3.2多维离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
3.2 离散型随机变量
1、已知分布律，求分布函数※
例3：已知X的分布律，
求 X 的分布函数。
X p Pk
1 1 4
2 1 2
3 1 8
4 1 8
F ( x) P( X x)
x 1 0, P X 1 1 , 1 x 2 4 P X 1 P X 2 3 2 x3 4 P X 1 P X 2 P X 3 7 3 x 4 8 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 1 4 x
例2：某人的手枪里有5发子弹，他向一个目 标独立地射击，直到首次击中才停止射击。 已知每发子弹命中目标的概率为0.6，求消耗 子弹数X的分布律。
已知离散型随机变量的分布律, 求出随机事件的概率. 练习：设随机变量 X 的分布律为
求P
X 2 , P 0 X 5/ 2, P 1 X 3
例如，袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个, 以Y表示3个球中的最大号码,则Y服从超几何分布。
本节小结：
知识点与基本要求： （1）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 离散型随机变量的分布律的性质； （2）理解四种常见分布的实际意义，掌握四种分布(两 点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布)及其应用； （3）理解泊松定理的结论和应用条件，了解应用泊松 分布近似表示二项分布； 教学重点：离散型随机变量的分布律性质，四种常见 分布的分布律及其应用； 教学难点：四种常见分布的分布律及其应用。
2、二项分布
设X表示n重伯努利试验中事件A发生的总次数.
X的分布律为
P( X k ) C p (1 p)
k n k
n k
概率论与数理统计3.2 离散型随机变量及其分布律
(2)每次试验中事件 A 发生的概率相等, P( A) p
且 0 p1
则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验
定理 (伯努利定理) 设在一次试验中，事件 A
发生的概率为 p(0 p 1), 则在 n 重贝努利
试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P{ X
k}
C
k n
pk (1
解 设X：该学生靠猜测能答对的题数
则 X ~ B 5, 1
4
P至少能答对4道题 P X 4
P X 4 P X 5
C
4 5
1 4
4
3 4
1 5
4
1 64
某人进行射击，设每次射击的命中率 为0.02，独立射击400次，求至少击中 两次的概率。
称
pi P{ X xi } i 1,2,3,
为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也 称为分布列或分布律
表格形式
X x1 pi p1
x2 xn p2 pn
分布列的性质：
(1) pi 0 , k 1,2,
(2) pi 1
i
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数 为X,则X~B(400,0.02),
P{ X
k}
C
k 400
(0.02)
k
(0.98)400
k
(k
0,1,2,..., 400)
所求概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
离散型随机变量及分布列
离散型随机变量的分布列应注意问题：
X
P
x1
P1
x2
P2
…
…
xi
Pi
…
…
1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率； 2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
（2） pi p1 p2 pn 1
离散型随机变量及其分布列
一、随机变量的概念：
我们把随机试验的每一个可能的结果都对应于一 数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数 字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量 就叫做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。
注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是 可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义 “X=0，表示正面向上，X =1，表示反面向上”
（4）某品牌的电灯泡的寿命X； [0，+∞) （5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场 任意一棵树木的高度x． [0.5，30]
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
二、随机变量的分类：
1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一 列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 （如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等） 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 （如灯泡的寿命，树木的高度等等） 注意： （1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； （2）变量离散与否与变量的选取有关； 比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量
