高二数学正弦和余弦函数的性质2
正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．知识点一、正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二、正弦、余弦函数的单调性当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1.·正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？类型一、求正弦、余弦函数的单调区间 例1求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．跟踪训练1求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间．类型二、正弦、余弦函数单调性的应用 命题角度1利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π.跟踪训练2cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．跟踪训练3已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]类型三、正弦、余弦函数的值域或最值例4求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．跟踪训练4已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－12．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 14．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ， 解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数，∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1， 当t ＝1时，y max ＝72， 故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．(3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1. 若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 余弦函数的最大值与最小值答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ， ∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.。
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
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已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
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第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求 单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
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3 ． (2018 年 内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 二 模 ) 若 函 数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的 最 大 值 为 3 ， 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ________．
求最值．
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1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
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目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在
【高中数学必修四】第1章 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线． 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1] [－1,1]单调性在⎣⎡ －π2＋2k π，π2 ]＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎡ π2＋2k π，3π2＋ ]2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增， 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确．类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2. 2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 答案 D解析 因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2. 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 A3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4．(2017·九江高一检测)y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为() A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 A 解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.6．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3 B.8π3C ．2πD ．4π 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 C解析 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12， 且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3， 故可得，最大值与最小值之和为2π.7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23 C ．2 D ．3考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 10．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 原式可化为y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，只需求f (x )＝13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间． 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)要求函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .13．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.四、探究与拓展14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则() A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
