2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算-精编
2019年北京中考数学试题及答案
2019年北京中考数学试题及答案2019年北京中考数学试题及答案如下：一、选择题（每题2分，共8分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.5B. √2C. 0.33333…D. 3.14答案：B2. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. -5B. 5C. 0D. 10答案：B3. 一个等腰三角形的底角为45°，那么顶角的度数是：A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°答案：C4. 一个二次函数的图象开口向上，且经过点（1，0），（3，0），则该二次函数的解析式为：A. y = (x-1)(x-3)B. y = (x+1)(x+3)C. y = (x-1)(x-3) + 1D. y = (x+1)(x+3) + 1答案：A二、填空题（每题3分，共24分）5. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。
答案：±56. 一个数的立方是-8，这个数是______。
答案：-27. 一个等腰三角形的周长是30cm，底边长是8cm，那么腰长是______。
答案：11cm8. 一个二次函数的顶点坐标是（2，-1），且经过点（0，3），则该二次函数的解析式为y = a(x-2)^2 - 1，其中a的值为______。
答案：19. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么斜边长为______。
答案：510. 一个圆的半径是5cm，那么它的周长是______。
答案：10π cm11. 一个扇形的圆心角是60°，半径是4cm，那么它的面积是______。
答案：4π cm^212. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项的值是______。
答案：17三、解答题（共78分）13. （本题满分8分）已知一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形的面积。
解：首先，我们可以利用勾股定理求出底边上的高。
设高为h，则有：h^2 + (10/2)^2 = 13^2h^2 + 25 = 169h^2 = 144h = 12cm然后，我们可以利用三角形面积公式求出面积：面积 = (底边长× 高) / 2 = (10 × 12) / 2 = 60 cm^2所以，该等腰三角形的面积是60 cm^2。
08《圆》2008~2019北京中考数学分类汇编
一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．2008~2019北京中考数学分类汇编圆3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．。
北京市2019年中考数学总复习题型突破03圆中的有关计算
解:(1)证明:连接 BE.∵AB 是直径,∴∠AEB=90° ,
∴∠CBE+∠ECB=90° ,∠EBA+∠EAB=90° . ∵点 E 是������������的中点,∴∠CBE=∠EBA, ∴∠ECB=∠EAB.∴AB=BC.
图 Z3-5
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
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解:(1)证明:连接 OC,∵射线 DC 切☉O 于点 C,∴∠OCP=90° ,
∵DE⊥AP,∴∠DEP=90° ,∴∠P+∠D=90° ,∠P+∠COB=90° ,∴∠COB=∠D, ∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∵∠COB=∠A+∠OCA,∴∠COB=2∠A,∴∠D=2∠A.
图 Z3-3
图 Z3-2
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
2.[2018· 房山一模] 如图 Z3-2,AB,BF 分别是☉O 的直径和弦,弦 CD 与 AB,BF 分别相交于点 E,G,过点 F 的切线 HF 与 DC 的延长线相交于点 H,且 HF=HG. (2)若 sin∠HGF= ,BF=3,求☉O 的半径长.
∵C,D 分别为半径 OB,弦 AB 的中点,∴CD 为△ AOB 的中位线. ∴CD∥OA.∴∠E=90° .∴AE⊥CE.
图 Z3-7
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
7.[2018· 朝阳一模] 如图 Z3-7,在☉O 中,C,D 分别为半径 OB,弦 AB 的中点,连接 CD 并延长,交过点 A 的 切线于点 E. (2)若 AE= 2,sin∠ADE= ,求☉O 半径的长.
北京市2019年中考数学试题（解析版）
北京市2019年中考数学试题（解析版）2019年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只．有．⼀个。
1. 如图所⽰，⽤量⾓器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（A） 45°（B） 55°（C） 125°（D） 135°答案：B考点：⽤量⾓器度量⾓。
解析：由⽣活知识可知这个⾓⼩于90度，排除C、D，⼜OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。
2. 神⾈⼗号飞船是我国“神⾈”系列飞船之⼀，每⼩时飞⾏约28 000公⾥。
将28 000⽤科学计数法表⽰应为（A）（B） 28（C）（D）答案：C考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表⽰形式为10na?形式，其中1||10≤<，n为整数，28000＝。
故选C。
a3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所⽰，则正确的结论是（A）a（B）（C）（D）答案：D考点：数轴，由数轴⽐较数的⼤⼩。
解析：由数轴可知，－3＜a＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，。
4. 内⾓和为540的多边形是答案：ｃ考点：多边形的内⾓和。
n-??，当n＝5时，内⾓和为540°，所以，选C。
解析：多边形的内⾓和为(2)1805. 右图是某个⼏何体的三视图，该⼏何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱答案：D考点：三视图，由三视图还原⼏何体。
解析：该三视图的俯视为三⾓形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个⼏何体是三棱柱。
6. 如果,那么代数2()b aaa a b--g的值是（A） 2 （B）-2 （C）（D）答案：A考点：分式的运算，平⽅差公式。
解析：2()b aaa a b--g＝22a b aa a b--g＝()()a b a b aa a b-+-+＝2。
7. 甲⾻⽂是我国的⼀种古代⽂字，是汉字的早期形式，下列甲⾻⽂中，不是轴对称的是答案：D考点：轴对称图形的辨别。
【精品初三数学】2019北京初三数学期末分类汇编-圆+答案
如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长 2 丰台如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长 3 海淀如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线 上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F （1）求证：PC =PF（2）连接OB ，BC ，若//OB PC，BC =3tan 4P =，求FB 的长E如图，AB 是O e 的直径，过点B 作O e 的切线BM ，点 A ，C ，D 分别为O e 的三等分点，连接AC ，AD ，DC ， 延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长 5 通州如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的 两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂 足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点 （1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长 6 燕山如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E(1) 求证：AC 平分∠DAB (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，请写出求DE 长的思路BA如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO（1）求证：AO ∥BE（2）若2=DE ，tan ∠BEODO 的长8 门头沟如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ， 交AB 于F ，»»AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E （1）求证：△ACD 是等边三角形 （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长9 大兴如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于 点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC (1) 求证：PD 是⊙O 的切线(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长ADBEM OFCA如图，点O 是Rt △ABC 的AB 边上一点，∠ACB =90°， ⊙O 与AC 相切于点D ，与边AB ，BC 分别相交于点E ，F（1）求证：DE=DF （2）当BC =3，sin A =35时，求AE 的长 11 朝阳如图，在ABE Rt ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交 AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D 连接CD （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明 （2）若12=⋅AE AC ，求⊙O 的半径CAE FOBD如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，BC DF ⊥交BC 的延 长线于点F（1）求证：FD 是⊙O 的切线 （2）若BD=8，53sin =∠DBF 求DE 的长 13 顺义已知，如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交 直线AB 于点F（1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）若ED=3，EF=5，求⊙O 的半径24. 如图，已知Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：AE ＝AF ;（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．15 石景山如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点，点F 是»AD 的中点，连接OF 并延长交CD 于点E ，连接BD ，BF ． （1）求证：BD∥OE ； （2）若OE =3tan 4C =，求⊙O 的半径．EC1昌平 （1）连接BD∵DC ⊥BE ∴∠BCD =∠DCE =90° ∴BD 是⊙O 直径 ∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC ∴∠BAC +∠CDE =90° ∵»»BC BC = ∴∠BAC =∠BDC∴∠BDC +∠CDE =90° ∴DE 是⊙O 切线（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ∴BD ⊥AC ∵BD 是⊙O 直径 ∴AF =CF∴AB =BC =8 ∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ∴BD 2=BC ·BE =80 ∴BD= 2丰台 作图正确（1）证明：连接AF∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB =90° ∵AB = AE ∴∠BAE =2∠BAF ∵BD 是⊙O 的切线 ∴∠ABD =90° ∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90° ∴∠BAF =∠EBD ∴∠BAE =2∠EBD （2）过点E 作EH ⊥BD 于H∵∠BAF =∠EBD ∴sin sin BAF EBD ∠=∠在Rt △ABF 中 ∵AB = 5∴BF =∴2BE BF == 在Rt △EBH 中 ∴sin 2EH BE EBH =⋅∠= ∴BH=4∵EH ∥AB ∴EH DH AB DB = ∴254DH DH =+，解得83DH =∴203BD BH HD =+=H3海淀（1）证明：如图，连接OC∵OE AB ⊥ ∴90EGF ∠=° ∵PC 与⊙O 相切于点C ∴=90OCP ∠° ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=° ∵OE OC = ∴E OCF ∠=∠ ∴EFG PCF ∠=∠ 又∵EFG PFC ∠=∠ ∴PCF PFC ∠=∠ ∴PC PF = （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° ∴45BCH OBC ∠=∠=° 在Rt BHC △中，BC =可得sin45BH BC =⋅°3=，cos45CH BC =⋅°3= 在Rt BHP △中，3tan 4P =可得4tan BHPH P==∴5BP == ∴7PC PH CH =+= ∴PF PC =∴2FB PF PB PC PB =-=-= 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=° ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° 在Rt OBC △中，BC = 可得sin45OB BC =⋅°3= ∴3OE OB ==∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4GBO ∠=在Rt GBO △中，tan OG GBO GB ∠=，3OB = ∴95OG =，125GB =∴65EG OE OG =-= 在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=设3CH x =，则4PH x =，5PC x = ∵PC PF = ∴FH PF PH x =-= ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠=o ∴EGF △∽CHF △ ∴13FG FH EG CH == ∴1235FG EG ==∴2FB GB FG =-=PPP方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∴1452A BOC ∠=∠=° 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH == 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x = ∴3AH CH x ==，32AC x = ∴7PA AH PH x =+= ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒ ∴PCB PAC △∽△ ∴PB PC BC PC PA AC ==∵32BC = ∴75x =，7PC =，5PB = ∵PF PC = ∴7PF = ∴2FB PF PB =-=方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ 在Rt OBC △中，32BC =，OB OC = 可得3OB =∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4MBO ∠=在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠== 可得94OM =，154BM = ∴214CM = 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==可得7PC =，354PM = ∴5PB PM BM =-=，7PF PC == ∴2FB PF PB =-=4怀柔(1)∵点A 、C 、D 为O e 的三等分点 ∴»»»AD DC AC == ∴AD=DC=AC ∵AB 是O e 的直径 ∴AB ⊥CD ∵过点B 作O e 的切线BM∴BE ⊥AB ∴//CD BM(2) 连接DB由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解G H F APCBE OABCDF M O得BE=2m ，m②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=2m ，③在Rt △OBE 中，由勾股定理得出④计算出△OB E 周长为2m 5通州 （1）连接OC∵»»CB CB = ∴2BOC BAC ∠=∠∵∠ABD =2∠BAC ∴BOC ABD ∠=∠ ∴BD ∥OC ∵CE ⊥DB ∴CE ⊥OC ∴CF 是⊙O 的切线 （2）解：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴BD ⊥AD ∵CE ⊥DB ∴AD ∥CF ∴F BAD ∠=∠ 在Rt △ABD 中 ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB = ∴6AB = ∴3OC = 在Rt △COF 中 ∴3sin 5OC F OF == ∴335OF = ∴5OF = 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G 