河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训10-8离散型随机变量及其概率分布(理)试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A 版1.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a B.3a C.2a D ．2a[答案] B[解析] 由余弦定理可知，AB 2＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos120°＝3a 2，得AB ＝3a ，故选B.2．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32m C ．20(1＋3)m D ．30m[答案] A[解析] 如图所示，四边形CBMD 为正方形，而CB ＝20m ，所以BM ＝20m. 又在Rt △AMD 中，DM ＝20m ，∠ADM ＝30°，∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)，∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20＝20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m.3．(2012·东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mileB ．53n mileC ．10n mileD ．103n mile[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．4．一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102n mileB ．103n mileC ．202n mileD ．203n mile[答案] A[解析] 如图，由条件可知△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，∠ACB ＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝20sin45°，∴BC ＝102，故选A.5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案] C[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝100s in15°－＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBDCD＝6－250＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.6.如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5n mileB ．23n mile C.13n mile D ．32n mile[答案] C[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257 [答案] A [解析]如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案] 30 2[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．9．(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.[答案]1063[解析] 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°，∴x ＝1063.(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．[答案]32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin ∠ORP ，在△ORQ中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.10．(文)(2011·广东江门市模拟)如图，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距680km 的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B 处．已知sin θ＝513.(1)求tan C ；(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.(参考数据：2＝1.414，3＝1.732) [解析] (1)因为sin θ＝513，θ是锐角，所以cos θ＝1213，所以tan θ＝512，tan C ＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°) ＝－tan θ＋tan45°1－tan θ·tan45°＝－512＋11－512×1＝－177.(2)sin C ＝sin(θ＋45°)＝17226， 由正弦定理AB sin C ＝AC sin45°＝BCsin θ得，AC ＝ABsin C×sin45°＝520，BC ＝2002， 新的飞行路程比原路程多AC ＋BC －AB ＝520＋2002－680＝122.8(km)．(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．[解析] 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮.能力拓展提升11.设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2 D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. 12．如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan2C 2＝43＝AH CH ，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AH BH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2c ＝AH ＝2x,2a ＝AB －BH＝(5－1)x ，∴e ＝c a＝25－1＝5＋12，故选A. 13．△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长等于________． [答案] 7[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20， ①12bc sin60°＝103， ②cos60°＝b 2＋c 2－a22bc， ③由③得b 2＋c 2－a 2＝bc ，结合①知 (20－a )2－2cb －a 2＝bc ④又由②得bc ＝40，代入④得a ＝7.14.如图所示，海中小岛A 周围38n mile 内有暗礁，一轮船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30n mile 后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解析] 在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°，∴∠BAC ＝15°.由正弦定理知BC sin A ＝ACsin B ，即30sin15°＝ACsin30°.AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(n mile)． 于是，A 到BC 所在直线的距离为：AC sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(n mile)． 它大于38n mile ，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．15．(2011·辽宁文，17)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[解析] (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理知c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 16.货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，问货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离．[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°，∠BAC ＝45°，根据正弦定理，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ， AC ＝BC ·sin∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin30°sin45°＝102， 货轮到达C 点时与灯塔的距离是102km.1．(2011·辽宁铁岭六校联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是( )A ．f (sin α)>f (cos β)B ．f (sin α)<f (cos β)C ．f (sin α)＝f (cos β)D ．f (sin α)与f (cos β)的大小关系不确定[答案] A[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2，∵f (x )在[－3，－2]上是减函数，∴f (x )在[－1,0]上是减函数，∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上是增函数，∵α、β是锐角三角形内角，∴π2<α＋β<π，∴π2>α>π2－β>0，∴1>sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β>0， ∴f (sin α)>f (cos β)．2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为________．[答案] 1665[解析] 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 3．(2011·广东肇庆模拟)在△ABC 中，B ＝π3，且BA →·BC →＝43，则△ABC 的面积是________．[答案] 6[解析] 由已知得BA →·BC →＝ac cos π3＝43， 所以ac ＝83，所以△ABC 的面积 S ＝12ac sin B ＝12×83×32＝6. 4．(2011·温州五校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知点D是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，则角B ＝________. [答案] 30° [解析] ∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC → ＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12a 2－ac ·cos B ， 又AD →·BC →＝12(a 2－3ac )， ∴cos B ＝32，∴B ＝30°. 5．(2011·茂名期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析]由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得，DBsin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝＋3sin105° ＝＋3sin45°·cos60°＋sin60°·cos45° ＝533＋3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1h.。
河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《二项式定理(理)新》试题含答案
1.（2011·北京模拟)(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝（）A．3 B．4 C．5 D．6［答案] D［解析］T r＋1＝C r n(x2）n－r·（－1 x）r＝(－1）r·C错误!x2n－3r,令2n－3r＝0得,r＝错误!,∴n能被3整除，结合选项，当n＝3时，r＝2，此时常数项为(－1)2·C23＝3,不合题意，当n＝6时,r＝4,常数项为(－1)4C错误!＝15,∴选D.2．(2012·东北三校二模)在(x＋错误!)30的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )A．4项B．5项C．6项D．7项［答案］C[解析］展开式的通项T r＋1＝C错误!（错误!)30－r·(错误!)r＝C错误!x错误!,∵错误!是整数，0≤r≤30,且90能被6整除，∴r能被6整除，∴r＝0,6，12，18，24,30时,x的幂指数是整数，故选C。
3．（2012·湖北，5）设a∈Z，且0≤a〈13，若512012＋a能被13整除，则a＝( ）A．0 B．1C．11 D．12[答案］A［解析] 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C错误!522012－C错误!522011＋C错误!522010＋…＋C2011×52×（－1)2011＋C20122012×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a＝201212。
4．(2012·天津理,5）在(2x2－错误!)5的二项展开式中,x的系数为（）A．10 B．－10 C．40 D．－40［答案] D[解析］本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．（2x2－错误!)5的展开式的通项为T r＋1＝C错误!（2x2）5－r（－错误!）r＝C错误!25－r（－1）r x10－3 r，令10.3r＝1得，r＝3，∴T4＝C错误!22（－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40。
河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《6-4数列的综合问题与数列的应用》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《6-4数列的综合问题与数列的应用》试题 新人教A 版1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.2．(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)[答案] C[解析] a n ＝n 2＋λn ＝(n ＋λ2)2－λ24，∵对任意n ∈N *，a n ＋1>a n ， ∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故选 C.3．(文)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N *)的前n项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. (理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．4．(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20[答案] B [解析] 由题意得S n ＋1－S nn ＋－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n－5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.(理)两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是23，且a <b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.34 B.152C.54D.53[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝7，a ·b ＝12，b >a >0，∴a ＝3，b ＝4.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝53.5．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.6．(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－2a n ＋1，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2010的值为( )A ．1B ．2 C.13 D.23[答案] D[解析] ∵a 1＝2，a 2＝1－22＋1＝13，a 3＝1－213＋1＝－12，a 4＝1－2－12＋1＝－3， a 5＝1－2－3＋1＝2. ∴a n ＋4＝a n ，∴{a n }是以4为周期的数列，T 4＝2×13×(－12)×(－3)＝1.∴T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝23，故选D.7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <2014得，2k ＋1<2015，∴k ≤9.∵1＋2＋22＋…＋29＝1023，∴S 的值加上29后，变为S ＝1023<2014，此时k 的值增加1变为k ＝10，再执行一次循环体后，S＝1023＋210＝2047，k＝10＋1＝11，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束．[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．8．(文)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)，把数列{a n}的各项排列成如图所示的三角形数阵：22223242526272829210……记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n∈N)．[答案]257[解析]由数阵的排列规律知，第m行的最后一个数是数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋m＝m m ＋2项，且该行有m项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n}的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.(理)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案]20[解析]由题意，若{a n}为调和数列，则{1a n}为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.9．(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案]x＋y－7＝0[解析]由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，k MN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.(理)已知双曲线a n－1y2－a n x2＝a n－1a n(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y ＝2x，其中数列{a n}是以4为首项的正项数列，则数列{a n}的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.10．(文)(2011·北京海淀)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由．[解析] (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立． 即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝S 1＝2×1， 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立． 所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立． 所以{a n }是等差数列． 所以S n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)知a n ＝2n 对n ∈N *成立， 则a 3＝6，a 9＝18.又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，得b 2b 1＝b 3b 2＝3.即存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． (3)在满足条件(2)的情形下，设c n ＝1b n ＋1－1b n ＋1－1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n >2n －12.[解析] (1)S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a ， 当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，两式相减得a n ＝a ·a n －1，a na n －1＝a ，即{a n }是等比数列，∴a n ＝a ·an －1＝a n. (2)由(1)知a n ＝a n，S n ＝a a n －a －1，∴b n ＝(a n )2＋a a n －a －1a n＝2a －1a 2n －aana －1，若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)， 故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)， 解得a ＝12，再将a ＝12代入，得b n ＝(12)n成立，所以a ＝12.