七年级数学讲义(六)1111
七年级数学下册第六章知识点
七年级数学下册第六章知识点作为七年级学生，在学习数学下册的第六章时，我们需要掌握以下知识点：一、有理数的概念有理数是指可以用两个整数的比来表示的数，包括整数、分数和小数等形式。
其中分数即为分母不为零的整数和自然数的比，小数由无限循环小数和有限小数构成。
二、有理数的比较在比较两个有理数的大小时，可以将它们化为分数形式，然后进行比较，也可以用大小符号（“<”、“>”、“=”）表示它们之间的大小关系。
但要注意，比较两个有理数时，需要满足它们所在的数轴上的位置关系。
三、有理数的加减法加减法是数学运算中最基础的运算之一，对于有理数的加减法也是如此。
对于同号的有理数进行加减法，可以直接将它们的绝对值相加减，并将结果与原符号相同；对于异号的有理数进行加减法，则需要先将它们的绝对值相减，再将结果与绝对值较大的数的符号相同。
四、有理数的乘除法乘除法是有理数运算中的另一重要部分。
对于同号有理数的乘法，可以将它们的绝对值相乘，并将结果的符号设置为正号；对于异号有理数的乘法，则可以将它们的绝对值相乘，并将结果的符号设置为负号。
在进行有理数的除法时，我们需要将除数乘以它的倒数，再将结果与被除数相乘。
五、有理数的运算性质有理数具有很多运算性质，例如加法的结合律、交换律、分配律等。
还包括乘法的分配律、乘法的结合律等。
在进行有理数运算时，掌握这些性质对于简化计算过程非常有益。
六、有理数的绝对值有理数的绝对值是指该数到零点的距离，可以用符号“| |”表示。
对于正数和零，它们的绝对值等于它们本身；对于负数，则等于它们的相反数。
七、有理数的倒数有理数的倒数是指该数的倒数，倒数为原数的倒数分之一，可以用符号“1/”加上原数来表示。
需要注意的是，在进行有理数的倒数计算时，需要保证该数不等于零。
总而言之，在学习数学下册第六章时，我们需要掌握有理数的概念、比较大小、加减乘除，运算性质、绝对值和倒数等相关知识点，这对于我们今后的数学学习以及实际生活中的运算非常有帮助。
七年级数学六章知识点
七年级数学六章知识点七年级数学共有六章，学习内容非常丰富。
其中，第六章是非常重要的一章。
在这一章中，我们将学习有关方程式与方程组的知识。
下面，本文将逐一讲解七年级数学六章的知识点。
第一章：有理数与整数这一章主要包括三部分，分别是：有理数、整数及它们之间的基本运算法则。
在有理数的基础上，我们将学习如何解决整数的问题。
在这一章中，我们还将学习到如何判断正、负数的大小关系。
在学习这些内容时，需要注意数轴的使用及对有理数的概念和整数的性质的理解。
第二章：比例与相似这一章主要包括比例、比例式及如何求解比例的问题。
在熟练掌握比例的基础上，我们将学习到“相似”的概念及运用。
在学习这些内容时，需要注意比例式的构成及相似形的特点。
第三章：平面图形这一章主要包括：图形的基本概念、三角形、四边形及更高的多边形。
在学习这些内容时，需要注意图形的命名法则、图形的性质以及图形的面积和周长的计算方法。
第四章：图形的变换这一章主要包括：平移、旋转、翻折、推平变换及其组合变换。
在学习这些内容时，需要注意对每种变换的定义、性质及在实际生活中的用途。
第五章：统计及概率这一章主要包括：统计数据的分析、概率及其相关的一系列问题。
在学习这些内容时，需要注意统计数据的各种展示方式、概率的理解及其在实际生活中的应用。
第六章：方程与方程组这一章是整个七年级数学中最为重要的一章。
在这一章中，我们将学习到方程式、方程组的概念及其相关的一系列问题。
在学习这些内容时，需要注意方程式、方程组的建立、求解方法及在实际生活中的应用。
以上就是七年级数学六章的知识点，这些知识点是培养我们学习数学的基础，并且对我们日后的学习和生活都有很大的帮助。
希望同学们在学习这些知识点时，能够认真学习、勤于思考，做到理论联系实际，尽可能地掌握这里面的内容。
七年级数学第六单元知识点
七年级数学第六单元知识点七年级数学第六单元主要介绍了一些几何知识，包括点、线、面的概念和相互关系，以及平面图形的分类、特点和判定方法等。
在学习这些知识点时，需要掌握一些基本概念和定理，下面将进行详细阐述。
一、点、线、面的概念点是几何研究的基本对象，一个点是没有长度、宽度、高度的，仅有位置的。
线是由无数个点连续排列组成的，有无限延伸性，没有宽度和高度。
面是由无数个点和线相互连接而成的，有无限延伸性，有宽度和高度。
二、点、线、面的相互关系点与线的关系：点在直线上、点不在直线上。
线与线的关系：两线相交、两线平行。
点与面的关系：点在平面内、点不在平面内。
线与面的关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
三、平面图形的分类和特点平面图形是由点和线组成的，按照不同的组合方式，可以分为点、线、角、三角形、四边形、多边形等多种类型。
其中，三角形是指由三条线段连接成的图形，四边形是指由四条边连接成的图形，多边形是指由多条边连接成的图形。
三角形的特点：有三条边和三个角，三个角的和为180度。
根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
四边形的特点：有四条边和四个角，四个角的和为360度。
根据对边是否平行以及角的大小，四边形可以分为平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形等多种类型。
四、平面图形的判定方法1. 判定三角形的方法：通过三条边长的大小关系或者三个角的大小关系来判断三角形的类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2. 判定四边形的方法：通过对角线的长度和角度关系，以及对边平行或垂直来判断四边形的类型，如矩形、正方形、菱形、梯形等。
3. 判定平行四边形的方法：通过对边平行和其中一组对边长度相等来判断是否为平行四边形。
以上内容是七年级数学第六单元的主要知识点，希望同学们能够掌握并理解这些内容，为以后的数学学习打下坚实的基础。
七年级下数学讲义六
第六次课 一次方程组【授课范围】7.3三元一次方程组及其解法；7.4实践与探索知识点一：三元一次方程组的概念✧ 由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
✧ 满足条件①一共有三个未知数②含未知数项的次数是1③方程中共有3个整式方程知识点二：三元一次方程组的解法✧ 基本思想：消元✧ 方法：⎩⎨⎧加减消元法代入消元法✧ 目的：三元一次方程组−−→−消元二元一次方程组−−→−消元一元一次方程→求解 822=+-z y x ，①例如：解方程组 52-=-+z y x ，②44=++z y x 。
③解：由方程①，得822-+=z x y ④将④分别代入方程②和③得 ⎩⎨⎧=+-++-=--++482245)822(2z z x x z z x x 整理，得⎩⎨⎧=+=+12361135z x z x 解这个二元一次方程组，得⎩⎨⎧==21z x 代入④，得2-=y 所以原方程的解是⎪⎩⎪⎨⎧=-==221z y x例题一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++35515570101020351055z y x z y x z y x知识点五：三元一次方程组的实际应用例题三：某市举办足球联赛活动，这次足球联赛共赛11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分。
某校队所负场数是胜的场数的21，结果共得20分。
问：该校队胜、平、负各多少场？ 知识点六：灵活消元求三元一次方程组1、先消去系数最简单的未知数。
如解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-121132323z y x z y x z y x2、先消去某个方程中缺少的未知数。
如解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-232181531794z y x z y x z x这份讲义将记录你的自信、执着、智慧和收获。
3、先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数。
如解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++13765115239242z y x z y x z y x4、整体代入消元法。
初一数学期中宝典【答案】
2020-2021 七（上）数学期中考试冲刺讲义模块一找规律一、数式找规律1.找规律：-3，5，-7，9，则第7 个数为．2 4【答案】-151288 16【解答】解：由已知数列知第n 个数为(-1)n2n + 1，∴第 7 个数为-15.2n1282.如图是一个数制转换机的示意图，若一开始输入的x 值为50，则第一次输出的结果为25，第2 次输出的结果为28，，则第2018 次输出的结果为．【答案】4【解答】解：第 1 次输出结果为25，第 2 次输出结果为28，第3 次输出结果为14，第4 次输出结果为7，第5 次输出结果为10，第6 次输出结果为5，第7 次输出结果为8，第8 次输出结果为4，第9 次输出结果为2，2 -1 第 10 次输出结果为 1， 第 11 次输出结果为 4，∴从第 8 次起开始循环，∴(2018 - 7) ÷ 3 = 670⋯1， 故第 2018 次输出的结果为 4， 故答案为：4．3.找规律：(m - 1)(m + 1) = m 2 - 1 ；(m - 1)(m 2 + m + 1) = m 3 - 1 ；(m -1)(m 3 + m 2 + m + 1) = m 4 - 1 ；(m - 1)(m 4 + m 3 + m 2 + m + 1) = m 5 - 1；(m - 1)(m 5 + m 4 + m 3 + m 2 + m + 1) = -1 ；( m -1)(m n -1 + m n -2 + ⋯m 2 + m + 1) = -1 ；（1）在上面空白处填空；（2）根据你找的规律计算： 2 + 22 + 23 + ⋯ + 298 + 299 ． 【答案】（1） m 6 ， m n ；（2） 2100 - 2 ．【解答】解：（1） (m -1)(m 5 + m 4 + m 3 + m 2 + m + 1) = m 6 - 1；( m -1)(m n -1 + m n -2 + ⋯m 2 + m + 1) = m n - 1 ． 故答案为m 6 ， m n ； （2）2 + 22 + 23 + ⋯ + 298 + 299 = 1 + 2 + 22 + 23 + ⋯ + 298 + 299 - 1100 = -2 -1 1= 2100 - 1 - 112 32512 32 2 = 2100 - 2 ．4.观察等式找规律：① a = 22 - 1 = 1⨯ 3 ；② a 2 = 4 - 1 = 3 ⨯ 5 ；③ a = 62 - 1 = 5 ⨯ 7 ；（1）写出表示a 4 ， a 5 的等式；（2）写出表示a n 的等式（用字母n 表示）； （3） 求 1 + 1 + 1 + ⋯ 1的值．a 1 a 2 a 3a 2013【解答】解：（1） a = 22 - 1 = 1⨯ 3； a = 42 - 1 = 3 ⨯ 5 ； a = 62 - 1 = 5 ⨯ 7 ；123∴ a 4 = 8 - 1 = 7 ⨯ 9 ；a = 102 - 1 = 9 ⨯11 ； （2） a = (2 ⨯1)2 - 1 = (2 - 1) ⨯ (2 + 1) ，a 2 = (2 ⨯ 2) -1 = (4 -1) ⨯ (4 + 1) ，a = (2 ⨯ 3)2 - 1 = (6 - 1) ⨯ (6 + 1) ，，a n = (2 • n ) -1 = 4n -1 = (2n -1)(2n + 1) ；（3） a = 22 - 1 = 1⨯ 3； a = 42 - 1 = 3 ⨯ 5 ； a = 62 - 1 = 5 ⨯ 7 ；11 = 1 =1 23= 1 (1 - 1) ； a 1 3 1⨯ 3 2 3 1 = 1 = 1 ⨯ (1 - 1) ； a 2 3⨯ 5 2 3 5 1 = 1 = 1 ⨯ (1 - 1 ) ； a 3 5 ⨯ 7 2 5 7∴ 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 = 1 ⨯ (1 - 1) + 1 ⨯ (1 - 1) + ⋯ + 1 ⨯ ( 1 - 1) ， a 1 a 2 a 3a 2013 2 3 2 3 5 2 4025 4027=1⨯ (1 -1+1-1+⋯+1-1) ，2 3 3 5 4025 4027=1⨯ (1 -1) ，2 4027=2013．4027二、图形找规律1.观察烟花燃放图形，找规律：依此规律，第9 个图形中共有20 个五角星．【答案】20【解答】解：由图片可知：规律为五角星的总枚数= 4 + 2(n -1) = 2n + 2 ．n = 9 时，五角星的总枚数= 2n + 2 =20 ．故答案为：20．2.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1 、3 、6 、10 这样的数称为“三角形数”，而把1 、4 、9 、16⋯这样的数称为“正方形数” ．从图中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则下列符合这一规律的等式是( )A ．20 = 4 +16【答案】CB ．