2019年人教A版必修五高中数学第三章不等式章末检测(B) 导学案及答案

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高中数学第三章《不等式(复习)》导学案新人教A版必修5

第三章《不等式（复习）》导学案【学习目标】 1．会用不等式（组）表示不等关系； 2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【知识链接】复习1：【学习过程】※ 典型例题例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式..例2 比较大小.（1）2(32)______626++；（2）22(32)______(61)--；（3）152- 165-；（4）当0a b >>时，1122log _______log a b ；（5）(3)(5)______(2)(4)a a a a +-+-；（6）22(1)x + 421x x ++；例3 利用不等式的性质求取值范围：（1）如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是， 2x y -的取值范围是，xy 的取值范围是， x y的取值范围是（2）已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 .例4 已知关于x 的方程(k -1)x 2+(k +1)x +k +1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围.例5 已知x 、y 满足不等式22210,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，求3z x y =+的最小值.例6 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的范围.※ 动手试试练1. 已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.练2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？【学习反思】※ 学习小结1．用不等式表示不等关系；2．比较大小；3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；4．会解一元二次不等式；5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；6．利用基本不等式求最大（小）值.※知识拓展设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>对应的二次函数为2()(0)f x ax bx c a =++>1．方程()0f x =在区间(,)k -∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>-<且()0f k >； 2．方程()0f x =在区间(,)k +∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>->且()0f k >； 3．方程()0f x =有一根大于k ，另一根k ⇔()0f k <；4．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有且只有一根（不包括重根）⇔12()()0f k f k <g （12,k k 为常数）；5．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有两不等实根⇔ ⇔120,2b k k a∆>-<且12()0,()0f k f k >>； 6．方程()0f x =在区间12(,)k k 外有两不等实根⇔ ()0,()0f k f k <<【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设0a b <<，下列不等式一定成立的是（）.A ．22a ab b <⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .5. 变量,x y 满足条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设y z x =，则z 的最小值为 . 【拓展提升】（1）22427180440x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩ （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩2. 某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、学习任务1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．二、知识清单平面区域的表示线性规划非线性规划三、知识讲解1.平面区域的表示二元一次不等式表示的平面区域已知直线：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与的并集叫做闭半平面．以不等式解为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．对于直线：同一侧的所有点，代数式的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点代入，由符号即可判断出（或）表示的是直线哪一侧的点集．直线叫做这两个区域的边界（boundary）．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域．（1）；（2）．解：（1）① 画出直线，因为这条直线上的点不满足，所以画成虚线．② 取原点，代入，所以原点在不等式所表示的平面区域内，不等式表示的区域如图．3x +2y +6>0y ⩾3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y+6=6>03x +2y +6>0描述：2.线性规划线性规划的有关概念若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则称为线性约束条件（objective function）．一般地，满足线性约束条件的解叫做可行解（feasible solution），由所有可行解组成的集合叫做可行域（feasible region）．要求最大（小）值所涉及的关于变量，的一次解析式叫做线性目标函数（linearobjectives）．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题叫做线性规划问题（linearprogram）．（2）① 画出直线，画成实线．② 取点，代入，所以不在不等式表示的平面区域内，不等式表示的区域如图．y =3x (1,0)y −3x =−3<0(1,0)y ⩾3x 画出不等式组表示的平面区域．解：不等式表示直线及右下方的平面区域；表示直线及右上方的平面区域；表示直线及左方的平面区域；所以不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．⎧⎩⎨x −y +5⩾0x +y ⩾0x ⩽3x −y +5⩾0x −y +5=0x +y ⩾0x +y =0x ⩽3x =3(x ,y )xy⎩⎨4x+y+10⩾0作出可行域如图中阴影部分所示：可知，图可知，答案：解析：1. 下列各点中，不在表示的平面区域的是 A ．B ．C ．D ．C将代入得，故不在表示的平面区域内．x +y −1⩽0()(0,0)(−1,1)(−1,3)(2,−3)x =−1,y =3x +y −1−1+3−1=1>0(−1,3)x +y −1⩽02. 在平面直角坐标系中，满足不等式组，点的集合用阴影表示为下列图中的 A．B ．C ．xOy {|x |⩽|y ||x |<1(x ,y )()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案

§ 3.1
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据（1）文字叙述：如果 a－b 是，那么 a>b；如果 a－b 等于，那么 a＝b；如果 a－b 是反过来也对．（2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质（1）a>b⇔b a(对称性)；（2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)；（3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)；（4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc；（5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d；（6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd；（7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn；（8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.

