理科数学-全国名校2020年高三5月大联考考后强化卷(新课标Ⅰ卷)(考试版)
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)试卷讲评
1
1
k lg 33
，5 5 c k lg 5
1 1 k lg 5 5
1
1
k lg 55
，由于
1
1
1
1
1
1
(33 )6 9 (22 )6 8 ，所以 33 22 ，lg 33 lg 22 0 ，
1
1
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3
2
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1
1
ba
lg 33 lg 22
1
1
1
1
1
(22 )10 32 ，所以 55 22 ，0 lg 55 lg 22 ，
A U B {x | 2 x 1} .故选 B．
2．已知复数 z 满足 iz 2 i ，则在复平面内复数 z 表示的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．D 【解析】由 iz 2 i ，得 z 2 i 1 2i ，则 z 1 2i ，在复平面内复数 z 表示 i
的点是 (1, 2) ，位于第四象限.故选 D．
3．已知等比数列{an} 中， Sn 是其前 n 项和，且 2a5
a3
a1 ，则
S4 S2
A． 7 6
B． 3 2
C． 21 32
D． 1 4
3．B【解析】设等比数列{an} 的公比为 q(q 0) ，则由 2a5 a3 a1 ，得 2a1q4 a1q2 a1 0 ，
即 2q4
q2
1 0 ，即 (2q2
1)(q 2
1) 0 ，所以 q2
1 ，则 2
S4 S2
1 q4 1 q2
1+q2
3 ，故 2
【联考命题】2020届高三5月联考数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．53．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（）A．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．46．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ）A ．(45+9√2)πB ．36πC ．63πD ．216+9π7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO 为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）A ．f(x)=sin5x2−x −2x B ．f(x)=cosx2x−2−x C ．f(x)=cos5x |2x −2−x |D ．f(x)=sin5x |2x −2−x |8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π49．若(ax x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．73210．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．2√33D ．16√3911．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2√7，b =4，A =120°，则△ABC 的面积为 ．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin 2α2= ．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 ．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．19．已知0＜m ＜2，动点M 到两定点F 1（﹣m ，0），F 2（m ，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹为曲线C ，若曲线C 过点N(√2，√22)．（1）求m 的值以及曲线C 的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =−1+√14cosφy =1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=3√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2x﹣1﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若方程f（x）＝x2+ax有两个不等实数根，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）【分析】先求出集合A，B，再利用补集的定义即可算出结果．解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁B A＝{x|﹣1＜x≤0}，故选：B．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．5【分析】z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，利用互为共轭复数的性质可得z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a．解：z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，∴5＝z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a＝1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵30.3＞30＝1，∴a ＞1， ∵0＜(12)π＜(12)1=12，∴0＜b ＜12，∵log 5√6＞log 5√5=12，且log 5√6＜log 55=1，∴12＜c ＜1，∴a ＞c ＞b ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ）A ．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B ．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C ．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D ．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【分析】据折线图分别判断ABCD 的正误即可．解：对于A ，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于32万元，A 错误．对于B ，甲门店的营业额的平均值为12+18+21+28+32+25+24+18+169=1949≈21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B 正确．对于C ，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C 正确． 对于D ，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题． 5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．解：由x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，作出可行域如图，由z ＝x ﹣2y ，得y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大．联立{3x −y +3=03x −5y −9=0，解得A （﹣2，﹣3）．∴目标函数z＝x﹣2y的最大值为﹣2+2×3＝4．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A．(45+9√2)πB．36πC．63πD．216+9π【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝V柱+V锥＝π•32•6+13π•32•3＝63π．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题．7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A．f(x)=sin5x2−x−2xB．f(x)=cosx2x−2−xC．f(x)=cos5x|2x−2−x|D．f(x)=sin5x|2x−2−x|【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．解：观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当x∈(0，π5)时，f（x）＜0，不合题意；故选：C ．【点评】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π4【分析】根据函数f （x ）的性质可知，相邻的与x 轴的两个交点距离是半个周期，由此可求得ω，然后π6是最值点，求出φ的值．解：因为函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，所以12⋅2πω=π4，解得ω＝4，故f （x ）＝sin （4x +φ），又因为∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，∴x =π6是f （x ）的一条对称轴，所以4×π6+φ=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=kπ−π6，k ∈Z ． 令k ＝1，得φ=5π6为最小值． 故选：B ．【点评】本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特殊线去求周期、ω、φ的值等，属于中档题．9．若(ax √x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．732【分析】先写出展开式的通项并化简，然后根据x 2的系数为358求出a 的值，然后再求x 5的系数．解：由已知得Tk+1=C8k a8−k x8−32k，k＝0，1，..，8，令8−3k2=2，解得k＝4，∴C84a4=358，解得a=±12．令8−3k2=5，得k＝2，故x5的系数为C82a6=716．故选：C．【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法，还考查了学生的运算能力，属于基础题．10．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为√3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则△PMN面积的最大值为（）A．√3B．2√3C．2√33D．16√39【分析】由题意可得直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长MN的值，设与直线l平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即△PMN 的面积最大，求出面积的最大值．解：由题意可知直线l的方程为：y=√3（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程可得3x2﹣10x+3＝0，x1+x2=10 3，由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p=103+2=163；设与直线l平行的直线为：y=√3x+m，代入抛物线的方程可得3x2+（2√3m﹣4）x+m2＝0，当直线：y=√3x+m与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以△＝（2√3m−4）2﹣4×3×m2＝0，解得m=√33，直线l与直线y=√3x+√33的距离d=2√33，所以△PMN 面积的最大值为12×163×2√33=16√39， 故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 11．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④【分析】①由线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面DAC ，再由线面垂直的性质定理可知BC ⊥AC ；②当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行运算即可得解；③当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，求出sin ∠CBD ，并与sin π3比较大小即可得解；④在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，外接球的直径为BD ，于是四面体ABCD 的体积不变．解：如图，当DA ⊥BC 时，∵BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面DAC ， ∵AC ⊂平面DAC ，∴BC ⊥AC ，即①正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，最大值为13×12×3×4×125=245，即②正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，而sin ∠CBD =CD BD =45＜√32=sin π3，∴BC 与平面ABD 所成角一定小于π3，即③错误；在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，斜边都是BD ，其外接球的球心永远是BD 的中点，外接球的直径为BD ， ∴四面体ABCD 的外接球的体积不变，即④正确． ∴正确的有①②④， 故选：C ．【点评】本题考查立体几何中的综合，涉及线面垂直的判定定理与性质定理、线面夹角、棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题．12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e【分析】不等式恒成立转化为函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数，则f ′（x ）=e x (x−1)−ax2≤0，即a ≥e x （x ﹣1），构造函数g （x ）＝e x （x ﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．解：对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，可知x 1＜x 2＜0，则x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立等价于x 2e x 1−x 1ex 2＞a （x 1﹣x 2），即e x 1+a x 1＞e x 2+a x 2，∴函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数， ∴f ′（x ）=e x (x−1)−ax 2≤0，∴a ≥e x （x ﹣1），设g （x ）＝e x （x ﹣1），x ∈[﹣2，0）， ∴g ′（x ）＝xe x ＜0，∴g （x ）在[﹣2，0）为减函数，∴g （x ）max ＝g （﹣2）=−3e 2， ∴a ≥−3e 2， 故选：A ．【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ 2 ．【分析】本题根据向量a →在b →方向上的投影公式为a →⋅b →|b →|，然后代入进行计算可解出m 的值，注意将m 的值代入进行检验得到正确的m 的值． 解：由题意，可知向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√42+m 2=√16+m 2=√5，两边平方，可得25m216+m=5，整理，得m2＝4，解得m＝﹣2，或m＝2，当m＝﹣2时，√16+m2=−√5，不符合题意，∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，方程思想，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√7，b=4，A=120°，则△ABC的面积为2√3．【分析】由已知利用余弦定理可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵a=2√7，b=4，A=120°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得28＝16+c2﹣2×4×c×(−12)，可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，∴S△ABC=12bc sin A=12×4×2×√32=2√3．故答案为：2√3．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin2α2=﹣2．【分析】由已知可得3sinα＝1﹣cosα，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．解：∵sinα1−cosα=13，∴3sin α＝1﹣cos α，∴2cosα+3sinα−2sin 2α2=2(2cosα+1−cosα−2)1−cosα=−2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为y 216−x 248=1 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 28 ．【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于a ，b 的方程组，求解可得双曲线的标准方程；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8，利用双曲线的定义转化，再由A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，从而求得△PAF 的周长的最小值解：∵双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），∴{a 2b 2=13√a 2+b 2=8，解得a ＝4，b ＝4√3．∴双曲线的标准方程为y 216−x 248=1；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8， △PAF 的周长为|PF |+|PA |+|AF |＝|PF ′|+|PA |+|AF |+8．当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，最小值为|AF ′|＝10． 而|AF |＝10，故，△PAF 的周长的最小值为10+10+8＝28．故答案为：y 216−x 248=1；28．