高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
高考高频考点(圆锥曲线)9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式
第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos pAF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=， 设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=， 所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =， 易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−， 所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥， 当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α， 则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=， 则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−， 过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−， 所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−， 所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=， 从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−， 显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==， 从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°， 如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF−=可得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点， 此时1AFAF BF −=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF −=，所以AF AF BF BF −⋅=， 故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos p p p ααα−=+， 解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =【答案】y 2=2x。
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相互的问答
与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+ 备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y+=，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线交椭实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB的中垂线交焦点所在直线于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴交于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠ 备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -= 备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为3)e =r 的直线l 过点(0,3)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=0。
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
问题探究8已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点22143x y +=1F 1F 实常数，使恒成立.并由此求∣AB λAB FA FB λ=∙问题探究9已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F C ，D 两点，且，是否存在实常数，使12l l ⊥λAB + 四边形ABCD 面积的最小值和最大值.问题探究10已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点22143x y +=1F F 线交轴于点D ，是否存在实常数，使x λAB F λ=问题探究11已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 交轴于点G ，点在直线上的射影分别是4x =-x ,A B 2l N D ，是否存在实常数，使恒成立.λ1GD DF λ=问题探究12已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 别为椭圆的左、右顶点，动点满足P ,PA AD PC λμ== 椭圆焦点弦端点连线与相应准线的交点N 、共线备用课件双曲线焦点弦端点点则三点共线备用课件抛物线焦点弦端点点则三点共线处）备用课件问题探究13已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线22131x y -=1F 1F 分别为双曲线的左、右顶点，动点满足,C D P 1PA AD λ= 试探究是否为定值.22,,QA AC QB BD λμ==1PF Q ∠椭圆焦点弦端点连线与相应准线的交点1NF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点点D 连线与相应准线的交点则NF备用课件抛物线焦点弦端点点D 连线与相应准线的交点则NF 无穷远处）备用课件问题探究14已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F C ，D 两点，直线：，直线AD 交直线于点2l 4x =-2l 并证明之.问题探究15已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 1,l l C ，D 两点，直线：，直线AD 交直线于点P ，试证明3l 4x =-3l问题探究16已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于22184x y +=(2,0)N 12,l l 线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线问题探究17已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线22184x y +=1F 1F 设直线AB 与轴于点，试求y M 11,,MA AF MB BF λμ==问题探究18 已知方向向量为的直线过点和椭圆(1,3)e = l (0,23)A -焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：C O B 圆的方程；⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为C E C 12,F F ，求的值. 222EF F T λ= 12λλ+。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题