按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列一、基本知识概要：1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作ηξ,； 说明：若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ,是常数，则η也是随机变量。
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出 连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。
说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。
②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。
3. 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21i x x x ，且i i p x P ==)(ξ，则称为随机变量ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个性质： ①0)(≥==i i p x P ξ；②121=⋅⋅⋅++p p求解离散型随机变量的分布列的两个步骤：①确定该随机变量所有可能的取值；②分别计算相应的概率。
4. 二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0，1，2，3，…，n ，并且kn k k n q p C k P -==)(ξ（其中k=0,1,2,…,n，p+q=1）,称这样的随机变量ξ服从参数为n 和p 的二项分布，记作：),(~p n B ξ。
注意：要理解二项分布的实质，善于在实际问题中看出随机变量服从二项分布。
二、例题：例1：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1） 不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2） 放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列。
剖析：随机变量ξ可以0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。
解：（1）,151)2(,157)1(,157)0(3102218310281231038=========C C C P C C C P C C P ξξξ 所以ξ的分布列为（2）)3,2,1,0(2.08.0)(38=⋅⋅==-k C k P kk k η，所以η的分布列为说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即)8.0,3(~B η。
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量及其分布列教案一、引言1.1 概念介绍离散型随机变量是统计学中的一个重要概念，它描述了在一次实验中可能取到的离散数值，如扔一枚硬币可以取到正面和反面两个离散数值。
本文将介绍离散型随机变量的基本概念及其分布列。
1.2 学习目标通过本教案的学习，你将能够：- 理解离散型随机变量的基本概念；- 了解离散型随机变量的分布列及其性质；- 掌握计算离散型随机变量概率的方法。
二、离散型随机变量的定义2.1 随机变量的概念在概率论中，随机变量是指定义在某个概率空间上的实值函数，它的取值是由实验结果决定的。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型，本文主要关注离散型随机变量。
2.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量是指其取值是有限个或可数个的随机变量。
扔一枚硬币的实验可以定义一个离散型随机变量X，它的取值为1（正面）和-1（反面）。
三、离散型随机变量的分布列3.1 定义离散型随机变量的分布列，也称为概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF），描述了随机变量取各个值的概率。
3.2 示意图我们可以通过绘制柱状图来直观地表示离散型随机变量的分布列。
横轴表示随机变量的取值，纵轴表示对应取值的概率。
3.3 性质离散型随机变量的分布列具有以下性质：- 非负性：概率质量函数的取值非负；- 总和为1：所有可能取值的概率之和等于1。
四、计算概率4.1 概念介绍在实际问题中，我们常常需要计算离散型随机变量的概率。
概率计算可以基于分布列进行。
4.2 计算方法计算离散型随机变量概率的基本方法是通过分布列查找对应取值的概率。
具体而言，对于随机变量X和某个取值x，我们可以通过查找分布列找到对应的概率P(X=x)。
五、总结与回顾5.1 概括概念通过本教案的学习，我们了解了离散型随机变量的基本概念及其分布列。
离散型随机变量的分布列描述了随机变量取各个值的概率。
5.2 理解计算方法我们学会了通过分布列计算离散型随机变量的概率的方法。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列离散型随机变量是概率论中的一种重要概念。
它是指取有限或无限个数值的随机变量，其可能取值的集合是离散的。
离散型随机变量可以用分布列来描述其取值和对应的概率。
离散型随机变量的分布列是一个表格，其中包含了随机变量的所有可能取值和对应的概率。
这个表格可以用来表示离散型随机变量的分布情况。
每个取值对应的概率是该取值发生的可能性大小。
为了更好地理解离散型随机变量及其分布列，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个掷硬币的实验，正面朝上记为1，反面朝上记为0。