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的几何性质，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的定义和通项公式可得S n ，再由数列的递推式可得a n ，则a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，可得4a 2＝3a 1+a 3，即4×2q ＝3×2+2q 2，解得q ＝3（1舍去），则a n ＝2•3n ﹣1，n ∈N*；（2）由√S 1=√b 1=1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），可得{√S n }是首项和公差均为1的等差数列，可得√S n =1+n ﹣1＝n ，即S n ＝n 2，可得n ＝1时，b 1＝S 1＝1；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣（n ﹣1）2＝2n ﹣1，对n ＝1时，该式也成立，则b n ＝2n ﹣1，n ∈N*，可得a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，则T n ＝2[1•1+3•3+5•9+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1]，3T n ＝2[1•3+3•9+5•27+…+（2n ﹣1）•3n ]，上面两式相减可得﹣2T n ＝2[1+2（3+9+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•3n ] ＝2[1+2•3(1−3n−1)1−3−（2n ﹣1）•3n]，化简可得T n ＝2+2（n ﹣1）•3n ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．【分析】（1）推导出C 1E ∥AF ，D 1F ＝2FD ，设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ，推导出GN ∥平面AEC 1F ，GM ∥平面AEC 1F ，从而平面MNG ∥平面AEC 1F ，由此能证明MN ∥平面AEC 1F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值． 解：（1）证明：∵平面BB 1C 1C ∥平面AA 1D 1D ，平面AEC 1F ∩平面BB 1C 1C ＝EC 1，平面AEC 1F ∩平面AA 1D 1D ＝AF ， ∴C 1E ∥AF ，由题意得D 1F ＝2FD ， 设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ， ∵N 是棱C 1D 1的中点，∴GN ∥FC 1，∵GN ⊄平面AEC 1F ，FC 1⊂平面AEC 1F ，∴GN ∥平面AEC 1F ， ∵D 1F ＝2FD ，A 1M →=2MA →，∴GM ∥AF ，∵GM ⊄平面AEC 1F ，AF ⊂平面AEC 1F ，∴GM ∥平面AEC 1F ， ∵GN ∩GM ＝G ，∴平面MNG ∥平面AEC 1F ， ∵MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面AEC 1F ．（2）解：∵AB ＝1，DD 1＝3，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （1，0，0），C （0，1，0），F （0，0，1），E （1 1，2）， ∴AC →=（﹣1，1，0），AE →=（0，1，2），AF →=（﹣1，0，1）， 设平面ACE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−x +y =0m →⋅AE →=y +2z =0，取z ＝1，得m →=（﹣2，﹣2，1）， 设平面ACF 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅AC →=−a +b =0n →⋅AF →=−a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，1，1），设二面角E﹣AC﹣F的平面角为θ，由|cosθ|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=3×3=√33，∴sinθ=1−(33)2=√63，∴二面角E﹣AC﹣F的正弦值为√6 3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19．已知0＜m＜2，动点M到两定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之和为4，设点M的轨迹为曲线C，若曲线C过点N(√2，√22)．（1）求m的值以及曲线C的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l与曲线C交于A，B两点．证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点．【分析】（1）先利用定义法判断出点M的轨迹为椭圆，再利用题设条件求出方程即可；（2）设直线l：x＝ty+65，曲线C的右顶点为P，由直线l与曲线C的方程联立得到y1+y2与y1y2，再证PA→⊥PB→即可．解：（1）解：设M（x，y），因为|MF1|+|MF2|＝4＞2m，所以曲线C是以两定点F1，F2为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2．设椭圆C 的方程为x 24+y 2b =1（b ＞0），代入点N(√2，√22)得b 2＝1，由c 2＝a 2﹣b 2，得c 2＝3，所以m ＝c =√3，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：设直线l ：x ＝ty +65，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 椭圆的右顶点为P （2，0），联立方程组{x =ty +65x24+y 2=1消去x 得（t 2+4）y 2+125ty −6425=0．△＞0，y 1+y 2=−12t 5(t 2+4)，y 1y 2=−6425(t 2+4)， 所以PA →⋅PB →=（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2−45t （y 1+y 2）+1625=−64t 2−64+48t 2+16t 2+6425(t 2+4)=0，∴PA →⊥PB →，故点P 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．【分析】（1）由已知求得f ′（x ）=1x−t ，可得当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；（2）由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0．令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ．得到a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，把证x 1+x 22x 1x 2＞2−a 转化为证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），则g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，利用导数证明g （c ）＜0，即可得到x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=1x−t ， 当t ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1t，令f ′（x ）＜0，得x ＞1t．∴f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．综上所述，当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当t ＞0时，f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．（2）证明：由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0． 令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ． 即lnx 1+（a ﹣2）x 1＝lnx 2+（a ﹣2）x 2，∴a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，要证x 1+x 22x 1x 2＞2−a ，只需证x 1+x 2x 1x 2＞2（2﹣a ）=−2ln x2x 1x 1−x 2，即证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，∵g ′（c ）=2c −1−1c2=−(1c −1)2＜0．∴g （c ）在（1，+∞）上单调递减，则g （c ）＜g （1）＝0．故x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查数学转化思想方法，属难题．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列；（2）记M 1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，然后根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即可得解．解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，P（ξ＝﹣1）＝（1−23）×12=16，P（ξ＝0）=23×12+13×12=12，P（ξ＝1）=23×(1−12)=13，∴ξ的分布列为ξ﹣101P161213（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，P(M1)=[p(ξ=1)]2=(13)2=19，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，P(M2)=C21[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)=2×(13)2×12=19，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为C31⋅[P(ξ= 1)]2⋅[P(ξ=0)]2=112；第二类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为C21⋅P(ξ=−1)⋅[P(ξ=1)]3=181，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为C41⋅[P(ξ=0)]3⋅P(ξ= 1)=16；第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为A33⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=118；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为C21⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=154．故P(M3)=112+181+16+118+154=109324，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109 324=181 324．【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的分析能力和处理能力，属于中档题．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝14①．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．整理得ρ2＝4ρcos θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4②． 所以①②两个方程相减得：3x ﹣y ﹣6＝0．曲线C 3的极坐标方程为ρ=√1+8sin θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1．（2）直线l 与x 轴交于M （2，0）所以直线l 的参数方程为{x =2+√1010ty =3√1010t （t 为参数），代入x 29+y 2=1，得到：41t 2−2√10t −25=0．所以t 1+t 2=2√1041，t 1t 2=−2541故|1|MA|−1|MB||=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|═(2√1041)+41004122541=√45004122541=30√525=6√55． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根，求a 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后由f （x ）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据方程f （x ）＝x 2+ax ，可得a =−x 2+2x−|x−1|−1x，然后构造函数g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x，利用数形结合法求出a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|={3x −2，x ≤1x ，x ＞1，∵f （x ）＜3，∴{3x −2＜3x ≤1或{x ＜3x ＞1，∴x ≤1或1＜x ＜3，∴x ＜3， ∴不等式的解集为（﹣∞，3）；（2）方程f （x ）＝x 2+ax ，即2x ﹣1﹣|x ﹣1|＝x 2+ax ，显然x ＝0不是方程的根，故a =−x 2+2x−|x−1|−1x，令g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x ={1−x ，x ∈[1，+∞)−x −2x +3，x ∈(−∞，0)∪(0，1)， 当x ＜0时，−x −2x+3=(−x +2−x)+3＞2√2+3， 作出g （x ）的图象，如图所示：∵方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根， ∴由图象可知a ∈(−∞，0)∪(2√2+3，+∞)．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。
理科综合-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(全解全析)
全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）理科综合·全解全析1．B 【解析】原核生物不含有具膜细胞器，不可能有细胞器互作现象，A正确；细胞器膜的物质基础是蛋白质和脂质，而蛋白质在物质交换、信号转导的过程中起重要作用，故膜接触位点主要依赖于蛋白质和蛋白质的相互识别作用，B错误；由题干信息“内质网参与细胞内蛋白质和脂质的合成以及钙离子稳态的调控等”可知，内质网可以与高尔基体、线粒体等发生细胞器互作，C正确；浆细胞具有分泌蛋白质的功能，根据结构与功能相适应的特点，可知浆细胞内的细胞器互作现象可能比心肌细胞内的多，D正确。
2．C 【解析】哺乳动物成熟的红细胞以协助扩散的方式吸收葡萄糖，由图可知，GLUT2运输葡萄糖的方式是协助扩散，A正确。
正常情况下，肾小管上皮细胞可以通过重吸收把原尿中的葡萄糖全部吸收，该运输方式为主动运输，题图中SGLT介导葡萄糖的运输方式是一种主动运输，故SGLT介导的运输方式还可能存在于肾小管上皮细胞中，B正确；由SGLT运输葡萄糖和Na+协同转运过程可知，葡萄糖从低浓度一侧运输至高浓度一侧，物质跨膜运输所需要的能量来自膜两侧Na+的电化学梯度，故小肠上皮细胞吸收葡萄糖的方式是主动运输，C错误；由图可知Na+外流、K+内流需要载体和A TP，故属于主动运输，D正确。
3．B 【解析】缺乏天敌的被捕食者往往会过度繁殖，进而破坏当地生态环境，一个优势物种的过度繁殖会造成当地其他物种的消亡，所以引入该物种的捕食者，控制该物种的数量，可以给其他物种腾出生存的空间，有利于增加物种的多样性，A错误；不同物种之间、生物与无机环境之间在相互影响中不断进化和发展就是共同进化，B正确；生物进化的实质是种群基因频率的改变，C错误；变异是不定向的，抗生素只起选择作用，D错误。
4．D 【解析】由图可知，在不施用IAA的情况下，IAA14蛋白功能获得型的突变体较野生型拟南芥生根效果差，若slr-1突变体对IAA的敏感性增强，则slr-1突变体产生的内源激素对生根产生抑制作用，若再施用一定量的外源IAA，会表现为抑制作用。
全国名校2020年高三5月大联考理科数学(新课标Ⅰ卷)(考试版)
理科数学试卷 第1页（共6页） 理科数学试卷 第2页（共6页）………………………○……○……○……○……○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校： 班级： 姓名： 准考证号：绝密★启用前全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|01}A x x =<≤，2{|2320}B x x x =+-<，则A B =A ．{|21}x x -<<B ．{|21}x x -<≤C ．{|1}x x ≤D ．1{|0}2x x <<2．已知复数z 满足i 2i z =-+，则在复平面内复数z 表示的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S = A ．76 B ．32C ．2132D ．144．在四边形ABCD 中，3AB DC ⋅=，4AD BC ⋅=，则AC DB ⋅=A ．1B ．1-C ．7D ．125．函数()(3sin )cos f x x x x =-在[π,π]-上的大致图象是6．甲、乙两家企业1月份到10月份的收入情况统计如图所示，则下列说法中错误的是A ．甲企业的月收入比乙企业的月收入高B ．7月份甲、乙两企业的月收入差距最大C ．3月份到10月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业低D ．1月份到10月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业高7．设,,a b c 是正实数，且lg 2lg3lg5a b c ==，则下列不等式正确的是 A ．235a b c<< B ．253a c b<< C ．325b a c << D ．532c b a<<理科数学试卷 第3页（共6页） 理科数学试卷 第4页（共6页）////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线………………………………考生注意清点试卷有无漏印或缺页︐若有要及时更换︐否则责任自负︒8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为A ．50B ．351C ．551D ．7519．鞋匠刀形是一种特殊的图形，若C 是线段AB 上的任一点，分别以AB ，BC ，CA 为直径且在AB 的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形，如图中的阴影部分，其中以BC ，CA 为直径所作的两个半圆部分分别记作Ⅰ，Ⅱ，阴影部分记作Ⅲ．在以AB 为直径的半圆中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．13p p <B ．23p p >C ．123p p p +≥D ．123p p p +<10．已知函数2*()sin 233()2xf x x ωωω=+∈N ，且()f x 的图象在[0,]2π上只有一个最高点和一个最低点，则下列说法中一定错误的是 A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于2(,0)9π中心对称 C ．()f x 的图象关于724x π=对称 D ．()f x 在(0,)6π上单调递增11．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，过点B 作抛物线的准线的垂线，交准线于点D ，则||||AC BD +的最小值是 A ．4B ．3C ．5D ．212．在三棱锥D ABC -中，ABC △是边长为2的正三角形，AD BD =，3DC =DC 与平面ABC 所成的角为60，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为A ．50π9B ．5πC ．52π9D ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