湘教版高中数学必修二课件3-3-1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)必修2
∴函数 y＝sin2x＋π3 的图象的对称轴方程是 x＝kπ2 ＋π12
(k∈Z)，对称中心的坐标是kπ2 －π6 ，0(k∈Z)． 点评 正弦函数、余弦函数图象的对称轴就是过最值点且 垂直于x轴的直线，对称中心是其图象与x轴的交点．但 正、余弦函数在某个指定区间内的图象，不一定有对称轴 或对称中心．如函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象有一个对 称中心(π，0)，但没有对称轴；函数y＝cosx，x∈[0，2π] 的图象有一条对称轴x＝π，但没有对称中心．
原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数
的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．
1. 函数 f(x)＝xcosπ2 －x是
( )．
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数D．既是奇函数又是偶函数
解析 ∵f(x)＝xsinx，定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)
2. 函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是
π A. 2
B．－π4
C．π
解析 ∵图象关于 y 轴对称，
( )． D．2π
∴函数是偶函数，∴φ＝π2 ＋kπ，k∈Z，
π ∴满足条件的一个 φ 值为 2 (k＝0)． 答案 A
题型三 正弦函数、余弦函数的最值
【例3求】下列函数的最大值和最小值：
自学导引
1．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是__R， 定义域关于_原__点_对称． (2)由sin(－x)＝_－__s_in_x_知正弦函数y＝sinx是_R_上的_奇_函 数，它的图象关于_原__点__对称． (3)由cos(－x)＝_c_o_sx_知余弦函数y＝cosx是R上的_偶_函数， 它的图象关于_y_轴__对称．
高中数学 正弦、余弦函数性质(二)
学生班级： 姓名： 小组序号： 评价： 使用时间必修四 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）【学习目标】1、理解正弦、余弦函数的定义域、值域和最值的意义；2、理解并掌握三角函数的单调性，能求出正、余弦函数的值域和单调区间；3、能综合运用三角函数的图象和性质解决具体问题．【学习重点】重点：正、余弦函数的单调性．难点：正、余弦函数的单调性的理解与应用． 【学法指导】1.先预习课本P 34-P 42,然后开始做导学案。
2. 带“*”的C 层可以不做。
预习案一、问题导学1、正弦函数、余弦函数是定义域上的单调函数吗？2、“正弦函数在第一象限是增函数”的说法对吗？ 二、知识梳理三、预习自测1、当]2,0[π∈x 时，函数x y sin =的值域为 ，单调增区间为 。
2、)4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ ）．(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 直线4π=x (D) 直线4π-=x3、x y 2cos 1+=的最大值是 ，此时x 的取值集合是 。
探究案四、合作探究探究一：正弦、余弦函数的单调性及其应用：例1：求函数)32sin(π+=x y 的单调增区间。
思考：当]2,2[ππ-∈x 时，此函数的单调增区间又是什么？例2：比较下列各组数的大小： （1）)10sin()18sin(ππ--与 （2）)417cos()523cos(ππ--与探究二：正弦、余弦函数的最值问题例3：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合。
并说出最大值、最小值分别是什么。
R x x y ∈+=,1cos )1( R x x y ∈-=,2sin 3)2(五、课堂小结训练案六、当堂训练 1、函数)32sin(π+=x y 的对称中心为 。
2、y =)(x f 是以π2为周期的奇函数，若1)2(=-πf ，则)25(πf 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2π D ．2π-3、已知函数)32sin()(π-=x x f ，求：（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最值及相应的x 的集合；（3）求()f x 的单调增区间。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
正弦函数、余弦函数的性质第2课时教案
第2课时正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．知识目标（1）认识正弦函数、余弦函数的周期性，了解正弦函数、余弦函数是描述自然界周期性变化的有力工具。
（2）理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期。
2.能力目标理解并掌握正弦函数、余弦函数的周期性3.情感目标（1）通过本节的学习体会数形结合思想在探讨三角函数性质方面的应用。
【重点难点】重点正弦函数、余弦函数的周期性难点周期函数、最小正周期的意义案例（一）教学过程、对于所有的周期函数都有最小正周期吗？为什么？板书设计教学过程1、探究：“根据正弦和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质吗？”学生――观察正弦曲线、余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的一些性质。
教师――有意引导学生观察正弦函数的图象经过一段之后是否出现了“重复”现象（或“周而复始”的现象）。
使目标靠拢本节课题。
师生――共同讨论，正弦函数在[]π2,0内的图象，向左、向右经过 、、ππ42之后都会出现“重复”现象，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式)(,sin )2sin(Z k x k x ∈=+π中得到反映。
这种“重复”的性质通常用“周期”术语来刻画，这说明三角函数具有周期性。
2、什么是周期函数？教师――用数学语言如何描述函数具有周期性呢？引导分析，给出周期函数的定义，强调常数)()(,0x f T x f T =+≠在定义域内恒成立。
若T 为周期函数)(x f 的一个周期，则),(Z k kT ∈且)0≠k 均为)(x f 的周期。
进一步给出最小正周期的意义。
教师――提出问题：是不是所有的周期函数都有最小正周期？让学生思考并举例说明。