这个实验的随机变量X可以取到的值只能是0或1，因此X是一个离散型随机变量。
通过多次实验，我们记录下了X的取值和对应的频率，得到如下的分布列：| X | 0 | 1 || :--: | :-: | :-: || P(X) | 0.4 | 0.6 |在这个例子中，分布列告诉我们当硬币扔出来后，有40%的可能性出现反面朝上，有60%的可能性出现正面朝上。
离散型随机变量的分布列具有以下性质：1. 所有可能取值的概率大于等于0：对于所有可能取值xi，P(X=xi)大于等于0。
2. 所有可能取值的概率之和为1：所有的概率值P(X=xi)的和等于1，即ΣP(X=xi) = 1。
离散型随机变量的分布列可以通过实验或者推理来确定。
在实验中，可以通过重复进行一定次数的实验，记录下随机变量的取值和对应的频率，从而近似估计出分布列。
在推理中，可以根据问题的给定条件和假设，利用概率论的理论和方法来推导出分布列。
离散型随机变量的分布列对于概率计算和统计分析非常重要。
通过分布列，可以计算出随机变量的期望、方差和其他重要统计量。
同时，分布列也可以用来描述随机变量的概率分布，从而进一步研究随机现象的规律和性质。
常见的离散型随机变量及其分布列有很多，例如二项分布、泊松分布、几何分布等。
这些分布在概率论、统计学和应用领域中都有广泛的应用。
对于每种离散型随机变量，都有其特定的分布列形式和计算方法。
离散型随机变量及其分布列
1.试验与随机试验 凡是对现象的观察或为此而进行的 实验，都称之为试验，一个试验如果满足 下述条件： (1)试验可以在相同的情形下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的 一个，但在一次试验之前却不能肯定这次 试验会出现哪一个结果． 它就被称为一个随机试验．
中 x，y＝1,2，„，6，而 ξ＝x×y，
x＝1， ξ＝4⇒ y＝4 x＝4， 或 y＝1 x＝2， 或 y＝2.
离散型随机变量的分布列
(1)分布列的定义 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，„，xi，„，xn，X取 每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
解析 (1)X的可能取值为1,2,3，„，10，X＝k(k＝1,2，„， 10)表示取出编号为k号的球． (2)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个 白球，其中k＝0,1,2,3,4. (3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子 乙得j点，X的可能取值为2,3,4，„，12，则X＝2表示(1,1)；
当ξ＝3 时，即取出的三只球中最大号码为 3，则其他两球的 C3 1 3 编号只能是 1,2，故有 P(ξ＝3)＝ 3＝ ； C5 10 当ξ＝4 时，即取出的三只球中最大号码为 4，则其他两球只 C2 3 3 能在编号为 1,2,3 的 3 只球中取 2 只，故有 P(ξ＝4)＝ 3＝ ； C5 10
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化， 对水位值我们不能按一定次序一一列出．
规律
解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的关键
点是可以“一一罗列出”， 这就说明试验的结果是有限的，这 点是区别于非离散型随机变量的关键．
离散型随机变量及其分布列
故 X 的分布列为
X
2
3
P
1 4
3 4
X 的数学期望为 E(X)＝2×14＋3×34＝141.
X 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名 男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求X的分布列．
解：依题意，随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(X＝k)＝Ck6CC41440－k(k＝0,1,2,3,4)． ∴P(X＝0)＝CC06C14044＝2110，P(X＝1)＝CC16C14034＝345，
P(X＝2)＝CC26C14024＝37，P(X＝3)＝CC36C14014＝281， P(X＝4)＝CC46C14004＝114，∴X 的分布列为
考题 (2011·湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如
下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3
频数
1595
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设 某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若 发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频 率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分 布列和数学期望．
【解】 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为 0
件)＋P(当天商品销售量为 1 件)
＝210＋250＝130.
(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3. P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为 1 件”)＝250＝14； P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为 0 件”)＋P(“当天商 品销售量为 2 件”)＋P(“当天商品销售量为 3 件”)＝210＋ 290＋250＝34.