新课标人教版必修5高中第3章不等式单元检测试卷及答案解析(原始打印版)

新课标人教版必修5高中数学第3章不等式单元检测试卷1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 ( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+2． “0>>b a ”是“222b a ab +<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．不等式b ax >的解集不可能是 ( )A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．不等式||x x x <的解集是 ( ) A ．{|01}x x < 6．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 ( ) A ．22b a +ba ab D ．||||||b a b a +>+7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 ( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+229．下列各组不等式中，同解的一组是 ( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A. }8|{<a aB. }8|{>a aC. }8|{≥a aD. }8|{≤a a 11．若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x xy 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.15．已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式:21582≥+-x x x17．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．18．已知0=++c b a ，求证:0≤++ca bc ab 。

人教A版必修5：第三章章末复习课 Word版含解析

第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax ＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax ＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．专题一不等关系与不等式的基本性质1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(1)若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；(2)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－a.2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．(1)若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；(2)若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞bd.3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n 或n a ＞nb .4．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .[例1] 已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＞0，即a 2b ＋b 2a ＞a ＋b .归纳升华不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．[变式训练] (1)已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值； (2)设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[x ＋∞)，求函数f (x )的最小值．解：(1)因为0＜x ＜2，所以0＜3x ＜6，8－3x ＞0，所以y ＝x (8－3x )＝13×3x ·(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，所以当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.(2)f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，因为x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0，所以x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.专题二一元二次不等式的解法一元二次不等式的求解流程如下：一化——化二次项系数为正数．二判——判断对应方程的根．三求——求对应方程的根．四画——画出对应函数的图象．五解集——根据图象写出不等式的解集． [例2] (1)解不等式：－1＜x 2＋2x －1≤2； (2)解不等式a （x －1）x －2＞1(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤ x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为a （x －1）x －2－1＞0，即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0(*)， ①当a ＞1时， (*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0，而a －2a －1－2＝－aa －1＜0，所以a －2a －1＜2，此时x ＞2或x ＜a －2a －1. ②当a ＜1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0，而2－a －2a －1＝aa －1，若0＜a ＜1，则a －2a －1＞2，此时2＜x ＜a －2a －1；若a ＝0，则(x －2)2＜0，此时无解；若a ＜0，则a －2a －1＜2，此时a －2a －1＜x ＜2.综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜a －2a －1；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1＜x ＜2. 归纳升华含参数的一元二次不等式的分类讨论(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1＞x 2、x 1＝x 2，x 1＜x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[变式训练] 定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )的定义域为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，所以0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1，1)上是减函数，所以1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，所以a 的取值范围是(0，1)．专题三简单的线性规划问题线性规划问题在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.[例3] 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A ，1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1) (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解：(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14.x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品 245 t ，B 产品 225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15.归纳升华解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．[变式训练]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A专题四成立问题(恒成立、恰成立等)[例4] 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，所以a ＞0.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．归纳升华1．(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .2．(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .[变式训练] 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，所以Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x2－(a＋4)x＋4＝0有解，所以Δ＝(a＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.综上即知a＝－8或a＝0时，y min＝1，故所求实数a的取值集合是{－8，0}．。

高中数学人教A版必修5第三章不等式及其解法同步导学案

二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅【题型二、二次方程的根与二次函数的零点之间的关系】【例2】探究一元二次不等式250x x -<的解集【方法技巧】求一元二次不等式的解集实际要先求出一元二次方程等于0时的解集，即二次函数与X 轴的交点，二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点.【题型三、分式不等式的解法】【例3】(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-(],2-∞ D 的取值范围是（1 3⎫<⎬⎭，则abD的解集是（12x x≥≤或12x x><或9.设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（） A ．()(),13,-∞-+∞ B ．R C ．{}1x x ≠D ．{}1x x =10.不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 11.()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 12.已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．【能力提升】1.已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．2.已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．3.若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.。

