，BC ＝9，则EF 的长为（ ）916．如图是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（ ）．A ．20.36m πB ．20.81m πC ．22m πD ．23.24m π 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD ：DB ＝2：1，则△ADE 和△ABC 的面积之比等于（ ）A ．2：3B ．4：9C ．4：1D ．2:3：8．如图，D E 、分别是ABC 的边AB BC 、上的点，且//DE AC ，AE CD 、相交于点O ，若:1:9DOE COA S S =△△，则BDE S △与CDE S △的比是（ ）A ．1:3B ．1:2C ．1:4D ．1:99．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝_____度．10．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是10米，已知网高是0.9米，要使球恰好能打过网，且落在离网5米的位置，则拍击球的高度h 为_____米．11．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于F ，则 CF 的长为______．12．如图，▱ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝10cm ，高AE ＝4.8cm ，DF ⊥AB 交BA 延长线于F ，则AF ＝_____cm ．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5BC =，点E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 折叠后得到AFE △．延长AF 交边BC 于点G ，则CG =__________．14．已知ABC ∆中，AB AC =，ABC ∆的面积为42．（1）如图，若点,D E 分别是边,AB AC 的中点，则四边形DBCE 的面积是__________．（2）如图，若图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，则四边形DBCE 的面积是___________．15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2EC BE =，联结AE 交BD 于点F ，若BFE ∆的面积为2，则AFD ∆的面积为______.16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是BC 的中点，连接AE ，P 是边AD 上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ′处，当△APD ′是直角三角形时，PD ＝_____．17．问题情境：在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 的中点，以D 为角的顶点作MDN B ∠=∠．感知易证：（1）如图1，当射线DN 经过点A 时，DM 交边AC 于点E .将MDN ∠从图1中的位置开始，绕点D 按逆时针方向旋转，使射线DM 、DN 始终分别交边AC ，AB 于点E 、F ，如图2所示，易证BFD CDE ∆∆，则有()DF BF ED =．操作探究：（2）如图2，DEF ∆与BDF ∆是否相似，若相似，请证明；若不相似，请说明理由；拓展应用：（3）若50B ∠=︒，直接写出当（2）中的旋转角为多少度时，DEF ∆与ABC ∆相似．18．在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD 的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．19．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC 的顶点C 的坐标是（2，4），动点P 从点A 出发，沿线段AO 向终点O 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，过点P 作PE ⊥AO 交AB 于点E ，一点到达，另一点即停．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）填空：用含t 的代数式表示下列各式：AP ＝______，CQ ＝_______．（2）①当PE ＝12时，求点Q 到直线PE 的距离． ②当点Q 到直线PE 的距离等于12时，直接写出t 的值． （3）在动点P 、Q 运动的过程中，点H 是矩形AOBC （包括边界）内一点，且以B 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形，直接写出点H 的横坐标．20．如图，D 、E 分别为△ABC 的AB 、AC 边上两点，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6． 求DE BC 的值．21．如图，要测量长春南溪湿地公园的荷花池A 、B 两端的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用所学过的相似三角形的有关知识设计出一种测量方案．具体要求：①用直尺或圆规画出测量的示意图，并说明应用的数学原理；②需要测量那些有关的数据；③待测量的数据可以用a 、b 、c 、d 等字母表示，最后表达出AB 的长．22．如图，已知直线334y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点并与x 轴的另一个交点为A ，且3OC OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）点R 为直线BC 上方对称轴右侧抛物线上一点，当RBC △的面积为92时，求R 点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR ，作RH x ⊥轴于H ，连接CH 、AC ，点P 为线段CR 上一点，点Q 为线段CH 上一点，满足2QH CP ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，连接EQ ，当45PEQ ∠=︒时，求CP 的长.23．如图（1），在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点A ，B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ≅；（2）如图（2），当点E 运动到AB 的中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图（3），在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交AD ，BF 于点M ，N ，求证：2FN NG MN NH ⋅=⋅．24．如图，已知AC ∥DF ，点B 在AC 上，点E 在DF 上，连结AE ，BD 相交于点P ，连结CE ，BF 相交于点Q ，若AB ＝EF ，BC ＝DE ．（1）求证：四边形BPEQ 为平行四边形；（2）若DP ＝2BP ，BF ＝3，CE ＝6．求证：四边形BPEQ 为菱形．参考答案1．D【解析】【分析】以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC＝x，则PD＝10﹣x，证△ADP∽△PCB得AD DPPC CB=，即4104xx-=，解之可得答案．【详解】解：如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC＝x，则PD＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠DAP+∠APD＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠DAP＝∠CPB，∴△ADP∽△PCB，∴AD DPPC CB=，即4104xx-=，解得：x＝2或8，PD＝10﹣x＝2或8，即PD＝2或8．故选：D．【点睛】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】先解直角三角形求出DE，再利用相似三角形的性质求出DF，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵AD＝BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝BE＝12AB＝3，∴DE4=，∵S△FDG：S△EDG＝2：3，∴FG：EG＝2：3，∵AB∥CD，∴△DFG∽△BEG，∴23 DF FGBE EG==，∴DF＝2，∵AB∥CD，DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴EF=故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．A【解析】【分析】由∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，可得∠ABE=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD AE1AC AB2==，由∠A是公共角，即可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形周长比等于相似比即可得答案.【详解】∵∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，∴∠ABE=∠ACD=30°，∴AD AE 1AC AB 2==， ∵∠A 为△ADE 和△ACB 的公共角，∴△ADE ∽△ACB ，∴△ADE 与△ACB 的相似比为12， ∴ADE ∆和ACB ∆的周长之比=12. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键. 4．C【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC 与△DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形△ABC 与△DEF 面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC 与△DEF 的周长比为3：5．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．5．D【解析】【分析】先证明△AEF ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴AE EF AB BC =，即3369EF =+， 解得，EF ＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，掌握知识点是解题关键．6．B【解析】【分析】如图设C ，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC ∽△OAD ，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．【详解】解：如图设C ，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，CB ∥AD ，∴△OBC ∽△OAD∴CB OC AD OD=而OD=3，CD=1 ∴OC=OD-CD=3-1=2，BC=1 1.20.62⨯=， ∴0.623AD =， ∴AD=0.9则220.90.81D S m ππ=⨯=∴地面上阴影部分的面积为20.81m π故答案为：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例求出地面影子的半径，就可以求出阴影部分的面积．7．B【解析】【分析】由DE ∥BC ，利用两直线平行，同位角相等可得出∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ，进而可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ，∵AD ：DB ＝2：1∴AD ：AB ＝2：3 ∴2224()()39ADE ABC S AD S AB ===． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．B【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE ∽△COA ，根据相似三角形的性质定理得到13DE AC =，从而可得到BE ：EC=1：2，最后S △BDE ：S △CDE =BE ：EC 即可． 【详解】解：∵DE//AC ，∴△DOE ∽△COA ，∵S △DOE ：S △COA =1：9，∴13DE AC =， ∵DE ∥AC ，∴13BE DE BC AC ==， ∴12BE EC =， ∵△BDE 与△CDE 的高相等，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：2．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．9．90【解析】【分析】直接利用网格结合相似三角形的判定与性质得出∠BAC ＝∠3，求出∠2+∠3＝∠1＝45°，进而得出答案．【详解】解：∵BC ＝1，AB ，BD ＝2，∴BCAB ==，AB BD =， ∴BC AB AB BD =， 又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABC ∽△DBA ，∴∠BAC ＝∠3，∴∠2+∠3＝∠1＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，故答案为：90．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确得出△ABC ∽△DBA 是解题关键． 10．2.7【解析】【分析】因为人和球网是平行的，所以题中将有一组相似三角形，根据对应边成比例，列方程即可解答．【详解】解：如图：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴CE：AE＝CD：AB∴5：15＝0.9：AB∴h＝AB＝2.7米．故答案为：2.7．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出球拍击球的高度h，体现了转化的思想．11．7 3【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，证明△ACB∽△FDB，根据相似三角形的性质定理列出比例式计算即可．【详解】∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB=2210AC BC+=，∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，∴∠BDF＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△FDB，∴BC：BD＝AB：（BC+CF），即6：5＝10：（6+CF），解得，CF＝73，故答案为：73．【点睛】本题主要考查了勾股定理与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝10cm，∠B＝∠DAF，然后证明△ABE∽△DAF，再根据相似三角形的性质可求DF，再根据勾股定理可求AF．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10cm，∠B＝∠DAF，∵AE是高，DF⊥AB，∴∠AEB＝∠F＝90°，∴△ABE∽△DAF，∴ABAE＝DADF，即64.8＝10DF，解得DF＝8，在Rt△AFD中，AF6（cm）．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是证得△ABE∽△DAF．13．4 5【解析】【分析】连接EG，首先证明△EFG≌△ECG，得到FG=CG（设为x ），∠FEG=∠CEG；同理可证AF=AD=3，∠FEA=∠DEA，进而证明△AEG为直角三角形，运用相似三角形的性质即可【详解】如图，连接EG；∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，DC=AB=4；由题意得：EF=DE=EC=2，∠EFG=∠D=90°；在Rt△EFG与Rt△ECG中，EF ECEG EG⎧⎨⎩＝＝，∴△EFG≌△ECG，∴设FG=CG=x，∠FEG=∠CEG；同理可证：AF=AD=5，∠FEA=∠DEA，∴1180902AEG∠=⨯︒=︒而EF⊥AG，可得△EFG∽△AFG∴EF2=AF•FG，∴ 22=5•x，∴x=45，即CG的长为45；故该题答案为45．【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的翻折变换，全等三角形的性质及其应用、相似三角形的判定与性质等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．14．31.5；26【解析】(1)证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC 的面积为42，求得△ADE 的面积，用大三角形的面积减去小三角形的面积，即可得答案；(2) 利用△AFH ∽△ADE 得到2AFHADE FH 9DE 16S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设AFH 9S x =，ADE 16S x =，则1697x x -=，解得1x =，从而得到ADE 16S=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】 (1)∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴12AD AB =， ∴22ADEABC 1124S AD SAB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵ABC 42S=， ∴ADE 10.5S =，∴ABC ADE BCED 4210.531.5S SS =-=-=四边形；(2)如图，根据题意得AFH ADE ∽，∴22AFHADE FH 39DE 416S S ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设AFH 9S x =，ADE 16S x =，∴1697x x -=，解得1x =，∴ADE 16S =，∴ABC ADE BCED 421626S SS =-=-=四边形．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质：有两组角对应相等的两个三角形相似．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．15．18【解析】【分析】根据2EC BE =求得BC=3BE,再由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果.【详解】∵2EC BE =,∴BC=3BE,∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC,AD=BC,∴△ADF ∽△EBF,∴AD=3BE,∴AFD ∆的面积=9S △EBF =18，【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF 是解题的关键，再求得对应边的关系AD=3BE,即可求得AFD ∆的面积.16．83或247． 【解析】【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ＝6，∠BAD ＝∠D ＝∠B ＝90°，根据勾股定理得到5AE ==，设PD ′＝PD ＝x ，则AP ＝6-x ，当△APD ′是直角三角形时，①当∠AD ′P ＝90°时，②当∠APD ′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．【详解】 解：在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，6AD BC ∴==，90BAD D B ∠=∠=∠=︒， E 是BC 的中点，3BE CE ∴==，5AE ∴=，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D '处，PD PD ∴'=，设PD PD x '==，则6AP x =-，当APD ∆'是直角三角形时，①当90AD P ∠'=︒时，90AD P B ∴∠'=∠=︒，//AD BC ，PAD AEB ∴∠'=∠，ABE ∴∆∽△PD A '， ∴AP PD AE AB '=， ∴654x x -=， 83x ∴=， 83PD ∴=； ②当90APD ∠'=︒时，90APD B ∴∠'=∠=︒，PAE AEB ∠=∠，APD EBA ∴'∽， ∴AP PD BE AB'=，∴634x x-=， 247x ∴=， 247PD ∴=， 综上所述，当APD ∆'是直角三角形时，83PD =或247，故答案为：83或247．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．17．（1）CD ；（2）△BDF ∽△DEF ，理由见详解；（3）10°或40°． 【解析】 【分析】（1）如图2，根据∠EDF ＝∠B 及三角形外角性质可得∠BFD ＝∠CDE ，再根据∠B ＝∠C 即可得到△BFD ∽△CDE 解决问题． （2）如图2，由（2）得△BFD ∽△CDE ，则有BF DF CD DE =，由D 是BC 的中点可得BF DFBD ED=．再根据∠B ＝∠EDF 即可得到△BDF ∽△DEF ．（3）由∠B ＝∠C ＝50°可得∠BAC ＝80°，AB ＝AC ，再由BD ＝CD 可得AD ⊥BC ．若△DEF 与△ABC 相似，由△BDF ∽△DEF 可得△BDF 与△ABC 相似，从而得到∠BDF ＝∠BAC ＝80°，或∠BDF ＝∠C ＝50°，即可解决问题． 【详解】 解：（1）如图2，∵AB＝AC∴∠B＝∠C，∵∠FDC是△BFD的一个外角，∴∠FDC＝∠B+∠BFD．∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE．∵∠B＝∠C，∴△BFD∽△CDE；∴DF BF ED CD=．（2）如图2，结论：△BDF∽△DEF．理由：由（1）得BF DF CD DE=．∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BF DF BD ED=，又∵∠B＝∠EDF，∴△BDF∽△DEF．（3）连接AD，如图3，∵∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，AB＝AC．∵BD＝CD，∴AD⊥BC．若△DEF与△ABC相似，∵△BDF∽△DEF，∴△BDF与△ABC相似，∴∠BDF＝∠BAC＝80°，或∠BDF＝∠C＝50°，∴∠ADF＝90°﹣80°＝10°，或∠ADF＝90°﹣50°＝40°，∴当（2）中的旋转角为10°或40°时，△DEF与△ABC相似．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的判定条件，属于中考常考题型．18．（1）32；（2）23；（3）6【解析】【分析】（1）易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据FPBP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CEB ， ∴EF=BE ，AF=BC=2k ． ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB=5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键． 19．（1）t ，4﹣t ；（2）①点Q 到直线PE 的距离为2；②t 的值为74秒或94秒；（3）点H 的横坐标为1013或10﹣【解析】 【分析】（1）由点C 坐标及矩形的性质可得出OA ＝BC ＝4，OB ＝AC ＝2，AO ⊥OB ，由题意得AP ＝t ，BQ ＝t ，得出CQ ＝BC ﹣BQ ＝4﹣t ；（2）①延长PE 交BC 于F ，则PF ⊥BC ，CF ＝AP ＝t ，由PE ⊥AO 可得四边形APFC 是矩形，可证明PE//OB ，可得△APE ∽△AOB ，得出AP PEAO OB，解得t ＝1，得出BQ ＝1，CF ＝1，CQ ＝3，求出FQ ＝CQ ﹣CF ＝2即可；②延长PE 交BC 于F ，则PF ⊥BC ，CF ＝AP ＝t ，当Q 在P 的下方时，由题意得t+12+t ＝4，解得t ＝74；当Q 在P 的上方时，由题意得t+t-12＝4，解得t ＝94．（3）由PE//OB ，可得△APE ∽△AOB ，根据相似三角形的性质可求出E （12t ，4﹣t ），Q （2，t ），①当QE ＝BQ 时，延长PE 交BC 于F ，则PF ⊥BC ，CF ＝AP ＝t ，则（2﹣12t ）2+（4﹣2t ）2＝t 2，解得t ＝2013，或t ＝4（舍去），得出12t ＝1013即可；②当BQ ＝EB 时，则BE ＝BQ ＝t ，利用勾股定理可得APE ∽△AOB ，得出AEAB ＝AP AO，求出AE t ，得出BE ＝AB ﹣AE ＝t ，解得t ＝20﹣即可得出答案． 【详解】（1）∵矩形AOBC 的顶点C 的坐标是（2，4）， ∴OA ＝BC ＝4，OB ＝AC ＝2，AO ⊥OB ， ∵点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位， ∴AP ＝t ，BQ ＝t ， ∴CQ ＝BC ﹣BQ ＝4﹣t ； 故答案为：t ，4﹣t（2）①如图1，延长PE 交BC 于F ， ∵PE ⊥OA ，∠OAC=∠ACB=90°， ∴四边形APFC 是矩形， ∴PF ⊥BC ，CF ＝AP ＝t ， ∵PE ⊥AO ，AO ⊥OB ， ∴PE ∥OB ， ∴△APE ∽△AOB ，∴APAO＝PEOB，即1242t，解得：t＝1，∴BQ＝1，CF＝1，∴CQ＝4﹣1＝3，∴FQ＝CQ﹣CF＝2；即点Q到直线PE的距离为2．②延长PE交BC于F，则PF⊥BC，CF＝AP＝t，QF=12，①如上图1，当Q在P的下方时，由题意得：CF+FQ+BQ=BC=4，即t+12+t＝4，解得：t＝74；②当Q在P的上方时，如图2所示：由题意得：BQ+CF-QF=BC，即t+t-12=4，解得：t＝94，∴当点Q到直线PE的距离等于12时，t的值为74秒或94秒．（3）∵PE⊥AO，AO⊥OB，∴PE∥OB，∴△APE∽△AOB，∴PE APOB AO=，即24PE t=，解得：PE＝12t，∵OP＝4﹣t，∴E（12t，4﹣t），Q（2，t），①如图3，当QE＝BQ时，四边形EQBH是菱形，EH//BQ//y轴，延长PE交BC于F，则PF⊥BC，CF＝AP＝t，FQ=BC-CF-BQ=4-2t，EF=PF-PE=2-12t，∴（2﹣12t）2+（4﹣2t）2＝t2，解得：t＝2013，或t＝4（舍去），∴12t＝1013，∵EH//BQ//y轴，∴点H的横坐标为10 13，②如图4，当BQ＝EB时，四边形BQHE是菱形，则BE＝BQ＝t，EH//BQ//y轴，∵∠AOB＝90°，OB＝2，OA＝4，∴AB2224+5∵△APE∽△AOB，∴AE APAB AO=425t=∴AE5t，∴BE＝AB﹣AE＝25﹣5t，∴25﹣5t＝t，解得：t＝20﹣85，∴12t＝4＝10﹣45，∵EH//BQ//y轴，∴点H的横坐标为10﹣45，综上所述，点H的横坐标为1013或10﹣5【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质表示出PE、BE的长是解题关键．注意运用分类讨论的思想解题，避免漏解．20．1 2【解析】【分析】由条件可得AE ADAB AC＝，且∠A为公共角，则可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，∴AB=8，AC=10，∴4182AEAB==，51102ADAC＝＝，∴AE AD AB AC＝，∵∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， ∴12DE AD BC AC =＝． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键． 21．见解析 【解析】 【分析】如图，取一点O ，连接OA ，OB ，延长AO 到C ，使得OC ＝12OA ，延长BO 到D ，使得OD ＝12BO ，连接CD ．量出CD 的长记为a ，则AB ＝2a ． 【详解】如图，取一点O ，连接OA ，OB ，延长AO 到C ，使得OC ＝12OA ，延长BO 到D ，使得OD ＝12BO ，连接CD ．量出CD 的长记为a ，则AB ＝2a ． 理由：∵OA OC ＝OBOD＝2，∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD ，∴AB CD ＝OA OC ＝2， ∴2ABa=， ∴AB ＝2a ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．22．（1）239344y x x =-++；（2）R （3，3）；（3）1或83． 【解析】【分析】（1）求出A 、B 、C 的坐标，把A 、B 的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得出结论； （2）设R （t ，239344t t -++）．作RK ⊥y 轴于K ，RW ⊥x 轴于W ，连接OR ． 根据RBC COB RCO ROB COB RCOB S S S S S S =-=+-△△△△△四边形计算即可；（3）在RH 上截取RM =OA ，连接CM 、AM ，AM 交PE 于G ，作QF ⊥OB 于H ．分两种情况讨论：①点E 在F 的左边；②点E 在F 的右边．【详解】（1）当x =0时y =3，∴C （0，3），∴OC =3．∵OC =3OA ，∴OA =1，∴A （-1，0）．当y =0时x =4，∴B （4，0）．把A 、B 坐标代入得0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：3494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为239344y x x =-++． （2）设R （t ，239344t t -++）． 作RK ⊥y 轴于K ，RW ⊥x 轴于W ，连接OR ．∵211391=34(3)3422442RBC COB RCO ROB COB RCOB S S S S S S t t t =-=+-⨯+⨯⨯-++-⨯⨯△△△△△四边形 2362t t =-+ ∵92ROB S =△， ∴239622t t -+=，11t =（舍去），23t =， ∴R （3，3）．（3）在RH 上截取RM =OA ，连接CM 、AM ，AM 交PE 于G ，作QF ⊥OB 于H ． 分两种情况讨论：①当点E 在F 的左边时，如图1．∵CR =CO ，∠CRM =∠COA ，∴△CRM ≌△COA ，∴CM =CA ，∠RCM =∠OCA ，∴∠ACM =∠OCR =90°，∴∠CAM=∠CMA=45°．∵AC∥PE，∴∠CAM=∠AGE=45°．∵∠PEQ=45°，∴∠AGE=∠PEQ，∴AM∥EQ，∴∠MAH=∠QEF．∵∠QFE=∠MHA=90°，∴△QEF∽△MAH，∴QF EF MH AH．∵OA=1，OH=3，MH=RH-RM=3-1=2，∴AH=AO+OH=4，∴EF=2QF．设CP=m，∴QH CP m．∵OC=OH，∴∠OHC=45°，∴QF=FH=m，∴EF=2m，∴EH=3m．∵ACPE为平行四边形，∴AE=CP=m．∵EH=AH-AE=4-m，∴3m=4-m，∴m=1，∴CP=1．②当点E在F的右边时，设AM交QE于N．如图2．∵CR=CO，∠CRM=∠COA，∴△CRM≌△COA，∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，∴∠ACM=∠OCR=90°，∴∠CAM=∠CMA=45°．∵AC∥PE，∴∠CAM=∠AGE=45°．∵∠PEQ=45°，∴∠AGE=∠PEQ=45°，∴∠ENG=∠ENA=90°．∵∠EQF+∠QEF=90°，∠EAN+∠QEF=90°，∴∠EQF=∠MAB．∵∠QFE=∠AHM=90°，∴△QEF∽△AMH，∴QF EF AH MH，∴QF=2EF．设CP=m，∴QH2CP2m．∵OC=OH，∴∠OHC=45°，∴QF =FH =m ，∴EF =12m ， ∴EH =12m ． ∵ACPE 为平行四边形，∴AE =CP =m ．∵EH =AH -AE =4-m ，∴4-m =12m ， ∴m =83， ∴CP =83． 综上所述：CP 的值为1或83． 【点睛】本题是二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，注意要分类讨论．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠GCB +∠CBG ＝90，再由四边形ABCD 是正方形，得出∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ，即可得出结论；（2）取BC 中点P ，连接PD 交CG 于Q ，先证平行四边形PBFD ，进而可证PD 是CG 的垂直平分线，由此可得结论；（3）先证CGB CGN ≅△△得NG GB =，再证FMN BNC ∽△△得2FN NB NG MN NC NC ==，继续证得NCG NGH ∽△△得NG NH NC NG=进而可得结论． 【详解】证明：（1）∵BF ⊥CE ，∴∠CGB ＝90°，∴∠GCB +∠CBG ＝90，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ，∴∠FBA +∠CBG ＝90，∴∠GCB ＝∠FBA ，∴△ABF ≌△BCE （ASA ）；（2）如图，取BC 中点P ，连接PD 交CG 于Q ，∵F 是AD 中点∴//BP DF ，BP DF =∴PBFD 为平行四边形，∴//DP BF ，∴Q 是CG 中点，又BF CG ⊥，∴PD CG ⊥，∴PD 是CG 的垂直平分线，∴DC DG =，（3）∵E 是AB 中点，P 是BC 中点，∴ECB PDC ∠=∠，又∵CH DG ⊥，DQ CG ⊥∴HCG QDG ∠=∠，由（2）知：PDC QDG ∠=∠∴ECB HCG ∠=∠又∵90CGB CGN ︒∠=∠=，CG CG =，∴CGB CGN ≅△△∴NG GB =又∵FMN BNC ∽△△ ∴2FN NB NG MN NC NC== 又∵在Rt NGC △中，GH NC ⊥∴NCG NGH ∽△△ ∴NG NH NC NG=∴22FN NG NH MN NC NG==，∴2FN NG MN NH⋅=⋅．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定及性质是解本题的关键．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证出四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，得出AE=BF，AE∥BF，BD∥CE，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出AE=BF=3，BD=CE=6，求出QE=BP=13BD=2，证得△APB∽△EPD，求出EP=23AE=2，得出BP=EP，即可得出结论．【详解】（1）∵AC∥DF，AB=EF，BC=DE，∴四边形ABFE和四边形BCED都是平行四边形，∴AE∥BF，BD∥CE，∴四边形BPEQ为平行四边形；（2）由（1）得：四边形ABFE、四边形BCED和四边形BPEQ为平行四边形，∴AE=BF=3，BD=CE=6，∵DP=2BP，∴QE=BP=13BD=2，∵AC∥DF，∴△APB∽△EPD，∴APEP=BPDP=12，∴EP=23AE=2，∴BP=EP，∴四边形BPEQ为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题2（附答案详解）1．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，:1:3AD AB =，:ADE DEBC S S ∆四边形等于（ ）A ．1:3B ．1:8C ．1:9D ．1:42．如图，球从A 处射击，经过台边挡板CD 反击，击中球B ；已知AC=10cm ，BD=15cm ，CD=50cm ，则点E 距点C 的距离是A ．20cmB ．30cmC ．15cmD ．35cm3．若两个相似三角形的相似比是1:5，那么它们的周长之比是（ ）A ．1:5B ．1:5C ．1:10D ．1:25 4．已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为（ ）A ．90米B ．80米C ．45米D ．40米 5．如图，点()2,23A ，()1,0N ，60AON ∠=，点M 为平面直角坐标系内一点，且MO MA =，则MN 的最小值为( )A ．1B ．32C ．3D ．26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，E 为AC 边上的点且AE ＝2EC ，点D 在BC 边上且满足BD ＝DE ，设BD ＝y ，S △ABC ＝x ，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y＝1810x 2+52 B ．y ＝4810x 2+52 C ．y ＝1810x 2+2 D ．y ＝4810x 2+2 7．若一对相似三角形的相似比为1:3，则这对三角形的面积比为（）A ．1:3B ．3:1C ．1:9D ．1: 3 8．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，且CE =12BC ，则ADFEBA S S =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．499．如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A 、B 两点．一个半径为1.5的⊙C ，圆心C 从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C 与直线相切时，则该圆运动的时间为（ ）A ．3秒或6秒B ．6秒C ．3秒D ．6秒或16秒10．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线， BC ∥OD 交⊙O 于点C ，若AB=2,OD=3，则BC 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形GEHF 是菱形，则AE 的长是（ ）A ．5B ．254C ．33D ．52 12．如图，四边形ABCD ，EFGH 都是平行四边形，点O 是ABCD 内的一点，点E 、F 、G ，H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的一点，EF //AB ，OA= 3OE ，若阴影部分的面积为S ，则ABCD 的面积为( )A ．6SB ．18SC ．24SD ．32S13．在ABC △中，点D 在AB 上，3AD DB =，点E 在AC 上，且3AE EC =，若8BC =，则DE 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．614．已知：如图，小华在打羽毛球时，扣球要使球恰好能打过网，而且落在离网前4米的位置处，则球拍击球的高度h 应为（ ）A ．1.55mB ．3.1mC ．3.55mD ．4m15．若ABC DEF ∽，ABC 与DEF 的相似比为2:3，且ABC 的周长为18，则DEF 的周长为（ ）A ．12B ．27C ．54D ．8116．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，25AC =，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴正半轴上，点A 的坐标为()2,0.则直角边BC 所在直线的解析式为__________．17．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FE ⊥AD ，EG =15里，HG 经过A 点，则FH =__里.18．如图，DE 交△ABC 边AC 、BC 的延长线分别于D 、E 两点，且DE AB ∥，若23CD AC =，则△CDE 与△ABC 的面积比为_________．19．如图，已知ABCD ，BE AD ⊥于E ，F 为AB 中点，连接EF ，将BEF ∆向右平移到HDG ∆，使B 与H 重合，E 与D 重合，F 与G 重合，连接DF ，HF ，EH ，若G 为DFH ∆的高的交点，2AE =，8BH =，则F 到EH 的距离为________．20．如图所示，在锐角三角形ABC 中，6,12AB cm AC cm ==，点D 从点A 出发以1/cm s 的速度运动到点B 停止，点E 从点C 出发以2/cm s 的速度运动到点A 停止，如果两点同时开始运动，那么以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，运动时间为___s .21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则下列结论：①△ADF ≌△FEC ；②四边形ADEF 为菱形；③:1:4ADF ABC S S ∆∆=．其中正确的结论是____________.（填写所有正确结论的序号）22．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2cm ，AB ＝8cm ，E 是AB 上一点，连接DE 、CE ．若满足∠DEC ＝90°的点E 有且只有一个，则BC ＝ cm ．23．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工出一个边长比是1∶2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为_____．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到Rt △A′DE，A′C′交AB 于点E ，若AD=BE ，则AD 的长为_____25．如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了______时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切.26．如图，DE 是△ABC 的中位线，若△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为__________．27．如图，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则△AEF 与△ABC 的面积之比为 ．28． 如图，若△ADE ∽△ACB ，且23AD AC ,若四边形BCED 的面积是2，则△ADE 的面积是_________．29．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ，若AC=8，BC=6，则线段DE 的长度为______．30．如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C ，使CB′∥AB ，分别延长AB ，CA′相交于点D ，则线段BD 的长为 ．31．如图1，将菱形纸片()()AB E CD F 沿对角线()BD EF 剪开，得到ABD 和ECF ，固定ABD ，并把ABD 与ECF 叠放在一起．()1操作：如图2，将ECF 的顶点F 固定在ABD 的BD 边上的中点处，ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA 于点H （H 点不与B 点重合），FE 交DA 于点G （G 点不与D 点重合）． 求证：2BH GD BF ⋅=()2操作：如图3，ECF 的顶点F 在ABD 的BD 边上滑动（F 点不与B 、D 点重合），且CF 始终经过点A ，过点A 作//AG CE ，交FE 于点G ，连接DG ． 探究：FD DG +=________．请予证明．32．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项．（1）求证：∠CDE=12∠ABC ； （2）求证：AD•CD=AB•CE ．33．如图，在Rt △ABC 中∠ABC=90°，BA=BC,P 在△ABC 的内部，且∠APB=135°，PA:PC=1:3,求PA:PB34．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线B ACP于F ，若12CF BC =，AD 的长为6，求BF 的长及CE DC的值.35．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，以边BC 为直径作O ，交AB 于D ，DE 是O 的切线，过点B 作DE 的垂线，垂足为E .（1）求证：ABC ABE ∠=∠；（2）求DE 的长.36．已知：在△ABC 中，AC=BC ，点D 在△ABC 外部，且∠ACB+∠ADB=180°，连接AB 、CD ．(1)如图1，当∠ACB=90°时，则∠ADC=______°. (2)如图2，当∠ACB=60°时，求证：DC 平分∠ADB ．37．四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AD=8，EB 、EC 是⊙O 的两条，切点分别为B 、C ，P 是边AB 上的动点，连接DP ．（1）如图1，当点P 与点B 重合时，连接OC ．①求∠E 的度数；②求CE的度数；（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；②若，求DP的长度．38．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC=10，AC2=AD·AB．（1）证明△ACD∽△ABC．（2）如图2，过点C作CE∥AB，且CE=6，连结DE交BC于点F；①若四边形ADEC是平行四边形，求CFCB的值；②设AD=x，CDCF=y，求y关于x的函数表达式．39．（12分）如图，在平面直角坐标系中．顶点为（﹣4，﹣1）的抛物线交y轴于点A （0，3），交x轴于B，C两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积．（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．40．已知：如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA BD BC BE⋅=⋅（1）求证：DE AB AC BE⋅=⋅；（2）如果2AC AD AB=⋅，求证：AE AC=．41．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′．（I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标；（II）设直线BO′与x轴相交于点F．①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标；②当OM=32时，求点F的坐标（直接写出结果即可）42．矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF，设AE=x，△FCG的面积=y. （1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值；（2）如图2，①求y与x之间的函数关系式与自变量的取值范围；②连接AC，当EF∥AC时，求x和y的值；③当△CFG是直角三角形时，求x和y的值.43．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，AB＝3，点E、F在直线AB上，且∠ECF＝60°．（1）求AC边的长；（2）如图1，点E、F在线段AB上时，若EF＝AF，求证：BE＝EF；（3）如图2，F在AB上，E在AB的延长线上时，AF＝m，BE＝n，则n＝（用含m的式子表示）．44．44．（本题满分10分）如图，△ABC中，AB=AC=45，cosC=55．（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC 的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DE CE；②求点D到BC的距离．45．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的13.(1)直接写出点D的坐标;(2)过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．①求证：OF=OG；②求点F的坐标．(3)在(2)的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．47．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论；（2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝5BE＝5ODC＝45°．①求AB的长．②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．48．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的正半轴上，(0,2)A ，(1,0)B -.(1)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴；(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，PAC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标；(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M ，使得MPC ∆为等腰三角形(P 为上述(2)问中使S 最大时的点)？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点M 是直线AC 上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在位于直线AC 下方的点N ，使得以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．49．操作：小明准备制作棱长为1cm 的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A 、B 、C ；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点. 纸片利用率=×100%发现：（1）方案一中的点A 、B 恰好为该圆一直径的两个端点． 你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%． 请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程． 探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．50．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合)，点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】由条件证明△ADE ∽△ABC ，求得其相似比，再利用相似三角形的性质可求得ADE ABCSS，利用分比的性质即可求得答案． 【详解】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴22ADE ABC11()()39S AD SAB ===， ADEADEABCADEDEBC11918SS S SS===--四边形． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．A 【解析】试题分析：易得∠ACE=∠BDE=90°，利用入射角等于反射角可得∠BED=∠AEC ，那么可得△ACE ∽△BDE ．利用相似三角形的对应边成比例可得CE 的长． 试题解析：∵∠BED=∠AEC ，∠BDE=∠ACE=90°， ∴△ACE ∽△BDE ． ∴， ．∴EC=20（cm ）． 故选A ．考点：相似三角形的应用．3．B【解析】【分析】根据相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】两个相似三角形的相似比为1:5，∴它们对应周长的比为1:5．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．4．C【解析】【分析】先由小明的身高与影子的长度可得出比例，将该比例运用到塔和塔的影子中即可得出塔的高度.【详解】解：设塔高为x，有1.5x==260=小明的身高塔的高度小明影子的长度塔影子的长度，即可得到x=45米，故选：C.【点睛】本题考查了相似的概念，找出相似比是解决本题的关键.5．B【解析】【分析】MO=MA，即：M在线段OA的中垂线上；NM长度最小，从N向中垂线作垂线；所以，M 是OA的中垂线与N向中垂线作垂线的交点，即可求解．【详解】∵MO=MA，∴M在线段OA的中垂线上，NM长度最小，从N向中垂线作垂线，∴MN∥AO，即：M是OA的中垂线与N向中垂线作垂线的交点．在Rt△OPQ中，OQ=12OA=2，∠AON=60°，∴OP=4，NP=OP﹣ON=3．∵MN∥AO，∴△MNP∽△QOP，∴MN PNOQ OP=，则：MN=32．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质，涉及到中垂线、线段平行性质等知识点，综合性较强，难度适中．6．A【解析】【分析】过A点作△ABC的高AH，过E点作EG垂直于BC，垂足为G. Rt△EDG中根据勾股定理可用x来表示EG=1025y-，由已知可知AH=3EG，即可得到△ABC的面积S△ABC=x=91025y-，通过变形即可得到答案.【详解】解：过A点作△ABC的高AH，过E点作EG垂直于BC，垂足为G.∴EG∥AH，∴GC AE EG CH AC AH==,又∵AE=2EC，∴GC=13CH ，EG=13AH ∵AB=AC ，BC =6，∴CH=BH=3，GC=1，BG=5， 在Rt △EDG 中，222EG DG ED +=, ∵设BD =y ，则DG=5-y ，BD=DE=y ，∴∴AH=∴△ABC 的面积S △ABC =12BC AH ⨯⨯=162⨯⨯即：x =∴y ＝1810x 2+5225 故选A 【点睛】本题考查了几何动点问题，利用勾股定理找到三角形高与BD 的数量关系是解题关键.再利用三角形面积公式转化即可得到函数解析式. 7．C 【解析】 【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得这两个三角形的面积比． 【详解】∵两个相似三角形的相似比为1:3， ∴这两个三角形的面积比为1:9. 故选C. 【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 8．