6燕山 (1)连接OC ，∵PD 切⊙O 于点C ∴OC ⊥PC ∵AD ⊥PC 于点D ∴OC ∥AD ∴∠1＝∠3 又∵OA ＝OC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2 即AC 平分∠DAB(2) 思路一：连接CE 可证Rt △CDE ∽Rt △ACB ∴DE CEBC AB=在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，可求BC ＝4由∠1＝∠2，得EC ⌒＝BC ⌒ ∴EC ＝BC ＝4 故BC CEDE AB=g 可求 思路二：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ，可证四边形DEBF 是矩形 ∴DE ＝BF 由AB 为⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，且OC ⊥PC 可证∠BCF ＝∠3＝∠2，在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠2＝25，可求BC ＝4 在Rt △BCF 中，由BC ＝4，sin ∠BCF ＝sin ∠2＝25可求BF ＝85 ∴DE ＝BF ＝857房山）（1） 证明：连结BC∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点∴=AB AC ,平分∠OA BAC ∴OA ⊥BC ∵CE 是⊙O 的直径 ∴∠CBE =90° ∴ OA ∥BE (2)∵OA ∥BE ∴∠BEO =∠AOC ∵tan ∠BEO∴tan ∠AOC在Rt △AOC 中,设OC =r ,则AC, OA∴在Rt △CEB 中,EBr ∵BE ∥OA ∴△DBE ∽△DAO ∴DE EB DO OA =2DO =∴DO =3AA8门头沟（1）∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线 ∴ AB ⊥BM∵ CD ∥BM ∴AB ⊥CD ∴»»AD AC = ∵»»AD DC = ∴ »»»AD AC DC== ∴ AD =AC =DC ∴△ACD 是等边三角形 （2）连接BD ，如图∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° ∵∠ABD =∠C =60°∴∠DBE =30° 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD=在Rt △ADB 中，可得AB=∴ OB=在Rt △OBE 中，由勾股定理得OE=9大兴 （1）连接OD∵OD =OA ∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90° ∴∠ODA +∠ADC = 90° ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90° ∴PD ⊥OD ∵D 在⊙O 上 ∴PD 是⊙O 的切线（2） ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90° ∵CD ⊥AB 于点C∴∠DOC +∠CDO =90° ∴∠PDC =∠DOC 4tan 3PDC ∠=Q 4tan 3DOC ∴∠= 设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152∴BC=1210（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案ABEM ABEMB11朝阳12西城。
2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算
一、选择题 1．（2018北京市朝阳区一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（A ）π4125+ （B ）π4123-（C ）π2125- （D ）π4125-答案D 2．（2018北京东城区一模）如图，O e 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 答案D3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π答案：B4．（2018北京大兴第一学期期末）-在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120 答案：B5.（2018北京东城第一学期期末）A ，B 是O e 上的两点，OA =1， »AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ． 60°C ．90°D ．120° 答案：B6.（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6π B ．π C ．3πD ． 32π答案：D7.（2018北京西城区第一学期期末）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A. 48π B .24π C .4π D .2π 答案：B8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2 为A'B（A ）41312π- （B ）4912π-（C ）4136π+（D ）6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．答案：6π10.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．答案：π 11．（2018北京大兴第一学期期末）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是cm 2． 答案：36 π .12.（2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．答案：5π13.（2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案：2π314.（2018年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．答案：6OFEDCBA1OCBA15.（2018北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为米2.答案：16.（2018北京密云区初三（上）期末）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒ 17.（2018北京平谷区第一学期期末）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）．答案：4π 18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．答案：2π 19.（2018北京西城区二模）如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ． 答案：43π三、解答题20.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.OF B A答案：（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD =22OC CD +=5．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35， ∴AE=245．……………………………6分21.（2018北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．答案：20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 3000500230001000ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分OF B A22．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cosC=52时，求⊙O 的半径．解： (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线∴AE ⊥BC,∴AM ⊥OM∴AM 是⊙O 的切线…………………………………3′（2）∵AB=AC∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC,∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3 ∵cosC=52=AC EC ∴AC=25EC= 215…………………………………4′∵OM ∥ BC ，∠AOM =∠ABE ∴△AOM ∽△ABE ∴ABAOBE OM =又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=52 52=AO OM ∴AO=OM 25AB=OM 25+OB=OM 27而AB= AC= 215∴OM 27=215OM=715∴⊙O 的半径是715…………………………………6′23.（2018北京通州区一模）EO M G F ABC321O M GF AB C答案24．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O上一点，点E 是AD 的中点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于点F ．连接AE 并延长交BF 于点C ． （1）求证：AB BC =； （2）如果AB =5，1tan 2FAC ∠=，求FC 的长． 证明：（1）连接BE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°．∴∠CBE +∠ECB =90°∠EBA +∠EAB =90°． ∵点E 是AD )的中点， ∴∠CBE =∠EBA ．∴∠ECB =∠EAB ． ……1分 ∴AB =BC ． ……2分 （2）∵FA 作⊙O 的切线， ∴FA ⊥AB ． ∴∠FAC +∠EAB =90°． ∵∠EBA +∠EAB =90°，∴∠FAC =∠EBA ．∵1tan 2FAC ∠= AB =5，∴5AE 25BE = ……4分 过C 点作CH ⊥AF 于点H ， ∵AB =BC ∠AEB =90°， ∴AC =2AE=25． ∵1tan 2FAC ∠=， ∴CH =2． ……5分 ∵CH ∥AB AB =BC=5， ∴255FCFC =+． ∴FC=310．…6分25．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ． （1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．OFED CAHC DEFOA C DEFO（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值． AOB C解：（1）如图4，作BE ⊥OC 于点E ．∵ 在⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=15︒，∴ =230BOC BAC ∠∠=︒．在Rt △BOE 中，∠OEB=90︒，∠BOE=30︒，OB=r ，∴ 22OB rBE ==． ∴ 点B 到半径OC 的距离为2r．……………………………………………2分 （2）如图4，连接OA ．由BE ⊥OC ，DH ⊥OC ，可得BE ∥DH ． ∵ AD 与⊙ O 相切，切点为A ，∴ AD ⊥OA ．………………………………3分 ∴ 90OAD ∠=︒． ∵ DH ⊥OC 于点H ， ∴ 90OHD ∠=︒．∵ 在△OBC 中，OB=OC ，∠BOC=30︒，∴ 180752BOCOCB ︒-∠∠==︒．∵ ∠ACB=30︒，∴ 45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒．∵ OA=OC ，∴ 45OAC OCA ∠=∠=︒．∴ 180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒．∴ 四边形AOHD 为矩形，∠ADH=90︒．…………………………………… 4分 ∴ DH =AO=r ．∵ 2rBE =，∴ 2D BE H=． ∵ BE ∥DH ，∴ △CBE ∽△CDH ．∴ 12CB BE D DH C ==．…………………………………………………………… 5分26．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ． （1）求证：∠AEB =2∠C ；图4（2）若AB=6，3cos5B=，求DE的长．D EOACB（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°． (1)∵点E是BC边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC， (2)∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C． (3)（2）解：连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB= 6，3 cos5B=，∴BD=185． (4)在Rt△ABC中，AB=6，3 cos5B=，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5． (5)∴75DE=． (6)27．（2018北京顺义区初三练习）如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝35，求AB的长．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于点E，交BC于点F．∵AB=AC，∴»»=AB AC．∴AE⊥BC．∵AD∥BC，∴AE⊥AD．∴AD是⊙O的切线．……………2分（2）解法1：∵AD∥BC，∴∠D=∠1．D EOAC BDAOB C1FDCOAB∵sin ∠D =35， ∴sin ∠1=35． ∵AE ⊥BC ， ∴OF OB =35． ∵⊙O 的半径OB =15， ∴OF =9，BF =12． ∴AF =24．∴AB =125．……………………………………………………… 5分 3解法2：过B 作BH ⊥DA 交DA 延长线于H ．∵AE ⊥AD ，sin ∠D =35，∴OA OD =35． ∵⊙O 的半径OA =15， ∴OD =25，AD =20． ∴BD =40．∴BH =24，DH =32． ∴AH =12．∴AB =125 5分28.（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O 的半径是23D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，∴3F ∠=∠. ………………1分DEOAC H 321F DEOAC HF DCOAB∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°，∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O 的半径是23，点D 是OC 中点， ∴3OD =.在Rt ODH ∆中，cos 3ODOH∠=，∴2OH =. ………………3分∴232HE =-. 在Rt FEH ∆中，tan EH F EF∠=. ………………4分∴3623EF EH ==-. ………………5分 29．（2018北京市朝阳区一模）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路．解（1）证明：∵AB =BC ，∠A =45°，∴∠ACB =∠A =45°．∴∠ABC =90°． …………………………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线． …………………………………………………2分 （2）求解思路如下：①连接AD ，由AB 为直径可知，∠ADB =90°，进而可知∠BAD =∠CBD ；……3分②由BD =m ，tan ∠CBD =n ，在Rt △ABD 中，可求AD =mn；………………………4分 ③在Rt △ABD 中，由勾股定理可求AB 的长． ……………………………………5分 30.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的 切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．EF HBOD APCEF HBODAPC（1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分 ∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ．∴∠E ＝90º. ∴AE ⊥CE . …………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90º. ………………………………………………3分∵AE =，sin ∠ADE =31， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADEAEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵222OA AD OD =+，∴()()222323x x =+. 解得 231=x ，232-=x （舍）.∴293==x OA . ………………………………………5分即⊙O 的半径长为29.31. （2018北京门头沟区初三综合练习）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ； （2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长． （1）证明：连接OC ，∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90°∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，∴cos ∠COP =cos ∠D =35， …………………3分12E CBOD∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =OH OC =2r r -=35， ∴r =5， …………………4分 ∴OH =5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH =4，∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8．在Rt △AHC 中，∠CHA =90°，∴由勾股定理可知：AC =45．