(3)证明：由( 2)知b n ＝(12)n，所以c n ＝112n＋1－112n ＋1－1＝2n 2n ＋1＋2n ＋12n ＋1－1＝2－12n ＋1＋12n ＋1－1， 所以c n >2－12n ＋12n ＋1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n>(2－12＋122)＋(2－122＋123)＋…＋(2－12n ＋12n ＋1)＝2n －12＋12n ＋1>2n －12.能力拓展提升11.在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈(13，23]，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2＋y 2＝10x ，∴(x －5)2＋y 2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长a n ＝10，最短弦长a 1＝8，∴10＝8＋(n －1)d ，∴d ＝2n －1，∵d ∈(13， 23]，∴13<2n －1≤23，∴4≤n <7，又∵n ∈N *，∴n 的取值为4,5,6，故选A.12．(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．(理)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.13．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．14．(2011·江苏，13)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．[答案]33[解析] ∵a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，且a 1＝1， ∴a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3，∵a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列， ∴a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2， ∵a 2≥1，q ＝a 3≥a 2≥1，∴q 2＝a 5≥a 4＝a 2＋1≥2，q 3＝a 7≥a 6＝a 2＋2≥3， ∵q ≥1，∴q ≥2且q ≥33，∴q ≥33， ∴q 的最小值为33.15．(2011·蚌埠质检)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．16．(文)(2011·山东文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1.(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nn ln3∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n·2n ]ln3＝2×1－32n1－3＋n ln3＝32n＋n ln3－1.(理)(2011·湖南六校联考)为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车．替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解析] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列． {a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －2a ，所以经过n 年，该市更换的公交车总数为： S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000，所以256[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10000，即21a ≥3082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.1．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则b 的值可以为( )A.38B.1124C.1324D.35144[答案] D[解析] 由题意四个根为14、14＋16、14＋13、34，则b ＝14×34＝316，或b ＝512×712＝35144，选D.2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3[答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 3．(2011·银川一中三模)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f n}的前n 项和为S n ，则S 2012的值为( )A.20092010 B.20102011 C.20112012D.20122013[答案] D[解析] 本题考查导数的几何意义及数列求和知识；由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2＋x ，从而1f n＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， 其前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故S 2012＝20122013.4．(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在[答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.6．(2012·北京海淀期中)已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项：现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1， a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2. 其中真命题有( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] B[解析] 数列0,1,3中a 3－a 2＝2，a 3＋a 2＝4都不是该数列中的一项，即其不具有性质P ，得命题①不正确；数列0,2,4,6经验证满足条件，即其具有性质P ，得命题②正确；若数列A 具有性质P ，因n ≥3，故其最大项a n >0，则有a n ＋a n ＝2a n >a n 不是数列中的项，故a n －a n ＝0必为数列中的一项，即a 1＝0，得命题③正确；若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＝0,0<a 2<a 3，a 2＋a 3>a 3不是数列中的项，必有a 3－a 2＝a 2，即a 3＝2a 2，因a 1＝0，故a 1＋a 3＝2a 2，得命题④正确，综上可得真命题共有3个，故应选B.7．(2011·杭州二检)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q＋3d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4d ＝2，所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.8．(2011·天津市二十区县联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析] ∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a na n －1＝2. 由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n.∴S 5S 3＝－251－2－231－2＝317. 9．(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.[答案] 2n 3[解析] 由题意知，前n 组共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，所以第n －1组的最后一个数为(n －1)2，第n 组的第一个数为(n －1)2＋1，第n 组共有2n －1个数，所以根据等差数列的前n 项和公式可得A n ＝n －2＋1]＋n －2＋2n －1]2(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3－(n－1)3，所以A n ＋B n ＝2n 3.10．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问使T n >10002009的最小正整数n 是多少？[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，∴f (1)＝a ＝13.已知等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则当n ≥2时，a n ＝[f (n )－c ]－[f (n －1)－c ]＝a n (1－a －1)＝－23n .∵{a n }是等比数列，∴{a n }的公比q ＝13.∴a 2＝－29＝a 1q ＝[f (1)－c ]×13，解得c ＝1，a 1＝－23.故a n ＝－23(n ≥1)．由题设知{b n }(b n >0)的首项b 1＝c ＝1，其前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，由S n －S n －1＝S n ＋S n －1⇒S n －S n －1＝1，且S 1＝b 1＝1. ∴{S n }是首项为1，公差为1的等差数列， 即S n ＝n ⇒S n ＝n 2.∵b n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，又b 1＝1＝2×1－1，故数列{b n }的通项公式为：b n ＝2n －1(n ≥1)． (2)∵b n ＝2n －1(n ≥1)， ∴1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝∑k ＝1n1b k b k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 要T n >10002009⇔n 2n ＋1>10002009⇔n >10009＝11119，故满足条件的最小正整数n 是112.11．(2011·焦作模拟)已知函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，且点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f (x )＝(12)x.又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝n ＋22n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训11-4数学闯关密练特训归纳法(理)试题
1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0等于( )A ．1B ． 3C ．5D ．7 [答案] C[解析] n 的取值与2n，n 2的取值如下表：由于2n2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 因为凸n 边形的边数最少为3，故验证的第一个值n 0＝3. 3．若f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案[答案] C[解析] 注意f (n )的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f (1)＝1＋12＋13＋14＋15.4．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3[答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项B ．f (n )中共有n ＋1项C ．f (n )中共有n 2－n 项 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项[答案] D[解析] f (n )的分母从n 开始取自然数到n 2止，共有n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1项． 6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n 个图共挖去小正方形( )A ．(8n－1)个 B ．(8n＋1)个 C.17(8n－1)个 D.17(8n＋1)个 [答案] C[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n 个图挖去1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n－17个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案] 2k ＋18．(2012·长春模拟)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案] n (n ＋1)[解析] 当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个．9．已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，…，(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22.(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－12a ，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝14a ，由此推测a n ＝(－12)n －1a (n ∈N *)．证法1：因为a 1＝a >0，且a n ＝x n ＋1－x n ＝x n ＋x n －12－x n ＝x n －1－x n 2＝－12(x n －x n －1)＝－12a n －1(n ≥2)，所以a n ＝(－12)n －1a .证法2：用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝(－12)0a ，公式成立．(2)假设当n ＝k 时，公式成立，即a k ＝(－12)k －1a 成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k 2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12(－12)k －1a ＝(－12)(k ＋1)－1a ，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n ∈N *，公式a n ＝(－12)n －1a 成立．10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． [解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n.∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1. 能力拓展提升11.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] C[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n ＝1时，应为1＋a ＋a 2. 12．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. [答案] π[解析] 将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 连接，则原k ＋1边形分为k 边形A 1A 2…A k与三角形A 1A k A k ＋1，显见有f (k ＋1)＝f (k )＋π.13．已知：(x ＋1)n＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n n ＋1n －13.[解析] (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n＝[2＋(x －1)]n，所以a 2＝C 2n ·2n －2，b n ＝a 22n －3＝2C 2n ＝n (n －1)(n ≥2)．①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝22＋12－13＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k k ＋1k －13成立那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k k ＋1k －13＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k k ＋1k －13＋k (k＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k k ＋1k ＋23＝k ＋1[k ＋1＋1][k ＋1－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n n ＋1n －13.14．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n(n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与3的大小，并证明你的结论． [解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，两边同乘以12得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n－1)12n ＋1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－2n ＋32n <3. 15．证明：当n ∈N *时，1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．[证明] (1)当n ＝1时，由于ln2<ln e ＝1，故不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立． 则1＋12＋13＋…＋1k>ln(1＋k )．则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>1k ＋1＋ln(k ＋1)．要证不等式成立，只需证明ln(k ＋2)<1k ＋1＋ln(k ＋1)成立． 要证明此不等式成立只需证明 1k ＋1>ln(k ＋2k ＋1)＝ln(1＋1k ＋1)． 下面构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)． ∵f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，∴f (x )＝ln (1＋x )－x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)， 即ln(1＋x )<x . 令x ＝1k ＋1得ln(1＋1k ＋1)<11＋k. 即不等式ln(k ＋2)<1k ＋1＋ln(1＋k )成立， 所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>ln(k ＋2)成立．由(1)、(2)可知对n ∈N *，不等式1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)成立．[点评] 利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 幅图的蜂巢总数，则f (6)＝()A ．53B ．73C ．91D ．97[答案] C[解析] f (1)＝1×6－6＋1；f (2)＝2×6－6＋f (1)； f (3)＝3×6－6＋f (2)； f (4)＝4×6－6＋f (3)；… f (n )＝n ×6－6＋f (n －1)．以上各式相加得f (n )＝(1＋2＋3＋…＋n )×6－6n ＋1＝3n 2－3n ＋1，∴f (6)＝3×62－3×6＋1＝91.2．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [答案] B[解析] 等式左端＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，将选项中的值代入验证可知n 的最小值为8.3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误． 对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.4．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． [解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)．∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 5．(2011·湖南理，22)已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .[解析] (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此h (x )至少有两个零点．解法1：h ′(x )＝3x 2－1－12x－12 ，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12 ，则φ′(x )＝6x ＋14x－ 32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在 (0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ(33)<0，则φ(x )在(33，1)内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减，而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法2：由h (x )＝x (x 2－1－x － 12 )，记φ(x )＝x 2－1－x － 12 ，则φ′(x )＝2x ＋12x － 32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. ①当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0，由此猜测：a n <x 0，下面用数学归纳法证明． a ．当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．b ．假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 3知，a k ＋1<x 0.因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立． 故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．②当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a ，从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a ，下面用数学归纳法证明． a ．当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．b ．假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立． 故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训9-7用向量方法证明平行与垂直(理)试题