25 = 9 +16C ．36 =15 + 21D ．40 = 12 + 28【解答】解：根据题目中的已知条件结合图象可以得到任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，再观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律，可以再写出一个符合这一规律的等式：36 = 15 + 21 ，故选：C ．3.找规律：观察下面的星阵图和相应的等式，探究其中的规律．（1）在④、⑤和⑥后面的横线上分别写出相应的等式：①1 = 12 ②1 + 3 = 22 ③1 + 3 + 5 = 32④⑤⑥（2）通过猜想，写出第n 个星阵图相对应的等式：．【答案】（1）1 + 3 + 5 + 7 = 42 ；1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 ；1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 ；（2）1 + 3 + 5 + 7 +⋯+ (2n - 1) =n2【解答】解：根据规律可知，④1 + 3 + 5 + 7 = 42 ；⑤1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 ；⑥1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 ．第n 个图案中五角星的个数是1 + 3 + 5 + 7 +⋯+ (2n - 1) =n2 ．4. （2019 秋•鼓楼区期中）如图，圆桌周围有20 个箱子，按顺时针方向编号1 ~ 20 ，小明先在1 号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2020 圈，求4 号箱内有674 颗红球．【解答】解：根据题意，可知第1 圈红球在1、4、7、10、13、16、19 号箱内，第2 圈红球在2、5、8、11、14、17、20 号箱内，第3 圈红球在3、6、9、12、15、18 号箱内，第 4 圈红球在1、4、7、10、13、16、19 号箱内，且第1、4、7、10⋯2020 圈会在4 号箱内丢一颗红球，所以1 + 3(n - 1) = 2020(n 为正整数）解得n =674 ．故答案为674．5．（2017 秋•玄武区期中）如图，一个4 ⨯ 3 的长方形可用 4 种不同的方式分割成 4 或6 或9 或12 个正方形，（1）一个5⨯ 3 的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是个；（2）一个6 ⨯ 3 的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是个；（3）一个n ⨯ 3 的长方形(n 为大于 3 的整数）用不同的方式分割后，正方形的个数最少是多少个？（用含n 的代数式表示）【解答】解：（1）一个5⨯3 的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是4 个，故答案为：4；（2）一个6 ⨯ 3 的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是 2 个，故答案为：2；（3）当n 能被 3 整除时，分割后正方形的个数最少是n 3n + 8个；当n 除 3 余1 时，分割后正方形的个数最少是当n 除 3 余2 时，分割后正方形的个数最少是3n +73个；个．2⎨∑ ∑ ∑三、新定义类1．如果 a ， b 是任意两个不等于零的实数，定义新运算如下： a ⊕ b = ab是 ．【答案】 34，那么1⊕ (2 ⊕ 3) 的值【解答】解：1⊕ (2 ⊕ 3) = 1⊕ 2 = 1⊕ 4 =1 = 3 ．故答案为： 3．43 34 432.定义一种新运算： a ※ b =⎧a - b (a b )，则当 x = 3 时，2※ x - 4 ※ x 的结果为 ．⎩3b (a < b )【答案】8【解答】解：当 x = 3 时，原式= 2 ※ 3 - 4 ※ 3 = 9 - (4 - 3) = 9 - 1 = 8 ， 故答案为：83.定义一种新运算： a *b = 3a - 4b ，根据这个规则，方程2 * (2 * x ) = 1* x 的解为 ．21【答案】 x =20【解答】解：根据题中的新定义化简2 * (2 * x ) = 1* x 得： 2 * (6 - 4x ) = 3 - 4x ， 即6 - 24 +16x = 3 - 4x ，解得： x = 21．20故答案为： x =21204.读一读：式子“ 1+2+3+4+5+…+100”表示 1 开始的 100 个连续自然数的和． 由于上述式子比较长，100书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+ …+100”表示为n ，这里“ ”是求和符n =150号．例如：1+3+5+7+9+…+99，即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和，可表示为（2n-1）；又n =12 210 5如13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 可表示为∑n3．通过对上以材料的阅读，请计算∑（n2-1）n=1 n=1= ．（填写最后的计算结果）【答案】50【解答】解：根据题意得：∑(n2 -1) = (12 -1) + (22 -1) + (32 -1) + (42 -1) + (52 -1) = 0 + 3 + 8 +15 + 24 = 50 ．n=15．定义一种新的运算：观察下列式子1 3 =1⨯ 4 + 3 = 7 ；3 (-1) = 3 ⨯4 + (-1) =11 ；5 4 = 5 ⨯ 4 + 4 = 24 ；4 (-3) = 4 ⨯ 4 + (-3) =13 ．（1）请你想一想：a b =；（2）请你判断a b b a （填入“=”或“≠” )（3）若a =-2 ，b =-4 ，求(2a -b) (a - 2b) 的值．【答案】（1）4a +b ；（2）≠；（3）6【解答】解：（1）根据题意得：a b = 4a +b ；（2）根据题意得：a b ≠b a ；（3）(2a -b) (a - 2b) = 4(2a -b) + (a - 2b) = 8a - 4b +a - 2b = 9a - 6b ，当a =-2 ，b =-4 时，原式= 9 ⨯ (-2) - 6 ⨯ (-4) = 6 ．故答案为：（1）4a +b ；（2）≠；（3）66.定义一种新运算：a bc d=ad -bc ．（1）计算：1a2-b；3 5a - 6b（2）若3 7= 3 - 2x ，求x 的值．x -1 x【答案】（1）解：原式= 5a - 6b - 3a2 + 6b = 5a - 3a25（2） x = 2【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式= 5a - 6b - 3a2 + 6b = 5a - 3a2 ；（2）利用题中的新定义化简得：3x - 7(x - 1) = 3 - 2x ，去括号得：3x - 7x + 7 = 3 - 2x ，移项合并得：-2x =-4 ，解得：x = 2 ．模块二有理数一、有理数概念1．下面关于有理数的说法正确的是( )A．正数、负数和零统称为有理数B．正整数与负整数合在一起就构成整数C．正数和负数统称为有理数D．整数和分数统称有理数【解答】 D【解答】解：A 、正有理数、负有理数和零统称为有理数，故说法错误；B 、正整数与负整数以及0 合在一起就构成整数，故说法错误；C 、正有理数、负有理数和零统称为有理数，故说法错误；D 、整数和分数统称有理数，故说法正确．故选： D ．2．2019 年1 月3 日，经过26 天的飞行，嫦娥4 号月球探测器在月球背面的预定着陆区中顺利着陆，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器地球与月球之间的平均距离大约为384000km ，384000 用科学记数法表示为( )A．3.84 ⨯103B．3.84 ⨯104C．3.84 ⨯105D．3.84 ⨯106【答案】C【解答】解：384000 = 3.84 ⨯105 ．故选： C ．3.如果a 是一个负数，那么①-a ；②a +1 ；③a -1 ；④-a2 ；⑤a+ | a | ，这五个代数式的值中，一定是负数的是（填序号）．【答案】③④【解答】解： a 是一个负数，∴①-a 一定是正数；② a + 1 不一定是负数；③ a - 1 一定是负数；④-a2 一定是负数；⑤a+ | a |= 0 ；故答案为：③④．4.把下列各数中无理数有( )-4 ，0，22，π，2013，-0.1010010001⋯，2.38383838⋯ 7 2A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】C【解答】解：π，-0.1010010001⋯是无理数，2故选： C ．5．把下列各数写到相应的集合中：3，-2 ，1，-1.2 ，0，6，13，-41 6 7 2整数集合：{分数集合：{负有理数集合：{非负整数集合：{负分数集合：{【答案】解：整数集合：{ 3， -2 ，0，13，⋯}⋯} ⋯} ⋯} ⋯} ⋯} ．分数集合：{ 1 ， -1.2 ， 6 ， -4 1 ⋯}6 7 2负有理数集合：{-2 ， -l .2 ， -4 1 ⋯}2非负整数集合：{ 3，0，13，⋯}负分数集合：{-l .2 ， -4 1 ⋯} ．2二、有理数计算1.计算（1） + 3 - 2 + 5 - 5 ．8 7 8 7【解答】解：原式= (3 + 5) + (- 2 - 5) = 1 + (-1) = 0 ；8 8 7 7（2） (-0.5)+ | 0 - 6 1 | -(+7 1) - (-4.75) ；4 2【解答】解：原式= -0.5 + 6.25 - 7.5 + 4.75 = -8 + 11 = 3 ；（3） (- 1 - 5 + 7 ) ÷ (- 1 )2 9 12 36【解答】解：原式= (- 1 - 5 + 7 ) ⨯ (-36) = 18 + 20 + (-21) = 17 ；2 9 12（4） (-1)3 - (1 - 7) ÷ 3 ⨯ [3 - (-3)2 ]【解答】解：原式= -1 - (-6) ÷ 3 ⨯ (3 - 9) = -1 + 2 ⨯ (-6) = -1-12 = -13 ；（5） -42 - | -9 | ⨯[(-2)3 + 5] ⨯ (-1)20183【解答】解：原式= -16 - 9 ⨯ (-8 + 5) ⨯1 = -16 - 9 ⨯ (- 19) ⨯1 = -16 + 57 = 41 ．3 3（6） (1 - 1 + 1 - 1) ÷ (- 1 )4 ；3 4 6 8 2【解答】解：原式= (1 - 1 + 1 - 1) ÷ 1 = (1 - 1 + 1 - 1) ⨯16 = 16 - 4 + 8 - 2 = 2 ；3 4 6 8 16 3 4 6 8 3 32.现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．（1）从中抽出 2 张卡片，使这 2 张卡片上的数字的差最小，则差的最小值为 ．（2）从中抽出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字相除的商最大，则商最大的值为．（3）从中抽出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字的乘积最大，则所抽取卡片上的数字分别是，最大的乘积为．（4）从中抽出4 张卡片使这4 张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的算式，分别为，．【解答】（1）-11；（2）6；（3）-3 ，-6 ，18；（4）(-1 - 5) ⨯ [2 + (-6)] ，2 ⨯ [5 - (-6) - (-1)] （答案不唯一）．【解答】解：（1）从中抽出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字的差最小，则差的最小值为-6 - 5 =-11 ．（2）从中抽出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字相除的商最大，则商最大的值为-6 ÷ (-1) = 6 ．（3）从中抽出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字的乘积最大，则所抽取卡片上的数字分别是-3 ，-6 ，最大的乘积为-3 ⨯ (-6) = 18 ．（4）(-1 - 5) ⨯ [2 + (-6)]=-6 ⨯ (-4)= 24 ；2 ⨯ [5 - (-6) - (-1)]= 2 ⨯12= 24 ．（答案不唯一）三、应用题1.为了提高同学们有理数混合运算的能力，七年级某班的数学老师每天给同学们进行计算训练，下表是小张同学一周内五天的成绩（以90 分为标准，用“ +”表示比90 分高，用“ -”表示比90 分低）:（1）小张同学本周成绩的最高分是分，最低分是分；（2）求小张同学本周计算训练的平均成绩．