…………………5分32．（2018北京东城区一模） 如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，且点C 是»BD的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E . （1）求证：EF 是O e 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.（1）证明：连接OC .∵»»CDCB = ∴∠1=∠3. ∵OA OC =， ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥， ∴OC EF ⊥.∵ OC 是O e 的半径，∴EF 是O e 的切线. ----------------------2分 （2）∵AB 为O e 的直径， ∴∠ACB =90°.根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ ， ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB .GC DE B OAFH ∴AE ACAC AB=. ∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分 33.（2018北京怀柔区一模）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠(1)求证：BE=CE ；(2)若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE=45，求BE 的长.23.解：(1)∵BA=BC ，AO=CO, ∴BD ⊥AC.∵CE 是⊙O 的切线, ∴CE ⊥AC.∴CE ∥BD. ……………………………………1分 ∴∠ECB=∠CBD. ∵BC 平分∠DBE, ∴∠CBE=∠CBD. ∴∠ECB=∠CBE.∴BE=CE. …………………………………………2分 (2)解：作EF ⊥BC 于F. …………………………3分 ∵⊙O 的直径长8， ∴CO=4.∴sin ∠CBD= sin ∠BCE= 45=OCBC. …………………………………………………………4分 ∴BC=5，OB=3. ∵BE=CE, ∴BF=1522BC =. ∵∠BOC=∠BFE =90°，∠CBO=∠EBF, ∴△CBO ∽△EBF.∴BE BFBC OB =. ∴BE=256. ……………………………………………………………………………………5分34．（2018北京房山区一模）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若sin ∠HGF ＝43，BF ＝3，求⊙O 的半径长.DOACB第23题图FEDOAC BEDOAC B解：（1）连接OF .∵OF =OB ∴∠OFB =∠B ∵HF 是⊙O 的切线∴∠OFH =90°…………………………………………………………………1分 ∴∠HFB +∠OFB =90° ∴∠B +∠HFB =90°∵HF =HG ∴∠HFG =∠HGF又∵∠HGF =∠BGE∴∠BGE =∠HFG∴∠BGE +∠B =90°∴∠GEB =90°∴AB ⊥CD ………………………………………………………………………2分 （2）连接AF∵AB 为⊙O 直径∴∠AF B =90°…………………………………………………………………3分 ∴∠A +∠B =90° ∴∠A =∠BGE 又∵∠BGE =∠HGF∴∠A =∠HGF …………………………………………………………………4分∵sin ∠HGF =34∴sin A =34∵∠AFB =90°，BF =3 ∴ AB =4∴ O A =O B =2…………………………………………………………………5分 即⊙O 的半径为235．（2018北京丰台区一模）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ． （1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长． （1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF ＝90°.∴∠1+∠F ＝90°，∠3+∠EDF ＝90°.∴∠F ＝∠EDF .∴EF =DE . …….…….……………2分 （2）解：连接CD .∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°.GD C OE FO AB C E312E C B AO ∵DE ∥AB ，∴∠DEF ＝∠ABC . ∵cos ∠ABC =35，∴在Rt △ECD 中，cos ∠DEC =CE DE =35. 设CE =3x ，则DE =5x .由（1）可知，BE = EF =5x .∴BF =10x ，CF =2x . 在Rt △CFD 中，由勾股定理得DF =25x ． ∵半径为5，∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ，∴1041025x x x =g g ，解得5x =.∴DF =5x =5. …….…….……………5分 （其他证法或解法相应给分.）36．（2018北京西城区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G .（1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.（1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒． ∴ ．∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，图6∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC =AD，AD=2a，∴四边形AFCD为菱形．∴AF=FC=AD=2 a，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，3sin60EH CE a=⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=．∵在Rt△EFH中，∠EHF= 90︒，∴332tan52aEHEFCFH a∠===．……………………………………5分。
2019年北京市中考数学试卷和答案解析
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×1032．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．15．（2分）（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD6．（2分）（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．37．（2分）（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 时间t人数学生类型性别男7 31 25 30 4女8 29 26 32 8 学段初中25 36 44 11高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2019•北京）分式的值为0，则x的值是．10．（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为．14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12s02（填“＞”，“＝”或”＜”）16．（2分）（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）（2019•北京）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．18．（5分）（2019•北京）解不等式组：19．（5分）（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m 的值及此时方程的根．20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G＝，求AO 的长．21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．24．（6分）（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．28．（7分）（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【考点】数轴．【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；∵∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝20°，∴∠OCD＝∠OCM＝80°，∴∠MCD＝160°，又∠CMN＝∠AON＝20°，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．6．（2分）（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】分式的化简求值．【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n ）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．7．（2分）（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题与定理．【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；③若a＞b ，＜，则ab＞0，真命题；∴组成真命题的个数为3个；故选：D．8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 时间t人数学生类型性别男7 31 25 30 4女8 29 26 32 8 学段初中25 36 44 11高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数．【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间，正确；③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间，正确；④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间，错误．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2019•北京）分式的值为0，则x的值是 1 ．【考点】63：分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．10．（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）【考点】三角形的面积．【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②．（写出所有正确答案的序号）【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45 °（点A，B，P是网格线交点）．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为0 ．【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B 关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，﹣b）∵点B在双曲线y＝上，∴k2＝﹣ab；∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12 ．【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．【解答】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；故答案为：12．15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12＝s02（填“＞”，“＝”或”＜”）【考点】算术平均数；方差．【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12＝S02．故答案为＝．16．（2分）（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）（2019•北京）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．18．（5分）（2019•北京）解不等式组：【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为x＜2．19．（5分）（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m 的值及此时方程的根．【考点】根的判别式．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G＝，求AO 的长．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tan G＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO＝＝，∴OA＝OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17 ；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8 万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是①②．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．【考点】近似数和有效数字；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD；（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为4，5，6 ；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为23 首．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④﹣③得，3x2≤28，∴x2≤，∴x1+x2+x3+x4≤+14＝，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．24．（6分）（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 1.59（答案不唯一）cm．【考点】动点问题的函数图象．【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD 为自变量，即可求解；（2）描点画出如图图象；（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；。
2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算-推荐
2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算一、选择题1．（2018北京市朝阳区一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ， 则图中阴影部分的面积为（A ）π4125+ （B ）π4123-（C ）π2125- （D ）π4125-答案D2．（2018北京东城区一模）如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 答案D3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π答案：B4．（2018北京大兴第一学期期末）-在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为 A. ︒10 B. ︒60 C. ︒90 D. ︒120 答案：B5.（2018北京东城第一学期期末）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ． 60°C ．90°D ．120° 答案：B6.（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6π B ．π C ．3πD ． 32π答案：D7.（2018北京西城区第一学期期末）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A. 48π B.24π C.4π D.2π答案：B8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交BAB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2为（A ）41312π- （B ）4912π-（C ）4136π+（D ）6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．答案：6π10.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．答案：π11．（2018北京大兴第一学期期末）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是cm 2． 答案：36 π .12.（2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．答案：5π13.（2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案：2π3FCBA14.（2018年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．答案：615.（2018北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.答案：16.（2018北京密云区初三（上）期末）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒17.（2018北京平谷区第一学期期末）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）． 答案：4π18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．答案：2π19.（2018北京西城区二模）如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ． 答案：43π三、解答题20.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.答案：（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35， ∴AE=245．……………………………6分21.（2018北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ， ∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．答案：20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 3000500230001000ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分22．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 错误！未找到引用源。