理科综合-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(详解考试版)
理科综合试卷 第1页（共16页） 理科综合试卷 第2页（共16页）………………………○……○……○……○……○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校： 班级： 姓名： 准考证号：全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）理科综合本卷满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ca 40 As 75 Cd 112一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．内质网参与细胞内蛋白质和脂质的合成以及钙离子稳态的调控等，其与多种膜性细胞结构建立膜接触位点，进行物质的交换、信号转导、膜动态性调控等生理活动，这种细胞器之间通过膜接触位点发生相互联系的现象称为细胞器互作。
下列关于细胞器互作的推断错误的是 A ．细胞器互作现象不可能发生于原核细胞内B ．膜接触位点一定依赖于蛋白质和脂质的相互识别作用C ．内质网可以与高尔基体、线粒体等发生细胞器互作D ．浆细胞内的细胞器互作现象可能比心肌细胞内的多2．小肠上皮细胞的肠腔侧存在转运葡萄糖的载体蛋白SGLT ，在转运葡萄糖的过程中，Na +顺浓度梯度进入小肠上皮细胞时产生的电化学梯度为其提供能量；在其对侧则含转运葡萄糖的载体蛋白GLUT2，如图所示，下列关于跨膜运输方式的叙述，错误的是A ．哺乳动物成熟的红细胞吸收葡萄糖的方式与图中GLUT2介导的方式相同B ．图中SGLT 介导的运输方式还可能存在于肾小管上皮细胞中C ．小肠上皮细胞吸收葡萄糖的方式是协助扩散D ．图中Na +外流、K +内流属于主动运输 3．下列关于生物进化的叙述，正确的是 A ．捕食者的存在往往不利于增加物种多样性 B ．无机环境与生物之间会发生共同进化 C ．生物进化的标志是生物间出现了生殖隔离 D ．抗生素会使细菌逐代向抗药性增强的方向变异4．如图为探究某一浓度生长素对不同类型拟南芥下胚轴插条形成不定根影响的结果，IAA14蛋白和ARF17是参与生长素信号传导的因子，下列相关分析正确的是A ．IAA14蛋白功能获得型的突变可导致slr-1突变体对IAA 的敏感性增强B ．该实验结果表明生长素的生理作用具有两重性的特点C ．由图可知IAA14蛋白可以促进插条不定根的形成D ．生长素通过促进细胞伸长来促进不定根的生成5．海洋资源是有限的，能让一片海域的海产品产量最大化是人类的追求。
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(答案及评分标准)
2
34
4
4
又 A = π ，则当b = c 时，△ABC 为等边三角形， 3
又△ABC 的周长为 12，则b = c = a = 4 ，（10 分）
故 （ 分） Smax =
3 × (4 + 4)2 = 4
4
4
3.
12
．（ 18 12 分）
【解析】（1）由四边形 ABCD 是矩形，得 AB ⊥ BC ，根据平面 ABP ⊥ 平面 ABC ，平面 ABP ∩ 平面
因此 ，即 ， ，当且仅当 [12 − (b + c)]2 = (b + c)2 − 3bc 144 − 24(b + c) = −3bc 48 + bc = 8(b + c) ≥ 16 bc
b=c
时取等号.（8 分）
设 ，则 ， ， bc = t(t > 0) t2 −16t + 48 ≥ 0 (t −12)(t − 4) ≥ 0
sin A sin B sin C
又 ，所以 ， sin B = sin(A + C) = sin AcosC + cos Asin C
cos Asin C + sin C = 3 sin Asin C
又 ，所以 ，即 ， ， sinC ≠ 0
cos A + 1 = 3 sin A
3 sin A − cos A = 1 sin( A − π ) = 1
ABC = AB ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 BC ⊥ 平面 ABP ，则 BC ⊥ AP ，（2 分） 又 AP ⊥ PC ，根据 BC ∩ PC = C ， BC ⊂ 平面 PBC ， PC ⊂ 平面 PBC ，所以 AP ⊥ 平面 PBC ，
百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)理科数学 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣13．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．211．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．312．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．解：∵，∴，得y＝﹣2x+1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2，再根据数量积的坐标运算法则表示出•（2），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵（﹣2，m），（1，2），∴，∴•（2）＝6+m（2m+2），即，解得，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．363【分析】根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．解：由题意知，RO＝1+40%×5＝3，所以得病总人数为：3+32+33+34+35363（人）．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的前n项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知，，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b，c log2，因为，所以，所以a＜b＜c故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题．6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内．故选：C．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ∈[，），由此可得结果．解：∵函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为y＝sin（ωx）在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值；ωx∈[，2ωπ]，∴2ωπ∈[，），则正实数ω∈[，），故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC与PD所成角的余弦值．解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO，DE＝r，∴cos∠PDE．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x．计算可得|PF1|，|PF2|＝2a．过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|．∵，∴，解得：|MQ|＝12（3﹣2）．∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）．故选：A．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知实数a，b，满足，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．2【分析】根据辅助角公式可得sin（θ+φ）2，进而可求得答案解：由得a2+4b2＝8，利用辅助角公式可得：sin（θ+φ）2，其中tanφ，所以最大值为2，当且仅当a＝2b＝2时成立，所以2sin（θ），则θ2kπ，k∈Z，则tanθ＝1，故选：B．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a、b．11．设双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l分与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且•，以下结论正确的个数是（）①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．A．0B．1C．2D．3【分析】由题意可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN为直径的圆过F2，且•，可得MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相减可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m ＝2a，设H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中，可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，e，故①正确；又，可得，故②正确；因为|HF2||MN|＝2a，所以|HF1|2，所以直线l的斜率为，故③错误．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ae﹣x+2sin x满足，则z ＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2【分析】由已知可求a，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x，y的不等式组，结合线性规划知识即可求解．解：由题意f（0）＝1﹣a＝0可得a＝1，所以f（x）＝e x﹣e﹣x+2sin x，2+2cos x≥0，故f（x）在R上单调递增，则，作出可行域如图所示，其中A（0，），B（0，3），C（，），设y＝e x﹣z，则由图象可知，设y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（x0，y0），由y′＝e x﹣z，令1可得x0＝z，，故y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（﹣2，1）时，z取得最小值z min＝﹣2．故选：B．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，则这两项来自影响稍弱区的概率是：P．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为[1，2]．【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f （0），求出x的范围．解：∵函数关于x＝1对称，∴a＝1，f（x）∈（0，1]，则由f（2x﹣2）≥f（0），结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤x≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A≠0，可得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C＝（2a﹣c）cos B，∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（2sin A﹣sin C）cos B，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin A cos B，∴sin（B+C）＝2sin A cos B，∵sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，且sin A≠0，∴可得cos B，∵B∈（0，π），∴B，又∵b＝2，a+c＝3，∴a2+c2﹣2ac cos B＝b2，∴（a+c）2﹣3ac＝4，∴ac，∴S△ABC ac sin B．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2，解得R；所以球的表面积为4π（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，得到AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D，再由已知可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）由P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，得P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC的一个法向量与平面ABE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．∵E为P′D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P'﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，故P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），D（0，1，0），P′（0，0，1），B（，0，0），C（1，1，0），E（0，，），，，．设平面BEC的一个法向量为，由，取x＝2，得．∴为平面ABE的一个法向量，设二面角A﹣BE﹣C为θ，∴cos．∵二面角A﹣BE﹣C为钝角，∴cos，故二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈一、选择题*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．【分析】（1）．n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1，化为：b n＝2b n﹣1+1，变形为：b n+1＝2（b n﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a5＝6，S6＝27，利用通项公式可得：a1+4d＝6，6a1+15d ＝27，联立解得：a1，d，可得a n．可得a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出．解：（1）．∴n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣n﹣（2b n﹣1﹣n+1），化为：b n＝2b n﹣1+1，∴b n+1＝2（b n﹣1+1），n＝1时，b1＝2b1﹣1，解得b1＝1．∴b1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型3070100B型5050100总计80120200∴，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．（2）由题可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；B型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占．∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．∴X的分布列为X012P∴数学期望E（X）．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为（万元），这100辆B型出租车的平均利润为（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx，结合导数与单调性的关系对b进行分类讨论可求．解：（1），由x＝0是f（x）的极值点可得10，即m＝1，经检验m＝1符合题意，，设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+2）＞0在x＞﹣1时恒成立，故g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增且g（0）＝0，所以，当x＞0时，g（x）＞0即f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0即f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，故当x＝0时，f（x）取得最小值f（0）＝1，（2）由e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立可得ln（1+x）＜bx，设h（x）＝ln（x+1）﹣bx，则，（i）若b≥1，则x＞0时，0，h（x）单调递减，所以h（x）＜h（0）＝0，符合题意，（ii）若b≤0，则x＞0时，0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0，不符合题意，（iii）若0＜b＜1，则时，x，当x时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，此时h（x）＞h（0）＝0，不满足题意，综上，b的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的最大．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立两方程，结合韦达定理可得x1+x2，则x0，再带回直线方程进而得到b＝4a，从而t＝m，消去m后可得x2＝2y；（2）结合（1）表示出P（m，），F（0，），D（，），M （m，），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立得（bm2+a）x2﹣m2bx1＝0，则x1+x2，则x0，将其代入y＝mx得y0，因为•m，所以，即b＝4a，故OD方程为y x，则t，故t＝m，代入y＝mx，得P（m，），消去m，可得P点的轨迹方程为x2＝2y（x≠0）；（2）由题得b＝4，所以椭圆C的方程为x2+4y2＝1，由（1）知x0，y0，对于直线l，令x＝0，y，则G（0，），所以P（m，），F（0，），D（，），M（m，），所以S△PFG|GF||m||m|（m2+1）S△PDM|PM|•|m﹣x0|，则，令n＝2m2+1，则，当，即n＝2时，取得最大值，此时m＝±，满足△＞0．【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程；（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，，求|PD|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程（k为参数），整理得，又，两式相除得：，代入，得到（x+1）2+y2＝4（y≠﹣2）．（2）曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|，解得d＝1．所以：|PD|，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；。
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(考试版)
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18．（12 分）
以看它能否及时把工人的产品带走．显然，在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带
如图，在矩形 ABCD 中，将 △ACD 沿对角线 AC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 ABP 平面 ABC .
