北京市第三十五中学2017—2018学年度第二学期期中测试高二数学理科试卷(word版)
2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版
2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。
北京2017-2018学年上学期高二期中试卷数学(理科)试题
绝密★启用前 【全国校级联考】北京2017-2018学年第一学期高二数学期中考试（理）word 含解析 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ． 平行 B ． 相交 C ． 异面 D ． 以上都有可能 2．已知直线 的倾斜角为 ，则 为（ ）． A ． B ． C ． D ． 不存在 3．圆 的圆心横坐标为 ，则 等于（ ）． A ． B ． C ． D ． 4．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， ，交于一点 ，则（ ） A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上 C ． 一定在直线 或 上 D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 5．已知直线 不经过第一象限，且 ， ， 均不为零，则有（ ）．A ．B ．C ．D ． 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）．○…………外…………○…………订…………………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………订…………………线…………○…… A ． B ． C ． D ．7．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一点侧棱和高做截面，正确的截面图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知 ， 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）．A ． 若 ， ，则B ． 若 ， ，则C ． 若 ， ，则D ． 若 ， ，则9．过点 且被圆 截得弦长最长的直线 的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方体 中， 为对角线 的三等分点， 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．A．个B．个C．个D．个…○…………订……※装※※订※※线※※内※※答※…○…………订……第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为_______12．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是__________．13．圆的圆心到直线的距离为，则__________．14．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件__________时．有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）15．已知从球的以内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________．16．直线与曲线的位置是__________．三、解答题17．已知三个顶点是，，．（）求边高线所在直线方程．（）求外接圆方程．18．如图，在正四棱柱中，是的中点，若，．（）求证：平面．（）求证：平面平面．（）求三棱锥的体积．…装…………○………○…………线…………○……__姓名：___________班级：________ …装…………○………○…………线…………○…… 19．如图，等腰梯形 中， ， ， ， ， 为 的中点，矩形 所在的平面和平面 互相垂直． （ ）求证： 平面 ． （ ）设 的中点为 ，求证： 平面 ． （ ）求三棱锥 的体积．（只写出结果，不要求计算过程）参考答案1．D【解析】分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D2．A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系解题即可.【详解】∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为．故选．【点睛】本题考查斜率与倾斜角的关系，属基础题.3．D【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为，可求值.【详解】圆的圆心坐标为，∴，解得．故选．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.4．B【解析】【分析】由题意，，相交于点，则点，且，而平面，平面，又面面由此可得结论.【详解】由题意，，相交于点，则点，且，又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．C【解析】【分析】由直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即可得出．【详解】∵直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即，．故选．【点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题．6．A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为，下底长为，高为，棱锥的一条侧棱垂直底面高为，所以这个几何体的体积：，故选．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．D【解析】由题意作出图形，如图所示；SO⊥底面BPM，过侧棱SB与高的平面ABCD截得圆柱与圆柱内接正三棱锥S﹣BPM，截面图形为D选项．故选：D．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8．C【解析】考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A选项可由线面平行的判定定理进行判断；B选项可由线面垂直的位置关系进行判断；C选项可由面面垂直的判定定理进行判断．D选项可由面面垂直的性质定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为m∥n，nα时，mα也有可能，故m∥α不成立．B选项不正确，因为m⊥α，n⊥α，只能得出n∥m；C选项正确，因为m⊥α，m∥β，则α⊥β是面面垂直的判定定理．D选项不正确，因为α⊥β，mα时，m⊥β不一定成立，有可能是m∥β；故选C．点评：本题考查空间中线面垂直的判断及线面平行、面面垂直的判断．主要考查答题者空间想像能力及组织条件证明的能力．9．A【解析】【分析】题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，求出圆心坐标，即可得到线的方程.【详解】依题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆的方程得，圆心坐标为，此时直线的斜率为，∴过点和圆心的直线方程为，即．故选．【点睛】本题考查圆的标准方程，直线方程的求法，属基础题.10．B【解析】设正方体的棱长为，计算得，，，，所以到各顶点的距离的不同取值有个，故选．11．－6.【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值【详解】∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3，∴a=﹣6．故答案为：-6．【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．12．【解析】设等边三角形边长为，则，∴，即圆锥底面的圆半径为，圆锥的高，母线长为，侧面积．13．【解析】【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标，代入点到直线距离公式即可求出.【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径，圆心，到直线的距离，解得．即答案为.【点睛】本题考查圆的标准方程，点到直线距离公式，属基础题.14．【解析】【分析】根据题意，由，结合直棱柱的性质，分析底面四边形，只要，进而验证即可．【详解】∵四棱柱是直棱柱，∴，若，则平面，∴，又由，则有，反之，由亦可得到．即答案为..【点睛】题主要考查了棱柱的几何特征以及空间线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．15．【解析】【分析】求出长方体的体对角线长，即可得到球的半径，进而得到球的表面积.【详解】长方体从一个顶点出发的三条棱分别是，，，∴长方体的体对角线长为：，∴内接于该长方体的球的半径为，故此球的表面积．【点睛】本题考查球的接长方体的有关性质，属基础题.16．相交【解析】【分析】化简得，，故直线恒过定点，可判断点在圆内，即直线与圆相交.【详解】化简得，，故直线恒过定点，将代入得，所以点在圆内，故直线与曲线的位置关系是相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.17．（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出边所在直线的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率，用斜截式求直线方程并化为一般式．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程求出，，即可.【详解】（）∵，，∴，∴，∴所在直线方程为．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程得：，解得，，，故外接圆的方程为．【点睛】本题考查两直线垂直，斜率之积等于-1，以及利用待定系数法求圆的一般方程，属基础题. 18．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）设，由三角形的中位线的性质可得，从而证明直线平面．（2）证明，，可证平面，进而证得平面平面平面．（3）利用可求三棱锥的体积．【详解】（）证明：设，则是中点，又∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）证明：∵是正四棱柱，∴是正方形，∴，又∵底面，平面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（），∵，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点．同时开出利用等体积法求三棱锥的体积，属基础题.19．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，而A，，，满足定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，设的中点为，又平面，平面，满足定理条件．（3）先计算底面三角形的面积，在等腰梯形中，可得此三角形的高为，底为1，再计算三棱锥的高，即为，最后由三棱锥体积计算公式计算即可.（只写出结果，不要求计算过程）【详解】（）∵是矩形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面．（）证明：设的中点为，∵是的中点，∴，且，又∵是矩形，是的中点，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。
【精品】2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)
顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，
则小明不同的完成方法种数为（
）
A．55
B． 90
C．425
D． 512
【分析】 根据题意，分析可得小明最少需要 1 天完成，最多需要 10 天完成，据
此分 10 种情况讨论：分别求出每一种情况的完成方法数目，由加法原理计算可
得答案．
D．? a∈ R，使得函数 f（x）的极值点也是 g（x）的极值点
【分析】 对于 A：根据函数零点存在定理即可判断，
对于 B，根据极值，方程的根，函数零点的关系即可判断，
对于 C：当 a=0 时， g（ 0） =f（0）=0，
对于 D：根据极值点和方程根的关系即可判断． 【解答】 解：函数 f （x） =x3+ax2﹣ax，g（x）=f ′（x） =3x2+2ax﹣a， 若当函数 g（ x）只有一个零点，则△ =4a2+12a=0，解得 a=0 或 a=﹣ 3，
⑩ ，小明 10 天完成，即 1 天完成 1 道题目，有 1 种完成方法，
则
一
共
有
1+C92+C93+C94+C95+C9 6+C97+C98+1=C91+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+C99=29=512
故选： D．
【点评】 本题考查分类计数原理的应用，注意正确的分类讨论，属于中档题．
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（Ⅰ）若函数 f （x）为单调函数，求实数 a 的最大值； （Ⅱ）如果函数 f（ x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围．
2017-2018学年北京市第二十五中学高二下学期期中考试数学【理科】解析版