2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算.doc
12019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算一、选择题 1．（2018北京市朝阳区一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（A ）π4125+ （B ）π4123-（C ）π2125- （D ）π4125-答案D 2．（2018北京东城区一模）如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 答案D3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π答案：B4．（2018北京大兴第一学期期末）-在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为 A. ︒10 B. ︒60 C. ︒90 D. ︒120 答案：B5.（2018北京东城第一学期期末）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ． 60°C ．90°D ．120°答案：B6.（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6π B ．π C ．3πD ． 32π答案：D7.（2018北京西城区第一学期期末）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A. 48π B .24π C .4π D .2π 答案：B8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2 为B2（A ）41312π- （B ）4912π-（C ）4136π+（D ）6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．答案：6π10.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．答案：π 11．（2018北京大兴第一学期期末）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是cm 2． 答案：36 π .12.（2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．答案：5π13.（2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案：2π314.（2018年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．答案：6FCBA315.（2018北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.答案：16.（2018北京密云区初三（上）期末）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒ 17.（2018北京平谷区第一学期期末）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）． 答案：4π18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．答案：2π 19.（2018北京西城区二模）如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ． 答案：43π三、解答题20.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.4答案：（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35， ∴AE=245．……………………………6分21.（2018北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．答案：20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 30005002300010ππ+⨯=+…………………4分5=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分22．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 错误！未找到引用源。
2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算
4一、选择题 1 . （2018北京市朝阳区一模） 则图中阴影部分的面积为 5 1 —+— H 2 4 5 1 -—Ji2 2 如图, 正方形ABCD 的边长为2,以BC 为直径的半圆与对角线 AC 相交于点E,(A ) (B ) (C ) (D ) 3 2 5 21 --H 4i 1 -—n :4 答案D 2. （2018北京东城区一模）如图, L O 是等边△ ABC 的外接圆，其半径为 3.图中阴影部分的面积是A . n C. 2n D . 3n 答案D 3、（ 2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△AB=AC=4,以点C 为中心，把厶ABC 逆时针旋转45 部分的面积为 （A ） 2 (C) 4 aABC 中， ,得到△ A ' B',C/ BAC=90°, 则图中阴影(D) 4 n (B) 2 n 答案：B 4. （2018北京大兴第一学期期末） A 10B. 60 答案：B -在半径为12cm 的圆中，长为4二cm 的弧所对的圆心角的度数为C. 90D. 1205. （2018北京东城第一学期期末） A , B 是L O 上的两点,1OA=1, AB 的长是一n ,则/ AOB 的度数是3A . 30 答案：B B . 60 ° C. 90 ° D . 120 ° 6（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是 JiA .6 答案：D 7. （ 2018北京西城区第一学期期末）圆心角为 A. 48 n B. 24 n C. 4 n 答案：B 8. （ 2018北京朝阳区二模）如图，矩形 ABCD 径作弧交AB 于点 为兀 C.— 3 1 ,圆心角是120 °则这个扇形的弧长是 60，且半径为12的扇形的面积等于（ D. 2n 中，AB = 4, BC = 3, F 是AB 中点，以点 E ,以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ,则图中阴影部分面积的差A 为圆心, AD 为半S 1-S 2(A) 12 13■：(B) (C ) 124 6空（D） 6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB是o O的直径，C是o O上一点，OA = 6,.B=30，则图中阴影部分的面积为________________ •答案：6 n10. （2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，o O的半径为3,正六答案：n11. （2018北京大兴第一学期期末）圆心角为 ______________ 160°的扇形的半径为9cm,则这个扇形的面积是2___ cm •答案：36 n .12. （2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形. 若开口/ 1=60°,半径为，6，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ______________答案：5 n13. （2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60。
北京2019年中考圆的证明与计算
北京中考圆的证明与计算1．（2018•北京）如图，A B是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P C，P D，切点分别为C，D，连接O P，C D．（1）求证：O P⊥C D；（2）连接A D，B C，若∠D A B＝50°，∠C B A＝70°，O A＝2，求O P的长．2．（2017•北京）如图，A B是⊙O的一条弦，E是A B的中点，过点E作E C⊥O A于点C，过点B作⊙O的切线交C E的延长线于点D．（1）求证：D B＝D E；（2）若A B＝12，B D＝5，求⊙O的半径．3．（2016•北京）如图，A B为⊙O的直径，F为弦A C的中点，连接O F并延长交̂A C于点D，过点D作⊙O的切线，交B A的延长线于点E．（1）求证：A C∥D E；（2）连接C D，若O A＝A E＝a，写出求四边形A C D E面积的思路．4．（2015•北京）如图，A B是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线B M，弦C D∥B M，交A B于点F，且̂D A=̂D C，连接A C，A D，延长A D交B M于点E．（1）求证：△A C D是等边三角形；（2）连接O E，若D E＝2，求O E的长．5．（2014•北京）如图，A B是⊙O的直径，C是̂A B的中点，⊙O的切线B D交A C的延长线于点D，E是O B的中点，C E的延长线交切线B D于点F，A F交⊙O于点H，连接B H．（1）求证：A C＝C D；（2）若O B＝2，求B H的长．6．（2018•海淀区一模）如图，A B是⊙O的直径，弦E F⊥A B于点C，过点F作⊙O的切线交A B的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取B E的中点M，连接M F，请补全图形；若∠A＝30°，M F=7，求⊙O的半径．7．（2018•昌平区二模）如图，A B是⊙O的直径，弦C D⊥A B于点E，过点C的切线交A B的延长线于点F，连接D F．（1）求证：D F是⊙O的切线；（2）连接B C，若∠B C F＝30°，B F＝2，求C D的长．8．（2019•淮阴区一模）如图，A B为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是̂B D的中点，过点C作A D的垂线E F交直线A D于点E．（1）求证：E F是⊙O的切线；（2）连接B C，若A B＝5，B C＝3，求线段A E的长．9．（2018•海淀区二模）如图，A B是⊙O的直径，M是O A的中点，弦C D⊥A B于点M，过点D作D E⊥C A交C A的延长线于点E．（1）连接A D，则∠O A D＝°；（2）求证：D E与⊙O相切；（3）点F在̂B C上，∠CD F＝45°，D F交A B于点N．若D E＝3，求F N的长．10．（2018•朝阳区二模）A B为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与A B的延长线相交于点D，C A＝C D．（1）连接B C，求证：B C＝O B；（2）E是̂A B中点，连接C E，B E，若B E＝2，求C E的长．11．（2018•西城区一模）如图，⊙O的半径为r，△A B C内接于⊙O，∠B A C＝15°，∠A C B ＝30°，D为C B延长线上一点，A D与⊙O相切，切点为A．（1）求点B到半径O C的距离（用含r的式子表示）．（2）作D H⊥O C于点H，求∠A D H的度数及C BC D的值．12．（2017•西城区二模）如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与A C延长线交于点D，连接B C，O E∥B C交⊙O于点E，连接B E交A C于点H．（1）求证：B E平分∠A B C；（2）连接O D，若B H＝B D＝2，求O D的长．13．（2017•仙游县模拟）如图，A B为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交B A的延长线交于点D，过点B作B E⊥B A，交D C延长线于点E，连接O E，交⊙O于点F，交B C于点H，连接A C．（1）求证：∠E C B＝∠E B C；（2）连接B F ，C F ，若C F ＝6，s i n ∠F C B =35，求A C 的长．北京中考圆的证明与计算参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．（2018•北京）如图，A B是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P C，P D，切点分别为C，D，连接O P，C D．（1）求证：O P⊥C D；（2）连接A D，B C，若∠D A B＝50°，∠C B A＝70°，O A＝2，求O P的长．【解答】解：（1）方法1、连接O C，O D，∴O C＝O D，∵P D，P C是⊙O的切线，∵∠O D P＝∠O C P＝90°，，在R t△O D P和R t△O C P中，{O D=O CO P=O P∴R t△O D P≌R t△O C P，∴∠D O P＝∠C O P，∵O D＝O C，∴O P⊥C D；方法2、∵P D，P C是⊙O的切线，∴P D＝P C，∵O D＝O C，∴P，O在C D的中垂线上，∴O P⊥C D（2）如图，连接O D，O C，∴O A＝O D＝O C＝O B＝2，∴∠A D O ＝∠D A O ＝50°，∠B C O ＝∠C B O ＝70°，∴∠A O D ＝80°，∠B O C ＝40°，∴∠C O D ＝60°，∵O D ＝O C ，∴△C O D 是等边三角形，由（1）知，∠D O P ＝∠C O P ＝30°，在R t △O D P 中，O P =O D c o s 30°=433．2．（2017•北京）如图，A B 是⊙O 的一条弦，E 是A B 的中点，过点E 作E C ⊥O A 于点C ，过点B 作⊙O 的切线交C E 的延长线于点D ．（1）求证：D B ＝D E ；（2）若A B ＝12，B D ＝5，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵A O ＝O B ，∴∠O A B ＝∠O B A ，∵B D 是切线，∴O B ⊥B D ，∴∠O B D ＝90°，∴∠O B E +∠E B D ＝90°，∵E C ⊥O A ，∴∠C A E +∠C E A ＝90°，∵∠C E A ＝∠D E B ，∴∠E B D ＝∠B E D ，∴D B ＝D E ．（2）作D F ⊥A B 于F ，连接O E ．∵D B ＝D E ，A E ＝E B ＝6，∴E F =12B E ＝3，O E ⊥A B ，在R t △E D F 中，D E ＝B D ＝5，E F ＝3，∴D F =52-32=4，∵∠A O E +∠A ＝90°，∠D E F +∠A ＝90°，∴∠A O E ＝∠D E F ，∴s i n ∠D E F ＝s i n ∠A O E =A E A O =45，∵A E ＝6，∴A O =152．∴⊙O 的半径为152．3．（2016•北京）如图，A B 为⊙O 的直径，F 为弦A C 的中点，连接O F 并延长交̂A C于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交B A 的延长线于点E ．（1）求证：A C ∥D E ；（2）连接C D，若O A＝A E＝a，写出求四边形A C D E面积的思路．【解答】（1）证明：∵E D与⊙O相切于D，∴O D⊥D E，∵F为弦A C中点，∴O D⊥A C，∴A C∥D E．（2）解：作D M⊥O A于M，连接C D，C O，A D．首先证明四边形A C D E是平行四边形，根据S平行四边形A C D E＝A E•D M，只要求出D M即可．（方法二：证明△A D E的面积等于四边形A C D E的面积的一半）∵A C∥D E，A E＝A O，∴O F＝D F，∵A F⊥D O，∴A D＝A O，∴A D＝A O＝O D，∴△A D O是等边三角形，同理△C D O也是等边三角形，∴∠C D O＝∠D O A＝60°，A E＝C D＝A D＝A O＝D O＝a，∴A O∥C D，又A E＝C D，∴四边形A C D E是平行四边形，易知D M=3 2a，∴平行四边形A C D E面积=3 2a2．4．（2015•北京）如图，A B是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线B M，弦C D∥B M，交A B于点F ，且̂D A=̂D C，连接A C ，A D ，延长A D 交B M 于点E ．（1）求证：△A C D 是等边三角形；（2）连接O E ，若D E ＝2，求O E 的长．【解答】（1）证明：∵A B 是⊙O 的直径，B M 是⊙O 的切线，∴A B ⊥B E ，∵C D ∥B E ，∴C D ⊥A B ，∴̂A D=̂A C，∵̂D A=̂D C，∴̂A D=̂A C =̂C D，∴A D ＝A C ＝C D ，∴△A C D 是等边三角形；（2）解：连接O E ，过O 作O N ⊥A D 于N ，由（1）知，△A C D 是等边三角形，∴∠D A C ＝60°∵A D ＝A C ，C D ⊥A B ，∴∠D A B ＝30°，∴B E =12A E ，O N =12A O ，设⊙O 的半径为：r ，∴O N =12r ，A N ＝D N =32r ，∴E N ＝2+32r ，B E =12A E =3r +22，在R t △N E O 与R t △B E O 中，O E 2＝O N 2+N E 2＝O B 2+B E 2，即（r 2）2+（2+3r 2）2＝r 2+(3r +22)2，∴r ＝23，∴O E 2=(3)2+25＝28，∴O E ＝27．5．（2014•北京）如图，A B 是⊙O 的直径，C 是̂A B的中点，⊙O 的切线B D 交A C 的延长线于点D ，E 是O B 的中点，C E 的延长线交切线B D 于点F ，A F 交⊙O 于点H ，连接B H ．