【答案】（1）100，78；（2）91.6 分【解答】解：（1）由表格可得，星期一星期二星期三星期四星期五+5 +10 -12 +8 -3小张同学本周成绩的最高分是：90 +10 = 100 （分) ，最低分是：90 + (-12) = 78 （分) ，故答案为：100 ，78 ；（2）小张同学本周计算训练的平均成绩是：90 + (5 +10 -12 + 8 - 3) ÷ 5 = 91.6 （分) ，答：小张同学本周计算训练的平均成绩是91.6 分．2.一辆交通巡逻车在南北公路上巡视，某天早上从A 地出发，中午到达B 地，行驶记录如下（规定向北为正方向，单位：千米）: +15 ，-8 ，+6 ，+12 ，-8 ，+5 ，-10 ．回答下列问题：（1）B 地在A 地的什么方向？与A 地相距多远？（2）巡逻车在巡逻中，离开 A 地最远多少千米？（3）巡逻车行驶每千米耗油 a 升，这半天共耗油多少升？【解答】解：（1）将公路看成数轴，A 地作为原点，规定向北为正．根据题意，得：+15 + (-8) + 6 +12 + (-8) + 5 + (-10) =12 （千米）因此，B 地在A 地北面，与A 地相距12 千米；（2）第一次是15 千米，第二次与A 地相距15 - 8 = 7 千米，第三次与A 地相距7 + 6 = 13 千米，第四次与A 地相距13 + 12 = 25 千米，第五次与A 地相距25 - 8 = 17 千米，第六次与A 地相距17 + 5 = 23 千米，第七次与A 地相距23 - 10 = 13 千米，25 > 23 > 17 >> 15 > 13 > 7离开A 地最远25 千米；（3）| +15 | + | -8 | + | +6 | + | +12 | + | -8 | + | +5 | + | -10 |= 64 （千米）因为每千米耗油a 升所以，共耗油64 a 升．模块三数轴一、数轴及其应用1.画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“ <”把各数从小到大连起来．3， -12 ，0， - | -3 | ， 3 1．2【答案】解： -12 = -1， - | -3 |= -3 ，如图所示：故： - | -3 |< -12 < 0 < 3 < 3 1 ．22．有理数a ， b 在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：① | a |>| b | ；② a - b > 0 ；③ a + b > 0 ；④1 + 1 > 0 ；⑤ -a > -b ，其中正确的个数有( )a bA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解答】解：由图象可知， a < 0 < b ，且| a |>| b | ，故①正确；a -b = a + (-b ) = -(| a | + | b |) < 0 ，故②错误；a +b = -(| a | - | b |) < 0 ，故③错误；a +b < 0 ，且ab < 0 ， ∴ a + b > 0 ，即 1 + 1 > 0 ，故④正确； ab ab a ba <b ，∴ -a > -b ，故⑤正确；故选： C ．二、相反数1． -2 的相反数是， -2 的倒数是 ．【答案】2， - 12【解答】解： -2 的相反数是 2； -2 的倒数是- 1 ；2故答案为：2， - 1 ． 22.若a 与2a - 9 互为相反数，则a 的值为．【答案】3【解答】解：由题意可知： a + 2a - 9 = 0 解得： a = 3故答案为：3三、点的移动1.如图，半径为 1 个单位长度的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合（提示：计算结果保留π) （1）把圆片沿数轴向左滚动1 周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+3 ，-1，，+4 ，-3 ，①第3 次滚动周后，Q 点回到原点．第6 次滚动周后，Q 点距离原点4π②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？【解答】（1）-2π；（2）①-2 ，+1 或-3 ；② 28π或32π【解答】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1 周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是-2π；故答案为：-2π；（2）①+3 -1 = 2 ，2 - 2 = 0 ，∴第 3 次滚动-2 周后，Q 点回到原点；+3 -1- 2 + 4 - 3 = 1，1 + 1 = 2 或1- 3 =-2 ，∴第 6 次滚动 +1 或-3 周后， Q 点距离原点4π故答案为-2 ，+1 或-3 ；②根据题意列得：3 +1+ 2 + 4 + 3 +1 =14 ，14 ⨯ 2π= 28π，或3 +1+ 2 + 4 + 3 + 3 =16 ，6 ⨯2π= 32π．当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有28π或32π．模块四绝对值一、绝对值的概念1．下列正确的是( )A．若| a |=| b | ，则a =b B．若a2 =b2 ，则a =bC．若a3 =b3 ，则a =b D．若| a |=a ，则a > 0【答案】C【解答】解：A 、若| a |=| b | ，则a =b 或 a +b = 0 ，故A 错误；B 、若a2 =b2 ，则a =b 或 a +b = 0 ，故B 错误；C 、若a3 =b3 ，则a =b ，故C 正确；D 、若| a |=a ，则a 0 ，故D 错误；故选： C ．2．-5 的绝对值的相反数是( )A．5 B．0 C．-5 D．1【答案】C【解答】解：-5 的绝对值为5，则-5 的绝对值的相反数是-5 ，故选：C ．二、绝对值计算1. a 、b 是有理数，如果| a -b |=a +b ，那么对于结论：（1）a 一定不是负数；（2）b 可能是负数，其中( )A．只有（1）正确B．只有（2）正确C．（1），（2）都正确D．（1），（2）都不正确【答案】A【解答】解：因为| a -b | 0 ，而a -b 有两种可能性．（1）当a -b 0 时，由| a -b |=a +b 得a -b =a +b ，所以b = 0 ，因为a +b0 ，所以a 0 ；（2）当a -b < 0 时，由| a -b |=a +b 得-(a -b) =a +b ，所以a = 0 ，因为a -b < 0 ，所以b > 0 ．根据上述分析，知（2）错误．故选：A ．2．已知3 <x < 5 ，化简| x - 3 | + | x - 5 |=．【答案】2【解答】解： 3 <x < 5 ，∴x - 3 > 0 ，x - 5 < 0 ，∴|x - 3 |=x - 3 ，| x - 5 |= 5 -x∴| x - 3 | + | x - 5 |=x - 3 + 5 -x = 23．如图所示，a 、b 是有理数，则式子| a | + | b | + | a +b | + | b -a | 化简的结果为．【答案】3b -a ．【解答】解：由数轴上a 、b 两点的位置可知，-1 <a < 0 ， b > 1 ，∴a +b > 0 ，b -a > 0 ，∴原式=-a +b +a +b +b -a = 3b -a ．故答案为：3b -a ．三、绝对值的逆运算1．若m = 3, n = 2,且m< 0 ，则m +n 的值是( ) nA．-1 B．1 C．1 或5 D．±1 【答案】 D【解答】解：| m |= 3 ，| n |= 2 ，∴m = 3 或-3 ，n = 2 或-2 ，又m< 0 ，即m 、n 异号，n∴当m = 3 时，n =-2 ，则m +n = 3 - 2 = 1 ；当m =-3 时，n =2 ，则m +n =-3 +2 =-1 ．故选：D ．2．如果| x - 2 |=x - 2 ，那么x 的取值范围是．【答案】x 2【解答】解：| x - 2 |=x - 2 ，∴x - 2 0 ，即x 2 ．故答案为：x 2 ．3．| x - 3 |= 3 -x ，则x 的取值范围是．【答案】x 3【解答】解：| x - 3 |= 3 -x ∴3 -x 0 ，∴x 3 ；故答案为：x 3 ；四、绝对值的非负性1．当| a |=-a 时，则a 是( )A．a 0B．a < 0 C．a 0D．a > 0【答案】A【解答】解：当| a |=-a 时，则a 0 ．故选：A ．五、绝对值的几何意义1．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4 与-2 ，3 与5，-2 与-6 ，-4 与3．并回答下列各题：（1）你能发现A 、B 两点之间的距离表示为a 与b ，在数轴上A 、B 两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：AB = ．（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-1 ，则A 与B 两点间的距离可以表示为．（3）结合数轴探求| x - 2 | + | x + 6 | 的最小值是．【答案】（1）| a -b | ；（2）| x + 1 | ；（3）8【解答】解：（1）4 与-2 的距离：6 =| -2 - 4 | ，3 与5 的距离：2 =| 5 - 3 | ，-2 与-6 的距离：4 =| -2 - (-6) | ，-4 与3 的距离：7 =| 3 - (-4) | ，∴AB =| a -b | ；故答案为：| a -b | ；（2）AB =| x - (-1) |=| x + 1| ；故答案为：| x + 1 | ；（3）| x - 2 | + | x + 6 | 表示数x 到2 和-6 两点的距离之和，如果求最小值，则x 一定在2 和-6 之间，则最小值为8；故答案为：8．2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是；表示-3 和2 两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于| m -n | ．如果表示数a 和-1 的两点之间的距离是3，那么 a =．（2）若数轴上表示数a 的点位于-4 与2 之间，则| a + 4 | + | a - 2 | 的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得|x+2|+|x-5|=7，这些点表示的数的和是．（4）当a =时，| a + 3 | + | a -1| + | a - 4 | 的值最小，最小值是．【解答】解：（1）| 1- 4 |= 3 ，| -3 - 2 |= 5 ，| a - (-1) |= 3 ，所以，a + 1 = 3 或a + 1 =-3 ，解得a =-4 或 a = 2 ；2（2） 表示数a 的点位于-4 与 2 之间，∴ a + 4 > 0 ， a - 2 < 0 ， ∴| a + 4 | + | a - 2 |= (a + 4) + [-(a - 2)] = a + 4 - a + 2 = 6 ；（3）使得| x + 2 | + | x - 5 |= 7 的整数点有-2 ， -1 ，0，1，2，3，4，5，-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 12 ． 故这些点表示的数的和是12；（4） a = 1 有最小值，最小值=| 1 + 3 | + | 1 - 1| + | 1 - 4 |= 4 + 0 + 3 = 7 ． 故答案为：3，5， -4 或 2；6；12；1；7．模块五 代数式一、整式的基本概念2a 2b1．单项式- 的系数是 ，次数是 ．32a 2b 2【解答】解：单项式- 的系数是： - ，次数是 3．3 3故答案为： - 2，3．3 2．请写出一个只含字母a 和b 的四次 3 项式．【解答】解：由多项式的定义可得只含字母a 和b 的四次 3 项式： a 4 + 2b +1 ． 故答案为： a 4 + 2b + 1 ．3．下列说法正确的是( )A ． - xy 的系数是-55B ．单项式x 的系数为 1，次数为 0C ． xy + x 次数为 2 次D ． -22 xyz 2 的系数为 6xy2 1【解答】解：A 、单项式-的系数是-，故A 错误；5 5B 、单项式x 的系数为1，次数为1，故B 错误；C 、xy +x 次数为2 次，故C 正确；D 、-22 xyz2 的系数为-4 ，故 D 错误；故选： C ．4．已知单项式π3 x m-1 y3 的次数是7，则m = ．【解答】解：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，则m - 1 + 3 = 7 ，解得m =5 ．故答案为：5．二、合并同类项1．若2x2与-2 x n是同类项，则mn = ．【解答】解：2x2与-2 x n是同类项，∴n = 2 ，m = 3 ，则mn ．故答案为：6．2．若a m b 与ab2n为同类项，则n -m = ．【解答】解：∴m = 1 ，2n =解得：n =1，2a mb 与ab2n为同类项，，则n -m =1-1 =-1．2 2故答案为：-1 ．23．计算（1）x2 - 5 y- 4 2 ；（2）7a + 3(a - 3b) - 2(b - 3a) ．【解答】解：（1）原式=x2 - 4x2 +y - 5 y - 1 =-3x2 - 4 y - 1 ；（2）原式= 7a + 3a - 9b - 2b + 6a= 16a - 11b ；4．