1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面CC 1D 1D 的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AA 1→＋12AB →.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝ (－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1，－2,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)， n ＝(0,3，－1) [答案] B[解析] 欲使l ∥α，应有n ⊥a ，∴n ·a ＝0，故选B.3．二面角α－l －β等于60°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长等于( )A.3aB.5a C ．2a D ．a[答案] C[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于60°， ∴AC →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝a ，|BD →|＝2a ，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝4a 2，∴|CD →|＝2a .4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(4,5，x )，若a 、b 、c 三向量共面，则|c |＝( )A ．5B ．6 C.66 D.41[答案] C[解析] ∵a 、b 、c 三向量共面， ∴存在实数λ、μ，使c ＝λa ＋μb ，∴(4，－5，x )＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝4，－λ＋4μ＝5，3λ－2μ＝x .∴x ＝5，∴|c |＝42＋52＋52＝66.5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2 [答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2. 故选C.6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94[答案] D[解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ， ∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2＝|12BA →－12BC →＋BD →|2＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94.7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →＝0,2AB → 2＋BD →2＝4，若将其沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．[答案] 43π[解析] 因为AB ⊥BD ，二面角A －BD －C 是直二面角，所以AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AD ⊥DC .故△ABC ，△ADC 均为直角三角形．取AC 的中点M ，则MA ＝MC ＝MD ＝MB ，故点M 即为三棱锥A －BCD 的外接球的球心．由2AB →2＋BD →2＝4⇒AB →2＋BD →2＋CD →2＝AC →2＝4，∴AC ＝2，∴R ＝1.故所求球的体积为V ＝43π.8．(2011·金华模拟)已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为________．[答案] (103，－1，73)[解析] ∵C 为线段AB 上一点， ∴存在实数λ>0，使AC →＝λAB →，又AB →＝ (－2，－6，－2)，∴AC →＝(－2λ，－6λ，－2λ)， ∵|AC →||AB →|＝13，∴λ＝13，∴AC →＝(－23，－2，－23)， ∴C (103，－1，73)．9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.10.( 2012·天津调研)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PB 与平面ABCD 所成的角为∠PBA ＝45°. ∴AB ＝1，由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，易得CD ＝AC ＝2，∴AC ⊥CD . 又∵PA ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PAC ⊥平面PCD .(2)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)． ∵PE →∥PD →，∴y ·(－1)－2(z －1)＝0① ∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面PAB . ∴CE →⊥AD →.∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0，∴y ＝1. 将y ＝1代入①，得z ＝12.∴E 是PD 的中点，∴存在E 点使CE ∥平面PAB ，此时E 为PD 的中点.能力拓展提升11.二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°. 12．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ACD 1； (2)BO 1∥平面ACD 1.[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B (1,0,0)，O 1(12，12，1)，D 1(0,1,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，∴B 1D →＝(－1,1，－1)，AD 1→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，BO 1→＝(－12，12，1)．(1)∵B 1D →·AD 1→＝0，B 1D →·AC →＝0， ∴B 1D →⊥AD 1→，B 1D →⊥AC →，∵AD 1→与AC →不共线，∴B 1D →⊥平面ACD 1， ∴B 1D ⊥平面ACD 1.(2)∵B 1D →·BO 1→＝0，∴B 1D →⊥BO 1→， ∴BO 1→∥平面ACD 1.又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.[点评] 第(2)问还可以通过证明BO 1→＝OD 1→(其中O 为AC 中点)证明．13．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． [解析](1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴AD 、DC 、PD 两两垂直，如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a2，0)、P (0,0，a )、F (a 2，a 2，a2).EF →＝(－a 2，0，a2)，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)设G (x,0，z )，则FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，得x ＝a2；由FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a2)＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点． 14．(2011·海口调研)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求证：EF ∥平面PAB ；(3)求直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值． [解析] 解法一： (1)∵E 是AD 中点，连接PE ， ∴AB ＝2，AE ＝1.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.∴AE 2＋BE 2＝1＋3＝4＝AB 2，∴BE ⊥AE . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∴BE ⊥平面PAD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ， ∵AE 綊12BC ，又∵HF 是△PBC 的中位线，∴HF 綊12BC ，∴AE 綊HF ，∴四边形AHFE 是平行四边形，∴EF ∥AH ， 又EF ⊄平面PAB ，AH ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .(3)由(1)知，BC ⊥BE ，PE ⊥BC ， 又PE ，BE 是平面PBE 内两相交直线， ∴BC ⊥平面PBE ，又由(2)知，HF ∥BC ，∴HF ⊥平面PBE ， ∴∠FEH 是直线EF 与平面PBE 所成的角， 易知BE ＝PE ＝3，在Rt △PEB 中，EH ＝62， ∴tan ∠FEH ＝162＝63，∴cos ∠FEH ＝155. 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155. 解法二：容易证明EP ，EA，EB 两两垂直，建立空间直角坐标系E －xyz 如图．易求BE ＝PE ＝3，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，因为F 是PC 的中点，则F (－1，32，32)． (1)∵EB →·EA →＝0·1＋3·0＝0·0＝0， ∴EB →⊥EA →，即EB ⊥EA ，∵EB →·EP →＝0·0＋3·0＋0·3＝0， ∴EB →⊥EP →，即EB ⊥EP ，∵EA ，EP 是平面PAD 内的两相交直线，∴EB ⊥平面PAD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，则H (0，32，32)，∵EF →＝(－1，32，32)，AH →＝(0，32，32)－(1,0,0)＝(－1，32，32)， ∴EF →∥AH →，∵又EF ⊄平面PAB ，AH ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .(3)∵y 轴⊂平面PBE ，z 轴⊂平面PBE ， ∴平面PBE 的法向量为n ＝(1,0,0)， ∵EF →＝(－1，32，32)，设直线EF 与平面PBE 所成角为θ，∴sin θ＝|EF →·n ||EF →||n |＝105，∴cos θ＝155，故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155. 15．(2012·辽宁理，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O－xyz，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝BC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC →＝0，n ·MN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.1．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 、F 分别为AB 、CC 1的中点，各棱长都是4. (1)求证CH ∥平面FA 1B .(2)求证平面ABB 1A 1⊥平面FA 1B .(3)设E 为BB 1上一点，试确定E 的位置，使HE ⊥BC 1.[解析] 在正三棱柱中，∵H 为AB 中点，∴CH ⊥AB ，过H 作HM ⊥AB 交A 1B 1于M ，分别以直线AB 、HC 、HM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0，23，0)，F (0,23，2)，A (－2,0,0)，A 1(－2,0,4)，C 1(0，23，4)．(1)∵HC →＝(0,23，0)，FA 1→＝(－2，－23，2)，BF →＝(－2，23，2)，∴HC →＝12(BF →－FA 1→)，∵BF →与FA 1→不共线，∴HC →∥平面FA 1B ， ∵HC ⊄平面FA 1B ，∴HC ∥平面FA 1B .(2)平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝HC →＝(0,23，0)， 设平面FA 1B 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0，n ·FA 1→＝0，∴⎩⎨⎧－2x ＋23y ＋2z ＝0，－2x －23y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0.令x ＝1得n ＝(1,0,1)，∵n ·n 1＝0，∴n ⊥n 1，∴平面ABB 1A 1⊥平面FA 1B .(3)∵E 在BB 1上，∴设E (2,0，t )，(t >0)，则HE →＝(2,0，t )，BC 1→＝(－2,23，4)，∵HE ⊥BC 1，∴HE →·BC 1→＝－4＋4t ＝0，∴t ＝1，∴E 是BB 1上靠近B 点的四等分点(或BE ＝14BB 1)．2．如图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点．求证：(1)直线AR ∥平面PMC ； (2)直线MN ⊥直线AB .[解析] 证法1：(1)连接CM ，∵四边形ABCD 为矩形，CR ＝RD ，BM ＝MA ，∴CM ∥AR ， 又∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC .(2)连接MR 、NR ，在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，PA ⊥平面AC ，∴PA ⊥AB ，AB ⊥平面PAD ，∵MR ∥AD ，NR ∥PD ，∴平面PDA ∥平面NRM ，∴AB ⊥平面NRM ，则AB ⊥MN .证法2：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，AD ＝b ，AP ＝c ，则B (a,0,0)，D (0，b,0)，P (0,0，c )，C (a ，b,0)，∵M 、N 、P 分别为AB 、PC 、CD 的中点，∴M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，c 2)，R (a2，b,0)，∴AR →＝(a2，b,0)，PM →＝(a 2，0，－c )，MC →＝(a2，b,0)，设AR →＝λPM →＋μMC →，⎩⎪⎨⎪⎧a 2λ＋a 2μ＝a2b μ＝b－c λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0μ＝1，∴AR →＝MC →，∴AR ∥MC ，∵AR ⊄平面PMC ，∴AR ∥平面PMC . (2)MN →＝(0，b 2，c2)，AB →＝(a,0,0)，∵MN →·AB →＝0，∴MN →⊥AB →，∴MN ⊥AB .3．(2012·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． [分析] 因为AC ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，故以A 为原点建立空间直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 、P 的坐标．(1)运用PC →·AD →＝0证明PC ⊥AD ；(2)先求两平面APC 与平面DPC 的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量BE →与CD →的夹角，利用向量夹角公式列等式．[解析] 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (－12，12，0)，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)， 于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝(12，－12，h )，由于CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD→|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2， 所以，310＋20h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010， 即AE ＝1010.。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《1-1集合》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学闯关密练特训《1-1集合》试题新人教A版河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学闯关密练特训《1-1集合》试题新人教A版1.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝12x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2}C．{1,3} D．{2,4}[答案] B[解析]B＝{y|y＝12x，x∈A}＝{12，1，32，2}，∴A∩B＝{1,2}．2．(2011·成都五校联考)设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{x|y＝1－xx}，则“x∈M”是“x∈N”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]M＝(0,1)，N＝(0,1]，∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，故选A.3．(文)(2011·湖北文，1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案] A[解析]∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A ∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U(A∪B)＝{6,8}．(理)(2011·北京宣武模拟)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,5}，故选C.4．(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是( )A．加法B．除法C．乘法D．减法[答案] C[解析]因为M⊆P，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.5．(文)设集合A＝{a，b}，则满足A∪B＝{a，b，c，d}的所有集合B的个数是( )A．1 B．4 C．8 D．16[答案] B[解析]集合B中必有元素c、d，由含元素a、b的个数知，这样的集合B共有22＝4个．(理)已知集合P∩Q＝{a，b}，P∪Q＝{a、b、c，d}，则符合条件的不同集合P，Q有( ) A．3对B．4对C．5对D．6对[答案] B[解析]根据交集、并集的概念知，集合P，Q中都必有元素a，b，然后逐一选择元素c，d与元素a，b构成不同的集合P，Q.集合P，Q分别为：①{a，b}和{a、b、c，d}；②{a、b、c}和{a，b，d}；③{a，b，d}和{a、b、c}；④{a、b、c，d}和{a，b}，共4对．故选B.[点评] P＝{a，b}，Q＝{a、b、c，d}与P ＝{a、b、c，d}，Q＝{a，b}是不同的．6．集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cos x，x ∈A}，则A∩B＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}[答案] B [解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}，∴A ∩B ＝{1}．7．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则集合M ∩N ＝________.[答案] {(3，－1)}[解析] 由于M ∩N 中元素既属于M 又属于N ，故其满足⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解之得x ＝3，y ＝－1.8．