（1）求证：A C ＝C D ；（2）若O B ＝2，求B H 的长．【解答】（1）证明：连接O C ，∵C 是̂A B的中点，A B 是⊙O 的直径，∴C O ⊥A B ，∵B D 是⊙O 的切线，∴B D ⊥A B ，∴O C ∥B D ，∵O A ＝O B ，∴A C ＝C D ；（2）解：∵E 是O B 的中点，∴O E ＝B E ，在△C O E 和△F B E 中，{∠C E O =∠F E B O E =B E ∠C O E =∠F B E，∴△C O E ≌△F B E （A S A ），∴B F ＝C O ，∵O B ＝2，∴B F ＝2，∴A F =A B 2+B F 2=25，∵A B 是直径，∴B H ⊥A F ，∴△A B F ∽△B H F ，∴A B B H =A F B F，∴A B •B F ＝A F •B H ，∴B H =A B ⋅B F A F =4×225=455．6．（2018•海淀区一模）如图，A B是⊙O的直径，弦E F⊥A B于点C，过点F作⊙O的切线交A B的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取B E的中点M，连接M F，请补全图形；若∠A＝30°，M F=7，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接O E，O F，如图，∵E F⊥A B，A B是⊙O的直径，∴∠D O F＝∠D O E．∵∠D O E＝2∠A，∠A＝α，∴∠D O F＝2α，∵F D为⊙O的切线，∴O F⊥F D．∴∠O F D＝90°．∴∠D+∠D O F＝90°，∴∠D＝90°﹣2α；（2）连接O M，如图，∵A B为⊙O的直径，∴O为A B中点，∠A E B＝90°．∵M为B E的中点，∴O M ∥A E ，∵∠A ＝30°，∴∠M O B ＝∠A ＝30°．∵∠D O F ＝2∠A ＝60°，∴∠M O F ＝90°，设⊙O 的半径为r ，在R t △O M B 中，B M =12O B =12r ，O M =3B M =32r ，在R t △O M F 中，O M 2+O F 2＝M F 2．即（32r ）2+r 2＝（7）2，解得r ＝2，即⊙O 的半径为2．7．（2018•昌平区二模）如图，A B 是⊙O 的直径，弦C D ⊥A B 于点E ，过点C 的切线交A B 的延长线于点F ，连接D F ．（1）求证：D F 是⊙O 的切线；（2）连接B C ，若∠B C F ＝30°，B F ＝2，求C D 的长．【解答】（1）证明：连接O D ，如图，∵C F 是⊙O 的切线∴∠O C F ＝90°，∴∠O C D +∠D C F ＝90°∵直径A B ⊥弦C D ，∴C E ＝E D ，即O F 为C D 的垂直平分线∴C F ＝D F ，∴∠C D F ＝∠D C F ，∵O C ＝O D ，∴∠C D O ＝∠O C D∴∠C D O +∠C D B ＝∠O C D +∠D C F ＝90°，∴O D ⊥D F ，∴D F 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠O C F ＝90°，∠B C F ＝30°，∴∠O C B ＝60°，∵O C ＝O B ，∴△O C B 为等边三角形，∴∠C O B ＝60°，∴∠C F O ＝30°∴F O ＝2O C ＝2O B ，∴F B ＝O B ＝O C ＝2，在R t △O C E 中，∵∠C O E ＝60°，∴O E =12O C ＝1，∴C E =3O E =3，∴C D ＝2C E =23．8．（2019•淮阴区一模）如图，A B 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是̂B D的中点，过点C 作A D 的垂线E F 交直线A D 于点E ．（1）求证：E F 是⊙O 的切线；（2）连接B C ，若A B ＝5，B C ＝3，求线段A E 的长．【解答】（1）证明：连接O C ，∵O A ＝O C ，∴∠O C A ＝∠B A C ，∵点C 是̂B D的中点，∴∠E A C ＝∠B A C ，∴∠E A C ＝∠O C A ，∴O C ∥A E ，∵A E ⊥E F ，∴O C ⊥E F ，即E F 是⊙O 的切线；（2）解：∵A B 为⊙O 的直径，∴∠B C A ＝90°，∴A C =A B 2-B C 2=4，∵∠E A C ＝∠B A C ，∠A E C ＝∠A C B ＝90°，∴△A E C ∽△A C B ，∴A E A C =A C A B，∴A E =A C 2A B =165．9．（2018•海淀区二模）如图，A B 是⊙O 的直径，M 是O A 的中点，弦C D ⊥A B 于点M ，过点D 作D E ⊥C A 交C A 的延长线于点E ．（1）连接A D ，则∠O A D ＝60°；（2）求证：D E 与⊙O 相切；（3）点F 在̂B C 上，∠C D F ＝45°，D F 交A B 于点N ．若D E ＝3，求F N 的长．【解答】解：（1）如图1，连接O D ，A D∵A B 是⊙O 的直径，C D ⊥A B∴A B 垂直平分C D∵M 是O A 的中点，∴O M =12O A =12O D ∴c o s ∠D O M =O M O D =12∴∠D O M ＝60°又：O A ＝O D∴△O A D 是等边三角形∴∠O A D ＝60°故答案为：60°（2）∵C D⊥A B，A B是⊙O的直径，∴C M＝M D．∵M是O A的中点，∴A M＝M O．又∵∠A M C＝∠D M O，∴△A M C≌△O M D．∴∠A C M＝∠O D M．∴C A∥O D．∵D E⊥C A，∴∠E＝90°．∴∠O D E＝180°﹣∠E＝90°．∴D E⊥O D．∴D E与⊙O相切．（3）如图2，连接C F，C N，∵O A⊥C D于M，∴M是C D中点．∴N C＝N D．∵∠C D F＝45°，∴∠N C D＝∠N D C＝45°．∴∠C N D＝90°．∴∠C N F＝90°．由（1）可知∠A O D＝60°．∴∠A C D=12∠A O D=30°．在R t △C D E 中，∠E ＝90°，∠E C D ＝30°，D E ＝3，∴C D=D E s i n 30°=6．在R t △C N D 中，∠C N D ＝90°，∠C D N ＝45°，C D ＝6，∴C N=C D ⋅s i n 45°=32．由（1）知∠C A D ＝2∠O A D ＝120°，∴∠C F D ＝180°﹣∠C A D ＝60°．在R t △C N F 中，∠C N F ＝90°，∠C F N ＝60°，C N=32，∴F N=C N t a n 60°=6．10．（2018•朝阳区二模）A B 为⊙O 直径，C 为⊙O 上的一点，过点C 的切线与A B 的延长线相交于点D ，C A ＝C D ．（1）连接B C ，求证：B C ＝O B ；（2）E 是̂A B中点，连接C E ，B E ，若B E ＝2，求C E 的长．【解答】（1）证明：连接O C ．∵A B 为⊙O 直径，∴∠A C B ＝90°，∵C D 为⊙O 切线∴∠O C D ＝90°，∴∠A C O ＝∠D C B ＝90°﹣∠O C B ，∵C A ＝C D ，∴∠C A D ＝∠D ．∴∠C O B ＝∠C B O ．∴O C ＝B C ．∴O B ＝B C ；（2）解：连接A E ，过点B 作B F ⊥C E 于点F ．∵E 是A B 中点，∴̂A E =̂B E，∴A E ＝B E ＝2．∵A B 为⊙O 直径，∴∠A E B ＝90°．∴∠E C B ＝∠B A E ＝45°，A B=22．∴C B=12A B=2．∴C F ＝B F ＝1．∴E F =3．∴C E =1+3．11．（2018•西城区一模）如图，⊙O 的半径为r ，△A B C 内接于⊙O ，∠B A C ＝15°，∠A C B ＝30°，D 为C B 延长线上一点，A D 与⊙O 相切，切点为A ．（1）求点B 到半径O C 的距离（用含r 的式子表示）．（2）作D H ⊥O C 于点H ，求∠A D H 的度数及C B C D的值．【解答】解：（1）如图，作B E ⊥O C 于点E ．∵在⊙O 的内接△A B C 中，∠B A C ＝15°，∴∠B O C ＝2∠B A C ＝30°．在R t △B O E 中，∠O E B ＝90°，∠B O E ＝30°，O B ＝r ，∴B E =O B 2=r 2，∴点B 到半径O C 的距离为r 2．（2）连接O A ．由B E ⊥O C ，D H ⊥O C ，可得B E ∥D H ．∵A D 于⊙O 相切，切点为A ，∴A D ⊥O A ，∴∠O A D ＝90°．∵D H ⊥O C 于点H ，∴∠O H D ＝90°．∵在△O B C 中，O B ＝O C ，∠B O C ＝30°，∴∠O C B=180°-∠B O C 2=75°．∵∠A C B ＝30°，∴∠O C A ＝∠O C B ﹣∠A C B ＝45°．∵O A ＝O C ，∴∠O A C ＝∠O C A ＝45°，∴∠A O C ＝180°﹣2∠O C A ＝90°，∴四边形A O H D 为矩形，∠A D H ＝90°，∴D H ＝A O ＝r ．∵B E =r 2，∴B E =D H 2．∵B E ∥D H ，∴△C B E ∽△C D H ，∴C BC D=B ED H=12．12．（2017•西城区二模）如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与A C延长线交于点D，连接B C，O E∥B C交⊙O于点E，连接B E交A C于点H．（1）求证：B E平分∠A B C；（2）连接O D，若B H＝B D＝2，求O D的长．【解答】（1）证明：∵A B为⊙O的直径，∴∠A C B＝90°，∵O E∥B C，∴O E⊥A C，∴̂A E=̂C E，∴∠1＝∠2，∴B E平分∠A B C；（2）解：∵B D是⊙O的切线，∴∠A B D＝90°，∵∠A C B＝90°，B H＝B D＝2，∴∠C B D＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠C B D，∴∠C B D ＝30°，∠A D B ＝60°，∵∠A B D ＝90°，∴A B ＝23，O B =3，∵O D 2＝O B 2+B D 2，∴O D =7．13．（2017•仙游县模拟）如图，A B 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交B A 的延长线交于点D ，过点B 作B E ⊥B A ，交D C 延长线于点E ，连接O E ，交⊙O 于点F ，交B C 于点H ，连接A C ．（1）求证：∠E C B ＝∠E B C ；（2）连接B F ，C F ，若C F ＝6，s i n ∠F C B =35，求A C 的长．【解答】（1）证明：∵B E ⊥O B ，∴B E 是⊙O 的切线，∵E C 是⊙O 的切线，∴E C ＝E B ，∴∠E C B ＝∠E B C ．（2）解：连接C F 、C O 、A C ．∵E B ＝E C ，O C ＝O B ，∴E O ⊥B C ，∴∠C H F ＝∠C H O ＝90°，在R t △C F H 中，∵C F ＝6，s i n ∠F C H =35，∴F H ＝C F •s i n ∠F C H =185，C H =C F 2-F H 2=245，设O C ＝O F ＝x ，在R t △C O H 中，∵O C 2＝C H 2+O H 2，∴x 2＝（245）2+（x -185）2，∴x ＝5，∴O H =75，∵O H ⊥B C ，∴C H ＝H B ，∵O A ＝O B ，∴A C ＝2O H =145．。
2019北京中考数学一模——23圆专题
2019北京中考数学一模———————————————————————————————————圆专题【2019东城一模】23．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．【2019西城一模】23.如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B.点D在⊙O上，且BC=BD，连接CD交⊙O于点E.过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F.(1)求证：∠MED=∠MDE.(2)连接BE.若ME=3， MB=2.求BE的长.【2019海淀一模】22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在⊙O 的切线CM 上取一点P ，使得∠CPB =∠COA ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若CD =6，求PB 的长．【2019朝阳一模】22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点O在AB 上，BC =CD ，过点C 作⊙O 的切线，分别交AB ，AD 的延长线于点E ，F ．（1）求证：AF ⊥EF ； （2）若cos A =，BE =1，求AD 的长．AB =452019北京中考数学一模———————————————————————————————————圆专题【2019丰台一模】【2019石景山一模】22．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD于点E ，延长EB 交⊙O 于点F ，连接AC ，AF ．（1）求证：； （2）连接BC ，若⊙O 的半径为，，求BC 的长．12CE AF =5tan 2CAF Ð=【2019门头沟一模】23．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 的延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ．（1）求证：DB 平分∠PDC ；（2）如果DC = 6，，求BC 的长．【2019房山一模】22. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙O 分 别交AC ，BC 于点 D ，E ，过点B作⊙O 的切线， 交 AC 的延长线于点F ．（1）求证：∠CBF=∠CAB ； （2）若CD = 2，，求FC 的长．3tan 4P Ð=PA121tan 2CBF Ð=2019北京中考数学一模———————————————————————————————————圆专题【2019大兴一模】22. 如图，AB 为⊙O 的直径， CB 与⊙O 相切于点B ,连接AC 交⊙O 于点D . (1)求证：∠DBC =∠DAB ；(2)若点E 为AD 的中点，连接BE 交AD 于点F ,若BC =6，，求AF 的长.【2019通州一模】23． 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点E，在弦BC 上取一点F ，使AF =AE ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ． （1）求证：；（2）若CE ＝2，，求AD 的长．sin ABD Ð=B CAD Ð=Ð30B Ð=°【2019顺义一模】22．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，点P 在AB 的延长线上，且∠A=∠P=30 ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，若AB=4，求△PBC 的面积．【2019密云一模】24.如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 中点，过E 作AB 垂线与⊙O 交于C、D 两点.过点C 作⊙O 的切线CF 与DB 延长线交于点F. （1）求证：CF⊥DF （2）若OF 长.FA2019北京中考数学一模———————————————————————————————————圆专题【2019延庆一模】24.如图，是的直径，点在上，点是上一动点，且与点分别位于直径的两侧，，过点作交PB 的延长线于点Q ； （1）当点P 运动到什么位置时，CQ 恰好是⊙O 的切线？（2）若点P 与点C 关于直径AB 对称，且AB =5，求此时CQ 的长．【2019平谷一模】24．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，连接BC 交⊙O 于点D ，点E 是的中点，连接AE 交BC 于点F ． （1）求证：AC=CF ；（2）若AB =4，AC =3，求∠BAE 的正切值．AB ⊙O C ⊙O P AB C AB tan ∠CPB =43C CQ ⊥CPBABD【2019燕山一模】22．如图，Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交BD 的延长线于点E ，CE ＝BC ．(1) 求证：CE 是⊙O 的切线；(2) 若CD ＝2，BD ＝O 的半径．【2019怀柔一模】22. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是的中点. 连接AC ，过点C 作⊙O 的切线EF 交射线AD 于点E .（1）求证：AE⊥EF ； （2）连接BC . 若，AB=5，求BC 的长.ABD 165AE =F。
2019年中考数学知识点《与圆的有关计算》精选考题练习(含答案解析)
D． 19
2
8
8
【答案】B 【解析】AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S△OCA+S扇形OAB- S扇形OCD- S△ODB①,由旋转知：△OCA≌△ODB，
∴S△OCA=S△ODB,∴①式=S扇形OAB-
S扇形OCD=
90 32
360
9012
-
360
=2π，故选B.
5.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能 形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
OA 2
180
2. (2019·枣庄)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,以点 B 为圆心,AB 为半径画弧,交对角线 BD 与点 E,则图中阴
影部分的面积是(结果保留)
A.8－
B.16－2
C.8－2
D.8－ 1
2
【答案】C
【解析】在边长为 4 的正方形 ABCD 中,BD 是对角线,∴AD＝AB＝4,∠BAD＝90°,∠ABE＝45°,∴S△ABD＝
1 AD AB ＝8,S 扇形 ABE＝ 45 42 ＝8－2,故选 C.
2
360
3. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径 r＝6,高 h＝8,则圆锥的侧面积是( )
A.15
B.30
C.45
D.60
【答案】D
【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中 r＝6,h＝8,所以母线为 10,即为侧面扇形的半径,底面周长
A. 1
B.
