概率论与数理统计 课件6

X1 + X n X1 + + X n −µ ; min( X 1 , X 2 , , X n ); ; n 2 ( X 1 + X n ) 2 ( X 1 + + X n ) − nµ . ; . 2 σ nσ (1)统计量是随机变量;
(2)样本观察值x1，… ，xn 代入统计量，得统 计观察值g(x1，… ，xn )。
σ2 ) n
(2)
X −µ ~ N (0,1) S/ n
6.4.2 两个总体的统计量的分布（总体X与Y独立）
1 n X = ∑ Xi , n i =1 1 n Y = ∑ Yi , n i =1
n2 1 2 S22 = Y Y ( ) − ∑ i n2 −1 i=1
1 2 S = (Xi − X) ∑ n1 −1 i=1
它们的观察值分别为：
1 x = ∑ xi n i =1
2
n
1 s = n −1
∑
n
1 2 2 ( xi − x ) = [ x i − nx ] n − 1 i =1 i =1
2
n
∑
n
1 s= ( xi − x ) 2 n − 1 i =1 n 1 ak = x i k , k = 1,2 n i =1
其中
SW =
2 1 2 2
( n1 − 1) S 12 + ( n 2 − 1) S 22 n1 + n 2 − 2
S (2) ~ F ( n1 − 1, n 2 − 1) S
第六章 数理统计基本知识
开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平
Email:yapingliu66@
§6.1 总体和样本
1. 总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 例如：某工厂生产的电视机的寿命是一个总体，每一 台电视机的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全 体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
F * ( x1 , x 2 ,
(1)当总体X~f(x)，则（X1，
, xn ) =
…
∏ ∏
n
n
i =1
F ( xi )
，Xn)的联合密度为
f * ( x1 , x 2 ,
, xn ) =
f ( xi )
i =1
(2)当总体X~P(X=xi)=pi，则（X1，
…
，Xn)的联合分布列为
n i =1
P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 ,
基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
2 t − 2
1 limf (t) = ϕ(t) = e ,−∞< x < ∞ n→∞ 2π 或 limt (n) = N(0,1)
n→∞
分位点 设T～t(n)，若对α:0<α<1,存在tα(n)>0， 满足 P{T≥tα(n)}=α，则称tα(n)为t(n)的上侧分位点
χ2(n)~Γ(n/2，1/2) 性质： (p165) (1)可加性 若χ2 ~ χ2(n1)， χ2 ~ χ2(n2 )，且 χ12 ， χ22独立，则 χ12 + χ22 ~ χ2(n1+n2 ). 一般地，若χi2 ~ χ2(ni)且互相独立，(i=1,2,3…)，则
∑χ
i =1
n
2 i
∼ χ (∑ ni )
2 1
n1
定理6.4.7：设两独立总体X~N(μ1，σ12)， Y~N(μ2，σ22) ，
则统计量
X − Y ~ N ( µ1 − µ2 ,
从而有
σ σ2 ) + n1 n2
2 1 2
X − Y − ( µ1 − µ2 ) σ σ2 + n1 n2
2 1 2
~ N (0,
1)
例：在两互相独立的总体N(30，15)以及N(40,10)中 分别抽取容量为15, 20的两个样本，求它们的样本 均值的绝对值不大于12的概率。
∑
∑
n i =1
1 bk = n
∑
( x i − x ) k , k = 1,2
6.3.2 三种常用分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： χ2—分布、 t —分布和F—分布。
1、χ2 分布
定义6.3.2P(164)：设(X1， … ，Xn) 为来自标准正态总 n 体N(0,1)的样本，称统计量 2 2
Fα (n1 , n2 )
1 F1−α (n1 , n2 ) = Fα (n2 , n1 )
§6.4
1 n X = ∑ Xi , n i =1