(文)已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤1[解析] 因为A ∪B ＝R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以a ≤1.(理)已知集合A＝{x|log 12x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.[答案]0[解析]A＝{x|0<x≤18}，∵A⊆B，∴a≤0，∴c＝0.9．(2011·台州模拟)设集合A＝{5，log2(a ＋3)}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B ＝________.[答案]{1,2,5}[解析]∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2，∴a＝1，∴b＝2，∴B＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,5}．10．(文)已知全集U＝R，集合A＝{x|log2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}． (1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B . [解析] (1)由已知得log 2(3－x )≤log 24， ∴⎩⎨⎧ 3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，∴A ＝{x |－1≤x <3}．由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0， 解得－2<x ≤3.∴B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}． 故(∁U A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}．(理)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*) 由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233. 因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1，而x ∈N *.故a ≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意．故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅，此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}.能力拓展提升11.(文)定义集合A 、B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为( ) A．9 B．14 C．18 D．21 [答案] B[解析]A*B中所有元素为2,3,4,5.∴和为14.(理)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x ∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，则A×B等于( )A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)[答案] A[解析]由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B ＝[0,2]．所以A×B＝(2，＋∞)．12．(文)(2011·北京理，1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案] C[解析]P＝{x|－1≤x≤1}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，即a∈{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.(理)已知集合S＝{3，a}，T＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，S∩T＝{1}，P＝S∪T，那么集合P的子集个数是( )A．32 B．16C．8 D．4[答案] C[解析]因为T＝{x|0<x<3，x∈Z}＝{1,2}，又S∩T＝{1}，所以a＝1，∴S＝{1,3}，则P＝S∪T＝{1,2,3}，∴集合P的子集有23＝8个，故选C.13．(文)集合A＝{x|log2(x＋12)<0}，函数y＝x －2的单调递增区间是集合B ，则在集合A 中任取一个元素x ，x ∈B 的概率是________．[答案] 12[解析] A ＝{x |log 2(x ＋12)<0}＝{x |－12<x <12}，因为函数y ＝x －2的单调递增区间是集合B ，所以B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝(－12，0)．在集合A 中任取一个元素x ，若x ∈B ，则x∈(A ∩B )，故所求概率P ＝0－－1212－－12＝12. (理)在集合M ＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x ∈A ，有1x∈A ”的概率是________．[答案]3 31[解析]集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，有1x∈A”的集合A中的元素为1或12、2，且12、2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为3 31.14．已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件：A∩B＝{1,2}，A∩(∁U B)＝{3}，U＝R，则a＋b等于________．[答案] 1[解析]依题意得1∈A,2∈A,3∈A，因此，2和3是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，所以2＋3＝－a,2×3＝b，∴a＝－5，b＝6.∴a ＋b ＝1.15．已知集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． [解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝－32－8a <0，∴a >98，即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素43，∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥98}．16．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)问是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A 是B 的子集？若存在，求a ；若不存在，说明理由；(2)若A 是B 的子集成立，求出对应的实数对(a，b)?[解析](1)A＝{4＋a，a－4}，要使得对任意实数b，都有A⊆B，只能是A⊆{1,2}，但A中两元素之差(4＋a)－(a－4)＝8≠2－1，故这样的实数a不存在．(2)若A是B的子集成立，则必有|b－1|＝8或|b－2|＝8，解得b＝－7,9，－6,10.当b＝－7时，a＝－3；当b＝9时，a＝5；当b＝－6时，a＝－2；当b＝10时，a＝6.即对应的实数对(a，b)为(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．1．全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2}，N ＝{2,4}，则下面结论错误的是( )A．M∩N＝{2} B．∁U M＝{3,4}C．M∪N＝{1,2,4} D．M∩∁U N＝{1,2,3}[答案] D[解析]∵∁U N＝{1,3}，∴M∩∁U N＝{1}，故D错，由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确．2．(2011·马鞍山期末)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于( )A．{1,3,5} B．{2,4,6}C．{1,5} D．{1,6}[答案] D[解析]由已知得M∪N＝{2,3,4,5}，则∁U(M ∪N)＝{1,6}．故选D.3．(2011·山东文，1)设集合M＝{x|(x＋3)(x －2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( ) A．[1,2) B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][答案] A[解析]由(x＋3)(x－2)<0知－3<x<2，所以M∩N＝[1,2)，解答此题要特别注意区间端点能否取到．4．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝( )A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．[0，＋∞) D．[0,1][答案] C[解析]M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y2＝x与y＝x2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N 的代表元素是什么，以确定集合M∩N中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A.5．设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案] B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．6．已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y ∈R}，那么M∩N中( )A．有两个元素B．有一个元素C．一个元素也没有D．必含无数个元素[答案] A[解析]y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x 轴垂直的直线即x＝1.x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，∴直线与圆有两个交点，故选A.7．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案] 2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.考虑到教师工作繁忙，备课批改作业辅导学生占用大量时间，为节省教师找题选题的时间，也考虑到不同地区用题难易的差别，本书教师用书中提供了部分备选题，供教师在备课时，根据自己所教班的实际情况选用．。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-1角的概念的推广与任意角的三角函数》
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-1角的概念的推广与任意角的三角函数》试题 新人教A 版1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B. (理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可．由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23π D.53π [答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32，sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( ) A ．3B ．－3C ．3－π2D.π2－3 [答案] C[解析] ∵π2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限，∴tan α＝－cos3sin3＝sin3－π2cos3－π2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2，∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2.3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.4．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16B.16C.718D ．－1[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43，∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16.5．(文)设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( ) A ．0<θ<3π4B ．0<θ<π4或3π4<θ<πC.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4[答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2，即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π，∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，如图，使sin α>cos α的角α终边在直线y ＝x 上方，使tan α>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.6．(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b2＝cos2k π＝1.7．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.8．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. [答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y ＝±8， 又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.9．(文)(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值为________．[答案] －13[解析] cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.(理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α，35，则cos α－sin α＝________.[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75.10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值； (2)求|BC |2的取值范围．[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， ∴tan α＝43，∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)，∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)．而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π2)．∴α＋π3∈(π2，5π6)，∴cos(α＋π3)∈(－32，0)．∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角， 又∵sin α2≤0，∴α2是第三象限角，故选C.(理)若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2[答案] A[解析] ∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0， 当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.12．(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析]解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限． 解法2：∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0.∵π2<θ－π4<π，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a ＝sin(cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] C[解析] 注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝cos(－12)＝cos 12>0，d ＝cos(－32)＝cos32>0，∴c >d ，因此选C. [点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．13．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．[答案] －4[解析] r ＝32＋m 2＝m 2＋9， 依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9， ∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去．故m ＝－4.14．(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；(2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tan α>tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ2>0；(4)若sin x ＋cos x ＝－75，则tan x <0.其中正确命题的序号为________． [答案] (3)[解析] (1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝25＝255； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝－25＝－255，故(1)错误．(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝33，tan β＝3，故tan α>tan β不成立，(2)错误．(3)∵θ是第二象限角，∴sin θ2cos θ2＝12sin θ>0，∴(3)正确．(4)由sin x ＋cos x ＝－75<－1可知x 为第三象限角，故tan x >0，(4)不正确．(理)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45.[点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝－45.15．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值． [解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 16．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积． [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ，∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π，∴圆锥的高h ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝5π2－1π，V ＝13πR 2h ＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2－1π＝125π2－13π2.1．(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2[答案] C[解析] 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R . ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y ＝log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340 [答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cosn π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.5．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． [解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-4定积分与微积分基本定理理》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-4定积分与微积分基本定理理》试题 新人教A 版1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4 B.12 C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(ax －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sinπ2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x＝(x ln x －x )|e1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x－1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t－1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t－1－e x＋1)d x ＋⎠⎛t 1(e x－1－e t＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t－e x)d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析]f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x5－r(－2x)r＝(－2)r C r5x 5－3r2，令5－3r2＝2，得r＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.。