C.2
2
D.3
【答案】C 【解析】连接 OA,OB,过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 E,由题可知 OD＝DE＝ 1 OE＝ 1 OA,在 Rt△AOD 中,sinA＝
北京市各区2019届中考数学一模试卷精选汇编圆简答题专题
圆简答题专题东城区23．如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且点C是BD的中点.过点C作AD的垂线EF交直线AD 于点E.（1）求证：EF是O的切线；（2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长.23. （1）证明：连接OC.∵CD CB=∴∠1=∠3.∵OA OC=，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC∥.∵AE EF⊥，∴OC EF⊥.∵OC是O的半径，∴EF是O的切线. ----------------------2分（2）∵AB为O的直径，∴∠ACB=90°.根据勾股定理，由AB=5,BC=3,可求得AC=4.∵AE EF⊥，∴∠AEC=90°.∴△AEC∽△ACB.∴AE AC AC AB=.∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分 西城区24．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ．（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）． （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值． AB C【解析】（1）如图4，作BE OC ⊥于点E ． ∵在⊙O 的内接ABC △中，15BAC ∠=︒， ∴230BOC BAC ∠=∠=︒．在Rt BOE △中，90OEB ∠=︒，30BOE ∠=︒，OB r =， ∴22OB rBE ==， ∴点B 到半径OC 的距离为2r． （2）如图4，连接OA ．由BE OC ⊥，DH OC ⊥，可得BE DH ∥． ∵AD 于⊙O 相切，切点为A ， ∴AD OA ⊥， ∴90OAD ∠=︒． ∵DH OC ⊥于点H ， ∴90OHD ∠=︒．∵在OBC △中，OB OC =，30BOC ∠=︒，∴180752BOCOCB ︒-∠∠==︒．∵30ACB ∠=︒，∴45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒． ∵OA OC =，∴45OAC OCE ∠=∠=︒， ∴180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒， ∴四边形AOHD 为矩形，90ADH ∠=︒， ∴DH AO r ==． ∵2r BE =， ∴2DHBE =． ∵BE DH ∥， ∴CBE CDH ∽△△， ∴12CB BE CD DH ==． 图4CB A海淀区23．如图，AB 是O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作O 的切线交AB 的延长线于点D . （1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A∠=︒，MF ，求O 的半径.DA23．解：（1）连接OE ，OF ．∵EF AB ⊥，AB 是O 的直径， ∴DOF DOE =∠∠． ∵2DOE A =∠∠，A α=∠，∴2DOF α=∠． ………………1分 ∵FD 为O 的切线， ∴OF FD ⊥. ∴90OFD ︒=∠.∴+90D DOF ︒=∠∠.902D α∴∠=︒-． ………………2分（2）图形如图所示.连接OM .∵AB 为O 的直径，∴O 为AB 中点， 90AEB ∠=︒． ∵M 为BE 的中点， ∴OM AE ∥，1=2OM AE . ………………3分 ∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒． ∵260DOF A ∠=∠=︒ ，∴90MOF ∠=︒. ………………4分∴222+OM OF MF =． 设O 的半径为r ． ∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，∴cos30AE AB ︒=⋅=.DADA∴OM ．………………5分 ∵FM∴222)+r =. 解得=2r ．（舍去负根）∴O 的半径为2． ………………6分 丰台区23．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ． （1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长．23．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF ＝90°. ∴∠1+∠F ＝90°，∠3+∠EDF ＝90°.∴∠F ＝∠EDF .∴EF =DE . …….…….……………2分 （2）解：连接CD .∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°. ∵DE ∥AB ，∴∠DEF ＝∠ABC . ∵cos ∠ABC =35，∴在Rt △ECD 中，cos ∠DEC =CE DE =35. 设CE =3x ，则DE =5x .由（1）可知，BE = EF =5x .∴BF =10x ，CF =2x .在Rt △CFD 中，由勾股定理得DF =． ∵半径为5，∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ，∴1041025x x x=，解得x =.∴DF ==5. …….…….……………5分（其他证法或解法相应给分.） 石景山区23．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ． （1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O 的半径是，点D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．23．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°， ∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O 的半径是D 是OC 中点，∴OD = 在Rt ODH ∆中，cos 3OD OH∠=，∴2OH =. ………………3分∴2HE =. 在Rt FEH ∆中，tan EH F EF∠=. ………………4分∴6EF ==-………………5分 朝阳区23. 如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的 切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．23. （1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分 ∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90º.∴AE ⊥CE . …………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90º. ……………………………………………………3分 ∵AE =，sin ∠ADE =31，在Rt △AED 中，23sin =∠=ADEAEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .…………………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ，∵222OA AD OD =+， ∴()()222323x x =+.解得 231=x ，232-=x （舍）. ∴293==x OA . ……………………………………………5分 即⊙O 的半径长为29. 燕山区25．如图，在△ABC 中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线 （2）当BE =3，cosC=52时，求⊙O 的半径．25.解： (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线∴AE ⊥BC,∴AM ⊥OM∴AM 是⊙O 的切线…………………………………3′ （2）∵AB=AC∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC, ∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3 ∵cosC=52=ACEC ∴AC=25EC= 215…………………………………4′ ∵OM ∥ BC ，∠AOM =∠ABE ∴△AOM ∽△ABE ∴ABAOBE OM = 又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=5252=AO OM ∴AO=OM 25AB=OM 25+OB=OM 27而AB= AC= 215门头沟区23. 如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长．（1）证明：连接OC ，∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90° ∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°∴∠COB =∠D …………………1分ABCDEO∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，∴cos ∠COP =cos ∠D =35， …………………3分 ∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =OH OC =2r r-=35，∴r =5， …………………4分 ∴OH =5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH =4，∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8．在Rt △AHC 中，∠CHA =90°，∴由勾股定理可知：AC=…………………5分 大兴区23.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D,且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明； （2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．23. （1）AB 与⊙O 的位置关系是相切证明：如图，连接OC ． OA OB =，C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥．∴AB 是⊙O 的切线． ······················· 2分 （2）ED 是直径，90ECD ∴∠=．∴90E ODC ∠+∠=．又90BCD OCD ∠+∠=，OCD ODC ∠=∠， ∴BCD E ∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠， ∴BCD BEC △∽△．BC BDBE BC∴=． ∴2BC BD BE =⋅． ························ 3分1tan 2E ∠=， ∴12CD EC =． BCD BEC △∽△，∴12BD CD BC EC ==．························· 4分 设BD x =，则2BC x =． 又2BC BD BE =⋅， ∴2(2)(6)x x x =+． 解得10x =，22x =．0BD x =>，∴2BD =．235OA OB BD OD ∴==+=+=． ·················· 5分平谷区24．如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEB =2∠C ； （2）若AB =6，3cos 5B =，求DE 的长．24．（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线，∴∠BAC =90°． ······················ 1 ∵点E 是BC 边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC， (2)∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C． (3)（2）解：连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB= 6，3 cos5B=，∴BD=185． (4)在Rt△ABC中，AB=6，3 cos5B=，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5． (5)∴75DE=． (6)怀柔区23.如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O内一点，且BA=BC，连结BO并延长线交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线CE，且BC平分∠DBE.(1)求证：BE=CE；(2)若⊙O的直径长8，sin∠BCE=45，求BE的长.23.(1)∵BA=BC，AO=CO, ∴BD⊥AC.∵CE是⊙O的切线, ∴CE⊥AC.E∴CE∥BD. ……………………………………1分∴∠ECB=∠CBD.∵BC平分∠DBE,∴∠CBE=∠CBD.∴∠ECB=∠CBE.∴BE=CE. …………………………………………2分(2)解：作EF⊥BC于F. …………………………3分∵⊙O 的直径长8，∴CO=4.∴sin∠CBD= sin∠BCE= 45=OCBC. …………………………………………………………4分∴BC=5，OB=3. ∵BE=CE,∴BF=15 22 BC=.∵∠BOC=∠BFE=90°，∠CBO=∠EBF, ∴△CBO∽△EBF.∴BE BF BC OB=.∴BE=256. ……………………………………………………………………………………5分延庆区23．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是弧AD的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．（1）求证：AB BC=；（2）如果AB=5，1tan2FAC∠=，求FC的长．23．证明：（1）连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°．∴∠CBE+∠ECB=90°∠EBA+∠EAB=90°．∵点E是AD的中点，∴∠CBE =∠EBA．∴∠ECB =∠EAB．……1分∴AB=BC．……2分（2）∵FA作⊙O的切线，∴FA⊥AB．∴∠FAC+∠EAB=90°．∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠FAC=∠EBA．∵1tan2FAC∠=AB=5，∴AE=BE=……4分过C点作CH⊥AF于点H，∵AB=BC∠AEB=90°，∴AC=2AE=25．∵1 tan2FAC∠=，∴CH=2．……5分∵CH∥AB AB=BC=5，∴255FCFC=+．∴FC=310．…6分顺义区24．如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝35，求AB的长．A BCDEFOHA BCDEFO24．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于点E，交BC于点F．∵AB=AC，∴AB AC．∴AE⊥BC．∵AD∥BC，∴AE⊥AD．∴AD是⊙O的切线．…………… 2分（2）解法1：∵AD∥BC，∴∠D=∠1．∵sin∠D=35，∴sin∠1=35．∵AE⊥BC，∴OFOB=35．∵⊙O的半径OB=15，∴OF=9，BF=12．∴AF=24．∴AB= 5分3解法2：过B作BH⊥DA交DA延长线于H．∵AE⊥AD，sin∠D=35，∴OAOD=35．∵⊙O的半径OA=15，∴OD=25，AD=20．∴BD=40．∴BH=24，DH=32．∴AH=12．∴AB= 5分。
北京市2019年中考数学复习圆课时训练(三十)与圆有关的计算
精品文档，欢迎下载如果你喜欢这份文档，欢迎下载，另祝您成绩进步，学习愉快！课时训练(三十) 与圆有关的计算(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2018·东城期末]A,B是☉O上的两点,OA=1,的长是π,则∠AOB的度数是()A.30°B.60°C.90°D.120°2.如图K30-1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=2,将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,则点B 转过的路径长为()图K30-1A. B. C. D.π3.如图K30-2,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心,以AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为()图K30-2A.6B.7C.8D.94.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是()A.3B.9C.18D.365.[2018·丰台期末]半径为2的圆中,60°的圆心角所对的弧的弧长为.6.[2018·海淀期末]若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为.7.[2018·密云期末]扇形半径为3 cm,弧长为π cm,则扇形圆心角的度数为.8.[2018·石景山期末]如图K30-3,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3 cm.若点C,D是的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是cm2.图K30-39.[2018·顺义初三上学期期末]制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再备料.图K30-4是一段管道,其中直管道部分AB的长为3000 mm,弯形管道部分BC,CD弧的半径都是1000 mm,∠O=∠O'=90°,计算图中中心虚线的长度.(π取3.14)图K30-4|拓展提升|10.[2018·朝阳一模]如图K30-5,正方形ABCD的边长为2,以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E,则图中阴影部分的面积为()图K30-5A.+πB.-πC.-πD.-π11.[2018·朝阳二模]如图K30-6,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,F是AB中点,以点A为圆心,AD长为半径作弧交AB于点E,以点B为圆心,BF长为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差S1-S2为()图K30-6A.12-B.12-C.6+D.6参考答案1.B2.B3.D4.C5.π6.67.60°8.9.解:的长=的长===500π.中心虚线的长度为3000+500π×2=3000+1000π=3000+1000×3.14=6140(mm).10.D11.A。
2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算-推荐
-在半彳空为12cm 的圆中，长为4兀cm 的弧所对的圆心角的度数为 C.90D.1201............ .A, B 是。
上的两点，OA =1, AB 的长是一冗，则/ AOB 勺度数是3C .90°D , 120°答案：B6. （2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是 1,圆心角是120。
，则这个扇形的弧长是（2 二A. — B . 冗 C . — D .答案：D7. （2018北京西城区第一学期期末）圆心角为 60°,且半径为12的扇形的面积等于（）答案：B2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算如图，正方形ABCD 勺边长为2,以BC 为直径的半圆与对角线 AC 相交于点E,5 1 3 1(A) 2 +—n 4 (B) ---H2 4 5 15 1 (C) 2 —H 2 (D) --n2 4一、选择题 1. （2018北京市朝阳区一模） 则图中阴影部分的面积为 答案D 2. （2018北京东城区一模）如图, |_0是等边△ ABC 勺外接圆，其半径为3.图中阴影部分的面积是A.兀 B . 3JSC . 2兀 D答案D 3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在4 ABC 中, ZBA （=90 , AB=AC=4,以点C 为中心，把^ ABC 逆时针旋转45° ,得到△ A B' C ,则图中阴影部分的面 积为 (A)2(B) 2 T t (C) 4 (D) 4 T tA. 48冗B. 24冗C. 4冗D. 2冗 答案：B4. （2018北京大兴第一学期期末）A. 10° B. 60°答案：B5. （2018北京东城第一学期期末）8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABC由，AB= 4, BO 3, F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB 于点E,以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G,则图中阴影部分面积的差 S-Sa 为答案：冗11. （2018北京大兴第一学期期末）圆心角为 160。