D 【解析】【分析】利用平行四边形的性质先证△ADF∽△ECF ，△ECF ∽△EBA ，即可得出△ADF ∽△EBA ，然后利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方可以得到答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BE ，CD ∥AB ，AD =BC ， ∴△ADF ∽△ECF ，△ECF ∽△EBA ， ∴△ADF ∽△EBA ， ∵CE =12BC ， ∴BE =CE +BC =CE +AD =3CE ， ∴23AD BE =， ∴224()39ADF EBAS S==. 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质.利用平行证明两个三角形相似是解题的关键. 9．D 【解析】试题解析：如图，∵x=0时，y=-4，y=0时，x=3，∴A（3，0）、B（0，-4），∴AB=5，当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，则C到AB的距离等于1.5，∴CB=1.5÷sin∠ABC=1.5×=2.5；∴C运动的距离为：1.5+（4-2.5）=3，运动的时间为：3÷0.5=6；同理当C在B下方，直线与圆相切时，连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）=8，运动的时间为：8÷0.5=16．故选D．10．B【解析】试题分析：根据BC∥OD可得∠B=∠AOD，根据直径和切线的性质可得∠C=∠OAD=90°，则△ABC∽△DOA，则，即，解得：BC=.考点：（1）三角形相似；（2）圆的基本性质.11．B【解析】【分析】先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】如图，连接EF，交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠D=90°,AB ∥CD ， ∴∠ACD=∠CAB ，在△CFO 与△AOE 中，FCO OAB FOC AOE OF OE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CFO ≌△AOE(AAS)，∴AO=CO ，∵AC= =10，∴AO=12AC=5， ∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°，∴△AOE ∽△ABC ， ∴AO AB =AE AC， ∴58=10AE ， ∴AE=254. 故选B.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质和相似三角形的判定与性质.12．B【解析】【分析】过O 点作OM ⊥AB 于点M ，延长MO 与CD 交于点N ，易得ON ⊥CD ，由平行四边形面积公式和三角形面积公式可推出S △OAB +S △OCD =12ABCD S ，再由相似三角形面积比等于相似比的平方可得S △OEF =19S △OAB ，S △OGH =19S △OCD ，进而得出阴影部分面积与ABCD 面积之间的关系，即可得出答案.【详解】如图，过O 点作OM ⊥AB 于点M ，延长MO 与CD 交于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD ，AB=CD∴ON ⊥CD∵S △OAB =1AB OM 2⋅，S △OCD =12CD ON ⋅，ABCD S =AB MN ⋅∴S △OAB +S △OCD =()11AB OM+ON =AB MN 22⋅⋅=12ABCD S∵EF ∥AB ∴△OEF ∽△OAB ，∴EF OE 1==AB OA 3， ∴2OEFOABS EF 1==S AB 9⎛⎫ ⎪⎝⎭，即S △OEF =19S △OAB ， ∵四边形EFGH 是平行四边形∴EF ∥GH ，EF=GH又∵EF ∥AB ，AB ∥CD∴GH ∥CD∴△OGH ∽△OCD ，∴22OGHOCD S GH EF 1===S CD AB 9⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即S △OGH =19S △OCD ，∴阴影部分面积S=S △OEF +S △OGH =()OAB OCD ABCD ABCD 1111S S =S =S 99218+⨯， ∴ABCD S =18S故选B.【点睛】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质得到相似三角形，利用面积比等于相似比的平方建立关系式是解题的关键.13．D【解析】 【分析】根据∆ADE ~∆ABC ，推出DE AD BC AB =即384DE =，即可求出DE. 【详解】解：∵3AD DB =，3AE EC =，∠A=∠A∴34AD AE AB AC == ∴∆ADE ~∆ABC ∴DE AD BC AB =即384DE = ∴DE=6.故选D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据3AD DB =，3AE EC =推出∆ADE ~∆ABC 是解题的关键.14．B【解析】【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE ∥BC 可知，△ADE ∽△ACB ，根据其相似比即可求解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE∽△ACB，即DE AE BC AB=，则1.55444h=+，∴h＝3.1m．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质．15．B【解析】【分析】设△DEF的周长为x，再根据相似三角形的性质即可得出结论.【详解】设△DEF的周长为x,，∵△ABC与△DEF的相似比为2:3，且△ABC的周长为18，∴182=x3，解得x＝27，故选B.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键.16．y=12x+4【解析】【分析】根据题意可得△AOC与△COB相似，根据对应边成比例即可得到BO的长，利用待定系数法故可求解．【详解】∵A（2，0）∴AO=2，在Rt△AOC中，224AC AO-=，∴C （0，4）∵90ACB ∠=︒∴90ACO BCO ∠+∠=︒，又90ACO CAO ∠+∠=︒∴BCO CAO ∠=∠，又90AOC COB ∠=∠=︒∴△AOC ∽△COB ∴AO CO CO BO =,即244BO= ∴BO=8∴B （-8，0）设直线BC 的解析式为y=kx+b把B （-8，0），C （0，4）代入得084k b b =-+⎧⎨=⎩解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴边BC 所在直线的解析式为y=12x+4 故答案为：y=12x+4． 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定及一次函数解析式的求解，解题的关键是熟知待定系数法的应用．17．1.05【解析】∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过A 点，∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°，∠FHA ＝∠EAG ，∴△GEA ∽△AFH ，∴EG EA AF FH=． ∵AB ＝9里，DA ＝7里，EG ＝15里， ∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里，∴15 4.53.5FH =， 解得FH ＝1.05里．故答案为1.05．18．4:9【解析】【分析】先判断△CDE∽△CAB，再根据相似的性质即可做出解答．【详解】解：∵DE AB∥，∴∠D=∠A，∠E=∠B，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE与△CAB面积比为CD2：CA2=4∶9．故答案为：4:9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，明确相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．19．3【解析】【分析】延长HG交FD于N点，过F点作FM⊥EH，由直角三角形斜边中线性质得AF=EF=BF，利用平移、等腰三角形性质、垂直等条件证明角相等从而可得ABE ADF△△，根据相似三角形性质求出AF长，再由勾股定理即可求出BE、FD、EH等线段长，有勾股定理逆定理证△是直角三角形，从而由三角形面积求出斜边的高．明EFH【详解】解：延长HG交FD于N点，过F点作FM⊥EH，于E，即∠BED=∠EBH=90°，F为AB中点，∵BE AD∴AF =EF =BF ，∴∠FEB =∠FBE ，∠F AE =∠FEA ，由平移性质可知：∠HDE =∠DHB =90°，∠GHD =∠GDH =∠FEB =∠FBE ，∠AEF =∠GDA ， ∴四边形BHDE 是矩形，∴BH =DE =8，∵G 为DFH ∆的高的交点，∴∠GHD +∠FDH =90°，又∵∠FDH +∠FDA =90°，∴∠FDA =∠GHD ,∴∠FDA =∠ABE ，∴∠AFD =∠AEB =90°，又∵∠A =∠A ,∴ABE ADF △△ ， ∴AE AF AB AD=， ∵2AE =，2810AD AE ED =+===， ∴2210AF AF =，∴AF =∴在Rt ABE △中，6BE ===在Rt AFD 中，FD ===在Rt DHE △中，10HE ===易证()FED FBH SAS ≅∴在EFH △中(22222100EF FH EH +=+==，∴EFH △是直角三角形，∠EFH =90°，∴1122S EF FH EH FM ==1102FM =⨯， ∴3FM =．即F 到EH 的距离为3．故答案为：3．本题考查了平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平移性质等知识，解题的关键是由平的性质和角的代换从而证明ABE ADF △△从而求出AF 长，属于中考选择题中的压轴题．20．3或4.8【解析】【分析】根据题意得到~ADE ABC 或~ADE ACB ，利用相似三角形对应边成比例，列出比例式，即可求得答案.【详解】设运动时间为x 秒时，~ADE ABC根据题意：AD x =，2CE x =，则12AE x =-∵~ADE ABC ， ∴AD AE AB AC=， ∴12612x x -= 解得：3x =设运动时间为x 秒时，~ADE ACB根据题意：AD x =，2CE x =，则12AE x =-∵~ADE ACB ， ∴AD AE AC AB= ∴12126x x -= 解得： 4.8x =故答案是：3或4.8【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键，注意要分类讨论.21．①②③【解析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE 、AF=FC 、DF=EC ，进而可证出△ADF ≌△FEC （SSS ），结论①正确；②根据三角形中位线定理可得出EF ∥AB 、EF=AD ，进而可证出四边形ADEF 为平行四边形，由AB=AC 结合D 、F 分别为AB 、AC 的中点可得出AD=AF ，进而可得出四边形ADEF 为菱形，结论②正确；③根据三角形中位线定理可得出DF ∥BC 、DF=12BC ，进而可得出△ADF ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质可得出14ADF ABC S S =，结论③正确．此题得解． 【详解】 解：①∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，∴DE 、DF 、EF 为△ABC 的中位线，∴AD=12AB=FE ，AF=12AC=FC ，DF=12BC=EC ． 在△ADF 和△FEC 中，AD FE AF FC DF EC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△FEC （SSS ），结论①正确；②∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，EF=12AB=AD ， ∴四边形ADEF 为平行四边形．∵AB=AC ，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴AD=AF ，∴四边形ADEF 为菱形，结论②正确；③∵D 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴DF 为△ABC 的中位线，∴DF ∥BC ，DF=12BC ， ∴△ADF ∽△ABC ，∴214ADFABC S DF S BC ==（），结论③正确． 故答案为①②③．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．22．8【解析】试题分析：由题题证得△ADE ∽△BEC ，再根据相似三角形的性质即可作出判断. 由题题易证得△ADE ∽△BEC∴∵AD ＝2cm ，AB ＝8cm∴∵满足∠DEC ＝90°的点E 有且只有一个∴BC ＝8 cm ．考点：梯形的性质，相似三角形的判定和性质点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.23．2.4cm 或2411cm 【解析】试题分析：如图，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，设平行四边形的短边为x 厘米，①若BE 是平行四边形的一个短边，则CE=6﹣x 厘米，EF=2x 厘米．∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CBA ． ∴AD DF AB BC =，即AD DFAB BC =，解得x=2411厘米． ②若BD 是平行四边形的一个短边，则AD=8﹣x 厘米，DF=2x 厘米． ∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ． ∴8x 2x86-=，即，解得x=125厘米． 综上所述，短边为2411厘米或125厘米．24．3或257． 【解析】 【分析】在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=A′D ，设AD=A′D=BE=x ，则DE=10-2x ，根据得到Rt △A′DE ，可以分两种情况进行讨论. 【详解】Rt △ABC 中,由勾股定理求2210AB AC BC =+=，由旋转的性质,设AD =A ′D =BE =x ，则DE =10−2x ， ∵△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转得到Rt △A′DE ， ①∠A ′=∠A ,90A DE C ∠'=∠=， ∴△A ′DE ∽△ACB ， ∴,DE BC A D AC ='即1028,6x x -= 解得x =3， ②∠A ′=∠A ,90A ED C ∠'=∠=， ∴△A ′ED ∽△ACB ，∴,DE BC A D AB ='即1028,10x x -= 解得25.7x = 故答案为：3或257． 【点睛】考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论，不要漏解.25．【解析】【分析】设点的运动时间为秒.当以点为圆心，为半径的圆与直线相切时，易证，得到，，进而求出EF长度，再利用勾股定理列出方程解出t即可，注意t的取值范围【详解】设点的运动时间为秒.当以点为圆心，为半径的圆与直线相切时，，又，，所以，.因为点是的中点，所以，因为，，所以，则得，所以.在中，由勾股定理可知，所以，解得或，因为，所以.故答案为.【点睛】本题考查图形运动、直角三角形以及相似三角形，能够找出相似三角形是本题解题关键26．3【解析】【分析】利用△ADE∽△ABC，求出△ABC的面积，则可求出四边形DBCE的面积.【详解】∵DE是△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，则S△ADE：S△ABC=1:4，∴S△ABC=4，则S四边形DBCE=4-1=3.【点睛】此题主要考察相似三角形的应用.27．1:4．【解析】试题解析：∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF=12BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴21()4AEF ABC S EF S BC ∆∆==． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．． 28．85【解析】 【分析】根据题意求出△ADE 与△ACB 的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ADE ∽△ACB ，且23AD AC ， ∴△ADE 与△ACB 的面积比为：49， ∴△ADE 与四边形BCED 的面积比为：45， 又四边形BCED 的面积是2， ∴△ADE 的面积是85． 故答案为85【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 29．154【解析】 【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式AE DEAC BC=，代入求出DE长即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴，∵DE垂直平分AB，∴∠DEA=90°，AE=11AB1022=⨯=5，∴∠DEA=∠C，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴AE DE AC BC=，即5DE 86 =∴DE=154．故答案为154．【点睛】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．30．6.【解析】试题分析：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，AB＝2，AC＝4，∴A′B′＝AB＝2，AC′＝AC＝4，∠CA′B′＝∠A.又∵CB′∥AB，∴∠A′CB′＝∠A. ∴△A′CB′∽△DAC.∴CA A BAD AC'''=，即4284ADAD=⇒=. ∴BD=6.考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质. 31．（1）证明见解析；（2）BD，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．【详解】(1)∵将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，∴∠B=∠D，∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF，∵∠HFG=∠B，又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴BF BH DG DF，∴BH⋅GD=BF2；(2)∵AG∥CE,∴∠FAG=∠C，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，又∵AB=AD，∴△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=BD，故答案为BD.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质, 菱形的性质, 旋转的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.32．(1)证明见解析;(2)证明见解析; 【解析】试题分析:(1)根据BD是AB与BE的比例中项可得BA BDBD BE=, BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=∠DBE,可证△ABD∽△DBE,∠A=∠BDE. 又因为∠BDC=∠A+∠ABD,即可证明∠CDE=∠ABD=12∠ABC,(2)先根据∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,可判定△CDE∽△CBD,可得CE DECD DB=.又△ABD∽△DBE,所以DE ADDB AB=,CE ADCD AB=,所以AD CD AB CE⋅=⋅.试题解析:（1）∵BD是AB与BE的比例中项,∴BA BD BD BE=,又BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBE, ∴△ABD∽△DBE,∴∠A=∠BDE.又∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠CDE=∠ABD=12∠ABC,即证.（2）∵∠CDE=∠CBD,∠C=∠C, ∴△CDE∽△CBD,∴CE DE CD DB=.又△ABD∽△DBE,∴DE AD DB AB=,∴CE AD CD AB=,∴AD CD AB CE⋅=⋅.33．1：2.【解析】试题分析：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使得AB与BC重合，根据旋转的性质可得△BPP′是等腰直角三角形，然后求出PP′，即可求出PA:PB．试题解析：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使得AB与BC重合，则P′C=PA，∠BPA=∠B P′A=135°,△BPP′是等腰直角三角形，。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试题2（附答案详解）1．如图，已知△ADE ∽△ABC ，若AD ：AB =1：3，△ABC 的面积为9，则△ADE 的面积为A ．1B ．3C ．27D ．812．如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止.点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm 秒.如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ ABC 相似时，运动的时间是( )A ．3或2.8B ．3或4.8C ．1或4D ．1或63．如图为一△ABC,其中D ．E 两点分别在AB 、AC 上,且AD=31,DB=29,AE=30,EC=32.若∠A=50°,则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系,下列何者正确?()A ．∠1>∠3B ．∠2=∠4C ．∠1>∠4D ．∠2=∠34．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =.P 是AB 边上一动点，PD AC ⊥于点D ，点E 在P 的右侧，且1PE =，连结CE .P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积12S S +的大小变化情况是（ ）.A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点， CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝( )A ．2.8B ．2.7C ．2.1D ．2.46．如图，先将矩形ABCD 沿三等分线折叠后得到折痕PQ ，再将纸片折叠，使得点A 落在折痕PQ 上E 点处，此时折痕为BF ，且AB ＝9．则AF 的长为（ ）A ．4B ．559C ．955D ．57．如图，A 、B 两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一他点C ，然后测出AC ，BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为18m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )A ．AB ＝36m B ．MN ∥ABC ．MN ＝12CBD ．CM ＝12AC 8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，:2:3DE EC =，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若2DEF S ∆=，则ABE S ∆=（ ）A ．15.5B ．16.5C ．17.5D ．18.59．如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，点D 为圆上一点，连接AD ，分别过点B 和点C 作AD 延长线的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接BD 、CD ，已知EB =3，FC =2，现在有如下4个结论：①∠CDF =60°；②△EDB ∽△FDC ；③BC =28；④35ADB EDB S S =，其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．410．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（ ）A ．4：9B ．2：3C ．8：18D ．16：8111．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝_____． 12．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，1AD =，3BC =，AC 与BD 相交于点O ，AOD △的面积为3，则BOC 的面积是______．13．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，且∠CAB ＝∠CBD ．已知AB ＝4，AC ＝6，BC ＝4.5，BD ＝5，则DE ＝_____．14．已知两个相似三角形的相似比为2:3，面积之差为25cm 2，则较大三角形的面积为______ cm 2.15．如图，已知 DE ∥BC ，AD =6cm ，BD =8cm ，AC =12cm ，则S △ADE :S 四边形DBCE =______.16．如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m ，1.6m ，小华、小强之间的水平距离为15.6m ，小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为4m ，3.2m ，则这盏路灯的高度为___m ．17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．.如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P 移动的时间为t秒．当t=____________ 秒时△APQ与△ABC相似.19．如图，EF∥BC，若AE：EB＝2：1，EM＝1，MF＝2．则BN：NC＝_____．20．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB=5，BC=3，则CDAD的值为______．21．（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE BF⊥于点G，求证：AE BF=；（2）如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E ，F 分别在边CD ，AD 上，AE BF ⊥于点M ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的基础上，若AB m =，BC n =，其他条件不变，请直接写出AE 与BF 的数量关系.22．如图1，矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．（1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（3）如图2，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．探究：当点M 、N 在移动过程中，线段EF 与线段PB 有何数量关系？并说明理由．23．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 在边AD 上，连接BE ，在BE 上取点F ，连接AF 并延长交BD 于H ，且∠AFE ＝60°，过C 作CG ∥BD ，直线CG 、AF 交于G ．(1)求证：∠F AE ＝∠EBA ；(2)求证：AH ＝BE ；(3)若AE ＝3，BH ＝5，求线段FG 的长．24．如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）若AD＝4，AC＝9，求AB的长．25．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P.当M运动到点A时，点M、N同时停止运动.设点M运动时间为t.(1)线段AN的取值范围是______.(2)当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值.②若△BNP与△MNA相似，求CM的长.(3)当2＜t＜5时，若△BNP是等腰三角形，求CM的长.26．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CF CA=，连结AF，ACF∠的平分线分别交AF、AB、BD于点E、N、M.（1）已知2BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段CM与AF的数量关系并加以证明.27．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．28．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．(1)求证：∠BAC＝∠AED；(2)在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：AD AF BC AC=．参考答案1．A【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算. 【详解】解：∵△ADE∽△ABC，且AD：AB=1：3，∴213ADEABCSS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵△ABC的面积为9，∴1 99ADES=，∴ADES=1.故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即面积比等于相似比的平方.2．B【解析】【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．【详解】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3；②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8．所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注意运用方程思想解题．3．D【解析】【分析】本题需先根据已知条件得出AD 与AC 的比值，AE 与AB 的比值，从而得出△ADE ∽△ACB ，最后即可求出结果．【详解】∵AD=31，BD=29，AE=30，EC=32，∴AB=31+29=60，AC=30+32=62， ∴3161==22AD AC ， 3061==02AE AB ， ∴=AD AE AC AB， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠2=∠3，∠1=∠4，故选：D.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于得出AD 与AC 的比值4．C【解析】【分析】设PD=x ，AB 边上的高为h ，想办法求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，∴AB ==设PD x =，AB 边上的高为h ，则AC BC h AB ⋅== ∵PD BC ，∴PD AD BC AC=，则2AD x =，AP =， 当点E 到达点B 时， ∵PD BC ，∴PD AEBC AB =，即2PD =，解得25PD =-，∴025x <≤-.∴()12112122S S x x +=⋅⋅+-()213x =-+-. 故当01x <≤时，12S S +的值随x 的增大而减小；当12x <≤12S S +的值随x 的增大而增大. 故选C.【点睛】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．5．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质得出△ABE ∽△FCB ，得出AB BE FC BC=，进而得出答案． 【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠CBF ，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE ∽△FCB ，∴AB BE FC BC=，∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，∴BE=2.5，∴2 2.53 FC=，解得：FC=2.4．故选：D．【点睛】此题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABE∽△FCB是解题关键．6．C【解析】【分析】作EM⊥AD于M，交BC于N．只要证明△EMB∽△BNE，可得BE：EF=BN：EM，由此即可解决问题.【详解】解：作EM⊥AD于M，交BC于N．在Rt△BEN中，BE＝AB＝9，EN＝6，∴BN229635-=∵∠FEM+∠BEN＝90°，∠BEN+∠EBN＝90°，∴∠FEM＝∠EBN，∵∠FME＝∠ENB＝90°，∴△EMB∽△BNE，∴BE：EF＝BN：EM，∴9：EF＝53，∴EF ，∴AF ＝EF ＝5． 故选C ．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．7．C【解析】【分析】通过构造相似三角形即可解答.【详解】解：根据题意可得在△ABC 中△ABC ∽△MNC ，又因为M.N 是AC ，BC 的中点，所以相似比为2:1，MN//AB,B 正确, CM=12AC,D 正确. 即AB=2MN=36，A 正确; MN=12AB ，C 错误. 故本题选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定与运用，熟悉掌握是解题关键.8．C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABF ，再根据同高的三角形的面积之比等于底的比得出△BEF 的面积，则ABE S ∆= ABF S ∆+BEF S ∆即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=2：3，∴DE ：AB=2：5，DF ：FB=2：5，∵DEF S ∆=2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴DEF S ∆：ABF S ∆ =4:25，即ABF S ∆=DEF S ∆254⨯=12.5， ∵同高的三角形的面积之比等于底的比，△DEF 和△BEF 分别以DF 、FB 为底时高相同， ∴DEF S ∆：BEF S ∆= DF ：FB=2：5，即BEF S ∆=DEF S ∆52⨯=5， ∴ABE S ∆= ABF S ∆+BEF S ∆=12.5+5=17.5，故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比，解题的关键是掌握相似三角形的性质．9．B【解析】【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识一一判断即可．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC=60°，故①正确．∵∠BDE=∠ACB=60°，∴∠BDE=∠CDF=60°，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠E=∠F=90°，∴△EDB∽△FDC，故②正确．∵，DF=2，∴∴．过点C作CG⊥BE于点G．∴四边形EGCF是矩形，∴EG=FC=2，CG=EF=3，∴BG=BE-EG=1．在Rt△BGC中，由勾股定理可得：，故③错误．在Rt△AEB中，由勾股定理可得：∴∴AD：DE=2：3．∴S△ADB=23S△EDB，故④错误．故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．D【解析】∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴这两个相似三角形的相似比为4：9，∴面积比为16：81．故选D．点睛：相识三角形的周长比等于相识三角形的相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方.11．1【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABC：S△A′B′C′＝AB2：A′B′2＝1：2，∴AB：A′B′＝1故答案为：1【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解本题的关键.12．27【解析】【分析】首先证明△AOD∽△COB，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出BOC的面积. 【详解】解：∵AD BC∥，∴△AOD∽△COB，∴219 AODBOCS ADS BC，∵AOD△的面积为3，∴BOC的面积是27，故答案为：27.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.13．2【解析】先证明△ABC∽△BEC，根据相似三角形对应边成比例列出等比式，将AB＝4，AC＝6，BC＝4.5，BD＝5代入即可求得DE.【详解】解：∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，∴AB AC BE BC=，∵AB＝4，AC＝6，BC＝4.5，BD＝5，∴465 4.5DE=-，解得：DE＝2．故答案为：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，能结合图形以及题意判断△ABC与△BEC相似并加以证明是解决此题的关键.14．45cm2【解析】【分析】先根据两个相似三角形的相似比求出其面积比为4:9，再设较大三角形的面积为9x，则较小的三角形面积为4x,再列出方程即可求得.【详解】∵这两个相似三角形的相似比为2:3∴面积比为4:9，设设较大三角形的面积为9x，较小的三角形面积为4x,根据题意可列方程：9x-4x=25,解得x=5,∴较大三角形的面积为45 cm2.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是根据面积比设出较大三角形的面积. 15．9：40【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE:S△ABC=2 AD AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵AD=6cm，AB=14cm，∴S△ADE:S△ABC=36:196，∴S△ADE:S四边形DBCE=36: (196-36)=9:40.故答案为：9:40.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握相似三角形的性质. 16．9.5．【解析】【分析】作出图形，得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列式计算即可求解．【详解】如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴CD DEAB BE=，FN MNFB AB=，即1.8 1.81.8BD AB=+，1.6 1.61.615.6BD AB=+-，解得：AB＝9.5m，故答案为9.5．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．2.0或3.3【解析】【分析】由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别由△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可得答案．【详解】∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），∴OA==5，OB=7，AB==4，若△OA′D∽△OAB，则，设AD=x，则OD=5﹣x，A′D=x，即，解得：x≈2.2，∴，∴OA′=2.0；若△OA′D∽△OBA，则，同理：可得：OA′≈3.3．故答案为：2.0或3.3．【点睛】此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解是解题关键．18．3011 或5013【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①当∠APQ=90°时，△APQ ∽△ABC ，求出t 的值；②当∠PQA=90°时，△APQ ∽△ABC ，求出t 的值即可.【详解】∵∠C=90°，BC=8，AC=6 ∴22226810AB AC BC∴AP t =，102AQ t =-①当∠APQ=90°时，△APQ ∽△ABC 则AQ AP AB AC= ∴102106t t -= 解得：3011t = ②当∠PQA=90°时，△APQ ∽△ABC 则AQ AP AC AB= ∴102610t t -= 解得：5013t = 故填：3011或5013. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是进行分类讨论不要漏解.19．1：2【解析】【分析】由EF ∥BC 可得△AEM ∽△ABN ，△AMF ∽△ANC ，然后由相似三角形三边对应成比例可得到答案.【详解】∵EF∥BC∴△AEM∽△ABN，△AMF∽△ANC∴AEAB=EMBN=AMAN，AMAN=MFNC∵AE：EB＝2：1 ∴AE：AB =2：3∴AE EM MF AB BN NC ==即212 3BN NC ==∴BN＝1.5，NC＝3，∴BN：NC＝1：2．故答案为1：2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法和相似三角形的性质,掌握该知识点是解题的关键.20．3 4【解析】【分析】先求出AC，根据垂直，可以得出∠CDA=90°，∠ACB=90°，所以△ACD和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴4AC=，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠CAD=∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴34 CD BCAD AC==．故答案为3 4．【点睛】本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，首先判定两三角形相似是解本题的关键．21．（1）见解析；（2）32AEBF=；（3）AE nBF m=【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠BAF=∠D，AB=AD，再根据同角的余角相等得到∠ABF=∠DAE，由此可证明△ABF≌△DAE得到结果；（2）根据矩形的性质得到∠BAF=∠D，由余角的性质得到∠ABF=∠DAE，根据相似三角形的性质即可得到结论．（3）结论：AE=nmBF．证明方法类似（2）；【详解】（1）证明：连接CF，BE，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAF=∠D，AB=AD．∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，∵∠BAF+∠DAE=90°，∴∠ABF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，BAF DAB ADABF DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AE=BF；（2）解：如图2中，结论：32AE BF =，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAF=∠D ，∵AE ⊥BF ，∴∠AMB=∠BAM+∠FAM=90°，∵∠ABM+∠BAM=90°，∴∠ABF=∠DAE ，∴△ABF ∽△DAE ，32AE AD BF AB ∴==， 32AE BF ∴=， （3）结论：AE m BF n=． 理由：由（2）可知△ABF ∽△DAE ，∴AE AD n BF AB m==， ∴n AE BF m =. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）10；（3）PB=2EF ．【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可知得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理计算即可；（3）作MH ∥AB 交PB 于H ，根据相似三角形的性质得到BF=FH ，根据等腰三角形的性质得到PE=EH ，得到答案．【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，∴△OCP∽△PDA；（2）∵△OCP∽△PDA，面积比为1：4，∴CP1 AD2，∴CP=4，设AB=x，则AP=x，PD=x-4，由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2，解得，x=10，即AB=10；（3）PB=2EF．作MH∥AB交PB于H，∴∠PHM=∠PBA，∵AP=AB，∴∠APB=∠PBA，∴∠APB=∠PHM，∴MP=MH，又BN=PM，∴MH=BN，又∵MH∥AB，∴BF=FH，∵MP=MH，ME⊥BP，∴PE=EH，∴PB=2EF．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方、翻转变换的性质是解题的关键．23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)FG＝747．【解析】【分析】（1）先证明两三角形相似，再根据性质得到结果（2）先证明两三角形相似，再根据性质得到边的关系（3）先作辅助线，再证明两三角形相似，再根据相似三角形性质得到结果. 【详解】解：(1)∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴∠F AE＝∠ABE；(2)∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，在△ABE和△DAH中，∵ABE DAHAB DABAE ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AH＝BE；(3)如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，∵△ABE≌△DAH，∴AE＝DH＝3，∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，∵AB＝BD＝8，∴AP＝22AB BP-＝43，则AC＝2AP＝83，∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，∴AG＝22AC CG+＝14，BE＝AH＝12AG＝7，∵△AEF∽△BEA，∴AFAB＝AEBE，即8AF＝37，解得：AF＝247，∴FG＝AG﹣AF＝14﹣247＝747．【点睛】此题重点考察学生对相似三角形判定和性质的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法和性质是解题的关键.24．（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】1）根据相似三角形的判定即可得到结论；（2）由（1）知△ABC∽△ADB，根据相似三角形的性质得到＝，即AB2＝AC•AD即可求得A B.【详解】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC；（2）解：∵△ADB∽△ABC，∴＝，即AB2＝AC•AD，∵AD＝4，AC＝9，∴AB＝6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．(1)0<AN<25；(2)①证明见解析；定值为53；②CM=6031；(3)CM=6011.【解析】【分析】（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可．（2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，用含k的代数式表示MH、OH即可解决问题；②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，由△MHN∽△MNA∽△BOA，列出比例式即可解决问题．（3）过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，如图2中，当2＜t＜5时，点M在OA上，由PO∥HN，得PO MONH MH，求出PO=85k，根据BP=BN，列出方程即可解决问题．【详解】（1）∵AC=OC+AO=10，点M运动的速度为2单位长度/秒，∴t=102=5，∵5×5=25，∴0＜AN＜25．故答案为0＜AN＜25；（2）如图1中，当0＜t＜2时，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，∵NH∥BO，∴AN NH AH AB BO AO==，∴AH=3k，∴OH=6-3k，OM=4-2k，MH=10-5k，∵PO∥NH，∴1055633 MN MH kNP OH k-===-；②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，△MHN∽△MNA∽△BOA，∴AM AB AN AO=，∴1021056kk-=，∴k=3031，∴CM=60 31；（3）如图2中，当2＜t＜5时，过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，则BN=5k-10，同（2）可得AH=3k，NH=4k，OH=3k-6，MO=2k-4，∵PO∥HN，∴PO MO NH MH=， ∵MH=AH-AM=3k-(10-2k)=5k-10，∴PO=85k ， 若BP=BN ，则8-85k=5k-10， 解得：k=3011， ∴CM=6011， 若PB=PN 或BN=NP ，∵∠PBN ＞90°，∴不成立，∴若△BNP 是等腰三角形，CM 的长为6011． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题．26．（1）1；（2）AF =，见解析. 【解析】【分析】（1）根据BD =，利用勾股定理计算即可.（2）根据已知条件可证COM ABF ∆~∆，利用相似比即可得到CM 与AF 的数量关系.【详解】根据BD =,因为正方形ABCD ，所以可得DC=BC因为在Rt BCD ∆中，2222BD BC ==因此可得BC=1所以正方形ABCD 的边长为1.（2）AF =.证明如下：∵CF CA =，CE 是ACF ∠的平分线，∴CE AF ⊥，即90AEN CBN ∠=∠=︒.∵ANE CNB ∠=∠，∴BAF BCN ∠=∠，又ACN BCN ∠=∠，∴BAF OCM ∠=∠.∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，90ABF COM ∠=∠=︒，∴COM ABF ∆~∆，∴CM OC AF AB ==，即AF =. 【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，应当熟练掌握，本题难度系数适中.27．（1）见解析；（2）DE ＝125． 【解析】【分析】（1）要证△ADE ∽△MAB ，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE ∽△MAB ；（2）根据题意和（1）中△ADE ∽△MAB ，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD 中，DE ⊥AM 于点E ，∴∠B ＝90°，∠BAD ＝90°，∠DEA ＝90°，∴∠BAM +∠EAD ＝90°，∠EDA +∠EAD ＝90°，∴∠BAM ＝∠EDA ，在△ADE 和△MAB 中，∵∠AED ＝∠B ，∠EDA ＝∠BAM ，∴△ADE ∽△MAB ；（2）∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，M 是BC 的中点，∴BM＝32，∴AM52 =，由（1）知，△ADE∽△MAB，∴AM AB DA DE=，∴5223DE =，解得，DE＝125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．28．见解析【解析】【分析】（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；（2）由△DAE∽△CBA，可得AD DEBC AC＝，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问题；【详解】证明（1）∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAE，∵AB·AD＝BC·AE，∴AB BC AE AD＝，∴△CBA∽△DAE，∴∠BAC＝∠AE D．（2）由（1）得△DAE∽△CBA∴∠D＝∠C，AD DE BC AC＝，∵∠AFE＝∠D，∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD，∵∠BAC＝∠AED，∴DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE＝AF，∴AD AF BC AC＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试卷B卷（附答案详解）1．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ACD 的面积为1，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．42．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（）A．线段B．一个点C．等边三角形D．等腰三角形3．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是18m，那么旗杆的高度是（）A．9m B．11 m C．12 m D．27m4．如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则DEBC=( )A．14B．32C．12D．225．如图，利用标杆BE测量楼的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为（）A．10.5 m B．9.5 m C．12 m D．14 m6．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线kyx=（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于（）7．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，连结DP 并延长交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，若DP=3，EF=23，则PE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．58．如图，在ABC 中，90C ∠=，10AB =，6AC =，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为（ ）A ．6.4B ．3.2C ．3.6D ．89．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于点F ，若DE=12，则DF 等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．810．在ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，下列命题中不正确的是（ ）A ．若//EF BC ，则AE AF EB FC= B ．若AE AF EB FC =，则//EF BC C ．若//EF BC ，则AE EF AB BC = D ．若AE EF AB BC=，则//EF BC 11．如图，ADE ACB ∽，则:DE BC =________．12．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA ，则称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=_____．13．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，那么EF 的长是________．14．如图，已知Rt ABC ，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点4D ，5D ，…，n D ，分别记11BD E ，22BD E ，33BD E ，…，n n BD E 的面积为1S ，2S ，3S ，…n S ．若1ABC S =，则2010S =________．15．某生利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆CD 等于3m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15m ，人的眼睛距地面的高度EF ＝1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2m ．则旗杆AB 的高度为_____．16．如图，DE 是△ABC 的中位线，若S △ADE ＝2．则S 四边形BDCE ＝_____．17．如图，把两个等腰直角三角板如图放置，点F 为BC 中点，AG=1，BG=2，则CH 的长为_________．18． 一个三角形的三边之比为 2：3：4，和它相似的另一个三角形的最大边为 16，则它的最 小边的长是_____．19．如图，90ABD BDC ∠=∠=，A CBD ∠=∠，3AB =，2BD =，则CD =________．20．已知△ADE ∽△ABC ，相似比为 2：3，则 S △ADE ：S △ABC 的值为________． 21．如图1，过等边三角形ABC 边AB 上一点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，分别取BC ，DE 的中点M ，N ，连接MN ．（1）发现：在图1中，3MN BD =，说明理由； （2）探索：如图2，将△ADE 绕点A 旋转，请求出MN BD的值； （3）拓展：如图3，△ABC 和△ADE 是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE ，M ，N 分别是底边BC ，DF 的中点，若BD ⊥CE ，请直接写出MN BD的值．22．如图，已知ABC 中，10BC =，BC 边上的高8AH =，四边形DEFG 为内接矩形．()1当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．()2设EF x =，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．23．已知：在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 相交于点G.(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF.求证：AD CG DE CD =； (2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，AD CG DE CD=成立？并证明你的结论； (3)如图③，若BA ＝BC ＝9，DA ＝DC ＝12，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF.求DE CF的值．24．如图，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A=36º，∠C=72º，∠ADB=108º。