用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题重庆巴蜀科学城中学校（401331）李兰［摘要］圆锥曲线焦点弦结论具有统一形式，利用焦点弦结论可以快速解决高考题，为考生打开解题思路，提高学生的解题能力。
［关键词］圆锥曲线；焦点弦；高考题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）17-0024-03一、公式及其证明圆锥曲线中的焦点弦就是过焦点的弦长，弦长公式AB=1+k2||x1-x2，圆锥曲线有统一方程，思考由抛物线的焦点弦与弦长倾斜角度、离心率（抛物线的离心率为1）有关的弦长公式，类比推导圆锥曲线的另一个统一公式：焦半径=半通径1±e⋅cosθ=b2a1±e⋅cosθ（半通径就是垂直于焦点所在轴的焦半径，抛物线为y2=2px(p>0)中的p）。
证明如下：①椭圆x2a2+y2b2=1中，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），l的倾斜角为θ（锐角），则焦半径AF=b2a1+e·cosθ，BF=b2a1-e·cosθ。
（如图1）x=a2cθ图1由A、B两点分别向右准线作垂线，垂足为M、N，由A点向x轴作垂线，垂足为D，由圆锥曲线统一定义，椭圆上点到焦点的距离比到准线的距离等于离心率得||AF||AM=ca，所以||AF=||AM e=e·()a2c-x1=a-ex1，||FD=||AF cosθ。
所以c+||AF cosθ=x1，即c+||AF cosθ=a-||AFe，即||AF（1+e cosθ）=a-c2a=b2a。
所以AF=b2a1+e·cosθ，同理BF=b2a1-e·cosθ。
②双曲线x2a2-y2b2=1中，直线l过焦点F与同一支交于A、B两点，结论同上，证明略。
③抛物线y2=2px（p>0），直线l过右焦点F与抛物线交于A、B两点，则AF=p1-cosθ，BF=p1+cosθ，长短视角度而定。
圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。
高中数学专题：圆锥曲线中焦点弦取值范围的探究
圆锥曲线中焦点弦的取值范围的探究本文主要探究圆锥曲线中焦点弦的取值范围，尤其时焦点弦弦长何时取最小值和最大值，运用直线的参数方程和弦长公式，得出椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦的取值范围的以下结论：结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；探究一：已知椭圆:C 12222=+by a x ，点F 为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F ，交椭圆C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=--+b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t +=+，αα2222421sin cos a b b t t +-=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b +++= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b +=+++= α2222sin 2c b ab += 所以当0sin 2=α时，焦点弦AB 取最大值，a AB 2max =，即椭圆的长轴长，此时AB l 与x 轴重合；当1sin 2=α时，焦点弦AB 取最小值，ab AB 2min 2=，即椭圆的通经，此时直线x l AB ⊥轴；综上所述：焦点弦⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a b AB 2,22 结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；探究二：已知抛物线C ：px y 22=，点F 为抛物线C 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,2(pF ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 2t y t p x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和抛物线C 的方程得： 0cos 2sin 222=--p pt t αα，由韦达定理得：αα221sin cos 2p t t =+，α2221sin p t t -=， 由弦长公式得：αααα2224222122121sin 2sin 4sin cos 44)(pp p t t t t t t AB =+=-+=-=， 因为直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，所以倾斜角0≠α，所以(]1,0sin 2∈α，则[)+∞∈,2p AB ，当1sin 2=α，即x l AB ⊥轴时，取最小值p AB 2min =，即通经长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；探究三：已知双曲线:C 12222=-by a x ，点F 为双曲线C 的左焦点，直线l 过点F ，交双曲线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=+--b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t -=+，αα2222421sin cos a b b t t -=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b ---= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b -=---= α2222sin 2c b ab -= 因为[]1,0sin 2∈α，所以[]0,sin 222c c -∈-α， 所以[]22222,sin b a c b -∈-α，因为直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，所以ab±≠αtan ，即0sin 222≠-αc b ，所以[)(]22222,00,sin b a c b -∈-α，（1）若b a ≥，则(]2222,0sin a c b ∈-α，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22a b AB ，当1sin 2=α，即直线x l AB ⊥轴时，取最小值ab AB 2min2=，即双曲线的通经；（2）若b a <，则(]2222,0sin b c b ∈-α，[)+∞∈,2a AB ，当0sin 2=α，即AB l 与x 轴重合时，取最大值a AB 2max =，即双曲线的实轴长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；。
解析几何之“三弦”问题
注解：利用 4 sin2
= 8(
为直线 l 的倾斜角)，解得
=
4
，进而求得 k
= 1 不给满分，解题
时要谨用，但用此方法解决选填题则极为神速，如例 1 和例 2．
例 4（2019 年全国 I 卷 20 题）.已知抛物线 C : y2 = 3x 的焦点为 F ，斜率为 3 的直线 l 与 2
C 的交点为 A, B ，与 x 轴的交点为 P ．
(1)若 AF + BF = 4 |，求 l 的方程；
(2)若 AP = 3PB ，求 AB ．
解：设直线
l
:
y
=
3 2
x
+
t,
A(
x1,
y1
),
B
(
x2 ,
y2
)
．
(1)由题设得
F
3 4
,
0
，故由抛物线的定义有: |
AF
|
+
|
BF
|=
x1
+
x2
+
3 2
，
由题设可得
x1
+
x2
=
5 2
．由
y
=
3
一个焦点弦. 2.中点弦 涉及到圆锥曲线弦的中点问题的弦我们统称为中点弦问题. 3.切点弦 过圆锥曲线外一点做圆锥曲线的切线，连接两个切点的线段叫该圆锥曲线的一个切点弦. （注：所谓圆锥曲线的外部即圆锥曲线的不含焦点的部分）