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2019北京中考数学 专题训练 第6讲 圆一、选填题【2018·昌平二模】1.如图，在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ．【2018·朝阳二模】2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在圆O 上，弧BD =弧CD ，AB=10，AC =6，连接OD 交BC 于点E ，DE = ．【答案】2【2018·房山二模】3. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC =5，CD =8，则AE = .【答案】2 ;【2018·海淀二模】4．如图，圆O 的弦GH ，EF ，CD ，AB 中最短的是 A . GH B. EF C.CD D. ABCB【答案】A【2018·石景山二模】5．如图，⊙O 的半径为2，切线AB的长为点P 是⊙O 上的动点，则AP 的长的取值范围是__________．【答案】26AP ≤≤．【2018·西城二模】6. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．【答案】54【2018·东城二模】7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.【答案】2E D【2018·海淀二模】8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】6π【2018·西城二模】9. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．【答案】π34【2018·朝阳二模】10.⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】D【2018·东城二模】11. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O e 内，则O e 的半径r 的取值范围是A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞5 【答案】D 二、解答题【2018·昌平二模】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥ 于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，若BCF ∠=30°，2BF =，求CD 的长．BA【答案】（1）证明：连接OD ∵CF 是⊙O 的切线∴∠OCF=90°………………………………………1分 ∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB ⊥弦CD 错误！未定义书签。
2019年北京中考数学习题精选：圆的基本性质(含答案)
一、选择题1.（2018北京朝阳区二模）5.⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 答案:D2．（2018北京市朝阳区一模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，若∠ADE =110°，则∠AOC 的度数是（A ）70° （B ）110° （C ）140° （D ）160°答案C 3．（2018北京顺义区初三练习）如图所示圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2cm ，若铁尖的端点A 固定，铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径．．是 A ．1 cm B ．2 cm C ．4 cm D ． cm 答案：C4.（2018北京海淀区二模）如图，圆O 的弦GH ，EF ，CD ，AB 中最短的是A . GH B. EF C. CDD. AB答案：A5.（2018北京房山区一模）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 直径，B 为圆上一点，若∠OBC =26°，则∠AOB 的度数为A ．26°B ．52°C ．54°D ．56°答案B6．（2018北京市大兴区检测）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=6，则CD 的长为 Ａ．3Ｂ．Ｃ．6Ｄ．答案D7.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为A ．40°B ．30°C ．80°D ．100°答案：D8.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB =14，BC =7.则∠BDC 的度数是 (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°9.（2018北京大兴第一学期期末）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ， 则APB ∠的度数为A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50答案：C10.（2018北京东城第一学期期末）边长为2的正方形内接于M ，则M 的半径是A ．1B ．2CD ．答案：C11.（2018北京房山区第一学期检测）7．如图，在⊙O 中，AB AC =，∠AOB=50°，则∠ADC 的度数是A ．50°B ．45°C ．30°D ．25°答案：D12.（2018北京丰台区第一学期期末）如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如A果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°答案：D13.（2018北京怀柔区第一学期期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ） A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒答案：B14.（2018北京怀柔区第一学期期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.A ．2B ．23分米答案：B15.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷） 如图，DCE∠是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果75DCE ∠=︒，那么BAD ∠的度数是A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 答案：B16.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为A. 20︒B. 40︒C. 80︒D. 90︒答案：B17.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C 的度数是（A ）100° （B ）80° （C ）50° （D ）40°答案：C 18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ，则B O D ∠的度数为（A ）︒100（B ）︒120（C ）︒130（D ）︒150答案：C19.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（A ）32 （B ）34（C ）52（D ）54答案：B20.（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8， 则圆心O 到AB 的距离为A 5B ．5C ．27D ．10答案：B 21.（2018北京通州区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则B C D ∠的度数为（ ）BABA ．︒25B ．︒30C ．︒35D ．︒40 答案：C22.（2018北京通州区第一学期期末）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ）A. 3B. 32C. 6D. 34 答案：D 23.（2018北京西城区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°答案：C24.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）如图，圆心角 ∠AOB=25°，将 AB 旋转 n °得到 CD ，则∠ COD 等于A ． 25°B ． 25°+ n °C ． 50°D ． 50°+ n °答案： A.二、填空题25.（2018北京房山区二模）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB E ，连结OC ，若OC =5，CD =8，则AE = .答案：226.（2018北京东城区二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.答案： 227.. （2018北京西城区二模）如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．答案：5428.（2018北京朝阳区二模）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O的直径，点D 在圆O 上，弧BD =弧CD ，AB=10，AC =6，连接OD 交BC 于点E ，DE = ．答案：229.（2018北京昌平区二模）如图，在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ．答案：330.．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，AB 是⊙O 的弦，∠AOC =42°，那么∠CDB的度数为____________．答案：21°31.．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=︒，AD OC ∥，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，CD ，那么ACD ∠=__________．DCC答案：4032.（2018北京市朝阳区综合练习（一）） 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD = 度.答案15第13题图33. （2018北京门头沟区初三综合练习）如图，PC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点P ，AO 交⊙O 于点B ；连接BC ，若∠C =32°，则∠A =_____________ °． 答案26°34．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，AB 是⊙OAB ⊥弦CD 于点E ，若AB =10，CD =8，则BE = ． 答案235．（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，C D A ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．C答案：236．（2018北京丰台区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB 的长是 ．答案837.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 .答案：338.（2018北京大兴第一学期期末）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．答案： 3.39.（2018北京东城第一学期期末）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交O 于点D .若CD =1，AB =4,则O 的半径是.答案： 2.540.（2018北京东城第一学期期末）O 是四边形ABCD 的外接圆,AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是 .①AB =AD ; ②BC =CD ; ③AB AD =; ④∠BCA =∠DCA ; ⑤BC CD =A B答案：②⑤41.（2018北京房山区第一学期检测）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是．答案：842.（2018北京丰台区第一学期期末）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为.答案：143.（2018北京丰台区第一学期期末）在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为.答案：（2，0）44.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC=那么⊙O的半径为________.答案：245.（2018北京平谷区第一学期期末）13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是 （结果不取近似值）．答案：221312322⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭46.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．答案：3547.（2018北京通州区第一学期期末）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为______________.答案：45°或135°48.（2018北京西城区第一学期期末）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .答案：249.（2018北京西城区第一学期期末）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .答案：150.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ，垂足分别为 M 、N ．如果 MN=2.5，那么 BC=答案： 551.（2018北京丰台区二模）数学课上，老师提出如下问题：△ABC 是⊙O 的内接三角形，OD ⊥BC 于点D .请借助直尺，画出△ABC 中∠BAC 的平分线. 晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长OD 交»BC于点M ； （2）连接AM 交BC 于点N.所以线段AN 为所求△ABC 中∠BAC 的平分线.请回答：晓龙同学画图的依据是 .答案：垂径定理，等弧所对的圆周角相等52.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿 顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于 点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是 °答案 ：120° 三、解答题53．（2018北京海淀区第二学期练习）如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D .（1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）； 30A ∠=︒，（2）取的中点M ，连接MF ，请补全图形；若MF =，求⊙O 的半径.解：（1）连接OE ，OF ．∵EF AB ⊥，AB 是O 的直径， ∴DOF DOE =∠∠．∵2DOE A =∠∠，A α=∠，∴2DOF α=∠． ………………1分 ∵FD 为O 的切线， ∴OF FD ⊥.∴90OFD ︒=∠.∴+90D DOF ︒=∠∠. 902D α∴∠=︒-． ………………2分（2）图形如图所示.连接OM .∵AB 为O 的直径，∴O 为AB 中点， 90AEB ∠=︒． ∵M 为BE 的中点，DADADACA ∴OM AE ∥，1=2OM AE . ………………3分 ∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒． ∵260DOF A ∠=∠=︒ ，∴90MOF ∠=︒. ………………4分∴222+OM OF MF =． 设O 的半径为r ．∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，∴cos30AE AB ︒=⋅=.∴OM ．………………5分 ∵FM∴222)+r =. 解得=2r ．（舍去负根） ∴O 的半径为2．54.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，BC ． （1）求证：A BCD ∠=∠； （2）若AB =10，CD =8，求BE 的长．答案：（1）证明：∵ 直径AB ⊥弦CD ，∴弧BC =弧BD . …………………… 1分∴A BCD ∠=∠.…………………… 2分（2）解：连接OC∵ 直径AB ⊥弦CD ，CD =8， ∴CE =ED =4. …………………… 3分∵ 直径AB =10，∴CO =OB =5.在Rt △COE 中3OE ==…………………… 4分∴2BE =.…………………… 5分55.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，对角线AC 是⊙O 的直径，AB=2， ∠ADB ＝45°. 求⊙O 半径的长. 答案：18．解：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°. ………………分∵∠ADB ＝45°， ∴∠ACB =∠ADB ＝45°. ∵AB=2，∴B C =A B =2. ………………………………………………3分∴2222=+=BC AB AC .…………………………………………………………4分∴⊙O 半径的长为2. ………………………………………………………………5分A56.（2018北京大兴第一学期期末）已知： 如图，⊙O 的直径AB 的长为5cm ，C 为⊙O 上的一个点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求BD 的长．答案：21. 解：∵ AB 为直径，∴ ∠ADB =90°， ……………………………… 1分 ∵ CD 平分∠ACB ， ∴ ∠ACD =∠BCD ，∴ AD⌒ =BD ⌒ ．………………………………… 2分 ∴ AD =BD ……………………………………… 3分 在等腰直角三角形ADB 中， BD =AB sin45°=5× 2 2 =52 2 ……………… 5分∴ BD =522 . 57.（2018北京大兴第一学期期末）已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H. （1）求证：∠BCG=∠E BG ； （2）若55sin =∠CAB ，求GB EC的值.答案： 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB =90°.………………………………………………..1分 ∵CG ⊥AB 于点G ， ∴∠ACB=∠ CGB =90°.∴∠CAB =∠BCG . .………………………………………………..2分 ∵CE ∥AB ， ∴∠CAB =∠ACE . ∴∠BCG =∠ACE 又∵∠ACE =∠EBG∴∠BCG =∠EBG . .………………………………………………..3分 （2）解：∵sin 5CAB ∠=∴1tan 2CAB ∠=，………………………………………………..4分由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB∴在Rt △HGB 中，1tan 2GH HBG GB ∠==.由（1）知，∠BCG =∠CABD在Rt △BCG 中，1tan 2GB BCG CG ∠==. 设GH=a ，则GB=2a ，CG=4a .CH =CG －HG =3a . ……………..6分 ∵EC ∥AB ，∴∠ECH =∠BGH ，∠CEH =∠GBH∴△ECH ∽△BGH ．……………………………………………..7分 ∴33EC CH a GB GH a ===．…………………………………………8分58.（2018北京东城第一学期期末） 已知等腰△ABC 内接于O , AB =AC ，∠BOC =100°，求△ABC 的顶角和底角的度数.解：如图1，当点A 在优弧上时， ∠A =50°，∠ABC =∠ACB =65°；--------------------3分 如图2，当点A 在劣弧上时， ∠A =130°，∠ABC =∠ACB =25°. -------------------5分59.（2018北京密云区初三（上）期末）21. 如图，AB 是O 的弦，O 的半径OD AB ⊥ 垂足为C.若AB =，CD=1 ，求O 的半径长.答案：21.解：AB 是O 的弦，O 的半径OD AB ⊥ 垂足为C，AB =∴…………………………………………………..2分 连接OA.设O 半径为r ，则222OA AC OC =+图1 图2即222(r 1)r =+- …………………………………..4分解得：2r = …………………………………………………………………5分60.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠A =15°，AB =4．求弦CD 的长．答案：解：∵∠A =15°，∴∠COB =30°． ........................................................................................................... 1 ∵AB =4，∴OC =2． ..................................................................................................................... 2 ∵弦CD ⊥AB 于E ，∴CE =12CD ． ............................................................................................................. 3 在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠COB =30°，OC =2，∴CE =1． ..................................................................................................................... 4 ∴CD =2． (5)61.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知：如图， AB 为⊙O 的直径，CE ⊥AB 于E ，BF ∥OC ，连接BC ，CF ．求证：∠OCF =∠ECB ．答案：证明： 延长CE 交⊙O 于点G ．∵AB 为⊙O 的直径，CE ⊥AB 于E ，∴BC =BG ，∴∠ G =∠2，……………………………………………..2分 ∵BF ∥OC ，∴∠1=∠F ，………………………………………………3分 又∵∠G =∠F ，………………………………………..….5分 ∴∠1=∠2．…………………………………………….…6分（其它方法对应给分）62.（2018北京通州区第一学期期末）如图，ABC △内接于⊙O .若⊙O 的半径为6，︒=∠60B ，求AC 的长．答案：63.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）如图，A B 为⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ A B 于点 E ，连 接 BC ．若 A B ＝ 6，∠ B ＝ 30°，求：弦 CD 的长。