北京市第二十五中学2017-2018学年度第二学期期中过程性评价高二年级数学试卷（理科）2018年4月一、选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填入机读卡对应的序号中． 1．(1)i i -等于（ ）．A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】B【解析】复数2i(1i)i i 1i -=-=+． 故选B ．2．函数5ln y x x =++的导数为（ ）．A ．1B ．1xC ．11x+D ．1x x+【答案】C【解析】由5ln y x x =++得15(ln )1y x x x''''=++=+．故选C ．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）． ①cos ()y x x =∈R 是三角函数；②三角函数是周期函数；③cos ()y x x =∈R 是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】B【解析】根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知： ①cos ()y x x =∈R 是三角函数是“小前提”； ②三角函数是周期函数是“大前提”； ③cos ()y x x =∈R 是周期函数是“结论”． 故“三段论”模式排列顺序为：②①③．故选B ．4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）． A ．假设三个内角都不大于60度 B ．假设三个内角都大于60度C ．假设三个内角至多有一个大于60度D ．假设三个内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】用反证法证明数学命题时，应假设原命题结论的否定成立， “至少有一个”的否定为“一个也没有”， 所以应假设三个内角都大于60度．故选B ．5．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系式是23s t t =-，则物体的初速度是（ ）．A ．0B ．3C ．2-D ．32t -【答案】B【解析】由23s t t =-得32s t '=-， 当0t =时，3s '=， 即物体的初速度是3．故选B ．6．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）．A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 【答案】C【解析】由31812343y x x =-+-得281y x '=-+，(0)x >，令0y '>得09x <<； 令0y '<得9x >，∴函数31812343y x =-+-在(0,9)上单调递增，在(9,)+∞上单调递减，∴当9x =时，y 取最大值，即使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件． 故选C ．7．11(1)d x x x --⎰的值为（ ）．A ．2B ．23C ．13-D ．16-【答案】B【解析】11232111111152(1)d ()d 32663x x x x x x x x ---⎛⎫-=-=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰．故选B ．8．用科学归纳法证明11112321n n ++++<-（n ∈N 且1n >），第二步证明中从“k 到1k +”时，左端增加的项数是（ ）．A ．21k +B ．21k -C ．2kD ．12k -【答案】C【解析】当n k =时，不等式左边11112321k =++++-， 当1n k =+时，不等式左边111111232121k k +=++++++--， ∴证明中从k 到1k +时，左端增加了121(21)2k k k +---=项． 故选C ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且n S ，1n S +，12a 成等差数列，通过计算1S ，2S ，3S ，猜想当1n ≥时，n S 等于（ ）． A ．1212n n -+B ．1112n --C ．(1)2nn n +D ．2121n n --【答案】D【解析】由题意可知，1122n n S a S +=+， 当1n =时，123322a S ==， 当2n =时，12332272224a S S ++===， ∵102112S -==，222321221S -==-，333172142S --==，∴猜想当1n ≥时，1212n n n S --=．故选D ．10．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）．A ．24B ．18C ．12D ．6【答案】B【解析】分两种情况：①若0，2中选出的数字是0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字分别放在个位和百位，共有23A 种可能；②若0，2中选出的数字是2，则先从十位和百位中选出1个位置放置2，有12C 种可能，再从1，3，5中选两个数字放于剩余两个位置有23A 种可能， 此时奇数有1223C A 个．综上所述，奇数的个数共有212323A C A 61218+=+=．故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案写在答题卷相应位置． 11．若复数(21)i (2)i(,)x y y x y -+=+-∈R ，则x y +=__________． 【答案】5【解析】∵复数(21)i (2)i x y y -+=+-，(,)x y ∈R ， ∴2121x y y -=⎧⎨-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 故5x y +=．12．函数3()6([0,2])f x x x x =-∈的最大值是__________． 【答案】0【解析】由3()6f x x x =-，[0,2]x ∈得2()36f x x '=-， 令()0f x '>，得2x <-或2x >；令()0f x '<得22x -<<，∴函数()f x 在[0,2]上单调递减，在[2,2]上单调递增， 且(0)0f =，(2)8124f =-=-，∴3()6f x x x =-，[0,2]x ∈的最大值是0．13．有4部车床，需加工3个不同的零件，不同的安排方法有__________种． 【答案】64【解析】每一个零件有4种加工方法，则加工3个不同的零件，不同的安排方法有3464=种．14．直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的图形面积为__________． 【答案】323【解析】由223y x y x=+⎧⎨=⎩得直线23y x =+与抛物线2y x =的交点坐标为：(1,1)-，(3,9)， 则由定积分的几何意义可知直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的圆形面积为：32233111532(23)d 39333x x x x x x --⎛⎫+-=+-=+= ⎪⎝⎭⎰．15．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有__________种． 【答案】70【解析】根据题意，可分两种情况：①若小分队有1名男医生，2名女医生，则组队方案有1254C C 30⋅=种，②若小分队有2名男医生，1名女医生，则组队方案有2154C C 40=种， 由分类计数原理可得，不同的组队方案共有304070+=种．16．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：212O xy①2-是函数()y f x =的极值点； ②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间(2,2)-上单调递增．则正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】①④【解析】对于①，由导函数()y f x '=的图象可知当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<，当(2,1)x ∈-时，()0f x '>，∴2-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；对于②，由导函数()y f x '=的图象可知当(2,1)x ∈-时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， ∴1不是函数()y f x =的极值点，故②错误；对于③，因为(0)0f '>，所以()y f x =在0x =处切线的斜率大于零，故③错误； 对于④，由导函数()y f x '=的图象可知，当(2,2)x ∈-时，()0f x '≥时， 所以()y f x =在区间(2,2)-上单调递增，故④正确．综上所述，证明命题的序号是①④．三、解答题：本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数1i z =+．（1）若复数234z z ω=+-，则复数ω的模长||ω=__________． （2）如果221i 1z az bz z ++=--+，求实数a ，b 的值． 【答案】见解析．【解析】（1）∵复数1i z =+，∴2234(1i)3(1i)42i 33i 41i z z ω=+-=++--=+--=--， ∴复数ω的模长22||(1)(1)2ω=-+-=． （2）∵复数1i z =+，∴22(1i)(1i)()(2)i z az b a b a b a ++=++++=+++，221(1i)(1i)1i z z -+=+-++=，又∵221i 1z az bz z ++=--+， ∴22(1i)(1)z az b z z ++=--+， 即()(2)i (1i)i a b a +++=-⋅， ∴()(2)i 1i a b a +++=+， ∴121a b a +=⎧⎨+=⎩，解得1a =-，2b =．18．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-． （1）求a ，b 的值． （2）求()f x 的极大值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由32()32f x x ax bx =-+，得2()362f x x ax b '=-+， ∵函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，∴(1)1321(1)3620f a b f a b =-+=-⎧⎪⎨'=-+=⎪⎩，解得13a =，12b =-．（2）由（1）知，32()f x x x x =--，2()321(1)(31)f x x x x x '=--=-+，令()0f x '>，得13x <-或1x >；令()0f x '<，得113x -<<，∴函数()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，∴当13x =-时，()f x 取极大值，15()327f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极大值．19．数列{}n a 中，11a =，12()2nn n a a n a +=∈+N *． （1）求2a ，3a ，4a 的值．（2）归纳{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵数列{}n a 中，11a =，12()2nn n a a n a +=∈+N *， ∴1212223a a a ==+，23242138223a a a ===+，34322121522a a a +===+．（2）由（1）猜想21n a n =+，证明：当1n =时，11a =，等式成立，假设当n k =时，等式成立，即21k a k =+， 则当1n k =+时，12222122(1)121k k k a k a a k k +⋅+===+++++，∴当1n k =+时，等式成立，综上所述，对一切正整数n ，21n a n =+都成立．20．已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值．（2）求函数()f x 的单调区间．（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ，得： 函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x'=+，∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，∴(1)12f a '=+=， ∴1a =．（2）由于21()ax f x x+'=，(0)x >，①当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>恒成立， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（3）证明：当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞， 令1()ln(1)251g x x x x =---+-， 则2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----， 当2x >时，()0g x '<， ∴()g x 在(2,)+∞上单调递减， 又∵(2)0g =，∴当[)2,x ∈+∞时，()(2)g x g ≤，即()0g x ≤，∴1ln(1)2501x x x ---+-≤，即(1)25f x x --≤， 故当1a =且2x ≥时， (1)25f x x --≤成立．。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版