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2(附答案详解) (1)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2(附答案详解) (1)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2（附答案详解） 1．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A ．AC 2=AD ⋅AB B ．CD 2=CA ⋅CBC ．CD 2=AD ⋅DBD ．BC 2=BD ⋅BA2．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，36ABD ∠=，则图中相似三角形的对数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝1，△ADE 、△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则12SS 的值为( )A ．23B ．12C ．49D ．24．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，记与点A 重合的点为A′，则△A′BG 的面积与该矩形面积的比为（ ）A ．112B ．19C ．18D ．165．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：EB=1：2，E 为AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ， S △AEF =3，则S △FCD 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．276．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上， 则球拍击球的高度h 应为 ( )A ．0.9mB ．1.8mC ．2.7mD ．6m7．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，若1AB =，2DC =，那么①ABO CDO ∽；②ADO BCO ∽；③ABO 与ADO 的面积比是1:2．上述三个结论中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．如图，在正方形ABCD 中，AD=6，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C ，D 重合），AE 的垂直平分线FG 分别交AD ，AE ，BC 于点F ，H ，G ，当14FH HG =时，DE 的长为（ ）A ．2B ．125C ．185D ．49．如图，在ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则DEBC=________；:DEGABCS S=________．10．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，满足ACD ABC ∠∠=，则________∽________，若AC 2=，AD 1=，则DB =________．Z11．平面直角坐标系中，原点O 关于直线y=﹣43x+4对称点O 1的坐标是_____． 12．如图，在等边三角形ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝1，CD ＝23，则△ABC 的边长为____．13．如图，n 个全等三角形排列在一条直线BC 上，P n 为A n C n 的中点，若BP n 交A 1C 1于Q ，则C 1Q 与A 1Q 的等量关系_____．14．如图，在ABC 中，90BAC ∠=，6AB =，8AC =，N 是AC 上的点，且AN AB =，连接BN ，作AD BN ⊥于D ，点M 是BC 上的动点，则当BM =________时，BMD BCN ∽．15．如图，//AD BC ，90D ∠=，2AD =，6BC =，8DC =，若在边DC 上有点P ，使PAD 与PBC 相似，则这样的点P 有________个．16．如图，路灯距离地面8.5米，身高1.7米的小军从距离灯的底部（点O ）6米的点B 处，沿OA 所在直线行走至B 处14米的A 点时，人影长度变长________米．17．如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．18．如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．（1）求证：∠A=∠C；（2）若OA=5，AB=8，求线段OC的长．19．(1)如图1，粗线表示嵌在透明的玻璃正方体内的一条铁丝，请指出右边的两个视图的名称；(2)如图2，粗线表示嵌在透明玻璃正方体内的一根铁丝，画出该正方体的主视图、左视图、俯视图.20．在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．21．钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）22．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．求证：PT2＝P A·PB.23．如图所示，△PQR是等边三角形，△P AQ∽△BPR.(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．24．以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF. （1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接BF、ED，线段BF和ED的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰△ABE和等腰△ADF，且△ABE和△ADF的顶角均为β，连接EF、BD，交点为G.请用β表示出∠FGD，并说明理由.参考答案1．B 【解析】 【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断． 【详解】解：∵90ACB ∠=，CD ⊥AB 于点D ， ∴222,,.AC AD AB CD DA DB BC BD BA =⋅=⋅=⋅ 故选B. 【点睛】考查了射影定理，熟记射影定理是解题的关键. 2．B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，∠ABC=∠C=72o , 根据角平分线的定义求出∠CBD=36o , 从而入得到∠CBD=∠A,然后利用两组角对应相等, 两三角形相似得到△BDC 和△ABC 相似. 【详解】 解:AB=AC, ∠A=36o ,∴∠ABC=∠C=12(180o -36o )=72o , BD 平分∠ABC,∴ ∠CBD=12∠ABC=12⨯72o =36o , ∴∠CBD=∠A, ∴△BDC ∽ △ABC, ∴相似三角形的对数有1对.故选:B. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定,等腰三角形两底角相等的性质, 角平分线的定义, 识别两三角形相似, 除了要掌握定义外, 还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角. 3．C【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴12s s =（AD AB）2=49 ， 故选C ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．C 【解析】 【分析】根据已知条件可求得BD=5，再根据折叠的性质可知A′D=AD=3, A′B=2.根据~'ABD A BG 可得面积之间的比值，再进一步求与矩形面积的比.【详解】解：∵矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3， ∴BD =5. ∵A’D=AD , ∴A′B =2.∵∠BA’G =∠A =90︒, ∠BA’G =∠ABD , ∴~'ABD A BG ,∴':A BG ABD S S =2'14A B AB ⎛⎫=⎪⎝⎭, ∵ABDS :1:2,ABCD S =矩形∴:1:8.A BGABCD SS 矩形'=故选C .本题考查了图形的折叠变换，同时考查了相似三角形的判定和性质，正确运用相似三角形的判定和性质是解题的关键. 5．D 【解析】 【分析】先根据AE ：EB=1：2得出AE ：CD=1：3，再由相似三角形的判定定理得出△AEF ∽△CDF ，由相似三角形的性质即可得出结论. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ：EB=1：2， ∴AE ：CD=1：3， ∵AB ∥CD ， ∴∠EAF=∠DCF ， ∵∠DFC=∠AFE ， ∴△AEF ∽△CDF ， ∵S △AEF =3， ∴AEF FCDS S＝3FCDS＝(13)2， 解得S △FCD =27． 故选D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 6．C 【解析】 【分析】发现图形中的相似三角形，并利用相似三角形的性质定理解题 【详解】很容易可以发现图中的两个直角三角形相似，由性质定理得直角边对应成比例，即h 0.91055=+，解得h=2.7m ，故答案选C. 【点睛】熟练掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键. 7．B 【解析】 【分析】由条件可证△ABO ∽△CDO ，可判断①；从而可求得12BO DO =，则可判断③；由条件无法判定△ADO ∽△BCO ；则可求得答案． 【详解】 ∵AB ∥CD ，∴∠OAB=∠OCD ，∠OBA=∠ODC ， ∴△ABO ∽△CDO ，故①正确；∴12BO AB DO CD ==， ∴12S ABO BO S ADO DO ==，故③正确； 由①可得AO BOOC OD=， 若△ADO ∽△BCO ， 则AO BODO CO=， 则可得OC=OD ，但由条件无法得出该结论，故△ADO 与△BCO 不一定相似，故②不正确； 综上可知结论正确的是①③， 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质. 8．B 【解析】如下图，过点H 作HM ⊥AD 于点M ，延长MH 交BC 于点N ，由此易得MN=AB=6，△MHF ∽△NHG ，结合FH ：HG=1：4可得MH=65；再证△AMH ∽△ADE ，结合点H是AE的中点可求得DE=2MH=12 5.详解：如下图，过点H作HM⊥AD于点M，延长MH交BC于点N，∴∠AMN=90°，又∵在正方形ABCD中，∠MAB=∠ABN=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，MN∥AB∥CD，∵AD∥BC，∴△MHF∽△NHG，∴MH：HN=FH：HG=1：4，∴MH=15MN=65，∵MN∥CD，∴△AMH∽△ADE，又∵FG是线段AE的垂直平分线，交AE于点G，∴MH：DE=AH：AE=1：2，∴DE=2MH=12 5.故选B.点睛：作出如图所示的辅助线，构造出相似三角形：△MHF∽△NHG和△AMH∽△ADE 是解答本题的关键.9．121:12【解析】【分析】由BE、CD是△ABC的中线，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，可得△GDE ∽△GCB ，再由相似三角形的性质及三角形中线的性质解答即可.【详解】∵BE 、CD 是△ABC 的中线，∴DE ∥BC ，12DE BC =， ∴△GDE ∽△GCB ， ∴12DE DG EG BC CG BG === ，211()24DEG BGC S S ∆∆==，, 设△DEG 的面积为a ，则△BGC 的面积为4a ， ∵12DG EG CG BG == ∴△EGC 的面积为2a ，△BDG 的面积为2a∴△BDE 的面积为3a ，四边形BCED 的面积为9a ；∵D 为AB 的中点，∴3ADE BDE S S a ∆∆==，∴9312ABC S a a a ∆=+= ∴1::1212DEG ABC S S a a ==． 故答案为12；112． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及三角形的面积，熟练运用相似三角形的性质及三角形中线的性质是解决本题的关键．10． ACD ABC 3【解析】【分析】由题意可得出相似；由相似可得出对应边成比例.【详解】因为ACD ABC ∠∠=且∠A 为公共角，所以△ACD ∽△ABC,所以AC AD AB AC=,AB=4，所以DB=AD-AD=4-1=3.【点睛】本题考查了相似三角形的证明以及相似三角形中对应边成比例，掌握两个角相等的两个三角形相似是解决本题的关键.11．（9625，7225）【解析】分析：由直线的解析式求得A、B的坐标，设O1O与直线y=-43x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，根据题意OO1⊥AB，根据三角形面积公式求得OD的长，即可求得OO1的长，然后通过三角形相似求得OE的长，进一步根据勾股定理求得O1E的长，即可求得对称点O1的坐标．详解：如图，∵原点O关于直线y=-43x+4对称点O1，∴OO1⊥AB，设O1O与直线y=-43x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，由直线y=-43x+4可知A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OD，∴OD=•125 OA OBAB，∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，∴△AOD∽△O1OE，∴1OO OE OA OD=，即2451235OE =， ∴OE=9625， ∴O 17225， ∴点O 1的坐标是（9625，7225）． 点睛：本题考查了坐标和图形变化-对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键．12．3【解析】【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC ，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC ，证△BAP ∽△CPD ，得出AB BP CP CD ＝，代入求出即可． 【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC ，即∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，∴△BAP ∽△CPD ， ∴AB BP CP CD＝， 设△ABC 的边长为x ，∵CD=23，CP=BC-BP=x-1，BP=1， 即1213x x -＝，解得：x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．13．A1Q=（2n﹣1）C1Q【解析】【分析】由题意：QC1∥P n C n，推出，由A1C1=A n C n=2P n C n，推出QA1=（2n﹣1）QC1；【详解】由题意：QC1∥P n C n，∴，∵A1C1=A n C n=2P n C n，∴QA1=（2n﹣1）QC1，故答案为A1Q=（2n﹣1）C1Q．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、规律形问题等知识，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，属于中考填空题中的压轴题．14．5【解析】【分析】若△BMD∽△BCN，则需DM∥CN即可，由已知条件可得BD=DN，所以BM=CM即M为BC的中点时即可，由此可以求出BM的值．【详解】若△BMD∽△BCN，则需DM∥CN，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴22，AB AC∵AN=AB，作AD⊥BN于D，∴BD=DN，∵DM∥CN，∴BM=12BC=5，∴则当BM=5时，△BMD∽△BCN．故答案为5．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质题目的综合性较强，难度中等．15．2【解析】【分析】如图所示，取DC上一点P，连接AP、BP，设DP=x，则CP=8-x，由△PAD与△PBC相似，可得对应边的比相等，可得关于x的方程，解方程求出x的值，即可确定出符合题意的点P 的个数.【详解】如图，∵AD//BC，∠D=90°，∴∠C=∠D=90°，设DP=x，则CP=8-x，当△DAP∽△CPB时，有AD DPPC BC=，即286xx=-，解得：x=2或x=6，当△DAP∽△CBP时，有AD DPBC CP=，即268xx=-，解得：x=2，综上，DP的长为2或6，即这样的P点有2个，故答案为2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地进行分类讨论是解本题的关键.16．3.5 【解析】【分析】小军在A 点和B 点位置时，均可构成两组相似三角形，利用其相似比即可分别求解出两处位置时的人影长.【详解】设小军在A 点处的影子长度AM 为x 米，在B 点处的影子长度BN 为y 米，则由图中比例关系可得：1.76148.5x x =++，解得x=5米， 1.768.5y y =+，解得y=1.5米， ∴x-y=5-1.5=3.5米，故答案为：3.5米.【点睛】分别找出不同位置时的相似三角形是本题的关键.17．电视塔C 到公路南侧所在直线PQ 的距离是360米．【解析】【分析】作CE ⊥PQ 交AB 于D 点，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得电视塔到公路南侧所在直线的距离．【详解】如图所示，作C E ⊥PQ 于E ，交AB 于D 点，设CD 为x ，则C E=60+x ，∵AB ∥PQ ，∴△ABC∽△PQC，∴=，即=，解得x=300，∴x+60=360米，答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.18．（1）见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）连接OB，由OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中点，利用等腰三角形三线合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而BC是切线可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易证△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=12AB=4，根据勾股定理可求OM，进而即可求出OC的长．【详解】（1）证明：连接OB，∵BC是切线，∴∠OBC=90°，∴∠OBM+∠CBM=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBM，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB．∴∠C+∠CBM=90°，∴∠C=∠OBM，∴∠A=∠C；（2）∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，∴△OMB∽△OBC，∴OBOC=OMOB，又∵BM=12AB=4，∴OM=52-42=3，∴OC=2OBOM=253．【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识.利用切线的性质和垂径定理证出∠C=∠OBM是解题的关键.19．（1）俯视图，主视图；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)由上面看可得正方形内有一条横向摆放的线段，从正面看可得到一个正方形；(2)从正面看可得到一个正方形的左上角有一条线段；从左面看可得到一个正方形加一条竖直的虚线；从上面看可得到一个正方形的右下角有一条线段.【详解】解：(1)俯视图，主视图；(2)故答案为：（1）俯视图，主视图；（2）详见解析.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体和作图——三视图.20．（1）证明见解析；（2；③108. 【解析】【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC 再判断出AE=DE ，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC ，进而判断出∠GPF=∠PFB 即可得出结论；②判断出△ABE ∽△DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF ∽△GCP ，进而求出PC ，即可得出结论；③判断出△GEF ∽△EAB ，即可得出结论．【详解】（1）在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=DC ， ∵E 是AD 中点，∴AE=DE ， 在△ABE 和△DCE 中，90AB DC A D AE DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）；（2）①在矩形ABCD ，∠ABC=90°，∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC ， ∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG ，∴∠GPF=∠PFB ，∴∠BPF=∠BFP ，∴BP=BF ；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴AB DE AE CD=，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴122512xx-=，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴EF CE PG CG=，设BP=BF=PG=y，∴152025yy-=，∴y=253，∴BP=253，在Rt△PBC中，，cos∠PCB=BCPC；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG=BP，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴EF AB GF BE=，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．21．钟楼的高度为36米．【解析】【分析】设AB=x，BC=y, 根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】如图设AB=x，BC=y．∵AB⊥BD，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=90°，∵∠ACB=∠ECF，∴△ACB∽△ECF，∴AB EF BC CF=，∴1.51yx=，∴x=23y ①同理：△ADB ∽△GDH ，∴AB GH BD DH=， ∴120y x ++=tan39°=0.8 ② 由①②解得y=36（米），答：钟楼的高度为36米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的判定得到△ABC ∽△EFC ，△ABD ∽△GHD.22．证明见解析.【解析】试题分析：连接OT ，只要证明△PTA ∽△PBT ，可得PT PA PB PT=，由此即可解决问题. 证明：连接TO ，∵PT 为⊙O 切线，∴OT ⊥PT ，∴∠1+∠3=90°， ∵AB 为直径，∴∠A TB=90°, ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2.又∵TO=BO ，∴∠2=∠B,∴∠1=∠B ，又∵∠P=∠P,∴△PTA ∽△PBT ，∴PT PA PB PT=， PT 2=PA·PB. 23．(1)PA BP ＝PQ BR ＝AQ PR ；（2）QR 2＝BR ·AQ . 【解析】分析：（1）根据相似三角形对应边成比例得出结论即可；（2）由等边三角形的性质和相似三角形的性质即可得出结论．详解：（1） ∵△P AQ ∽△BPR ，∴PA PQ AQ BP BR PR==． （2）∵△PQR 是等边三角形，∴PQ ＝QR ＝PR ．由（1）知PQ AQ BR PR=，∴PQ ·PR ＝BR ·AQ ， ∴QR 2＝BR ·AQ ．点睛：本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的性质．熟练掌握性质是解题的关键．24．BF =ED ; （2）EF =,证明见解析;（3）1802FGD β︒-∠=. 【解析】【详解】分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD ，因等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF ，可得AE=BE=AF=FD ，再证∠EAD=∠FAB ，利用SAS 证明△AED ≌△AFB ，即可得BF=ED ；（2）BD ，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，证明△BAD ∽△EAF ，根据相似三角形的性质可得BD AD EF AF==，所以；（3）∠FGD=1802β-，先证得△ABE ∽△ADF ，可得FA AD EA AB=，即FA EA AD AB=，再证得∠BAD=∠EAF ，所以△BAD ∽△EAF ，因为 ∠AHF=∠DHG ，即可得∠FGD=∠FAD=1802β︒-. 详解：（1）BF =ED ；（2）BD ；证明：如图②，∵△ABE 为等腰直角三角形，AB=2AE ，∠EAB=45°同理2,45AD AF FAD =∠=︒，∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FAD ，即∠BAD=∠EAF ，∵AB=2AE ，AD=2AF∴2AB AD AE AF==，∴△BAD ∽△EAF ， ∴2BD AD EF AF==， 即BD=2EF ； （3）解：∠FGD=1802β-， 如图，∵△ABE 为等腰三角形，EB=EA ，同理FA=FD ，∴1EA FA EB FD==， 又∵∠BEA=∠DFA=β，∴△ABE ∽△ADF ，∴FA AD EA AB =，即FA EA AD AB=， ∠EAB+∠EAD=∠DFA+∠EAD ，即∠BAD=∠EAF ，∴△BAD ∽△EAF ，又∵∠AHF=∠DHG ,∴∠FGD=∠FAD=1802β︒-.点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质及性质题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．。

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习培优训练题2(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习培优训练题2(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习培优训练题2（附答案详解） 1．已知如图，在ABC ∆中，点D 、点E 分别在AB 、BC 边上，且//DE AC ，2BE =，1CE =，BDE ∆的面积为4，则ABC ∆的面积为( )A ．5B ．6C ．8D ．92．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，若AB ＝4，BM ＝2，则△DEF 的面积为（ ）A ．9B ．8C ．15D ．14.53．如图，在△ABC 中，EF//BC ，12AE BE =，EF=3，则BC 的长为A ．6B ．9C ．12D ．274．如图，DE ∥BC ，且AD=2，BD=5，则△ADE 与△ABC 的相似比为（ ）.A ．2：5B ．5：2C ．2：7D ．7：25．如图，在菱形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，且∠ABC =60°，AB =6，BE 交AC 于点F ，则AF =（ ）6．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在BC 、AB 上，且DE ∥AB ，∠DEF ＝∠A ，EF 与BD 相交于点M ，以下结论：①△BDE 是等腰三角形；②四边形AFED 是菱形；③BE ＝AF ；④若AF ∶BF ＝3∶4，则△DEM 的面积：△BAD 的面积＝9∶49，以上结论正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①③D ．③④7．如图，在菱形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连结AE 并延长，交BC 的延长线于点F ，若CE ＝1，DE ＝2，则CF 长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.58．如图：△ABC 中，DE ∥BC ，AD:DB=1:2,下列选项正确的是A ．DE:BC=1:2B ．AE:AC=1:3C ．BD:AB=1:3D ．S :S =1:4 9．若△ABC ～△DEF ，相似比为9：4，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ）A ．9：4B ．4：9C ．81：16D ．3：210．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB ＝2，A 1B 1＝3；则△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比为_____. 11．已知△ADE ∽△ABC ，相似比为2：3，则S △ADE ：S △ABC 的值为_____．12．如图，小明用2m 长的标杆测量一棵树的高度．根据图示条件，树高为________m ．13．如图，在矩形OAHC 中，8,12OC OA == ，B 为CH 中点，连接AB . 动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接,,CM CN MN ，设运动时间为t （秒）(010)t <<. 则t =_____时，CMN ∆为直角三角形14．点E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE：ED=1：2，CE交BD于点O，则BO=________．OD15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树髙AB为_____．16．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8cm和6 cm，若另一个等腰三角形的底边长为4cm，则它的腰长为_____cm．17．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，直角三角板含45°角的顶点P在边BC上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边AC交于点Q，当△ABP为等腰三角形时，CQ的长为_____．18．如图，等边△ABC被一个平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份．若BC＝a，则图中阴影部分的面积是_____．19．如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是___.（精确到0.1m）20．如图，在△ABC 中，AB=AC=2,∠BAC=20°．动点P,Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x,CQ=y,求y 与x 之间的函数表达式．21．已知ABC △和点'A ，如图以点'A 为一个顶点作'''A B C ，使'''A B C ABC ，且'''A B C 的面积等于ABC △面积的4倍，并说明你这样作图的理由（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）22．在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 是边AD 上一点，EM ⊥EC 交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项．(1)如图1，求证：∠ANE ＝∠DCE ；(2)如图2，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长；(3)连接AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长． 23．如图所示，在Rt ABC ∆中，30A ∠=，斜边16AC cm =，边AC 的中垂线MN 交AB 于点,D P 是AC 边上一动点，PF AB ⊥于,F PE DC ⊥于E ，当53PF PE =时，求,PE PF 的长．24．如图，AD 为ABC △的角平分线，BE AD ⊥的延长线于E ，CF AD ⊥于F ，BF 、EC 的延长线交于点P ，求证：CF//AP25．如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=米，镜子与小华的距离220ED=米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端A．已知CD=米，求铁塔AB的高度．（根据光的反射原理，小华的眼睛距地面的高度 1.5∠=∠）12⊥，ME交AD的延长线于点26．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME AME．()1求证：ABM∽EMA；()2若AB4=，BM2=，求DE的长．27．如图1，已知在矩形ABCD中，AD＝10，E是CD上一点，且DE＝5，点P是BC 上一点，P A＝10，∠P AD＝2∠DAE．（1）求证：∠APE＝90°；（2）求AB的长；（3）如图2，点F在BC边上且CF＝4，点Q是边BC上的一动点，且从点C向点B 方向运动．连接DQ，M是DQ的中点，将点M绕点Q逆时针旋转90°，点M的对应点是M′，在点Q的运动过程中，①判断∠M′FB是否为定值？若是说明理由．②求AM′的最小值．参考答案1．D【解析】【分析】求出BC=3，由DE ∥AC ，得出△BDE ∽△BAC ，得出23BE BD BC AB ==，则BDE ABC S S ∆=（23）2，即可得出结果．【详解】解：∵BE=2，CE=1，∴BC=BE+CE=2+1=3，∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ， ∴23BE BD BC AB ==， ∴BDE ABC S S ∆=（23）2=49， ∵△BDE 的面积为4，∴S △ABC =94×4=9， 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形面积比等于其相似比的平方是解题的关键．2．A【解析】【分析】由勾股定理可求AM 的长，通过证明△ABM ∽△EMA ，可求AE=10，可得DE=6，由平行线分线段成比例可求DF 的长，即可求解．【详解】解：∵AB ＝4，BM ＝2，∴AM =，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴BM AM AM AE=AE=∴AE＝10，∴DE＝AE﹣AD＝6，∵AD∥BC，即DE∥MC，∴△DEF∽△CMF，∴DE DF MC CF=，∴642DFCF=-＝3，∵DF+CF＝4，∴DF＝3，∴S△DEF＝12DE×DF＝9，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.3．B【解析】【分析】由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，可得EF AEBC AB，由此即可解决问题；【详解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF AE BC AB,∵12 AEEB=,∴13 AEAB=,∵EF=3．∴BC=9，故选B．【点睛】考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．4．C【解析】【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，则相似比为ADAB，再将已知条件代入即可求解．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=225+=27．∴△ADE与△ABC的相似比为2 7故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的相似比即为对应边的比．5．B【解析】【分析】根据四边形ABCD是菱形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得AF与CF的比，又易知△ABC为等腰三角形，AC＝AB＝6，即可求出AF的长度.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，根据定理“两直线平行，内错角相等”可知∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，又∵∠BFC＝∠EF A，∴△BFC∽△EF A，∴AF∶CF＝AE∶CB＝1∶2，又∵△ABC中AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AF＋FC＝BC＝AB＝6，∴AF＝13AC＝13×6＝2，所以答案选B.【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，菱形的性质和比例的应用；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似并且用相似比求出线段长度是解决问题的关键.6．B【解析】【分析】根据BD是△ABC的角平分线与DE∥AB易证∠DBE＝∠BDE，故△BDE是等腰三角形；可证EF∥AD，四边形ADEF为平行四边形而不是菱形，即可得BE＝AF，再连接DF，得△DEM∽△BFM，再求出相似比，利用面积比等于相似比的平方即求得△DEM的面积与△BAD的面积之比.【详解】∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形，故①正确；∵DE∥AB，∴∠BAC＋∠ADE＝180°，∵∠DEF ＝∠BAC ， ∴∠DEF ＋∠ADE ＝180°，∴EF ∥AD ，∴四边形ADEF 为平行四边形，故②错误；∴AF ＝DE ，∴BE ＝AF ；故③正确；如图，连接DF ，∵DE ∥AB ，∴△DEM ∽△BFM ，∴DEMBFM S S ＝2DE BF ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵DE ＝AF ，AF ∶BF ＝3∶4，∴DEM BFM S S＝2DE BF ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝916，EM FM ＝DE BF ＝34， ∴DFMDEM S S ＝43， ∴S 四边形AFMD ＝113S △DEM ，S △BFM ＝169S △DEM ， ∴△DEM 的面积∶△BAD 的面积＝9∶49，故④正确，故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键熟知三角形内的证明关系.7．B【解析】【分析】根据菱形的性质得到AD ＝CD ＝CE +DE ＝3，AD ∥BC ，推出△ADE ∽△FCE ，根据相似三角形的性质得到AD DECF CE=，代入数据即可得到结论．【详解】解：在菱形ABCD中，∵AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC，∴△ADE∽△FCE，∴AD DE CF CE=，∴321 CF=，∴CF＝1.5，故选：B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形对应成比例.8．B【解析】分析：由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，再由AD：DB=1：2，推出AD：AB=1：3，据此求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC，从而得出正确选项．解答：解：已知AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，BD：AB=2：3，∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3，S△ADE：S△ABC=（1：3）2=1：9，所以只有B、AE：AC=1：3正确，故选B．9．A【解析】【分析】根据相似三角形的一切对应线段的比等于相似比即可得解.【详解】∵△ABC～△DEF，且相似比为9：4，∴△ABC与△DEF对应中线的比为9：4.故选A.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比.10．3∶2【解析】【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，且比例就是相似比.题目中已知△ABC∽△A1B1C1，且对应边的长分别为AB＝2，A1B1＝3，组成比例即可求出相似比.【详解】根据相似三角形的性质，可得△A1B1C1与△ABC的相似比为A1B1∶AB=3∶2.故答案为：3∶2.【点睛】本题考查相似三角形的性质.11．4:9．【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题【详解】解：∵△ADE∽△ABC，相似比为2：3，∴S△ADE：S△ABC＝4：9，故答案为4：9．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方.12．7【解析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可．【详解】这棵树高是x米，2：6=x：(6+15)，6x=21×2，x=7.故答案是：7．【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，再列式解答．13．72或412414【解析】【分析】△CMN是直角三角形时，有三种情况，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后进行分类讨论求出t的值．【详解】解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图1，∵B点是CH的中点，∴BH=12CH=12OA=6，∵AH=OC=8，∴由勾股定理可求：AB=10，∴BN=10-t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴BN ENAB AH=，∴10108t EN-=，∴EN=4(10)5t-∴FN=8-EN=45t，当∠CMN=90°，由勾股定理可求：AF=35 t，∵OM=t，∴AM=12-t，∴MF=AM-AF=12-t- 35t=12-85t，∵∠OCM+∠CMO=90°，∠CMO+∠FMN=90°，∴∠OCM=∠FMN，∵∠O=∠NFM=90°，∴△COM∽△MFN，∴OC OM MF FN=，∴8841255tt t=-，∴t=72，当∠MNC=90°，FN=4 5 t∴EN=4 8-5t∵MF=12-85t∴CE=OF=OM+MF=12-35t∵∠MNF+∠CNE=90°，∠ECN+∠CNE=90°，∴∠MNF=∠ECN ，∵∠CEN=∠NFM=90°，∴△CEN ∽△NFM ， ∴CE EN FN MF= ， ∴34128-55481255t t t t -=- ，∴t = ∵0＜t ＜5，∴414t -=； 当∠NCM=90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN 为直角三角形时，t=72或414-. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性． 14．32； 【解析】【分析】由在▱ABCD 中，且AE ：ED=1：2，易得DE ：BC=2：3，通过△DOE ∽△BCO ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得【详解】∵AE:ED=1:2，∴DE:AD=2:3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE:BC=2:3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEO∽△BCO，∴BC:DE=BO:OD=3:2.故答案为：3:2.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的结合运用，解题关键在于根据题意列出比例式.15．16.5m【解析】【分析】根据题意与图形可知△DEF∽DCB，再根据对应成比例即可求解.【详解】∵DE⊥EF,BC⊥CD，DF=50cm，EF=30cm，∴40cm=又∠EDF=∠CDB∴△DEF∽DCB，∴ED CDEF CB=，即0.4200.3CB=，解得BC=15m,∴AB=BC+AC=16.5m故填：16.5m.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知对应成比例.16．163【解析】【分析】设另一个等腰三角形的腰长为xcm ，利用相似三角形的性质列出比例式，可求得答案．【详解】解：设另一个等腰三角形的腰长为xcm ，∵这两个等腰三角形相似， ∴864x =，解得x ＝163， ∴另一个等腰三角形的腰长为163cm ， 故答案为：163． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．17．1或﹣2．【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得BC =＝，∠B ＝∠C ＝45°，再证明∠BAP ＝∠CPQ ，则可判断△CPQ ∽△BAP ，所以CQ CP BP BA =，分两种情况讨论：当PB ＝P A 时，易得AP ⊥BC ，BP ＝CP 12=BC =利用相似比可计算出CQ ＝1；当BP ＝AB ＝2时，易得PC ＝2，利用相似比可计算出此时CQ ＝2．【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形，∴BC =＝，∠B ＝∠C ＝45°． ∵∠APC ＝∠B +∠BAP ，即∠APQ +∠CPQ ＝∠B +∠BAP ，而∠APQ ＝45°，∴∠BAP ＝∠CPQ ，∴△CPQ ∽△BAP ，∴CQ CP BP BA=．分两种情况讨论：当PB ＝P A 时，则AP ⊥BC ，此时BP ＝CP 12=BC =CQ ==1；当BP ＝AB ＝2时，此时PC ＝22-2，∴CQ 222222⨯-==-（）2． 综上所述：CQ 的长为1或22-2．故答案为：1或22-2．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，同时利用相似比计算线段的长．也考查了等腰直角三角形的性质和分类讨论思想．18．239a 【解析】【分析】先由等边△ABC 被一个平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等份，可得EH ∥BC ，那么△AEH ∽△ABC ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出S △AEH ＝19S △ABC ，那么S 梯形EBCH ＝89S △ABC ．再证明FG 是梯形EBCH 的中位线，EH ＋BC ＝2FG ．进而得到S △EBG ＝12S 梯形EBCH ，从而求解即可． 【详解】解：∵等边△ABC 被一个平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等份，∴AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝13BC ＝13a ，EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC ， ∴219AEH ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △AEH ＝19S △ABC ， ∴S 梯形EBCH ＝S △ABC ﹣S △AEH ＝89S △ABC ． ∵EH ∥FG ∥BC ，EF ＝FB ，∴FG 是梯形EBCH 的中位线，∴EH+BC＝2FG．设△EFG的边FG上的高为h，则△BFG的边FG上的高为h，梯形EBCH的高为2h，∵S△EBG＝S△EFG+S△ABFG＝12FG•h+12FG•h＝FG•h，S梯形EBCH＝12（EH+BC）•2h＝12•2FG•2h＝2FG•h，∴S△EBG＝12S梯形EBCH＝12×89S△ABC＝49×34a2＝3a2．故答案为39a2．【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，得出S△AEH＝1 9S△ABC，S梯形EBCH＝89S△ABC，S△EBG＝12S梯形EBCH是解题的关键．19．21.3m【解析】【分析】由题意知△ABC∽△AMN，再根据=即可求得MN的长，即为楼房的高度. 【详解】∵BC∥MN,∴△ABC∽△AMN，∴=，即=，求得MN=21.3，故楼房的高度是21.3m.【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件求出三角形相似.20．4 yx =【解析】【分析】由AB=AC，∠BAC=20°，得∠ABC=80°，即∠P+∠PAB=80°，由∠BAC=20°，∠PAQ=100°，得∠PAB+∠QAC=80°，由此可得∠P=∠QAC，同理可证∠PAB=∠Q，从而证明△PAB∽△AQC，利用相似比求函数关系式．【详解】∵AB=AC,∠BAC=20°，∴∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=80°，即∠P+∠PAB=80°，又∵∠BAC=20°，∠PAQ=100°，∴∠PAB+∠QAC=80°∴∠P=∠QAC同理，∠PAB=∠Q，∴△PAB∽△AQC，∴PB ABAC QC=,即x22y=，∴4 yx =.