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0，i＝1，2，…，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝x i）＝p i，i＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2．两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1－p p若随机变量X p＝P(X＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )(4)超几何分布的模型是放回抽样．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )A.ξ－10 1P 0.30.40.4B.ξ12 3P 0.40.7－0.1C.ξ－10 1P 0.30.40.3D.ξ12 3P 0.30.10.4答案：C若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y为整数，则ξ＝0；若x y 为小于1的分数，则ξ＝－1；若xy为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使xy为整数的有以下8种：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)． 【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115. (2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为1．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为2．[变条件]3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23 .故P(ξ＝0)＝1－p＝13 .2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )A.1220 B.2755C.27220D.2125解析：选C.X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.3．随机变量η的分布列如下则x＝________，P解析：由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2)．解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P(ξ＝0)＝C04C33C37＝135，P(ξ＝1)＝C14C23C37＝1235，P(ξ＝2)＝C24C13C37＝1835，P(ξ＝3)＝C34C03C37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝35＋35＝35.知识结构 深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义.[A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C. 3．设随机变量X 的概率分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝A.712B.512C.14D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B. 4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1≤x <2 解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A.528B.17C.1556D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.答案：168．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.列表为：(1)2X＋1的分布列为：(2)|X－1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数n＝C15＋C25＋C35＋C45＋C55＝31.事件A包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A包含的基本事件数m＝3.所以P(A)＝mn＝331.(2)依题意，X的所有可能值为1，2，3，4，5.又P(X＝1)＝C1531＝531，P(X＝2)＝C2531＝1031，P(X＝3)＝C3531＝1031，P(X＝4)＝C4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P5311031103153113111．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1] 解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列．解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为14．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为2 15＋310＝1330.则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝。
随机变量及其分布列
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。
离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。
离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。
离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。
二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。
伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。
2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。
超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。
3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。
其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。
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对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。
/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。
这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。
因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
离散型随机变量及其分布列
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，
但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%.
如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于
4.73 万元，则三等品率最多是多少？
基础知识
题型分类
思维启迪
思想方法
解析
探究提高
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
离散型随机变量的分布列的求法及应用
【例 2】 随机抽取某厂的某种产品 200 件，
经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50
件、三等品 20 件、次品 4 件．已知生产 1
件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、
2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元．设
1 件产品的利润(单位：万元)为 ξ.
(1)求 ξ 的分布列；
(2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值)；
A
D
题型分类
思想方法
解析
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
离散型随机变量的分布列的性质
【例 1】 设随机变量 ξ 的分布列为 思维启迪 解析 答案 探究提高 Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常
数 a 的值为________， Pξ≥35＝________.
基础知识
件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝
CkMCnN－－kM ____C__nN______(k＝0,1,2，…，m)，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，
M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列
值以及取这些值或取某一集 合内的值的概率，对于离散型 随机变量，它的分布列正是指 出了随机变量 X 的取值范围 以及取这些值的概率． (2)利用离散型随机变量的分