15．设
Sn
是数列 {an} 的前
n
项和，已知
S1 =2
，若对于任意的 n N
都有
an +1
an
2 ，则
Sn 64 n+1
的最小值为__________.
16．过点
A( c2 a
,0) 作双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线的垂线，垂足为
P
，点 Q
在
双曲线 C 上，且 AQ 3QP ，则双曲线 C 的离心率是__________.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) |x a||x 2a| ．
（1）若 a 1 ，解不等式 f (x) 4 ；
（2）对任意满足
y, z
0 且 2y
zБайду номын сангаас
1 2
的实数
y, z
，若总存在实数 x
，使得
z y
1 z
f
(x)
，
求实数 a 的取值范围．
理科数学试卷 第 5页（共 6 页）
全国名校2020年高三5月大联考之考后强化卷英语试题(新课标I卷)(含答案解析)
绝密★启用前全国名校2020年高三5月大联考考后强化卷（新课标I卷）英语（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分阅读理解(共两节，满分40分)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。
AThe weather might be freezing at home, but that doesn’t mean you have to spend the winter trembling. Instead, grab your bathing suit and sunscreen and head to these sunny spots that offer the best warm-weather getaways.San Juan, Puerto RicoHead to the hot city nightlife of San Juan, where the streets of smart Condado back right into the palm trees and lapping waves. Top chefs, stylish hotels, bars, clubs, and shops are all just steps away from the tropical beaches. Since Puerto Rico is a United States Commonwealth. It’s one of the easiest islands in the Caribbean to visit since you won’t need any pass, have to change money, or even worry about your cell phone working.Riviera Maya, MexicoWhat’s better than diving into the salty sea? Going into the clear and salt-free waters of the natural limestone cenotes of the Riviera Maya and Yucatan Peninsula. Spend a sunny day exploring these natural cave pools filled with cool water that springs from the ground below and the thick palm forests that surround them. Then head back to Fairmont Mayakoba for comfortable rooms and modern Mexican cuisine.New OrleansNew Orlean’s lively nightlife and live-music scenes make the “Big Easy” a great girl’s trip winter getaway. And even if your crew isn’t one to seek out the boozy Bourbon Street crawl, there’s plenty of amazing food to be discovered in the French Quarter, plenty of shopping and walking in the Garden District.Clearwater, FloridaIf you want to meet a real movie star while also taking in the sun, head to the Gulf shores of Clearwater, Florida. Here you can meet the stars of Dolphin Tale and Dolphin Tale 2, Winter and Hope, who are in residence at the Clearwater Marine Aquarium.1. What makes Puerto Rico an easy tourist destination?A. No pass is needed.B. It lies in the Caribbean.C. It’s near the tropical beaches.D. Many travel services are offered.2. What can you do if you go to Riviera Maya?A. Dive into the salty sea.B. Enjoy live-music scenes.C. Meet some real famous actors.D. Explore swimming in cave pools.3. Which place will you go to if you are a film fan?A. San Juan, Puerto Rico.B. Riviera Maya, Mexico.C. New Orleans.D. Clearwater, Florida.BAdventure-seeker Emma broke her ankle when she fell awkwardly while climbing a rock and spent a week in hospital waiting for an operation on her foot. When she was sent home to recover under strict instructions not to bear any weight, she became so fearful of crutches(拐杖) that she didn’t move for three weeks. “I tried crutches but I kept falling over and injuring myself. So I literally just stayed on the sofa all day, ” says Emma.She was gutted at the thought of missing the Wolf Run — a quarterly event that she hasn’t missed since 2014. “If you complete four Wolf Runs in a year, one in each season, you get Alpha Wolf status,” explains Emma. “This year was going to be my fifth in a row as an Alpha Wolf and I was really upset that I’d lose my status.” So she was willing to try anything to get through the course — even with her injured ankle.“I was telling my friend that I was going to cancel, and he persuaded me to give it a go. Having something to aim for really kept me going." Emma completed the run wearing an iW ALK2.0, which is a medically-approved device and it basically functions like a hi-tech artificial leg, allowing users to walk freely. I decided to get one and it completely changed my recovery. I could move around the house and start getting out and about again, which had a real impact on my mental well-being.”On the day of the race, Emma was nervous but the sound of people cheering her on kept her motivated. Emma made it over the finish line in just under six hours and clocked up her 23rd Wolf Run in five years. “It was an incredible day and my determination to finish combined with the support I received along the way kept me going,” says Emma.4. Why was Emma frightened to use a crutch?A. She was afraid of recovering slowly.B. She was warned not to move around.C. She just had an operation on her foot.1D. She often got injured when using one.5. What does the underlined word “gutted” mean in Paragraph 2?A. Extremely sad.B. A bit relieved.C. Very surprised.D. Pretty cheerful.6. What actually made Emma take part in the race?A. Her new hi-tech artificial leg.B. Her fear of letting her friend down.C. Her strong desire to achieve her ambition.D. Her complete recovery from the operation.7. Which of the following best describes Emma?A. Strong-willed.B. Supportive.C. Creative.D. Humorous.CKevin Adkins admits that when he lacks confidence, he uses big words to appear smarter, of which most people don’t know the meaning. “Only when I need to impress the person. I prefer using big words,” says the 45-year-old.Adkins is not alone. Many people use longer words in place of shorter ones because they know, consciously or unconsciously, that when others form impressions of them after a glance or a short conversation, they often work harder to give the “right” impression. “People think, if I can show that I have a good vocabulary, I’ll sound smarter.” says Daniel Oppenheimer, PhD, a professor of psychology at Carnegie Mellon University in Pittsburgh. However, if the listeners do not understand those long words, he adds, it will leave a bad impression instead.The truth is that it can easily go wrong. “It’s almost a game that two people are playing,” says Eric Igou, PhD, a social psychologist at Ireland’s University of Limerick. “If the observer, person B, doesn’t have the same theory, it can backfire.” Person A may be regarded as showing off instead of being intelligent.Using big words may also confuse listeners, which is definitely moving in the wrong direction, “People associate intelligence with clearness of expressions,” says Oppenheimer. That’s especially true when it comes to the written word. A small study in Applied Cognitive Psychology(应用认知心理学) found that the more writers tried to sound smart, the less intelligent they were considered to be.So what can you do to sound smarter? Speak clearly and directly. Leave the dictionary at your desk.8. Why does Kevin Adkins prefer saying big words sometimes?A. He wants to make himself more easily understood.B. He believes that it is cool.C. He enjoys the feelings of being mysterious.D. He hopes that what he says sounds smart.9. What is Professor Oppenheimer’s attitude towards the behavior of using big words?A. Disapproving.B. Favorable.C. Indifferent.D. Cautious.10. What does Eric Igou mean by saying “it can backfire” in paragraph 3?A. It can catch fire.B. Person B can fire person A.C. It can deliver an opposite effect.D. The observer can also fight back.11. What can we learn from the small study in Applied Cognitive Psychology?A. The writer who never uses big words is more intelligent.B. The writer who uses big words the most is the most intelligent.C. People like the writers who only use short and clear expressions.D. The writers should avoid using big words often in their writings.DImagine your clothing could release enough heat to keep you warm and cozy, allowing you to stay comfortable in a cooler room. Or, picture a car windshield that stores the sun’s energy and then releases it as heat to make the ice on the windshield disappear.According to a team of researchers at MIT, both cases may be possible before long, thanks to a new material that can store solar energy during the day and release it later as heat. This transparent polymer film could be applied to many different surfaces, such as window glass or clothing.Solar energy is only available about half the time we need it — during daylight. For the sun to become a major power provider for human needs, there has to be an efficient way to save it up for use during nighttime and stormy days. Most such efforts have focused on storing and recovering solar energy in the form of electricity, but the new finding, by MlI professor Jeffrey Grossman, Postdoc David Zhitomirsky and graduate student Eugene Cho, could provide a highly efficient method for storing the sun’s energy through a chemical reaction and releasing it later as heat.The key to enabling long-term, stable storage of solar heat, the team said, is to store it in the form of a chemical change rather than storing the heat itself. But heat will disappear over time no matter how good the material around it is, so the team set up a chemical storage system that can keep the energy in a stable molecular configuration. When exposed to sunlight, the molecules can stay that way for long periods. Then, when triggered (触发)by a very specific temperature or something else, the molecules return to their original shape, giving off heat in the process.Such chemically-based storage materials, known as Solar Thermal Fuels(STF), have been developed before. But those earlier efforts were designed to be used in liquid solutions and not able to make durable (耐用的) solid-state films. The new approach is the first based on a solid-state material, in this case a polymer, and the first based on inexpensive materials and widespread production technology.212. What is the main purpose of Paragraph 1?A. To show the main idea of the passage.B. To practice readers’ imagination.C. To interest readers in the passage.D. To introduce a new kind of material.13. According to the passage, what can the polymer film do?A. It can be made into window glass.B. It can make necessary electricity.C. It can store energy and release sunshine.D. It can absorb sunshine and give off heat.14. According to the passage, what is STF based on?A. The chemical reaction.B. The movement of heat.C. The form of electricity.D. The physical reaction.15. What is the advantage of the molecular configuration?A. It is less expensive.B. It is very powerful.C. It is easily available.D. It is less changeable.第二节(共5小题；每小题2分，满分10分)根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)联考 理科数学+答案+全解全析
D． 2 2
13． (x + 2 y −1)5 的展开式中 x2 y2 的系数为___________.