高中数学第三章不等式章末复习课学案新人教A版必修5

第三章不等式学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x 轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．知识点二规划问题 1．规划问题的求解步骤． (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解． 2．关注非线性：(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域． (2)常见的非线性目标函数有①y －bx －a，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；②x －a2＋y －b 2，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )的距离．知识点三基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)，①当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]，满足题意； ②当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，M ＝{－1}[1,4]，不满足题意；当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1＜a ＜4，a ＜－1或a >2，解得2<a ≤187，综上可知，当M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，187]．反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x 1<x 2≤4，要是用求根公式来解就相当麻烦，用⎩⎪⎨⎪⎧f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0则可化归为简单的一元一次不等式组．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 答案 2解析因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >1，1＋m ＝6a，1·m ＝a⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.类型二规划问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．上下平移直线l 0，可得当l 0过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z 越大还是越小．跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．解设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)，即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．类型三利用基本不等式求最值命题角度1 无附加条件型例3 设f (x )＝50xx 2＋1. (1)求f (x )在[0，＋∞)上的最大值； (2)求f (x )在[2，＋∞)上的最大值．解 (1)当x >0时，有x ＋1x≥2，∴f (x )＝50x x 2＋1＝50x ＋1x≤25. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y ＝x ＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f (x )＝50x ＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f (2)＝20.∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为20.反思与感悟利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．跟踪训练3 求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值．解 ∵y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3，x ＞3， ∴x －3＞0，1x －3＞0， ∴y ≥21x －3x －＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时，y 有最小值5.命题角度2 有附加条件的最值问题例4 函数y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．答案 4解析方法一 y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn≥1m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取等号．方法二 1m ＋1n ＝(m ＋n )(1m ＋1n)＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，n m ＝mn，即m ＝n ＝12时取等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 反思与感悟当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋2y＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x 时，取等号．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2 答案 B解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时，纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1，得A (2,1)，所以z max ＝4×2＋2×1＝10.2．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为{x |－2<x <－14}，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1 答案 C解析 ∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－14＝－ba，－－14＝－2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a ＋b ＝－13.3．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析a2＋1ab＋1a a －b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a a－b＝a(a－b)＋1a a －b ＋ab＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝2，b＝22时取等号．1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．40分钟课时作业一、选择题1．若a<0，－1<b<0，则有( )A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a答案 D解析∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，ab2<0.∴ab >a ，ab >ab 2. ∵0<1＋b <1,1－b >1>0，∴a －ab 2＝a (1－b 2)＝a (1＋b )(1－b )<0， ∴a <ab 2， ∴a <ab 2<ab .2．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．0<a <2 C ．a ＝0或a ＝2 D ．0≤a ≤2答案 B解析原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x ＋y －a 中，结果异号，即－a (1＋1－a )<0，故0<a <2. 3．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( ) A ．{x |x <－8或x >－3} B ．{x |x ≤－8或x >－3} C ．{x |－3≤x ≤2} D ．{x |－3<x ≤2}答案 B解析原不等式可化为x －2x ＋3－2≤0，即－x －8x ＋3≤0，即(x ＋3)(x ＋8)≥0且x ≠－3，解得x ≤－8或x >－3.4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞)答案 B解析可行域如图阴影部分，yx －1的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得y x －1>1或yx －1<－1.5．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2答案 B解析 ∵a 2＋a <0， ∴a (a ＋1)<0，∴－1<a <0. 取a ＝－12，可知－a >a 2>－a 2>a .6．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8 答案 C 解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2x ＋9x ＋1－5＝2×3－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，此时a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3. 二、填空题7．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析因为x >0，y >0，x 3＋y4＝1，所以x 3＋y 4≥2x 3·y4＝ xy3(当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号)，即xy3≤1，解得xy ≤3，所以xy 的最大值为3.8．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．答案 [25，＋∞)解析令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－m －，m －116＞1，f ＞0解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ＞17，m ∈R ，∴m 的取值范围是{m |m ≥25}． 9．函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值是________．答案24解析设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24，当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.10．已知a >0，b >0且a ≠b ，则a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小关系是________________．答案 a 2b ＋b 2a>a ＋b解析 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a )＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋b ab，又∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .三、解答题11．已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图．利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．所以生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润． 13．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，求b a的最大值．解题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ，y ＝bc，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1，且目标函数为z ＝y x，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．上述区域表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C (12，72)，此时z max ＝7，即b a的最大值为7.。