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用等腰三角形的性质，外角的性质证明角相等，从而证明三角形相似，利用相似比得函数关系式．21．详见解析.【解析】【分析】分别作A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC得△A'B'C'即可所求【详解】解：作线段''2''2''2'''A C AC AB AB BC BC A B C===、、，即可所求证明：''2''2''2A C AC AB AB BC BC===、、，∴''''''2A CBC A BAC BC AB===，∴'''ABC A B C∽，∴2'''''()4A B CABCS A BS AB==【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．22．（1）见解析；（2）4924；（3）DE的长分别为92或3．【解析】【分析】（1）由比例中项知AM AEAE AN＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM ＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知DE DCDC AD＝，据此求得AE＝8﹣92＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知AM DEAE DC＝，求得AM＝218，由求得AM AEAE AN＝MN＝4924；（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴AM AEAE AN＝，∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE＋∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM＋∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE＋∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴DE DC DC AD＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝92，∴AE＝8﹣92＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴AM DE AE DC＝，∴AM＝218，∵AM AE AE AN＝，∴AN＝143，∴MN＝49 24；（3）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝92；②∠ENM＝∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE ＝DE ，又tan ∠HAE ＝68EH DC AH AD ＝＝， 设DE ＝3x ，则HE ＝3x ，AH ＝4x ，AE ＝5x ，又AE ＋DE ＝AD ，∴5x ＋3x ＝8，解得x ＝1，∴DE ＝3x ＝3，综上所述，DE 的长分别为92或3． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．23．3PE cm =，5PF cm =【解析】【分析】由MN 垂直平分AC ，可得DA=DC;又BC AB ⊥，就可以根据等腰三角形腰高关系图得到PE PF BC +=，再根据直角三角形的相关知识和已知条件即可完成解答.【详解】 MN 垂直平分ACDA DC ∴=又BC AB ⊥由等腰三角形腰高关系图可知：PE PF BC +=在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，斜边16AC cm =8BC cm ∴=，8PE PF cm ∴+=，53PF PE =， 3PE cm ∴=，5PF cm =.【点睛】 本题解题的关键是应用等腰三角形腰高关系图，需要认真领会、掌握；解题会事半功倍. 24．见解析【解析】【分析】由条件可得CF ∥BE ，结合条件可证明△BAE ∽△ACF ，可得到CP AF PE AE ，则有CF ∥AP ． 【详解】证明：∵CF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴CF ∥BE ，∴CP CF PE BE，∠AFC ＝∠AEB ＝90°， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴△BAE ∽△CAF ，∴AF CF AEBE ， ∴CP AF PE AE， ∴CF ∥AP ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的逆定理及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意由线段对应成比例也可以证明平行．25．15m ．【解析】【分析】直接根据题意得出△CDE ∽△ABE ，进而得出AB 的值．【详解】∵由光的反射可知，12∠=∠，CED AEB ∠=∠，∵CD BD ⊥，AB CB ⊥，∴90CDE ABE ∠=∠=︒，∴A CDE BE ∽△△，CD DE AB BE=， ∵2ED =，20BE =， 1.5CD =，∴1.5220AB =， ∴15AB =，答：AB 的高为15m ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．26．（1）见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）由题意可得：AD ∥BC ，∠B=∠C=90°，可得∠EAM=∠AMB ，即可证△ABM ∽△EMA ；（2）根据勾股定理可求AM 的长，由△ABM ∽△EMA 可得BM AM AM AE=，可求AE 的长，即可得DE 的长．【详解】证明：()1四边形ABCD 是正方形， AD //BC ∴，B C 90∠∠==EAM AMB ∠∠∴=，且B AME 90∠∠==ABM ∴∽EMA()2AB 4=，BM 2=，B 90∠=AM ∴== ABM ∽EMABM AMAM AE ∴==AE 10∴=，DE AE AD 6∴=-=.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．27．（1）见解析；（2）AB ＝8；（3）①∠M ′FB 为定值，理由见解析；②当AM '⊥FM '时，AM '的值最小，AM '＝【解析】【分析】（1）由SAS证明△APE≌△ADE得出∠APE＝∠D＝90°即可；（2）由全等三角形的性质得出PE＝DE＝5，设BP＝x，则PC＝10﹣x，证明△ABP∽△PCE，得出AB BP APPC CE PE==，得出AB＝20﹣2x，CE＝12x，由AB＝CD得出方程，解方程即可得出结果；（3）①作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，证明△HQM'≌△GMQ得出HM'＝GQ，QH＝MG ＝4，设HM'＝x，则CG＝GQ＝x，FG＝4﹣x，求出QF＝GQ﹣FG＝2x﹣4，得出FH＝QH+QF＝2x，由三角函数得出tan∠∠M′FB＝12HMFH'=，即可得出结论；②当AM'⊥FM'时，AM'的值最小，延长HM'交DA延长线于N，则NH＝AB＝8，NM'＝8﹣x，AN＝BH＝HQ﹣BQ＝2x﹣6，同①得：△ANM'∽△M'HF，得出12AN HMM N FH'=='，解得：x＝4，得出AN＝2，NM'＝4，在Rt△ANM'中，由勾股定理即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，AB＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AD＝10，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE，∴AP＝AD，∠PAE＝∠DAE，在△APE和△ADE中，AP ADPAE DAE AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APE≌△ADE（SAS），∴∠APE＝∠D＝90°；（2）由（1）得：△APE≌△ADE，∴PE＝DE＝5，设BP＝x，则PC＝10﹣x，∵∠B＝90°，∠APE＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠CPE＝90°，∴∠BAP＝∠CPE，∴△ABP∽△PCE，∴AB BP APPC CE PE==，即10105AB xx CE==-＝2，∴AB＝20﹣2x，CE＝12x，∵AB＝CD，∴20﹣2x＝5+12x，解得：x＝6，∴AB＝20﹣2x＝8；（3）①∠M′FB为定值，理由如下：作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，如图2所示：则MG∥CD，∠H＝∠MGQ＝90°，∴∠QMG+∠MQG＝90°，∵M是DQ的中点，∴QG＝CG，∴MG是△CDQ的中位线，∴MG＝12CD＝12AB＝4，由旋转的性质，QM'＝QM，∠M'QM＝90°，∴∠HQM'+∠MQG＝90°，∴∠HQM'＝∠QMG，在△HQM'和△GMQ中，H MGQQM QMHQM QMG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩'，∴△HQM'≌△GMQ（ASA），∴HM'＝GQ，QH＝MG＝4，设HM'＝x，则CG＝GQ＝x，∴FG＝4﹣x，∴QF＝GQ﹣FG＝2x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，∴FH＝QH+QF＝2x，∴tan∠M′FB＝HMFH'＝12，∴∠M′FB为定值；②当AM'⊥FM'时，AM'的值最小，延长HM'交DA延长线于N，如图3所示：则NH＝AB＝8，NM'＝8﹣x，AN＝BH＝HQ﹣BQ＝4﹣（10﹣2x）＝2x﹣6，同①得：△ANM'∽△M'HF，∴ANM N'＝HMFH'＝12，∴268xx--＝12，解得：x＝4，∴AN＝2，NM'＝4，在Rt△ANM'中，由勾股定理得：AM'224225+=【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．。

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题（附答案详解）1．如图，线段AB,CD相交于点E,AD∥EF∥BC,若AE:EB=1:3，则=( )A．2B．C．D．2．如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且12AEEB，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．183．圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，如图，已知桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36π平方米B．0.81π平方米C．2π平方米D．3.24π平方米4．已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB:DE=9:4,那么等于（）A．3:2B．9:4C．16:81D．81:165．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．23B．12C．34D．356．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．27．如图，AB 是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B 距墙1.4m ，梯上点D 距墙DE=1.2m ，BD 长0.5m ，且△ADE ∽△ABC ， 则梯子的长为（ ）A ．3.5mB ．3.85mC ．4mD ．4.2m 8．如图,在平行四边形中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．4 : 99．如图，在ABC △中，DE BC ∥，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若1AD =，2DB =，则ADE 的面积与ABC △的面积的比等于（ ）．A ．12B ．14C ．18D ．1910．如图，在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为111211．在△ABC 中，AB=12 cm ，BC=18 cm ，CA=24 cm ．另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm ，那么△A′B′C′的最短边长为 cm ．12．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则S Ⅰ:S Ⅱ:S Ⅲ=________.13．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，直线l 经过点C ，且l ∥AB ，P 为l 上一个动点，若△ABC 与△P AC 相似，则PC ＝ .14．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CE=2DE ．将△ADE 沿AE对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③EG=DE+BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论是________．15．已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2：3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3：5，那么△ABC 与△ A 2B 2C 2的相似比为________。

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习培优训练题(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习培优训练题(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习培优训练题（附答案详解）1．下列判断中正确的个数有（）①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（）A．AE ADBE DC=B．AE ADAB AC=C．AD DEAC BC=D．AE DEAC BC=3．如图，已知，，则下列等式一定成立的是( )A．B．C．D．4．已知在△ABC中，DE//BC，DE分别交边AB、AC于D、E，且AD：DB=2：1，则△ADE与△ABC的面积比是（）A．2：1 B．4：1 C．2：3 D．4：95．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF 的长为（）A．1B．1 C．D．6．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：97．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D=135°；④BB′=BC；⑤2AB AE AF=⋅.其中正确的个数为（）.A．2B．3C．4D．58．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF2+BE2=EF2；④MG•MH=12，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．10．甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_____米．11．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，23)，线y=3-33x与x轴、y轴分别交于A、B,点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为___________________12．如图，△ABC的面积为S，点P1，P2，P3，．.．，P n-1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M、N分别在边AB，AC上，且1AM ANAB AC n==，连接MP1，MP2，MP3，．.．，MP n-1，连接NB，NP1，NP2，．.．，NP n-1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，．.．，线段MP n-1与NP n-2相交于点D n-1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，．.．，△ND n-1P n-1的面积和是______．（用含S与n的式子表示）13．如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形P n M n N n N n+1的面积为S n，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n=．14．如图，E是□ABCD边AD的中点，对角线AC与BE交于点F，若△ABF的面积为2，则□ABCD的面积为______.15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=2，DB=3，则DEBC=______．16．如图，点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，过点G作EF∥AB交BC与E，交AC与F，若EF=8，那么AB=_______．17．两棵树的高度分别是AB=16米,CD=12米,两棵树的根部之间的距离AC=6米.小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进,如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米,当小强与树CD的距离等于多少时,小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上,请说明理由.18．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP=90０，求证：△ADQ∽△QCP．19．（问题情境）如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（探究展示）（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展延伸）（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立，请分别作出判断，不需要证明．20．已知菱形ABCD边长为6，E是BC的中点，AE、BD相交于点P.（1）如图1，当∠ABC=90°时，求BP的长；（2）如图2，当∠ABC角度在改变时,BP的中垂线与边BC的交点F的位置是否发生变化?如果不变，请求出BF的长；如果改变，请说明理由；（3）当∠ABC从90°逐步减少到30°的过程中，求P点经过路线长.21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．22．如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20m，镜子与小华的距离ED=2m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A．已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5m，求铁塔AB的高度．23．已知△ABC 的三边长分别为5、12、13，和△ABC 相似的111A B C △的最大边长为26，求111A B C △的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．24．如图，△ABC 中任意一点P(x 0,y 0)经过平移后对应点为P 1(x 0+4,y 0-1).（1）画出△ABC 作同样的平移后得到的△A 1B 1C 1，并写出A 1、B 1、C 1的坐标.（2）以点P 1为位似中心，画出△A 1B 1C 1的一个位似△A 2B 2C 2，使它与△A 1B 1C 1的相似比为2:1. 并写出A 2、B 2、C 2的坐标.参考答案1．B【解析】解：①全等三角形是相似三角形，正确；②顶角相等的两个等腰三角形相似，正确；③所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误；④所有的菱形都相似，错误；⑤两个位似三角形一定是相似三角形，正确．故选B．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．2．D【解析】∵△ABC∽△ADE ，∴AE DE AC BC，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．3．D【解析】试题分析：根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比，可知BC、DF不是对应边，故A、B、C不正确.故选：D考点：相似三角形的性质4．D【解析】因为在△ABC中,DE//BC,所以△ABC∽△ADE,因为AD:DB=2:1,所以AD:AB=2:3,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得:△ADE与△ABC的面积比是4:9,故选D. 5．B【解析】【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．【详解】解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴AB BF AD BD=，即0.5BF1.5 1.5=，∴BF=0.5，∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．故选B．【点睛】此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．6．A【解析】【分析】【详解】∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选A．7．C【解析】【分析】【详解】①点B'与点B关于AE对称∴ABF与AB F'关于AE对称AB AB'∴=AB AD '∴=故①项正确；②如图，连接EB '则BE B E EC '==,FBE FB E '∠=∠,EB C ECB ''∠=∠ 90FB E EB C FBE ECB '''∴∠+∠=∠+∠=︒ 即BB C '△为直角三角形FE 为BCB '的中位线2B C FE '∴=B EFAB F '' 12FE EB FB AB ∴==' 故2FB FE '=B C FB ''∴=FCB '∴为等腰直角三角形故②项正确；③设ABB AB B x ''∠=∠=︒，AB D ADB y ''∠=∠=︒ 则在四边形ABB D '中，2290360x y ++︒=︒ 即135x y +=︒又90FB C '∠=︒36013590135DB C '∴∠=︒-︒-︒=︒故③正确；④90BB C '∠=︒BB BC '∴<⑤90ABE BF AE ∠=︒⊥，90ABE AFB ∴∠=∠=︒BAF BAF ∠=∠ABFAEB ∴ AB AF AE AB∴= 2AB AE AF ∴=⋅故⑤正确．故选C ．8．C【解析】【详解】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC=1∴AB=22112+=（所以①正确）②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，∴MB ⊥BC ，∠MBC=90°，∵MG ⊥AC ，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC ， ∴MG ∥BC ，四边形MGCB 是矩形，∴MH=MB=CG ，∵∠FCE=45°=∠ABC ，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF ，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=12AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，CF CD2DCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴AF AC BC BF=， ∴AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG 是矩形，∴MG ∥BC ，MH=CG ，MG ∥BC ，MH ∥AC ， ∴,CH AE CG BF BC AB AC AB==， 即11MG MH ==∴MG=2AE ；MH=2BF ，∴MG•MH=2AE×2BF=12AE•BF=12AC•BC=12， 故④正确．故选C ．9．32或34【解析】试题分析：如图1所示；点E 与点C′重合时．在Rt △ABC 中，．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE ．则EB=2．设DC=ED=x ，则BD=4﹣x ．在Rt △DBE 中，DE 2+BE 2=DB 2，即x 2+22=（4﹣x ）2．解得：x=32．∴DE=32．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC ﹣DC=4﹣3=1．∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ．∴14DE DB AC CB ==，即134ED =．解得：DE=34．点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．10．9【解析】如图，设路灯甲的高为x米，由题意和图可得：1.5530x=，解得9x=，∴路灯甲的高为9米.11．9 2【解析】当PM⊥直线AB时，此时PM有最小值，令x=0代入33∴y=3-∴3令y=0代入33∴x=3，∴OA=3，∴在Rt△AOB中，由勾股定理可知：AB=23∵P(0, 23，∴BP=233∵∠OBA=∠MBP,∠AOB=∠PMB=90∘，∴△AOB ∽△BMP ∴PM OA BP AB =， ∴PM=92故答案为：92 12．12n n- •S 【解析】连接MN ，设BN 交MP 1于O 1，MP 2交NP 1于O 2，MP 3交NP 2于O 3，∵1AM AN AB AC n ==，∴MN ∥BC ，∴1MN AM BC AB n==， ∵点P 1，P 2，P 3，…，P n ﹣1是边BC 的n 等分点，∴MN =BP 1=P 1P 2=P 2P 3，∴四边形MNP 1B ，四边形MNP 2P 1，四边形MNP 3P 2都是平行四边形，易知S △ABN =1n •S ，S △BCN =1n n-•S ，S △MNB =21n n -•S ， ∴11BPQ S ∆ =122P P Q S ∆=323P P Q S ∆=212n n-•S ， ∴S 阴=S △NBC ﹣n •11BPQ S ∆=1n n-•S ﹣n •212n n -•S =12n n -•S ， 故答案为：12n n - •S ．【点睛】本题考查了三角形的面积、规律型问题，解题的关键是根据已知条件进行推导，从中发现规律.13．【解析】考点：相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．分析：先求出一个小梯形的高和面积，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出四边形P n M n N n N n+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面积减上方的小三角形的面积即可．解：如图，根据题意，小梯形中，过D 作DE ∥BC 交AB 于E ，∵上底、两腰长皆为1，下底长为2，∴AE=2-1=1，∴△AED 是等边三角形，∴高h=1×sin60°=3， S 梯形=12×（1+2）×3=343， 设四边形P n M n N n N n+1的上方的小三角形的高为x ，根据小三角形与△AM n N n 相似，AN n =2n ，由相似三角形对应边上高的比等于相似比，可知x h x -=12n， 解得x=21h n +=13， ∴S n =S 梯形-12×1×13212n +， =334-121n +?3． 14．12【解析】如图，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G .∵点E是边AD的中点，又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，∴1122AE AD BC==，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴12 AF AECF CB==.∵BG⊥AC，∴△ABF的面积为12AF BG⋅，△ABC的面积为12AC BG⋅，∴△ABF与△ABC的面积之比为1212AF BG AFAC AC BG⋅=⋅.∵12 AFCF=∴AC=AF+CF=AF+2AF=3AF，∴△ABF与△ABC的面积之比为133AF AFAC AF==，即△ABC的面积是△ABF的面积的3倍，∵△ABF的面积为2，∴△ABC的面积为326⨯=，∵△ABC的面积是平行四边形ABCD面积的一半，∴平行四边形ABCD面积为6212⨯=.故本题应填写：12.15．2 5【解析】【分析】【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD BC AB=∵AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴25DE ADBC AB==故答案为：25．16．12【解析】连结CG并延长交AB于点H.∵点G是△ABC的重心，23CGCG∴= .∵EF∥AB∴△CEF∽△CBA,23EF CGAB CH∴==,3381222EFAB∴==⨯= .17．15.6m【解析】【试题分析】若小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，则ODE∆和OBF∆相似，根据相似三角形对应边成比例，得OE DEOF BF=即12 1.6616 1.6xx-=+-解得x=15.6【试题解析】设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F连接O、D、E得ODE∆和OBF∆设OE=x，OF=6+x,ODE OBFOE DEOF BF∆~∆∴=即12 1.6616 1.6xx-=+-解得x=15.6【方法点睛】本题目考查相似三角形的运用，根据对应边成比例来构造方程.难度不大. 18．证明见解析【解析】试题分析：本题利用等角的余角相等得出一对相等的角，加上直角得出相似三角形.试题解析：在Rt△ADQ与Rt△QCP中，∵∠AQP=90°,∴∠AQP+∠PQC=90°,又∵∠PQC+∠QPC=90°,∴∠AQP=∠QPC，∴Rt△ADQ∽Rt△QCP.19．（1）证明见解析；（2）成立.证明见解析；（3）(1)成立；(2)不成立【解析】【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．【详解】解：（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．∴△ADE≌△NCE（AAS）∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．（2）AM=DE+BM成立．证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴△ABF≌△ADE（ASA）．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．∴△ADE≌△PCE（AAS）．∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．②结论AM=DE+BM不成立．证明：假设AM=DE+BM成立．过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．∵AQ⊥AE，∴∠QAE=90°．∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB ∴∠Q=∠QAM．∴AM=QM．∴AM=QB+BM．∵AM=DE+BM，∴QB=DE．∴△ABQ≌△ADE（AAS）∴AB=AD．与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．∴AM=DE+BM不成立．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，考查了基本的模型构造：平行和中点构造全等三角形.有较强的综合性.20．（1）BP=2）点F的位置不发生改变，BF=2；（3）P的路径长为23π.【解析】（1）当∠ABC=90°时，菱形ABCD成为正方形; ∵E是BC的中点，BC＝6,∴BE＝3.由勾股定理得BP==,AD BC∵∥,BPE DPA∴∆~,BE BPAD DP∴=,36∴=BP∴=（2）∵当∠ABC 角度在改变时，始终有MF ∥AC ,BN BF BO BC ∴= . ∵BN ,BO ,BC 始终不变，∴点F 的位置不发生改变.MF 垂直平分BP ,1122222BM BP ∴==⨯= 45CBD ∠= ,2222BF BN ∴==⨯= .（3）点P 经过的路线是以点P 为圆心，以NP 为半径，圆心角为60°的一段扇形.所以路线长为60221803ππ⨯= . 21．(1)证明见解析；（2）1.【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C 即可． （2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴， 又∵，∴，∴1．22．15m【解析】 试题分析：根据反射定律可以推出.CED AEB ∠=∠ 所以可得ABE CDE ∽，再根据相似三角形的性质解答．试题解析：结合光的反射原理得：.CED AEB ∠=∠在Rt CDE △和Rt ABE △中，90,CDE ABE CED AEB ，∠=∠=∠=∠Rt CDE Rt ABE ∴∽，CD DE AB BE∴=， 即1.5220AB ，= 解得()15m .AB =答：铁塔AB 的高度是15m.23．90°．【解析】试题分析：由题中条件可得三角形的相似比，进而可得其对应边的比，再由勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形，即最大角为90°． 试题解析：解：∵△ABC 的相似三角形111A B C 的最大边长为26，即对应△ABC 的对应最大边长13，所以对应边长的比值为2，所以另两边分别为10，24，故三角形的周长为10+24+26=60． 22251213+=三角形的最大角度为90°．24．（1）画图见解析， A 1（0,1）、B 1（1,-2）、C 1（3,2）（2）画图见解析A 2（-1,2）、B 2（1,-4）、C 2（5,4）【解析】试题分析：（1）根据平移规律，横坐标加上4，纵坐标减去1，先找出平移后的点A 1、B 1、C 1的坐标位置，然后顺次连接即可得到△A 1B 1C 1，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；（2）延长P1A1到A2，使P1A2=2P1A1，延长P1B1到B2，使P1B2=2P1B1，延长P1C1到C2，使P1C=2P1C1，顺次连接A2、B2、C2即可得到△A2B2C2，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标2即可．试题解析：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，点A1（0，1），B1（1，-2），C1（3，2）；（2）△A2B2C2即为所求作的三角形，点A2（-1，2），B2（1，-4），C2（5，4）．【点睛】本题考查了利用平移变换，位似变换作图，根据相应变换找出对应点的位置是作图的关键，也是难点．。

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题（附答案详解） 1．在▱ABCD 中，EF ∥AD ，EF 交AC 于点G ，若AE=1，BE=3，AC=6，AG 的长为（ ）.A ．1B ．1.5C ．2D ．2.52．若ABC DEF ∽，且AB:DE 1:3=，则ABCDEFS :S(? = )A ．1:3B ．1:9C ．1: 3D ．1:1.53．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD =BC =12，点P 在AB 上，且PQ ∥AD 交BC 于点Q ，PM ∥BC 交AC 于点M ，若PM =2PQ ，则PM 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．如图,在平行四边形中，点在边上,与相交于点,且,则与的周长之比为（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．4 : 95．在同一时刻太阳光线是平行的，如果高米的测杆影长米，那么此时影长米的旗杆的高度为（ ）A ．18米B ．12米C ．15米D ．20米6．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN 的长度为何？（ ）A ．43B ．32C ．85D ．1277．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为（ ） A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．1∶2 8．如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )A ．米B ．米C ．米D ．10米9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E ，若AB=3，BC=4，则ACAE的值为___________________．10．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．11．如图5, 在△ABC 中，AB =8，AC =5，M 是AC 边上的一点，AM =2， 在AB 边上取一点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AN 的长为__________．12．如图，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 的中点，则AM 的最小为___．13．如图，晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB 和EC ）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子HN 长为3 m ，左边的影子FH 长为1m ．小亮身高GH 为1.5m ，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离BC 为16m ，则路灯的高为____ m ；14．如图，在Rt ABC ∆中， 90,3,4BAC AB AC ∠=︒==，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以,PA PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为__________.15．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．16．如图，在△ABC 中，G 是重心．如果AG=6，那么线段DG 的长为 ．17．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE=∠C ．（1）求证：△BDE∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上，设EF=x，S四边形DEFG=y.（1）填空：自变量x的取值范围是___________；（2）求出y与x的函数表达式；（3）请描述y随x的变化而变化的情况.19．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A 开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．（1）点F在边BC上．①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．21．如图,抛物线y=﹣0.5x2+bx+3,与x轴交于点B(﹣2，0)和C,与y轴交于点A,点M在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）连结BM并延长，交抛物线于D,过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．22．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△AEF，则AE＝；（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE的长．23．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB=AD．（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．（2）AF与DF相等吗？为什么？24．如图，将矩形ABCD沿AH折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．折痕与边BC交于点H，已知AD=8，HC∶HB=3∶5．（1）求证：△HCP∽△PDA；（2）探究AB与HB之间的数量关系，并证明你的结论；（3）连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．参考答案1．B．【解析】试题分析：根据平行四边形定义得AD∥BC，由已知的EF∥AD得BC∥FE，所以△AEG∽△ABC，所以AE AGAB AC=，即1136AG=+，解得AG=1.5.故选：B．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．2．B【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．3．C【解析】如图，设AD与PM的交点为E，PQ=x，则PM=2x，∵PM∥BC，PQ∥AD，AD⊥BC于点D，∴四边形PQDE为平行四边形，AE⊥PM于点E，△APM∽△ABC，∴DE=PQ=x，AE=AD-DE=12-x，AE PM AD BC=,∴1221212x x-=，解得：4x=，∴PM=8. 故选C.4．C 【解析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，CD=AB ． ∴△DFE ∽△BFA ， ∵DE ：EC=1：2，∴EC ：DC=CE ：AB=2：3， ∴C △CEF ：C △ABF =2：3． 故选C ． 5．A 【解析】试题分析：本题主要考查的就是三角形相似的实际应用，物长之比=影长之比，根据题意可得：1.5：旗杆的高度=3：36，则旗杆的高度为18米. 6．D 【解析】试题解析：∵四边形DEFG 是正方形， ∴DE ∥BC ，GF ∥BN ，且DE=GF=EF=1， ∴△ADE ∽△ACB ，△AGF ∽△ANB ，∴=AE DEAB BC ①， =AE EF GFAB BN②， 由①可得，1=43AE ，解得：AE=43， 将AE=43代入②，得：4+113=4BN， 解得：BN=127，故选D ． 7．D试题解析：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长比为1：2．故选D ． 8．A 【解析】试题解析：由题意∠AGC=∠FGE ，∵∠ACG=∠FEG=90°， ∴△ACG ∽△FEG ， ∴∴∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米． 故选A ．点：相似三角形的应用． 9．724【解析】作BH ⊥OA 于H ，如图，∵四边形ABCD 为矩形， ∴OA=OC=OB ，∠ABC=90°， 在Rt △ABC 中，2234 ， ∴AO=OB=52， ∵12BH•AC=12AB•BC ，∴BH=3412=55⨯，在Rt△OBH中，7 10，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴BH OH AE OA=，∴771012245OA OHAE BH===，故答案为7 24.10．4∶9【解析】试题解析：两个相似三角形的周长比是4:9.∴这两个三角形的相似比是4:9.对应角平分线的比等于相似比,是4:9.故答案是：4:9.点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方.11．165或54【解析】试题解析：分两种情况：①△AMN∽△ABC，∴AM：AB=AN：AC，即2：8=AN：5，∴AE=54；②△AMN∽△ACB，∴AM：AC=AN：AB，即2：5=AN ：8，∴AE=165． 12．2.4．【解析】【分析】【详解】解：在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10， ∴∠BAC=90°，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ， ∴四边形AFPE 是矩形， ∴AM=12AP ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，∴当AP ⊥BC 时，△ABP ∽△CAB ， ∴AP AB AC BC= ∴6810AP = ∴AP 最短时，AP=4.8∴当AM 最短时，AM=2AP =2.4 故答案为：2.4．13．7.5；【解析】试题解析：设路灯的高为x 米，∵GH ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴GH ∥AB ．∴△NGH ∽△NAB ． ∴=GH NH x NB①． 同理△FGH ∽△FCEF =FCGH H x ②． ∴==NH FH NH FH NB FC NB FC++．∴34164NB =+． 解得NB=15米，代入①得1.5315x =， 解得x=7.5． 14．125【解析】【分析】【详解】解：90,3,4,BAC AB AC ︒∠===225BC AC AB ∴=+=四边形APCQ 是平行四边形,,PO QO CO AO ∴==.∵PQ 最短也就是PO 最短,过O 作BC 的垂线OP′.,'90'ACB P CO CP O CAB ︒∠=∠∠=∠=,~',CAB CP O ∴',CO OP BC AB∴= 2',53OP ∴= 65OP '∴=.则PQ的最小值为122'5 OP= .故答案为：12 5.15．1.5【解析】【分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DF DE BC CE=，∴1 32 DF=，∴DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.16．3【解析】试题分析：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG=12AG=3．考点：三角形的重心．17．（1）证明见解析；（2）2.4.【解析】【分析】（1）由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可得△BDE∽△CA；（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．【详解】（1）∵ AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD，且∠ADE=∠C，∴∠BDE =∠CAD．∴△BDE∽△CAD．（2）由（1）△BDE∽△CAD得DB AC BE CD=．∵ AB=AC= 5，BC= 8，CD=2，∴DB BC CD6=-=．∴DB CD62BE 2.4AC5⨯⨯===．18．（1）0＜x＜12；（2）y=﹣23（x﹣6）2+24；（3）当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；当x=6时，y的值达到最大值24，当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．【解析】试题分析：(1)、根据EF是线段BC的一部分从而得出EF的取值范围；(2)、过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，根据等于三角形的性质得出BN和AN的长度，然后根据△ADG和△ABC相似，从而得出MN的长度，然后根据三角形的面积计算法则得出函数解析式；(3)、根据二次函数的性质得出增减性和最值.试题解析：（1）0＜x＜12；（2）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M∵AB=AC=10，BC=12，AN⊥BC ∴BN=CN=6，AN==8，∵DG∥BC∴∠ADG=∠ABC , ∠AGD=∠ACB ∴△ADG∽△ABC，，即，∴MN=8﹣x．∴y=EF•MN=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣6）2+24；（3）当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；当x=6时，y的值达到最大值24，当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．19．(1) ①t=1；②．（2），.【解析】试题分析：（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．②利用△EBF∽△DCF，得出，列出方程求解．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用，求出点O 的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．试题解析：（1）①如图1∵DE⊥AF，∴∠AOE=90°，∴∠BAF+∠AEO=90°，∵∠ADE+∠AEO=90°，∴∠BAE=∠ADE，又∵四边形ABCD是正方形，∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（ASA）∴AE=BF，∴1+t=2t，解得t=1．②如图2∵△EBF∽△DCF∴，∵BF=2t，AE=1+t，∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，∴，解得：，（舍去），故．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵∵，∴BO=，OG=，设O的坐标为（a，b），解得∴O的坐标为（，）把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得=×+3﹣t，解得，t=（舍去），t=，②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵BG==2∵，∴BO=，OG=，设O的坐标为（a，b），解得 ∴O 的坐标为（，） 把O 的坐标为（，）代入y=x+3﹣t ，得 =×+3﹣t ， 解得：t=．综上所述，存在t=或t=，使得．【考点】四边形综合题．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）2.AD EF = 【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB ，GD=GC ．由“SAS”可判定△AGD ≌△BGC 根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC ；（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△AGB ∽△DGC ，再由相似三角形对应高的比等于相似比可得GA EG GD FG=，再证得∠AGD=∠EGF ，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△AGD ∽△EGF ；（3）如图1，延长AD 交GB 于点M ，交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥BH ．由△AGD ≌△BGC 可知∠GAD=∠GBC ．在△GAM 和△HBM 中，由∠GAD=∠GBC ，∠GMA=∠HMB 可证得∠AGB=∠AHB=90°，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AGE =45°，即可得出2.GA GE =根据相似三角形对应边的比相等即可得 2.AD AG EF EG== 【详解】（1）∵GE 是AB 的垂直平分线，∴GA=GB ．同理GD=GC ．在△AGD 和△BGC 中，∵GA=GB ，∠AGD=∠BGC ，GD=GC ，∴△AGD ≌△BGC ．∴AD=BC ．（2）∵∠AGD=∠BGC ， ∴∠AGB=∠DGC ．在△AGB 和△DGC 中，GA GB GD GC=，∠AGB=∠DGC ， ∴△AGB ∽△DGC ．∴GA EG GD FG =，又∠AGE=∠DGF ，∴∠AGD=∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ． （3）如图，延长AD 交GB 于点M ，交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥BH ． 由△AGD ≌△BGC ，知∠GAD=∠GBC ，在△GAM 和△HBM 中，∠GAD=∠GBC ，∠GMA=∠HMB ．∴∠AGB=∠AHB=90°，∴∠AGE=12∠AGB=45°， ∴ 2.GA GE= 又△AGD ∽△EGF ， ∴2.AD AG EF EG ==21．（1）y =−12x ²+12x +3；（2）点M 的坐标为(2,0)或(−2,0)；（3）点M 的坐标为(0,10)或(0,−10).【解析】(1)将点B (−2,0)代入抛物线的解析式y =−0.5x²+bx +3得−0.5×(−2) ²−2b +3=0，∴b =12， ∴抛物线的解析式为y =−12x ²+12x +3. (2)如图1中，∵抛物线的解析式为y =−12x ²+12x +3, 与x 轴交于B (−2,0),A (3,0),C (0,3)，∴OA =OC ，∴△AOC 是等腰直角三角形，∵OM ∥DE ，∴△BMO ∽△BDE ，∵要使B. D. E 为顶点的三角形与△AOC 相似， ∴只要△BOM ∽△AOC ,设M (0,m )，∴OMOB =OAOC ， ∴323m， ∴m =±2，∴点M 的坐标为(2,0)或(−2,0).(3)如图2中，作AG ⊥AC 交x 轴于G ，BF ⊥AG 于F.∵OA=OC,∠AOC=∠GAC=90∘，∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45∘，∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45∘，∴∠FAB=∠OMB,设M(n,0)，∵∠AFB=∠BOM=90∘，∴△AFB∽△MOB，∴点M的坐标为(0,10)或(0,−10).22．（1）AE＝；（2）；（3）【解析】（1）AE＝；………………2分（2）如图②，设AE＝x，则CE＝4－x．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．由折叠可知：AE＝EM＝x，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF＝∠MFE．∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．∴AE＝EM＝MF＝AF，∴四边形AEMF为菱形．………………4分∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．………………5分∴＝，即＝，解得x＝，即AE＝………………6分（3）如图③，设AE＝y，则CE＝4－y．由折叠可知：AE＝EN＝y，AF＝NF，∵NF⊥AB，∴∠NFB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠NFB＝∠ACB．且∠NBF＝∠ABC，∴△NBF ∽△ABC． (7)分∴＝＝．即BF＝NF＝AF．由BF+ AF＝AB＝5，解得：BF＝，NF＝，………………8分∴BN＝，CN＝BN－BC＝－3＝．………………9分在Rt△CEN中，由CN2+CE2＝EN2，∴()2+(4－y)2＝y2，解得：y＝，即AE＝．23．（1）△FDB∽△ABC，理由见解析；（2）DF=AF，理由见解析.【解析】试题分析：（1）易证∠EBC=∠ECB和∠ABC=∠ADB，即可判定△FDB与△ABC相似；（2）根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求得DF=12AB，即可解题．试题解析：（1）∵DE是BC垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB，∴△FDB∽△ABC；（2）∵△FDB∽△ABC，∴12 FD BDAB BC==，∴AB=2FD，∵AB=AD，∴AD=2FD，∴DF=AF．24．（1）证明见解析（2）AB=2BH（3）25【解析】试题分析：（1）根据两角对应相等的两三角形相似可求证；（2）根据（1）的结论，由相似三角形的性质可求出二者之间的关系；（3）作MQ∥AB交PB于Q，可得∠MQP=∠ABP，然后由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，即∠MQP=∠APB，根据等角对等边可得MP=MQ，又BN=PM，根据等量代换可得MQ=BN，然后由平行线分线段成比例可求EF=12PB，最后根据勾股定理求解.试题解析：（1）由折叠的性质可知，∠APH=∠B=90°，∴∠APD+∠HPC=90°，又∠PHC+∠HPC=90°，∴∠APD=∠PHC，又∠D=∠C=90°，∴△HCP∽△PDA；（2）AB=2BH.∵HC:HB=3:5，设HC=3x，则HB=5x，在矩形ABCD中，BC=AD=8 ，∴HC=3，则HB=5 由折叠的性质可知HP=HB=5,AP=AB,在Rt△HCP,易得PC=4，∵△HCP∽△PDA∴AD CPAP HP=,∴85104AP⨯==∴AB=AP=10=2BH,即AB=2BH.（3）EF的长度不变．作MQ∥AB交PB于Q，∴∠MQP=∠ABP，由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，∴∠MQP=∠APB，∴MP=MQ，又BN=PM，∴MQ=BN，∵MQ∥AB，∴QF MQ FB BN=，∴QF=FB，∵MP=MQ，ME⊥BP，∴PE=QE，∴EF=12 PB，由（2）得，PC=4，BC=8，∴22PC BC+45∴EF=5。