14．若
sin(α
+
π )
6
=
−
1 3
,α
∈ (0, π)
，则
sin(2α
+
π )
3
=
___________.
15．已知双曲线 E
：
x2 a2
−
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
a,b
=
A． 2 5 5
B． − 2 5 5
C． − 5 5
D． 5 5
9．已知[x] 表示不超过
x
的最大整数，数列{an} 满足
an
=
[
(−1)
n −1 ] 2
n
2
，则数列{an} 的前
6030
C． 3660
理科数学 第 2 页（共 13 页）
D． −3660
10．将函数 f (x) =
如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MB∥AN， NA = AB = 2 ， BM = 4 ，
CN = 2 3 .
（1）证明：平面 DMN ⊥ 平面 BCN ； （2）求二面角 C − MN − D 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C： a2
+
y2 b2
不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为 Y ，求 Y 的分布列 和数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < X < µ + σ ) = 0.6826 ，P(µ − 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9544 ， P(µ − 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9974 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = cos(x −1) + x(1 − ln x) . （1）设 g(x) = f ′(x) ，求证： g(x) < 1 ；
全国大联考2020届高三第五次联考数学(理)试题及答案
全国大联考2020届高三第五次联考·数学试卷考生注意：1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上．3．本试卷主要考试内容：前四次联考内容（30%），计数原理、概率与统计（40%），算法初步、推理与证明、复数（30%）．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．62．已知全集U R =，集合3|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2|20B x x x =+->，则()U C A B =I （ ） A ．{|31}x x -≤<B ．{|12}x x ≤<C ．{|31}x x -≤≤-D ．{|12}x x <≤3．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N b ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3B ．5C ．6D ．74．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年5．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．236．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15167．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同结束的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.368．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．79．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-11．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．25312．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人．14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 15．已知“在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为3π、与平面BCD 所成的角为512π，则BCD ACD S S ∆∆=________．16．已知抛物线2:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若4AM BM =，则实数k =__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=． （1）若3C π=sin B C =．（2）若23C π=，7c =，求ABC ∆的面积． 18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90BCD ∠=︒，PA CD ⊥，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（1）求证：2PC EF =．（2）若EF PC ⊥，求二面角P BE F --的余弦值． 19．已知函数321()26F x x x a =-++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：02f αβ+⎛⎫''<⎪⎝⎭． （注：()f x ''是()f x '的导函数）20．第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的22⨯列联表．已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58．（1）请将上面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；（2）已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X ，求X 分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．下面的临界值表仅供参考21．已知椭圆22:143x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点． （1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．22．某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在[)65,85的为劣质品，在[)85,105的为优等品，在[]105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．图1 图2 （1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用i x 和年销售量i y ，()1,2,3,4,5i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．根据散点图判断，by ax =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程． ①求y 关于x 的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 3.5936e=）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，L ，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()51521ˆii i i i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 2020届高三第五次联考·数学试卷参考答案1．A 本题考查复数的运算．因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 2．B 本题考查集合的运算．依题意{|31}A x x =-≤<，{| 3 1}U C A x x x =<-≥或，{|12}B x x =-<<，故(){}|12U C A B x x =≤<I ．3．C 本题考查正态分布的应用．4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．4．C 本题考查统计图表由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C项错误．5．A 本题考查古典概型概率，由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 6．D 本题考查程序框图．执行该算法框图可得12341111150222216S =++++=． 7．B 本题考查独立性事件的概率．甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．8．C 本题考查向量的数量积与投影．由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 9．D 本题考查逻辑推理．由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．10．B 本题考查二项式定理当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的mnx y 的系数之和为8024096416++=．11．B 本题主要考查归纳推理，以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=12．A 本题考查复合函数的零点．由题意得3ln 30ln x a xa x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln xg x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x -'=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠ 13．39 本题考查分层抽样由于A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D 专业应抽取的人数为13129398121013⨯=+++．14．24 本题考查排列组合第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有222A =种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有232312A A =种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为22322324A A A =．15．2本题考查类比推理．类比正弦定理可得 5sinsin312BCD ACD S S ππ∆∆=，故sin35sin 12BCD ACD S S ππ∆∆===，16．43±本题考查抛物线与平面几何知识直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点()4,0F ，过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义知AP AF =，||||BQ BF =． 因为////AP MF BQ ，所以||||||||||||PM AF AP QM BF BQ ==．因为90APM BQM ∠=∠=︒，所以APM BQM ∆∆:，从而||||||4||||||AM AP AF BM BQ BF ===．设直线l 的倾斜角为α，0απ≤<，则||1cos cos 4||1cos 1cos pAF T p BF αααα+-===-+，解得3cos 5α=，4tan 3k α==，或||1cos 1cos 4||1cos 1cos pAF p BF αααα-+===+-解得3cos 5α=-，4tan 3k α==-，综上，43k =±． 17．解：本题考查利用正余弦定理解三角形．（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =． 因为B ，()0,C π∈sin B C =． （2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②联立①②解得b =，a =1sin 2ABC S ab C ∆== 18．解：本题考查点线面位置关系的证明与求二面角．（1）证明：连接EC ，90BCD ADC ∠=∠=︒Q ，AD CD ∴⊥．PA CD ⊥Q ，PA AD A =I ，CD ∴⊥平面PAD ． CD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ．PA PD =Q ，E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥．Q 平面ABCD I 平面PAD AD =，PE ∴⊥平面ABCD ．EC ⊂Q 平面ABCD ，PE EC ∴⊥．F Q 为Rt PEC ∆斜边PC 的中点，2PC EF ∴=，（2）EF PC ⊥Q ，∴由（1）可知，PEC ∆为等腰直角三角形，则PE EC ==E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)E，P ，(0,1,0)B，11,,222F ⎛- ⎝⎭，则(0,1,0)EB =u u ur 11,22EF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，记平面EBF 的法向量为(),,m x y z =r由00m EB m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r得到0110222y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取2x =，可得z =，则m =r．易知平面PEB 的法向量为(1,0,0)n EA ==u uu r r ．记二面角P BE F --的平面角为θ，且由图可知θ为锐角，则||cos ||||3m n m n θ⋅===r rr r ，所以二面角P BE F --19．解：本题考查函数的单调性、导数相关知识．21()()()2ln 2f x F x G x x x a x '=-=-+-，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x x af x x x x-+-'=-+-=．（1）当3a =-时，222323(3)(1)()x x x x x x f x x x x-++---+'==-=-，由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >， 故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2a f x x x '=-+-，0x >，2()1af x x''∴=-+， Q 方程()f x c '=的两根分别为α，β()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得a αβ=． 法一：222244()1102()()()a f αβαβαβαβαβαβ+--⎛⎫''=-+=-+=<⎪+++⎝⎭． 法二：224441112()()2a f αβαβαβαβαββα+⎛⎫''=-+=-+=-+⎪++⎝⎭++， 0αβ<<Q ，01αβ∴<<，2αββα∴+>，4111022a f aβαββ+⎛⎫''∴=-+<-+= ⎪⎝⎭++成立． 20．解：本题考查概率统计、独立性检验和数学期望．（1）根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得22⨯列联表如下：因为2K 的观测值250(201659)60509.9347.87925252921609k ⨯-⨯==≈≥⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．（2）现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X ，则0X =，1，2，3故36395(0)21C P X C ===，21633915(1)28C C P X C ===， 1263393(2)14C C P X C ===，33391(3)84C P X C ===， 则X 的分布列为51531()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，（1）由题知()2,0D ，(E ，则2DE k =-．因为DE AE ⊥，所以3AE k =，则直线AE的方程为y x =+，联立223143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得482525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故48,25A ⎛-⎝⎭．则254814225DA k ==+，直线AD的方程为2)y x =-．令0x =，得7y =-，故直线AD 与y轴的交点坐标为0,7⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 当01x =时，设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AF 与x 轴垂直， 其直线方程为1x =， 直线BN 的方程为305205242y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-中，令1x =，得32y =-，得交点为（31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然在椭圆C 上． 同理当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为055242y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，联立方程0002532(1)1y y x y y x x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 消去y 得00025(1)321y y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=-代入00(1)1y y x x =--中，化简得00325y y x =-．所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭． 因为22000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()222200000022200025806432580641242525425x x y x x y x x x -+-++=+=---， 又因为2200143x y +=，所以22004123y x =-， 则()()()()222200000022200025258064124202514252525x x x y x x x x x --++-+===---， 所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭在椭圆C 上．综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．22．解：本题考查离散型随机变量的期望以及非线性回归方程．（1）设每件产品的销售利润为X ，则X 的可能取值为0.8-，4，6．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1．所以(0.8)0.25P X =-=；(4)0.65P X ==；(6)0.1P X ==．所以X 的分布列为所以()(0.8)0.2540.6560.13E X =-⨯+⨯+⨯=（元）． 即每件产品的平均销售利润为3元．（2）①由b y a x =⋅，得()ln ln ln ln b y a x a b x =⋅=+， 令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，由表中数据可得()()()515210.541ˆ 1.623i ii ii u u v v b u u ==--===-∑∑， 则23.4116.35ˆˆ 4.68 1.09 3.59535c v bu =-=-⨯=-=，所以1ˆ 3.593v u =+，即13.5931ˆln 3.59ln ln 3y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 因为取 3.5936e =，所以13ˆ36yx =，故所求的回归方程为1336y x =． ②设年收益为z 万元，则11333336108z y x x x x x =-=⨯-=- 令130t x =>，则3108z t t =-，()221083336z t t '=-=--，当06t <<时，0z '>，当6t >时，0z '<，所以当6t =，即216x =时，z 有最大值432．即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元．。