河南省洛阳市2013届高三二练数学(理)试题
河南省洛阳市2013届高三年级二练数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150 分．考试时间 120 分钟。
第I 卷（选择题，共 60 分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，将答题卷交回．一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N 中元素个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ．不确定2．i 是虚数单位，则(1)ii i +的模为A ．12 B．2CD ． 23．某项测量中，测量结果2~(1,)(0)X N σσ>，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为 A ．0．8 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．24．已知(nx 的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为A ． 128B ． 64C ． 32D ．165．设n S 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和。
若533S S =，则96S S A ．32B ．53C ． 2D ． 36．已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是 A ． （(,0)(2,)-∞+∞B ．[0，2]C ．RD ．φ7· 已知正数x ，y 满足20,350.x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则22111z og x og y =++的最大值是A ． 8B ． 4C ． 2D ． 18．已知双曲线22145x y -=上一点 P 到 F （ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，1(),||2OQ OP OF OQ =+=则 A ． 1 B ． 2C ． 2 或 5D ． 1 或 59．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，sin xxdx =⎰A B ．3C D 10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且()012f π=，则ω的最小值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1上，过 P 作垂直于平面 BB 1 D 1D 的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数()y f x =的图象大致为12．已知正数是 a , b , c 满足：534,1111c a b c a c nb a c nc nb na -≤≤-≥+-则的取值范围是A ．(],17n -∞B ．[]212,12n n -C ．31,15n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,17n第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分13．正三角形 A BC 中， D 是边 BC 上的点， AB =3，BD = l ，则AB ·AD = 。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系试题
1.(文)( 2011²深圳二模)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 [答案] A[解析] 解法一：圆心(0,1)到直线的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5 ，故选A.解法二：直线mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 是相交的，故选A.(理)(2012²重庆理，3)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心[答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式． 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1< 2.所以直线与圆相交，故选C.[点评] 圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d 与圆的半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内，圆外，圆上去判断．如本题中直线y ＝kx ＋1过定点M (0,1)，M 在圆内．2．(2011²济南二模)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(x －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．3．(2011²东北三校联考)若a 、b 、c 是直角三角形的三边(c 为斜边)，则圆x 2＋y 2＝2截直线ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长等于( )A ．1B ．2 C. 3 D ．2 3[答案] B[解析]∵a、b、c是直角三角形的三条边，∴a2＋b2＝c2.设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝|c|a2＋b2＝1，∴直线被圆所截得的弦长为222－12＝2.4．(2011²潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0[答案] D[解析]解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P(32，－32)在直线l上，排除A、B、C，选D.解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0，故选D.[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．5．(2012²山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切B．相交C．外切D．相离[答案] B[解析]本题考查圆与圆的位置关系．两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝17，∵3－2<17<2＋3，∴两圆相交．6．(文)(2012²福建文，7)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．2 5 B．2 3C. 3 D．1[答案] B[解析]本题考查了圆的弦长问题．如图可知d ＝|－2|1＋3＝1， ∴|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3.[点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt △OCB 这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长公式l ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(理)(2012²哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为( )A.56B.16 C.13 D.23[答案] B[解析] ⊙C 上的点到直线l ：4x ＋3y ＝25的距离等于2的点，在直线l 1：4x ＋3y ＝15上，圆心到l 1的距离d ＝3，圆半径r ＝23，∴⊙C 截l 1的弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝23，∴圆心角∠AOB ＝π3，AB ︵的长为⊙C 周长的16，故选B.7．(2012²北京东城区示范校练习)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．[答案] x －y －2＝0[解析] 由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.[点评] 两圆方程相减，即可得出对称直线方程．8．(文)(2012²皖南八校第三次联考)已知点P (1，－2)，以Q 为圆心的圆Q ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，以PQ 为直径作圆与圆Q 交于A 、B 两点，连接PA 、PB ，则∠APB 的余弦值为________．[答案]725[解析] 由题意可知QA ⊥PA ，QB ⊥PB ，故PA ，PB 是圆Q 的两条切线，cos ∠APB ＝2cos 2∠APQ －1＝2³(45)2－1＝725.(理)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →²OB →＝2，则实数a 的值等于________．[答案] ± 6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算． 设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →²OB →＝R 2²cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB |＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝± 6. 9．(文)与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32， ∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22， 即r 2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2，解出m ＝2，n ＝2.(理)(2011²杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即x －12＋y ＋12＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0. (1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． [解析] (1)将圆的方程配方， 得(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4，故有 37－4m 4>0，解得m <374.将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋4m ＝0，消去y ，得x 2＋(3－x 2)2＋x －6³3－x 2＋m ＝0，整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4³5(4m －27)<0，解得m >8. ∴m 的取值范围是(8，374)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP →²OQ →＝0， 由x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 由(1)及根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2，x 1²x 2＝4m －275③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1²y 2＝3－x 12²3－x 22＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1²x 2]， 将③代入上式，得y 1²y 2＝m ＋125，④将③④代入②得x 1²x 2＋y 1²y 2 ＝4m －275＋m ＋125＝0，解得m ＝3， 代入方程①检验得Δ>0成立，∴m ＝3.(理)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过A (－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N .(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM →²AN →是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．[解析] (1)证明：因为l 与m 垂直， 且k m ＝－13，k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 显然圆心(0,3)在直线l 上， 即当l 与m 垂直时，l 必过圆心． (2)①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， 因为PQ ＝23，所以CM ＝4－3＝1， 则由CM ＝|－3＋k |k 2＋1＝1，得k ＝43.所以直线l ：4x －3y ＋4＝0.从而所求的直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. (3)因为CM ⊥MN ，所以AM →²AN →＝(AC →＋CM →)²AN →＝AC →²AN →＋CM →²AN →＝AC →²AN →. ①当l 与x 轴垂直时，易得N (－1，－53)，则AN →＝(0，－53)，又AC →＝(1,3)，所以AM →²AN →＝AC →²AN →＝－5. ②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k .所以AM →²AN →＝AC →²AN →＝－5.综上，AM →²AN →与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →²AN →＝－5.能力拓展提升11.(2011²济南模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4[答案] D[解析] 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋(|a －2|2)2＝22，∴a ＝0或4.12．(2011²银川部分中学联考)已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．y ＝－33x D ．y ＝33x [答案] C [解析]由题易知，圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－33，故直线l 的方程为y ＝－33x ，选C. 13．(文)(2011²天津模拟)过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5[答案] B[解析] 当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB |取最小值2 3.(理)(2011²宝鸡五月质检)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6[答案] C[解析] ∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →²OB → ＝|OA →|2＋|OB →|2－2OA →²OB →， ∴OA →²OB →＝0，∴OA →⊥OB →，画图易知A 、B 为圆x 2＋y 2＝4与两坐标轴的交点， 又A 、B 是直线x ＋y ＝a 与圆的交点，∴a ＝2或－2.14．(文)若圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线l 1：x －y －1＝0对称，动圆P 与圆C 相外切且与直线l 2：x ＝－1相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程是________．[答案] y 2－6x ＋2y －2＝0 [解析]由题意知圆C 的圆心为C (a2，－1)，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，由两圆关于直线l 1对称，易得点(0,0)关于直线l 1：x －y －1＝0对称的点 (1，－1)就是点C ，故a ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为r ，由动圆P 与圆C 相外切可得：|PC |＝r ＋1，由图可知，圆心P 一定在直线x ＝－1的右侧，所以由动圆P 与直线l 2：x ＝－1相切可得r ＝x －(－1)＝x ＋1.代入|PC |＝r ＋1得：x －12＋y ＋12＝x ＋2，整理得：y 2－6x ＋2y －2＝0.(理)(2012²天津，12)设m 、n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵l 与圆相交弦长为2，∴1m 2＋n 2＝3，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16，l 与x 轴交点A (1m ，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴S △AOB ＝12|1m ||1n |＝12 1|mn |≥12³6＝3.15．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． [解析] (1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M 在圆外， 当过点M 的直线斜率不存在时，易知直线x ＝3与圆相切． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋1＝0，∵直线与圆相切，∴|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34，∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.∴所求的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由ax －y ＋4＝0与圆相切知|a －2＋4|1＋a 2＝2， ∴a ＝0或a ＝43.(3)圆心到直线的距离d ＝|a ＋2|1＋a2，又l ＝23，r ＝2，∴由r 2＝d 2＋(l 2)2，可得a ＝－34.16．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] 依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，① 又⊙C 的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，② 联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b ＋1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.(理)(2012²河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，已知直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，求k 的值；(3)若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |.[解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意可知，以AB 为直径的圆过原点O ，即OA ⊥OB ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理可知：x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1²x 2＝－34＋k2， y 1²y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4－4k24＋k2，所以，OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34＋k 2＋4－4k 24＋k 2＝0，得k 2＝14，即k ＝±12.(3)|OA →|2－|OB →|2＝x 21＋y 21－(x 22＋y 22)＝x 21－x 22＋y 21－y 22 ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋k (x 1－x 2)[k (x 1＋x 2)＋2] ＝[2k ＋(1＋k 2)(x 1＋x 2)](x 1－x 2) ＝6k x 1－x 24＋k2. 因为A 在第一象限，所以x 1>0，又因为x 1²x 2＝－34＋k 2，所以x 2<0，故x 1－x 2>0，又因为k >0，所以|OA |>|OB |.1．(2011²豫南四校调研考试)直线l 过点(－4,0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0 [答案] D[解析] ∵圆的半径为5，|AB |＝8，∴圆心(－1,2)到直线l 的距离为3.当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(－4,0)，所以直线l 的方程为x ＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l 的距离为3，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，则圆心(－1, 2)到直线l 的距离为|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，解之得k ＝－512，∴直线l 的方程为－512x －y －2012＝0，整理得5x ＋12y ＋20＝0.