人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题(含答案)

人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题（含答案）不等式，用不等号将两个整式连结起来所成的式子。

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一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，那么a的取值范围是()A.a0或aB.0答案 B2.假定不等式ax2+bx-20的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.-2+-14=-ba-2-14=-2a，a=-4b=-9.a+b=-13.3.假设aR，且a2+a0，那么a，a2，-a，-a2的大小关系是()A.a2-a2B.-a-a2aC.-aa-a2D.a2a-a2答案 B解析∵a2+a0，a(a+1)0，-1a2a.4.不等式1x12的解集是()A.(-，2)B.(2，+)C.(0,2)D.(-，0)(2，+)答案 D解析 1x1x-122-x2x0x-22xx0或x2.5.设变量x，y满足约束条件x+y3，x-y-1，y1，那么目的函数z=4x+2y的最大值为()A.12B.10C.8D.2答案 B解析画出可行域如图中阴影局部所示，目的函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大. 解方程组x+y=3，y=1得A(2,1)，zmax=10.6.a、b、c满足cA.abB.c(b-a)C.ab2cb2D.ac(a-c)0答案 C解析∵c0，c0.而b与0的大小不确定，在选项C中，假定b=0，那么ab2cb2不成立.7.集合M={x|x2-3x-280}，N={x|x2-x-60}，那么MN为()A.{x|-4-2或3B.{x|-4C.{x|x-2或x3}D.{x|x-2或x3}答案 A解析∵M={x|x2-3x-280}={x|-47}，N={x|x2-x-60}={x|x-2或x3}，MN={x|-4-2或38.在R上定义运算：xy=x(1-y)，假定不等式(x-a)(x+a)1对恣意实数x成立，那么()A.-1答案 C解析 (x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)-x2+x+(a2-a-1)0恒成立=1+4(a2-a-1)-129.在以下各函数中，最小值等于2的函数是()A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析选项A中，x0时，y2，x0时，y选项B中，cos x1，故最小值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-22ex4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适宜.10.假定x，y满足约束条件x+y-12x-y2，目的函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值，那么a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析作出可行域如下图，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知-12，即-411.假定x，yR+，且2x+8y-xy=0，那么x+y的最小值为()A.12B.14C.16D.18答案 D解析由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x0，y0，x-80，失掉y=2xx-8，那么=x+y=x+2xx-8=x+2x-16+16x-8=(x-8)+16x-8+102x-816x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取=.12.假定实数x，y满足x-y+10，x0，那么yx-1的取值范围是()A.(-1,1)B.(-，-1)(1，+)C.(-，-1)D.[1，+)答案 B解析可行域如图阴影，yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-11或yx-1-1.二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)13.假定A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，那么A、B的大小关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-300的解集是___________________________________________________ _____________________.答案 {x|-56}15.假设ab，给出以下不等式：①1a②a3③a2④2ac2⑤ab⑥a2+b2+1ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.答案②⑥解析①假定a0，b0，那么1a1b，故①不成立;②∵y=x3在xR上单调递增，且ab.a3b3，故②成立;③取a=0，b=-1，知③不成立;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成立;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]0，a2+b2+1ab+a+b，故⑥成立.16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速中转B 市，两地铁路途长400千米，为了平安，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需求________小时.答案 8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，那么t=400+16v202v=400v+16v4002 400v16v400=8(小时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成立，此时t=8小时.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(12分)假定不等式(1-a)x2-4x+60的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a(2)b为何值时，ax2+bx+30的解集为R.解 (1)由题意知1-a0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根，1-a041-a=-261-a=-3，解得a=3.不等式2x2+(2-a)x-a0即为2x2-x-30，解得x-1或x32.所求不等式的解集为x|x-1或x32.(2)ax2+bx+30，即为3x2+bx+30，假定此不等式解集为R，那么b2-430，-66.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a20.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0，即x+a7x-a80.①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为③当-a7a8，即a0时，a8综上知，当a0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为当a0时，原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式：a，b，cR，a4+b4+c4abc(a+b+c). 证明∵a4+b42a2b2，b4+c42b2c2，c4+a42c2a2，2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c，b2c2+c2a22abc2，c2a2+a2b22a2bc.2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4abc(a+b+c).20.(12分)某投资人计划投资甲、乙两个项目，依据预测，甲、乙项目能够的最大盈利率区分为100%和50%，能够的最大盈余率区分为30%和10%，投资人方案投资金额不超越10万元，要求确保能够的资金盈余不超越1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才干使能够的盈利最大? 解设投资人区分用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y10，0.3x+0.1y1.8，x0，y0.目的函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图，阴影局部(含边界)即可行域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=14+0.56=7(万元).∵70，当x=4，y=6时，z取得最大值.答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才干在确保盈余不超越1.8万元的前提下，使能够的盈利最大.21.(12分)设aR，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.由于x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，且0所以f00，f10，f20a2-a-20，7-a+13+a2-a-20，28-2a+13+a2-a-20a2-a-20，a2-2a-80，a2-3aa-1或a2，-23-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购置每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，贮存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，假定每批购入4台，那么该月需用去运费和保管费共52元，如今全月只要48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰外地布置每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由.解 (1)设题中比例系数为k，假定每批购入x台，那么共需分36x批，每批价值20x.由题意f(x)=36x4+k20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0f(x)2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.小编为大家提供的高二必修5数学第三章不等式章末训练题，大家细心阅读了吗？最后祝同窗们学习提高。