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(考试版+答案+全解全析)
理科数学试卷 第1页（共6页） 理科数学试卷 第2页（共6页）………………………○……○……○……○……○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校： 班级： 姓名： 准考证号：绝密★启用前全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|01}A x x =<≤，2{|2320}B x x x =+-<，则A B =A ．{|21}x x -<<B ．{|21}x x -<≤C ．{|1}x x ≤D ．1{|0}2x x <<2．已知复数z 满足i 2i z =-+，则在复平面内复数z 表示的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S = A ．76 B ．32C ．2132D ．144．在四边形ABCD 中，3AB DC ⋅=，4AD BC ⋅=，则AC DB ⋅=A ．1B ．1-C ．7D ．125．函数()(3sin )cos f x x x x =-在[π,π]-上的大致图象是6．甲、乙两家企业1月份到10月份的收入情况统计如图所示，则下列说法中错误的是A ．甲企业的月收入比乙企业的月收入高B ．7月份甲、乙两企业的月收入差距最大C ．3月份到10月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业低D ．1月份到10月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业高7．设,,a b c 是正实数，且lg 2lg3lg5a b c ==，则下列不等式正确的是 A ．235a b c<< B ．253a c b<< C ．325b a c << D ．532c b a<<理科数学试卷 第3页（共6页） 理科数学试卷 第4页（共6页）////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线………………………………考生注意清点试卷有无漏印或缺页︐若有要及时更换︐否则责任自负︒8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为A ．50B ．351C ．551D ．7519．鞋匠刀形是一种特殊的图形，若C 是线段AB 上的任一点，分别以AB ，BC ，CA 为直径且在AB 的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形，如图中的阴影部分，其中以BC ，CA 为直径所作的两个半圆部分分别记作Ⅰ，Ⅱ，阴影部分记作Ⅲ．在以AB 为直径的半圆中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．13p p <B ．23p p >C ．123p p p +≥D ．123p p p +<10．已知函数2*()sin 233()2xf x x ωωω=+∈N ，且()f x 的图象在[0,]2π上只有一个最高点和一个最低点，则下列说法中一定错误的是 A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于2(,0)9π中心对称 C ．()f x 的图象关于724x π=对称 D ．()f x 在(0,)6π上单调递增11．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，过点B 作抛物线的准线的垂线，交准线于点D ，则||||AC BD +的最小值是 A ．4B ．3C ．5D ．212．在三棱锥D ABC -中，ABC △是边长为2的正三角形，AD BD =，3DC =DC 与平面ABC 所成的角为60，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为A ．50π9B ．5πC ．52π9D ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(全国I卷)2020届高三数学五省优创名校联考试题 理
2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．1个B．2个C．3个D．无穷个2．34i34i 12i12i +--= -+A．－4B．4C．－4iD．4i3．如图1为某省2020年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2020年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2020年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2020年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2020年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2020年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A．4643π-B．64－4πC．64－6πD．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ 于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．2 2B．1 2C．1 3D．1 48．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A．B．C．D．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574 B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ．14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD的表面积是________．15．在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．16．已知双曲线C：22221 x yab-=（a＞0，b＞0），圆M：222()4bx a y-+=．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当22224149aaa b-+取得最大值时，C的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题．17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，且S n＝na n＋1－n2－n．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足22121(1)nnnbn a++=-，求{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22()23sina cb ab C+=+．（1）求B的大小；（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为33，求a．19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且CE CSλ=u u u r u u u r．（1）若23λ=，证明：BE⊥CD；（2）若13λ=，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,2x my⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．D 13．114．36 15．121617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++L ．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 222ac B ac =⋅=ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD u u u r的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0），所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0,1,2)SB =-u u r ，(2,0,2)SD =-u u u r ．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u rn n ， 所以20y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||2174sin |cos ,|||||BE BE BE θ⋅===u u u ru u u r u u u r n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =， 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：因为f′（x ）＝e x＋2ax ，所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ），所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ），因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．又()1bg xx'=+，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，11 ()1xg xx x-'=-=，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）min＝g（1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x ＋1．下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝e x－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝e x－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以e x－（e－2）x－1≥x2．由于x＞0，所以e(e2)1x xxx---≥．又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，e(e2)11lnx xx xx---+≥≥，所以e x－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即e x－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．22．解：（1）将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即221 4816x y+=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。
全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)理科综合(考试版含答案解析)-推荐
绝密★启用前全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）理科综合本卷满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ca 40As 75 Cd 112一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．内质网参与细胞内蛋白质和脂质的合成以及钙离子稳态的调控等，其与多种膜性细胞结构建立膜接触位点，进行物质的交换、信号转导、膜动态性调控等生理活动，这种细胞器之间通过膜接触位点发生相互联系的现象称为细胞器互作。
下列关于细胞器互作的推断错误的是A．细胞器互作现象不可能发生于原核细胞内B．膜接触位点一定依赖于蛋白质和脂质的相互识别作用C．内质网可以与高尔基体、线粒体等发生细胞器互作D．浆细胞内的细胞器互作现象可能比心肌细胞内的多2．小肠上皮细胞的肠腔侧存在转运葡萄糖的载体蛋白SGLT，在转运葡萄糖的过程中，Na+顺浓度梯度进入小肠上皮细胞时产生的电化学梯度为其提供能量；在其对侧则含转运葡萄糖的载体蛋白GLUT2，如图所示，下列关于跨膜运输方式的叙述，错误的是A．哺乳动物成熟的红细胞吸收葡萄糖的方式与图中GLUT2介导的方式相同B．图中SGLT介导的运输方式还可能存在于肾小管上皮细胞中C．小肠上皮细胞吸收葡萄糖的方式是协助扩散D．图中Na+外流、K+内流属于主动运输3．下列关于生物进化的叙述，正确的是A．捕食者的存在往往不利于增加物种多样性B．无机环境与生物之间会发生共同进化C．生物进化的标志是生物间出现了生殖隔离D．抗生素会使细菌逐代向抗药性增强的方向变异4．如图为探究某一浓度生长素对不同类型拟南芥下胚轴插条形成不定根影响的结果，IAA14蛋白和ARF17是参与生长素信号传导的因子，下列相关分析正确的是A．IAA14蛋白功能获得型的突变可导致slr-1突变体对IAA的敏感性增强B．该实验结果表明生长素的生理作用具有两重性的特点C．由图可知IAA14蛋白可以促进插条不定根的形成D．生长素通过促进细胞伸长来促进不定根的生成5．海洋资源是有限的，能让一片海域的海产品产量最大化是人类的追求。
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)试卷
．C 3 月份到 10 月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业低
．D 1 月份到 10 月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业高
7．设a,b,c 是正实数，且 a = b = c ，则下列不等式正确的是 lg 2 lg 3 lg 5
．A 2 < 3 < 5 abc
．B 2 < 5 < 3 acb
．C 3 < 2 < 5 bac
．已知集合 ， ，则 1
A = {x | 0 < x ≤ 1} B = {x | 2x2 + 3x − 2 < 0} A ∪ B =
．A {x | −2 < x < 1}
．B {x | −2 < x ≤ 1}
．C {x | x ≤ 1}
．D {x | 0 < x < 1} 2
2．已知复数 z 满足iz = −2 + i ，则在复平面内复数 z 表示的点位于
f (x) = sin ω x + 2 3 cos2 ω x − 3(ω ∈ N* )
f (x)
π [0, ]
2
2
高点和一个最低点，则下列说法中一定错误的是
A． f (x) 的最小正周期为 π 2
C． f (x) 的图象关于 x = 7π 对称 24
B． f (x) 的图象关于 (2π ,0) 中心对称 9
理科数学试卷 第 2 页（共 6 页）
．D 5 < 3 < 2 cba
8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为
．A 50
．B 351
．C 551
．D 751
9．鞋匠刀形是一种特殊的图形，若C 是线段 AB 上的任一点，分别以 AB ， BC ，CA 为直径
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(答案及评分标准)_encrypt
即每只钩子为空钩的概率 p 16 ，（3 分） 81
故传送系统的效率 D
s
m(1
p)
3 (1 16) 81
65
.（4 分）
nn
4
108
（2）对一周期而言，有 m 个钩子通过每一工作台上方，
则每个挂钩被一名工人触到的概率是 1 ；（5 分） m
由工人生产的独立性，可知任一只钩子不被挂上产品的概率是 (1 1 )n ，（6 分） m
由于点 (1, 0) 在椭圆 C 的内部，所以直线 l 与椭圆 C 有两个交点.（10 分）
当直线 l
的斜率不存在时，设直线 l
：x
x3 ，
A(x3, y3 ), B(x3, y3 ) ，且
x32 3
y32
1，
设
Q(3,
y0
)
，由点
B,
P,Q
三点共线，直线
AQ
的斜率为
1，得
y0 y3 1 3 x3 y0 1 y3
又 a 12 (b c) 0 ，则 b c 12 ，根据 b c 2 bc ，所以 bc 6 ，即 t 6 ，
因此由 (t 12)(t 4) 0 ，得 0 t 4 ，
则当 b c 时， t 取得最大值 4 ，即 bc 取得最大值16 ，（10 分）
又 △ABC 的面积为 S 1 bcsin A 3 bc 4 3 ，
2 根据 ex x 1(x 0) ，得 g(1) ea a a 1 a 1 0 ，
所以存在 x0 (1, 0) ，使得 g(x0 ) 0 ，且当 x0 x 0 时， g(x) 0 ，
于是 g(x) 在 (x0 ,0) 上是减函数， g(x) g(0) 0 ，这与 g(x) 0 恒成立矛盾，不符合题意.