计算（1）3a + 2b - (5a +b) ；（2）3a2b +a2b - (2a2b - 2 2 ．【解答】解：（1）原式= 3a + 2b - 5a -b=-2a ．解：原式= 4a2b - 2a2b + 2ab2+ 6ab2- 2a2b= 4a2b - 2a2b - 2a2b + 2ab2+ 6ab2= 8ab2．5．若4x4 y n+1 与-5x m y2 的和仍为单项式，则m -n =．【解答】解：根据题意得：m = 4 ，n +1 = 2 ，解得：n =1 ，则m -n = 4 -1 =3 ．故答案是：3．6．已知一个多项式与3x2+ 9x 的和等于3x2+ 4x -1，则此多项式是．【解答】解：所求的多项式为：(3x2 + 4x -1) - (3x2 + 9x) =-5x -1 ．故答案为： -5x7．某校七年级5 班学生为西部贫困地区学生捐款x 元，其中女生的捐款占45，则代数式(1 - 45%)x 表示的实际意义是．【解答】解：女生的捐款占45 ，∴男生捐款占捐款总数的(1 - 45%) ，∴(1 - 45%)x 表示的实际意义是：七年级5 班男生捐款数量，故答案为：七年级5 班男生捐款数量．8．两个多项式A 和B ，A =▄▄▄，B =x2 + 4x + 4 ．A -B = 3x2 - 4x - 20 ．其中A 被墨水污染了．（1）求多项式A ；（2）x 取其中适合的一个数：2，-2 ，0，求B的值．A【解答】解：（1） B =x2 + 4x + 4 ．A -B = 3x2 - 4x - 20 ，∴A =x2 + 4x + 4 + 3x2 - 4x - 20 = 4x2 - 16 ；（2）当x = 0 时，B=4=-1．A -16 4三、整式的化简求值1．已知3b -a ，则代数式2a - 6b - 3 的值是．【解答】解：3b -，∴ 2a - 6b - 3 =-2(3b -a) - 3=-2 ⨯=-4=-，故答案为：-7 ．2．已知3x2-x = 2 ，则5 - 2x + 6x2的值为．【解答】解：3x2-x = 2 ，∴原式= 5 + 2(3x2 -x) = 5 + 4 = 9 ，故答案为：93．已知a - 2b + 【解答】解：，则代数式2a - 4a - 2b + 1 = 0 ，的值为．∴a - 2 ，∴ 2a -= 2(a - 2b) - 1= 2 ⨯ (-1) - 1=-2 -1=-故答案为：-3 ．4．先化简，再求值：-a2b +1(3ab2-a2b) - 2(2ab2-a2b) ，其中a =-1 ， b =-1．3 2【解答】解：原式=-a2b +ab2-1a2b - 4ab2+ 2a2b 3=2a2b - 3ab2，3当a =-1 ， b =-1 时，2原式=2⨯ (-1)2⨯ (-1) - 3⨯ (-1) ⨯ (-1) 3 2 2=-1+3 3 4=5 ．5．先化简，再求值：1x - 2(x -1y2) +32，其中x =-3 ，y =3．2【解答】解：原式=1x - 2x +2y2-3x +1y2 2 3 2 3=1x - 2x -3x +2y2+1y2 2 2 3 3=-3x ．当x =-3 ，y =3 时，2原式=-3x=-3⨯ (-3) += 9 +94=45．4(3)22四、“无关”、“不含”与“错看”的整式计算1．若多项式2x3- 8x2+x -1与多项式3x3+ 2mx2- 5x + 3 相加后不含二次项，则m 的值为．【解答】解：据题意两多项式相加得：5x3-8x2+ 2mx2- 4x + 2 ，相加后结果不含二次项，∴当2m - 8 = 0 时不含二次项，即m = 4 ．2．当 x = 5 ， y = 4.5 时，求 kx - 2(x - 1 y 2 ) + (- 2 x + 1y 2 ) - 2(x - y 2 + 1) 的值．一名同学做题时，错把3 3 3x = 5 看成 x = -5 ，但结果也正确，且计算过程无误，求 k 的值．【解答】解：原式= kx - 2x + 2 y 2 - 2 x + 1 y 2 - 2x + 2 y 2 - 2 = (k - 4 2)x + 3y 2 - 2 ，3 3 3 3由错把 x = 5 看成 x = -5 ，但结果也正确，且计算过程无误，得到 k = 4 2．33．（2019 秋•建邺区期中）已知多项式 x 2 + ax - y + b 与bx 2 - 3x + 6 y - 3 差的值与字母 x 的取值无关，求代数式3(a 2 - 2ab - b 2 ) - 4(a 2 + ab + b 2 ) 的值． 【解答】解：根据题意得：(x 2 + ax - y + b ) - (bx 2 - 3x + 6 y - 3) = x 2 + ax - y + b - bx 2 + 3x - 6 y + 3 = (1 - b )x 2 + (a + 3)x - 7 y + b + 3 ，由差与 x 的值取值无关，得到1 - b = 0 ， a + 3 = 0 ， 解得： a = -3 ， b = 1 ，则原式= 3a 2 - 6ab - 3b 2 - 4a 2 - 4ab - 4b 2 = -a 2 - 10ab - 7b 2 = -9 + 30 - 7 = 14 ．4. 已知代数式 A = x 2 + xy - 2 y ，B = 2x 2 - 2xy + x -1（1）求 2A －B ；（2）若 2A －B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值【解答】解：（1）当 A = x 2 + xy - 2 y ，B = 2x 2 - 2xy + x -1 时2A －B ＝ 2(x 2 + xy - 2 y ) - (2x 2 - 2xy + x -1)＝ 2x 2 + 2xy - 4 y - 2x 2 + 2xy - x + 1＝ 4xy - x - 4 y + 1（2）根据题意得：2A －B 的值与 x 的值取值无关，得到： (4 y - 1)x - 4 y + 1 与 x 的值取值无关 ∴ 4 y - 1 = 0 ， 解得： y = 1 ．4五、整式加减解决问题1．小明在邮局寄了1 封信和m 张明信片，每封信的邮费为1.2 元，每张明信片的邮费为0.8 元，小明一共用了元（用含有m 的代数式表示）．【解答】解：由题意，可得小明一共用了(1.2 + 0.8m)元．故答案为(1.2 + 0.8m) ．2．已知一个长方形的宽是m + ，长比宽多m ，则该长方形的周长是．【解答】解：[(m + 2n +m) + (m + 2n)] ⨯ 2= [3m + 4n] ⨯ 2= 6m∴该长方形的周长是6m +．故答案为：6m +．3．超市原有(x2 - 2x) 桶食用油，上午卖出(7 x- 5) 桶，中午购进同样的食用油(x2 + 6x) 桶，下午清仓时发现该食用油只剩下5 桶，便民超市下午卖出桶食用油．【解答】解：根据题意得：(x2 - 2x) - (7x - 5) + (x2 + 6x) - 5 =x2 -，则便民超市下午卖出(2x2 - 桶食用油，故答案为： (2x2 -4．李明同学买了50 元的乘车月票卡，他是一个有心人，他把乘车的次数用m 表示，卡上的余额用n 表示，用下面的表格记录了每次乘车后的余额．（1）请你写出用李明乘车的次数m 表示余额n 的公式；（2）利用上述公式，帮李明算一算乘了13 次车还剩多少元？（3）李明用此卡一共最多能乘几次车？次数m余额1 50 -2 50 -3 50 - 2.44 50 - 3.2【解答】解：（1）根据表格可得，n = 50 - 0.8m ，即李明乘车的次数m 表示余额n 的公式是n = 50 - 0.8m ；（2）当m = 13 时，n = 50 - 0.8m = 50 - 0.8 ⨯13 = 39.6 ，即李明乘了13 次车还剩39.6 元；（3）当n = 0 时，50 - 0.8m = 0 ，解得，m = 62.5 ，即李明用此卡一共最多能乘62 次车．5．一商店在某一时间以每件a 元(a > 0) 的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ．（1）当a = 60 时，分析卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（2）小安发现：不论a 为何值，这样卖两件衣服总的都是亏损．请判断“小安发现”是否正确？【解答】解（1）设两件衣服每件的成本价格分别是x 元，y 元依题意列方程： x ⨯ (1 + 25%) =a解得： x =4a ， y =4ay ⨯ (1 - 25%) =a 5 3当 a = 60 时， x = 48 ， y = 8060 - 48 + 60 - 80 =-8 < 0∴当a = 60 时，卖出这两件衣服总的是亏损．（2）正确．理由如下a -4a +a -4a =-2a < 05 3 15故小安的发现是正确的．6．某水果批发市场苹果的价格如下表：购买苹果（千克）单价不超过20 千克的部分 6 元/ 千克超过20 千克但不超出40 千克的部分 5 元/ 千克超出40 千克的部分 4 元/ 千克（1）小明第一次购买苹果10 千克，需要付费元；小明第二次购买苹果x 千克( x超过20千克但不超过40 千克），需要付费元（用含x 的式子表示）；（2）小强分两次共购买100 千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且第一次购买的数量为 a 千克，请问小强两次购买苹果共需要付费多少元？（用含a 的式子表示）；【解答】解：（1）10 千克在“不超过20 千克的总分”按6 元/ 千克收费，∴10 ⨯ 6 = 60 元；过20 千克但不超过40 千克，前面的20 千克按6 元/ 千克来收费，后面多余的(x - 20) 千克按5 元/ 千克来收费，∴20 ⨯ 6 + 5(x - 20) = (5x + 20)元故答案为：60 5x + 20（2） 两次共购买 100 千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量∴a < 50当 a ≤ 20 时，需要付费为6a + 20 ⨯ 6 + 20 ⨯ 5 + 4 ⨯ (100 -a - 40)= 6a + 120 + 100 + 400 - 4a - 160= 2a + 460 （元)当20 <a ≤ 40 时，需要付费为6 ⨯ 20 + 5 ⨯ (a - 20) + 20 ⨯ 6 + 20 ⨯ 5 + 4 ⨯ (100 -a - 40)= 120 + 5a - 100 + 120 + 100 + 400 - 4a - 160=a + 480 （元)当40 <a < 50 时，需要付费为6 ⨯ 20 + 5 ⨯ 20 + 4 ⨯ (a - 40) + 20 ⨯ 6 + 20 ⨯ 5 + 4 ⨯ (100 -a - 40)= 120 + 100 + 4a - 160 + 120 + 100 + 400 - 4a -160= 520 （元)7．两船从同一个港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km / h ，水流速度是akm / h（1）2 小时后两船相距多远？（2）2 小时后甲船比乙船多航行多少千米？【解答】解：（1）2 小时后两船相距的距离为：[(50+a)+(50-a)]⨯2=(50+a+50-a)⨯2=100⨯2=200；（2）2 小时后甲船比乙船多航行的距离为：[(50 +a) - (50 -a)] ⨯ 2 = (50 +a - 50 +a) ⨯ 2 = 2a ⨯ 2 = 4a ．8．（2019 秋•鼓楼区期中）已知数轴上两点 A 、B 对应的数分别是 6， -8 ， M 、 N 、 P 为数轴上三个动点，点 M 从 A 点出发，速度为每秒 2 个单位，点 N 从点 B 出发，速度为 M 点的 3 倍，点 P 从原点出发，速度为每秒 1 个单位．（1）若点 M 向右运动，同时点 N 向左运动，求多长时间点 M 与点 N 相距 54 个单位？ （2）若点 M 、 N 、 P 同时都向右运动，求多长时间点 P 到点 M ， N 的距离相等？（3）当时间t 满足t 1 < t ≤ t 2 时，M 、N 两点之间， N 、P 两点之间，M 、P 两点之间分别有 55 个、44 个、11 个整数点，请直接写出t 1 ， t 2 的值．【解答】解：（1）设运动时间为t 秒， 由题意可得： 6 + 8 + 2t + 6t = 54 ， ∴t = 5 ，∴运动 5 秒点 M 与点 N 相距 54 个单位；（2）设运动时间为t 秒， 由题意可知：M 点运动到6 + 2t ， N 点运动到-8 + 6t ， P 点运动到t ，当t < 1.6 时，点 N 在点 P 左侧， MP = NP ， ∴ 6 + t = 8 - 5t ， ∴t = 1s ；3当t > 1.6 时，点 N 在点 P 右侧， MP = NP ， ∴ 6 + t = -8 + 5t ，∴t = 7s ，2 ∴运动 1 s 或= 7s 时点 P 到点 M ， N 的距离相等；3 2（3）由题意可得： M 、 N 、 P 三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M 、 N 两点距离最大， M 、 P 两点距离最小，可得出 M 、 P 两点向右运动， N 点向左运动①如上图，当t1= 5s 时，P 在5，M 在16，N 在-38 ，再往前一点，MP 之间的距离即包含10 个整数点，NP 之间有44 个整数点；②当N 继续以6 个单位每秒的速度向左移动，P 点向右运动，若N 点移动到-39 时，此时N 、P 之间仍为44 个整数点，若N 点过了-39 时，此时N 、P 之间为45 个整数点故t2=1+ 5 =31s 6 6∴t1= 5s ，t2=31s ．