2017-2018学年第二学期高二年段期中考数学（理）试卷（满分：150分，完善时间：120分钟）班级姓名座号一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3-i，则的值为（）A.1B.C.2D. 42. 一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，分别从两个包内各取一本的取法有（）种．A.15B.4C.9D.203.已知对任意x∈R，恒有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A.f′（x）＞0，g′（x）＞0B.f′（x）＞0，g′（x）＜0C.f′（x）＜0，g′（x）＞0D.f′（x）＜0，g′（x）＜04.函数y=f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.y=f（x）在（-∞，0）上单调递增B. y=f（x）的递减区间为（3，5）C.函数y=f（x）在x=0处取得极大值D.函数y=f（x）在x=5处取得极小值5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度6.设f（x）=，则f（x）dx=（）A. B. C. D.不存在7.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a48.有八名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字（如：4，5，6），则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有（）A.360种 B.4320种 C.720种 D.2160种9.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A.ln2B.1-ln2C.2-ln2D.1+ln210.若函数f（x）=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0＜a＜311.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A. B. C. D.12.已知，则导函数f′（x）是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为14. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法15.若函数存在极值，则m的取值范围是16.用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是三、解答题(本大题共6小题，共72分)17. 已知m∈R，复数z=+（m2+2m-3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；18.设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19.设a、b∈R+且a+b=3，求证．20.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．21.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a 为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．22.已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=-时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）-x≤0恒成立，求实数a的取值范围．。
2017-2018学年北京市第35中初二第二学期期中数学试卷含答案
初二数学 共8页 第 1 页A D2017—2018学年度第二学期第三十五中学期中质量检测初 二 数 学考生 须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
2．考试时间120分钟。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）． A ．a =2，b =3，c =4 B ．a =4，b =4，c =5 C ．a =5，b =6，c =7 D ．a =5，b =12，c =13 2. 下列计算中，正确的是（ ）．A ．2(3)3-=- B ．(4)(9)496-⨯-=⨯= C ．114242= D ． 22347+=3. 用配方法解方程0522=--x x 时，原方程应变形为（ ）．A . 6)1(2=+xB . 9)2(2=+xC . 6)1(2=-xD . 9)2(2=-x4. 在□ABCD 中，如果∠A +∠C ＝140°，那么∠C 等于（ ）．A ． 70°B ．60°C ．40°D ． 20°5.下列方程中，没有实数根的是（ ）．A ．x 2﹣2x =0B ．x 2﹣2x ﹣1=0C ．x 2﹣2x +1=0D ．x 2﹣2x +2=0 6. 已知□ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）．A ．∠BAC =∠DCAB ．∠BAC =∠DAC C ．∠BAC =∠ABD D ．∠BAC =∠ADB7. 如图，在菱形ABCD 中，E 为AB 中点，P 是BD 上一个动点，则下列线段的长度等于初二数学 共 8页 第 2 页P A +PE 最小值的是（ ）．A ．BCB ．CE C. DE D ．AC8. 如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以它的对角线1OB为一边作正方形121O B B C ，以正方形121O B B C 的对角线2OB 为一边作正方形 232OB B C ，再以正方形232OB B C 的对角线3OB 为一边作正方形343OB B C ，…，依 次进行下去，则点6B 的坐标是（ ）． A ．(8,0)- B ．(0,8)-C ．(42,0)-D ．(82,0)-二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果二次根式3x -有意义，那么x 的取值范围是 ．10. 若一元二次方程240x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是 ．11. △ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若 △DEF 的周长为6，则△ABC 的周长为 ．12. 如图，菱形ABCD 中，若BD=24，AC=10，则AB 的 长等于 ，该菱形的面积为 ．13. 如图，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是 ．14. 向阳村2015年的人均收入为12000元，2017年的人均收入为14520元. 若人均收入的年平均增长率为x , 根据题意，所列的方程为 .15. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c ，则该三角形的面积为2222221[()]42a b cS a b+-=-，现已知△ABC的三边长分别为1，2，5，则△ABC的面积为．16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小凯的作法如下：老师说：“小凯的作法正确．”请回答：在小凯的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是______________________．三、解答题（本题共68分．17，18每小题6分，第19-23，25每小题5分，第24，26题已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．DCBA（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F；（3）连接AE，CF．所以四边形AECF是菱形．FEAB CD初二数学共8页第3 页初二数学 共 8页 第 4 页DABC每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．（本题6分）计算：（1）2427(653)+-+； （2）182(75)(75)÷++-．18. （本题6分）解方程：（1）2310x x -+=； （2）(3)(26)0x x x +-+=．19. （本题5分）已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值．20. （本题5分）已知: 如图, 在平行四边形ABCD 中， E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE = CF . 求证: 四边形BFDE 是平行四边形.21. （本题5分）如图，四边形ABCD 的周长为42，AB=AD=12，∠A=60°，∠D=150°，求BC 的长．22. （本题5分）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．23. （本题5分）如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．24. （本题6分）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1初二数学共8页第5 页初二数学 共 8页 第 6 页22221221图3图2图1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2.图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1. 请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上.要求：（1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹.25. （本题5分） 阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是△ABC 的中线， 点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，AE等分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图3中画出直线AE，并保留作图痕迹）．26.（本题6分）已知关于x的一元二次方程22(21)0x m x m m--+-= .（1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若0≠m，设方程的两个实数根分别为1x，2x（其中1x>2x），若y是关于m的函数，且121xxy-=，求y与m的函数解析式.27. （本题7分）如图1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD、CB与CD(或AB)之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得AD BC∥，如图2，将线段AB沿AD方向平移AD的长D图1MBANC图3图2M EDCBA DCBA初二数学共8页第7 页初二数学 共 8页 第 8 页度，得到线段DE ，然后连接BE ，进而利用所学知识得到AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系：____________________；(直接写出结果)（2）根据小亮的经验，请对图1的情况（AD 与CB 不平行）进行尝试，写出AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，并进行证明；（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论: __________________________.28. （本题7分）问题：如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得BP AP 的值最 小．小明的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点'A ，连接B A '，则B A '与直线l 的DABCEDA B C 图1图2图3lCABPA'D交点P即为所求.A'PBAll图2图1AB请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设'AA与直线l的交点为C，过点B作lBD⊥，垂足为D. 若1=CP，2=PD，1=AC，写出BPAP+的值为；（2）将（1）中的条件“1=AC”去掉，换成“ACBD-=4”，其它条件不变，写出此时BPAP+的值；（3）求1)32(2+-m+4)28(2+-m的最小值．初二数学共8页第9 页17-18第二学期初二数学期中考试参考答案1.D.2.B.3.C.4.A.5.D.6.C.7.B.8.A.9.10.4. 11.12. 12.13,120. 13.c<a<b.14.1200015.1. 16.四条边都相等的四边形是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形.）17.；（2）5.18.; （2）x1=-3,x2=2.19.1.20.略21.13.22.（1）设这段铁丝分成x和（20-x）两部分，根据题意列方程得解之得：x1=4,x2=16.答：略（2）.方程无实根.所以两个正方形的面积和为12.23. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．或：∵四边形ABCD是矩形，初二数学共8页第10 页又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．24.略25.解：（1）如图．（2）如图．26.（1）∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）x1=m,x2=m-1,.27.（1）AD CB AB+=（2）补全图形正确结论：AD CB AB+＞理由：如图：将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE,联结BE、CE，且可得AB DE∥且AB DE=∴四边形A、B、E、D是平行四边形∴AD BE=∵AB CD=∴DE CD=∵AB DE∥,60AOD∠=︒∴DCE△是等边三角形∴CE AB=由于AD与CB不平行，所以C、B、E构成三角形∴BE CB CE+＞∴AD CB AB+＞（3）AD CB AB+≥28. 5..EDABCOM E DCBAEMDCBAN初二数学共8页第11 页。