人教A版高中数学必修五本章练测：第三章不等式(含答案详解).docx

第三章不等式（数学人教实验A版必修5）7.已知函数f（x）=1,1,0,x xx x-+<0,⎧⎨-≥⎩则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A.{x|-1≤x-1}B.{x|x≤1}C.{x|x-1}D.{x|1≤x-1}8. 设，且a b （a、b、），则M的取值范围是（）A.，18B. ［，1）C.［，）D.［8，+∞）9.对于满足等式x2+（y-1）2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A.（-∞，0］B.+∞）C.-1，+∞）D.［1，+∞）10.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一11. 一个直角三角形的周长为2p，则其斜边长的最小值为（）A.B.C.D.12.某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报. A.250 B.400C.300D.350二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.不等式2242x x+-≤12的解集为.14.函数y=1xa-（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则1m+1n 的最小值为.15.若不等式x22a x a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t1＜a t22t3的解集为 .16.设x，y，z∈R，则最大值是 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共74分）告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告版面的高与宽的尺寸（单位:cm ）能使矩形广告的面积最小? 18.（12分）不等式（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（12分）某人上午7时乘摩托艇以匀速 v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)从B 港向距 300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h.若所需的经费p =100+3(5-y )+2(8-x )元，那么v ，w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.20.（12分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立.（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设b n=1()f n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞43(3)nn+.21.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？22.（14分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第三章不等式（数学人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．18.19.20.21.22.第三章不等式（数学人教实验A 版必修5）参考答案一、选择题1.D 解析：∵ y 2x 是增函数，而0＜b ＜a ＜1，∴ 1＜2b ＜2a ＜2.2.D 解析：∵ t-s =a+2b-a-b 2-1=-（b-1）2≤0，∴ t ≤s .3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又B ，C 两点的坐标分别为（0，4），(0，43)，故S △ABC =12 (4-43)×1=43. 第3题答图 4.B 解析：特殊值法.令a =7，b =3，c =1，满足a ＞b ＞c ＞0，∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 5. A 解析：不等式组可化为 xy ＞0，x y ＞0，或 xy ＜0，x y ＜0，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示， ∴ 不等式组（x y ）（x y ）＞0，0 x2表示的平面区域为三角形. 第5题答图6.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错，再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B.7.C 解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或，所以1,1,11x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈≤≤⎪⎩⎩R 或x ＜-1或-1≤x-1 x-1，故选C. 8. D 解析：M≥9.C 解析：令x = cos θ，y =1+ sin θ，则-（x+y ）=- sinθ-cos θ-1=sin (θ+π4)-1.∴ -（x+y ）max-1.∵ x+y+c ≥0恒成立，故c ≥-（x+y ）max-1，故选C.10.A 解析：因为a+b =cd =4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a =b =c =d =2时，等号成立.故选A.11.A 解析：设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长为c ，则根据题意得c （sin θ+cos θ+1）=2p ， ∴ c =2sin cos 1p θθ++∵ π，当θ=π时，等号成立，∴ c，当此三角形为等腰直角三角形时，等号成立. ∴ 斜边c.故选A. 12. B 解析：若设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份晚报，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x -250)份，每份亏损0.15元，建立月利润函数f (x )，再求f (x )的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份晚报，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得 y ＝0.10(20x ＋10×250)-0.15×10(x -250)＝0.5x ＋625，x ∈［250，400］.∵ 函数y =0.5x +625在［250，400］上单调递增，∴ 当x ＝400时，y ＝825. 即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.13.{x |-3≤x ≤1} 解析：依题意x 2+2x-4≤-1 （x+3）（x-1）≤0 x ∈［-3，1］. 14.4 解析：由题意知A （1，1），∴ m+n-1=0，∴ m+n =1，∴1m +1n =(1m +1n )（m+n ）=2+n m +mn≥2+=4. 15.（-2，2）解析：由x 2-2ax +a ＞0对x ∈R 恒成立得Δ 4a 24a ＜0，即0＜a ＜1， ∴ 函数y ax是R 上的减函数，∴ 2t 1＞t22t3，解得-2＜t ＜2.16.222 解析： x22y 2z222221 22xy z 2x 22y 2z21122xy z 2.17.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.①广告版面的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S =（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b ≥18 500+=18 500+当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =58a ，代入①式得a =120，从而b =75，即当a =120，b =75时，S 取得最小值24 500.故广告版面的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 18.解：若m 2-2m-3=0，则m =-1或m =3.当m =-1时，不合题意；当m =3时，符合题意.若m 2-2m-3≠0，设f （x ）=（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1，则由题意，得22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎨=[-(-3)]+4(--)<⎩ 解得-15<m <3.综合以上讨论，得-15<m ≤3.19.解：依题意得 4 50x 20，30 300y 100， 9 x y 14，x ＞0，y ＞0，考察z =2x +3y 的最大值，作出可行域，平移直线2x +3y =0，当直线经过点(4，10)时，z 取得最大值38.故当v =12.5，w =30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元. 20.（1）解：∵ 242()2+≤≤x x f x 对一切实数都成立，∴ 4≤f （2）≤4，∴ f （2）=4.（2）解：设f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0）.∵ f （-2）=0，f （2）=4，∴424,1,42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩ ∵ ax 2+bx+c ≥2x ，即ax 2-x+2-4a ≥0，∴ Δ=1-4a （2-4a ）≤0⇒（4a-1）2≤0，∴ a =14，c =2-4a =1，故f （x ）=24x +x+1. （3）证明：∵ b n =1()f n =24(2)n +＞4(2)(3)n n ++=4(12n +-13n +)， ∴ S n =b 1+b 2+…+b n ＞4[(13-14)+(14-15)+…+(12n +-13n +)] =4×13-13n +=43(3)n +. 21.解：设投资人分别用x ，y 万元投资甲，乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z =x+0.5y . 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线l 0:x+0.5y =0，并作平行于直线l 0的一组直线x+0.5y =z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线x+y =10与直线0.3x+0.1y =1.8的交点. 第21题答图解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，z =4+0.5×6=7（万元）.∴ 当x =4，y =6时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.22.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2（a+2b）≤80-（m2）.当且仅当a=2b，即a=12，b=6时，S max=32.答：矩形温室的边长为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.。