6六、整式加减几何应用1．如图，两个正方形拼成的图形中，阴影部分的面积用代数式表示是．【解答】解：S阴影故答案是：1a(a2= (a +b)2-a +b⋅(a +b)-1 (a -b)b =1 a (a -b)．2 2 2．2．如图，两个圆的半径分别为5 和3，两阴影部分的面积分别为a ，b(a >b) ，则a -b 的值为16 ．（结果保留π)【解答】解：设重叠部分面积为c ，a -b = (a +c) - (b +c) = 25π- 9π= 16π，故答案为：163．有一长方形广场，长为m 米，宽为n 米，左右两侧有两个直径都为b 米的半圆形休息区，另外两侧分别由一间长为2b 米，宽为a 米的长方形报刊亭和一个半径为b 米的半圆形花坛，阴影部分草坪，则：（1）草坪的面积为平方米（用含字母和π的代数式表示）；（2）当m = 8 ，n = 6 ， a = 1 ， b = 2 时，求出草坪的面积．(π取3)【解答】解：（1）草坪的面积为mn - 2ab -π (b)2 -1 πb2 =mn - 2ab -3 πb2 （平方米），故答案为：mn -2ab -3 πb2 ．42 2 4（2）当m = 8 ，n = 6 ， a = 1 ， b = 2 时，原式= 8⨯ 6 - 2⨯1⨯ 2 -3⨯ 3⨯ 224= 48 - 4 - 9= 35 （平方米），答：草坪的面积为35 平方米．4．2016 年9 月15 日晚，正值中秋佳节，我国“天宫二号”空间实验室顺利升空．同学们倍受鼓舞，某同学绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．（1）用含有a 、b 的代数式表示该截面的面积S ；（2）当a = 2.8cm ， b = 2.2cm 时，求这个截面的面积．【解答】解：（1）由题意可知： S =1ab + 2a ⨯a +1(a + 2a)b =1ab + 2a2+3ab = 2ab + 2a22 2 2 2（2）由（1）可知：S = 2a(a +b) = 2 ⨯；5．将一张如图①所示的长方形铁皮四个角都剪去边长为30cm 的正方形，再四周折起做成一个有底无盖的铁盒，如图②铁盒底面长方形的长是4acm ，宽是3acm（1）请用含有a 的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；（2）若要在铁盒的外表面涂上某种油漆，每1 元钱可涂油漆的面积为acm2 ，则在这个铁盒的外表50面涂上油漆需要多少钱（用含有a 的代数式表示）？【解答】解：（1）原铁皮的面积是(4a + 60)(3a + 60) = 12a2 + 420a + 3600 ；（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2 + 2 ⨯ 30 ⨯ 4a + 2 ⨯ 30 ⨯ 3a = 12a2 + 420a ，则油漆这个铁盒需要的钱数是： (12a2 + 420a) ÷a= (12a2 + 420a) ⨯a= 600a + 21000 （元) ．50 50答：售完200 件这种商品共盈利600a + 21000 元．6．一张边长为10 的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x ，y ，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x ，y ．（1）用含有x ，y 的代数式表示图中“囧”的面积；（2）若| x - 4 | +( y - 3)2 = 0 时，求此时“囧”的面积．【解答】解：（1）设“囧”的面积为 S ，则 S = 10 ⨯10 -xy - 2 ⨯1 xy2 = 100 - 2xy ；（2）由题意可知，x = 4 ，y = 3 ，原式= 100 - 2 ⨯ 4 ⨯ 3 = 76 ．模块六一元一次方程一、一元一次方程定义1．下列各方程中，是一元一次方程的是( )A．3x + 2 y = 5 B．y2 - 6 y + 5 = 0 C．1x - 3 =1D．3x - 2 = 4x - 7 3 x【解答】解：A 、含有两个次数为 1 的未知数，是二元一次方程；B 、未知项的最高次数为2，是一元二次方程；C 、分母中含有未知数，是分式方程；D 、符合一元一次方程的定义．故选： D ．2．在下列方程中：①x + 2 y = 3 ，②1- 3x = 9 ，③y - 2=y +1，④1x = 0 ，是一元一次方程的有x（只填序号）．3 3 2 【解答】解：①是二元一次方程；②是分式方程；③符合一元一次方程的定义；④符合一元一次方程的定义．故③④是一元一次方程．3．方程(a + 2)x2 + 5x m-3 - 2 = 3 是一元一次方程，则a +m =．【解答】解：根据题意得：⎨k - 2 ≠ 0a + 2 = 0 ，解得： a = -2 ，m - 3 = 1 ，解得： m = 4 ，a + m = -2 + 4 = 2 ，故答案为：2．4．若关于 x 的方程(k - 2)x |k -1|+ 5k + 1 = 0 是一元一次方程，则k =， x = ．【解答】解：由一元一次方程的特点得⎧| k - 1|= 1 ，⎩解得： k = 0 ；故原方程可化为-2x + 1 = 0 ，解得： x = 1．2 故填：0、 1．25．如果3x 1-2k + 3k = 0 是关于 x 的一元一次方程，则k =．4 【解答】解：根据题意得：1 - 2k = 1 ， 解得： k = 0 ． 故填：0．二、解一元一次方程1．已知 x = 1 是方程 x - k = 3 x - 1的解，则2k + 3 的值是( ) 3 2 2 A ． -2B ．2C ．0D ．-1【解答】解：根据题意，得 1 - k = 3 - 1 ，3 2 2 解得， k = -2 ，∴ 2k + 3 = -4 + 3 = -1 ；故选： D ．2 ． 已知关于 x 的一元一次方程12016x + 3 = 2x + b 的解为 x = 2 ， 那么关于 y 的一元一次方程1( y + 1) + 3 = 2( y + 1) + b 的解 y =． 2016【解答】解：把 x = 2 代入方程 1 2016 x + 3 = 2x + b 得： 11008+ 3 = 4 + b ，解得： b = -1007，1008 把b = -1007 代入方程 1 ( y + 1) + 3 = 2( y + 1) + b 得： 1( y + 1) + 3 = 2( y + 1) - 1007，1008 解得： y = 1 ，2016 2016 1008故答案为：1．3．对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号 Max {a ，b } 表示a 、b 中的较大值，如：Max {2 ，4} = 4 ， 按照这个规定，方程 Max {x ， -x } = 2x - 1 的解为 ．【解答】解：当 x > -x ，即 x > 0 时，方程为 x = 2x - 1 ， 解得： x = 1 ；当 x < -x ，即 x < 0 时，方程为-x = 2x - 1 ， 解得： x = 1> 0 ，舍去，3 综上，方程的解为 x = 1 ， 故答案为： x = 14．把方程 x - 0.17 - 0.2x= 1 中的分母化为整数，正确的是( )0.7 0.03 A ． x - 17 - 2x= 17 3 C ． 10x - 17 - 20x = 107 3B ． 10x - 17 - 2x= 17 3D ． 10x - 17 - 20x = 17 3【解答】解：方程左边的两个式子分别扩大 10 倍和 100 倍，得： 10x - 17 - 20x= 1 ，7 3 故选： D ．5．下列方程变形中，正确的是( )A ．由 x - 2 - 2x - 3= 1，去分母得3(x - 2) - 2(2x - 3) = 12 3 B ．由1 + x = 4 ，移项得 x = 4 - 1C ．由2x - (1 - 3x ) = 5 ，去括号得2x - 1 - 3x = 5D ．由2x = -3 ，系数化为 1 得 x =- 23【解答】解： A 、由 x - 2 - 2x - 3= 1，去分母得3(x - 2) - 2(2x - 3) = 6 ， A 选项错误；2 3 B 、由1 + x = 4 ，移项得 x = 4 - 1 ， B 选项正确；C 、由2x - (1 - 3x ) = 5 ，去括号得2x - 1 + 3x = 5 ， C 选项错误；D 、由2x = -3 ，系数化为 1 得 x =- 3， D 选项错误；2故选： B ．6．下列各方程，变形不正确的是( )A ． x - 3 - x + 4= 1去分母化为2(x - 3) - 5(x + 4) = 105 2 B ． 2(x - 3) - 5(x + 4) = 10 去括号为： 2x - 3 - 5x + 20 = 10 C ． 2x - 3 - 5x + 20 = 10 移项得： 2x - 5x = 10 - 20 + 3 D ． 2x - 5x = 10 - 20 + 3 合并同类项得： -3x = -7 【解答】解： A 、x - 3 - x + 4= 1去分母化为： 2(x - 3) - 5(x + 4) = 10 ，正确； 5 2B 、 2(x - 3) - 5(x + 4) = 10 去括号为： 2x - 6 - 5x - 20 = 10 ，错误；C 、 2x - 3 - 5x + 20 = 10 移项得： 2x - 5x = 10 - 20 + 3 ，正确；D 、 2x - 5x = 10 - 20 + 3 合并同类项得： -3x = -7 ，正确，故选： B ．7.已知关于 x 的一元一次方程 kx − 1 = 2x + k 有整数解，那么满足条件的所有整数k = ． 【解答】x = k +1= (k−2)+3 = 1 + 3k−2 k−2 k−2原方程有整数解是整数8.已知方程 (m + 2)x n 2+1 + 6 = 0 是关于 x 的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且 m 为整数 ， 则 2m 2 = ． 【解答】方程的解为x = −6m +2由方程的解为正整数可知，m + 2 = −6或−3 或−2 或−1 m= −8, −5, −4, −3或50 或32 或189．解方程：（1）3(x - 4) =12 （2）2x -1 =2x + 1 -13 6（3）3x + 2 = 6 -x（4） x + 1 -1 =2 - 3x2 3（5）x - 2(5 +x) =-4 （6）2x -5x + 8= 6 +6x - 5 3 2【解答】解：（1）x - 4 = 4 ，x = 8 ．（2）2(2x - 1) = (2x + 1) - 6 ，4x - 2 = 2x + 1 - 6 ，4x - 2x =-5 + 2 ，2x =-3 ，x =-3 ．2（3）移项，得3x +x = 6 - 2 ，合并同类项，得4x = 4系数化为1，得x = 1 ；（4）去分母，得3(x + 1) - 6 = 2(2 - 3x) 去括号，得3x + 3 - 6 = 4 - 6x移项，得3x + 6x = 4 - 3 + 6合并同类项，得9x = 7系数化为1，得x =7 ．9（5）去括号得：x - 10 - 2x =-4 ，。
人教版数学七年级下册第六章知识点
人教版数学七年级下册第六章知识点
第六章的知识点主要包括两个方面：代数式和方程。
具体内容如下：
1. 代数式
- 代数式的定义：代数式由数字、字母和运算符号组成，表示数的计算关系。
- 项：代数式中的单个数字、字母或者它们的乘积或商称为项。
- 系数：代数式中项的系数指项前面的数字，称为系数。
- 常数项和变量项：只含有数字的项称为常数项；含有字母的项称为变量项。
- 同类项：具有相同变量因子（即字母部分相同）的项称为同类项。
- 合并同类项：对于同一代数式，将其中的同类项合并在一起。
- 代数式的值的计算：代数式的值通过用具体的数字代入代表字母的变量来计算。
2. 方程
- 方程的定义：方程是含有未知数的等式，表示两个代数式之间的相等关系。
- 方程的解：能使方程成立的未知数的值称为方程的解。
- 求解方程的方法：解方程的基本方法是通过等式的性质，逐步化简方程，找到满足方程的解。
- 方程的情况：方程的解的情况有无解、唯一解和无穷多解三种。
这些是第六章的主要知识点，希望对你有帮助。
七年级下册数学6章知识点
七年级下册数学6章知识点数学是一门既有趣又实用的科学。
在七年级下册的数学中，第六章是比较重要的章节。
下面就来介绍一下这一章的知识点。
一、代数式的概念代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子。
其中字母表示未知量，它可以代表任何实数或数值。
代数式可以用于解决各种数学问题，例如求未知数的值或计算多项式运算。
常见的代数式类型包括单项式、多项式、等式等。
在实际应用中，我们需要掌握代数式的化简、合并、分解等技术，以更好地解决问题。
二、方程的概念方程是由等式连接的两个代数式，其中含有一个未知量。
例如，3x-5=7。
解方程就是求出未知量的值，使得等式左右的代数式相等。
方程的解可以有一个或多个，也可以没有。