高二数学理2017-2018学年度第二学期中期质量检测试题
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A. -1 B. 1 C. -5 D. 3
2. 已知函数 f x ax3 3x2 2 ，若 f ' 1 4 ，则 a
A. 10 B. 13
3
3
3. 已知 a (2, 1,3) ， b
C. 16 D.
19
3
3
1, x,2 ，若 a b 0 ，则 x
A. -4 B. 8 C. -8 D. -6 4. 下列求导运算正确的是（ ）
22. 已知函数 f x lnx 1 ax2 2x, a R 2
（1）若 a 1 ，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）若函数 f x 在定义域内是单调递增，求实数 a 的取值范围。
20．如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，梯形 ABCD ， AD // BC ， AB AD AC 3 ，
15. 已知函数 y f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是 __________ 16. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦 值为 ________．
三、解答题（共 6 题， 17 题 10 分， 18-22 每题 12 分，共 70 分） 17. 求下列函数的导数 （1） y ex cos x
A. a // c, b // c
B. a // b, a c C. a // c, a b D. 以上都不对
北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题
……外……………装…………○___姓名：___________班级……内……………装…………○绝密★启用前 北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ） A ． k 1>k 2>k 3 B ． k 1> k 3> k 2 C ． k 3> k 2> k 1 D ． k 2> k 3> k 1 2．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，若AB a =， AD b =， 1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） A ． 1122a b c -++ B ． 1122a b c ++ C ． 1122a b c --+D ． 11a b c -+○…………外……………装…………○…※※要※※在※※装※※订○…………内……………装…………○…3．过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A ． x-2y-5=0 B ． x-2y+7=0 C ． 2x+y-1=0 D ． 2x+y-5=0 4．已知球O O 的表面积为（ ） A ． B ． 2π C ． 4π D ． 6π 5．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++。
高二第二学期期中数学试卷理科及答案
2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分）1．设复数z满足11zz-+=2i,则z =A．35-45-B．35-+45i C．35+45i D．3545-i2.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→夹角为()A．30° B．45° C．60° D．90°4.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20 5．中心在原点，焦点在x轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝16．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋17．已知函数 的导函数 图象如图所示,则函数 有 A．两个极大值,一个极小值 B．两个极大值,无极小值 C．一个极大值,一个极小值 D．一个极大值,两个极小值 8．设a ≠0，a ∈R，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14a9.三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) A.V=abcB.V=ShC.V= (S 1+S 2+S 3+S 4)· r(S 1,S 2,S 3,S 4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)11．若直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 A ．B ．C ．D ．12．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知()20d f x x ⎰＝8，则()202d f x x x ⎡⎤-⎣⎦⎰＝______14．若双曲线11622=-m x y 的离心率2=e ，则=m ______________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．( 本小题满分10分)（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。
2017-2018北京西城35中高二上期中【理】数学真题卷
北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高二数学I 卷（必修二模块考试）一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．圆22(1)1x y -+=的圆心和半径分别为（ ）．A ．(0,1)，1B ．(0,1)-，1C ．(1,0)-，1D ．(1,0)，1【答案】D【解析】2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）．AB ．C ．D ．【答案】A【解析】3．平行线20x y -=与250x y --=之间的距离为（ ）．A ．5BCD ．2【答案】C【解析】4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）． （1）l m αβ⇒∥⊥ （2）l m αβ⇒⊥∥ （3）l m αβ⇒∥⊥（4）l m αβ⇒⊥∥A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）【答案】D 【解析】5．圆221:4470C x y x y ++-+=与圆222:410130C x y x y +--+=的位置关系是（ ）．A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）．A ．53B ．103C ．203D ．253【答案】B【解析】7．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --=且(1,1)A -，则B 点坐标为（ ）． A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2)【答案】A 【解析】8．若过点(3,1)总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k -+-=>相切，则k 的取值范围是（ ）． A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）．AB 2C ．D【答案】D【解析】10．如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）．A ．4个B ．6个C ．10个D ．14个【答案】C【解析】二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸） 11．在y 轴上的截距为1-且倾斜角为135︒的直线方程为__________． 【答案】10x y ++=【解析】 12．已知直线:2110l x y +-=，若直线0ax y b +-=与l 垂直，过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与l 平行，则实数a =__________；m =__________． 【答案】0.5-，8- 【解析】13．如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的体积等于__________．【答案】【解析】14．长方体1AC ，5AB =，3BC =，14BB =，P 为上底面1111A B C D 上一个动点，则三棱锥P ABC -的正视图与左视图的面积比为__________．【答案】5:3 【解析】15．过点(1,1)的直线与圆22(2)(3)9x y -+-=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为__________． 【答案】4【解析】16．如图，正方体111ABCD A B C D -中，点P 在1BC 上运动，给出下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1DP BC ⊥； ③1A P ∥平面1ACD ；④平面1PDB ⊥平面1ACD ；其中正确的命题是__________．【答案】①③④【解析】三、解答题：（共3个小题，每题12分，共36分．请写明必要的解题过程） 17．已知ABC △的顶点(0,5)A ，(1,2)B -，(3,4)C --． （1）求AB 边上的高线所在的直线方程． （2）求ABC △的外接圆的方程． 【答案】见解析．【解析】解一：（1）5(2)701AB k --==--， ∴AB 边上的高线斜率k ，1AB k k ⋅=-，则17k =． AB 边上的高线过点(3,4)C --．∴AB 边上的高线所在的直线方程为1(4)((3))7y x --=--，整理得7250x y --=．（2）设AB 中垂线为1l ，BC 中垂线为2l ． 由（1）知7AB k =-，∴117l k =，又1l 过AB 中点13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1l 的方程为7100x y -+=，4(2)1312BC k ---==--，∴22l k =-，又2l 过BC 中点(1,3)N --， ∴2l 的方程为250x y ++=， 联立方程组7100250x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得31x y =-⎧⎨=⎩．∴圆心为(3,1)-．由两点间距离公式可知半径5r ， ∴ABC △的外接圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=， 即2262150x y x y ++--=．解二：设ABC △的外接圆为220x y Dx Ey F ++++=， ∴25501420916340E F D E F D E F ++=⎧⎪++-+=⎨⎪+--+=⎩， 解得6D =，2E =-，15F =-，所以ABC △的外接圆的方程为2262150x y x y ++--=．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （1）求证：DE ∥平面PAC ． （2）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．【答案】见解析．【解析】（1）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点， 所以DE PC ∥，因为DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以DE ∥平面PAC ．（2）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点， 所以PD BC ⊥，AD BC ⊥， 因为PD AD D =I ， 所以BC ⊥平面PAD ． 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PAD ．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC CB ⊥，点D 是AB 的中点． （1）求证：1AC BC ⊥． （2）求证：1AC ∥平面1CDB ．（3）设12A B A A =，AC BC =，在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥？若存在，确定点M 的位置；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中， 因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥．又AC BC ⊥，1BC CC C =I ， 所以AC ⊥平面11BCC B ．而1BC ⊂平面11BCC B ，则1AC BC ⊥． （2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 所以1DE AC ∥．因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1AC ∥平面1CDB ．（3）在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥，且M 为线段11A B 的中点． 证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ， 所以1AA CD ⊥．由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥． 又1AA AB A =I ， 所以CD ⊥平面11AA B B ，取线段11A B 的中点M ，连接BM ， 因为BM ⊂平面11AA B B ， 所以CD BM ⊥．由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥， 又1CD B D D =I ， 所以BM ⊥平面1B CD ， 又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥．II 卷一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上．） 20．直线l 过点(1,2)A ，且不过第四象限，则l 的斜率的取值范围是__________． 【答案】[0,2] 【解析】21．圆柱形容器内部盛有高度为12cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__________cm ．【答案】6 【解析】22．(,)P x y 是22(4)4x y -+=上的点，则yx的范围是__________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】23．已知⊙22:40M x x y -+=． （1）⊙M 的半径r =__________．（2）设点(0,3)A ，(2,5)B ，若⊙M 上存在两点C ，D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，则直线CD 的方程为__________．【答案】2，0x y -=，40x y --=【解析】24．在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是__________；截得的平面图形中，面积最大的值是__________．【答案】【解析】二、解答题（共3个小题，共30分．请写明必要的解题过程） 25．（8分）已知曲线方程22240x my x y n +--+=，（m ，n ∈R ）． （1）若此方程表示圆，求m 的值及以的范围．（2）在（1）的条件下，若4n =-，直线l 过(2,0)A 且与圆相交于B ，C 两点，且||BC = 线l 方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）曲线方程可化为22224(1)1x m y n m m ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭，（m ，n ∈R ），若此方程表示圆，则1m =且2410n m -+>， 即1m =且5n <．（2）如图，O 为圆心，M 为BC 中点， 由（1）知1m =，当4n =-时，圆的方程为22(1)(2)9x y -+-=， 其中圆心为(1,2)，半径3r =．M 为BC 中点，且||BC =∴||BM =OM BC ⊥， 在直角三角形OMB 中，3OB r ==， ∴1OM =．①当过点(2,0)A 的直线斜率不存在时，直线方程为2x =， 此时圆心到直线的距离为1，符合题意；②当过点(2,0)A 的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程(2)y k x =-． 由点到直线距离公式知1d ==，解得34k =-，所以直线方程为3(2)4y x =--，整理得3460x y +-=．因此，过(2,0)A 且与圆的交线段长度等于2x =或3460x y +-=．26．（10分）如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD BE ∥，22AD PD BE ===，60DAB ∠=︒，点F 为PA 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ． （2）求证：平面PAE ⊥平面PAD ． （3）求三棱锥P ADE -的体积．【答案】见解析．【解析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ， 因为点F 为PA 的中点，所以FG PD ∥且12FG PD =，又BE PD ∥，且12BE PD =，所以BE FG ∥，BE FG =， 所以四边形BGFE 为平行四边形． 所以EF BG ∥，又EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ．（2）连接BD ．因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒， 所以ABD △为等边三角形． 因为G 为AD 中点， 所以BG AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以PD BG ⊥，又PD AD D =I ，PD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BG ⊥平面PAD ． 又EF BG ∥，所以EF ⊥平面PAD ， 又EF ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面PAD ．法二：因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒， 所以ABD △为等边三角形， 因为G 为AD 中点， 所以BG AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD I 平面ABCD AD =，BG ⊂平面ABCD ， 所以BG ⊥平面PAD ． 又EF BG ∥，所以EF ⊥平面PAD ， 又EF ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面PAD ．（3）因为122PAD S PD AD =⋅=△，EF BG =，所以13P ADE PAD V S EF -=⋅△27．（12分）已知：直线:3410l x y ++=，一个圆与x 轴正半轴与y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3．（1）求圆的方程．（2）P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．（3）圆与x 轴交点记作A ，过A 作一直线1l 与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，求||OM 最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）解：圆与x ，y 轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为222()()x a y a r -+-=，(0)a >， 圆心C 到直线的距离为3， ∴由点到直线距离公式得3d =，解得2a =，∴半径2r =．∴圆的方程为22(2)(2)4x y -+-=．（2）解：PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点， ∴PCE △≌PCF △， ∴2PEF PCE S S =△△，PE 是圆的切线，且E 为切点，∴PE CE ⊥，2CE r ==，22224PE PC CE PC =-=-，∴当斜边PC 取最小值时，PE 也最小，即四边形PECF 的面积最小． min ||PC 即为C 到l 的距离，由（1）知min ||3PC =， ∴22min 345PE =-=，即∴min PE∴11222PCE S EC PE =⋅=⨯△∴四边形PECF面积的最小值为（3）解：依题，点A 坐标(2,0)，如图，取A 关于原点的对称点坐标(2,0)P -，连接PB ，OM ， 则OM 为APM △的中位线， 所以，1||||2OM PB =， 所以，要使||OM 最大，则||PB 应最大，所以，如图，当B 点为PC 的延长线与圆C 的交点1B 时， max 11||||||||PB PB PC CB ==+，2r =．max max 1||||12OM PB =， 即||OM1．28．选做题：10分（计入总分，但总分不超过150分） 已知点(0,4)A ，圆22:4O x y +=，点P 在圆O 上运动． （1）如果OAP △是等腰三角形，求点P 的坐标． （2）如果直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，且22||||36AP AQ +=，求直线AP 的方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）因为圆22:4O x y +=，所以(0,0)O ，半径为2．设点(,)P x y ，所以||2OP =．又(0,4)A ，所以||4OA =，||AP 因为OAP △是等腰三角形，所以||||4AP OA ==或||||2AP OP ==．当||||4AP AO ==时，有22224(4)16x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12P ⎫⎪⎪⎝⎭或12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．当||||2AP OP ==时，有22224(4)4x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩，此时O ，P ，A 三点共线，不合题意．综上，12P ⎫⎪⎪⎝⎭或12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）若直线AP 为y 轴，则(0,2)P ，(0,2)Q -或(0,2)P -，(0,2)Q ． 而22||||36AP AQ +≠，不合题意．由此可设直线AP 方程为4y kx =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)8120k x kx +++=， 其中222(8)412(1)16480k k k ∆=-⨯+=->， 且12281k x x k +=-+，122121x x k ⋅=+， 因为(0,4)A ， 所以22211||(4)AP x y =+-，22222||(4)AQ x y =+-， 又因为22||||36AP AQ +=，所以22221122(4)(4)36x y x y +-++-=，将114y kx =+，224y kx =+代入上式，整理得221212(1)[()2]36k x x x x ++-=， 所以12212222121281121(1)[()2]36k x x k x x k k x x x x ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=⎨+⎪⎪++-=⎪⎩， 解得215k =，即k =，经检验符合题意，所以4y +或4y =+．。
2018北京市第三十五中学高二数学(理)(下)期中
(a, b) 内， f '( x)
0 恒成立 . 因为 f ( x)
3
x
在
(
1,1)内可导
且 单 调 递 增 ， 所 以 在 ( 1,1) 内 ， f ' ( x ) 2 x3 恒 成0 立 . 以 上 推 理 中
（）
A．大前提错误 B ．小前提错误
C
4. 1(e x 3 x 2)dx 的值为（
）
0
A. 书法社 B.
楹联社
C. 汉服社
（） D.条件不足无法判断
10. 已知 f (x) 是定义在 R 上的可导函数 . 若函数 F ( x) xf ( x) ，满足 F '( x) 0 对任意 x R
恒成立，则在下面四个结论中，所有正确结论的序号是（
）
① f (1) f ( 1) 0 ；
② f ( x) 在 (0, ) 单调递增；
6．若函数 f ( x) 的导函数 f '(x ) x(2 x)e x ，则下列关系一定成立的是（
）
A. f (2) 0 B. f (0) f (1) C.
f (2) f (1) D.
f (2) f (3)
7. 设 f (x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 y f ( x) 和 y f (x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
③ f ( x) 一定没有极值点；
④ f ( x) 0 对一切 x R, x 0 成立 .