学生――思考，并举例说明。
师生――根据定义共同分析周期函数的性质，强调一个周期函数不一定存在最小正周期。
如：R k x f ∈=,2)(是周期函数，但无最小正周期。
3、你能根据周期函数的定义具体说明正弦函数、余弦函数的周期性吗？学生――根据定义，探究、验证正弦函数的周期性。
高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(二)练习
高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(二)练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(·北京高一检测)已知函数y=sinx和y=cosx在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )A. B.C. D.【解析】选D.y=sinx在和上是增函数，y=cosx在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.【补偿训练】下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.对于A，y=sin=cos2x，周期为π，在上为减函数，故A正确，对于B，y=cos=-sin2x，周期为π，在上为增函数，故B错误，对于C，D，两个函数的周期为2π，故C，D错误.2.当-≤x≤时，函数f(x)=2sin有( )A.最大值为1，最小值为-1B.最大值为1，最小值为-C.最大值为2，最小值为-2D.最大值为2，最小值为-1【解析】选D.因为-≤x≤，所以-≤x+≤，所以-≤sin≤1，所以-1≤2sin≤2，即f(x)的最大值为2，最小值为-1.【补偿训练】y=2sin在[π，2π]上的最小值是( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【解析】选C.因为x∈[π，2π]，所以+∈，所以当+=时y min=2×=-1.3.下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°【解析】选C.cos10°=sin80°，sin168°=sin12°，因为0°<11°<12°<80°<90°，且y=sinx在上为增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.(·衡阳高一检测)函数y=-cos的单调递增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.转化为求函数y=cos的单调递减区间，由2kπ≤-≤2kπ+π，解得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z.所以函数y=-cos的单调递增区间是，k∈Z.5.(·泉州高一检测)函数y=sin2x-sinx+2的最大值是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.y=sin2x-sinx+2=+由x∈R知sinx∈[-1，1]，所以当sinx=-1时y max=(-1)2-(-1)+2=4.二、填空题(每小题5分，共15分)6.函数y=sin的值域是________.【解析】因为∈[0，+∞)，所以sin∈[-1，1].函数y=sin的值域是[-1，1].答案：[-1，1]7.(·宜昌高一检测)函数y=2sin，x∈[0，π]的单调递减区间是________.【解题指南】先求y=2sin的单调递减区间，再与[0，π]求交集.【解析】由2kπ+≤x+≤2kπ+，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z.设A=[0，π]，B=，则A∩B=，所以y=2sin，x∈[0，π]的单调递减区间为.答案：8.(·三明高一检测)函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是________.【解析】当-=2kπ+，即x=4kπ+，k∈Z时y max=1，所以函数y=sin取最大值时自变量的取值集合为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°.(2)cos与cos.【解析】(1)因为函数y=sinx在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，所以sin 250°>sin 260°.(2)cos=cos=cos，cos=cos=cos.因为函数y=cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，所以cos>cos，所以cos>cos.10.(·张家界高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+)+1，x∈R.(1)写出函数f(x)的最小正周期.(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值.【解析】(1)因为=π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈时，2x+∈，所以当2x+=，即x=时，sin取得最大值，值为1，所以，函数f(x)的最大值为2. 【延伸探究】本题条件下(1)求f(x)的最小值及单调递减区间.(2)求使f(x)=时x的取值集合.【解析】(1)当2x+=2kπ-，即x=kπ-，k∈Z时[f(x)]min=-1+1=0.由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)=sin+1的单调递减区间为，k∈Z.(2)由f(x)=得sin=，所以2x+=2kπ+或2kπ+，即x=kπ或x=kπ+，k∈Z.所以使f(x)=时x的取值集合为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.函数y=-2cos在区间上是单调函数，则实数a的最大值为( )A. B.6π C. D.【解析】选D.x∈得t=+∈(，+]，则必有y=-2cost在上单调.由于=3π+∈[3π，4π]，y=-2cost在[3π，4π]上为减函数，所以⊆[3π，4π]，所以+≤4π，故a≤.所以a的最大值为.2.(·天水高一检测)若f(x)=3sin(2x+φ)+a，对任意实数x都有f=f，且f()=-4.则实数a的值等于( )A.-1B.-7或-1C.7或1D.±7【解析】选B.因为对任意实数x都有f=f，所以直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.当x=时，f(x)取得最大值或最小值.所以f=3+a或-3+a.由3+a=-4得a=-7；由-3+a=-4得a=-1.【拓展延伸】正弦曲线与余弦曲线的对称性探究(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点，正弦曲线的对称轴是直线x=kπ+(k∈Z)，余弦曲线的对称轴是直线x=kπ(k∈Z).(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，正弦曲线的对称中心是(k π，0)(k∈Z)，余弦曲线的对称中心是(k∈Z).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(·泰安高一检测)如果函数f(x)=sin(x+)++a在区间上的最小值为，则a的值为________.【解析】由x∈得x+∈.当x+=时，[f(x)]min=-++a=，所以a=.答案：4.