【人教A版】高中数学必修5第三章课后习题解答

新课程标准数学必修5第三章课后习题解答第三章不等式3．1不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥；（2）4h ≤；（3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>；（2）<；（3）>；（4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）24<；（2>.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤；（2）R ；（3）{}2x x ≠；（4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-；使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<；使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅；使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2；使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或；（4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y {}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒. 依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）52x ⎧+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}37x x <<；（3）∅；（4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为3322x x x ⎧⎪<-<+⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩（第1题）可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤；（2）22x y ->；（3）2y -≤；（4）3x ≥2、3（第2题）解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+= 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y--台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)60z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.（第2题）3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少. 习题3.4 A 组（P100） 1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 12a b +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m . 3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤，当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=123600312006800580048000012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=+++=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++ 由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-=⨯-=-≤ 当72x x=，即x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+))c =当且仅当()()a cbc x x--=，即x =tan β取得最大，从而视角也最大.第三章复习参考题A 组（P103）1<2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为2Z x y =+≥ 当2x y =，即x =y =Z可以取得最小值，最小值为. 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即v =c 时，y 有最小值.2sa y sbv v =+=≥2c 时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，v c =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或（2）⎧⎨⎩3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥人教A 版高中数学课后习题解答答案11 5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13. 当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45. 6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。

必修五第三章不等式加章末检测

3.1 不等关系 (第一课时)1．通过具体情境, 感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系, 了解不等式(组)的实际背景．2．经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法. 3．总结建立不等式模型的基本思路．4．提高观察、抽象的能力．【课堂互动】自学评价1．不等号有哪些？ 2．不等关系的含义：【精典范例】例1 某博物馆的门票每位10元, 20人以上(含20人)的团体标8折优惠, 那么不足20人时, 应该选择怎样的购票策略?点评:列式的前提是：设自变量，找不等关系. 例2 某杂志以每本2元的价格发行时, 发行量为10万册, 经过调查, 若价格每提高0.2元, 发行量就减少5000册, 要使杂志社的销售收入大于22.4万元, 每本杂志的价格应定在怎样的范围内. 点评：若设每本杂志价格为x 元，则有4.22)2(2510>⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x ，化简略．例某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品, 要使混合食品中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B , 设Y X ,这两种食物各取ykg xkg , , 那么y x ,应满足怎样的关系?点评：列出的是二元一次不等式组，事实上，这里的y x ,与y x --100还都应该大于等于0．