A. ①，②
B. ②，③
C. ①，④
D. ②，④
二 . 填空题（共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分。请将正确答案填在答题纸）
11. 在复平面内，复数 1 i 对应的点的坐标为
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
2017-2018学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题
2017—2018学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题（考试时间：2015年7月7日上午8：30—10：30 满分：150分）参考公式和数表：1．独立性检验可信程度表：独立性检验临界值表参考公式：K 2＝))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-2．回归直线的方程是：a bx y+=ˆ，其中xb y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的直角坐标是(1,，则点M 的极坐标为 A ．π(2,)3- B ．π(2,)3 C ．2π(2,)3 D ．π(2,2π+)()3k k ∈Z 2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)P X ≤≤=0.6826，则=>)4(X PA ．0.1585B ．0.1588C ．0.1587D ．0.15863．已知复数2(1)(1)i z m m =-+-，R m ∈，i 是虚数单位，若z 是纯虚数，则m 的值为A ．1m =±B ．1m =C ．1m =-D ．0m =4．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数5．曲线3y x =在点2x =处的切线方程是A. 12160x y --=B. 12320x y +-=C.40x y -=D.4160x y +-= 6．学校开设美术、舞蹈、计算机三门选修课，现有四名同学参与选课，且每人限选一门课程，那么不同的选课方法的种数是 A ．12 B ．24 C ． 64 D ．817．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b a ∈>R ，且()10,()21E Y D Y ==，则a 与b 的值为 A ．10,3a b == B ．3,10a b == C ．100,60a b ==- D ．60,100a b ==- 8．极坐标方程cos sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．一条直线和一个圆C ．两条直线D ．一个圆 9．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 表示“至少一次出现反面”，事件B 表示“恰有一次出现正面”，则)(A B P 值等于 A.2164 B.764C. 17D. 3710．如图是函数()f x 的导函数．．．()f x '的图象．现给出如下结论：①()f x 在(-3,-1)上是增函数； ②4x =是()f x 的极小值点；③()f x 在(-1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数；④1x =-一定是()f x 的零点． 其中正确结论的个数是A. 0B.1C.2D.311．一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为A.3B. 2C. 1D.1612．已知数集{,,,}A a b c d =，且,,,a b c d 都是实数，数组,,,x y z t 是集合A 中四个元素的某一排列．设2()m x y =-2()y z +-22()()z t t x +-+-的所有值构成集合B ，那么集合B 的元素个数是A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上． 13．如图，曲边梯形ABCD 由直线1=x ，e x =，x 轴及曲线3y x=围成，则这个曲边梯形的面积是******. （注：e 为自然对数的底数）14．某田径兴趣小组有6名同学组成．现从这6名同学中选出4人参加4100⨯接力比赛，则同学甲不跑第一棒．．．．．的安排 方法共有******种.15．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的4组对应数据：若通过上表的4组数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+，那么表中t 的值应为******.16．已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+--， 设函数()(4)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)a b a b a b ∈<Z 内， 则b a -的最小值为******.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设复数i (0)z a a =+>，i 是虚数单位，且10||=z . （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数i()1im z m ++∈-R 对应的点在第四象限，求实数m 取值范围.18．（本小题满分12分）某校高一年级有200人，其中100人参加数学第二课堂活动. 在期末考试中，分别对参加数学第二课堂活动的同学与未参加数学第二课堂活动的同学的数学成绩进行调查．按照学生数学成绩优秀与非优秀人数统计后，构成如下不完整的2⨯2列联表：已知p 是5(1+2)x 展开式中的第三项系数，q 是5(1+2)x 展开式中的第四项的二项式系数． （Ⅰ）求p 与q 的值；（Ⅱ）请完成上面的2⨯2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关”．19．（本小题满分12分）为了检测某种水果的农药残留，要求这种水果在进入市场前必须对每箱水果进行两轮检测，只有两轮检测都合格水果才能上市销售，否则不能销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．（Ⅰ）求每箱水果不能上市销售的概率；（Ⅱ）如果这种水果可以上市销售，则每箱水果可获利20元；如果这种水果不能上市销售，则每箱水果亏损30元（即获利为-30元）．现有这种水果4箱，记这4箱水果获利的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3()2n n n S a n ++=-∈N ． (Ⅰ) 计算1a ，2a ，3a ，4a ；(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x =+， （Ⅰ）设()()()F x f x g x =-，试判断函数()F x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？ 并证明你的结论；（Ⅱ）若方程1)(+=x m x f 在区间2211[1,1)e e -++上有两不相等的实数根，求m 的取值范围；（Ⅲ）当0x >k 的最大值；22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2(x t t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）判断直线l 与曲线1C 的位置关系；（Ⅱ）已知曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），且M ，N 分别为曲线2C 的上下顶点，点P 为曲线1C 上任意一点，试判断22PM PN +是否为定值？并说明理由．2017—2018学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．3 14． 300 15．2.8 16．10 三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵i z a =+，10||=z ，∴101||2=+=a z ，………………………2分92=a ，3±=a ，又∵0>a ， ………………………4分∴3=a ， ………………………5分∴3i z =+． ………………………6分 （Ⅱ）∵3i z =+,则3i z =-， …………………7分∴i (i)(1i)5(1)i3i 1i (1i)(1i)22m m m m z ++++-+=-+=+--+， …………………9分 又∵复数i1im z ++-对应的点在第四象限， ∴50,210,2m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 得5,1,m m >-⎧⎨<⎩ …………………11分∴15<<-m ． …………………12分18. 解：（Ⅰ）∵5(1+2)x 的展开式通项是51551(2)2r r r r r rr T C x C x -+==， ………1分∴展开式的第三项是：2222215240TC x x +==，即第三项系数是40p =． …………3分又∵展开式的第四项的二项式系数为35C ，∴3510q C ==．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得40p =，10q =，则………8分22200(40901060)50150100100k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ =24>6.635, (11)分2( 6.635)0.010P K ≥=,所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关. ……12分19、解：（Ⅰ）记“每箱水果不能上市销售”为事件A ，则111()1(1)(1)9105P A =---=， 所以每箱水果不能上市销售的概率为15. …………3分 （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为120,70,20,30,80---. …………4分4404141(120)()()55625P X C =-==，33141416(70)()()55625P X C =-==,22241496(20)()()55625P X C =-==，113414256(30)()()55625P X C ===,004414256(80)()()55625P X C ===. (9)分所以X 的分布列为：………………10分11696256256()1207020308040625625625625625E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=， 所以X 的数学期望为40元. (12)分（注：设4箱水果中可销售水果箱数为Y ，用Y 为0，1，2，3，4，先求出(P Y ），然后算()E X 的酌情给分）. 20. 解：(Ⅰ) 11,=a 23,4=a 35,8=a 49,16=a ………… 4分(Ⅱ) 由此猜想121()2n n na n -++=∈N ． ………… 5分证明：①当1n =时，11a =，结论成立． ………… 6分②假设n k =(1k ≥且k ∈N *)时，结论成立，即1212-+=k k ka ， (7)分那么1n k =+时，1111(1)331222+++++++=-=--+=+-k k k k k k k k k a S S a a a a , 所以1122+=+k k a a , ………… 9分则1111111212212122222222---++++++++====∙k k k k k k k k k a a ， 这表明1n k =+时，结论成立， ………………… 11分由①②知121()2n n na n -++=∈N 成立． …………… 12分21．解：（Ⅰ）x x x F 1)1ln()(-+= , 2111)(xx x F ++='， …………………1分由题设0>x ，所以得0)(>'x F ，故)(x F 在区间(0,)+∞上是增函数． …………………3分（Ⅱ） ∵ 1)(+=x mx f ，∴m x x =++)1ln()1(， 设()(1)ln(1)h x x x =++ 则()ln(1)1h x x '=++， …………………4分x[2111,1)e e -+-+ 11e-+211(1,1)e e-++()h x ' -0 +()h x↘↗∵(0)0h =，2212(1)e e h -+=-，11(1)e eh -+=-， ∴21(1)(0)0e h h -+<=，又21(1)(0)0e h h +>=， …………………6分∴221em e -≤<-， 即212(,]m ee ∈--时，方程1)(+=x m x f 在区间2211[1,1)e e -++有两不相等的实数根．…………………7分（Ⅲ）当0x >时, ,即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立,…………………8分 再设()1ln(1)G x x x =--+，则 …………………9分 故()G x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20G G G =-<=-<=->， 故()0G x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3)a ∈，即x a =是方程1ln(1)0x x --+=在(0,)+∞上有唯一解． …………………10分 故当(0,)x a ∈时，()0G x <，()0x ϕ'<；当(,)x a ∈+∞时()0G x >，()0x ϕ'>，3k ∴≤，故max 3k =． …………………12分22．解法一：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为1,2,x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线l的直角坐标方程为20x y -+=， ……………… 1分 又∵曲线1C 的极坐标方程为2ρ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为224x y +=，圆心为1(0,0)C ，2r =，…………… 3分∴圆心1C 到直线l的距离为2d r ===， …………… 4分 ∴直线l 与圆1C 相切． ……………… 5分（Ⅱ）∵曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线2C 的普通方程为22143x y +=， ……………………6分又∵,M N 分别为曲线2C 的上下顶点，∴(0,M N ，……………7分 由曲线1C ：224x y +=，可得其参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩所以P 点坐标为(2cos ,2sin )αα，因此222222(2cos )(2sin (2cos )(2sin PM +PNαααα=+++7714αα=-++=为定值．………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线2C 的普通方程为22143x y +=， ……………………6分又∵,M N 分别为曲线2C 的上下顶点，∴(0,M N ， ……………7分 设P 点坐标为(,)x y ，则224x y +=，因此222222((PM +PNx y x y =+-+++7714=-++=为定值． ………………10分。