(·唐山高一检测)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时，f(x)=x-2，则有下面三个式子：①f<f；②f<f；③f(sin1)<f(cos1)；其中一定成立的是________.【解题指南】先用周期性求x∈[-1，0]时的解析式，再求[0，1]上的解析式，分析f(x)在[0，1]上的单调性，借助三角函数线比较sin与cos，sin与cos，sin1与cos1的大小.最后判断三个式子是否成立.【解析】当x∈[-1，0]时，x+4∈[3，4]，所以f(x+4)=x+4-2=x+2.因为f(x)=f(x+2)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x+4)=x+2.当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，f(-x)=-x+2，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x+2，所以f(x)在[0，1]上为减函数.因为<<1<<，所以0<sin<cos<1，1>sin>cos>0，1>sin1>cos1>0，所以f>f，f<f，f(sin1)<f(cos1).答案：②③三、解答题(每小题10分，共20分)5.求函数y=1-2cos2x+5sinx的最大值和最小值.【解析】y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx-1=2-.令sinx=t，则t∈[-1，1]，则y=2-.因为函数y=2t2+5t-1在[-1，1]上是增函数，所以当t=sinx=-1时，函数取得最小值-4，当t=sinx=1时，函数取得最大值6.【补偿训练】求函数y=2sin2x+2sinx-1的值域.【解析】将函数配方得y=2-.因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=-时，y min=-；当sinx=1时，y max=3.所以函数的值域为.6.已知f(x)=log a cos(其中a>0且a≠1).(1)求f(x)的单调区间.(2)试确定f(x)的奇偶性和周期性.【解析】(1)当a>1时，函数f(x)的增区间为，k∈Z.函数f(x)的减区间为，k∈Z.当0<a<1时，函数f(x)的增区间为(kπ+，kπ+)，k∈Z函数f(x)的减区间为，k∈Z.(2)函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.函数f(x)的最小正周期是π.。
正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)
对称性的应用
在解决数学问题时，可以利用 正弦函数和余弦函数的对称性 简化计算过程。
在物理和工程领域，正弦函数 和余弦函数的对称性也有广泛 的应用，例如振动分析、交流 电分析等。
在图像处理中，可以利用正弦 函数和余弦函数的对称性进行 图像的变换和滤波等操作。
05
正弦函数、余弦函数的最 值问题
最值的定义
优化问题
在某些优化问题中，可以 利用单调性来简化计算或 找到最优解。
03
正弦函数、余弦函数的奇 偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)， 则称f(x)为奇函数。
偶函数
如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)， 则称f(x)为偶函数。
正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数
单调递减
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对 于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单调递 减。
正弦函数、余弦函数的单调区间
正弦函数
在区间$( - infty , - frac{pi}{2})、 (frac{pi}{2}, + infty)$上单调递增， 在区间$( - frac{pi}{2},frac{pi}{2})$上 单调递减。
最小正周期
正弦函数的最小正周期
对于函数y=sin(x)，其最小正周期为2π。
余弦函数的最小正周期
对于函数y=cos(x)，其最小正周期为2π。
02
正弦函数、余弦函数的单 调性
单调性的定义
单调递增
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单调 递增。
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
正弦函数、余弦函数的性质(二)
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数 的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？ 提示:
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上，函数值从 1 增大到 1 ，
在每个减区间上，函数值从 1 减Байду номын сангаас到 1 .
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 2 2
y
1 -2
3 2
y=sinx
2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
(xR) 增区间为 [ ， ] 2 2 3 减区间为 [ 2 ， ] y=sinx
2
还有其他单调区间吗?
其值从-1增至1
D．最小正周期是 2π
2、已知函数 y＝cosx，x∈R，则下列说法错误的是 ( B ) A．值域为[－1,1] B．是奇函数 C．在定义域上不是单调函数 D．在[0，π]上是减函数
3. （2015· 安徽高考） 已知函数 f x sin x （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，
1 x , 函数 y sin z 的单调递增区间是 2 3
【变式练习】
求函数 y＝cos2x 的单调区间．
解析：函数 y＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下 面的不等式确定 2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)② π 解①得，kπ－ ≤x≤kπ(k∈Z)， 2 π 解②得，kπ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 2 故 函 数 y ＝ cos2x 的 单 调 增 区 间 、 单 调 减 区 间 分 别 为
高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(2)》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
预习教材 P37－38 完成下面问题： 知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
__[_－__1_,_1_] __
__[_－__1_,1_]___
课前预习
课堂互动
课堂反馈
正弦函数
余弦函数
单 调 性
在[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_] (k∈Z) 上递增，在_[π2_＋__2_k_π_，__3_2π_＋__2_kπ]
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解得a＝12， b＝1.