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2（附答案详解）1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则与ABG 一定相似的三角形是（ ）A ．ABE △B ．HBC C ．EHD △ D ．HGF △ 2．如图，在ABC ∆中，76,4,6A AB AC ∠=︒==，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．BAC ABC ∠=∠B ．BAC ADC ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AD AB AC = 4．如图，AD 、BC 相交于点O ，由下列条件不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CDB ．A D ∠=∠ OA OB OA AB5．下列命题是假命题的是（ ）A ．所有等边三角形一定相似B ．所有等腰直角三角形一定相似C ．有一个角为120︒的两个等腰三角形相似D ．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似6．如图，下列四个三角形中，与ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，4AC =，6CE =，3BD =，DF =( )A ．7B ．7.5C ．8D ．4.58．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定A ABC DE ∽△△的是（ ）．A ．AB AC AD AE = B ．AB BC AD DE = C ．B D ∠=∠ D ．C AED ∠=∠ 9．如图，ABC ∆中，80C ∠=，4AC =，6BC =.将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．④10．如图，在ABC ∆中，7646A AB AC ︒∠===，，，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，∠A= ∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，则添加的条件可以是_________________.12．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，添加一个条件使得ADE ACB ∆∆∽，添加的一个条件是_________．13．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ∥，交AB 于点E ，点F 在AB 上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使FCB ADE ∆∆∽，并给出证明.你添加的条件是：______.14．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB ∽△ADE ．15．如图，已知ABCD 中，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ，下面结论：①A BHE =∠∠；②BHE CDE ∆≅∆；③BHEGAB ∆∆；④BHD BDG ∆∆；其中正确的结论是______（只填写正确的序号）16．等腰ABC ∆被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰ABC ∆的顶角的度数是____．17．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．19．下面是小东设计的“作已知三角形的相似三角形，且各对应边边长为已知三角形的一半”的尺规作图过程，已知：如图①，ABC ．求作：ADE ，使得A ABC DE ∽△△且:2:1AB AD =．作法：如图②，①分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于M 、N 两点，连接MN 交AB 于点D ；②分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于P 、Q 两点，连接PQ 交AC 于点E ；③连接DE ；所以ADE 为所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明． 证明：2AB AD=，AC AE =________，BAC ∠=________， ∴A ABC DE ∽△△（______________）（填推理的依据）． 20．如图，AD ⊥BC 于点D ，点E 在边AB 上，CE 与AD 交于点G ，EF ⊥AD 于点F ，AE ＝5cm ，BE ＝10cm ，BD ＝9cm ，CD ＝5cm ，求AF 、FG 、GD 的长．21．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：~DEF ABC ．22．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 、F 为线段AB 上两动点，且45ECF ∠=︒，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．（1）求证：ACE BFC ∆∆∽；（2）试探究AF 、BE 、EF 之间有何数量关系？说明理由．23．如图，ABC 和EFD △的顶点都在正方形网格的格点上，则ABC 与EFD △相似吗？请说明理由．24．教材第97页在证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”（如图，已知(),DE DF AB DE A D AB AC=>∠=∠，求证：ABC DEF ∽△△）时，利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前两节课已经解决的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）．利用上述方法完成这个定理的证明．25．如图，弦BC 经过圆心D ，AD ⊥BC ，AC 交⊙D 于E ，AD 交 ⊙D 于M ，BE 交AD 于N ．求证：△BND ∽△ABD ．26．（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n （n ＞m ），点P 在边AC 上．当AP ＝ 时，△APB ∽△ABC ；（2）如图②，已知△DEF （DE ＞DF ），请用直尺和圆规在直线DF 上求作一点Q ，使DE 是线段DF 和DQ 的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．D【解析】【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，即可得到与ABG ∆一定相似的三角形.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴ABG ∆与HGF △互为相似三角形，故选D.【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，解题关键在于掌握相似三角形的判定定理. 2．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C 、4213,42,63AB AC -=-==，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 3．D【解析】【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．【详解】解：∵∠A=∠A若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意； 若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．4．D【解析】【分析】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠A ＝∠D 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OB OD OC=、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD =，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意．故选：D【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 5．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】解：A 、所有等边三角形一定相似，故A 选项为真命题；B 、所有等腰直角三角形一定相似，故B 选项为真命题；C 、有一个角为120︒的两个等腰三角形相似，故C 选项为真命题；D 、有一条边对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，故D 选项为假命题，故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．C【解析】【分析】△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．【详解】由题图可知，6AB AC ==，75B ∠=︒所以∠B=∠C=75°，所以30A ∠=︒．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与ABC 相似的是C 项中的三角形故选：C ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．7．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.【详解】∵a b c ∥∥∴AC BD CE DF= 即：43=6DF 4.5DF =故选：D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容并能正确的列出比例式是关键. 8．B【解析】【分析】根据已知得到一组角相等，依据相似三角形的判定定理再添加一组角相等或是已知相等角的两条边对应成比例即可判定三角形相似.【详解】∵12∠=∠，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠BAC=∠DAE 若AB AC AD AE=，则A ABC DE ∽△△，故A 正确； 若AB BC AD DE =不能证明A ABC DE ∽△△，故B 错误； 若B D ∠=∠，则A ABC DE ∽△△，故C 正确；若C AED ∠=∠，则A ABC DE ∽△△，故D 正确，故选：B.【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理并运用解题是关键.9．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不成比例，故两三角形不相似；综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．10．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例6424,4136-==-且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形中，有24,36=但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．11．∠B=∠DEF（或∠ACB=∠F或AB∥DE或AC∥DF或AB AC=DE DF，任写一个即可）【解析】【分析】由相似三角形的判定定理结合已知条件添加一个条件即可，答案不唯一.【详解】已知一组对应角相等，可根据两组对应角相等判定三角形相似，可添加∠B=∠DEF或∠ACB=∠F；或者添加平行条件AB∥DE得∠B=∠DEF，添加AC∥DF得∠ACB=∠F；还可根据两组对边成比例且夹角相等判定三角形相似，添加AB AC =DE DF， 故答案为：∠B=∠DEF （或∠ACB=∠F 或AB ∥DE 或AC ∥DF 或AB AC =DE DF ，任写一个即可）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理，结合已知条件进行添加是解题的关键. 12．∠ADE=∠ACB【解析】【分析】根据三角形相似的判定定理，即可得到答案.【详解】∵∠A=∠A ，∠ADE=∠ACB ，∴ADE ACB ∆∆∽，故答案是：∠ADE=∠ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键，注意：此题的答案不唯一.13．添加EA ：ED=BA ：BC （答案不唯一），理由见解析【解析】【分析】欲证△ADE ∽△CFB ，通过DE ∥BC 发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠B=∠AED 此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加EA ：ED=BA ：BC （答案不唯一）．∵DE ∥BC ，∴∠B=∠AED ．∵EA ：ED=BA ：BC ，∴△ADE ∽△CFB ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．14．∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB = 【解析】【分析】由∠A 是公共角，且DE 与BC 不平行，可得当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB＝时，△ADE ∽△ACB ．【详解】①补充∠ADE=∠C ，理由是：∵∠A 是公共角，∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ACB ．故答案为：∠ADE=∠C ．②补充∠AED=∠B ，理由是：∵A 是公共角，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ． ③补充AD AE AC AB=，理由是： ∵∠A 是公共角，AD AE AC AB =， ∴△ADE ∽△ACB ．故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．15．①②③【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C ，由DE BC ⊥，BF CD ⊥可得∠C+∠EDC=90°，∠BHE+∠EDC=90°，从而①求解；②由AAS 定理证明三角形全等；③由AA 定理证明三角行相似；由∠BDE=45°，而∠G≠45°，可知④不正确.【详解】解：∵在ABCD中∠A=∠C，且∠BHE=∠DHF又∵DE BC⊥，BF CD⊥∴∠C+∠EDC=90°，∠DHF+∠EDC=90°∴∠BHE+∠EDC=90°∴A BHE=∠∠，故①正确；∵45DBC∠=︒，DE BC⊥∴BE=DE在△BHE和△CDE中90BHE DCEBEH DECBE DE∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BHE CDE∆≅∆，故②正确；在ABCD中AG∥BC∴∠G=∠HBE又∵A BHE=∠∠∴BHE GAB∆∆，故③正确；∵45DBC∠=︒，而∠G=∠HBE∴∠G≠45°，故④错误故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、等腰直角三角形和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点综合运用是本题的解题关键.16．36或90或108【解析】【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解．【详解】解：①如图1，∵AB=AC ，当BD=CD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°，∴∠BAC=90°．此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故CBA ∆∽ABD ∆；②如图2，∵AB=AC ，AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故CBA ∆∽ABD ∆；③如图3，∵AB=AC ，AD=BD=BC ，∴∠B=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC ，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有CBA ∆∽CDB ∆；故答案为：36或90或108．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解.17．∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【解析】【分析】 由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB ，∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ；当AP AC AC AB=时，△ACP ∽△ABC ． 故答案为：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似． 18．5或203 【解析】【分析】若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形,所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF=时,ABE △与DEF 相似, 由6AB =,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =,∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203． 故答案为: 5或203． 【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．19．（1）见解析；（2）2，DAE ∠，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】【分析】（1）按照作法作出图形即可；（2）根据已知条件计算，根据三角形的判定定理填空即可.【详解】（1）补全图形如图；（2）2AB AD=，AC AE =__2______，BAC ∠=___DAE ∠_____， ∴A ABC DE ∽△△（__两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）（填推理的依据）． 故答案为：2，DAE ∠，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查的是尺规作图及三角形相似的判定，掌握几何作图语言及三角形相似的判定定理是关键.错因分析：中等题．失分原因：①不能正确运用尺规完成作图；②没有掌握相似三角形的判定定理．20．AF ＝4cm ，FG ＝3cm ，GD ＝5cm【解析】【分析】根据平行线得△AEF ∽△ABD ，得到AE AB ＝EF BD，代入已知数据求出EF ，根据平行线分线段成比例定理得到AF AD ＝AE AB ，EG DG ＝EF DC，计算得到答案． 【详解】 ∵AD ⊥BC ，EF ⊥AD ，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD ， ∴AE AB ＝EF BD， 又AE ＝5cm ，BE ＝10cm ，BD ＝9cm ，∴EF ＝3cm ，在Rt △ABD 中，AB ＝15，BD ＝9，由勾股定理得，AD ，∵EF ∥BC ， ∴AF AD ＝AE AB， ∴AF ＝4，DF ＝8，∵EF ∥BC ，∴EG DG ＝EF DC， ∴FG ＝3cm ，GD ＝5cm ．答：AF ＝4cm ，FG ＝3cm ，GD ＝5cm ．【点睛】本题考查的是相似三角形、平行线分线段成比例定理和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．21．证明见解析【解析】【分析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明~DEF ABC .【详解】 解：//,~,DE OE AB DE ODE OAB AB OB∴∴=． //,~,EF OE OF BC EF OEF OBC BC OB OC∴∴==． //,~,DF OF AC DF ODF OAC AC OC ∴∴=． ∴DE EF DF AB BC AC ==， ∴~DEF ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键. 22．（1）见解析；（2）222EF AF BE =+，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得出∠A=∠5=45°，再证得∠7=∠ACE ，即可得出△ACE ∽△BFC ；（2）将△ACF 顺时针旋转90°至△BCD ，由旋转的性质得出CF=CD ，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF ，证得∠DCE=∠2，由SAS 可证△ECF ≌△ECD ，得出EF=DE ，证得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴545A∠=∠=︒，∵71145A∠=∠+∠=∠+︒，12145ACE∠=∠+∠=∠+︒，∴7ACE∠=∠，∴ACE BFC∆∆∽；（2）222EF AF BE=+，理由如下：∵90ACB∠=︒，AC BC=，∴545A∠=∠=︒，将ACF∆顺时针旋转90︒至BCD∆，如图所示：则CF CD=，14∠=∠，645A∠=∠=︒，BD AF=，∵245∠=︒，∴133445∠+∠=∠+∠=︒，∴2DCE∠=∠，在ECF∆和ECD∆中，2CF CDDCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ECF ECD SAS∆∆≌，∴EF DE=，∵545∠=︒，∴90EBD∠=︒，∴222DE BD BE=+，即222EF AF BE=+．【点睛】本题是相似形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定、旋转的性质等知识；综合性较强，有一定的难度． 23．~ABC EFD .理由见解析【解析】【分析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论.【详解】 解：相似，理由如下：设网格中小正方形的边长均为1． 根据勾股定理，得5,25,5,2,22,10AB AC BC EF DE DF ======， ∴52AB AC BC EF DE DF ===， ∴~ABC EFD .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键. 24．见解析【解析】【分析】在AB 上截取AG=DE ，作GH ∥BC ，则可得△AGH ∽△ABC ，再由已知条件证明△AGH ≌△DEF 即可证明：△ABC ∽△DEF ．【详解】证明：在AB 上截取AG DE =，作//GH BC ．AGH ABC ∴△∽△．AG AH AB AC ∴=． ∵,DE DF AG DE AB AC==，∴AH DF =，∵A D ∠=∠，∴AGH DEF △≌△，∴ABC DEF ∆∆∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．25．见解析【解析】【分析】首先证明△ABD ≌△ACD ，由全等三角形的性质可知：∠ABD=∠ACD 因为BC 是直径，所以∠BEC=90°再证明∠BND=∠ACD 即可证明△ABD ∽△ACD ．【详解】∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在△ADB 和△ADC 中，===90=AD AD ADB ADC DB DC ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴∠ABD=∠ACD ，∵BC 是直径，∴∠BEC=90°，∵∠BND=∠ANE=90°-∠DAC=∠ACD ， ∴△ABD ∽△ACD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理，相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．26．（1）2m n；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB ACAC AP=,即m nn AP=,∴AP=2mn.（2）解：作∠DEQ＝∠F,如图点Q就是所求作的点【点睛】本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关练习题2（附答案详解）1．小明的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为( )A．3.2米B．4.8米C．5.4米D．5.6米2．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC 上，EF在BC上，则正方形DEFG的边长为（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．33．如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC=4，则S△ADE=（）A．1B．2C．3D．44．如图，在□ABCD中，点AE∶ED 1∶2，BE交AC于点F，则AF∶CF为（）A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．2∶55．如图，在△ABC中，AB=9，BC=18，AC=12，点D在边AC上，且CD=4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A．12B．16C．12或16D．以上都不对6．在△ABC中，D和E是AB和AC上的点，且DE∥BC，DE＝1，BC＝3，AB＝6，则AD的长为A．2 B．1.5 C．1 D．2.57．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（）A．5B．32C．352D．728．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm9．身高1.6m的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是2m，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是10m，则路灯离地面的高度是（）A．8m B．15m C．12.5m D．9.6m10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N，QM⊥BE，QN⊥EC相交于点Q，PM⊥AF，PN⊥DF相交于点P，若2BC=3AB，记△ABM和△CDN的面积和为S，则四边形MQNP的面积为（）A．12S B．58S C．916S D．34S11．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=4，BD=2，则AEAC=_____．12．某人身高1.7米，某一时刻影长2米，同时一棵树影长为10米，则此树高________米．13．某生利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆CD 等于3m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15m ，人的眼睛距地面的高度EF ＝1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2m ．则旗杆AB 的高度为_____．14．已知'''ABC A B C ∽，且ABC 的面积是A B C '''面积的2倍，那么对应边AB 的长度是A B ''长度的________倍．15．如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果BC=5，△ABC 的面积是10，那么这个正方形的边长是_____．16．一个三角形的边长分别为5 cm ，8 cm ，12 cm ，另一个三角形的最长边为7.2cm ，则当另一个三角形的另外两边长是_______________cm 时，这两个三角形相似． 17．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm ，则旗杆高为____米．18．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为2米的标杆影长为4米，那么影长为30米的旗杆的高为_____米．19．如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC ，他量得2AB =米，3BD =米，9CE =米，则河宽BC 为________米．20．两个相似三角形的对应边分别是10cm 和20cm ，它们的周长相差20cm ，则较小三角形的周长是_____cm ．21．材料阅读：如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点（无需写解答过程）；（3）如图③所示的矩形ABCD ，将矩形ABCD 沿CM 折叠后，点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究点E 的位置．22．梯形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，CE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，且BE CE BC CF ⋅=⋅．()1求证：AE CF BE DF⋅=⋅；()2若点E为AB中点，求证：222AD BC EC BC⋅=-．23．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．求这个正方形零件PQMN面积S．24．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．（1）如图1，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的长；（2）将图1中的△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，如图2，P，Q分别为线段AN，BC的中点，连接AC，BN，PQ，求证：BN=2PQ．25．如图，直线1l：4123y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线2l与x轴、y轴分别交于C、B两点，且AB︰3BC=︰4．（1）求直线2l的解析式，并判断ABC的形状；（2）如图1，P为直线1l上一点，横坐标为12，Q为直线2l上一动点，当35 PQ CQ+最小时，将线段PQ沿射线PA方向平移，平移后P、Q的对应点分别为'P、'Q，当''OQ BQ +最小时，求点'Q 的坐标；（3）如图2，将ABO 沿着y 轴翻折，得到DBO ，再将BCD 绕着点C 顺时针旋转α︒（0180α<<）得到''B CD ，直线''B D 与直线2l 、x 轴分别交于点M 、N ．当CMN 为等腰三角形时，请直接写出线段BM 的长．26．如图，为了测量路灯S 的高度，把一根1.5m 长的竹竿AB 竖立在地面上，测得竹竿的影长BC 为1m ，然后拿着竹竿沿DB 方向远离路灯方向走了4米到B'，再把竹竿竖立在地面上（即A'B'），测得竹竿的影长为1.8m ，求路灯的高度．27．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ． （1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．28．如图，直角三角形ABC 到直角三角形DEF 是一个相似变换，AC 与DF 的长度之比是3:2．()1DE与AB的长度之比是多少？()2已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是26cm，求直角三角形DEF的周长与面积．参考答案1．C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，设这棵树的高度为xm ，则可列比例为：1.826x =， 解得，x=5.4．故选C ．【点睛】本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 2．B【解析】试题解析：过点作AM ⊥BC 于点M ，∵AB =AC =5，BC =6，132BM BC ∴==， 在Rt △ABM 中, 224AM AB BM =-=， ∵四边形DEFG 是矩形，∴//DG EF ,DE ⊥BC ，∴AN ⊥DG ，四边形EDMN 是矩形，∴MN =DE ，设MN =DE =x ，∵//DG EF∴△ADG ∽△ABC ，∴DG :BC =AN :AM ，464DG x -∴=， 解得：362DG x =-+， ∵四边形DEFG 为正方形，∴DE =DG ,即362x x =-+， 解得12.5x = ∴正方形DEFG 的边长为12.5 故选B.点睛：相似三角形的对应高之比等于相似比.3．A【解析】【分析】【详解】如图，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE ：BC=1：2，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴=（）2，即，∴S △ADE =1．故选A ．点睛：本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形面积之比与对应边之比的关系，能够熟练掌握.4．B【解析】【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，求证△AEF ∽△BCF ，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ∽△BCF ， ∴AE AF =BC CF， ∵AE ∶ED 1∶2， ∴AE AF ==13BC CF ：， 故答案选：B.【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.5．A【解析】【分析】为两种情况：①∠ADE =∠C ，根据△ADE ∽△ACB ，得出DE BE =AD AC，代入求出DE 即可；②∠ADE ′=∠B ，根据△ADE ∽△ABC ，得出AE AC =AD AB，代入求出AE ＞AB ． 【详解】∵∠A =∠A ， 分为两种情况：①DE ∥BC （即∠ADE =∠C ），∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC =AD AC， ∴18DE =812，②∠ADE ′=∠B ，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =AD AB， ∴12AE =1249- ， ∴AE =323＞AB ，不合题意， 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，关键是求出符合条件的所有情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，用的数学思想是方程思想和分类讨论思想．6．A【解析】【分析】根据相似三角形的性质定理解答.【详解】如图所示由DE ∥BC 得∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB所以△ABC ∽△ADE故AD DE 1AB?BC 3== ，AD=13AB=2，故答案选A. 【点睛】熟练掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键.7．C【解析】由正方形的性质知DG=CG-CD=2、AD∥GF，据此证△ADM∽△FGM得AD DMFG GM=,求出GM的长，再利用勾股定理求解可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，则△ADM∽△FGM，∴AD DMFG GM=，即123GMGM-=,解得：GM=3 2,∴,故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．8．B【解析】【分析】由已知可证△ABO∽CDO,故CD OCAB OA=,即1.813AB=.【详解】由已知可得，△ABO∽CDO,所以，CD OC AB OA=,所以，1.813 AB=，所以，AB=5.4故选B【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 9．D【解析】【分析】如图，设AB 为小亮，CD 为路灯，10DB =米，利用相似三角形求得CD 的长即可.【详解】解：如图， 1.6102AB m DB BE ===，米，米，EAB ECD ∽，AB EB CD ED∴=， 即：1.6212CD =， 解得：9.6CD =米，故选D ．【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形在实际生活中的运用，解题的关键根据题意画出图形，构造出相似三角形．10．C【解析】【分析】连接EF ．证明Rt PFM ≌Rt PFN ，设4AB a =，则6AD a =，连接MN 交EF 于O ，则332MN a MO OM a ===，， 证明PMO FAB ∽，根据相似三角形的性质得到98OP a =，进而求出S 菱形MQNP 219273,248a a a =⨯⨯=1432ABF S a a S =⨯⨯=，即可求出四边形MQNP 的面积【详解】解：连接EF ．∵四边形ABCD 是矩形，AE ED BF FC ==，，∴四边形ABFE ，四边形CDEF 都是矩形，且是全等的矩形，∴FA DF FM AM FN DN ====，，∵AE ED =，∴AFE DFE ∠=∠，连接PF ，在Rt PFM 和Rt PFN 中，,PF PF FM FN =⎧⎨=⎩ ∴Rt PFM ≌Rt PFN ，∴PFM PFN PM PN ∠=∠=，，∴E 、P 、F 共线，同法可证，E 、Q 、F 共线，则易证四边形MQNP 是菱形， ∵23BC AB =，设4AB a =，则6AD a =，连接MN 交EF 于O ，则332MN a MO OM a ===，， ∵PMO FAB ∽，∴3,4OP BF MO AB == ∴98OP a =， ∴S 菱形MQNP 219273,248a a a =⨯⨯= ∵ABM 和CDN △的面积和为S ，∴1432ABF Sa a S =⨯⨯=， ∴26S a =， ∴S 菱形MQNP 916S =． 故选C ．【点睛】属于综合题，考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质等，综合性比较强，对学生要求较高.11．2 3【解析】【分析】利用三角形相似对应边成比例可解. 【详解】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AE AD AC AB=∵AD=4，BD=2∴42423 AEAC==+故答案为23.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例. 12．8.5【解析】【分析】根据同时同地物高与影长的比相等列出比例式, 然后求解即可. 【详解】解：根据题意得,设此树高x米，可得：1.7=102x，解得x=8.5米.故答案为:8.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用, 熟练掌握同时同地物高与影长的比相等列出比例式是解题的关键.13．13.5 m．【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB 的长度分成了2个部分，AH 和HB 部分，其中HB=EF=1.6m ，剩下的问题就是求AH 的长度，利用△CGE ∽△AHE ，得出 ,CG EG AH EH=把相关条件代入即可求得AH=11.9m ，得出AB 的长即可． 【详解】如图所示：∵CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴CD ∥AB∴△CGE ∽△AHE,CG EG AH EH∴= 即： ,CD EF DF AH FD BD-=+ ∴3 1.62,215AH -=+ ∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m ）．故答案为13.5 m ．【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.142【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵△ABC的面积是△A′B′C′面积的2倍，∴对应边AB的长度是A′B′长度的2倍.【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.15．．【解析】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=4，设正方形DEFG 的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可．【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，交GF于M，∵△ABC的面积是10，∴BC•AH=10，∴AH=4，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴,，解得x=．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．16．3和4.8【解析】【分析】 根据两个相似三角形的最长边的值,可求出它们的相似比,根据相似比列式计算即可求出另外两条边.【详解】设另一个三角形的两边长是x,y,由题意可得:7.25812x y ==, 解得3, 4.8x y ==,因此三角形另外两边长为3,4.8,故答案为:3,4.8.【点睛】本题主要考查相似三角形三边对应成比例,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质. 17．6【解析】【分析】根据题意找出相似三角形，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】由题意可知，AG 为△ABC 的高，AF =60cm=0.6m ，AG=30m ，DE=0.12m ，∵△ADE ∽△ABC ，∴AF DE AG BC=， 即0.60.1230BC =， 解得BC=6m ．故答案为：6.【点睛】本题考查相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．15【解析】【分析】根据标杆的高度：标杆的影长=旗杆的高度：旗杆的影长，列式求解即可【详解】设影长为30米的旗杆的高为xm.2 4= 30 x解得x=15故答案为：15【点睛】考查相似三角形的应用；利用物高与影长成正比得到相应的等量关系是解决本题的关键19．4【解析】【分析】首先证明△ABD∽△ABC，根据相似三角形的性质可求出AC的长，进而求出BC长即可. 【详解】∵∠BCA=∠ABD=90°，∠A=∠A，∴△ABD∽△ABC，∴AB BDAC CE=，即239AC=，∴AC=6，∴BC=6-2=4（米）故答案为：4【点睛】本题考查相似三角形的判定及应用，熟练掌握判定定理是解题关键. 20．20【解析】试题解析：∵两相似三角形的一组对应边为10cm,20cm，∴两相似三角形的周长比为10:20，即1:2，设较小的三角形的周长为a，则较大三角形的周长为2a，依题意，有:2a−a=20，a=20，因此较小三角形的周长分别为20cm.故答案为：20.点睛：相似三角形的周长比等于相似比.21．（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）详见解析；（3）E为AB的中点．【解析】【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，边之间的数量关系，从而可求出E点的位置．【详解】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是：∵∠A=40°，∴∠ADE+∠DEA=140°，∵∠DEC=40°，∴∠BEC+∠DEA=140°，∴∠ADE=∠BEC，∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）作图如下：（3）若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，则△AEM ∽△BCE ∽△ECM ，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM ，由折叠得：∠ECM=∠DCM ，CE=CD ， ∴∠BCE=∠BCD=30°， ∴BE=CE=AB ，即E 为AB 的中点．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的对应边成比例的性质，解题关键是读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出∠CED=90°，从而确定作以CD 为直径的圆．22．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）求出∠B=∠DCE ，证△BCE ∽△CEF ，推出∠BCE=∠CEF ，推出EF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理得出即可．（2）求出EF=12（AD+BC ），根据相似三角形的性质得出CE 2=BC•EF ，代入求出即可． 【详解】证明：()1∵CE AB ⊥，∴90B BCE ∠+∠=，∵DC BC ⊥，∴90DCE BCE ∠+∠=，∴B DCE ∠=∠，∵BE CE BC CF ⨯=⨯，∴BE CF BC CE=， ∴BCE CEF ∽，∴BCE CEF ∠=∠，∴//EF BC ， ∴AE DF BE CF=， 即AE CF BE DF ⋅=⋅．()2∵在梯形ABCD 中，////EF BC AD ，E 为AB 中点，∴F 为DC 的中点， ∴()12EF AD BC =+， ∵BCE CEF ∽， ∴BC CE CE EF=，即2CE BC EF =⋅， ∴()212CE AD BC BC =+⋅， 整理得：222AD BC EC BC ⋅=-．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．23．正方形零件PQMN 面积是2304mm 2.【解析】试题分析：PN 与AD 交于点E ，如图，设MN=xmm ，则AE=AD ﹣ED=80﹣x ，再证明△APN ∽△ABC ，利用相似比可表示出PN=32（80﹣x ），根据正方形的性质得到32（80﹣x ）=x ，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．试题解析：PN 与AD 交于点E ，如图，设MN=xmm ，易得四边形MNED 为矩形，则ED=MN=x ，∴AE=AD ﹣ED=80﹣x ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴PN AE BC AD = ，即8012080PN x -= ， ∴PN=32（80﹣x ）， ∵PN=MN ，∴32（80﹣x ）=x ， 解得x=48，故正方形零件PQMN 面积S 为：48×48=2304（mm 2），答：正方形零件PQMN 面积S 是2304mm 2.24．（1）AC4+22；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用角平分线定理求出FM ，再利用等腰直角三角形的性质即可得出CF ，最后用2AC CD =即可；（2）先判断出2DN DP=,再判断出∠PDQ=∠NDB ，进而得出，△PDQ ∽△NDB 即可判断出结论；【详解】解：（1）如图1，∵等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，CD 为斜边AB 上的中线． ∴CD ⊥AB ，∠ACD=45°过点F 作FM ⊥AC ，∵AE 平分∠CAB ，∴FM=FD=2在Rt △CMF 中，∠ACD=45°，∴222CF MF ==，∴222CD CF FD =+=+，∵CD 是等腰直角三角形斜边的中线，∴()22222422AC CD ==+=+； （2）如图2，连接DP ，DQ ，∵△ADC 绕点D 顺时针旋转一定角度得到△ADN ，∴AN=BC ，DN=CD=DB ，△ADN 是等腰直角三角形，∵△BCD 是等腰直角三角形，点Q 是BC 中点， ∴1122222DQ BC BD DN ===， ∵点P 是AN 中点，∴1122DP AN BC DQ ===， ∴2,DN DP= ∵∠NDP=∠CDQ=45°， ∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90°+∠CDN ， ∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90°+∠CDN ， ∴∠PDQ=∠NDB ，∵2,DN DP= ∴△PDQ ∽△NDB ，∴2,BN PQ=∴.BN =【点睛】 考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.25．（1）3124y x =-+，ABC 为直角三角形 ；（2）'Q （15619，3919-）；（3）20BM =，856，，3220 3- 【解析】【分析】（1）解直角三角形求出AB 、AC 、BC 理由勾股定理的逆定理即可解决问题；（2）如图1中，作QM ⊥x 轴于M ，首先说明当P 、Q 、M 三点共线，且PM ⊥x 轴时，PQ+35CQ 最小，构建一次函数理由方程组确定交点Q 的坐标即可；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【详解】（1）∵直线1l ：4123y x =+ ∴A （9-，0），B （0，12）∴在Rt AOB 中，15AB =∵AB ︰3BC =︰4∴20BC =∴在Rt BOC 中，16OC =即C （16，0）设直线2l ：y kx b =+（0k ≠）∴16012k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3412k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线2l ：3124y x =-+ ∵15AB =，20BC =，91625AC =+=∴222AC AB BC =+∴ABC为直角三角形（2）作QM x⊥轴于M，则CQM∽CBO∴QM CQBO CB=∴35QM BOCQ CB==即35QM CQ=∴35PQ CQ PQ QM+=+∴当P、Q、M三点共线，且PM x⊥轴时，35PQ CQ+最小∴Q（12，3）平移过程中，点'Q在直线3l上移动∵31//l l且3l经过点Q（12，3）∴3l：4133y x=-作点B（0，12）关于3l的对称点'B，则'B（24，6-），连接'OB，与直线3l的交点即为所求点'Q∵直线'OB:14y x=-∴413314y xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得156193919xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴'Q（15619，3919-）（3）20BM =， 856，，32203， 【点睛】 本题考查一次函数综合题、垂线段最短、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，理由垂线段最短解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．