我们可以通过变形、代入、消元等方法来求解方程。
在解题时，要注意分清线性方程、二元一次方程等不同类型的方程，并采取不同的解法。
三、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将自变量和因变量进行对应，形成输入和输出的关系。
例如，y=2x+1就是一个函数，其中x为自变量，y为因变量。
函数的图像可以用一条曲线来表示，其斜率表示变化率。
我们可以通过函数来描述各种数量关系，例如速度、距离、数量等。
四、等比例函数等比例函数是指自变量和因变量之比保持不变的函数关系。
例如，y=kx，其中k为比例系数。
等比例函数的图像呈现为直线，其斜率表示比例系数。
我们可以通过等比例函数来求解各种实际问题，例如利率、比例尺等。
五、平行四边形面积公式平行四边形面积公式为S=ah，其中S为平行四边形的面积，a为底边长度，h为高。
平行四边形面积公式可以用于求解各种图形的面积，例如矩形、菱形等。
在计算时，要特别注意边长和高的单位应该一致。
综上所述，七年级下册数学6章的知识点包括代数式、方程、函数、等比例函数和平行四边形面积公式。
在学习和应用这些知识点时，我们需要注重对定义、公式和方法的理解和掌握，以实现数学思维和创新能力的提升。
北师大七年级数学讲义
北师大七年级数学讲义
北师大七年级数学讲义的内容可能因版本和年级而有所不同，以下是一般性的信息：
北师大七年级数学讲义通常包括以下几个部分：
1. 代数基础：介绍基本的代数概念，如变量、代数式、方程式等。
2. 整式与分式：讲解整式和分式的加减乘除运算，以及化简求值的方法。
3. 一元一次方程：介绍一元一次方程的解法，包括合并同类项、移项、去括号等技巧。
4. 平面图形：介绍基本的平面图形，如线段、角、三角形、四边形等。
5. 平面图形的性质：讲解平面图形的性质和特点，如周长、面积、对称性等。
6. 平面图形的度量：介绍长度、角度等度量单位和测量方法。
7. 概率与统计：讲解概率和统计的基本概念和方法，如平均数、中位数、众数、方差等。
具体内容可能会因版本和年级的不同而有所差异，建议您查看具体的讲义目录或者咨询学校教师了解详细内容。
七年级数学第六章
用。
优秀案例分享
案例一
某班学生在学习“合并同类项”这一知识 点时，教师采用了小组竞赛的方式，将学 生分成若干小组，通过竞赛的形式让学生 回答与合并同类项相关的问题。这种方式 有效地激发了学生的学习热情和兴趣，同 时也加深了学生对知识点的理解和掌握。
VS
案例二
某教师在教学“整式的加减”这一内容时 ，运用了多种教学方法和手段，例如通过 讲解、演示、探究等方式让学生理解和掌 握整式的加减运算规则，同时使用数学软 件帮助学生更好地理解抽象的概念和公式 。这种多样化的教学方法和手段有效地提 高了教学效果和学生的学习效果。
2023
七年级数学第六章
目 录
• 引言 • 教学内容 • 教学方法与手段 • 教学评价与反馈 • 教学资源与辅助材料 • 教学安排与进度 • 教学反思与总结
01
引言
课程简介
主要内容
涉及计数、概率、数据分析和表示、运算等。
课程目标
培养学生运用数学思维解决问题的能力，提高计算能力和抽象思维能力。
教学背景
02
教学内容
数与代数
正数和负数
引入正数和负数的概念，掌握其加 减法运算规则。
代数式
介绍代数式的定义和基本形式，学 习如何用代数式表示数量关系。
整式加减法
学习整式的加减法运算，掌握整式 加减法的运算法则和步骤。
方程
引入方程的概念，学习如何列方程 和解一元一次方程。
图形与几何
直线、射线、线段
角
介绍直线、射线和线段的概念和性质，学习 如何用几何语言描述图形。
多种教学方法
运用讲解、演示、探究、练习等多种教学方法，针对不同教学内容和学生实际情况进行灵 活运用，提高教学效果。
七年级数学第六章知识点
七年级数学第六章知识点数学是一门科学，它需要学生具备良好的数学基础。
而数学基础的打好要从初中开始。
这篇文章将向您介绍七年级数学的第六章知识点，包括整数的加减、乘除、绝对值、比较大小、小数的认识等。
整数的加减在七年级数学中学习到的整数有正整数、负整数和零等。
这些数的和、差称为整数的加减。
当两个正整数相加时，其和为正整数；当一个正整数和一个负整数相加时，其和的正负取决于这两个数的绝对值大小。
例如，要求3 + (-5)，我们先取3的绝对值3，5的绝对值5，5大于3，所以最终结果是-2。
整数的乘除在七年级数学中学习到的整数的乘除，可以用加减法简便地求出。
当两个正整数相乘时，其积为正整数；当两个负整数相乘时，其积为正整数；当一个正整数与一个负整数相乘时，其积为负整数。
例如，要求(-3) x (-4)，我们可以先求出3 x 4得到12，再将结果变为负数，即最终答案为12。
绝对值绝对值是指一个数到原点的距离。
绝对值的符号与数的正负无关。
例如，|-3| = 3，|3| = 3。
比较大小在比较大小时，我们可以将两个数放在数轴上进行比较。
例如，在数轴上比较-2 与 -5的大小，我们可以发现-2在-5右边，故-5比-2小。
小数的认识小数是指有小数点的数字，其整数部分表示位于小数点左边的整数部分，小数部分表示位于小数点右边的部分。
小数的大小根据小数点后几位不同而不同。
例如，小数0.3比0.2大，0.25比0.2小。
总结七年级数学第六章知识点的学习对我们打好数学基础，奠定了重要的基础。
理解并熟练掌握这些知识点，能够为我们将来的学习打下良好的基础。
因此，我们要认真学习这些知识点，以期获得更好的成绩。
七年级下册第6数学知识点
七年级下册第6数学知识点本文将重点介绍七年级下册数学课程中的第6个知识点，包括知识点内容、示例题目、解题思路，以及实际应用场景。
让我们一起来深入了解。
一、知识点内容本章节主要讲解的是“一元一次方程”的概念。
一元一次方程，指的是只有一个未知数的一次方程。
一般的一元一次方程可以表示为ax+b=0，其中a、b均为已知数，x为未知数。
二、示例题目以下是几道典型的一元一次方程题目，供读者参考：1、若有一个一元一次方程为5x+3=13，请问方程的解是多少？解析：将式子两边减去3，得到5x=10，再将式子两边除以5，就可以得出x=2的解。
2、一个一元一次方程为4x-7=1，请问方程的解是多少？解析：将式子两边加上7，得到4x=8，再将式子两边除以4，得到x=2的解。
3、一个一元一次方程为7x+3=4x+12，请问方程的解是多少？解析：将式子两边减去4x，得到3x+3=12，再将式子两边减去3，得到3x=9，最终得出x=3的解。
三、解题思路一元一次方程的解题思路可以概括为三步：化为标准式、移项化简、合并同类项。
首先，将方程式子中的所有常数移到等式左边，未知数移到等式右边，然后将方程式子变形成“ax=b”的标准式。
例如：3x+2=11可以化为3x=11-2=9的标准式。
其次，根据方程式子的不同，采取不同的移项化简方法。
一方面，可以将常数移到等式右边，再将未知数单独放置在等式左边。
另一方面，也可以将未知数移到等式左边，常数移到等式右边。
例如：3x=9就可以变为x=3，或者是3x+2=11可变形为3x=9，再移项化简为x=3。
最后，将含有未知数的项合并求解，得出方程的解。
例如：2x-3+5x=7x+9这个方程可以先将所有未知数项合并得到7x-3=7x+9，然后移项化简得到-3=9，此时方程无解，因为等式两边不相等。
四、实际应用场景一元一次方程在生活中有着广泛的应用，例如通过一定的代数式可以得出某种物质的化学量，可以用来解决约车问题，买菜问题，货币兑换问题等等。
七年级第六章知识点归纳
七年级第六章知识点归纳第六章主要介绍的是有理数的概念和运算，它是整数的扩展，包括正有理数、负有理数、零以及有理数的运算等内容。
这个章节虽然简单，但是对于初学者来说也是比较抽象的。
本文将会对七年级第六章知识点进行详细介绍，并且给出一些例题和解析。
一、有理数有理数指可以表示成两个整数之比的数，包括正有理数、负有理数和零。
有理数的表示形式如下：①整数可以看做是分母为1的有理数；②两个正整数a和b的比为正有理数，分子为a，分母为b；③两个负整数a和b的比为正有理数，分子为a，分母为b；④正整数a和负整数b的比为负有理数，分子为a，分母为-b；⑤零是任何数与0的比。
有理数的加减乘除运算规律和整数是类似的，这里就不再赘述。
二、绝对值绝对值表示一个数到0的距离，即一个数的非负值。
绝对值的表示方法如下：①当数x大于或等于0时，|x|=x；②当数x小于0时，|x|=-x。
绝对值可以用来解决带有绝对值符号的一元二次方程，例如：|x-3|=1解：① x-3=1，此时x=4；② x-3=-1，此时x=2。
绝对值也可以用来表示一个数与另一个数的距离，例如：|5-(-3)|=8解：5-(-3)=8，所以|5-(-3)|=8。
三、比较大小有理数的大小比较可以采用相反数的方法，即将两个数的符号相反，然后用正整数比较的方法进行比较。
例如：-5>-8，即5<8。
当两个数同号时，比较它们的绝对值大小；当两个数异号时，比较它们的绝对值大小，并且绝对值大的数为最小值。
例如：-3与6比较，绝对值大的-3为最小值。
四、有理数的简化对于一个有理数a/b，如果a和b有相同的公因数，就可以对它进行约分；对于一个有理数c/d，如果c和d没有相同的因数，就可以称c/d为约分后的有理数。
例如：20/30可以约分为2/3；5/7是已经约分过的。
五、分数的四则运算1. 分数的加减运算分数的加减运算可以理解为互为倒数的两个数的分子、分母的乘积相减。
七年级数学第六章的知识点
七年级数学第六章的知识点七年级数学的第六章主要涉及三个方面的知识：一元一次方程、解方程、图像与函数。
接下来，我们将分别进行详细的讲解。
一元一次方程在解一元一次方程之前，我们需要先了解一下什么是一元一次方程。
一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
比如：2x-3=1。
其中x就是未知数，而2x-3=1就是一元一次方程。
如何解一元一次方程呢？首先，我们需要消去方程中的常数项，然后将方程式两边的系数进行化简或消元操作，最后得到未知数的值。
如下面的例子：2x+5=112x=6x=3上述过程中，我们将方程式两边都减去5，得到2x=6，然后再将2x除以2，就得到了x=3。
在解一元一次方程时，我们需要注意以下几个命题：1、等式两边加上（或减去）一个数，原等式仍然成立。
2、等式两边乘上（或除以）一个非零数，原等式仍然成立。
3、等式两边互换位置，原等式仍然成立。
解方程解方程的方法是非常实用的，在实际应用中也经常会用到。
下面我们将介绍两种解方程的方法：等式法和代入法。
等式法：这种方法适用于形如a(x+b)=c的方程。
我们可以首先将方程式的一侧运算（如加、减、乘、除）后，再将结果代入到式子中，进行验证。
如下面的例子：2(x+3)=142x+6=142x=8x=4代入法：这种方法适用于形如a+b=c的方程。
我们可以先将变量赋一个值，再将该变量代入方程式中进行验证。
如下面的例子：x+5=9令x=44+5=9因此，x=4图像与函数在数学中，图像是指某种函数类型在平面上呈现出来的形态和图形。
函数则是将一个变量的数值对应到另外一个变量的值的规则。
下面我们将介绍两种基本函数类型：直线函数和比例函数。
直线函数：直线函数指的是函数表达式为y=kx+b的函数类型。
其中k是斜率，b是y轴截距。
通过这个函数，我们可以得到一条斜率为k、在y轴截距为b的直线。
如下面的例子：y=2x+1比例函数：比例函数指的是函数表达式为y=kx的函数类型。
初一数学有理数全章讲义
令狐采学创作
7、 44 , ,0, 0.四个数中，有理数的个数为（ ） 7
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
8.有理数中，是整数而不是正数的是（ ），是分数而不是正分数的是（
）。
9、有理数中，最小的自然数是（ ）,最小的正整数是（ ）。
10、整数与分数统称为（ ），整数包括（
令狐采学创作
初一数学有理数全章讲义
令狐采学
1.1 正数和负数
知识点归纳
一、 正数和负数的定义
正数：大于 0 的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不
写。
负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。
注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“+”的数就是正数，带“-”的数就是负数。
），分数包括（
）。
11、通常把（
）和（
）统称为非负整数，把（ ）和（ ）统称为非正整
）和（
）统称为非正数。
12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。
9.3,6,3 3 ,7 1 ,0,100, 3 ,2.25,0.01,65, 2 , 3 , 0.2.
43
4
7 100
注：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点
不是一一对应的关系。
四、利用数轴比较大小（重点、难点）
1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大
2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于 0 （2）负数都小于 0 （3）正数大于负数