笔者发现近几年的高考圆锥曲线试题中的许多问题都与上述所谓的“三弦”问题有关. 一.“三弦”涉及的有关问题类型 1.与焦点弦有关的弦长等问题. 2.与中点弦有关轨迹问题或中点弦所在的直线方程等问题. 3.与切点弦有关的切点弦所在的直线的方程等问题. 二.处理“三弦”问题的策略与方法 1.焦点弦的弦长问题往往涉及到圆锥曲线的定义，处理问题时应优先考虑圆锥曲线的定义. 2.中点弦问题处理的方法一般应优先考虑“点差法”处理. 3.切点弦问题一般用 “整体”方法考虑. 由于篇幅所限，与“三弦”问题相关的结论与证明笔者将另行文，此处不再赘述。
圆锥曲线定比分焦点弦求离心率
圆锥曲线定比分焦点弦求离心率圆锥曲线定比分焦点弦与其离心率的关系
在圆锥曲线中，离心率是一个重要的参数，它描述曲线与圆的偏离程度。
对于给定的焦点弦，我们可以通过以下定理确定圆锥曲线的离心率：
定理：对于一个离心率为 e 的圆锥曲线，焦点弦长为 2a，焦点与弦中点的距离为 c，则：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
推导：
从圆锥曲线方程出发，我们可以导出以下恒等式：
```
c^2 = a^2(1 - e^2)
```
这个恒等式可以通过利用焦点和准线的定义以及弦中点到焦点的距离等于弦长的一半来推导出。
将上述恒等式代入定理中，即可得到：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
应用：
该定理可以用于求解圆锥曲线的离心率，已知焦点弦长度和焦点到弦中点的距离。
例如：
对于椭圆，焦点弦长为 10，焦点到弦中点的距离为 6，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (6 / 10)^2) = sqrt(1 - 0.36) = 0.8
```
对于抛物线，焦点弦长为 2a，焦点到弦中点的距离为 a，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (a / a)^2) = sqrt(0) = 0
```
对于双曲线，焦点弦长为 2a，焦点到弦中点的距离为 c，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2) > 1
```
结论：
焦点弦及其与焦点的距离提供了求解圆锥曲线离心率的便捷方法。
通过应用上述定理，我们可以轻松确定曲线与圆偏离的程度。
如何求解圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题
整体，用一个新元代替进行等量代换，从而求得问题的答案.解：由于S m,S2m-S m，S3m-S2m成等差数列，由等差数列的性质可知2(S2m-S m)=S m+(S3m-S2m)，因为S m=30，S2m=100，所以2(100-30)=30+(S3m-100)，解得S3m=210.我们仔细研究等差数列的前m项的和S m、前2m 项的和S2m、前3m项的和S3m，不难发现它们之间存在一定的规律：S m、S2m-S m、S3m-S2m成等差数列，即可将前m项的和S m、前2m项的和S2m、前3m项的和S3m看作一个整体，根据等差数列的性质建立关系式，通过整体代换求得问题的答案.三、特殊值法特殊值法是解答填空、选择题的重要方法.一般地，对于满足题意的任何一种特殊情况都可使命题成立，因此可根据题意选取一个合适的特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点，将其代入题目中进行运算，即可快速获得问题的答案.对于选择题，可根据题意将特殊值代入选项中进行计算，确定满足题意的那个选项即可.解：设m=1,因为S m=30，S2m=100，所以{S1=a1=30,S2=a1+a2=100,解得a2=70，可得a3=110.因此S3=a1+a2+a3=30+70+110=210.值得注意的是，特殊法的适用范围较窄，不能用于解答问答题.有些特殊值具有片面性，由特殊值求得问题的答案后，还需对所求的结果进行检验.无论是运用方程思想、整体代换法，还是运用特殊值法求解与数列各项和有关的问题，都需灵活运用数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式，将题目中的关系式进行适当的变形，以将问题转化为简单的运算问题，再通过建立方程（组）、赋值、整体代换来求得问题的答案.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）圆锥曲线中的焦点三角形比较特殊，其中一个或两个顶点为圆锥曲线的焦点，其他的顶点在该圆锥曲线上，那么根据圆锥曲线的方程可快速求得三角形三个顶点的坐标，并且焦点三角形的一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴或抛物线的焦点弦，这条边长可根据椭圆、双曲线的定义，以及弦长公式求得.圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题的难度往往不大，但具有较强的综合性，且解题时的计算量较大.下面结合实例，谈一谈如何求解圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题.一、焦点三角形的面积问题圆锥曲线中的焦点三角形面积问题，通常要求焦点三角形的面积及其取值范围.解答此类问题，往往需将数形结合起来，根据图形来确定三角形的位置和形状.然后将三角形进行适当的分割、填补，以运用正余弦定理、三角形的面积公式，快速求得问题的答案.例1.已知点P是椭圆x 25+y 24=1上的任意一点，F1和F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：由椭圆的方程x25+y24=1知，a=5，b=2，故c=a2-b2=1，又因为点P在椭圆上，所以||PF1+||PF2=2a=25①，由余弦定理可得：||PF12+||PF22-2||PF1||PF2cos60°=||F1F22=4②，将①平方得||PF12+||PF22+2||PF1||PF2=20，将③-②得||PF1||PF2=163，所以S△PF1F2=12||PF1||PF2sin60°=12×163×.本题中F1和F2是椭圆的两个焦点，所以△F1PF2为椭圆的焦点三角形，||PF1、||PF2为椭圆的焦半径，于是根据椭圆的定义以及余弦定理建立关于||PF1、||PF2的方程，求得||PF1||PF2的值，即可根据三角形的面积公式S=12ab sinθ求得焦点三角形的面积.二、焦点三角形的周长问题圆锥曲线中的焦点三角形周长问题比较常见.解吴德丽43作。
高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法
高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法经过圆锥曲线焦点被圆锥曲线截得的线段叫焦点弦。
下面首先介绍有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法，然后用高考题举例说明。
定理 经过横向型圆锥曲线的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交圆锥曲线于A 、B 两点，若离心率是e ，焦点到相应准线的距离为p ，则焦半径θcos 12,1e ep r ±=，焦点弦长θ2221cos 12e epr r AB -=+=。
定理可利用直线的参数方程去进行证明，也可以用极坐标法去证明，还可以利用圆锥曲线统一定义和几何性质去证明，证法很多，这里就不一一赘述了。
掌握了上述解法，不论是选择、填空题，还是解答题都能化难为易，迎刃而解。
例1（07年重庆） 经过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为 105的直线，交双曲线P ，Q 两点，求FQ PF ⋅的值。
解：因为2==b a ，22=c ，2=e ，22==ab ep ，则FQ PF ⋅ =⋅+θcos 1e ep θcos 1e ep -θ222cos 1)(e ep -==338105cos 21222=-。
例2 （08年全国卷Ⅱ理） 已知F 为抛物线:C x y 42=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点，设FB FA >，则FA 与FB 的比值等于 。