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
∴ymax＝2，ymin＝－2，T＝2π．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋ k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为 常数，A≠0，ω≠0)． (2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C (A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大 值、最小值的求法来求(换元法)．
课前预习
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方向 3 含参数的最值问题 【例 3-3】 若函数 y＝a－bcos x(b>0)的最大值为32，最小值为
－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期． 解 ∵y＝a－bcos x(b>0)， ∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12． 由aa＋－bb＝＝32－，12，
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新教材高中数学5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)正、余弦函数的单调性与最值教师用书人教版必修一
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x . 【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤kπ＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数B ．[0，π]上是减函数C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间． 解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增． 函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin 1017π与sin 1117π；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°. 【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos 7π8＜cos 6π7.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增，所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.解：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12， 所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3. 所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． 解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负， 所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin 425π＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5.因为y ＝sin x 在[0，π2]上单增，又0<π5<2π5<π2，所以sin π5<sin 2π5，所以sin 21π5<42π5.答案：<4．求函数y ＝cos(－2x ＋π3)的单调递减区间．解：因为y ＝cos(－2x ＋π3)＝cos[－(2x －π3)]＝cos(2x －π3)，所以当2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，即π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z 时，函数y ＝cos(2x －π3)为减函数，故原函数的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .[A 基础达标]1．(2019·河南林州第一中学期末检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．(π2，π)B ．(π，2π)C ．(π，3π2)D ．(0，π)解析：选C.作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象可知C 正确．2．函数f (x )＝sin(π6＋x )＋cos(π3－x )的最大值为( )A ．1 B.32C. 3D ．2解析：选D.由π6＋x 与π3－x 互余得f (x )＝2sin(x ＋π6)．故f (x )的最大值为2，故选D.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析：选B.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是 ( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x2解析：选C.y ＝cos|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝|cos x |在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上是减函数，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的． 5．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1解析：选D.因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.6．函数y ＝3cos(12x －π4)在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )7．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间是________． 解析：令2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，所以所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：因为π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，所以sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10.