路灯离地面的高度是9米【解析】【分析】先根据AB ⊥DC ′，DS ⊥DC ′可知△ABC ∽△SDC ，同理可得△A ′B ′C ′∽△SDC ′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h 的值．【详解】∵AB ⊥DC ′，DS ⊥DC ′，∴SD ∥AB ，∴△ABC ∽△SDC ，∴BC BC DB +=AB DS ，即11DB +=1.5h ，解得：DB =23h ﹣1①； 同理．∵A ′B ′⊥DC ′，∴△A ′B ′C ′∽△SDC ′，∴'''''B C B C BB DB ++='' 1.81.84A B DS DB ++，=1.5h② 把①代入②得： 1.825.813h +-=1.5h ，解得：h =9． 答：路灯离地面的高度是9米．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．27．（1）证明见解析；（2）245. 【解析】试题分析：利用矩形角相等的性质证明△DAE ∽△AMB .试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE =∠AMB ，又∵∠DEA =∠B =90°， ∴△DAE ∽△AMB .（2）由（1）知△DAE ∽△AMB ，∴DE ：AD =AB ：AM ，∵M 是边BC 的中点，BC =6，∴BM =3，又∵AB =4，∠B=90°， ∴AM =5，∴DE ：6=4：5，∴DE =245． 28．（1）2:3；（2）DEF 的周长为8cm ，283DEF Scm =． 【解析】【分析】 根据相似三角形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：()1由相似变换可得：::2:3DE AB DF AC ==；()2∵:3:2AC DF =，∴DEF 的周长：ABC 的周长2:3=，:4:9DEF ABC S S =，∵直角三角形ABC 的周长是12cm ，面积是26cm∴DEF 的周长为8cm ，283DEF Scm =． 【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的性质的理解及运用．。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2（附答案详解）1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．12B．3C．2D．12．如图，四条线段的长分别为9，5，x、1（其中x为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，则x可取值的个数为（）A．1个B．3个C．6个D．9个3．如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10，则零件的内孔直径AB长为（）A．30B．20C．10 D．54．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（）A．32m B．36m C．48m D．56m5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=2，DB=1，S△ADE=4，则S四边形DBCE（）A．3 B．5 C．7 D．96．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．12ADAB=B．12AEEC=C．12ADEC=D．12DEBC=8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（）A ．52B ．32C ．352D ．729．已知△ABC ∽△DEF ，S △ABC ：S △DEF =1：9，若BC =1，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．910．如图所示：CAB BCD ∠=∠，AD=2，BD=4，则BC=( )A ．26B ．22C ．3D ．611．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则DE 的长是（ ）A ．5B ．32C ．74D ．15412．已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为（ ）A ．4:3B ．16:9C ．2:3D ．3:2 13．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为1S 、2S 、3S ，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则123S S S 的值为（ ）A ．103B ．92C ．133D ．414．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于C 、H ．请判断下列结论：()1BE DF =；()2AG GH HC ==；()132EG BG =；()43ABE AGE S S =．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．如图，△ABC 中，点D 为AB 中点，点E 在AC 上，若DE∥BC，则S △ADE ∶S 四边形DECB 的值为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶2 16．某人身高1.7米，某一时刻影长2米，同时一棵树影长为10米，则此树高________米．17．在某一时刻，小明同学测得一高为2米的竹竿的影长为1米，某一旗杆的影长为7米，则旗杆的高度为________米．18．如图，点C 、D 在线段AB 上（AC ＞BD ），△PCD 是边长为6的等边三角形，且∠APB=120°，若AB=19，则AC=______．19．如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC ＝∠AED ．若DE ＝4，AE ＝5，BC ＝8，则AB 的长为________20．设离小孔20O cm 处有一支长为16cm 的蜡烛AB ，经小孔O 成像，在小孔O 后面30cm 的屏幕上所成像''A B 的长为________cm ．21．在△ABC 中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交直线AB 于点P ，当△PQB 为等腰三角形时，线段AP 的长为_____．22．一棵高3米的小树影长为4米，同时临近它的一座楼房的影长是24米，这座楼房高________米．23．如图，中，AC=3，BC=4，，P 为AB 上一点，且AP=2BP ，若点A 绕点C 顺时针旋转60°，则点P 随之运动的路径长是_________24．如图，在等边△ABC 中，AB=4，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，连接DE 交AC 于点F ，则△AEF 的面积为_______．25．如图，Rt ABC 中，90C ∠=，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且四边CDEF 是正方形．若4AE =，3BE =，1Rt AFE S S =，2Rt BDE S S =，则12S S +=________．26．ABC 的三边分别为2、10、2，'''A B C 的两边长分别为2和22，如果'''ABC A B C ∽，那么'''A B C 的第三边的长是________．27．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点P 、Q 分别在边BC 、AC 上，PQ ∥AB ，把△PCQ 绕点P 旋转得到△PDE （点C 、Q 分别与点D 、E 对应），点D 落在线段PQ 上，若AD 平分∠BAC ，则CP 的长为_________．28．如图，在ABC 中，AB 9=，AC 12=，BC 18=，D 为AC 上一点，2DC AC 3=．在AB 上取一点E 得ADE ．若图中两个三角形相似，则DE 的长是________．29．如图，正方形ABCD 中，BC=2，点M 是AB 边的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，若∠DFE=45°，PF=5，则DP 的长为_____；则CE=_____．30．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 翻折到点E 处，如果DE ∶AC =1∶3，那么AD ∶AB =____________．31．如图，已知ABC ADE ∽，30AB cm =，18AD cm =，20BC cm =，75BAC ∠=，40ABC ∠=．()1求ADE ∠和AED ∠的度数；()2求DE的长．32．如图，已知矩形OABC，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0）， C（0，3），点P 以每秒1 个单位的速度从点C 出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB 交x 轴于点E，连接PE 交AB 于点F，设运动时间为t 秒．（1）当t=2 时，求点E 的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E 为顶点的三角形与△PCB 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．33．小张在课外活动时，发现一个烟囱在墙上的影子正好和自己一样高．他测得当时自己在平地上的影子长米，烟囱到墙的距离是米．如果小张的身高是米，你能否据此算出烟囱的高度？34．如图，锐角△ABC 中，BC＝12，BC 边上的高AD＝8，矩形EFGH 的边GH在BC 上，其余两点E、F 分别在AB、AC 上，且EF 交AD 于点K(1) 求AKEF的值(2) 设EH＝x，矩形EFGH 的面积为S①求S 与x 的函数关系式②请直接写出S 的最大值35．如图，相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线杆钢索系在离地面4 m 处，另一根电线杆钢索系在离地面6 m处，求中间两根钢索相交处点P离地面的距离．36．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求PECE的值．37．如图，已知G、H分别是□ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．（1）当18CFHCDGHSS∆=四边形时，求CHDG的值；（2）联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.38．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．39．已知：如图，圆内接四边形ABCD ，过C 点作对角线BD 的平行线交AD 的延长线于E 点．求证：DE AB BC CD ⋅=⋅．40．如图，BC 为⊙O 的直径，A 为⊙O 上的点，以BC 、AB 为边作▱ABCD ，⊙O 交AD 于点E ，连结BE ，点P 为过点B 的⊙O 的切线上一点，连结PE ，且满足∠PEA=∠ABE ． （1）求证：PB=PE ；（2）若sin ∠P=35， 求DE DC的值．41．如图，已知ABC 中，135ABC ∠=，过B 作AB 的垂线交AC 于点P ，若12CP PA =，2PB =，求BC 的长．42．如图所示，小华站在距离路灯的灯杆（AB ）5m 的C 点处，测得她在路灯灯光下的影长（CD ）为2.5m ，已知小华的身高（EC ）是1.6m ，求路灯的灯杆AB 的高度．43．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F,且AB BC AC AD DE AE==⑴求证：△ABC∽△ADE；⑵求证：∠BAD=∠CAE；⑶若∠BAD=18°，求∠EBC的度数.44．如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．45．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG、AE；()1求证：AG AE=；()2过点F作FP AE⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC 于H，求证：NH FM=．46．如图，在△ABC中，AB=4 cm，AC=2 cm．(1)在AB上取一点D，当AD=_________cm时，△ACD∽△ABC．(2)在AC的延长线上取一点E，当CE=________cm时，△AEB∽△ABC此时BE与DC 有怎样的位置关系?________47．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：PC CE CD CB=；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．48．已知等边ABC中，D是BC边上的动点，60EDF∠=．求证：BDE CFD∽．49．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．参考答案1．D【解析】由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°， ∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB , ∴DE BC =AE AC, ∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ， ∴AE AC =DE BC =13， ∴DE =1.故选D.点睛：若题目中出现较多的角相等，但是没有边相等的条件可以往三角形相似的方向考虑. 2．C【解析】【分析】首先过B 作BE ∥CD 交AD 的延长线于E ，根据题意即可得,,90BE CD DE BC E ==∠=，可得AB 是最长边，长为9或x ，然后由勾股定理可得22222()()AB AD DE BE AD BC CD =++=++，然后分别从AB x ，= CD 为9或5或1；9AB CD x ==，或5或1去分析求解，即可求得答案．【详解】解：过B 作BE ∥CD 交AD 的延长线于E ，根据题意得：,,90BE CD DE BC E ==∠=，∴22222()()AB AD DE BE AD BC CD =++=++，∵90ADC C ∠=∠=，∴AB 是最长边，长为9或x ，若AB =x ,CD =9,则117313x ==；若AB =x ,CD =5,则12555x ==；若AB =x ,CD =1,则197x =；若AB =9,CD =x ,则4535x ==；若AB =9,CD =5,则812512141x =-=；若AB =9,CD =1,则811545 5.x =-=故选C ．【点睛】考查了勾股定理的应用以及相似三角形的知识，此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．3．B【解析】【分析】要求零件的内孔直径AB 长，由题可知只需求出AB 即可．因为CD 和AB 平行，可得△AOB ∽△COD ，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】∵两条尺长AC 和BD 相等，OC =OD ，∴OA =OB ．∵OC ：OA =1：2，∴OD ：OB =OC ：OA =1：2．∵∠COD =∠AOB ，∴△AOB ∽△COD ，∴CD ：AB =OC ：OA =1：2．∵CD =10，∴AB =20．故选B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求得AB 的长即可．4．C【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答即可；【详解】∵AB ∥DE ，∴△ABC ∽△DEC ，∴AB AC DE CD=， ∴8530DE =， ∴DE=48m ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．5．B【解析】【分析】根据题意可以得到△ADE 和△ABC 相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求得△ABC 的面积，从而可求得四边形DBCE 的面积．【详解】∵AD =2，DB =1，∴AB =AD +DB =3．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴．∵S △ADE =4，∴S △ABC =9，∴S 四边形DBCE =9﹣4=5．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．B【解析】分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判断.详解: ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴EF CF CEAB CB CA==,故选B.点睛：本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 7．B【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AE DE AB AC BC==，∵BD=2AD，∴13ADAB=，31DEBC=，12AEEC=，故选A．8．C【解析】【分析】根据正方形的性质可得DG=CG﹣CD=2，AD∥GF，进而得到△ADM∽△FGM，再由AD DMFG GM=，求出GM的长，最后利用勾股定理求解即可.【详解】∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，∴DG=CG﹣CD=2，AD∥GF，则△ADM∽△FGM，∴AD DMFG GM=，即123GMGM-=，解得：GM=32，∴==故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质及勾股定理是解答本题的关键.9．C【解析】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，∴BC：EF=1：3，∵BC=1，∴EF的长为：3．故选C．10．A【解析】【分析】两角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质可解．【详解】∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，∴△ABC∽△CBD，∴BC：BD=AB：BC，∴BC：BD=（AD+BD）：BC，即BC：4=（2+4）：BC，∴，故选：A．【点睛】此题考查相似三角形的判定定理及性质，关键是根据两角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD．11．C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=12AC=5，∵EO⊥AC，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴AE AO AC AD=，即5 108 AE=，解得，AE=254，∴DE=8﹣254=74，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．12．B【解析】【分析】根据相似三角形的性质直接解答即可．【详解】∵两个相似三角形的周长比是8:6=4:3，∴它们的面积比是16:9，故答案为：16:9.【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 13．A【解析】 【分析】 由特殊角的三角函数计算出平行四边形AB 边上的高DH ，从而得出平行四边形ABCD 的面积，进而得出S △PBC 、S 2+S 3的值，由E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点以及∠FPE =∠CPB 可得△PEF ∽△PBC ，根据相似三角形的性质得出△PEF 与△PBC 的面积之比，从而得出S 1的值，最后求出S 1+ S 2+ S 3的值即可.【详解】作DH ⊥AB 交AB 于点H ，∵AD =2，AB =23，∠A =60°， ∴DH =AD ·sin 60°=2×3=3， ∴S 平行四边形ABCD =23×3=6，∴S △PBC =S 2+S 3=3，∵E 、F 分别是PB 、PC 的三等分点，∴PF PC =PE PB =13， ∵∠FPE =∠CPB ，∴△PEF ∽△PBC ，∴PEFPBC S S =19， ∴S 1=13， ∴S 1+ S 2+ S 3=13+3=103.故选A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，找出对应三角形面积之间的关系是解题的关键.14．D【解析】【分析】（1）根据BF∥DE，BF=DE可证BEDF为平行四边形；（2）根据平行线等分线段定理判断；（3）根据△AGE∽△CGB可得；（4）由（3）可得△ABG的面积=△AGE面积×2．【详解】(1)∵▱ABCD,∴AD=BC,AD∥BC.E.F分别是边AD、BC的中点，∴BF∥DE，BF=DE.∴BEDF为平行四边形，BE=DF.故正确；(2)根据平行线等分线段定理可得AG=GH=HC.故正确；(3)∵AD∥BC,1122AE AD BC==，∴△AGE∽△CGB，AE:BC=EG:BG=1:2，∴12EG BG=.故正确,(4)∵BG=2EG，∴△ABG的面积=△AGE面积×2，∴S△ABE=3S△AGE.故正确.故选:D.【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质, 平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.15．B【解析】【分析】由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，再由相似三角形的性质即可得到两个三角形的面积比，进而可得出结论．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵点D 为AB 中点，∴AD ：AB =1：2，∴:ADE ABC S S ∆∆=1：4，∴S △ADE ∶S 四边形DECB =1：3． 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，能够熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．8.5【解析】【分析】根据同时同地物高与影长的比相等列出比例式, 然后求解即可.【详解】解：根据题意得,设此树高x 米， 可得： 1.7=102x ， 解得x=8.5米.故答案为:8.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用, 熟练掌握同时同地物高与影长的比相等列出比例式是解题的关键.17．14【解析】【分析】根据同一时刻物长比影长相等即可解题.【详解】设旗杆的高度为x 米,由题可知：2:1=x ：7,解得：x=14.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题, 熟悉相似三角形性质是解题关键.18．9【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，得出∠ACP=∠PDB=120°，证出∠APC=∠B，得出△ACP∽△PDB，因此AC：PD=PC：BD，AC•BD=PD•PC=36，设AC=x，则BD=AB-AC-CD=13-x，得出方程，解方程即可．【详解】∵△PCD是等边三角形，∴PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，∴∠A+∠APC=60°，∵∠APB=120°，∴∠A+∠B=60°，∴∠APC=∠B，∴△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴AC•BD=PD•PC=36，设AC=x，则BD=AB-AC-CD=13-x，∴x（13-x）=36，解得：x=9，或x=4（舍去），∴AC=9.故答案为：9．【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质、等边三角形的性质及其应用等几何知识点问题；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．19．10【解析】试题解析：在△ABC和△AED中，∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，∴△AED∽△ABC，AE ED∴=，AB BC又∵DE=4，AE=5，BC=8，548AB∴=，∴AB=10.故答案为10.20．24【解析】【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度即可．【详解】因为△AOB∽△A′OB′,所以AB:A′B′=OD:OD′,即16:A′B′=20:30,解得：A′B′=24cm.所成像A′B′的长为24cm.【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.21．53或6．【解析】【分析】当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP 的中点，从而可以求出AP．【详解】解:在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.∵∠QPB为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时， 当点P 在线段AB 上时，如题图1所示：∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =PQ ，由(1)可知,△AQP ∽△ABC ，∴,PA PQ AC BC = 即3,54PB PB -= 解得：43PB =， ∴45333AP AB PB =-=-=； 当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图2所示：∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =BQ .∵BP =BQ ，∴∠BQP =∠P ，∵90,90BQP AQB A P ，∠+∠=∠+∠= ∴∠AQB =∠A ，∴BQ =AB ，∴AB =BP ，点B 为线段AP 中点，∴AP =2AB =2×3=6. 综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,AP 的长为53或6. 故答案为53或6.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．22．18【解析】【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出楼房的高度即可.【详解】设楼房的高度为x，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴3:4＝x:24，解得x＝18米，故本题答案为18.【点睛】本题考查了在同一时刻物高与影长成正比例的知识，将实际问题转化为数学问题进行解答，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，解方程是解决本题的关键.23．【解析】【分析】作PD⊥BC，则点P运动的路径长是以点D为圆心，以PD为半径，圆心角为60°的一段圆弧，根据相似三角形的判定与性质求出PD的长，然后根据弧长公式求解即可.【详解】作PD⊥BC，则PD∥AC,∴△PBD～△ABC,∴ .∵AC=3，BC=4，∴AB=,∵AP=2BP，∴BP=,∴,∴点P运动的路径长=.故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，弧长的计算，根据相似三角形的判定与性质求出PD 的长是解答本题的关键.24．332【解析】【分析】首先，利用等边三角形的性质求得3知△ADE 为等边三角形，则DE=AD ，便可求出EF 和AF ，从而得到△A EF 的面积.【详解】解：∵在等边△ABC 中，∠B=60º，AB=4，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=30º，∴AD=ABcos30º=4×33 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30º，AD=AE ，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60º，∴△ADE 的等边三角形， 3∵∠EAC=∠CAD ∴EF=DF=132DE ，AF ⊥DE ∴AF=EFtan6033，∴S △AEF =12EF ×AF=12333.. 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△ADE 是等边三角形是解题的关键．25．6【解析】【分析】设正方形CDEF 的边长为x ，则EF=ED=x ，则利用勾股定理表示出，再证明Rt △BED ∽Rt △EAF ，利用相似比求出x 的值，则开始计算出S △BDE ，然后利用相似三角形的性质计算出S △AFE ，从而得到△AFE 与△BDE 的面积和.【详解】解：设正方形CDEF 的边长为x ，则EF=ED=x ，所以∵ED ∥AC ，∴∠BED=∠A ，∴Rt △BED ∽Rt △EAF ，∴BD ：FE=BE ：AE：x=3：4，解得x=125， ∴BD=95， ∴S △BDE =12BD•ED=12•95•125=5425， ∵BDE AFE S S =（34）2， ∴S △AFE =9625， ∴S 1+S 2=5425+9625=6． 故答案是：6.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质.26．【解析】【分析】两个三角形相似，则边相互成比例，即可得出答案.【详解】解:设'''A B C 的第三边的长为x∵'''ABC A B C ∽2解得：x=故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握概念是解决本题的关键.27．2【解析】【分析】连接AD ，根据PQ ∥AB 可知∠ADQ=∠DAB ，再由点D 在∠BAC 的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB ，故∠ADQ=∠DAQ ，AQ=DQ ．在Rt △CPQ 中根据勾股定理可知，AQ=12-4x ，故可得出x 的值，进而得出结论.【详解】连接AD ，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB，∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ，在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CBA，∴CP：CQ=BC：AC=3：4，设PC=3x，CQ=4x，在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x，∵AQ=4-4x，∴4-4x=2x，解得x=23，∴CP=3x=2；故答案为：2．【点睛】本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．28．6或8【解析】【分析】本题中，△ADE 和△ABC 相似，但是没有说明对应边是哪些，因此要根据AD 、AC 对应成比例和AD 、AB 对应成比例两种情况分类讨论．【详解】∵AC=12,DC=23AC ； ∴AD=4.若AD 与AC 对应成比例,则DE=13BC=6； 若AD 与AB 对应成比例,则DE=AD AB ×BC=49×18=8. 所以DE 的长为6或8.【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.29．25376． 【解析】【分析】如图，连接EF ．首先求出DM 、DF 的长，证明△DEF ∽△DPC ，可得DF DE DC DP=，求出DE 即可解决问题． 【详解】如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA =2,90,45DAB DCP ∠=∠=，∴AM =BM =1，在Rt △ADM 中,2222215DM AD AM =+=+=，∵AM ∥CD ， ∴12AM MP DC PD ==，∴5DP PF ==∴DF DP PF =-=∵∠EDF =∠PDC ，∠DFE =∠DCP ，∴△DEF ∽△DPC ，∴DF DE DC DP=，∴22= ∴56DE =， ∴572.66CE CD DE =-=-=故答案为: (1). (2). 76． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 30∶1．【解析】解：∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E处，∴∠BCA =∠ECA ，AE =AB =CD ，EC =BC =AD ．∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠DAC =∠BCA ，∴∠ECA =∠DAC ，设AD 与CE 相交于F ，则AF =CF ，∴AD ﹣AF =CE ﹣CF ，即DF =EF ，∴DF AF =EF CF．又∵∠AFC =∠DFE ，∴△ACF ∽△DEF ，∴DF AF =EF CF =DE AC =13，设DF =x ，则AF =FC =3x ．在Rt △CDF 中，CD．又∵BC =AD =AF +DF =4x ，∴AD AB =22x=2．故答案为2．点睛：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．31．（1）65°（2）12cm【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C ，再根据相似三角形对应角相等解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：()1∵75BAC ∠=，40ABC ∠=，∴180180754065C BAC ABC ∠=-∠-∠=--=，∵ABC ADE ∽，∴40ADE ABC ∠=∠=，65AED C ∠=∠=；()2∵ABC ADE ∽，∴AB BC AD DE=， 即302018DE =， 解得12DE cm =．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握性质并加以运用.32．（1）（5，0）；（2）存在.【解析】【分析】(1)本题需先求出AB=AE,再求出DE=5,即可求出点E 的坐标.(2)本题需先求出CP=CB=2,即可求出t 的值.(3)本题需先证出△BCP~△BAE,求出AE= t,再证出△POE~△PCB,求出的t 值,再求出OP 的长,即可求出P 的坐标.【详解】解：（1）当 t=2 时，PC=2，∵BC=2，∴PC=BC ，∴∠PBC=45°，∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=45°，∴AB=AE=3，OE=5，∴点 E 的坐标是（5，0）；（2）存在，∵∠ABE+∠ABP=90°∠PBC+∠ABP=90°∴∠ABE=∠PBC∵∠BAE=∠BCP=90°∴△POE ~△BAE ∴BC AB =PC AE∴t AB =23∴AE=32t ∵若△POE ~△PCB ∴BC PC OE PO= ∴2322t +=3t t -1t =,2 t =(舍去)∴P 的坐标为（0，2t =）. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键,这是一道好题.33．烟囱高米．【解析】【分析】作于点，易得的影长为.由于光线是平行的，那么可得与构成的三角形和小张身高和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得烟囱的高度.【详解】光线是平行的，光线和影长组成的角相等．旗杆和竹竿与影长构成的角均为直角，与构成的三角形和小张身高和影长构成的三角形相似，设烟囱高为，依题意列方程得，解得.答：烟囱高米.【点睛】考查相似三角形的应用，用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例.34．（1）23；（2）①S=23122x x-+；②24.【解析】【分析】（1）根据EF∥BC，可得∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC∴23AK ADEF BC==，据此求出AKEF的值是多少即可．（2）①首先根据EH=x，求出AK=8-x，再根据23AKEF=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S 与x 的函数关系式，②利用配方法，求出S 的最大值是多少即可．【详解】解：（1）∵ 四边形EFGH 是矩形∴ EF ∥BC∵ AD BC ⊥∴ AK EF ⊥∵ EF ∥BC∴ △AEF ∽△ABC∴ 23AK AD EF BC == （2）∵四边形EFGH 是矩形∴ 90FEH EHG ∠=∠=°∵ AD BC ⊥∴ 90ADB ∠=°∴ 四边形EHDK 是矩形∴ EH DK x ==∵ AK DK AD += ∴ 8AK x =-∵23AK EF = ∴ ()33822EF AK x ==- ∴ ()233••81222S EH EF x x x x ==-=-+ （3）24【点睛】（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． （2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．35．2.4 m 【解析】分析：可过点P 作PQ ⊥BD 于Q ，由平行线分线段成比例可得4h y x y =+及6h x x y=+，进而即可得出PQ 的长．详解：作PQ ⊥BD 于Q ，设BQ=x 米，QD=y 米，PQ=h 米，∵AB ∥PQ ∥CD ，∴PQ QD AB BD ＝，PQ BQ CD BD＝， 即4h y x y =+及6h x x y=+， ∴两式相加得5112h =， 由此得h=2.4米．即点P 离地面的高度为2.4米．故答案为：2.4．点睛：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练运用．36．（1）证明见解析；（2171- 【解析】【分析】（1）如图，连接OP 、OB ，证明△PAO ≌△PBO ，根据全等三角形对应角相等可得∠PBO=∠PAO=90°，据此即可证得；（2）连接BC ，设OP 交AB 于K ，首先证明BC=2OK ，设OK=a ，则BC=2a ，再证明BC=PB=PA=2a ，由△PAK ∽△POA ，可得PA 2=PK•PO ，设PK=x ，则有：x 2+ax ﹣4a 2=0，解得（负根已经舍弃），推出，由PK ∥BC ，可得14PE PK EC BC ==. 【详解】（1）如图，连接OP 、OB ，∵PA 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，∴∠PAO=90°， ∵PA=PB ，PO=PO ，OA=OB ，∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴PB ⊥OB ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）如图，连接BC ，设OP 交AB 于K ，∵AB 是直径，∴∠ABC=90°， ∴AB ⊥BC ，∵PA 、PB 都是切线，∴PA=PB ，∠APO=∠BPO ，∵OA=OB ，∴OP 垂直平分线段AB ，∴OK ∥BC ，∵AO=OC ，∴AK=BK ，∴BC=2OK ，设OK=a ，则BC=2a ，∵∠APC=3∠BPC ，∠APO=∠OPB ，∴∠OPC=∠BPC=∠PCB ，∴BC=PB=PA=2a ，∵△PAK ∽△POA ，∴PA 2=PK•PO ，设PK=x，则有：x 2+ax ﹣4a 2=0，解得x=1712a -（负根已经舍弃）， ∴PK=1712a -， ∵PK ∥BC ，∴171PE PK EC BC -==.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，会利用参数解决问题，这些是解决此题的关键．37．（1）13；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）由ΔCFHCDGH S 1S 8=四边形，得ΔCFH DFG S 1S 9=三角形.由于△CFH ∽△DFG ，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得结果；（2）根据平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AD//BC ，由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出答案.【详解】解：（1）∵ΔCFHCDGH S 1S 8=四边形，∴ΔCFHDFG S 1S 9=三角形． ∵ □ABCD 中，AD//BC,∴ △CFH ∽△DFG ， ∴ΔCFHDFG S S =三角形(CH DG )219=, ∴CH DG =13． （2）证明：∵ □ABCD 中，AD//BC ， ∴MB MH MD MG =, ∵ □ABCD 中，AB//CD ，∴ME MB MF MD=, ∴ME MH MF MG =． ∴MG·ME=MF·MH ．38．（1）t=78；（2）S 四边形PQAM =﹣625t 2+245t ；（3）存在t=2，使S 四边形PQAM =950S 矩形ABCD ；（4）当t=229或719时，△APQ 与△ABC 相似． 【解析】试题分析：（1）由点Q 在线段AC 的中垂线上可知CQ =AQ =8﹣2t ，在Rt △BC Q 中根据BC 2+BQ 2=CQ 2列方程求解．（2）先证明△APM ∽△ACD ，列方程用含t 的代数式表示出AM 和PM 的值，然后根据四边形PQAM 的面积=△APQ 的面积+△APM 的面积求解；（3）存在t =2，使S 四边形PQAM =950S 矩形ABCD ．首先根据四边形ABCD 是矩形，求出S 矩形ABCD 的值是多少；然后分别求出△APM 、△APQ 的面积各是多少，再根据S 四边形PQAM =950S 矩形ABCD ，求出t 的值是多少即可．（4）当t=229或179时，△APQ 与△ABC 相似．根据题意，分两种情况讨论：①当∠AQP =90°时，△APQ 与△ABC 相似；②当∠APQ =90°时，△APQ 与△ABC 相似；求出当t 为何值时，△APQ 与△ABC 相似即可．解：（1）由题意CQ=AQ=8﹣2t ，。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习能力达标测试题2（附答案详解）1．如图，ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在AB 边上，2CD CE =，4AB AF =，连接BE 、CF 交于点G ，若4CGE S =△，则五边形AFGED 的面积为（ ）A ．20B ．21C ．22D ．232．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，过重心G 作AC 、BC 的垂线，垂足分别为D 、E ，则四边形GDCE 的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A ．19B ．16C ．29D ．133．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 中点，DE ⊥AB 交BC 于点E ，若AC =3，BC =4，则DE 的长为（ ）A ．32B ．158C ．2D ．1254．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3．直径为5的⊙O 分别与AC 、BC 相切于点F 、E ，与AB 交于点M 、N ，过点O 作OP ⊥MN 于P ，则OP 的长为（ ）A ．1B ．11C ．6D ．55．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（）A．7225B．3625C．5425D．27256．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE ＝2，连CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是23；③△ADF与△EBF的面积比为3：2，④△ABF的面积为1835，其中一定成立的有（）个．A．2 B．3 C．1 D．47．如图，在ABC中，1EF BC,,S92ABCAEEB==△//，则S四边形BCFE=（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），顶点C在反比例函数y=kx的图像上，若AD:AB=1：2，则k的值是（）A．8 B．10 C．12 D．69．如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 上的点，//EF BC ， 12AE EB =，且DEF ∆的面积为4，则ABC ∆的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．1810．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE ，则图中与△ACE 全等或相似的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC,BC 边上的中点,则三角形CDE 的面积与四边形ABED 的面积比等于 ____________12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝16，点D 在边BC 上，沿DE 将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，连接AD ，点P 在线段AD 上，当点P 到△ABC 的直角边距离等于5时，AP 的长为_____．13．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，E 是线段OC 的中点，DE 的延长线交BC 边于点F ，连接并延长FO 交AD 于点G ．若AB ＝2，则GF ＝_____．14．一个三角形的三边之比为3:6:4，与它相似的三角形的周长为39cm，则与它相似的三角形的最长边为____________.15．如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，CE BD=AB AE＝m．若BE3=CD5，则m＝_____．16．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外，将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为________米．17．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．18．在△ABC和△A'B'C'中，ABA B''＝BCB C''＝CAAC''＝23，△ABC的周长是20cm，则△A'B'C的周长是_____．19．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，树高为53米，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60︒角时，第二次是阳光与地面成30角时，则两次测量的影长差为______米.20．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A ，在近岸分别取点B ，D ，E ，C ，使点A ，B ，D 在同一条直线上，且AD DE ⊥，点A ，C ，E 也在同一条直线上，且//DE BC ．经测量24BC =米，12BD =米，40DE =米，则河的宽度AB 为______米．21．在下列66⨯的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按安求画图：()1在图1中，以AB 为边画一个正方形ABCD ；()2在图2中，以AB 为边画个面积为5的矩形ABCD ．22．如图，已知等腰ABC ∆中，2AB AC ==，点D 在边BC 的反向延长线上，且3DB =，点E 在边BC 的延长线上，且EAC D ∠=∠，设AD x =，BC y =. （1）求线段CE 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当AC 平分BAE ∠时，求线段AD 的长.23．如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，∠DFC ＝∠AEB ．（1）求证：△ADF ∽△CAE ；（2）当AD ＝8，DC ＝6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求BC 的长？24．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ．（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB ＝8，AD ＝62，AF ＝42，求AE 的长．25．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，AD=3BD ，S △ABC =48，求S △ADE .26．如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果6BC =，8AC =，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；（2）联结PD ，如果PD AB ⊥，且2CE =，3ED =，求cos A 的值；（3）联结PD ，如果222BP CD =，且2CE =，3ED =，求线段PD 的长．27．如图所示，在等边三角形ABC 中，点D 是BC 边上的一点，且BD ＝2CD ，P 是AD 上的一点，∠CPD ＝∠ABC ，求证：BP ⊥AD ．28．如图，在ABC ∆中，90,10,6ACB AB AC ︒∠===，正方形DEFG 的顶点D G、分别在边AC 、BC 上，EF 在边AB 上.（1）点C 到AB 的距离为_________.（2）求DE 的长.参考答案1．B【解析】【分析】 首先由题意可推出32=BF CE ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得94=BFG CEG S S ，所以9=BFG S ，设平行四边形ABCD 的面积为S ，△BCG 的面积为M ，利用△BCF ，△BCE 与平行四边形ABCD 的面积关系建立方程组，可求出S 与M ，即可求出五边形AFGED 的面积．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB=CD ，AB ∥CD∵2CD CE =，4AB AF = ∴1=2CE CD ，34=BF AB ∴334=122=AB BF CE CD ，111224=⨯=BCE ABCD ABCD S S S ，133248=⨯=BCF ABCD ABCD S S S 又∵AB ∥CD∴△BFG ∽△ECG ∴2239=24⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BFGCEG S BF S CE ∵4CGE S =△∴9=BFG S设平行四边形ABCD 的面积为S ，△BCG 的面积为M ，则398144BCF BCE S M S S M S ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩解得406S M =⎧⎨=⎩∴S 五边形AFGED =40-4-9-6=21故选B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据线段比例关系得出三角形与平行四边形的面积关系．2．C【解析】【分析】连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ，再证明△ADG ∽△GEF ，得出=2DG AG AD EF FG EG==，设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，用含a,b 的式子将AC ，BC 的长表示出来，再列式化简即可求出结果．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ，易得四边形GDCE 为矩形，∴DG ∥BC ，DG=CD=EG=CE ，∠CDG=∠CEG=90°，∴∠AGD=∠AFC ，∠ADG=∠GEF=90°，∴△ADG ∽△GEF ， ∴=2DG AG AD EF FG EG==． 设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b ， BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+12DG )=3a ， ∴2=19332GDCE ab ABC a b =⨯⨯四边形△的面积． 故选：C ．【点睛】本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．3．B【解析】【分析】先根据勾股定理可求出AB 的长，再根据线段中点的定义可得BD 的长，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】在Rt ABC 中，2222AB AC BC 345=+=+=点D 为AB 中点1522BD AB ∴== 在Rt ABC 和Rt EBD △中，90C BDE B B ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩Rt ABC Rt EBD ∴~AC BC DE BD ∴=，即3452DE = 解得158DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理、线段中点的定义、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．4．B【解析】【分析】连结OE ，OF ，则四边形OFCE 为正方形，可证明△AFG ∽△ACB ，可求出OG 长，证明△OGP ∽△ABC 可求出OP 的长．【详解】解：连结OE ，OF ，∵⊙O 分别与AC 、BC 相切于点F 、E ，∴OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∵OE ＝OF ，∴四边形OFCE 为正方形，∵⊙O 的直径为5 ∴52OF OE FC CE ====设FG ＝x ，∵FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ACB ， AF FG AC BC∴= 54243x -∴= 解得x ＝98， ∴OG ＝5911288-=， ∵∠OGP ＝∠AGF ＝∠ABC ，∴△OGP ∽△ABC ，∴OP OG AC AB=， 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝35 AB∴===∴11 OP845=，∴11 OP10=．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质, 掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键. 5．B【解析】【分析】先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，判断出△BDE∽△ADC，求出DE＝35，BE＝45，进而求出S△BDE＝625，AE＝285，再判断出△AHE∽△ADC，求出AH＝7，HE＝215，再判断出△BFH∽△ACD，求出BF＝6825，最后用三角形的面积的差，即可得出结论．