解：因为1=e ，1tan ==θk ，即45=θ，所以45cos 145cos 145cos 145cos 1-+=+-=p pFB FA 223+=。
例3（09年全国卷Ⅱ理） 已知双曲线:C 12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的右焦点为F ，过F且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若4=，求C 的离心率。
解：因为3tan ==θk ，即 60=θ=，所以60cos 1e ep -=60cos 14e ep +，解得56=e 。
例4（10年全国卷Ⅱ） 已知椭圆:C 12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与C 交于A ，B 两点，若3=，求k 的值。
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质〔定值1〕实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112| AF1 | | BF1 | ep备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支112| AF1 || BF1 |epAB 在异支112||| AF1 | | BF1 | ep备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112| AF | | BF | ep备用课件问题探究 8椭圆x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B 两点，是否存在43uuur uuur uuur实常数，使 AB FA ? FB恒成立 .并由此求∣ AB∣的最小值 .〔借用柯西不等式〕9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质〔定值2〕实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数11 2 e2| AB || CD |2ep备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数11| 2e2|| AB || CD |2ep备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数11 2 e2| AB || CD |2ep备用课件问题探究 9椭圆x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线 l1 ,l 2分别交椭圆于A， B 两点和43uuur uuur uuur uuurC，D 两点，且l1l 2，是否存在实常数，使 AB CD AB ? CD 恒成立.并由此求四边形 ABCD 面积的最小值和最大值.10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质〔定值3〕实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点 D，那么∣ DF ∣与∣ AB∣之比为离心率的一半〔 F 为焦点〕备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点 D ，那么∣ DF∣与∣ AB∣之比为离心率的一半〔F为焦点〕备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点 D ，那么∣ DF ∣与∣ AB ∣之比为离心率的一半〔F为焦点〕备用课件问题探究 10椭圆x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线交椭圆于A， B 两点，AB中垂43线交 x 轴于点D，是否存在实常数uuur uuuur，使 AB F1D 恒成立11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1〔中点共线〕实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件问题探究 11椭圆x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线 l1交椭圆于A，B两点，直线 l2：43x 4 交x轴于点G，点A, B在直线l2上的射影分别是N , M ，设直线 AM , BN 的交点为uuur uuuurD，是否存在实常数，使 GD DF1恒成立.12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2〔三点共线〕实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B 与另一顶点 D连线与相应准线的交点N、M，那么 N、C、B 三点共线， M、 C、A 三点共线备用课件双曲线焦点弦端点A、 B 点 D 连线与相应准线的交点与另一顶N、M，那么 N、 C、 B 三点共线， M 、C、 A三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A、 B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点N、M，那么 N、 C、 B 三点共线， M 、C、 A三点共线〔抛物线的 D 点在无穷远处〕 .备用课件问题探究 12椭圆 x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点 F1的直线 l1交椭圆于A，B两点， C , D 分43uuur uuur uuur uuur别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足PA AD , PC CB , 试探究点P的轨迹.13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3〔对焦点直张角〕实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B 与另一顶点 D连线与相应准线的交点N、 M，那么NF1MF1备用课件双曲线焦点弦端点A、 B 点 D 连线与相应准线的交点与另一顶N、M，那么 NF1MF1备用课件抛物线焦点弦端点A、 B 点 D 连线与相应准线的交点与另一顶N、M，那么NFMF 〔抛物线的 D 点在无穷远处〕备用课件问题探究 13双曲线x2y 2 1 ， F1为双曲线之左焦点，过点F1的直线 l1交双曲线于A， B 两点，31uuur uuur uuur uuurC, D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足 PA1 AD, PC1 CB, 动点Q满足uuur uuur uuur uuurQA2 AC,QB2 BD , 试探究PF1Q是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线〔在无穷远处〕，因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件问题探究 14椭圆x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点 F1的直线 l1 ,l 2分别交椭圆于A，B两点和43C，D 两点，直线l2：x 4 ，直线AD交直线l2于点P，试判断点P、C、B是否三点共线，并证明之 .15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系〔角平分线〕实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分AF2C备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF1C备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D备用课件问题探究 15椭圆x2y2 1 ， F1为椭圆之左焦点，过点 F1的直线 l1 ,l 2分别交椭圆于A， B 两点和43C， D 两点，直线l3：x 4 ，直线AD交直线l3于点P，试证明PF1A PF1 D .16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N〔t,0〕的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 x a 2 t备用课件过双曲线实轴上任意一点N〔t ,0〕的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 x 备用课件a 2 t过抛物线对称轴上任意一定点N〔 t,0 〕的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线x t备用课件问题探究 16椭圆 x2y2 1 ，过点 N (2,0) 的直线 l1,l 2分别交椭圆于A， B 两点和 C， D 两点，设84直线 AD 与直线 CB 交于点 P，试证明点P 的轨迹为直线x 4 .17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值 .