综上可得，满足题意的直线l方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＝－4，故选D.2．已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a 、b ∈R )，那么两圆的位置关系是( )A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切[答案] C[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O 1O 2|＝5<3，所以两圆相交． 3．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能[答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．4．(2012²河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c2＝a 2＋b 2，则OM →²ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2³(13)2－1＝－79，∵OM →²ON →＝3³3cos2θ＝－7，选A.5．(2012²沈阳六校联考)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8 D.212[答案] B[解析] 记圆心为C ，则由题意得|AB |＝5，直线AB ：x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C (0,1)到直线AB 的距离为165，点P 到直线AB 的距离h 的最小值是165－1＝115，△ABP的面积等于12|AB |h ＝52h ≥52³115＝112，即△ABP 的面积的最小值是112，选B.6．(2011²海淀期末)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为( )A.π2B ．πC ．3πD ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.7．(2011²北京日坛中学摸底考试)若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是 ( )A ．0<k <5B ．－5<k <0C ．0<k <13D ．0<k < 5[答案] D8．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点轨迹方程．[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，设l ：y ＝kx ＋5，由l 被⊙C 截得弦长为43及⊙C 半径r ＝4知d ＝2，∴|－2k －6＋5|1＋k2＝2， ∴k ＝34，当k 不存在时，切线l 为x ＝0，∴l 的方程为y ＝34x ＋5或x ＝0.(2)设弦的中点为M (x ，y )， 将y ＝kx ＋5代入⊙C 方程中得， (1＋k 2)x 2＋2(2－k )x －11＝0，设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋10＝2k 2－4k 1＋k 2＋10＝12k 2－4k ＋101＋k 2， ∵M 为AB 的中点，∴x ＝x 1＋x 22＝k －21＋k 2，y ＝y 1＋y 22＝6k 2－2k ＋51＋k2， 消去k 得所求轨迹方程为：x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. [点评] 也可以直接由x ＝k －21＋k 2及y －5x＝k 消去k 得出轨迹方程更简便些．。
河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《11-3推理与证明》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学闯关密练特训《11-3推理与证明》试题新人教A版1.(文)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199[答案] C[解析]本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.[点评] 解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．(理)已知函数f(x)＝sin x＋e x＋x2013，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，则f2014 (x)＝( )A．sin x＋e x B．cos x＋e xC．－sin x＋e x D．－cos x＋e x[答案] C[解析]f1(x)＝f′(x)＝cos x＋e x＋2013x2012，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x＋e x＋2013×2012x2011，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x＋e x＋2013×2012×2011x2010，f4(x)＝f3′(x)＝sin x＋e x＋2013×2012×2011×2010x2009，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；而f2014(x)＝f′2013(x)，此时其最后一项的导数将变为0.故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sin x＋e x.2．(文)(2011·惠州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|[答案] C[解析]如图所示，y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，P 1A ⊥l ，P 2B ⊥l ，P 3C ⊥l .由抛物线定义知：|P 1F |＝|P 1A |＝x 1＋p 2，|P 2F |＝|P 2B |＝x 2＋p2，|P 3F |＝|P 3C |＝x 3＋p2，∴2|P 2F |＝2(x 2＋p2)＝2x 2＋p ，|P 1F |＋|P 3F |＝(x 1＋p 2)＋(x 3＋p2)＝x 1＋x 3＋p .又∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.(理)(2011·山东实验中学期末)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ，②y ＝x ＋1x ，③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x 0，x ＝－1x ，x中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①[答案] C[解析] ①对于函数f (x )＝x －1x，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，∴①是“倒负”变换的函数，排除B ； ②对于函数f (x )＝x ＋1x有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )不满足“倒负”变换，排除A ；③，当0<x <1时，1x>1，∵f (x )＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x＝－x ＝－f (x )； 当x >1时，0<1x <1，∵f (x )＝－1x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＝－f (x )；当x ＝1时，1x＝1，∵f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0＝－f (x )，∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋n B ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋n C.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．4．(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A ．①④ B ．②⑤ C ．③⑤ D ．②③ [答案] C[解析] 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36, 28＋36＝64，只有③⑤是对的．5．设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集[答案] C[解析] 令a ＝1，b ＝2，a b ＝12，可排除A 、B.令a ＝2，b ＝32，ba＝3，可排除D ，故选C.[点评] 这是一个信息给予题，用筛选法(即排除法解)更加简便．6．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P (n )表示第n s 时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中正确的是( )A ．P (2012)＝404B ．P (2013)＝404C ．P (2014)＝405D ．P (2015)＝405[答案] A[解析] 显然每5s 前进一个单位，且P (1)＝1，P (2)＝2，P (3)＝3，P (4)＝2，P (5)＝1， ∴P (2012)＝P (5×402＋2)＝402＋2＝404，P (2013)＝405，P (2014)＝404，P (2015)＝403，故选A.7．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第2014个数对是________．[答案] (61,3)[解析] 所给各数对依次为对整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大依次分解，2的分解有一个(1,1)，3的分解有两个(1,2)，(2, 1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n (n ≥2，n ∈N )的分解有n －1个，由n －＋n －2≤2014得，n ≤63，∵n ＝63时，－2＝1953，故第2014个数对为64的分解第61对，由(1,63)，(2,62)，(3,61)，(4,60)，…知，第61对为(61,3)．8．(2011·湘潭五模)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6a t，(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________. [答案] 41[解析] 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1，所以当n ＝6时a ＝6，t ＝35，a ＋t ＝41.9．(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 10．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？[证明] (1)证法一(反证法)：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，∴q ＝0，与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列． 证法二：只需证明S n S n ＋2≠S 2n ＋1. ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1≠0.故{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则由S 1，S 2，S 3成等差数列得，2S 2＝S 1＋S 3.∴2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0， ∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，q ＝q 2， ∵q ≠1，∴q ＝0，与q ≠0矛盾.能力拓展提升11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C的机动车辆数如图所示，图中x 1、x 2、x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ︵、BC ︵、CA ︵的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 1>x 3>x 2C ．x 2>x 3>x 1D ．x 3>x 2>x 1[答案] C[解析] ∵x 1＝50＋(x 3－55)＝x 3－5⇒x 3>x 1，x 2＝30＋(x 1－20)＝x 1＋10⇒x 2>x 1， x 3＝30＋(x 2－35)＝x 2－5⇒x 2>x 3，∴x 2>x 3>x 1，∴选C.[点评] 抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键，考查阅读理解能力．12．(文)(2011·泉州模拟)考察下列一组不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2 52 ＋5 52 >22·5 12 ＋2 12 ·52，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．[答案] am ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)[解析] 由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“2 52 ＋5 52 >22·5 12 ＋2 12 ·5”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□>□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a □＋b □>a □·b □＋a □·b □”的形式． 再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)．(理)观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34[答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.13．(文)(2011·江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM＝________.”[答案] 3 [解析]如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33， AM ＝12－332＝63， R ＝63－R 2＋332，解得R ＝64. 于是，AO OM＝6463－64＝3. (理)如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(i h i )＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则∑i ＝14(i H i )的值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[答案] B[解析] 在平面四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2∑i ＝14(i h i )． 所以∑i ＝14 (i h i )＝2S k.类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4) ＝k 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝k3∑i ＝14(i H i )， ∴∑i ＝14 (i H i )＝3V k.[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．14．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m；现已知等比数列{b n }(n ∈N *)，b m ＝a ， b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，先类比上述结论，得出在等比数列{b n }中b n ＋m 的表达式，再证明你所得出的结论．[解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n a m ，数列中的bn －amn －m 可以类比等比数列中的n －m b na m，故b m ＋n ＝n －m b na m.证明如下：设b n ＝b 1qn －1，则b n ＋m ＝b 1q n ＋m －1，∵b m ＝a ，b n ＝b ，∴b n a m ＝b n nb m m ＝b 1q n －1n b 1q m －1m＝b n －m 1·qn (n －1)－m (m －1)＝b n －m 1·q(n －m )(n ＋m －1)，∴n －m b nam ＝b 1q n ＋m －1＝b m ＋n . 15．(2011·上海模拟)冬天，洁白的雪花飘落时非常漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：(ⅰ)将正三角形(图①)的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；(ⅱ)将图②的每三边等分，重复上述作图方法，得到图③；(ⅲ)再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．将图①、图②、图③……中的图形依次记作M 1，M 2，…，M n ，…，设M 1的边长为1. 记M n 的边数为a n ，边长b n ，周长为L n . (1)写出a 1，a 2，a 3；b 1，b 2，b 3； (2)求a n ，b n ，L n .[解析] (1)a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，b 1＝1，b 2＝13，b 3＝19.(2)其边数与边长的变化规律是：一条边变为4条边，边长为原来的13，如图∴a n ＋1＝4a n ，b n ＋1＝13b n .又a 1＝3，∴a n ＝3×4n －1，∵b 1＝1，∴b n ＝13n －1. ∴L n ＝a n ·b n ＝3×4n －1×13n －1 ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.16．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . [证明] 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2， 因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. 因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，所以(a －b )(a －c )>0，显然成立，故原不等式成立．1．(2011·江西理，7)观察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125[答案] D[解析] 因为58＝390625,59＝1953125. 所以5n(n ≥5)的末四位数字周期为4，2011＝502×4＋3，故52011的末四位数字为8125，故选D.2．将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在( )A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列[答案] B[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.3．(2011·清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[答案] B[解析]观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.4．(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A．11010 B．01100C．10111 D．00011[答案] C[解析]对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.5．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓[答案] A[解析]观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.6．(2012·陕西文，12)观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为__________________．[答案]1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析]本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋2<2n＋1n＋1，所以第五个不等式为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．7．(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式： ①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1； ②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1[解析] 所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.8．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解析] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明如下： 设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝x 1＋3＋x 2＋3x1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33. 9．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：a ＋12＋b ＋12≤2.[证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2，只需证a ＋12＋b ＋12＋2a ＋12b ＋12≤4， 又a ＋b ＝1，故只需证a ＋12b ＋12≤1，只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证ab ≤14. ∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立．10．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] (1)选择(2)式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-7圆锥曲线的综合问题(理)试题