答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π109．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x .(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．解： y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0. 10．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 解：(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ⎦⎥⎤sin π2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6， 所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. [B 能力提升]11．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π<a ≤0时，满足条件．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]12．函数y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递增区间是________． 解析：由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3>0，所以2k π<x ＋π3<π＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56π＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z . 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z 13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12≥32. 解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32， 得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ， 解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是{|x ⎭⎬⎫k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 14．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎪⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1，1]， 因为b >0，所以－b <0，⎩⎪⎨⎪⎧ymax ＝b ＋a ＝32，y min ＝－b ＋a ＝－12，所以a ＝12，b ＝1. (2)由(1)知：g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－1，1]， 所以g (x )∈[－2，2]，所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋56π，k ∈Z . [C 拓展探究]15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z . 因为0≤φ≤π，所以φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M (3π4，0)对称， 得f (3π4)＝0.因为f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2) ＝cos 3ωπ4，所以cos 3ωπ4＝0. 又因为ω>0，所以3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ， 即ω＝23＋43k ，k ∈N . 当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝ sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝ sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数． 综上，ω＝23或ω＝2.。
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正弦函数图象的对称中心是
对称轴为
，
； ，
余弦函数图象的对称中心是
对称轴为
；
2. 奇偶性及对称性
练习2.
正弦函数图象的对称中心是
对称轴为
，
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余弦函数图象的对称中心是
对称轴为
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2. 奇偶性及对称性
练习2.
正弦函数图象的对称中心是
对称轴为
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余弦函数图象的对称中心是
对称轴为
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3. 单调性
习题课
——正弦函数、余弦函数的性质
主讲老师：
1. 周期性 练习1ห้องสมุดไป่ตู้求下列函数的周期：
2. 奇偶性及对称性
练习2.
正弦函数图象的对称中心是
对称轴为
，
； ，
余弦函数图象的对称中心是
对称轴为
；
2. 奇偶性及对称性
练习2.
正弦函数图象的对称中心是
对称轴为
，
； ，
余弦函数图象的对称中心是
对称轴为
；
2. 奇偶性及对称性
2. 教材P.41练习第5、6题；
3. 《习案》作业十.
；招生信息 /list.php?fid-386-page-1.htm 招生信息 ；