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列[考纲传真]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．【知识通关】1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①p i≥0，i＝1,2,3，…，n；②∑ni＝1p i＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．()布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是() A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D．以上答案都不对C3．设随机变量X的分布列如下：A.16B.13C.14D.112C4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 105．在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________．P(X＝k)＝C k3·C4－k7C410，k＝0,1,2,3离散型随机变量的分布列的性质1．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________.232．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求a ； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ≤710.[解] (1)由分布列的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， 所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.[方法总结] (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.求离散型随机变量的分布列【例1】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为X 200 300 400 P 11031035[方法总结] 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列．[解] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝1－535＝67. (2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是X 1234P 1354352747超几何分布【例2】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)[75，85]频数31111 3量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为ξ0123P 72421407401120[方法总结]求超几何分布的分布列的步骤某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．[解](1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C34C37＝4 35，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝1 35，∴X的分布列为X 0123P 43518351235135。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列如果随机试验每一个可能结果e ，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X ，Y…表示。
如果随机变量X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称X 为离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ，，，...21，其相应的概率为n p p p ，，，...21，记：)...2,1()(n i p x X P i i ，，===或把上式列成下表:上表或上式称为离散型随机变量X 的概率分布列(简称X 的分布列).离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)n i p i ，，，，...210=≥;(2)1...21=+++n p p p 【例题1】全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下:现从该班中任选一名学生，用X 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X 的分布列.【例题2】设随机变量X 的分布列为4,321)1()(，，，=+==k k k c k X P ，其中c 为常数，求2521(＜＜X P 的值。
【练习】1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X;(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X;(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.2.用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分别说明下列随机事件的含义.(1){X=8};(2){1<X≤10};(3){X≥1};(4){X<1}3.离散型随机变量X的分布列如下表所示，求p的值4.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求X>4的概率.两点分布如果随机变量X 只取值0或1，且其概率分布是)1,0(1)0(,)1(∈-====p p X P p X P ，则称随机变量X 服从两点分布，记作：)1(~p B X ，两点分布又称0-1分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布，例如，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量米描述。
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值为 bi ( j 1.2 ) ,如果对任意的 a i , b j 有：
P ( a i , b j ) P a i P ( bi )
成立,则称随机变量 与 相互独立。 注: 1、两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响， 2、随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机 变量的场合。
概率论与数理统计
定义 设 1 , 2 , , n 是n个离散型随机变量，i 的可能取 值为aik (i 1, 2, , n ; k 1, 2, ),如果对任意的一组( a1k , , ank
1 n
),
恒有
P ( 1 a1k , , n a nk n ) P ( 1 a1k1 ) P ( 2 a 2 k 2 ) P ( n a nk n )
,同为离散型
( , ) ，主要讨论两方面
（2） ( , ) 以多大概率取值。
概率论与数理统计
二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：
1) 非负性：i, j ,
pij 0,
i,j=1,2…，
2) 规范性： pij 1. i j 3) P ( ai ) pij pi. , P ( b j ) pij p. j .
0
1 9
0 0
概率论与数理统计
边际分布（边缘分布）
二维随机变量 ( , ) 作为一个整体，它具有概率分布 （联合分布列），而它的每一个分量 ， 也是随机变量， 因此自身也具有概率分布（ 分布列），它们分别称为 ( , ) 关于的 ， 边际（边缘）分布，记为
P ( a i ) p i .与 P ( b j ) p j
0 .1
0
0 .2
0
0.2
0
0
解
P 1, 2 p22 p23 p24 p32 p33 p34 0.5, P 1 p11 p12 p13 p14 0.2.
概率论与数理统计
二、离散型随机变量的独立性
定义 设随机变量 的可能取值为a i (1.2 ) , 的可能取
P ( 0， 0)
1 32
1 9
, P ( 0， 1)
2 32
2 9
,
P ( 0， 2)
1 32
1 9
,
P ( 1 2) P 0, ，
P ( 1 0) ，
2 3
2
2 9
,
P ( 1 1) ，
概率论与数理统计
2．为直观起见，二维离散型随机变量的分布列 也可以表示成如下表格的形式： bj b1 b2 … …
a1 a2
p11
p21
p12 p22
… …
p1 j p2 j
… …
ai
p i1
pi 2
pij
…
…
此表也称为概率分布表。
概率论与数理统计
说明：1.若 ( , ) 为二维r.v.，且 r· ( , )为二维离散型r.v.。 v 2. 关于二维离散型r.v. 的问题。 （1） ( , ) 取值范围；
p i
0
1/9
1/9
1/36
1/4
1
2
p j
2/9
1/9 4/9
2/9
1/9 4/9
1/18
1/36 1/9
1/2
1/4
概率论与数理统计
例7 把一枚均匀硬币掷三次，设 表示头两次掷 出正面的次数，表示这三次投掷中出现正面的总次 数，试求( , ) 的分布列。 解 的可能取值为0,1,2， 的可能取值为0,1,2,3 如 P 1, 2 P (“头两次掷出1个正面，这三次 共掷出2个正面”)
P i , j
i 3 C 2 C 2j C 4 i j
C
3 8
, i , j 0,1, 2, 且 0 3.