【详解】解：∵CD＝3BD，BC＝4，∴BD＝1，CD＝3，∴S△ACD＝12AC•CD＝6，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD5，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E，∴∠BED＝90°＝∠C，∵∠BDE＝∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴BD DE BE AD CD AC==，∴1534DE BE ==，∴DE＝35，BE＝45，∴S△BDE＝12DE•BE＝625，AE＝AD+DE＝285，延长EB交AC的延长线于H，由折叠知，S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，∵∠C＝∠AEH＝90°，∴△AHE∽△ADC，∴AH HE AE AD CD AC==，∴285 534 AH HE==，∴AH＝7，HE＝215，∴C'H＝AH﹣AC'＝3，BH＝HE﹣BE＝175，S△AHE＝12AE•HE＝29425，过点B作BF⊥C'H于F，∴∠BFH＝90°＝∠C，∴∠H+∠FBH＝90°，∵∠C'AD+∠H＝90°，∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，∴△BFH∽△ACD，∴BF BH AC AD=，∴17 45 BF=，∴BF＝68 25，∴S△BC'H＝12C'H•BF＝10225，∴S△BC'D＝S△AEH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝29425﹣625﹣10225﹣6＝3625，故选：B．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．6．B【解析】【分析】根据菱形的性质得：△ABF 和△CBF 全等的条件，进而判断①的正误；过E 作AB 的垂线段，再解直角三角形求出垂线段的长度，进而判断②的正误；利用相似三角形的性质，求出面积比，便可判断③的正误；利用解直角三角形和等边三角形的性质，求出△ABC 中，AB 边上的高，进而求得面积，判断④的正误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝6，∵∠DAB ＝60°，∴AB ＝AD ＝DB ，∠ABD ＝∠DBC ＝60°，在△ABF 与△CBF 中，AB BC ABF FBC BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），故①正确；如图：过点E 作EG ⊥AB ，过点F 作MH ⊥CD ，MH ⊥AB ，∵CE ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝120°，∴BE ＝6﹣2＝4，∵EG ⊥AB ，∴EG ＝23，故②正确； ∵AD ∥BE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴2269()()44ADFEBF S AD S BE ===，故③错误； ∵△ADF ∽△EBF ，∴32DF AD FB EB ==， ∵BD ＝6， ∴BF 125=， ∴FH ＝BF •sin ∠FBH 1263605sin =⨯︒=， ∴118325ABF S AB FH =⋅=，故④正确； 故选：B ．【点睛】本题是菱形的一个综合题，有一定的难度，主要考查了三角形全等的性质与判定，三角形相似的性质与判定，解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，学会作适当的辅助线，是解决难点问题的关键．7．B【解析】【分析】先求出13AE AB =，然后利用平行证出△AEF ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S △AEF ，从而求出结论．【详解】解：∵12 AEEB=∴13 AE AB=∵EF//BC∴△AEF∽△ABC∴2S9 S1=⎛⎫=⎪⎝⎭AEFABCAEAB△△∴S△AEF=19SABC△=1∴S四边形BCFE=S ABC△－S△AEF=8故选B．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．8．B【解析】【分析】如图（见解析），先根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据矩形的性质得出90ABC∠=︒，:1:2BC AB=，然后根据直角三角形的性质、角的和差得出CBE BAO∠=∠，最后根据相似三角形的判定与性质求出BE、CE的长，从而可得出点C 的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得出答案．【详解】如图，过点C作CE y⊥轴于点E点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,4)2,4OA OB∴==四边形ABCD是矩形，:1:2AD AB=90ABC∴∠=︒，::1:2BC AB AD AB==90CBE ABO BAO ABO∴∠+∠=∠+∠=︒CBE BAO∴∠=∠又90BEC AOB ∠=∠=︒BCE ABO ∴~BE CE BC OA OB AB ∴==，即1242BE CE == 解得1,2BE CE ==415OE OB BE ∴=+=+=∴点C 的坐标为(2,5)将点(2,5)C 代入反比例函数的解析式得：52k = 解得10k =故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．9．D【解析】【分析】根据题意可判定△AEF ∽△ABC ，利用面积比等于相似比平方可得出△ABC 的面积，即可得出答案．【详解】连接BF ，∵EF ∥BC ，∴S △BEF ＝S △EFD ＝4，∵12 AEBE=，∴12AEFBEFSS=，13AEAB=∴S△AEF＝2，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵13AEAB=∴219AEFABCS AES AB⎛⎫==⎪⎝⎭，∴S△ABC＝9S△AEF＝9×2＝18，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△AEF∽△ABC，要求同学们熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．10．C【解析】【分析】先证明△ACE≌△BCD，得∠CAE＝∠CEF＝45°，再证明△ACE∽△ECF，最后证明△ACE∽△ADF，便可得结论．【详解】解：∵将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CE＝CD，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；∴∠CAE ＝∠B ＝45°，∵CE ＝CD ，∠DCE ＝90°∴∠CEF ＝45°∵∠ACE ＝∠ECF ，∴△ACE ∽△ECF ；∵∠FAD ＝∠FEC ＝45°，∠AFD ＝∠EFC ，∴∠ADF ＝∠ACE ，∵∠DAF ＝∠CAE ＝45°，∴△ACE ∽△ADF ，综上，图中与△ACE 全等或相似的三角形有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，图形复杂，要善于观察，不重不漏地找出符合条件的三角形． 11．1:3【解析】【分析】根据中位线的定义可得：DE 为△ABC 的中位线，再根据中位线的性质可得DE ∥AB ，且1AB 2DE =，从而证出△CDE ∽△CAB ，根据相似三角形的性质即可求出CDE CAB S S ，从而求出三角形CDE 的面积与四边形ABED 的面积比.【详解】解：∵D,E 分别是AC,BC 边上的中点,∴DE 为△ABC 的中位线∴DE ∥AB ，且1AB 2DE = ∴△CDE ∽△CAB∴21AB 4CDE CAB S DE S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴ABED 11413CDES S ==-四边形 故答案为：1:3.【点睛】此题考查的是中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握中位线的性质、用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.12．253或154． 【解析】【分析】设BD ＝x ，由折叠性质得AD 与CD ；再由勾股定理列出x 的方程，进而求得DC 的长；然后再分两种情况：①点P 到AC 边的距离等于5时、②当点P 到BC 边的距离等于5时，过P 作△ABC 直角边的垂线段，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：设BD ＝x ，由折叠知AD ＝BD ＝x ，CD ＝16﹣x ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，x 2＝82+（16﹣x ）2，解得，x ＝10，∴BD ＝10，CD ＝6，分两种情况：①点P 到AC 边的距离等于5时，过点P 作PF ⊥AC 于点F ，如图1，∴PF ＝5，PF ∥CD ，∴△APF ∽△ADC ，∴APAD＝PFDC，即10AP＝56，∴AP＝253；②当点P到BC边的距离等于5时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，∴PG＝5，PG∥AC，∴△DPG∽△DAC，∴DPDA＝PGAC，即10DP＝58，∴DP＝254，∴AP＝10﹣254＝154，综上，AP的长为253或154．故答案为：253或154．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键.13210【解析】【分析】先证明△ADE∽△CFE，得到CF＝23，过点O作OH⊥BC，再求出OF的长，即可求出答案.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ADE∽△CFE，∵E是线段OC的中点，∴CE：AE＝CF：AD＝1：3，∵AB＝2，∴CF＝23，过点O作OH⊥BC，∴BH＝CH＝12BC＝1，∴HF＝1﹣FC＝23＝13，∵OH＝12 BC，∴OF220H HF103，∴FG＝2OF210，210．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．18cm．【解析】【分析】由一个三角形的三边之比为3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，又由与它相似的三角形的周长为39cm，即可求得答案．【详解】解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，∵与它相似的三角形的周长为39cm，∴与它相似的三角形的最长边为：39×6364++=18（cm）．故答案为：18cm．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例．15．4 3【解析】【分析】作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，易得△ABE∽△CEF，易证四边形BDCF为平行四边形，设BE＝3a，CD＝BF＝5a，可求EF＝4a，即可求出m的值．【详解】解：作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，则∠AEB+∠CEF＝90°＝∠AEB+∠ABE，∴∠ABE＝∠CEF，∵∠A＝∠ECF＝90°∴△ABE∽△CEF，∴CEAB=CFAE=EFBE= m,∵CEAB=BDAE＝m．∴CF＝BD，∵∠A＝∠ECF＝90°，∴AB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形，设BE＝3a，CD＝BF＝5a，在Rt△BEF中，EF=4a,∵EFBE＝m，∴43aa=m,∴m＝43，故答案为43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建相似形是解题的关键．16．7.5【解析】【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠CED ，则可判断Rt △ABE ∽△ECD ，然后利用相似比计算CD 的高度．【详解】解：根据题意，得90ABE DCE AED ∠=∠=∠=︒，2AB =米，3BE =米，8BC =米， ∴CE BC BE =-=5米，90AEB DEC ∠+∠=︒，90AEB BAE ∠+∠=︒，∴DEC BAE ∠=∠．∴ABE ECD ∽△△，∴BE AB CD EC=， ∴325CD =， ∴7.5CD =米．故答案为：7.5；【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.17．16【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC ∽△FEC ，可设BC=x ，只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积．【详解】 如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，∵AB ∥EF ，∴△ABC ∽△FEC∴AB EF ＝BC CE ， ∴12＝x 1x- 解得x ＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.18．30cm ．【解析】 【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】 2''''''3AB BC AC A B B C A C === ， '''ABC A B C ~∴ABC ∴的周长:'''A B C 的周长=2：3ABC 的周长为20cm ，'''A B C ∴的周长为30cm ，故答案为：30cm ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 19．10【解析】【分析】利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后计算BD-BC 即可．【详解】解：如图所示，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB=AB BC， ∴BC=53tan AB ACB =∠， 在Rt △ABD 中，tan ∠ADB=AB BD∴=1553， ∴两次测量的影长的差为：BD-BC=15-5=10（米），故答案为：10【点睛】本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．20．18【解析】【分析】设河的宽度AB 为x 米，则(1)2AD x =+米，由DE//BC 可得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可求出x 的值，即可得答案.【详解】设河的宽度AB 为x 米，则(1)2AD x =+米．∵//DE BC ，∴ABC ADE ， ∴AB BC AD DE =， 即241240x x =+， 解得18x =．故河的宽度AB 为18米．故答案为：18【点睛】本题考查相似三角形的应用，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.21．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AB 3和1的直角三角形中，在同样的格点中找到边长为3和1的直角三角形斜边即为正方形的BC 、CD 、AD 边；（2的边相交的点即为点D ，如图所示；【详解】解：如图所示：（1）根据AB 的长度10，在边长为3和1的直角三角形中，∴在同样的格点中找到边长为3和1的直角三角形斜边即为正方形的BC 、CD 、AD 边； （2）过点D 作DF ⊥AT ，45DEF ︒∠= DF DF ∴=∵,AF DF AT GT = 则 131DF DF += ∴12DF = 32AF ∴= 102AD ∴= 短形A B C D 中 10,102AD AB == ∴矩形ABCD 的面积是5；【点睛】10的边是解题的关键．22．（1）43CE =；（2）)211313533y x x =-<<；（3）4=AD 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及条件得出△DBA ∽△ACE ，就可以得出DB AB AC CE =，从而得出结论；（2）由△DBA ∽△ACE 可以得出AD AB AE CE=，进而可以求出AE ，再根据△EAC ∽△EDA 可以得出AC EA AD ED= 再由条件就可以求出解析式，根据三角形的三边关系就可以求出自变量的取值范围；（3）根据条件求得△CAB ∽△CDA ，就可以得出，从而得出223y x=+，再将y 的值代入就可以求出x 的值．【详解】解：（1）AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ABD ACE ∴∠=∠，EAC D ∠=∠，DBA ACE ∴∆∆∽，DB AB AC CE∴=， 2AB AC ==，3DB =，322CE∴=， 43CE ∴=. （2）DBA ACE ∆∆∽，AD AB AE CE∴=， AD x =，23AE x ∴=， EA D ∠=∠，E E ∠=∠，EAC EDA ∴∆∆∽，AC EA AD ED∴=， BC y =，133ED DB BC CE y ∴=++=+， 223133x x y ∴=+， 211333y x ∴=-， 根据三角形的三边关系可以得出：04y <<，21130433x ∴<-<，5x <<.（3）AC 平分BAE ∠，EAC CAB ∴∠=∠，EAC D ∠=∠，CAB D ∴∠=∠，ACB ACB ∠=∠，CAB CDA ∴∆∆∽，CA AB CD DA ∴=， 223y x ∴=+，即2113333x x +-=，解得14x =，21x =-（舍去），即4=AD . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，角平分线的性质的运用，相似三角形的性质求函数的解析式的运用，三角形的三边关系确定自变量的取值范围的运用，在解答者中运用角的关系求三角形相似是关健．23．（1）详见解析；（2）252【解析】【分析】（1）由题意可得∠DAC=∠ACE ，∠AFD=∠AEC ，即可证△ADF ∽△CAE ；（2）由勾股定理可求AC=10，由△ADF ∽△CAE 可得=AD AF AC CE ，即可求EC 的长度，即可求BC 的长度.【详解】证明：（1）∵AD ∥BC,∴∠DAC ＝∠ACE,∵∠DFC ＝∠AEB,∴∠AFD ＝∠AEC 且∠DAC ＝∠ACE,∴△ADF ∽△CAE;（2）∵AD ＝8，DC ＝6，∠ADC ＝90°,∴AC 10,∵点F 是AC 中点,∴AF ＝5∵△ADF ∽△CAE, ∴AD AF AC CE=, 即8510CE=, ∴CE ＝254, ∵点E 是BC 中点,∴BC ＝2CE ＝252. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．24．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1） 利用对应两角相等， 证明两个三角形相似ADF DEC ∆∆∽；（2） 利用ADF DEC ∆∆∽，可以求出线段DE 的长度；然后在Rt ADE ∆中， 利用勾股定理求出线段AE 的长度 ．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠ADF ＝∠CED ，∠B +∠C ＝180°；∵∠AFE +∠AFD ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC ；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ＝8．∵△ADF ∽△DEC ， ∴AD AF DE CD=， 8262214AD CDDE AF ，∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ．在Rt △ADE 中，∠EAD ＝90°，DE ＝12，AD ＝， ∴22221222(6)6AEDE AD ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边形的性质和勾股定理，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键．25．27ADE S ∆=【解析】【分析】证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AD=3BD ，∴3334AD AD BD AB AD BD BD BD ===++， 又∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴2239416ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴9948271616ADE ABC S S ∆∆==⨯=. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．26．（1）BE =（2）cos 3A =；（3）PD = 【解析】【分析】（1）根据已知条件得到CP=4，求得（2）如图1，过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ，根据平行线分线段成比例定理得到BD FD BF DA DC CA ==，求得13CP PA =，设CP=k ，则PA=3k ，得到PA=PB=3k 根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到CD=BD=12AB ，推出△PBD ∽△ABP ，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A ，推出△DPE ∽△DCP ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵P 为AC 的中点，8AC =，∴4CP =∵90ACB ∠=︒，6BC =，∴BP =∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是ABC 的重心∴23BE BP == （2）过点B 作BF CA ∥交CD 的延长线于点F ∴BD FD BF DA DC CA== ∵BD DA =，∴FD DC =，BF AC =∵2CE =，3ED =，则5CD =，∴8EF = ∴2184CP CE BF EF === ∴14CP CA =， ∴13CP PA =， 设CP k =，则3PA k =∵PD AB ⊥，D 是边AB 的中点，∴3PA PB k ==∴BC =，∴AB =，∵4AC k =∴cos 3A = （3）∵90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点 ∴12CD BD AB == ∵222BP CD =∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅∵PBD ABP ∠=∠，∴PBD ABP ∽△△∴BPD A ∠=∠∵A DCA ∠=∠，∴DPE DCP ∠=∠，∵PDE CDP ∠=∠，DPE DCP ∽△△，∴2PD DE DC =⋅∵3DE =，5DC =，∴PD =【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．详见解析【解析】【分析】作AH⊥BC于H, 因为△ABC为等边三角形，BD＝2CD，即可得CD＝2DH.证明△DPC∽△DCA可得BD DPDA DH，又因为∠BDP＝∠ADH，可证△DBP∽△DAH，由相似三角形的性质即可得到∠DPB＝∠DHA＝90°，BP⊥AD. 【详解】证明：作AH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝2CD，∴BH＝12（BD+CD）＝32CD，∴DH＝BD﹣BH＝2CD﹣32CD＝12CD，即CD＝2DH，∵∠CPD＝∠ABC＝∠ACD，∠PDC＝∠CDA，∴△DPC∽△DCA，∴2CD ＝DP•DA ，∴CD•2DH ＝DP•DA ，∴2CD•DH ＝DP•DA ，∴BD•DH ＝DP•DA ， 即BD DP DA DH=， 而∠BDP ＝∠ADH ，∴△DBP ∽△DAH ，∴∠DPB ＝∠DHA ＝90°，∴BP ⊥AD ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，解题关键在于作辅助线.28．（1）245；（2）12037【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.（2）根据正方形的性质，即可得出//DG AB ，再根据相似三角形的判定可得出CDG CAB ∆∆，进而得出::DG AB CN CM =，设x 得出方程进行求解即可.【详解】解：（1）∵90,10,6ACB AB AC ︒∠===∴BC=8∴ABC S ∆ =1682⨯⨯ =24 ∴110h=242⨯⨯ ∴点C 到AB 的距离是245. （2）如图，过点C 作CM AB ⊥于点M ，交DG 于点N ，∵四边形DEFG 是正方形，∴//DG AB ，∴,MN DE CN DG =⊥，∴CDG CAB ∆∆，∴::DG AB CN CM =.设DE DG x ==，则2424:10:55x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得12037x =∴DE 的长为12037. 【点睛】本题主要考察了勾股定理和相似三角形，正确找出三角形的线段关系和灵活运用等面积法是解题的关键.。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优测试卷B卷（附答案详解）1．两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的对应中线的比为( )A．1:2B．2:1C．1:2D．2:12．如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知△ABC为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为（）A．18B．23C．25D．283．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（）A．B．C．D．EF BC，点M在边BC上，4．如图，点E，F分别在ABC的边AB，AC上，且//AM与EF交于点D，则图中相似三角形共有（）A．4对B．3对C．2对D．1对5．如图，已知AB=8，以AB为斜边作Rt△ABC，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线，再过点A作AB的垂线，使两线相交于点D．设AC=x，DC=y，则（x﹣y）的最大值是（）A ．2B ．3C ．2.5D ．3.56．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC ＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN ＝23米，窗户的下檐到教室地面的距离BC ＝1米(点M ，N ，C 在同一直线上)，则窗户的高AB 为( )A ．3米B ．3米C ．2米D ．1.5米7．如图AD 是BAC ∠的角平分线，AD 的垂直平分线OF 交BC 的延长线于F ，若35AC AB =，则CF BF=（ ）A ．35B ．45C ．925D ．16258．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm ，木棒上沾油部分的长为60cm ，桶高为80cm ，那么桶内油面的高度是（ ）A ．32 cmB ．30 cmC ．50 cmD ．48 cm9．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，满足ACD ABC ∠∠=，则________∽________，若AC 2=，AD 1=，则DB =________．Z10．已知ABC 中，4AB =，6AC =，D 是AB 的中点，E 为AC 边上的点，ADE 与ABC 相似，则AE =________．11．如图,EF 是△ABC 的中位线,将△AEF 沿中线AD 方向平移到△A 1E 1F 1的位置,使E 1F 1与BC 边重合,已知△AEF 的面积为7,则图中阴影部分的面积为_____.12．如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC 与111A B C ∆都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC ∽111A B C ∆，则△ABC 与111A B C ∆的相似比是_________.13．若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为1∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于_________.14．在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为（10，0）、（0，4），C 是AB 的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，动点P 从点D 出发，沿DC 向点C 以每秒1个单位匀速运动，过点P 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BP 、EC ．当BP 所在直线与EC 所在直线垂直时，点P 运动的时间为_____秒．15．已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为9︰25，则△ABC 与△DEF 的相似比为_____________.16．△ABC 与△DEF 的相似比为3∶5，则△ABC 与△DEF 的面积比为 ．17．如图，正方形ABCD 的边长为10，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=45°，AH ⊥EF 于点H ，AH=10，连接BD ，分别交AE 、AH 、AF 于点P 、G 、Q ．（1）求△CEF 的周长；（2）若E 是BC 的中点，求证：CF=2DF ；（3）连接QE ，求证：AQ=EQ ．18．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑，位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一个塔进行了测量．测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B 到地面上一点E 的距离为48 m ，塔的顶端为点A ，且AB ⊥CB ，在点E 处竖直放一根标杆，其顶端为D ，在BE 的延长线上找一点C ，使C ，D ，A 三点在同一直线上，测得CE ＝2 m.(1)方法1，已知标杆DE ＝2.2 m ，求该塔的高度；(2)方法2，测量得∠ACB ＝47.5°，已知tan47.5°≈1.09，求该塔的高度；(3)假如该塔的高度在方法1和方法2测得的结果之间，你认为该塔的高度大约是多少米？19．如图，若ADE ABC ∽，DE 和AB 相交于点D ，和AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S =，求ADE S ．20．如图，已知AD 为ABC 的角平分线，ADE B ∠∠=．()1求证：ABD ADE ∽．()2若AB 9=，AE 4=，求AD 的长．21．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于点E ，交BC 延长线于F.求证：CD 2＝DE·DF.22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD，交DC 的延长线于点E ，AB=3，EF=0.8，AF=2.4．求AD的长．23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点M，点E在边BC上，且∠DAE=∠DCB，联结AE，AE与BD交于点F．（1）求证：2DM MF MB=⋅；（2）连接DE，如果BF=3FM，求证：四边形ABED是平行四边形.24．已知，如图，在平行四边形ABCD中，F为AD上一点，CF的延长线交BA延长线于点E．求证：AB DF BE AD=．参考答案1．A【解析】【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方即可解答.【详解】∵两个相似三角形的面积比为1:4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的对应中线的比为1:2.故选A.【点睛】本题考查对相似三角形性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．D【解析】【分析】先说明三角形ABC是30度的直角三角形，分两类找符合条件的三角形：①相似比为1的，根据一个正六边形，以斜边不同找三角形的个数为6，三个正六边形为：3×6﹣1=17个；②找相似比不为1的，以斜边不同，同理可得结论．【详解】∵7个全等的正六边形，∴△ABC三个内角分别为30°，60°，90°，①如图1，与△ABC全等时，在正六边形ADEFGH中，以AF为斜边的有4个：△AFG，△AFH，△AFE，△AFD，以DG为斜边的有△ADG，以EH为斜边的有△AEH，同理另外以点A为顶点的两个正六边形各有6个全等的三角形，去掉△ABC本身，所以一共有17个三角形；②如图2，与△ABC相似的，以AA'为斜边的有4个，以AD为斜边的有4个，以C'B'为斜边的有△AB'C'，以BB'为斜边的有△ABB'，以D'H为斜边的有△AHD'，所以一共有11个，综上所述，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为：17+11=28（个）；故选D．【点睛】本题考查相似和全等三角形的判定、正六边形的性质，解题的关键是学会分类讨论的思想，和△ABC相似，以相似比为1和不为1分成2类，以斜边不同进行统计，掌握这种统计方法，就可以很容易解决此问题，属于中考填空题中的压轴题．3．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质得到答案．【详解】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=．∵DE∥AC，∴==，∴=．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解：∵EF∥BC，∴DE∥BM，DF∥CM，∴△AED∽△ABM，△ADF∽△AMC，△AEF∽△AB C，∴图中相似三角形共有三对.故选：B.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.5．A【解析】【分析】证△ABC∽△CAD得AB ACAC CD=,可知y=18x2，，从而有x-y=﹣18（x﹣4）2+2,根据解析式得出最大值.【详解】∵∠DAB=90°、CD∥AB，则∠ADC=∠BCA=90°，∠ACD=∠BAC，∴△ABC∽△CAD，∴AB ACAC CD=，即8xx y=，则y=18x2，∴x﹣y=x﹣18x2=﹣18（x﹣4）2+2，∴x﹣y的最大值为2，故选：A．【点睛】考查相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．C【解析】 【分析】根据题意，AM ∥BN ，易证△NBC ∽△MAC ，再根据相似三角形的性质解答即可．【详解】∵BN ∥AM∴30AMC BNC ∠=∠=又∵901C BC ∠==，米∴BN =2米,CN =3米∴CN :CM =BC :AC∴31,323AC=+ 解得：AC =3米∴AB =AC −BC =2米,故选:C.【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.7．C【解析】连接AF ，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴12∠=∠，∵FO 是AD 的垂直平分线，∴FA FD =，∴FAD FDA ∠=∠，∵1BAF FAD ∠=∠+∠，2ACF FDA ∠=∠+∠，∴BAF ACF ∠=∠，∴BAF ACF ∽，∴:::3:5AC AB CF AF AF BF ===，∴35AF BF =，333955525CF AF BF BF ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴925CF BF =． 故选C ．8．D【解析】【分析】将实际图形抽象为直角三角形，并根据相似三角形的性质来解答．【详解】如图：AB 为油桶高，DE 为桶内油面的高度，AC 为木棒插入部分的长，CD 为木棒上沾油部分的长，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴CD ：CA=DE ：AB ，∴60：100=DE ：80，∴DE=48cm ，故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并熟练应用相似三角形的判定与性质是解题的关键.9． ACD ABC 3【解析】【分析】由题意可得出相似；由相似可得出对应边成比例.【详解】因为ACD ABC ∠∠=且∠A 为公共角，所以△ACD ∽△ABC,所以AC AD AB AC =,AB=4，所以DB=AD-AD=4-1=3.【点睛】本题考查了相似三角形的证明以及相似三角形中对应边成比例，掌握两个角相等的两个三角形相似是解决本题的关键.10．3或43【解析】【分析】分别讨论：当△ADE ∽△ABC 时，AE AB AC AD =,即264AE =； 当△ADE ∽△ACB 时,AE AD AB AC =,即246AE =，然后根据比例性质分别计算出对应的AE 的值。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试卷A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试卷A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试卷A卷（附答案详解）1．如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个2．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED 的面积为( )A．9 B．4 C．6 D．4.83．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=4：1，连接AE、BE，AE交BD于点F，则△BEC的面积与△BEF的面积之比为（）A．1：2 B．9：16 C．3：4 D．9：204．如图，在△ABC中，∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，则CE长为（）A．185B．165C．145D．1255．如图，已知D．E分别在△ABC的AB．AC边上，△ABC与△AED相似，则下列各式成立的是（）A ．；B ．；C ．；D ．．6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD 等于（ ）A ．2B ．4C ．23D ．327．仔细观察图（2）易得123∠=∠+∠，依此规律，把图（2）推广到图（3），得到如图中的8个角：1,2,,8∠∠∠．若存在这样的一组正整数x ，y ，z ，满足28x y z ≤≤≤≤，且使得1x y z ∠=∠+∠+∠，那么这组正整数(,,)x y z 可以是（ ）A ．(3,4,7)或(4,5,8)B ．(3,5,5)或(3,6,8)C ．(4,4,7)或(3,7,8)D ．(3,3,7)或(2,5,8)8．如图，在ABCD □中，点E 在BC 边上，DC AE 、的延长线交于点F ，下列结论错误的是( )A ．AF BCFE CE=B ．CE CBEF AE=C ．EF CEAF CB=D ．AE ABEF CF=9．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC 的面积与△DEF 的面积和为40，则△ABC 的面积为（ ）A ．36B ．30C ．10D ．410．如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,垂足为D,AD=8,AB=10,则CD 长为（ ）A ．4B ．16C ．25D ．4511．如图，在△ABC 中，AB=7，AC=4，作∠BAC 的外角∠MAC 的角平分线交BC 的延长线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 延长线于E ，则CE 的长度为_______.12．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于F ，连接CF ，当△CDF 为等腰三角形时，则BE 的长是____.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点F 在边AC 上，并且CF ＝1，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____．14．如图，在正方形ABCD 中，将正方形ABCD 沿AF 折叠，使点B 落在点E 处.已知AB=4cm,BF=1cm,则点E 到CD 的距离为________cm.15．若ABC A B C '''∆∆∽，相似比为1∶3，则A B C '''∆与ABC ∆的面积之比为__________．16．如图，在矩形ABCD中，4=AD，8AC=，点E是AB的中点，点F是对角线AC 上一点，GEF△与关于直线EF对称，交AC于点H.当CGH中有一个内角为90°时，则CG的长为______.17．如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为BC上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论：①若∠PAB=30°，则BP的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=63；④无论点P在BC上的位置如何变化，CP•CQ为定值．其中正确的是________________．（写出所有正确结论的序号）18．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，连结EF，则△AEF 与五边形EBCDF的面积比为_____．19．如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为_____．20．如图，在ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且2AD AE AB=⋅，连接DE．()1求证：ABD∽ADE；()2若3CD=，94CE=，求AE的长．21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；（2）求△AOB的面积；（3）Q是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．22．如图，是的直径，点、在上，，在的延长线上有一点，使得，弦交于点，连接．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的长．23．下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型．（1）如图，已知点E是线段BC上一点，若∠AED＝∠B＝∠C．求证△ABE∽△ECD．（2）如图，已知点E、F是线段BC上两点，AE与DF交于点H，若∠AHD＝∠B＝∠C．求证：△ABE∽△FCD．（3）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是BC上一点，连接BD并延长交AC 的延长线于点E；连接CD并延长交AB的延长线于点F. 猜想BF、BC、CE三线段的关系，并说明理由．24．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿OA向终点A移动，点N从点B出发沿BC向终点C以同样速度移动．过点N作NP⊥BC交AC于点P，连接MP．（1）当动点运动了xs时，求P点的坐标（用含x的代数式表示）；（2）求△MP A面积的最大值，并求此时的x值；（3）当x为何值时，PM＝P A．25．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x 的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求OAAB的值．（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．27．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，(1)若BK＝KC，求的值；(2)联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；(3)试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝AD(n＞2)时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．参考答案1．B【解析】【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP 的长，即可得到P 点的个数．【详解】∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°，设AP的长为x，则BP长为7﹣x；若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（7﹣x）＝3：4，解得：x＝3②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（7﹣x），解得：x＝4或3．∴满足条件的点P 的个数是2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．2．A【解析】【分析】根据三角形的中位线得出DE=12BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再求出△ABC和△ADE的面积比，进而可求出梯形DBCE的面积．【详解】∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE 是三角形的中位线， ∴DE =12BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE ：S △ABC =1：4， ∵△ABC 的面积为12cm 2， ∴△ADE 的面积为3cm 2， ∴梯形DBCE 的面积=12-3=9cm 2， 故选A ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABC 和△ADE 的面积比，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 3．D 【解析】 【分析】先根据等高不等底的三角形面积之比等于底边之比，得14BCE DEBS S=，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】 由题意可知：:4:1DE EC =∴14BCE DEBS S=① 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ,AB CD AB CD =∴:4:1DE EC = ∴ :4:5DE CD = ∴:4:5DE AB =DEF BAF ~ ∴45DE DF AB BF ==∴59BEFBEDSS=②∴1994520BEC BECBEFBED BED BEFS SSS S S===⨯=①：②：故选D【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练掌握等高不等底的三角形面积之比等于底边之比和相似的性质是解题关键.4．D【解析】【分析】根据角平分线和平行线的性质得出∠DBE＝∠BDE，根据等角对等边得出DE＝BE，再由平行线得出△CDE∽△CAB，从而得出CE的长度．【详解】∵BD平分∠B，∴∠ABD＝∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CE DEBC AB=，即669CE CE-=，解得：CE＝125；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及角平分线的定义，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．D【分析】根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可.【详解】∵△ABC 与△AED 相似，∴, ∴. 故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.6．C【解析】【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB=∠CAD ，利用两角对应相等证明△ADC ∽△CDB ，列比例式可得结论．【详解】∵∠ACB=90︒，∴∠ACD+∠DCB=90︒，∵CD 是高，∴∠ADC=∠CDB=90︒，∴∠ACD+∠CAD=90︒，∴∠DCB=∠CAD ，∴△ADC ∽△CDB ，∴=DC AD BD DC， ∴CD 2=AD ⋅BD ， ∵AD=6，BD=2，∴12=23故选C.本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.7．D【解析】【分析】利用三角形外角的性质及边长为1的正方形网格的性质得到和等于45°的3个角的和即可得到答案．【详解】解：∵小正方形的边长为1，∴∠1=45°，∵∠1=∠x+∠y+∠z，∴∠x+∠y+∠z=45，∵一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，“第二条对角线和第三条对角线形成的三角形”与“第二条对角线和第七条对角线形成的三角形”相似，∠2是“第二条对角线和第七条对角线形成的三角形”的外角，∠2=∠7+∠α（∠α是∠3的对应角），而∠1=∠2+∠3，∴∠1=∠2+∠3=∠3+∠3+∠7．∴这组正整数（x，y，z）=3，3，7；同理可得：∠1=∠2+∠5+∠8．∴这组正整数（x，y，z）=2，5，8；故选D．【点睛】本题考查了图形规律类题目，解题的关键是仔细地观察题目提供的例子并从中找到正确的规律，并利用此规律解题．8．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,根据相似三角形的判定得出△FEC∽△F AD,△AEB∽△FEC,再根据相似三角形的性质得出比例式即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，A、∵BC∥AD，∴△FEC∽△F AD，∴AF AD EF CE=，∵AD＝BC，∴AF BCEF CE=，正确，故本选项不符合题意；B、∵BC∥AD，∴△FEC∽△F AD，∴AF AD EF CE=,∵AD＝BC，∴AF BC EF CE=，∴CE BC BCEF AF AE=≠错误，故本选项符合题意；C、∵BC∥AD，∴△FEC∽△F AD，∴EF CE AF AD=，∵AD＝BC，∴EF CEAF BC=，正确，故本选项不符合题意；D、∵AB∥CD，∴△AEB∽△FEC，∴AE ABEF CF=，正确，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定,解决本题的关键是要能根据相似三角形的性质得出正确的比例式．9．A【解析】【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，即可得出答案．【详解】∵△ABC～△DEF，相似比为3：1，∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：9：1，∵△ABC的面积与△DEF的面积和为40，∴设△DEF的面积为x，则△ABC的面积为9x，∴x+9x=40，解得：x=4，即△ABC的面积为36．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是正确得出三角形的面积比．10．A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到：CD2=AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，AB=10，∴DB=2，∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠DCB，∴△ACD∽△BCD，∴CDBD＝ADCD，∴CD2=BD•AD=2×8=16，∴CD=4，故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．163【解析】【分析】由BC 平分角∠MAC ，//AB DE ，可得AE DE =，ABC EDC ，则有47AC EC AB ED ==，利用AB=7，AC=4，化简可得283AE =，则可求出EC 的长． 【详解】解：如图示，BC 平分角∠MAC ，∴12∠=∠，∵//AB DE ，∴2ADE ∠=∠，∴1ADE ∠=∠，则有AE DE =∵//AB DE ，AB=7，AC=4，∴ABC EDC ∴47AC EC AB ED ==， ∴4477EC ED AE ==, ∴347AC AE ==, ∴283AE =， ∴4428167733EC AE ==⨯= 【点睛】本题考查的是相似三角形的相关性质，两个三角形形似，对应边成比例．12．1或2【解析】【分析】过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF ＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解．【详解】①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°则BE∴当BE时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝1，BE＝x，∴AE，AF，∵△ADF∽△EAB，∴AD AF AE EB=，2x=，x2﹣4x+1＝0，解得：x＝2﹣3或2+3（舍弃），∴当BE＝2﹣3时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、3、2﹣3时，△CDF是等腰三角形．故答案为1或3或2﹣3．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13．3 5【解析】【分析】作辅助线,先利用勾股定理求出AB的长,接下来证明△AFM∽△ABC，得AF FMAB BC,代入线段长即可求出FM的长,最后利用折叠的性质即可解题.【详解】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，（勾股定理）∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴AF FMAB BC=,即254FM=解得，FM＝85，由折叠的性质可知，FP＝FC＝1，∴PM＝35，故答案为35．