抽样分布定理
6.4.1 一个总体的统计量的分布
n 1 2 2 S = (Xi − X) ∑ n−1 i=1
定理6.4.1：设总体X有E(X)=μ，D(X)=σ2， X1，
几个常用的统计量 ：
1 n 1. 样本均值 X = ∑ X i , n i=1 n n 1 2 2 1 2 2 = − [ ] X nX ∑ i X X 2. 样本方差 S = − ( ) ∑ i n − 1 i =1 n −1 i=1
样本均方差 ( 标准差 ) S = S 2 ,
3.样本k阶矩
1 n k 原点矩 Ak = ∑ Xi n i=1 1 n 中心矩 Bk = ∑( Xi − X )k , n i=1
2、t 分布
定义6.3.3P(106): 若X~N(0, 1), Y~χ2(n), X与
Y独立，则
X T= ~ t (n). Y /n
t(n)称为自由度为n的t分布。记作t~t(n) 可以证明t(n) 的概率密度函数为
n +1 ) Γ( n +1 2 − t 2 f (t ) = (1 + ) 2 , − ∞ < t < ∞ n n nπ Γ ( ) 2
总体X的一个容量为n的样本，记
…
，Xn 为来自
1 n 2 Y = 2 ∑( Xi − µ) σ i =1
2
则
Y ∼ χ ( n)
定理6.4.4：设总体X~N(μ，σ2)，X1，
总体X的一个容量为n的样本，则 (1) (2)
…
，Xn 为来自
X
与S2独立；
(n − 1) S 2 2 ~ (n − 1) χ 2 σ
n1 −1 n1 + n 2 n1 / 2 2 )(n1 / n2 ) x Γ( 2 , x>0 f ( x) = Γ( n1 )Γ( n2 )(1 + n1 x)( n1 + n2 ) / 2 2 2 n2 0, x≤0
F分布的分位点 对于α：0<α<1， 若存在Fα(n1, n2)>0， 满足 P{F≥Fα(n1, n2)}=α， 则称Fα(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧α分位点；
…
，Xn 为来自总体X的一个容量为n的样本，则
E( X ) = µ,
σ2 D( X ) = n
定理6.4. 2：设总体X~N(0,1)，X1，
总体X的一个容量为n的样本，则
…
，Xn 为来自
(1)
X ~ N (µ ,
σ ) n
2
(2)
X −µ ~ N (0,1) σ/ n
定理6.4.3：设总体X~N(μ，σ2)，X1，
X − Y ~ N (30 − 40,
15 10 + ) = N (−10,1.5) 15 20
定理6.4.8：设两独立且等方差总体X~N(μ1，σ2)， Y~N(μ2，σ2) ，则统计量
X − Y − ( µ1 − µ2 ) (1)T = ~ t (n1 + n2 − 2) 1 1 SW + n1 n2
t1−α (n) =−tα (n)
当
n > 45 时 ，
tα (n) ≈ µα .
t−α (n)
tα (n)
3、F
分布
定义6.3.4P(106):设随机变量X1 ~χ2(n1)，
X2~χ2(n2)，且X1， X2独立，则
η1 / n1 F= ~ F( n1 , n 2 ). η2 / n 2
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F— 分布,其概率密度为
2 i =1
n
(2)期望与方差
若χ2 ~ χ2(n)，则
E(χ2)= n，D(χ2)=2n
分位点 设X ~ χ2(n)，若对于α：0<α<1， 存在
χα (n) > 0 满足 2 (n)} = α , P{ X ≥ χα
2
2 χ (n) 分布的上α分位点。 为 则称 χ (n)
2 α
2 χα (n)
2. 样本：来自总体的部分个体X1， 如果满足：
…
，Xn
（1）随机性： Xi，i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。 而称X1，… ，Xn 的一次观察结果为样本观察值， 记为x1，… ，xn
来自总体X的随机样本X1， … ，Xn可记为（X1， … ， Xn)为n维随机变量。且它们相互独立服从相同分布。 显然，样本联合分布函数为
定理6.4.5：设总体X~N(μ，σ2)，X1，
总体X的一个容量为n的样本，则
…
，Xn 为来自
X −µ ~ t (n − 1) S/ n
定理6.4.6：设X1， 时，近似地有
…
，Xn 为来自任意总体X的一个容
量为n的样本，若E(X)=μ，D(X)=σ2>0存在，当n较大
(1)
X ~ N (µ ,
χ = ∑ Xi