300 米，此时飞机距离地面多高？ 9、某蓄水池的标准水位记为 0m，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么 （1）0.08m 和-0.2m 各表示什么？ （2）水面低于标准水位 0.1m 和高于标准水位 0.23m 各表示什么？ 10、2006 年我国全年平均降水量比上年减少 24 毫米，2005 年比上年增长 8 毫米，2004 年比上年减少 20 毫米。
初一数学第六章教案-初一数学知识点人教版
初一数学第六章教案|初一数学知识点人教版教案是针对社会需求、学科特点及教育对象具有明确目的性、适应性、实用性的教学研究成果的重要形式，教案应是与时俱进的。
以下是小编分享给大家的初一数学第六章教案的资料，希望可以帮到你!初一数学第六章教案【学习目标】通过猜测与游戏的方式，感受什么是不可能事件、必然事件、确定事件与不确定事件，知道事件发生的可能性是有大小的。
【主要问题】什么是不可能事件，必然事件，确定事件与不确定事件?一、基础知识回顾下列事件一定发生吗?⑴玻璃杯从10米高处落到水泥地面上会破碎; ⑵太阳从东方升起;⑶今天星期天，明天星期一; ⑷太阳从西方升起; ⑸一个数的绝对值小于0;二、新知识产生过程问题1.你能通过掷骰子理解什么是必然事件，不可能事件，确定事件，不确定事件吗?1、思考：(1) 随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数会是10吗?(2)随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数一定不超过6吗?(3)随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数一定是1吗?2、在上面的事件中哪一件是必定发生的?哪一件是不可能发生的?哪一件事是可能发生也可能不发生的?小结：_________________________________________________叫做必然事件。
__________________________________________________________叫做不可能事件。
________________________________________________________统称为确定事件。
_________________________________________________叫做不确定事件也称______事件。
3、请你举出几个确定事件和不确定事件。
问题2：不确定事件发生的可能性是否有大小?4、阅读课本P136---P137的做一做与议一议。
游戏规则与表格参照教材，做完后回答问题：⑴在游戏过程中如何决定是继续投掷骰子还是停止投掷骰子?⑵在游戏过程中，若前面掷出的点数和已经是5，你是决定继续投掷骰子还是停止投掷骰子?若掷出的点数和是9呢?小结：不确定事件发生的可能性是有大小之分的。
七年级数学第六章知识总结
第六章复习1.有序数对：用含有 的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 的含义，我们把这种有 的 个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作 。
2.平面直角坐标系的概念：平面内两条互相 、 重合的 组成的图形。
3.各象限点的坐标的特点是：⑴点P （x ，y ）在第一象限，则x 0，y 0.⑵点P （x ，y ）在第二象限，则x 0，y 0. ⑶点P （x ，y ）在第三象限，则x 0，y 0.⑷点P （x ，y ）在第四象限，则x 0，y 0。
4.坐标轴上点的坐标的特点是：⑴点P （x ，y ）在x 轴上，则x ，y .⑵点P （x ，y ）在y 轴上，则x ，y 。
5.比例尺是图距与 的比。
6.利用平面直角坐标系来表示地理位置的一般步骤是：⑴建立坐标系，选择一个适当的参照点为__ __，确定X 轴、Y 轴的___ ___。
⑵根据具体问题确定适当的__ _____，在坐标轴上标出__ _____。
⑶在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的名称。
7.图形平移与点的坐标变化之间的关系（其中a 、b 为正数） (1)左、右平移：原图形上的点(x ，y) ( )原图形上的点(x ，y) ( ) (2)上、下平移：原图形上的点(x ，y) ( )原图形上的点(x ，y) ( ) 8.点的坐标变化与图形平移之间的关系（其中a 、b 为正数） (1)横坐标变化，纵坐标不变：原图形上的点(x ，y) 向 平移 个单位原图形上的点(x ，y) 向 平移 个单位(2)横坐标不变，纵坐标变化：原图形上的点(x ，y) 向 平移 个单位原图形上的点(x ，y) 向 平移 个单位9．一、三象限的角平分线上的点：x=y ；二、四象限的角平分线上的点： 平行于x 轴的直线上的点 相等，平行于y 轴的直线上的点 相等。
点P(x ，y) 关于x 轴的对称点 ；关于y 轴的对称点 。
10.关于原点的对称点 11.距离计算：点P(a ，b)到x 轴的距离为_____，到y 轴的距离为_____，到原点的距离为_____。
七年级的数学第6章知识点
七年级的数学第6章知识点
七年级数学第6章主要讲解了两个内容：倍数和因数、正比例
和反比例。
这两个内容都是日常生活中常见、实用的数学知识点。
下面，我们将对这两个内容进行详细的介绍和解读。
一、倍数和因数
倍数和因数是基础而重要的数学概念，是数学中一个不可避免
的切入点。
一个数是另一个数的倍数或因数，不仅在日常生活中
用得多，而且在高年级数学中使用频率也比较高。
以下是倍数和
因数的详细解释：
1. 倍数：若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。
例如，9是3的倍数，3是9的因数。
2. 因数：若整数b能整除整数a，则b是a的因数，而a是b的倍数。
例如，15的因数有1，3，5，15。
在数学中，我们通常需要求某个数的倍数或因数，所以在学习倍数和因数的同时，我们也要学习如何判断某个整数是不是另一个整数的倍数或因数。
二、正比例和反比例
正比例和反比例同样也是日常生活中经常遇到的数学问题。
下面具体介绍这两种比例关系：
1. 正比例：若两个量之间的比值保持不变，则这两个量成正比例关系。
如电费与用电量的关系。
2. 反比例：若两个量之间的乘积保持不变，则这两个量成反比例关系。
如工人人数和工程完工时间的关系。
在学习正比例和反比例时，我们需要学习如何表示成比例关系以及如何求解相关问题。
结语
以上就是七年级数学第6章知识点的详细介绍。
倍数和因数、正比例和反比例不仅是数学基础知识，也是日常生活中的常用计算方法。
希望大家加强对这些知识点的学习和掌握，以提高数学素养和日常应用能力。
初中数学微专题讲义 专题1.5 例说多项分数求和的裂项抵消法
【专题综述】多项分数和问题是初中数学计算中的重要内容.在多项分数求和问题中，将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，从而达到简化运算的目的，并快速地计算出结果，这种方法称之为裂项抵消法.【方法解读】一、直接裂项：如果多项分数和式中的每一项易于分拆，可以利用裂项抵消法求和.例1：计算：11111161111161621212626313136+++++××××××的值是()A.118 B.136 C.133 D.166解：原式111111111111111111()()()()()()56115111651621521265263153136=-+-+-+-+-+-111()5636136=-=学科*网【解读】本题是多项分数求和问题，对原式中的每一项正确分拆是解决这类问题的关键.一般地，对于任意非零实数,m p ，有1111()()m m p p m m p =-++×,1111()()()n p n q q p n p n q =-++-++等，这是最常用的拆项公式.利用这个公式将每一项分拆后，原式中会出现一些互为相反数的项，它们的和为零，从而大大减少原式中的项数，最终达到简化运算的目的，裂项抵消法是解决这类问题的求解通法.【举一反三】观察下列等式：112⨯=1－12，123⨯=12－13，134⨯=13－14．可得：112⨯＋123⨯＋134⨯=1－12＋12－13＋13－14=11-4=34（1）猜想并写出：199100⨯=（）-（）．（2）利用上述猜想计算：112⨯＋123⨯＋134⨯＋……＋199100⨯．（3）探究并计算：124⨯＋146⨯＋168⨯＋……＋120162018⨯．【来源】湖南省娄底市娄星区2017-2018学年七年级上学期期末考试数学试题【答案】（123点睛：本题考查了分数的加减法，弄清题中的拆项规律是解题的关键.二、借助通项裂项：如果多项分数和式中的每一项不易于分拆，可考虑分拆其通项，然后再裂项求和.例2：已知2222222222122334100310014100410051223341003100410041005A +++++=+++⋅⋅⋅++×××××，则A 的整数部分是.解：对于1,2,,1004n =⋅⋅⋅，有22(1)2(1)1(1)(1)n n n n n n n n ++++=++×2(1)1(1)(1)n n n n n n +=+++12(1)n n =++又111(1)1n n n n =-++Q ,学科*网1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005A ∴=+-++-++-+⋅⋅⋅++-++-121004(1)1005=-×+100420081005=+.故A 的整数部分是2008.【解读】本题中和式的每一项不易直接分拆，但通过考虑它的通项22(1)(1)n n n n +++×,发现它可以分拆为12(1)n n ++，从而借助于通项来分拆每一项，从而达到裂项相消的目的.【举一反三】已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n ++⋅⋅⋅+=，则23100111111a a a ++⋅⋅⋅+---=.【答案】33100三、适当变形后裂项例3：计算：1112010111()1201022009201012011120092200820091++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯解：原式12011201120111201020102010()()20111201022009201012011120092200820091=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯1201120112011201020102010[()()]2011120102200920101120092200820091=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111111[(11)(11)]201120102200920102009220082009=+++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅++111()201120102010=+12021055=.学科*网【解读】本题直接拆项后不易求和，由和式的特征易发现，通过对前半部分和式添分母后与后半部分和式的结构更为相近，所以本题可采用添分母分拆法.【举一反三】填空：222222111111________.31517191111131+++++=------【答案】314四、放缩后裂项例4：设333311111232011S =+++⋅⋅⋅+，则4S 的整数部分等于()A ．4B ．5C ．6D ．7解：当2,3,,2011k =⋅⋅⋅时，3211(1)k k k <-Q 111[]2(1)(1)k k k k =--+，33311111232011S ∴<=+++⋅⋅⋅+1111()2220112012<+-×54<，于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4.故选A.【解读】本题是多项分数的求和问题，为了能够利用裂项法解决问题，必须对各项进行合理的放缩.直接利用通项放缩是解决这类数列问题的常用方法之一.【举一反三】已知333411112212221A =+++⋅⋅⋅+++-，则A 与1的大小关系是()A ．1A >B ．1A =C ．1A <D ．无法确定【答案】C【强化训练】1．已知：211133=-⨯，2113535=-⨯，2115757=-⨯，……（1）照上面算式，你能猜出2__________20052007=⨯；（2）利用上面的规律计算：1111114477101013301304+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 的值．【来源】江苏省南通市八一中学2017-2018学年七年级上学期第一次阶段测试数学试题【答案】（1）1120052007-（2）1013042．已知实数a ，b 满足：22123a b a -=+-，且0b b +>，求()()()()()()2019201920192019112220172017ab a b a b a b ++++++++++ 的值．【来源】浙江杭州余杭区英特外国语学校2017-2018学年七年级上学期中考试数学试题（含解析）【答案】2018．【解析】试题分析：利用二次根式的定义，求出a,b 的值，再利用裂项法求和计算.试题解析：22123a b a -=+--，3．