【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理,垂线段最短等知识，难度较大,解题的关键是正确找到点P位置．14．3617cm.【解析】【分析】作辅助线过点E作GH∥CD,交BC于点H,AD于点G,证明△AGE∽△EHF,得AG AE GE EH EF HF==,根据已知线段长度求出AG长,即可解题.【详解】解：过点E作GH∥CD,交BC于点H,AD于点G. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠AGE=∠EHF=90°,由折叠可知∠A=∠AEF=90°,∴∠GAE=∠HEF（同角的余角相等）∴△AGE∽△EHF.∴AG AE GE EH EF HF==,∵AB=4cm,BF=1cm,设HF=xcm, ∴AE=4,EF=1,AG=1+x,∴41AG GE EH x==, ∴GE=4x,EH=14x +, ∴4x+14x +=4,解得：x=1517, ∴AG=3217∴GD=3617∴点E 到CD 的距离为3617cm.【点睛】本题考查了三角形的相似,中等难度,作出辅助线证明三角形相似是解题管家.15．9:1.【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，算出即可.【详解】∵ABC A B C '''∆∆∽，相似比为1∶3，ABC ∆与A B C '''∆的面积之比为=21139⎛⎫= ⎪⎝⎭∴A B C '''∆与ABC ∆的面积之比为9:1.故答案为9:1.【点睛】本题考查了三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．16．27或4 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论即可：①当90CHG ∠=︒时，②90CGH ∠=︒时，分别计算即可.【详解】解：在矩形ABCD 中，4,8AD AC ==∴43AB =，由轴对称的性质可知，23EG AE ==，当90CHG ∠=︒时，90AHE ∠=︒，∵90,ABC BAC HAE ∠=︒∠=∠，∴HAE ∆∽BAC ∆，∴HE AE AH BC AC AB ==，即234843HE ==， 解得，3,3HE AH ==∴2333,835GH EG HE CH =-=-==-=，∴2227CG GH CH =+=，当90CGH ∠=︒时，连接CE ，在Rt CGE ∆和Rt CBE ∆中，'CE CE EG BE =⎧⎨=⎩∴Rt CGE ∆≌Rt CBE ∆，∴4CG CB ==，故答案为27或4．【点睛】此题主要考查矩形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论. 17．②③④【解析】【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧BP的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到CP BP=，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=63；④判定△ACP∽△QCA，即可得到CP CACA CQ=，即CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ为定值．【详解】如图，连接OP，∵AO=OP，∠PAB=30°，∴∠POB=60°，∵AB=12，∴OB=6，∴弧BP的长为606180π⨯⨯=2π，故①错误；∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴CP BP=，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB，故②正确；若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，又∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=∠BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴CP CACA CQ=，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；故答案为②③④．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．18．1：7【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，12EF BD=，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∴△AEF∽△ABD，∴1,4AEF ABD S S=∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD＝12S平行四边形ABCD，∴△AEF与五边形EBCDF的面积比为1：7，故答案为：1：7．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．9 4【解析】【分析】根据题意可知射线BG是∠ABC的平分线，从而可得△HBD是等腰三角形，且HD＝HB，再根据相似三角形对应边成比例可求AH的长．【详解】由题意可知射线BG是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，而DH∥BC，∴∠HDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠HDB，∴HB＝HD＝3，又∵DH ∥BC ，∴△AHD ∽△ABC ， ∴AH HD AB BC=， 即：337AH AH =+， 得AH ＝94， 故答案为94． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例进行解题是关键． 20．(1)见解析;(2)74. 【解析】【分析】 ()1由AD 是BAC ∠的角平分线可得出BAD EAD ∠∠=，由2AD AE AB =⋅可得出AD AB AE AD=，进而即可证出ABD ∽ADE ； ()2由ABD ∽ADE 可得出ADB AED ∠∠=，根据三角形内角和定理及平角等于180，即可得出CDE CAD ∠∠=，结合公共角相等可得出DCE ∽ACD ，再利用相似三角形的性质即可求出AC 的长度，再由AE=AC-CE 即可求解.【详解】()1证明：AD 是BAC ∠的角平分线，BAD EAD ∠∠∴=．2AD AE AB =⋅，AD AB AE AD∴=， ABD ∴∽ADE ；()2解：ABD ∽ADE ，ADB AED ∠∠∴=．DAE ADE AED 180∠∠∠++=，ADB ADE CDE 180∠∠∠++=，CDE DAE ∠∠∴=，即CDE CAD ∠∠=．又DCE ACD ∠∠=， DCE ∽ACD ，AC CD CD CE ∴=，即AC 3934=， AC 4∴=．∴AE=AC-CE=74. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：()1牢记“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”；()2根据三角形内角和定理及平角等于180，找出CDE CAD ∠∠=．21．（1）点P 在线段AB 上；（2）12．（3）详见解析.【解析】【分析】（1）点P 在线段AB 上，由O 在⊙P 上，且∠AOB=90°得到AB 是⊙P 的直径，由此即可证明点P 在线段AB 上；（2）如图，过点P 作PP 1⊥x 轴，PP 2⊥y 轴，由题意可知PP 1、PP 2是△AOB 的中位线，故S △AOB =12OA×OB=12×2PP 1×PP 2，而P 是反比例函数y=6x（x ＞0）图象上的任意一点，由此即可求出PP 1×PP 2=6，代入前面的等式即可求出S △AOB ； （3）如图，连接MN ，根据（1）（2）则得到MN 过点Q ，且S △MON =S △AOB =12，然后利用三角形的面积公式得到OA•OB=OM•ON ，然后证明△AON ∽△MOB ，最后利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）点P 在线段AB 上，理由如下：∵点O 在⊙P 上，且∠AOB=90°， ∴AB 是⊙P 的直径，∴点P 在线段AB 上．（2）过点P 作PP 1⊥x 轴，PP 2⊥y 轴，由题意可知PP1、PP2，是△AOB的中位线，故S△AOB=12OA×OB=12×2PP1×2PP2，∵P是反比例函数y=6x（x＞0）图象上的任意一点，∴S△AOB=12OA×OB=12×2PP1×2PP2=2PP1×PP2=12．（3）证明：如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON=S△AOB=12．∴OA•OB=OM•ON，∴OA ON OM OB＝，∵∠AON=∠MOB，∴△AON∽△MOB，∴∠OAN=∠OMB，∴AN∥MB．【点睛】此题分别考查了反比例函数图象上点的坐标特点、相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理及圆周角定理，综合性比较强，要求学生熟练掌握这些基础知识才能很好解决这类综合性的问题．22．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）连接OE，根据圆心角定理可得∠AOE=2∠ACE=∠ABC，所以∠P+∠POE=∠ABC+∠CAB=90°，即OE⊥PE，即可证得PE是⊙O的切线；（2）证得△AEF∽△OAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】(1)如图，连接，∴．∵，∴．∵，∴．∵是的直径，∴，∴，∴是的切线．(2)∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴，，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．23．(1)见解析;(2)见解析;(3)BC2=BF×CE.【解析】【分析】(1)利用△ABE的外角关系证出∠A=∠DEC，又∠B=∠C，从而△ABE∽△ECD；(2)利用△ABE和△EFH的外角关系证出∠A=∠DFC，又∠B=∠C，从而△ABE∽△FCD；(3)由圆的内接四边形和等边三角形的性质可知∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，由△CDE的外角关系可得∠E=∠DCB，从而可证△FBC∽△BCE，由相似三角形对应边成比例得出BC CE =BFCB，从而得到BC2=BF×CE.【详解】证明：(1)∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠A＋∠B，又∵∠AEC=∠AED＋∠DEC，∴∠A＋∠B=∠AED＋∠DEC，∵∠B=∠AED，∴∠A=∠DEC，又∵∠B=∠C，∴△ABE∽△ECD；(2)∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠A＋∠B，∵∠HEC是△EFH的外角，∴∠AEC=∠HFE＋∠FHE，∴∠A＋∠B=∠HFE＋∠FHE，∵∠B=∠AHD，∠AHD=∠FHE，∴∠B=∠FHE，∴∠A=∠HFE，∵∠B=∠C，∴△ABE∽△FCD；(3)∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠BDC＋∠A=180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，∵∠FDE是△CDE的外角，∴∠FDE=∠E＋∠DCE=120°，∵∠DCB＋∠DCE=120°，∴∠E=∠DCB，∴△FBC∽△BCE，∴BCCE=BFCB，∴BC2=BF×CE.故答案为(1)见解析;(2)见解析;(3)BC2=BF×CE.【点睛】本题考查了三角形的外角定理，相似三角形的判定与性质.24．（1）；（2）；（3）x＝1时【解析】【分析】（1）根据PG和OG的长度即可求得P的坐标；（2）可通过求△MP A的面积和x的函数关系式来得出△MP A的面积最大值及对应的x的值；（3）根据PM＝P A，等腰三角形三线合一得AG＝MG＝x，根据OA＝3x＝3，求x的值，即可解题．【详解】解：（1）延长NP，交OA于点G，可得出PG⊥OA，动点运动x秒后，则BN＝OM＝x，∵PG∥OC∴△APG∽△ACO∴∴则PG＝x，CN＝3﹣x，∴P点的坐标为（3﹣x，x）；（2）设△MP A的面积为S，在△MP A中，MA＝3﹣x，MA边上的高为x，∴S＝∴S的最大值为，此时x＝；（3）∵AP＝PM，PG⊥OA∴AG＝MG＝x，∴OA＝3x＝3，解得x＝1，故x＝1时，AP＝PM．【点睛】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了二次函数的最值的应用、矩形的性质、图形面积的求法等知识点，考查了数形结合的数学思想，本题中列出关于x的关系式并求解是解题的关键．25．（1）45；（2）y＝65x﹣165或y＝613x+1613，△AOE∽△DAO；（3）存在，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣7514，﹣227）；F4（﹣4225，4425）．【解析】【分析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可；（2）先根据三角形的面积求出点E 的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D 的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．【详解】解：（1）x 2﹣7x +12＝0，（x ﹣3）（x ﹣4）＝0，∴x ﹣3＝0，x ﹣4＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3，在△AOB 中，AB5，∴sin ∠ABC ＝54OA AB =； （2）根据题意，设E （x ，0），则S △AOE ＝12×OA ×x ＝12×4x ＝163， 解得x ＝83， ∴E （83，0）或（﹣83，0）， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点D 的坐标是（6，4），设经过D 、E 两点的直线的解析式为y ＝kx +b ，则①80364k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得 6k 516b 5⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴解析式为y ＝65x ﹣165； ②80364k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得6131613k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解析式为： y ＝613x +1613在△AOE 与△DAO 中，83432OA OE ==， 6342AD OA ==， ∴OA AD OE OA=， 又∵∠AOE ＝∠OAD ＝90°，∴△AOE ∽△DAO ；（3）根据计算的数据，OB ＝OC ＝3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF ＝AC ＝5，所以点F 与B 重合，即F （﹣3，0），②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ， 点F （3，8）．③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y ＝﹣43x +4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为﹣1）， L 解析式为y ＝34x +78，联立直线L 与直线AB 求交点，∴F（﹣7514，﹣227），④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝245，勾股定理得出，AN＝75，做A关于N的对称点即为F，AF＝145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG＝143425525⨯=，∴F（﹣4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣7514，﹣227）；F4（﹣42 25，4425）．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论. 26．（1）证明见解析；（2）AC＝3【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】（1）∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）∵△ACD∽△ABC，∴AD ACAC AB=，∴AC2=AD•AB=12，解得：AC3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．27．(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．【解析】【分析】（1）根据比例的性质得到，根据相似三角形的性质计算即可；（2）连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，根据三角形的中位线定理得到GF=CD，EF=AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EG=BC，即可得到答案；（3）连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，根据比例的性质、仿照（2）的作法解答即可．【详解】解：(1)∵BK＝KC，∴＝，∵AB∥CD，∴△CKD∽△BKA，∴＝＝；(2)猜想：AB＝BC+CD．证明：连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，又∵∠EBA＝∠GBE，∴∠GEB＝∠GBE，∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，∵EF＝EG+GF，即：AB＝BC+CD；∴AB＝BC+CD；(3)猜想：AB＝BC+CD．证明：连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，∵AE＝AD，∴＝，∵EF∥AB，∴＝＝，即EF＝AB，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，同理，BG＝BC，GF＝CD，∵EF＝EG+GF，即：AB＝BC+CD；∴AB＝BC+CD．故答案为：(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．【点睛】本题考查相似形综合题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质以及角形的中位线定理、平行线的性质、比例的性质.。

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试卷B 卷（附答案详解）1．已知111A B C ∆与222A B C ∆的周长相等，现有两个判断：①若1122A B A B =，1122AC A C =，则111A B C ∆≌222A B C ∆.②若12A A ∠=∠，12B B ∠=∠，则111A B C ∆≌222A B C ∆.对于上述的两个判断，下列说法中正确的是（ ）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都错误D ．①②都正确 2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在DC 边上，若DE ：EC ＝1：2，则△CEF 与△ABF 的面积比为（ ）A ．1：4B ．2：3C ．4：9D ．1：93．如图，已知D ．E 分别在△ABC 的AB ．AC 边上，△ABC 与△AED 相似，则下列各式成立的是（ ）A ．； B ．； C ．； D ．．4．如图，AB AE AC AD ⋅=⋅，且12∠=∠，下列结论不一定正确的是（ ）．A ．ADE ∽ABC △B ．B D ∠=∠C ．E C ∠=∠D ．BE ∠=∠5．下列命题是真命题的是（ ） A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:96．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点G为AC中点，连结BG，CE⊥BG于F，交AB于E，连接GE，点H为AB中点，连接FH．以下结论：（1）∠ACE＝∠ABG；（2）∠AGE＝∠CGB：（3）若AB＝102，则BF＝45；（4）FH平分∠BFE；（5）S△BGC＝3S△CGE．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD ＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）A．6 B．15 C．24 D．278．如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值不可能为A．23；B．34；C．45；D．56.9．将一个三角形放大为与它相似的三角形，如果周长扩大为原来的3倍，那么面积扩大为原来的（）A．3倍B．9倍C．18倍D．81倍10．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：411．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点E从C点出发向终点B 运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒，作EF∥AB，点P是点C关于FE的对称点，连接AP，当△AFP恰好是直角三角形时，t的值为______12．已知()3,2A 是平面直角坐标中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足:1:2BC AB =，设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示D 点的坐标，那么D 点的坐标是_____．13．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为_________．14．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD ．则AB 与BC 的数量关系为 ．15．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC ，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE ，依据题意建立平面直角坐标系，其中D 点坐标为（2,0），则点E 的坐标是_____．16．已知一个三角形的三边长分别是6、10、14，与其相似的三角形的最长边是28，则这个相似三角形的周长等于________．17．如图，AC 与BD 相交于点E ，//AD BC .若2AE =，3CE =，3AD =，则BC 的长度是______.18．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是_________________。

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题2(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题2(附答案详解)

青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习能力达标训练题2（附答案详解） 1．如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．122B ．103C ．85D ．8+452．如图，在矩形ABCD 内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E 、F 分别在边BC 、AD 上，则长AD 与宽AB 的比为( )A ．6：5B ．13：10C ．8：7D ．4：3 3．如图，直线12l l ，:1:2AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 的值为（ ）A ．2:1B ．1:2C ．2:3D ．3:24．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）A ．SB ．2SC ．3SD ．4S5．如图，直线1l 、2l 、…、6l 是一组等距离的平行线，过直线1l 的点A 作两条射线，分别与直线3l 、6l 相交于点B 、E 、C 、F ．若2BC =，则EF 的长是（ ）．6．如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的对应角平分线之比是（ ） A ．2：3 B ．4：9 C ．16：81 D ．2:3 7．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A ，此时，竹竿与点A 相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）A ．6mB ．8.8mC ．12mD ．30m8．如图，在四边形ABCD 中，90DAB ︒∠=，AD BC ∥，12BC AD =，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．14B ．24C ．22D ．139．如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为( )平方米．A ．313B ．9C ．12D ．2410．若△ABC ～△DEF ，相似比为9：4，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ） A ．9：4B ．4：9C ．81：16D ．3：2 11．若23b a =，则2b a b=-______． 12．如图，已知△ABC 和△DCE 是等边三角形，连接BE ，连接DA 并延长交CE 于点F ，交BE 于点G ，CD =6，EF =2，那么EG 的长为__________．13．有一支夹子如图所示，AB=2BC ，BD=2BE ，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ 为6cm ，如果想用夹子的尖端A 、D 两点夹住P 、Q 两点，那么手握的地方EC 至少要张开________cm ．14．已知ABC △∽A B C '''，4cm AB =，3cm A B ''= ，AD 、A D ''分别为ABC △与A B C '''的中线，下列结论中：①:4:3AD A D ''=；②ABD △∽A B D '''△；③ABD △∽A B C '''；④ABC △与A B C ''''对应边上的高之比为4:3．其中结论正确的序号是______． 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有ABC ，点,,A B C 都在格点上 （I ）ABC 的面积等于__________；（Ⅱ）求作其内接正方形，使其一边在BC 上，另两个顶点各在,AB AC 上在如图所示的网格中，请你用无刻度．．．的直尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）16．如图，在△ABC 中，点D ．EF 分别在边AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ．DF ∥AC ，23AD BD = ，△BDF 的面积为9，则四边形DFCE 的面积为_____．17．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，且BC ＝9，AD ＝3，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，如果设边EF 的长为x （0＜x ＜3），矩形EFGH 的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是_____．18．铁路道口的栏杆如图所示，AO =16.5米，CO =1.25米，当栏杆C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5米时，栏杆A 端上升的垂直距离（AB ）为______米．19．如图，已知//DE BC ，1AD =，2DB =，3DE =，则BC =_____，ADE ∆和ABC ∆的面积之比为_____．20．如图，ABC ∆和DEF ∆是方格纸上两个相似三角形，则DEF ∠的度数为__________．21．阅读下面材料：数学课上，老师出示了这祥一个问题：如图，在正方形ABCD 中，点F 在AB 上，点E 在BC 延长线上。

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青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习培优练习题2（附答案详解）1．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB 的是( )A．AB ACAP AB=B．AC BCAB BP=C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF EGCF BD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=3．如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC的中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（）A．2 B．3 C．4 D．54．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F, 若EC=2BE，则BF FD的值是（）A．12B．13C．14D．155．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B 在l上，连接OB，动点P在直线OB上运动且满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，则P A：PC=( )A ．155B ．153C ．155或153D ．以上都不对 6．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=8，AD=4，∠DAC=∠B ．如果△ABD 的面积为30，那么△ACD 的面积为（ ）A ．5B ．7.5C ．10D ．157．△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠A=30°，△ABC ∽△A′B′C ′，则∠C′=（ ） A ．30° B ．60° C ．50° D ．75°8．两个相似三角形的对应边上的中线比为1:2，则它们面积比的为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．1：2D ．2：19．如图，要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm 的大菱形（如图）需要图1中的菱形的个数为________.10．已知，如图，ABC AED ∽，5AD cm =，3EC cm =，13AC cm =，则AB= ________cm ，它们的周长比为________．11．如图，ABC AED ∽，6DE =，10AB =，8AE =，则BC 的长为________．12．两个相似三角形的面积比是9：16，则它们的对应边上的中线的比是_____．13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A 为北门中点，从点A 往正北方向走30步到B 处有一树木，C 为西门中点，从点C 往正西方向走750步到D 处正好看到B 处的树木，则正方形城池的边长为_____步．14．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2， 则此三角形移动的距离AA′=________ ．15．如图，在Rt ABC 中，CD AB ⊥，6CA cm =，3AD cm =，则BD =________cm ．16．如果两个相似三角形的面积比是1:2，那么它们的相似比是_______.17．如图，两棵树的高度分别为AB=6m ，CD=8m ，两树的根部间的距离AC=4m ，小强正在距树AB 的20m 的点P 处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m ，当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD 的树顶D?18．已知：ABC △中，AB=AC ，点 D 、E 分别是线段 CB 、AC 延长线上的点，满足 ∠ADE = ∠ABC .（1）求证： AC ⋅ CE = BD ⋅ DC ；（2）若点 D 在线段 AC 的垂直平分线上，求证：BC AB CD AE=19．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以2/m s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4/cm s 的速度运动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，4秒后停止运动．则在开始运动后第几秒，BPQ 与BAC 相似？20．在平行四边形ABCD 中，BCD 120∠=，GCH 60∠=，GCH ∠绕点C 旋转，角的两边分别与AB 、AD 交于点E 、F ，同时也分别与DA 、BA 的延长线交于点G 、H ． ()1如图1，若AB AD =．①求证：BEC ≌AFC ；②在GCH ∠绕点C 旋转的过程中，线段AC 、AG 、AH 之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．()2如图2，若AD 2AB =，经探究得AE 2AF AC+的值为常数k ，求k 的值．21．在55⨯的方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．()1请你在图1的方格纸中，画一个格点三角形111A B C ，使111A B C 与一个格点三角形ABC 相似（相似比不为1）． ()2请你在图2的方格纸中，画一个格点三角形222A B C ，使222A B C 与一个格点三角形ABC 相似，面积最大，并求最大值是多少． ()3与ABC 的相似比不是1的格点三角形共有几个（相似比相同时只算1个）？22．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，点D 为AC 延长线上一点，连接BD ，过A 作AM BD ⊥，垂足为M ，交BC 于点N()1如图1，若30ADB ∠=，32BC =，求AM 的长；()2如图2，点E 在CA 的延长线上，且AE CD =，连接EN 并延长交BD 于点F ，求证：=EF FD ；()3在()2的条件下，当13AE AC =时，请求出EN FN 的值．23．在下列三个正方形网格图中，△ABC 的顶点和另两条线段的端点都在格点上，以给定的线段为一边，分别在图2和图3中各画出一个三角形，使所画的三角形都与△ABC 相似，并说明所画三角形与△ABC 的相似比．24．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：（1）∠ACB的度数；（2）DE的长．参考答案1．B【解析】在△ABP和△ACB中，∠A=∠A，添加选项A，利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可判定ABP∽ACB；添加选项C、D，利用两角对应相等的两个三角形相似即可判定ABP∽ACB；只有添加选项B不能够判定△ABP∽△ACB，故选B.2．D【解析】分析：由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出AE AG CFBE DG DF==，此题得解．详解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴AE AGAB AD=，DG DFDA DC=，∴AE AG CF BE DG DF==．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出AE AG CF BE DG DF ==是解题的关键．3．C【解析】∵点M、N分别是△ABC的边AC、BC的中点，∴MN∥AB，MN=12 AB，∴△CMN∽△CAB，且相似比为12，∴14CMNCABSS=，又∵S△CMN=1，∴S△ABC=4.故选C.4．B 【解析】解：如图，∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴BF BEFD AD=．又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE，∴BF BEFD AD==13，故选B．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质．关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系．5．C【解析】【分析】可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证P A：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出P A：PC 的值．【详解】①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图1所示．∵∠NPM=∠APC=90°，∴∠APN=∠CPM．∵∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP，∴PA PN PC PM=．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，∴EP=CP．∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM，∴FM=12 OA．设OA=x．∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA，∴PF PD OA OD=．∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM=12x，∴PM=52x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，∴OC=15x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形，∴PN=OM=15x，∴P A：PC=PN：PM=1552x：x=15．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．同理可得：PM=32x，CA=2PF=4x，OC15，∴PN=OM=12OC=152x，∴P A：PC=PN：PM=：32x综上所述：P A ：PC的值为5或3． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相似判定与性质是关键．6．C【解析】【分析】【详解】解：∵在△ABC 和△ACD 中，∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△DAC 中， ∴2()4ABC DAC SAB S DA==， 设S △ACD =x ，则由题意可得：S △ABC =30x +，∴304x x+=，解得：10x =，即△ACD 的面积为10 故选C7．D【解析】【分析】利用相似三角形的对应角相等即可得到答案．【详解】∵△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∠A =30°，∴∠C =（180°﹣∠A ）÷2=75°． ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠C ′=∠C =75°． 故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得等腰三角形底角的度数．8．B【解析】根据相似三角形的性质，可知其相似比为1，然后根据面积比等于相似比的平方，求得面积比为：1：2.故选：B.9．121【解析】小菱形的对角线长为8，大菱形的对角线长为88，相似比为8：88=1：11，设小菱形的面积为单位1，则大菱形的面积为112=121个单位，菱形的个数为121，故答案为：121.10．2613:5【解析】【分析】已知△ABC∽△AED，可根据相似三角形的对应边和周长的比都等于相似比来求解．【详解】∵EC=3cm，AC=13cm∴AE=AC-CE=10cm∵△ABC∽△AED∴AE：AB=AD：AC=5：13；∵AE=10cm，∴AB=26cm；∴C△ABC：C△AED=13：5，即它们的周长比为13：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形对应边的比相等，周长比等于相似比．11．15 2【解析】【分析】由△ABC ∽△AED ，根据相似三角形的对应边成比例，即可得：AB BC AE DE=，又由DE =6，AB =10，AE =8，即可求得BC 的长．【详解】 解：∵△ABC ∽△AED ，∴AB BC AE DE=． ∵DE =6，AB =10，AE =8，∴1086BC =，∴BC =152． 故答案为152． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例与数形结合思想的应用． 12．3：4【解析】试题解析：∵两个相似三角形的面积之比为9：16，∴两个相似三角形的相似之比为3：4，∴它们的对应边上的中线之比为3：4．故答案为：3：4.点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.13．300．【解析】【分析】设正方形城池的边长为x 步,1,2AE CE x ==则Rt BEA Rt EDC 证明∽， 根据比例性质求x .【详解】解：设正方形城池的边长为x 步,1,2AE CE x ==则 AE CD ，BEA EDC ∴∠=∠，Rt BEA Rt EDC ∴∽， 1302,17502x AB AE EC CD x ∴==，即 300x ，∴=即正方形城池的边长为300步．故答案为300．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长． 14-1【解析】∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，∴AC ∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BG ， ∴21()2A BG ABC S A B S AB ''==， ∴:1，∵，∴A′B=1，∴15．9【解析】【分析】根据题意得出△ABC∽△ACD，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，∴∠ACD=∠ADC=90°,∴△ABC ∽△ACD∴AC AB AD AC= ∴AC 2=AD•AB ，即62=3AB ，∴AB=12，∴BD=AB-AD=12-3=9（cm ）．故答案为9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定.16．【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，∴它们的相似比=17．前进11.2米时就恰好能看到树CD的树顶D.【解析】分析：根据盲区的定义结合图片，我们可看出在FG之间时，是看不到树CD的树顶D的．因此求出FG就是本题的关键．已知了AC的长，BG、DH的长，那么可根据平行线分线段成比例来得出关于FG、FH、BG、DH的比例关系式，用FG表示出FG后即可求出FG 的长．详解：设FG=x米．那么FH=x+GH=x+AC=x+4（米）．∵AB=6m，CD=8m，小强的眼睛与地面的距离为1.6m，∴BG=4.4m，DH=6.4m．∵BA⊥PC，CD⊥PC，∴AB∥CD，∴FG：FH=BG：DH，即FG•DH=FH•BG，∴x×6.4=（x+4）×4.4，解得：x=8.8（米），20﹣8.8=11.2米．因此前进11.2米时就恰好能看到树CD的树顶D．点睛：本题主要考查了平行线分线段成比例的实际应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．18．见解析【解析】【分析】()1证明ABD DCE∽,根据相似三角形的性质即可证明.()2证明ABC EAD∽,根据相似三角形的性质即可证明.【详解】()1ABC△中，AB=AC,∠=∠,ABC ACB180,ABC ABD ∠+∠= 180,ACB DCE ∠+∠=,ABD DCE ∴∠=∠,,ABC BAD ADB ADE ADB CDE ∠=∠+∠∠=∠+∠.ADE ABC ∠=∠,BAD CDE ∠=∠ABD DCE ∴∽,AB BD DC CE∴= ,AB CE BD DC ∴⋅=⋅,AB AC =.AC CE BD DC ∴⋅=⋅()2点D 在线段AC 的垂直平分线上，,DA DC ∴=,DAC ACB ∴∠=∠,,DAC DAE BAC ACB EDC E ∠=∠+∠∠=∠+∠,BAD CDE ∠=∠,BAC E ∴∠=∠,ABC EAD ∴∽,BC AB AD AE= ,DA DC =.BC AB CD AE∴= 【点睛】考查相似三角形的判定与性质以及线段的垂直平分线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.19．当0.8x =秒或2秒时，BPQ 与BAC 相似．【解析】【分析】设在开始运动后第x 秒，△BPQ 与△BAC 相似，由题意表示出AP ，PB ，BQ ，分两种情况考虑：当∠BPQ=∠C ，∠B=∠B 时，△PBQ ∽△CBA ；当∠BPQ=∠A ，∠B=∠B 时，△BPQ ∽△BAC ，分别由相似得比例，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可得到结果．【详解】设在开始运动后第x 秒，BPQ 与BAC 相似，由题意得：2AP xcm =，()82PB x cm =-，4BQ x =，分两种情况考虑：当BPQ C ∠=∠，B B ∠=∠时，PBQ CBA ∽， ∴BP BQ BC AB =，即824168x x -=， 解得：0.8x =，当0.8x =秒时，BPQ 与BAC 相似；当BPQ A ∠=∠，B B ∠=∠时，BPQ BAC ∽， ∴BP BQ BA BC =，即824816x x -=， 解得：2x =，当2x =秒时，BPQ 与BAC 相似．综上，当0.8x =秒或2秒时，BPQ 与BAC 相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．20．()1①证明见解析；2AC AG AH =⋅②，理由见解析；()2k =【解析】【分析】()1如图1.①先证明四边形ABCD 为菱形，再证明60B FAC ∠∠==︒，BC AC =，60BCE FCA ACE ∠∠∠==︒-，根据ASA 即可证明BEC △≌AFC △；②先证明120GAC HAC ∠∠==︒，60G FCA ACE ∠∠∠︒==-，根据两角对应相等的两三角形相似得出AGC ∽ACH ，利用相似三角形对应边成比例得出2AC AG AH =⋅；()2如图2，过点C 作CH AD ⊥，垂足为H.根据平行四边形的性质求出60.D ∠=︒设HD x =，则2CD x =，CH =，24AD AB x ==，3.AH AD DH x =-=在直角ACH 中根据勾股定理求出AC =，由222AC CD AD +=，利用勾股定理的逆定理得出90ACD CAE ∠∠==︒，再根据四边形内角和定理以及邻补角定义得出CFH CEA ∠∠=，而90CHF CAB ∠∠==︒，那么CFH △∽CEA ，AE AC FH CH=，在直角ACD 中由30CAD ∠=︒得出2AE AC FH CH ==，即2AE FH =，代入AE 2AF AC +，即可求出k =【详解】 ()1①证明：如图1．四边形ABCD 为平行四边形，且AB AD =，∴四边形ABCD 为菱形．BCD 120∠=︒，B BAC BCAD CAD ACD 60∠∠∠∠∠∠∴======︒，BC AC ∴=，BCE ACE 60∠∠+=︒．GCH 60∠︒=，FCA ACE 60∠∠∴+=︒，FCA BCE ∠∠∴=，BEC ∴≌()AFC ASA ；②解：如图1，2AC AG AH =⋅，理由如下：四边形ABCD 为菱形，且GAE HAF ∠∠=，GAC HAC ∠∠∴=．CAD 60∠=，G ACE 60∠∠∴+=，FCA ACE 60∠∠+=，G FCA ∠∠∴=，AGC ∴∽ACH ，AG AC AC AH∴=， 2AC AG AH ∴=⋅；()2解：如图2，过点C 作CH AD ⊥，垂足为H ．四边形ABCD 为平行四边形，BCD 120∠=︒，D 60∠∴=︒．设HD x =，则有CD 2x =，CH 3x.=AD 2AB =，AD 4x ∴=，AH AD DH 4x x 3x =-=-=．222AC AH CH =+，AC 23x ∴=，222222AC CD 12x 4x 16x AD ∴+=+==，ACD CAE 90∠∠∴==︒，在四边形AECF 中，EAF 120∠=︒，ECF 60∠=︒，EAF ECF 180∠∠∴+=︒，CFH CEA ∠∠∴=．CHF CAB 90∠∠︒==，CFH ∴∽CEA ，AE AC FH CH∴=， ACD 90∠︒=，D 60∠=︒，CAD 30∠∴=︒，AE AC 2FH CH∴==，即AE 2FH =， AE 2AF AE 2AH 2FH 2AHAC AC AC ++-∴====，k ∴=【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的判定与性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形内角和定理，邻补角定义等知识.综合性较强，有一定难度.准确作出辅助线，证明三角形相似是解题的关键．21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4个．【解析】【分析】（1）根据网格结构，利用三边对应成比例两三角形相似，根据勾股定理作出相似的三角形即可；（2）根据网格结构，在网格中所画三角形的边长最长为例两三角形相似，根据勾股定理作出相似的三角形即可，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求大三角形的面积即可；（3）根据勾股定理、网格结构及相似三角形的性质，在网2；②25 ；、相似，故答案为4个.【详解】()1如图所示：()2如图所示：10，2552 10， ∴三角形面积比为：110， ∴最大值为：1111052⨯⨯⨯=． ()3根据三角形最大边长以及最小边长即可得出答案：4个．【点睛】本题主要考查了相似三角形的画法以及相似三角形的判定与性质，根据勾股定理及网格的特点，由相似三角形的判定方法画出相似三角形是解决本题的关键.22．（133（2）证明见解析；（3）323 【解析】【分析】()1根据等腰直角三角形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，由ADB 30∠=，可得出BD 6=、AD 33=，再利用面积法即可求出AM 的长度； ()2作AH BC ⊥，垂足为H ，延长AH 交BD 于P ，连接CP ，易证BHP ≌AHN ，根据全等三角形的性质可得出BP AN =，进而可得出CP AN =，通过角的计算可找出MAD PCA ∠∠=，由等角的补角相等可得出EAN PCD ∠∠=，再结合AE CD =即可证出AEN ≌()CDP SAS ，根据全等三角形的性质可得出E D ∠∠=，进而可证出EF DF =；()3过点F 作FQ AC ⊥于Q ，由()2可得，Q 是DE 的中点，过N 作NR AC ⊥于R ，设AE a =，则AC 3a =、5EQ a 2=、AD 4a =，由ANR ∽BAD 可求出4NR AR 3=，结合等腰直角三角形的性质可求出9AR a 7=，进而可得出3RQ a 14=，由ENR ∽EFQ 可求出16a EN ER 3273NF RQ 3a 14===，此题得解． 【详解】解：()1在Rt ABC 中，AB AC =，ABC ∴是等腰直角三角形，32BC =，3AB ∴=．30ADB ∠=，6BD =∴，33AD =．根据等面积法可得：AB AD AM BD ⋅=⋅，3336AM ∴⨯=⋅，332AM ∴=． ()2证明：作AH BC ⊥，垂足为H ，延长AH 交BD 于P ，连接CP ，如图3所示．ABC 是等腰直角三角形，AH BH CH ∴==，BP CP =，PBC PCB ∠=∠．AM BD ⊥，AH BC ⊥，90BMN AHN ∴∠=∠=，BNM ANH ∠=∠，NBM NAH PBH ∴∠=∠=∠．在BHP 和AHN 中，90BHP AHN BH AHPBH NAH ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BHP ∴≌()AHN ASA ，BP AN ∴=，CP AN ∴=．PCB PAM ∠=∠，4545MAD PAM PCB PCA ∴∠=∠+=∠+=∠，EAN PCD ∴∠=∠，在AEN 和CDP 中，CD AE EAN DCP AN CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEN ∴≌()CDP SAS ，E D ∴∠=∠，EF DF ∴=．()3过点F 作FQ AC ⊥于Q ，由()2可得，Q 是DE 的中点，过N 作NR AC ⊥于R ，如图4所示．设AE a =，13AE AC =， 3AC a ∴=，52EQ a ∴=，4AD a =， ////NR FQ AB ， ANR ∴∽FDQ ∽BAD ，4433NR AD a AR AB a ∴===， 43NR AR ∴=． NRC 为等腰直角三角形433AR AR a ∴+=， 97AR a ∴=， 593.2714RQ EQ AE AR a a a a ∴=--=--= //NR FQ ， ENR ∴∽EFQ △，163273314a EN ER NF RQ a ∴===． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积、等腰直角三角形以及解含30度角的直角三角形，解题的关键是：()1利用面积法求出AM 的长；()2利用全等三角形的性质找出E D ∠∠=；()3利用相似三角形的性质用含a的代数式表示出AQ、RQ的长．23．详见解析.【解析】【分析】直接利用网格结合相似三角形的性质得出答案．【详解】如图所示：△ABC∽△A′B′C′，相似比为：1：2；△ABC∽△DEF，相似比为：1：2．【点睛】本题主要考查了相似变换，正确得出对应边的长是解题的关键．24．（1）84°；（2）7.2.【解析】【分析】（1）（2）根据三角形相似，对应角相等，对应边的比相等，可以把本题转化为求∠AED的问题，再根据对应边的比相等，就可以求出DE的长．【详解】（1）△AED中已知，∵∠A=56°，∠ADE=40°，∴∠AED=84°．∵△ADE∽△ABC，∴∠ACB=∠AED=84°．（2）∵△ADE∽△ABC，∴DE AD BC AB=∴6 1210 DE．∴DE=7.2（cm）．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，对应角相等，对应边的比相等．。

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