1.(2012²潍坊教学质量监测)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0[答案] B[解析] 依题意得e ＝12，圆心坐标为 (2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，则所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.2．(2011²宁波十校联考)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2[答案] C[解析] 设A (x 1,3－x 21)，B (x 2,3－x 22)，由于A 、B 关于直线x ＋y ＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 22－3，3－x 21＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－2，设直线AB 的斜率为k AB ，∴|AB |＝1＋k 2AB |x 1－x 2|＝3 2.故选C.3．设F 是抛物线C 1： y 2＝2px (p >0)的焦点，点A 是抛物线C 1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C.52D. 5[答案] D[解析] 由题意可知，抛物线C 1的焦点为F (p 2，0)，因为AF ⊥x 轴，则A (p2，±p )，不妨取A (p 2，p )，则双曲线C 2的渐近线的斜率为p p 2＝b a ，∴ba＝2，令a ＝1，则b ＝2，c ＝a 2＋b2＝5，∴e ＝c a＝ 5.4．(2011²南昌检测)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B[解析] 记|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，所以椭圆的离心率为|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，选B. 5．(2011²台州二模)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－33p ，所以|AF ||BF |＝|y Ay B|＝3.6．(2012²东北三校一模)已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ²k PB ＝( )A.49 B.12C.23 D ．与P 点位置有关[答案] A[解析] 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 29－y24＝1，消去x 得y2＝367，y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－367，(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝y 1y 2＋y 20＋y 0(y 1＋y 2)＝y 20－367，(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝(2y 1＋x 0)(2y 2＋x 0)＝4y 1y 2＋x 2＋2x 0(y 1＋y 2)＝4y 1y 2＋x 20＝x 20－4³367＝9(y 24＋1)－4³367＝94(y 20－367)，x 1＋x 0y 1＋y 0²x 2＋x 0y 2＋y 0＝94.由⎩⎪⎨⎪⎧x 219－y 214＝1x 29－y 204＝1得x 21－x 209＝y 21－y 24，即y 1－y 0x 1－x 0＝49²x 1＋x 0y 1＋y 0，同理有y 2－y 0x 2－x 0＝49²x 2＋x 0y 2＋y 0，于是有k PA ²k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0x 2－x 0＝(49)2²x 1＋x 0y 1＋y 0²x 2＋x 0y 2＋y 0＝(49)2³94＝49，选A. 7．已知过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a2<2，即e 2<2，∵e >1，∴1<e < 2.8．设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx ＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25，∴欲使S △ABP ＝12|AB |²h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．9．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，若椭圆上存在点P ，使得直线PF 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，当直线PF 的倾斜角为2π3时，此椭圆的离心率是________．[答案]277[解析] 依题意得OP ⊥PF ，∵直线PF 的倾斜角为2π3，∴∠OFP ＝π3，∴sin π3＝b c ＝32，椭圆的离心率e ＝ca＝c c 2＋b2＝11＋bc2＝11＋322＝277. 10．(2012²昆明一中测试)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ，并说明理由． [解析] (1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p 2的距离，∴1＋p2＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的焦点为F (0,1)，直线l 的方程y ＝2x ＋1， 设点A 、B 、M 的坐标分别为(x 1，x 214)、(x 2，x 224)、(x 0，x 204)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4yy ＝2x ＋1消去y 得，x 2＝4(2x ＋1)，即x 2－8x －4＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4.∵MA ⊥MB ，∴MA →²MB →＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋(x 214－x 204)(x 224－x 204)＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0.∵M 不与A ，B 重合，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0，∴1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0，∴x 20＋8x 0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.∴方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB .能力拓展提升11.(2011²大纲全国理，10)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，不妨设A 在x 轴上方，∴A (4,4)，B (1，－2)，∵F 点坐标为(1,0)，∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，cos ∠AFB ＝FA →²FB→|FA →|²|FB →|＝－85³2＝－45. 方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2， 由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22²|AF |²|BF |＝－45.12.(2012²江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2.则下列结论不正确的是()A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1[答案] D[解析] 依题意得，a 1>a 2，c 1>c 2，a 1＋c 1＞a 2＋c 2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a 1－c 1＝a 2－c 2；由a 1>a 2，得1a 1<1a 2，又a 1－c 1＝a 2－c 2，因此a 1－c 1a 1<a 2－c 2a 2，即有c 2a 2<c 1a 1，a 1c 2<a 2c 1.因此，不正确的结论是D ，选D.13．若直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 27＋y 25＝1的公共点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定 [答案] C[解析] 因为直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，所以5m 2＋n2>5，即m2＋n 2<5，所以点P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5的内部，而该圆在椭圆x 27＋y 25＝1内部，故点P (m ，n )在椭圆x 27＋y 25＝1的内部，所以过点P (m ，n )的直线与椭圆x 27＋y 25＝1一定相交，故公共点的个数是2.14．(2012²安徽文，14)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.[答案] 32[解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可知x 1＋1＝3，x 1＝2，∴A (2,22)，则直线AF 斜率为k ＝22－02－1＝22，所以AB 方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，联立消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解之得x 1＝2，x 2＝12，∴B (12，－2)，所以|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝32.15．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b ＝c ＝1，a ＝ 2.所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去x 得，3y 2＋2y －1＝0，解得y 1＝－1，y 2＝13.∴S △POQ ＝12|OF |²|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝23.(3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k x －1可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)²PQ →＝0⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)²(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2＝0 ⇔2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇔m ＝k 21＋2k2(k ≠0)．∴0<m <12.16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →²QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca＝2，ab a 2＋b2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1x >0，y ＝k x －2，消去y 得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝4k 22－43－k 2－4k 2－3>0，所以k 2>3.②因为PN →²QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5.又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3， 而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3. ∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)． 即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.1．(2011²辽宁文，7)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74[答案] C[解析] 如图所示：∵|AF |＝|AK |，|BF |＝|BM |， ∴|AK |＋|BM |＝|AF |＋|BF |＝3，∴AB 的中点P 到准线的距离为： |PN |＝12(|AK |＋|BM |)＝32∴点P 到y 轴的距离为32－14＝54.2.(2012²镇江调研)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过它的顶点O 作两条互相垂直的弦OA ，OB .(1)证明直线AB 过定点；(2)求抛物线顶点O 在AB 上射影M 的轨迹方程．[解析] (1)不妨设A (2px 21，2px 1)，B (2px 22，2px 2)(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率是1x 1＋x 2， 于是l AB ：y －2px 2＝1x 1＋x 2(x －2px 22)， 即(x 1＋x 2)y ＝2px 1x 2＋x ， 又∵OA ⊥OB ，∴1x 1²1x 2＝－1.因此，直线方程为(x 1＋x 2)y ＝－2p ＋x ，令y ＝0得x ＝2p ， ∴l AB 恒过定点(2p,0)．(2)由(1)的结论可知，AB 过定点N (2p,0)．设M (x ，y )，当AB 斜率存在时，由K OM ²K AB ＝－1可知，y x ²y x －2p＝－1，即(x －p )2＋y 2＝p 2. 当AB ⊥x 轴时，点M 与点N 重合，方程也满足．∴点M 的轨迹方程是(x －p )2＋y 2＝p 2.它表示以点(p,0)为圆心，p 为半径的圆(去掉坐标原点)．3．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →²FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )， 依题意有，x －22＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)∵点E 与点F 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为(－2，0)．∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)．∵EM →²FN →＝0，∴(32，y 1)²(2，y 2)＝0，∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1. 由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0.∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1²6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立．故|MN |的最小值为2 6.。
【数学】高考数学闯关密练特训108离散型随机变量及其概率分布试题理新人教A版
【关键字】数学河南省洛阳市第二外国语学校高考数学闯关密练特训《10-8离散型随机变量及其概率分布》试题理新人教A版1.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9[答案] C[解析] ∵P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A．0.12 B．0.42C．0.46 D．0.88[答案] D[解析] P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为( )A. B.C. D.[答案] A[解析] 设甲胜为事件A，则P(A)＝，P()＝，∵甲以31的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为p＝C·()2··＝.4．在15个村庄中有是7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)[答案] C[解析] CC表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P(X＝4)＝.5．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A．0.45 B．0.6C．0.65 D．0.75[答案] D[解析] 设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下，A发生的条件概率，∵P(AB)＝0.6，P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P(A|B)＝＝＝0.75.6．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是( )A．[0，] B．[，]C．[，] D．[0，][答案] D[解析] 设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P()＝P()·P()＝(1－x)·(1－y)＝⇒1＋xy＝＋x＋y≥＋2.当且仅当x＝y时取“＝”，∴≤或≥(舍)，∴0≤xy≤.∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈[0，]．7．(2011·荆门模拟)由于电脑毛病，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替，x、y是0～9的自然数)，其表如下：X 12345 6P 0.200.100.x50.100.1y 0.20[答案] 2,5[解析] 由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，于是两个数据分别为2,5.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于为事件B，则P(B|A)＝________.[答案][解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A，B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P(B|A)＝.9．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．[解析] (1)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ，则两次取球的编号的一切可能结果(m ，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P ＝＝. 所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 Cp2(1－p)＝3×()2×()＝.(3)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. P (X ＝3)＝C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X 的分布列为：X 3456P10.(2012·福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌 甲 乙首次出现故障 时间x (年) 0<x ≤1 1<x ≤2 x >20<x ≤2 x >2轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析] (1)“发生故障”这一事件可表示为“x ≤2”；(2)弄清事件“x 1＝m ”和“x 2＝n ”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车．[解析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A . 则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 123PX 2的分布列为X 2 1.8 2.9P(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．[点评] (1)本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．(2)概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义.能力拓展提升11.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220 B.2755 C.27220D.2155[答案] C[解析] P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.12．