2017-2018学年(下)高二年段期中考理科数学试题含答案
（下）高二年段期中考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A.12xdx ⎰ B . 1xe dx ⎰ C . 11edx x⎰D .sin xdx π⎰4，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A) 1019 (B) 519 (C) 12 (D) 19208.若n xx )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
2017-2018年北京市第十五高三(理科)数学期中试卷及答案
北京十五中高三数学理科期中考试试卷2017.11考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．设集合A ＝{x |－12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝ ( )A ．{x |－1≤x ＜2}B ．{x |－12＜x ≤1} C ．{x |x ＜2} D ．{x |1≤x ＜2}2．复数1－i1－2i 的虚部为( )A ．15B ．35C ．－15D ．－353．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A ．1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭ B ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．1|12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D ．1|12x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且4．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA AB ⋅uu r uu u r的值为() A ．1B1CD 15．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a = ( )A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-6．sin15cos15︒+︒的值为 ( )A ．12BCD ．27．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．一张报纸，其厚度为a ，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为( ) A ．8a B ．64a C ．128a D ．256a9．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．410．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5211．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ ）12．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.第Ⅱ卷 （非选择题，共25分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 13．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝2，则a 5＝________．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，log 3x ，x >0， 则f [f (－3)]＝________．15．函数()sin(2)4f x x π=+的单调递增区间是________．16．设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数 ．17．已知95个数a 1，a 2，a 3，…，a 95， {1,1},195,i a i ∈-≤≤则a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95的最小正值是 ．三、解答题：（本大题共5个小题，共65分）18．（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．19. （本小题满分13分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，52=b ，4B π=，552cos =C ． （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积． 20．（本小题满分13分）y kx z +=y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x z =k 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-（A ）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 中点. AB BC =，2AC =，1AA ．（Ⅰ）求证：1B C //平面1A BM ； （Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（Ⅲ）在棱1BB 的上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面C C AA 11？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，说明理由． 21．（本题满分13分）设()y f x =是()xg x e =在点(0,1)处的切线． （Ⅰ）求()y f x =的解析式； （Ⅱ）求证：()()f x g x ≤；（Ⅲ）设()()ln[()]h x g x f x ax =+-，其中a ∈R ．若()1h x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．22．（本小题满分13分）对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-=X 具有性质P ．（Ⅰ）若x ＞2，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值； （Ⅱ）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（Ⅲ）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式．北京十五中高三年级、数学理科试卷答案2017.11一、选择题二、填空题13、1 14、2 15、3[,],88k k k Z ππππ-+∈ 16、2 17、13三、解答题18、解：（Ⅰ），∴ 的最小正周期． ……………6分（Ⅱ）由44x ππ-≤≤，得32444x πππ-≤+≤，所以sin(2)14x π≤+≤，1)4x π-≤+∴ 函数在区间，最小值为．………13分19、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，π<<C 0，且552cos =C ，所以55sin =C ． 因为B bC c sin sin =，且 52=b ，4B π=， 所以22225552sin sin =⨯==BCb c ．所以c = ……………………6分（Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，所以01242=--a a ，所以6=a 或2-=a （舍）． 所以6sin 21==∆B ac S ABC ． ……………………13分 20、解：（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结OM ．在1B AC ∆中，因为M ，O 分别为AC ， 1AB 中点， 所以OM //1B C ．又因为OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ， 所以1B C //平面1A BM ． ……………………3分（Ⅱ）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，()=sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+()f x 22T ππ==()f x [,]44ππ-1-OMB 1A 1C 1CB A所以1AA BM ⊥．又因为M 为棱AC 中点，AB BC =， 所以BM AC ⊥． 因为1AA AC A =，所以BM ⊥平面11ACC A ．所以1BM AC ⊥．因为M 为棱AC 中点，2AC =，所以1AM =．又因为1AA =，所以在1Rt ACC ∆和1Rt A AM ∆中，11tan tan AC C AMA ∠=∠=． 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=． 所以11A M AC ⊥． 因为1BMA M M =，所以1AC ⊥平面1A BM ． ……………………8分 （Ⅲ）当点N 为1BB 中点时，即112BN BB =，平面1AC N ⊥平面11AAC C ． 设1AC 中点为D ，连结DM ，DN ． 因为D ，M 分别为1AC ，AC 中点，所以DM //1CC ，且112DM CC =．又因为N 为1BB 中点，所以DM //BN ，且DM BN =． 所以BM //DN ， 因为BM ⊥平面11ACC A ， 所以DN ⊥平面11ACC A ．又因为DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A ．……………13分21、解：（Ⅰ）设()e x g x =，则'()e xg x =，所以'(0)1g =．所以()1f x x =+． ……………3分 （Ⅱ）令()()()m x g x f x =-．()m x 满足(0)0m =，且'()'()1e 1x m x g x =-=-．当<0x 时，'()<0m x ，故()m x 单调递减；MB 1A 1C 1CBADN当0x >时，'()0m x >，故()m x 单调递增． 所以，()(0)0m x m ≥=(x ∀∈R ）． 所以()()f x g x ≤．……………8分 （Ⅱ）()h x 的定义域是{|1}x x >-，且1()e 1xh x a x '=+-+． ① 当2a ≤时，由（Ⅰ）得 e 1xx ≥+，所以 11()e 12011xh x a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++． 所以 ()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意． ② 当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且()h x '的导数2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +⋅-''=-=≥++， 所以 ()h x '在区间[0,)+∞上单调递增．10分因为 (0)20h a '=-<，1(ln )01ln h a a'=>+，于是存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x '=．12分所以 ()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增， 所以 0()(0)1h x h <=，此时()1h x ≥不会恒成立，不符合题意．综上，a 的取值范围是(,2]-∞．13分22、．[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -.所以x =2b ，从而x =4. ……3分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾； 若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……8分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有一个为-1. 若1-=t ，则1≥s ，所以q x sq k ≤=+1，这不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……13分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵……注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……13分。
2018.5北京3中高二数学答案(理)
1
（Ⅱ）设切点坐标为 (x0 , y0 ) ，则 y0 x0 ln x0 ，
切线的斜率为 ln x0 1 ，
所以， ln x0
1
y0 1 ， x0
解得 x0 1 ， y0 0 ，
所以直线 l 的方程为 x y 1 0 .
…………………5 分
…………………6 分 …………………7 分
2ak ak 2
2 2
2 k 1
2
4 2k 4
(k
2. 1) 1
k 1
所以，当 n k 1 时公式也成立.