思维点拔：1．不等式(组)是刻画不等关系的数学模型． 2．建立不等式模型的基本思路：（1）找出不等关系（2）语言化不等关系（3）设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组))追踪训练1．b 克糖水中有a 克糖 (0.>>a b ) , 若再添上m 克糖 (m >0), 则糖水变甜了, 还是变淡了?2．时代超市将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖400个, 经过调查, 己知这种商品每个涨价1元, 其销售量就减少20个, 要使时代超市销售此商品的收入大于4320元, 商品价格应定在怎样的范围内?分层训练1．建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板的面积,但按采光标准, 窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比越大, 住宅的采光条件越好,如果我们将窗户与地板同时增加相等的一个面积数,那么住宅的采光条件是变还了还是变坏了?答: .2．某种植物适宜生长在温度为C C 020~18的山区, 已知山区海拔每升高100m , 气温下降C 055.0, 现测得山脚下的平均气温为C 022, 该植物种在山区多高处为宜?3．用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元（）.A ．300a ≤B ．300a ≥C ．300a >D ．300a < 4．已知0a b +>，0b <，那么,,,a b a b --的大小关系是（）.A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-5．一个两位数个位数字是a ，十位数字是b ，且这个两位数不小于60，则可用不等关系表示为________．考试热点6．某商品进货单位为40元, 若按50元一个销售, 能卖出50个, 若销售单位每涨1元销售量就减少一个, 为了获得最大利润, 该商品的最佳售价为多少元?7．制作一个高为20cm 的长方体容器, 底面矩形的长比宽多10cm , 并且容积不少于4000cm 3, 问: 底面矩形的宽至少应为多少?拓展延伸8．某化工厂制定明年某产品的生产计划, 受下面条件的制约: 生产此产品的工人数不超过200人; 每个工人年工作约计2100h , 预计此产品明年销售量至少80000袋; 每袋需用4h ; 每袋需用原料20kg ; 年底库存原料600t , 明年可补充1200t , 试根据这些数据预测明年的产量.3.1 不等关系 (第二课时)学习要求1．掌握不等式的基本性质；2．会用不等式的性质证明简单的不等式； 3．会将一些基本性质结合起来应用.【课堂互动】自学评价一、课前准备1．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.（1）,___a b b c a c >>⇒（2）____a b a c b c >⇒++ （3）,0____a b c ac bc >>⇒（4）,0____a b c ac bc ><⇒二、新课导学※ 学习探究探究1：如何比较两个实数的大小.探究2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1),;(2)0,0;(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>【精典范例】例1 比较大小：（1）26+（2）221)；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .（5）已知0≠x ,则22)1(+x 与124++x x 的大小关系为例2 已知0,0,a b c >><求证c ca b>.例3 已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.追踪训练1．用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；（2）0,0____a bc d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>；（4）22110___a b a b>>⇒.2．已知x >012x<+.3．比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 4．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ≥bD ．a ≤b5．已知0a b >>，0c d >>6．已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.7．已知2≥>b a ，现有下列不等式①a b b ->32②)11(241ba ab +>+ ③b a ab +> ④3log 3log b a >，其中正确的有分层训练1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b 2．已知a 0C ．ab <0D ．|a |<|b |3．已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4．已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π- C ．(,0]2π- D ．[,0)2π-5．如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .6．设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .7．已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a <－db，则( )A ．bc <adB ．bc >adC ．a c >b dD ．a c <bd8．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题是________．9．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b>0.能推得1a <1b成立的是________10. 11．已知f (x )＝ax －c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 12．设a ，b 为非零实数，若a +-x x （2）0322≥+--x x （3）0122<+-x x （4）0222<+-x x 点评:不等式的解与方程的根是密切相关的．例2：解下列不等式（1）73312≤+-<x x （2）0)22)(54(22>+--+x x x x （3）0)44)(54(22>+--+x x x x （4）0624≥--x x（5）+4-1x x >0 （6） -3+7x x ≤0 （7）183342<-<x x 点评：“Û”符号的使用可使表达简洁，另外端点是否包含在内特别要小心谨慎．思维点拔：1．当0>a 时02>++c bx ax 的解集为两根之外或R ，02<++c bx ax 解集为两根之内或∅。