0
0
1 14 3 14 1 14
1
3 14 2 7 1 28
2
1 14 1 28
1 2
0
概率论与数理统计
例9 袋中装有2只红球和3只绿球，从中有放回地取 两次，每次取1球，记 为第一次取出的红球数，为第 二次取出的红球数，问 , 是否独立? 解 ( , ) 的联合分布列及边际 分布列如下表：
-1 1/15
1 p
p i
0
1 2 p j
q 1/5
1/5 3/10
(c)
概率论与数理统计
例6.掷骰子两次,得到偶数点的次数记为 , 得到3点或 6点的次数记为 . 求 , 的联合分布与边际分布.
解. , 的可能取值都为0,1,2.显然, , 相互独立,且
P ( 0) P ( 0) 32 6
j
3 1 j 2 3 ( ) ( ) j 3 3
j
27 i! j! ( 3 i j )!
,0 i j 3 .
0
在 i j 0
或 i j 3 时, pij
.
表3.1
概率论与数理统计
0
1
2
3
Pi.
0 1
1/27 1/9
1/9 2/9
1/9 1/9
0
1 8
1
1 8
2
0
3
0
0
1 4
1 4
0
0
0
1 8
1 8
概率论与数理统计
例8 一批产品共8件，其中一等品2件，二等品2件， 三等品4件，从中任取3件，令 为取到的一等品件数， ( , ) 为取到的二等品件数，试求 的分布列。 解 , 的可能取值为0,1,2，且 3, 则
2
1 4 4 9
, P ( 1)
33 33 6
2
1 2 4 9
, P ( 2) , P ( 2)
32 6
2
1 4 1 9
.
42 6
2
, P ( 1)
42 24 6
2
22 6
2
.
从而得联合分布表如下:
概率论与数理统计
0
1
2
P ( a i , b j ) p ij
(i, j=1,2,…)
注意
( ai , b j ) ( ai ) ( b j )
。
称 pij P ( ai , b j ) i, j=1,2,…为二维随机变量( , ) 的联 合分布列，简称为分布列。
概率论与数理统计
3 P ( i j ) i
j 1 i 1 3 j i 3 j 1 3 j ( ) ( ) 2 2 i ( 2 ) ,0 i j 3 .
于是
p ij 3 j 1 3 ( ) 2 i 1 3!
1 18
概率论与数理统计
所以
1 6 1 9 1 18 1 3 1, 1
,
3 ( ) , 9 3 9 1 1 1
2 9
,
1 9
,
故 当 , 时， , 相互独立。
9 9
2
1
概率论与数理统计
例5. ( , ) 的联合分布如下表,则( p, q ) =( )时, , 相互独立. a.(1/5,1/15), b.(1/15,1/5), c.(1/10,2/15), d.(2/15,1/10).
解: , 的可能取值为 １ ２ ３ ２ 0,1,2,3. pij P ( i , j ) P ( i j ) P ( j ), 0 i j 3. 因为
3 1 j 2 3 j P ( j ) ( ) ( ) ,0 j 3 . j 3 3
成立，则 1 , 2 , , n 称是相互独立的。
例4 ( , ) 的联合分布列为 1 2
概率论与数理统计
3
1 18
1 2
1 6 1 3
1 9
试问：， 为何值时， , 相互独立？ 解 1 2 3
1 2
1 6 1 3 1 2 1 9
1 9
1 18 1 3
1 3
0
0
1
p i
3 2 5 4
2 3 5 4
1
3 2 5 4 2 1 5 4
3 5 2 5
p j
3 5
2 5
pij pi p. j
对任意的有i, j ，所以
不相互独立。
概率论与数理统计
三、二维随机变量函数的分布
设 ( , )是一个二维离散型随机变量，f (x , y)是实变 量x和y的单值函数，这时 f ( , ) 仍是一个离散型随机 变量。 设 , , 的可能取值为: ai , b j , ck (i, j , k 1.2. ) 令 C k ( a i , b j ) | f ( a i , b j ) c k (i, j, k=1,2,…),则有
j 1
i 1
pij P( xi , y j )的求法
⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式