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.92[答案] D[解析] X 的取值有：3、4、5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，∴E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝92.13．甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①A 1、A 2、A 3是两两互斥的事件； ②事件B 与事件A 1相互独立； ③P (B )＝2755；④P (B |A 2)＝611.[答案] ①④[解析] ①从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A 1发生，此时事件A 2，A 3一定不会发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故①正确；②事件A 1发生与否，直接影响到事件B 的发生，故B 与A 1相互不独立，故②错误； ③P (B )＝P (B ·(A 1∪A 2∪A 3))＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝410×711＋210×611＋410×611＝3255，故③错误；④P (B |A 2)＝P A 2BP A 2＝655210＝611，故④正确．14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A 片区与C 片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X 为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X 的分布列． [解析] (1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C 410＝210，记事件A 为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C 28＝28，所以P (A )＝28210＝215.(2)根据题意可知X 可能的取值是0,1,2,3,4.X ＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P (X＝0)＝1C 410＝1210， X ＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P (X＝1)＝C 34C 16C 410＝435，X ＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P (X ＝2)＝C 24·C 26C 410＝37，X ＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P (X ＝3)＝C 14·C 36C 410＝821，X ＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P (X＝4)＝C 46C 410＝114.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P15.(2012·东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A －B －C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518， P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818， P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为ξ 30405060PE (ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453. [点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．1．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.13B.23C.3281D.881[答案] C[解析] 设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P k ＝C k 4p k(1－p )4－k(k ＝0,1,2,3,4)，∴p 0＝C 04p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－p 0＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13，∴p 1＝C 14p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，故选C.2．(2011·烟台模拟)随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为( )A.23B.34C.45D.56[答案] D [解析] 由题意得，a 1·2＋a 2·3＋a 3·4＋a4·5＝1， a (1－12＋12－13＋…＋14－15)＝4a 5＝1，a ＝54，P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a1·2＋a 2·3＝2a 3＝56. 3．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 [解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P ξ＝x 3＋P ξ＝x 1＝2P ξ＝x 2Pξ＝x 1＋P ξ＝x 2＋P ξ＝x 3＝1，∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.4．质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E (ξ)． [解析] (1)不能被4整除的有两种情形：①4个数均为奇数，概率为P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116；②4个数中有3个奇数，另一个为2， 概率为P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·14＝18.故所求的概率为P ＝116＋18＝316.(2)P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)，ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4Pξ服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12，则E (ξ)＝4×12＝2.5．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：g)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505g 的产品数量．(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505g 的产品数量，求Y 的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505g 的概率． [解析] (1)重量超过505g 的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y 的分布列为Y 0 1 2P(3)从流水线上取5件产品，恰有2件产品的重量超过505g 的概率是 C 328C 212C 540＝28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1＝21×1137×19＝231703. 6．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)． [解析] (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DE F －，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ012 3P 0.10.350.40.15因此E(ξ)此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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1.设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10 D ．n ＝9[答案] C[解析] ∵P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88[答案] D[解析] P ＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3 1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89[答案] A[解析] 设甲胜为事件A ，则P (A )＝23，P (A )＝13，∵甲以3 1的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为p ＝C 23·(23)2·13·23＝827.4．在15个村庄中有是7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)[答案] C[解析] C 47C 68表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015. 5．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75[答案] D[解析] 设“甲击中目标”为事件A ，“目标被击中”为事件B ，则所求概率为事件B 发生的条件下，A 发生的条件概率，∵P (AB )＝0.6，P (B )＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P (A |B )＝P AB P B ＝0.60.8＝0.75.6．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A ．[0，89]B ．[19，59]C ．[23，89]D ．[0，49][答案] D[解析] 设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－x )·(1－y )＝19⇒1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy .当且仅当x ＝y 时取“＝”，∴xy ≤23或xy ≥43(舍)，∴0≤xy ≤49.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈[0，49]．7．(2011·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替，x 、y 是0～9的自然数)，其表如下：[答案] 2,5[解析] 由于0.20＋0.10＋(0.1x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y )＋0.20＝1，得10x ＋y ＝25，于是两个数据分别为2,5.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B ，则P (B |A )＝________.[答案]512[解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A ，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B ，用枚举法可知A 包含的基本事件为12个，A ，B 同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P (B |A )＝512.9．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率； (3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． [解析] (1)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ，则两次取球的编号的一切可能结果(m ，n )有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P ＝C 15C 26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 C 23p 2(1－p )＝3×(13)2×(23)＝29.(3)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. P (X ＝3)＝C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X 的分布列为：润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析] (1)“发生故障”这一事件可表示为“x ≤2”；(2)弄清事件“x 1＝m ”和“x 2＝n ”的含义，才能求出概率分布列； (3)应该生产利润期望大的轿车．[解析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A . 则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×25＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．[点评] (1)本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．(2)概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义.能力拓展提升11.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220 B.2755 C.27220D.2155[答案] C[解析] P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.12．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.92[答案] D[解析] X 的取值有：3、4、5，P (X ＝3)＝1C 5＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，∴E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝92.13．甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①A 1、A 2、A 3是两两互斥的事件； ②事件B 与事件A 1相互独立； ③P (B )＝2755；④P (B |A 2)＝611.[答案] ①④[解析] ①从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A 1发生，此时事件A 2，A 3一定不会发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故①正确；②事件A 1发生与否，直接影响到事件B 的发生，故B 与A 1相互不独立，故②错误； ③P (B )＝P (B ·(A 1∪A 2∪A 3))＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝410×711＋210×611＋410×611＝3255，故③错误； ④P (B |A 2)＝P A 2B P A 2＝655210＝611，故④正确．14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A 片区与C 片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X 为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X 的分布列． [解析] (1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C 410＝210，记事件A 为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C 28＝28，所以P (A )＝28210＝215. (2)根据题意可知X 可能的取值是0,1,2,3,4.X ＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P (X＝0)＝1C 410＝1210， X ＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P (X＝1)＝C 34C 16C 410＝435，X ＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P (X ＝2)＝C 24·C 26C 410＝37，X ＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P (X ＝3)＝C 14·C 36C 410＝821，X ＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P (X ＝4)＝C 46C 410＝114.所以X 的分布列为：试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率． (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518， P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818， P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为E (ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.[点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．1．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.13B.23C.3281D.881[答案] C[解析] 设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P k ＝C k 4p k(1－p )4－k(k ＝0,1,2,3,4)，∴p 0＝C 04p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－p 0＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13，∴p 1＝C 14p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，故选C.2．(2011·烟台模拟)随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为( )A.23B.34C.45D.56[答案] D [解析] 由题意得，a 1·2＋a 2·3＋a 3·4＋a4·5＝1， a (1－12＋12－13＋…＋14－15)＝4a 5＝1，a ＝54，P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a1·2＋a 2·3＝2a 3＝56. 3．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P ξ＝x 3＋P ξ＝x 1＝2P ξ＝x 2P ξ＝x 1＋P ξ＝x 2＋P ξ＝x 3＝1，∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.4．质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E (ξ)． [解析] (1)不能被4整除的有两种情形：①4个数均为奇数，概率为P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116；②4个数中有3个奇数，另一个为2， 概率为P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·14＝18.故所求的概率为P ＝116＋18＝316.(2)P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)，ξ的分布列为ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2，则E (ξ)＝4×2＝2. 5．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：g)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505g的产品数量．(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505g的产品数量，求Y的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505g的概率．[解析](1)重量超过505g的产品数量是40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件．(2)Y的分布列为(3)C328C212 C540＝28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1＝21×1137×19＝231703.6．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C 各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析](1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F －，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F 、D E F 、D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E (ξ)。