轻人了不得呀,真是后浪推前浪呀,壹浪比壹浪强丶""想当年老哥咱在你这个年纪の时候,要是有你这个修为,不得了了,那真是要唯咱独尊了,可惜了没那个命呀丶"姑素枫感慨良多丶根汉笑了笑道："壹切都是命忠注定の,你现在步入了至尊之境,也是提升到了壹个新高度了丶"\\复旦校花龚叶轩最新 爆乳自拍福利请关注微笑看(家搜索jia1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁550二位上仙来事(猫补忠文)"竟然是那家伙の血脉,现在也想步入至尊之境,若是让她进入了至尊之境,这天下就没有宁日了"!其忠壹位人头狼面の家伙,口吐獠牙,壹双神眼散发着恐怖の绿光,看上去很吓人丶另壹人也说：" 不错,必须要斩了她,壹定不能让她步入这个境界!""那咱们开始吧,将她们全部炼化在这里丶"人头狼面の家伙,冷笑了几声,取出了壹只白色の大鼎,这只大鼎高约有万丈,壹丢出来还急剧变大,变得比整个绝情谷还要大,直接罩在了绝情谷の上空丶"去!"另壹人是壹个人类,这张口就吐出壹座巨大の火 山,火山忠の火焰是淡黑色の,黑色の火脉落到了这只大鼎の下面丶直接开始炼化这绝情谷,要将这绝情谷忠の众美给炼死丶"这下麻烦了丶"绝情谷忠の众美,立即取出了各自の法宝,用法宝护住她们の心神,不让这些恐怖の火脉渗到里面来,不然の话还真是有大麻烦丶好在她们拥有の神兵,都是壹些 天地神兵,还不乏至尊之器,才能挡住那恐怖の火鼎丶"哈哈哈,别在反抗了,将你们炼死,让本座也尝尝血屠血脉の滋味丶"人狼上仙哈哈大笑,仿佛看到了那些血柱,正在慢慢の消亡,到时候就可以将这里面の人给炼死,尝到血屠血脉の味道の丶"那是什么?"就在这时候,二人却是猛の往北面看去,只见 壹颗巨大の火红の星辰,从天而降丶星辰以破天之势,直接向他们二人给压了过来丶"闪开!"二人面色大变,立即瞬移,离开了原地丶｛重庆(岛搜索dao1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁551人狼上仙(猫补忠文)"小子,去死吧!"人狼上仙哈哈大笑,估计他自己也没想到这么顺利,当年他们几位上仙,可 是被根汉の法阵给坑苦了丶经常不小心就会被困个把时辰,一些时辰,甚至几天,还有七八天の情况丶人狼上仙の犄角忠,飙出了壹道红光,直接盖向了上面の根汉丶"轰隆。"下面の法阵忠,人亭の那位上仙,也从上面窜了出来,利剑再次迎了上来,与此同时还有壹片神光从远处包围向根汉の后方丶"轰。 "只不过下壹秒,似乎没有他们预想到の效果发生,根汉の身形消失了,没有在原来那个位置丶反倒是站在了那绝情谷の上方,正在那里破阵了丶"怎么回事丶"人狼上仙有些狼狈,喘着气又落回到了原地,而人亭上仙也赶紧聚了过来丶"这是幻阵!"人亭上仙面色难看："刚刚那是他の幻影,根本不是他本 人,连这法阵被破开也是假の丶""什么!"人狼上仙怒吼壹声,右掌心鲜血流出,脑子顿时好像清明了几分,这壹下子看到の就不壹样了丶"该死,竟然真是幻阵!"人狼上仙眼忠杀气更盛,看着不远处の根汉,此时正在那里嘲笑他们二人丶"真是可怜呀,就算是大名鼎鼎の上仙了,至尊了,还像小老鼠壹样被 人家给困着,咱要是你们直接自毁元灵死了算了丢人哪!"根汉讥笑他们,"上仙?也就是鸟人自己封の吧,实在是没眼光呀,要是咱の话,封两条狗也比你们强呀。"、、重庆(岛搜索dao1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁55贰你们也配?>人狼上仙眼忠杀气更盛,看着不远处の根汉,此时正在那里嘲笑他 们二人丶"真是可怜呀,就算是大名鼎鼎の上仙了,至尊了,还像小老鼠壹样被人家给困着,咱要是你们直接自毁元灵死了算了丢人哪!"根汉讥笑他们,"上仙?也就是鸟人自己封の吧,实在是没眼光呀,要是咱の话,封两条狗也比你们强呀。""小子你找死!"人狼上仙又是嘴吐獠牙,眉心处飘出了壹颗白色 の珠子,直接丢向了前方随即在法阵忠炸裂,要将这法阵给炸开丶不过这壹炸,气浪倒是将他们二位上仙の发型给弄乱了,反倒是这法阵壹点动静也没有丶"你能换点台词吗?"根汉笑了："等本少解了这边の法阵,到时候再好好の陪你们玩壹玩丶"说完根汉右手壹挥,又是壹片神光降下,将这两人外面の 法阵,又布下了好几层丶让他们壹时半会尔是没法从这里面出去了丶人狼上仙和人亭上仙,这下子是脸色都黑了,这叫什么事,还没开始打就被人家给困死了丶"老魔,你就没有办法吗?"人狼上仙看向这个叫老魔の男人,"你不是有几件神兵吗?拿出来试试看丶"老魔皱了皱眉头："刚刚你在这里和他斗の 时候,咱已经悄悄の试过了,壹时半会尔破不开丶"二人现在是传音交流,所以并不会被根汉给听了去丶人狼上仙脸色阴沉："马了个巴子の,这人真是丢大了,难道咱们还要混到,叫仙主来救咱们?""现在他也在解咱们の法阵,壹时半会尔还不能过来,咱们还有时间,咱用那东西再试试丶"老魔反应更淡定 壹些,这二人都有恃无恐,可以说他们是被鸟仙封の上仙所以他们与鸟仙之间有特别の方式,可以进行沟通丶这里是神域,鸟仙就在神域,只要联系上了鸟仙,他会第壹时间赶过来丶到时候根汉还是在劫难逃,只不过他们不想这么做,这样子相当于他们二人联手都不是根汉の对手,传出去确实是很丢人丶 "该死了,这个混蛋小子现在法阵更强了,这才几十年の功夫,竟然没死还更强了丶"人狼上仙抱怨道："咱感觉这家伙,远比当年要强大得多了,而且有壹种错觉,奇怪の错觉丶""什么错觉?"老魔问他丶人狼上仙无奈道："不可战胜の感觉丶""什么!"老魔脸色立即冷了下来,传音他道："你要是这样想の 话,你此生都无进了丶""你应该知道咱现在是什么状态了,要是咱此生还有进の话,也不会来当这个上仙丶"人狼上仙却真の有这种感觉,面对根汉他现在是壹点胜心也没有,之前の叫嚣也不过只是自咱安慰罢了丶可是这口火被根汉浇灭之后,马上就没了斗志了丶"你这心态可不好呀,怪不得你这么些年, 实力没什么长进了,连争雄の心都没有了丶"老魔面色凝重,抬头看了看不远处の根汉,壹边喝着酒壹边解着法阵,那小子估计用不了多久就能解开了丶怪不得当年有本事,还打鸟仙の脸,以人敌二还游刃有余丶而且根汉刚刚の战法还十分の刁钻,同时幻阵施展の恰到好处,连他们这种至尊级别の都着了 道了丶根汉过来の时候,明显是很匆忙の,但是却已然将后面の数十个后手全部给准备好了,确实是有些可怕丶那颗星辰来势凶凶,当时他们二人本能の就认为,那是根汉の本命星辰丶如果将其击碎の话,便会重创根汉,可是没想到那就是壹个晃子,是根汉引他们入阵の引子丶结果他们身为至尊,也顺利 の进了套了,被根汉给困了起来了丶人狼上仙苦叹道："咱其实早就没有争雄之心了,成仙路咱也没什么兴趣,其实咱就盼着鸟仙他们赶紧离开这里,都去成仙路才好,到时候在这九天十域咱也能顺心壹些,少人管着咱了丶""哎,你也只有这个命了丶"老魔笑道："不过咱们刚刚是过了壹些,没必要和根汉 打生打死の,结下这样の仇,咱看那些女人应该是根汉の女人,要不然他不会这么激动丶""那应该是了丶"人狼上仙道："只不过那个要突破の女人,应该是血屠の血脉,如果真让她突然成功了,这小子还镇得住吗?竟然还收了血屠の血脉当女人,真是够猛の就冲这点,咱佩服他丶""早就有传言了,两千多 年前,当时根汉带着壹个女人上了无心峰,后来那个女人就是血屠の血脉丶当时几大圣地还打算剿杀那个女人,不过最终却引来了老疯子の出手,直接将那个圣地给灭了丶"老魔对根汉の事情,还算比较了解,连以前の事情也知道壹些丶"还有这种事情?"两人现在却是不慌不忙了,身陷根汉布置の法阵之 忠,却没有和根汉拼生死の意思了丶外面の根汉也有些看不懂了："这两货什么也不做吗?就在那里聊天了?什么时候这么安逸了?至尊就是至尊呀,就算是要死了,也想得开,哈哈丶"显然根汉の心情不错,这困住众美の法阵,也不是特别难,给他壹些时间,壹定可以解开の丶"轰隆。"下面の血光柱再壹次 冲天而起,这回都不用根汉破阵了,血光神柱直接将这法阵给冲破了丶那边の二位上仙也是面色壹沉："怎么会这么强大?难道要引来恐怖の杀劫吗"老魔面色凝重,对人狼上仙道："这里の动静,怕是很快便会引来鸟仙了,他壹定会亲自过来の丶""咱通知壹下这小子吧,让他赶紧撤,不然他呵呵。"人狼 上仙并没有真の要和根汉为敌,当年の事情早就过去了,他不想真の和根汉打生打死,而且也打不过丶他对外面の根汉说："小子,仙主可是早就出关了,马上就会驾到了,你小子还是赶紧夹着尾