全国名校2020年高三5月大联考之考后强化理科数学试题(新课标Ⅰ卷)(含答案解析)
1绝密|启用前全国名校2020年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2{|230}A x x x =+-≤，{|2}B x x =<，则A B =I A ．{|31}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|31}x x -≤<D ．{|10}x x -≤≤2．已知复数2(1i)1iz -=+，其中i 为虚数单位，则在复平面内复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设0.40.5a =，0.4log 0.3b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则51510528S S S S +=-A ．12-B ．16C ．12D ．16-5．函数()221x x x f x =+-的大致图象为6．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称为统计模拟法或统计实验法．如图，正方形ABCD 的边长为2a ，,,,E F G H 分别为,,,AD AB BC CD 的中点，分别以,,,A B C D 为圆心作14圆，形成如图所示的阴影部分，现向正方形ABCD 内随机投点，设该点落入阴影部分内的概率为p ，则估计圆周率π=A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +7．在三角形ACD 中，已知32AD AB =u u u r u u u r ，2ACB π∠=，||4AB =u u u r ，||2AC =u u u r ，则CD CB ⋅=u u u r u u u rA ．18-B ．63-C ．18D ．638．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．69．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示，则下列结论中错误的是A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%10．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象经过点(,2)6A π，则A ．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间(,0)2π-上单调递减C ．函数()f x 在区间[0,2]π内有五个零点D ．函数()f x 在区间[0,]3π上的最小值为111．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，设直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1012．在三棱锥P ABC -中，已知17225PA PB AB CA CB =====,,,，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A ．209πB ．2512πC ．253πD ．53π2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5(1)(12)x x ++的展开式中4x 的系数为____________． 14．已知函数e ()()ex x a f x x =+是定义在R 上的奇函数，其中e 为自然对数的底数，则曲线()f x 在0x =处的切线方程为____________．15．设单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S 和55S 是方程216600x x ++=的两个根，则数列{}n Sn的前n 项和的最小值为____________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ，若双曲线E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r，则双曲线E 的离心率e 的取值范围为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；（2）若3b =，ABC △的周长为323+，求ABC △的面积． 18．（12分）2020年寒假是特殊的寒假，全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生对线上教育的满意度，某学校随机抽取了120名学生进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，且男生中有30人对线上教育满意，女生中有15人对线上教育不满意．（1）完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为对线上教育是否满意与性别有关；满意 不满意 合计 男生 女生 合计120（2）从对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再从这8名学生中随机抽取3名学生分享网上在线学习的经验，设这3名学生中男生的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 的中点，沿BE 将ABE △折起至PBE △的位置，点P 在平面BCDE 内的射影O 落在BE 上，连接,EC PC ． （1）求证：EC BP ⊥；（2）求二面角B PC D --的余弦值．20．（12分）已知a ∈R 且0a ≠，函数()e x f x ax =，()ln 1g x x x =++，其中e 为自然对数的底数． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的0x >，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ:+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆Γ的四个顶点恰好构成了一个边322（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知直线1l ，2l 均过点2F ，且直线1l ，2l 的斜率的乘积为12-，设直线1l ，2l 与椭圆Γ分别交于点A ，B 和点C ，D ，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ，求OMN △（O 为坐标原点）面积的最大值．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2222x sy s ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）求点P 到直线l 的距离的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数13()||||22f x x x =++-．（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式1()|1|2f x a <-的解集是空集，求实数a 的取值范围．3全国名校2020年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）理科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCCDCACBDDAC1．B 【解析】由题可得{|31}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤<，所以{|01}A B x x =≤≤I ．故选B ．2．C 【解析】由题可得22i 2i(1i)1i 1(1i)1i i 2z ---====--+-+，所以在复平面内复数z 对应的点为(1,1)--，位于第三象限．故选C ．3．C 【解析】∵0.400.5100.5a <==<，0.40.4log 0.3log 0.41b =>=，88log 0.4log 10c =<=，∴c a b <<，故选C ．4．D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5102S S =，所以1q ≠，且51011(1)2(1)11a q a q q q--=--，化简可得512q =-，所以5155155151110551010511282(1)8(1)102816(1)(1)S S a q a q q q S S a q a q q q +-+---===------，故选D ． 5．C 【解析】由题可得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为11(21)()()2212(21)x x x xf x x +=+=--，所以(21)()(21)()()2(21)2(21)x x x x x xf x f x --+-+-===--，所以函数()f x 为偶函数，可排除A 、B ；当0x >时，()0f x >，故可排除D ，故选C ． 6．A 【解析】由题可得2222244ABCDS a a p S a π-π-===阴影正方形，所以42p π=+．故选A ．7．C 【解析】因为32AD AB =u u u v u u u v ，所以2()()CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r223522AB AB AC AC -⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为2ACB π∠=，||4AB =u u u r ，||2AC =u u u r ，所以1cos 2CAB ∠=，所以CD CB ⋅=u u u r u u u r 22351442218222⨯-⨯⨯⨯+=，故选C ． 8．B 【解析】初始：0k =，5S =，第一次循环：505S =-=，1k =，不满足0S <，继续循环；第二次循环：514S =-=，2k =，不满足0S <，继续循环；第三次循环：422S =-=，3k =，不满足0S <，继续循环；第四次循环：231S =-=-，4k =，满足0S <，结束循环，输出的k 的值为4，故选B ． 9．D 【解析】从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确；12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确；12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误，故选D ．10．D 【解析】因为函数()f x 的图象经过点(,2)6A π，所以2sin()23ϕπ+=，所以2,32k k ϕππ+=+π∈Z ，所以2,6k k ϕπ=+π∈Z ，所以()2sin(22)2sin(2)66f x x k x ππ=++π=+．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数2sin(2)6y x π=-的图象，故A 不正确；令3222,262k x k k ππ+π≤+≤π+π∈Z ，可得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ，故B 不正确；令()0f x =，可得2,6x k k π+=π∈Z ，即,122k x k ππ=-+∈Z ，当[0,2]x ∈π时，5111723,,,12121212x ππππ=，所以函数()f x 在区间[0,2]π内有四个零点，故C 不正确；由3[]0,x π∈，得52[,]666x πππ+∈，此时1sin(2)[,1]62x π+∈，()[1,2]f x ∈，所以函数()f x 在区间[0,]3π上的最小值为1，故D 正确．故选D ．11．A 【解析】由题可得(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，将1(1)y k x =-代入24y x =，可得2222111240k x k x x k --+=，所以21122124k x x k --+=-212124k k +=．设直线2l 的方程为2(1)y k x =-，同理可得22342224k x x k ++=．因为12l l ⊥，所以121k k =-，由抛物线定义可知2212123422222212121224244416||2482|8|16k k AB DE x x x x p k k k k k k +++=++++=++=++≥+=，当且仅当12k k =-且12||||1k k ==时，取等号，所以||||AB DE +的最小值为16．故选A ．12．C 【解析】如图，因为1PA =，7PB =，22AB =，所以222PA PB AB +=，所以2APB π∠=．取AB 的中点为D ，连接CD ，PD ，因为5CA CB ==，所以CD AB ⊥，又2AD BD ==，所以3CD =．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面PAB ， 又PAB △为直角三角形，所以PAB △外接圆的圆心为D ，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心一定在直线CD 上，设外接球的球心为O ，球O 的半径为R ，连接PO ，则3|OD R =，4 所以222OD DP OP +=，即222)R R +=，解得R =， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2225443R ππ=π⨯=．故选C ． 13．160 【解析】5(1)(12)x x ++的展开式中4x 的系数为334455C 2C 2160⨯+⨯=．14．20x y -= 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f f -=-，即11()e)e e (e a a---=+-+，解得1a =，所以1e ())e (xx x f x =+，则11()e (e )e ex xx x f x x '=++-，所以(0)2f '=，(0)0f =，所以曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x =，即20x y -=．15．56- 【解析】设单调递增的等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，则1(1)2n n n d S na -=+，112n S n a d n -=+，故数列{}n S n 是单调递增的等差数列，因为方程216600x x ++=的两根分别为6-，10-，所以3103S=-，565S =-，所以数列{}n S n 的首项为14-，公差为2，所以数列{}n Sn的前n 项和为215n n -，易知当7n =或8时，215n n -取得最小值，为56-． 16． 【解析】由题可得(,0)A a ，(2,0)F a ，双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，设(,)b P m m a ，则(,)b AP m a m a =-u u u r ，(2,)bFP m a m a=-u u u r ，因为AP FP ⊥u u u r u u u r ，所以0AP FP ⋅=u u u r u u u r ，所以222()(2)0b m a m a m a --+=，即2222(1)320b m ma a a +-+=，由题可得222294(1)20b a a a∆=-+⋅≥，即228a b ≥，设c ，则2228()a c a ≥-，即2289c a ≤，所以c e a =≤．又1e >，所以1e <≤所以双曲线E 的离心率e的取值范围为． 17．（12分）【解析】（1）由(2)cos cos 0a c B b A ++=及正弦定理可得(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ++=， 即(sin cos sin cos )2sin cos 0A B B A C B ++=，所以sin()2cos sin 0A B B C ++=，（2分） 又sin()sin A B C +=，所以sin 2cos sin 0C B C +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =-，（4分）因为0B <<π，所以23B π=．（6分） （2）由（1）可知23B π=，因为3b =，所以由余弦定理可得22192()2a c ac =+-⨯-，即229a c ac ++=，即2()9a c ac +-=，（9分）因为3a b c ++=+a c +=，所以3ac =，所以ABC △的面积为11sin 322ac B =⨯=．（12分） 18．（12分）【解析】（1）由题可得男生的人数为11120551113⨯=+，女生的人数为1205565-=，因为男生中有30人对线上教育满意，女生中有15人对线上教育不满意， 所以补全的22⨯列联表如下：（2分）所以2K 的观测值120(30152550)9606.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，（4分）所以有99%的把握认为对线上教育是否满意与性别有关．