综合 1）、2），
an
2 对于任何 n N* n 1
都成立
4分 5分 6分
7分 8分
22、（本小题 12 分）
解：（Ⅰ） f (x) ln x 1， x 0 ，
1分
令 f (x) 0 ，得 x1 3， x2 1． f (x) 与 f (x) 在 (, ) 上的情况如下：
x (, 3) 3
f (x)
0
f (x)
↗
27
(3, 1)
↘
1
(1, )
0
5
↗
所以 f (x) 的极大值为 f (3) 27 ； f (x) 的极小值为 f (1) 5
B 卷【选修 2-2 模块+选修 2-3 模块】满分 50 分
一、填空题（每小题 4 分，共 32 分）
1、 1 ，
，
(x 1)2
；
2、 3 4 i ； 55
3、 60 ；
4、5；
5、16 ；
6、 78；
2017北京市第三十五中学高二数 学(上)期中
2017北京市第三十五中学高二数 学（上）期中2017.11班级 姓名 学号试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120分钟，请用铅笔作图。
I 卷有三个大题，共19个小题，II 卷有两个大题，共8个小题。
I 卷（必修二模块考试．．．．．．．） 一． 选择题（共10个小题，每题4分，共40分。
每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1． 圆()1122=+-y x 的圆心和半径分别为（ ）A ．1),1,0( B. 1),1,0( - C. 1),0,1( - D. ()1,0,1 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A. 3B. 23C. 33D. 43 3．平行线 20x y -=与250x y --=之间的距离为（ ） A ．5 B ．3 C ．5 D ．24．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（ ） （1）m l ⊥⇒βα// （2）m l //⇒⊥βα （3）βα⊥⇒m l // （4）βα//⇒⊥m l A ．（1）与（2） B ．（3）与（4） C ．（2）与（4） D ．（1）与（3）5．圆221:4470C x y x y ++-+=与圆222:410130C x y x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ． 相交C ．外切D ．内切 6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A.53 B.103C. 203D. 2537．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --= 且(1,1)A -，则B 点坐标为( )A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2)8．若过点(3，1)总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k -+-=>相切，则k 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（2，+∞）D ．(0，1)∪(2，+∞) 9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A. 3:1B. 3:2C. 2:3D. 3:310. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个二．填空题（共6个小题，每题4分，共24分。
2017-2018北京西城35中高二上期中【理】数学真题卷
北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高二数学I 卷（必修二模块考试）一、选择题（共10个小题，每题 4分, 读卡相应的题号处）1 .圆（x —1）2 +y 2 =1的圆心和半径分别为2.棱长都是1的三棱锥的表面积为（6 . 一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机 A. （0,1）, 1【答案】D 【解B. （0,」），C. (—1,0), 1D. (1,0), 1B. 2聚C. 3. 3D. 433 .平行线x —2y =0与x —2y —5=0之间的距离为 A. 5 【答案】C【解析】)C.而D.4 .已知直线l ，平面a ,直线m 匚平面P ,下列四个命题中正确的是（ (1) a// P =l ，m (2) o(，P=l //m ).(4 ) l X mna // PA. （1）与（2）【答案】D 【解析】B. (3)与(4)C. ( 2)与(4)D. 5,圆 C 1 : x 2 +y 2 +4x -4y +7 =0与圆 C 2 ：x 2 + y 2—4x70 y+13=0的位置关系是（A.外离 【答案】C【解析】B.相交C.外切D.内切7 .已知线段 AB 的中垂线方程为 x —y —1=0且A(—1,1),则B 点坐标为(). A . (2,-2)B. (-2,2)C. (-2,-2)D. (2,2)【答案】A【解析】 8 .若过点(3,1)总可以作两条直线和圆 (x —2k)2 +(y —k)2=k(k >0)相切，则k 的取值范围是(). A. (0,2)B. (1,2)C. (2*)D. (0,1)U(2*)【答案】D【解析】 9 .正方体的内切球和外接球的半径之比为( ).A. 73:1B,石：2 C. 2:J3 D, J3：3【答案】D【解析】 10 .如图，设P 为正四面体 A-BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点 P 到四个顶点的距离 组成的集合记为 M ,如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点 P 有(). A. 4个B, 6个 C. 10个D. 14个 【答案】C【解析】 二、填空题(共6个小题，每题4分，共24分.请将正确答案填在答题纸)11 .在y 轴上的截距为-1且倾斜角为135口的直线方程为 .【答案】x y 1 =0【解析】12 .已知直线l :2x+y —11 =0 ,若直线ax+y —b=0与l 垂直，过点A(—2,m)和B(m,4)的直线与l 平行, 贝U 实数a =; m=.【答案】-0.5 , -8【解析】B. 10 c 20C.— 3D. 2513 .如果一个圆锥的底面半径为 3,侧面积为18汽，那么此圆锥的体积等于【答案】9 3■兀【解析】14 .长方体 AG, AB=5, BC=3, BB 1 =4 , P 为上底面 AB 1CQ 1上一个动点，则三棱锥 P —ABC 的 正视图与左视图的面积比为 .【答案】5:3 【解析】15 .过点(1,1)的直线与圆(x —2)2 +(y-3)2 =9相交于A, B 两点，则|AB|的最小值为【答案】4【解析】【答案】①③④【解析】 三、解答题：(共3个小题，每题12分，共36分.请写明必要的解题过程)17 .已知 AABC 的顶点 A(0,5) , B(1,- 2) , C(—3, Y).(1 )求AB 边上的高线所在的直线方程.(2)求4ABC 的外接圆的方程.【答案】见解析.16.如图，正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 中，点P 在BC 1上运动，给出下列四个命题:①三棱锥A-D I PC 的体积不变; ③AP//平面ACD I ；其中正确的命题是 ② DP ，BC I ；④平面PDB I ±平面ACD I ； 5【解析】解一：(1 ) k AB =5-(口 =：, 0 -11AB 边上的局线斜率 k , k AB k=_1,则k=1.AB 边上的高线过点 C(4,4).即 x 2 +y 2 +6x -2y -15=0 . 解二：设AABC 的外接圆为25 5E - F =0 4 +4 +D -2E +F =0 ,9 16 -3D -4E F =0解得 D=6, E=—2, F=T5,所以AABC 的外接圆的方程为x2+y 2 +6x —2y —15=0 .18 .如图，在三棱锥 P —ABC 中，PB=PC, AB = AC. D, E 分别是BC , (1 )求证：DE//平面PAC .(2)求证：平面 ABC ，平面PAD .AB 边上的高线所在的直线方程为 1y-(4)=5(x-。
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北京市第三十五中学2017-2018年度第二学期期中试卷
高二理科数学
2018.05分层班级
行政班级姓名试卷说明：试卷分值150,考试时间120分钟。
I 卷有三个大题，共19个小题，II 卷有两个大题，共7个小题。
一．选择题：本大题共
10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数
3(1)i i （）A ．1i B ．1i
C ．1i
D ．1i 2.下列导数运算错误．．
的是（）A. 21()'2x x B.(cos )'sin x x C. (ln )'1ln x x x D. (2)'2ln 2x x
3. 下面是一段“三段论”推理过程：
若函数
()f x 在(,)a b 内可导且单调递增，则在(,)a b 内，'()0f x 恒成立.因为3()f x x 在
(1,1)内可导且单调递增，所以在(1,1)内，2'()30f x x 恒成立.以上推理中（）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．结论正确
D ．推理形式错误4. 120(e 3)x x dx 的值为（
）A. 2e B. e C. 1e D. e 1
5.用反证法证明命题：
“若直线AB 、CD 是异面直线, 则直线AC 、BD 也是异面直线”，
首先应该（）A. 假设直线AC 、BD 是共面直线
B. 假设直线AC 、BD 是相交直线
C. 假设直线AC 、BD 是平行直线
D. 假设直线AC 、BD 互相垂直
6．若函数()f x 的导函数'()
(2)e x f x x x ，则下列关系一定成立的是（）A.(2)0f B. (0)(1)
f f C. (2)(1)f f D. (2)(3)f f 7. 设()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x 和()y f x 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
8.定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x 和()g x 的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x 极值点的情况是（）
A. 只有三个极大值点，无极小值点
B. 有两个极大值点，一个极小值点
C. 有一个极大值点，两个极小值点
D. 无极大值点，只有三个极小值点
9．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。
调查结
果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：
（1）甲同学没有加入“楹联社”;
（2）乙同学没有加入“汉服社”;
（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级;
（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级;
（5）乙同学不在高三年级。
试问：丙同学所在的社团是（）
A. 书法社
B. 楹联社
C.汉服社
D.条件不足无法判断。