观察下列各式的计算结果2113131-1-24422===⨯2118241-1-39933===⨯21115351-1-4161644===⨯21124461-1-5252555===⨯（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：211-6=×；211-10=×；（2）用你发现的规律计算：22222111111-1-1-1-1-23420162017⨯⨯⨯⋯⨯⨯（）（（）（（（3）计算()2222211111111112341n n ⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋯⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦（（（（直接写出结果）【来源】江西省永修县军山中学2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题【答案】（1）5766⨯；9111010⨯（2）10092017（3）12n n+4．观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（）A.97×98×99B.98×99×100C.99×100×101D.100×101×102【来源】内蒙古呼和浩特市实验教育集团2016-2017学年七年级上学期期中考试数学试题（A 卷）【答案】C【解析】试题分析：先根据题中所给的规律，把式子中的1×2，2×3，…，99×100，分别展开，整理后即可求解．解：根据题意可知，3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=3×[13(1×2×3−0×1×2)+13(2×3×4−1×2×3)+13(3×4×5−2×3×4)+…+13(99×100×101−98×99×100)]=1×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+3×4×5−2×3×4+…+99×100×101−98×99×100=99×100×101.故选：C.点睛：本题是一道找规律题.解题的关键要找出所给式子的规律，并应用于后面求解的式子中.5．有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是112⨯；第二个数是123⨯；第三个数是134⨯；（1）经过探究，我们发现：1111212=-⨯，111111,23233434=-=-⨯⨯，设这列数的第5个数为a ，那么1156a >-，a =1156-，a <1156-，哪个正确?请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 数)，并且证明你的猜想满足"第n 个数与第(n +1)个数的和等于()22n n +"；（3）设表示22221111,,,...1232016，这2016个数的和，即M =22221111...1232016++++.求证：2016403120172016M <<．【来源】北京市第十三中学分校2017—2018学年度第一学期八年级数学期中试题【答案】（1；（23）见解析6．观察下列等式111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，把以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．（1）猜想并写出：()11n n =+。
数学七年级第六章复习家教资料
七年级第六章实数
基础理论
6.1 平方根
1、算术平方根：一般的，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为√a,读作“根号a”,a叫做被开方数。
规定，0的算术平方根是0.
2、平方根：一般的，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，即：
如果x²=a,那么x叫做a的平方根。
开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根。
★算术平方根和平方根的区别。
6.2 立方根
1、立方根的定义：一般的，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次
方根，即：如果x^3=a,那么x叫做a的立方根。
2、开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方。
3、一个数a的立方根，用符号“√a”表示，读作“三次根号a”,其中a是被开方数，3是根指数。
6.3 实数
1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
无理数也有正负之分。
2、实数：有理数和无理数统称为实数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
★判断一个数是有理数还是无理数。
★实数比较大小
经典例题
挑战中考。
七年级数学知识点第六章
七年级数学知识点第六章【第六章计数原理】本章内容主要围绕计数原理展开，计数原理是概率论的重要组成部分，通过掌握计数原理，可以更好地理解概率论知识。
下面将具体介绍本章内容。
一、基本计数原理基本计数原理是指：若有m种事件可以发生，第一种发生时有n1种可能，第二种发生时有n2种可能，第三种发生时有n3种可能，……，第m种发生时有nm种可能，那么这m种事件总共有n1×n2×n3×…×nm种不同的可能性。
二、置换与排列对于n个元素，从中选取若干个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)…(n-k+1)种不同的排列，我们称之为n中取k的排列。
当选取全部n个元素进行排列时，称为n的全排列，共有n!种不同的排列。
三、组合对于n个元素，从中选取若干个元素进行组合，共有Cn,k种不同的组合。
其中，Cn,k = n!/((n-k)!k!)。
四、应用实例计数原理在实际生活中有很多应用，例如：1.抽奖问题：如果有5个人抽取3个奖品，那么总的可能性有C5,3 = 10种。
2.生日问题：在一个班级中，如果有30个学生，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？我们可以用1-(365/365)*(364/365)*…*(336/365) ≈ 0.71来计算。
3.手机号问题：如果一个手机号是11位数，且第一位不能为0，那么可能的手机号码数量为9×10^10。
以上仅是计数原理的一些应用实例，计数原理在生活中无处不在，学好计数原理，才能更好地理解和运用概率论知识。
【结语】本章内容比较抽象，但是通过实例的介绍，相信大家能够掌握基本的计数方法和应用技巧。
在以后的学习中，我们还需要学习条件概率、独立性、随机变量等概率论的重要概念。
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七年级数学讲义（六）
1.下列运算正确的是【 】
A.2x+3y=5xy
B.5m 2·m 3=5m 5
C.（a —b ）2=a 2—b 2
D.m 2·m 3=m 6
2.如图，从边长为(a ＋4) cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()a ＋1 cm 的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为【 】
A.(2a 2＋5a) cm 2
B.(3a ＋15) cm 2
C.(6a ＋9) cm 2 D ．(6a ＋15) cm 2
3.已知b a <，下列不等式中错误的是【 】
A ．22a b +<+
B ．c b c a ->-
C ．b a 22<
D ．b a 44->-
4.下列各组数中互为相反数的是……………………………………………………【 】
A
．3
．3-
．23(与 D
．5.在下列各数中：-0.3
，5 ，316， 2π ，1117
-， 2.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）．其中是无理数的有………………………【 】
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
6.关于x 的不等式2x －a ≤1的解集如图所示，则a 的取值是…………………【 】
A ．0
B ．－3
C ．－2
D ．－1 7.若|2|2x x -=-，则x 应满足的条件是……………………………………………【 】
A ．2x >
B ．2x <
C ． 2x ≥
D ． 2x ≤
8.若不等式组⎩⎨⎧<<-a
x x 312的解集是2<x ，则a 的取值范围是………………【 】
A ．2<a
B ．2≤a
C ．2>a
D ．2≥a
9.把三张大小相同的正方形卡片A 、B 、C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，
阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是【 】
A ．S1＞S2
B ．S1＜S2
C ．S1=S2
D ．无法确定
10.在:①()110=-，②()111-=-，③22313a
a =-， ④()()235x x x -=-÷-中，其中正确的式子有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、 4个
11.比较大小：74____ __2
13-． 12.当k________时，关于x 的方程233x k +=的解为非负数.
13.已知正数a 的平方根是1x +与5x -，则a= .
14.七（1）班的60名同学准备用520元钱为每人购买一个笔记本。
他们选中两种型号的笔记本：9元一本和8元一本。
9元一本的最多能买 本.
15.已知102103m n ==，，则3210
m n +=____________。
16.若m 2﹣n 2=6，且m ﹣n=3，则m+n= _________ ．
18.计算：22122+-）（ 27.解方程： 24(1)9x -=
18.有若干个数，第1个数记为1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ，……，
第n 个数记为n a ，若113
a =-，从第二个数起，每个数都等于．．．．．．．．．．．．．1．与前面那个数的差的倒数．．．．．．．．．．．
． （1）分别求出234a a a ，，的值．
（2）计算12336a a a a +++⋅⋅⋅+的值．
19.解不等式或不等式组，并把解集表示在数轴上．
（1）1526x x +-≥3-4
（2） ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-x x x x 341)1(3
20.计算: (1)3223)()(a a -⋅- (2)
543)()(t t t -⋅-⋅-
(3)234)()()(q p p q q p ---
（4）2(1)3(25)x x x x x -+--
（5）(3)(2)a b a b +-
（6）()
xy xy y x xy 24232322-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
21.计算：2012
201153
2135⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
22.如果a －4=－3b ，求a 3×b 27的值。
22.因式分解:
(1) 3241628m m m -+ （2）2()3()a b c c b ---
（3）3a b ab - （4）22363ax axy ay -+
23.小明想用面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002
cm 的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁.小亮见了说，“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小亮的说法吗？请说明理由。
24.某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中52环，如果他要打破89环的记录（规定：共10次射击，单次射击的最好成绩为10环），第7次射击不能少于多少环？
25.下面是张老师在教学《不等式（组）的应用》时的一个课堂片断：
张老师：同学们，你们知道我市的出租车的收费情况吗？
同学甲：2.5公里内起步价格6元，超出2.5公里后每公里1.2元；
同学乙：停车等候费5分钟内不额外计费，超过5分钟，每分钟收费0.1元；
同学丙：计价器上显示的费用精确到0.1元，可是出租车司机实际收费时按照四舍五入的方式收费.比如：计价器上显示7.5元则按照8元收费，显示7.4元则按照7元收费.
张老师：看来同学们都很注意观察生活，说的很好。
今天早晨小丽从家门口乘出租车到学校时，花了8元的车费.若她坐车时的停车等候的时间少于5分钟，你能求出她家到学校的距离在什么范围吗？
如果你也在课堂上，请你解决张老师提出的问题.。