（5分）（2）由（1）可知男生应抽取3人，女生应抽取5人，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ服从超几何分布，33538C C ()(0,1,2,3)C k kP k k ξ-===，（7分） 则32112355353333338888C C C C C C 515151(0),(1),(2),(3)C 28C 28C 56C 56P P P P ξξξξ============．（9分）所以ξ的分布列为（10分）所以5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（12分） 19．（12分）【解析】（1）因为点P 在平面BCDE 内的射影O 落在BE 上，所以平面PBE ⊥平面BCDE ，（2分） 因为在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 的中点，所以BE EC = 所以222BE EC BC +=，所以BE CE ⊥，（3分）因为EC ⊂平面BCDE ，平面PBE I 平面BCDE BE =，所以EC ⊥平面PBE ， 又BP ⊂平面PBE ，所以EC BP ⊥．（5分）5（2）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．易得11(,,0)22B -，13(,,0)22C ，13(,,0)22D -，2P ，则(1,0,0)CD =-u u u r ，132(,,222CP =--u u u r ，112(,,)222PB =-u u u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，（7分） 设平面PCD 的法向量为111(,,)x y z =m ，则00CD CP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u r m m ，即11110132022x x y -=⎧--+=⎪⎨⎪⎩，令12z =10x =，123y =， 所以平面PCD 的一个法向量为2(0,2)3=m ．（9分）设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =n ，则00PB BC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u r n n ，即2222112022220x y z y --==⎧⎪⎨⎪⎩，令22z =，可得22x =，20y =， 所以平面PBC 的一个法向量为2)=n ，（11分）所以33cos ,||||⋅〈〉==⋅m n m n m n显然二面角B PC D --的平面角为钝角，所以二面角B PC D --的余弦值为33（12分） 20．（12分）【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为R ，()(1)e x f x a x '=+，（1分） 当0a >时，令()0f x '<可得1x <-，令()0f x '>可得1x >-， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；（3分） 当0a <时，令()0f x '>可得1x <-，令()0f x '<可得1x >-， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减．综上，当0a >时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减．（5分）（2）当0x >时，由()()f x g x ≥可得e ln 1(0)x ax x x x ≥++>，即ln 1(0)e xx x a x x ++≥>． 令ln 1()(0)exx x F x x x ++=>，则原问题等价于max ()a F x ≥．（7分） ()F'x =21(1)e (1)e (ln 1)(e )x x x x x x x x x +-+++2(1)(ln )e xx x x x -++=， 令()ln (0)x x x x ϕ=+>，则1()10'x xϕ=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，（9分） 因为11()10e e ϕ=-<，(1)10ϕ=>，所以存在01(,1)ex ∈，使得000()ln 0x x x ϕ=+=，所以当00x x <<时，()0x ϕ<，()0F'x >；当0x x >时，()0x ϕ>，()0F'x <， 所以()F x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，（10分） 所以000max 00ln 1()()1e x x x F x F x x ++===，所以1a ≥，故a 的取值范围为[1,)+∞．（12分）21．（12分）【解析】（1）因为椭圆Γ322 所以22212222(3)a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（2分）所以椭圆Γ的标准方程为2212x y +=．（4分）（2）设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，将(1)y k x =-代入2212x y +=，消去y 可得2222)221204(x k k x k -+-+=，所以2122412k x x k +=+，因为线段AB 的中点为M ，所以21222212M x x k x k+==+，212M k y k -=+，（6分） 因为直线1l ，2l 的斜率的乘积为12-，所以直线2l 的方程为1(1)2y x k=--，（7分）同理可得，2211212N Nkx y k k ==++，， 所以2222221(),()12121212k k k M N k k k k-++++，，，（9分） 设线段MN 的中点为T ，则1(,0)2T ，所以22121|||||||2122121|4OMN M N k k S OT y y k k =⨯=⋅-=⨯=++△11122||||k k ⨯+2≤，（11分） 当且仅当12||||k k =，即2k =时取等号，6 所以OMN △．（12分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）【解析】（1）因为直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 所以消去参数t ，可得280x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为280x y -+=．（2分）因为曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数），所以消去参数s ，可得24y x =，故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（5分）（2）设点(,)P x y ，因为P 为曲线C上的动点，所以22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数），（7分）则点P 到直线l的距离d ==≥=（9分）当s =4x =，4y =，所以点P 到直线l．（10分） 23．选修4-5：不等式选讲（10分）【解析】（1）当32x >时，()3f x ≤可化为21236x x ++-≤，解得322x <≤； 当1322x -≤≤时，()3f x ≤可化为21(23)6x x +--≤，解得1322x -≤≤；（2分）当12x <-时，()3f x ≤可化为(21)(23)6x x -+--≤，解得112x -≤<-．综上，可得12x -≤≤，故不等式()3f x ≤的解集为[1,2]-．（5分）（2）由题可得1313()|||||()()|22222f x x x x x =++-≥+--=，（7分）因为关于x 的不等式1()|1|2f x a <-的解集是空集，所以1|1|22a -≤，（9分）解得35a -≤≤，故实数a 的取值范围为[3,5]-．（10分）。
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D．函数
f
(x)
在区间 [0,
]
3
上的最小值为 1
11．已知点 F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点，过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，设直线 l1 与抛物线 C 交
于 A ， B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于 D ， E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为
生分享网上在线学习的经验，设这 3 名学生中男生的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
K2
(a
n(ad bc)2 b)(c d )(a c)(b
d)
，其中
n
a
b
c
d
．
P(K 2 k0 ) k0
0.15 2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
A．16
B．14
C．12
D．10
12．在三棱锥 P ABC 中，已知 PA 1,PB 7,AB 2 2,CA CB 5，平面 PAB 平面 ABC，则三棱锥
P ABC 的外接球的表面积为
A．
20 9
B．
25 12
C．
25 3
D．
5 3
理科数学试题 第 2页（共 4页）
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17．（12 分）
在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a,b,c ，已知 (a 2c) cos B b cos A 0 ．
（1）求 B ；
（2）若 b 3 ， △ABC 的周长为 3 2 3 ，求 △ABC 的面积．
18．（12 分）
2020 年寒假是特殊的寒假，全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生对线上教育的满意度，
某学校随机抽取了 120 名学生进行调查，其中男生与女生的人数之比为 11∶13，且男生中有 30 人对
线上教育满意，女生中有 15 人对线上教育不满意．
（1）完成下面的 2 2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为对线上教育是否满意与性别有关；
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
120
（2）从对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再从这 8 名学生中随机抽取 3 名学
（s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点．
（1）求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求点 P 到直线 l 的距离的最小值．
23．选修 4-5：不等式选讲（10 分）
已知函数 f (x) | x 1 | | x 3 | ．
2
2
（1）求不等式 f (x) 3 的解集；
（2）若关于
x
14．已知函数
f
(x)
x(ex
a ex
) 是定义在
R
上的奇函数，其中 e 为自然对数的底数，则曲线
f
(x)
在
x
0处
的切线方程为____________．
15．设单调递增的等差数列{an} 的前 n
项和为
Sn
，若
S3 3
和
S5 5
是方程
x2
16x
60
0
的两个根，则数列{Sn } n
的前 n 项和的最小值为____________．
此
卷
只
装
订
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13． (x 1)(1 2x)5 的展开式中 x4 的系数为____________．
C．12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%
D．12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%
10．已知函数
f(x)Βιβλιοθήκη 2 sin(2 x)
的图象经过点
A(
6
,
2)
，则
A．将函数
f
(x)
的图象向右平移
6
个单位长度得到函数
y
2 sin
2x
的图象
B．函数
f
(x)
在区间
(
2
, 0)
上单调递减
C．函数 f (x) 在区间[0, 2] 内有五个零点
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，椭圆
的四个顶点恰好构成了一个边
长为 3 且面积为 2 2 的菱形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线
l1
，
l2
均过点
F2
，且直线
l1
，
l2
的斜率的乘积为
1 2
，设直线 l1 ， l2 与椭圆
分别交于
点 A ， B 和点 C ， D ，线段 AB 的中点为 M ，线段 CD 的中点为 N ，求 △OMN （ O 为坐标原点）面
的不等式
f
(x)
1 2
|1
a
| 的解集是空集，求实数
a
的取值范围．
不
密
封
理科数学试题 第 3页（共 4页）
理科数学试题 第 4页（共 4页）
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
19．（12 分）
如图，在矩形 ABCD 中，AB 1 ，AD 2 ，点 E 为 AD 的中点，沿 BE 将 △ABE 折起至 △PBE 的位置，
点 P 在平面 BCDE 内的射影 O 落在 BE 上，连接 EC, PC ． （1）求证： EC BP ； （2）求二面角 B PC D 的余弦值．
16．已知双曲线 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的右顶点为
A，抛物线 C :
y2
8ax
的焦点为 F
，若双曲线
E
的渐
近线上存在点
P
，使得
AP
FP
，则双曲线
E
的离心率
e
的取值范围为____________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
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…
学 校 ： ______________姓 名 ： _____________班 级 ： _______________考 号 ： ______________________
B．4
C．5
D．6
9．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019 年 9
月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示，则下列结论中错误的是
A．12
个月的
PMI
值不低于
50%的频率为
1 3
B．12 个月的 PMI 值的平均值低于 50%
积的最大值．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目
计分．
22．选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）
x 8 t
x 2s2
在直角坐标系 xOy
中，已知直线 l 的参数方程为
y
t 2
（t 为参数），曲线 C 的参数方程为 y 2 2s
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绝密|启用前
全国名校 2020 年高三 5 月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）
理科数学
注意事项：
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
B．{x | 0 x 1}
C．{x| 3 x 1}
D．{x| 1 x 0}
2．已知复数
z
(1 i)2 1 i
，其中 i
为虚数单位，则在复平面内复数
z
对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．设 a 0.50.4 ， b log0.4 0.3 ， c log8 0.4 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的）
1．已知集合 A {x | x2 2x 3 0} ， B {x | x 2} ，则 A B
A．{x| 3 x 1}
20．（12 分）
已知 a R 且 a 0 ，函数 f (x) axex ， g(x) x ln x 1 ，其中 e 为自然对数的底数．
（1）试讨论函数 f (x) 的单调性； （2）若对任意的 x 0 ， f (x) g(x) 恒成立，求 a 的取值范围．
21．（12 分）
已知椭圆
A． a b c
B． c b a
C． c a b
4．设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S5