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2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算一、选择题 1．（2018北京市朝阳区一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（A ）π4125+ （B ）π4123-（C ）π2125- （D ）π4125-答案D 2．（2018北京东城区一模）如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 答案D3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π答案：B 4．（2018北京大兴第一学期期末）-在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为 A. ︒10 B. ︒60 C. ︒90 D. ︒120 答案：B5.（2018北京东城第一学期期末）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是A ．30B ． 60°C ．90°D ．120° 答案：B6.（2018北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6π B ．π C ．3πD ． 32π答案：D7.（2018北京西城区第一学期期末）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A. 48π B.24π C.4π D.2π 答案：B8.（2018北京朝阳区二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2B为（A ）41312π- （B ）4912π-（C ）4136π+（D ）6 答案:A二、填空题9.（2018北京海淀区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．答案：6π10.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．答案：π 11．（2018北京大兴第一学期期末）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是 cm 2．答案：36 π .12.（2018北京房山区第一学期检测）如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．答案：5π13.（2018北京丰台区第一学期期末）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 答案：2π314.（2018年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．答案：6FCBA15.（2018北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.答案：16.（2018北京密云区初三（上）期末）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒17.（2018北京平谷区第一学期期末）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）． 答案：4π18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．答案：2π19.（2018北京西城区二模）如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ． 答案：43π三、解答题20.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.答案：（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=OC CD =34，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD=5．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分 ∵sin D=OC OD =AE AD =35， ∴AE=245．……………………………6分21.（2018北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ， ∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．答案：20．901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 30005002300010ππ+⨯=+…………………4分 =30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分22．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 错误！未找到引用源。
中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径．（1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cosC=52时，求⊙O 的半径．解： (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线∴AE ⊥BC,∴AM ⊥OM∴AM 是⊙O 的切线…………………………………3′（2）∵AB=AC∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC,∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3 ∵cosC=52=AC EC∴AC=25EC= 215 …………………………………4′∵OM ∥ BC ，∠AOM =∠ABE ∴△AOM ∽△ABE ∴ABAOBE OM =又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=52 52=AO OM ∴AO=OM 25AB=OM 25+OB=OM 27而AB= AC= 215 ∴OM 27=215OM=715∴⊙O 的半径是715…………………………………6′23.（2018北京通州区一模）答案24．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，点E 是AD 的中点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于点F ．连接AE 并延长交BF 于点C ． （1）求证：AB BC =； （2）如果AB =5，1tan 2FAC ∠=，求FC 的长． 证明：（1）连接BE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°．∴∠CBE +∠ECB =90°∠EBA +∠EAB =90°． ∵点E 是AD 的中点， ∴∠CBE =∠EBA ．∴∠ECB =∠EAB ． ……1分 ∴AB =BC ． ……2分 （2）∵FA 作⊙O 的切线， ∴FA ⊥AB ． ∴∠FAC +∠EAB =90°． ∵∠EBA +∠EAB =90°， ∴∠FAC =∠EBA ．AHA∵1tan 2FAC ∠= AB =5，∴AE =BE = ……4分 过C 点作CH ⊥AF 于点H ， ∵AB =BC ∠AEB =90°，∴AC =2AE=25． ∵1tan 2FAC ∠=， ∴CH =2． ……5分 ∵CH ∥AB AB =BC=5， ∴255FCFC =+． ∴FC=310．…6分25．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ． （1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）． （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值． AB C解：（1）如图4，作BE ⊥OC 于点E ．∵ 在⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=15，∴ =230BOC BAC ∠∠=︒．在Rt △BOE 中，∠OEB=90，∠BOE=30，OB=r ，∴ 22OB rBE ==． ∴ 点B 到半径OC 的距离为2r．……………………………………………2分 （2）如图4，连接OA ．由BE ⊥OC ，DH ⊥OC ，可得BE ∥DH ． ∵ AD 与⊙ O 相切，切点为A ，∴ AD ⊥OA ．………………………………3分 ∴ 90OAD ∠=︒． ∵ DH ⊥OC 于点H ， ∴ 90OHD∠=︒．∵ 在△OBC 中，OB=OC ，∠BOC=30，∴ 180752BOCOCB ︒-∠∠==︒．∵ ∠ACB=30，∴ 45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒． ∵ OA=OC ，∴ 45OAC OCA ∠=∠=︒．∴ 180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒．∴ 四边形AOHD 为矩形，∠ADH=90．…………………………………… 4分 ∴ DH =AO=r ．∵ 2rBE =，∴ 2D BE H=．∵ BE ∥DH ，∴ △CBE ∽△CDH ．∴ 12CB BE D DH C ==．…………………………………………………………… 5分26．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ． （1）求证：∠AEB =2∠C ； （2）若AB =6，3cos 5B =，求DE 的长．（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线，∴∠BAC =90°． ······················ 1 ∵点E 是BC 边的中点， ∴AE=EC ．∴∠C =∠EAC ， ······················ 2 ∵∠AEB =∠C +∠EAC ，∴∠AEB =2∠C ． (3)（2）解：连结AD ．∵AB 为直径作⊙O ， ∴∠ABD =90°． ∵AB = 6，3cos 5B =，∴BD =185． ······· 4 在Rt △ABC 中，AB =6，3cos 5B =，∴BC =10．∵点E 是BC 边的中点，∴BE =5． ········· 5 ∴75DE =． ······· 6 27．（2018北京顺义区初三练习）如图，等腰△ABC 是⊙O的内接三角形，AB =AC ，过点A 作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为15，sin ∠D ＝35，求AB 的长．（1）证明：连接AO ，并延长交⊙O 于点E ，交BC 于点F ．∵AB =AC ， ∴=AB AC ． ∴AE ⊥BC ． ∵AD ∥BC ， ∴AE ⊥AD ．∴AD 是⊙O 的切线．…………… 2分（2）解法1：∵AD ∥BC ， ∴∠D =∠1． ∵sin ∠D =35， ∴sin ∠1=35． ∵AE ⊥BC ， ∴OF OB =35． ∵⊙O 的半径OB =15， ∴OF =9，BF =12． ∴AF =24．∴AB= 5分 3解法2：过B 作BH ⊥DA 交DA 延长线于H ．∵AE ⊥AD ，sin ∠D =35，∴OA OD =35． ∵⊙O 的半径OA =15， ∴OD =25，AD =20． ∴BD =40．∴BH =24，DH =32． ∴AH =12．∴AB= 5分28.（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O的半径是，点D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°， ∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O的半径是D 是OC 中点，∴OD = 在Rt ODH ∆中，cos 3ODOH∠=，∴2OH =. ………………3分∴2HE =.在Rt FEH ∆中，tan EH F EF∠=. ………………4分∴6EF ==- ………………5分 29．（2018北京市朝阳区一模）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路．解（1）证明：∵AB =BC ，∠A =45°，∴∠ACB =∠A =45°．∴∠ABC =90°． …………………………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线． …………………………………………………2分 （2）求解思路如下：①连接AD ，由AB 为直径可知，∠ADB =90°，进而可知∠BAD =∠CBD ；……3分②由BD =m ，tan ∠CBD =n ，在Rt △ABD 中，可求AD =mn；………………………4分 ③在Rt △ABD 中，由勾股定理可求AB 的长． ……………………………………5分 30.（2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的 切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．（1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分 ∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90º.∴AE ⊥CE . …………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90º. ………………………………………………3分∵AE =，sin ∠ADE =31， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADEAEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵222OA AD OD =+，∴()()222323x x =+. 解得 231=x ，232-=x （舍）.∴293==x OA . ………………………………………5分即⊙O 的半径长为29.31. （2018北京门头沟区初三综合练习）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长．（1）证明：连接OC ，∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90°∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，∴cos ∠COP =cos ∠D =35， …………………∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =OH OC =2r r -=35， ∴r =5， …………………4分∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=…………………5分32．（2018北京东城区一模）如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且点C是BD的中点.过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E.（1）求证：EF是O的切线；（2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长.（1）证明：连接OC.∵CD CB=∴∠1=∠3.∵OA OC=，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC∥.∵AE EF⊥，∴OC EF⊥.∵OC是O的半径，∴EF是O的切线. ----------------------2分（2）∵AB为O的直径，∴∠ACB=90°.根据勾股定理，由AB=5,BC=3,可求得AC=4.∵AE EF⊥，∴∠AEC=90°.∴△AEC∽△ACB.∴AE AC AC AB=.A∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分 33.（2018北京怀柔区一模）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠(1)求证：BE=CE ；(2)若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE=45，求BE 的长. 23.解：(1)∵BA=BC ，AO=CO, ∴BD ⊥AC.∵CE 是⊙O 的切线, ∴CE ⊥AC.∴CE ∥BD.……………………………………1分 ∴∠ECB=∠CBD. ∵BC 平分∠DBE, ∴∠CBE=∠CBD. ∴∠ECB=∠CBE.∴BE=CE. …………………………………………2分 (2)解：作EF ⊥BC 于F. …………………………3分 ∵⊙O 的直径长8， ∴CO=4.∴sin ∠CBD= sin ∠BCE= 45=OC BC. …………………………………………………………4分 ∴BC=5，OB=3. ∵BE=CE, ∴BF=1522BC =. ∵∠BOC=∠BFE =90°，∠CBO=∠EBF,∴△CBO ∽△EBF.∴BE BFBC OB=. ∴BE=256. ……………………………………………………………………………………5分34．（2018北京房山区一模）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若sin ∠HGF ＝43，BF ＝3，求⊙O 的半径长.E解：（1）连接OF . ∵OF =OB ∴∠OFB =∠B ∵HF 是⊙O 的切线∴∠O F H =90°…………………………………………………………………1分 ∴∠HFB +∠OFB =90° ∴∠B +∠HFB =90° ∵HF =HG ∴∠HFG =∠HGF 又∵∠HGF =∠BGE ∴∠BGE =∠HFG ∴∠BGE +∠B =90° ∴∠GEB =90°∴A B ⊥C D ………………………………………………………………………2分 （2）连接AF ∵AB 为⊙O 直径∴∠A F B =90°…………………………………………………………………3分 ∴∠A +∠B =90° ∴∠A =∠BGE 又∵∠BGE =∠HGF∴∠A =∠H G F …………………………………………………………………4分∵sin ∠HGF =34∴sin A =34∵∠AFB =90°，BF =3 ∴ AB =4∴ O A =O B =2…………………………………………………………………5分 即⊙O 的半径为235．（2018北京丰台区一模）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ． （1）求证：EF ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF ＝90°. ∴∠1+∠F ＝90°，∠3+∠EDF ＝90°.∴∠F ＝∠EDF .∴EF =DE . …….…….……………2分 （2）解：连接CD .∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°. ∵DE ∥AB ，∴∠DEF ＝∠ABC .∵cos ∠ABC =35，∴在Rt △ECD 中，cos ∠DEC =CE DE =3. 设CE =3x ，则DE =5x .由（1）可知，BE = EF =5x .∴BF =10x ，CF =2x . 在Rt △CFD 中，由勾股定理得DF =． ∵半径为5，∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ， ∴1041025x xx =，解得x =∴DF ==5. …….…….……………5分（其他证法或解法相应给分.）36．（2018北京西城区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.（1）证明：如图6，连接OC ，AC . ∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60． ∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒．∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ．图6∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60． 由（1）得∠DCG= 60，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=． ∴ 52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90，∴2tan 52EH EFC FH a ∠=== …………………………………… 5分。