备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值 .备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值 .备用课件问题探究 17椭圆x2y2 1 ，点 F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线 l1分别交椭圆于A， B 两点，84uuur uuur uuur uuur设直线 AB 与y轴于点M，MA AF1, MB BF1, 试求的值 .高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值实验成果动态课件过椭圆上任点 A 作两焦点的焦点弦 AC ， AB ，其共线向量比之和为定值．即AF 1 m 1 F 1BAF 2 m 2 F 2 B 备用课件m 1 m 2 21e 2 定值1 e 2过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即AF 1 m 1 F 1BAF 2 m 2 F 2 B 备用课件m 1 m 2 21e 2 定值1 e 2〔注：图中测算不是向量，故中间一式 用的是差〕由于抛物线的开放性，焦点只有一个， 故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AFPB=m 2 BF备用课件m 1 +m 2 =0问题探究 18r方向向量为e (1, 3) 的直线 l 过点 A(0, 2焦点，且椭圆 C 的中心 O 和椭圆的右准线上的点3) 和椭圆 C :x 2y 222 1 (a b 0) 的a buuur uuur uuur rB 满足： OB ?e 0, AB AO .⑴求椭圆 C 的 方 程 ； ⑵ 设 E 为 椭 圆 C 上 任 一 点 ， 过 焦 点 F 1 , F 2 的 弦 分 别 为 ES, ET , 设uuur uuur uuuur uuurEF 1 FS , EF2 2F T ，求12 的值 .1 12。
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8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）
问题探究8
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r
恒
成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦
性质（定值2）
问题探究9
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使
AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r
恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值
3）
问题探究10
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，
使1AB F D λ=u u u r u u u u r
恒成立？
11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1
（中点共线）
问题探究11
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直
线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使
1GD DF λ=u u u r u u u u r
恒成立.
12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）
问题探究12
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、
右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r
试探究
点P 的轨迹.
13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点
弦性质3（对焦点直张角）
问题探究13 已知双曲线
22
131
x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足
11,,
PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 动点
Q
满足
22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r
试探究1PF Q ∠是否为定
值.
14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系
问题探究14
已知椭圆22
143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，
直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.
15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平
分线）
问题探究15
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线
3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.
16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广
问题探究16
已知椭圆
22
1
84
x y
+=，过点(2,0)
N的直线
12
,l l分别交椭圆于
A，B两点和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证
明点P的轨迹为直线4
x=.
17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直
线被曲线
及对称轴所分比之和为定值
问题探究17
已知椭圆22
184
x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,
MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r
试求λμ+的值.
18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值
问题探究18
已知方向向量为e =r 的直线l
过点(0,A -和椭圆22
22:1x y C a b +=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r .⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r ，求1
2λλ+的值.。