新人教A版必修5高中数学第三章不等式章末检测(B)

第三章不等式章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N4．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．(12)a <(12)bC ．lg(a －b )>0 D.ab>16．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] 8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤189．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1010．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定11．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1C ．[1,8)D ．[8，＋∞)12．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－113．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________________________________________________________________________．14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18.19．(12分)若a<1，解关于x的不等式axx－2>1.20．(12分)求函数y＝x＋22x＋5的最大值．21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)第三章不等式章末检测答案(B)1．D [∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，ab2<0.∴ab>a，ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，∴a<ab2.∴a<ab2<ab.]2．C3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)⇔(x－4a)(x＋3a)<0⇔4a<x<－3a.]5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．故选B.]6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －＋1≥2x －11x －1＋1＝3.∴a ≤3.] 7．A [f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1⇔－1≤x ≤1.]8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D.]9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时，u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝83.∴u ＝x ＋3y ∈[－8，83]．∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b2ab，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b ＝s ×a ＋b2－4ab2ab a ＋b＝s a －b 22ab a ＋b>0，故选B.]11．D [M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·bc＝8. ∴M ≥8，当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．]12．D [∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)， ∴(x －1)2∈[0,4)，∴f (x )＝(x －1)2＋1x －2－1≥2x －2·1x －2－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1x －2，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1.] 13．－2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.14．－2<a ≤2解析当a ＝2时，－4<0恒成立，∴a ＝2符合．当a －2≠0时，则a 应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝a －2＋a －解得－2<a <2. 综上所述，－2<a ≤2. 15．5≤a <7解析先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a表示的区域．由图知：5≤a <7. 16．20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x )万元，400x·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x 即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a－a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋bab又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a －b >0，ab >0， ∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .18．证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ac >0，∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc >0.∴abc a ＋b b ＋c c ＋a ≤18即(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18. 当且仅当a ＝b ＝c 时，取到“＝”．19．解不等式ax x －2>1可化为a －x ＋2x －2>0.∵a <1，∴a －1<0，故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <21－a}，当a <0时，原不等式的解集为{x |21－a<x <2}．当a ＝0时，原不等式的解集为∅.20．解设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.21．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN ＝(x ＋2)米． ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝x ＋x，∴S AMPN ＝AN ·AM ＝x ＋2x，由S AMPN >32，得x ＋2x>32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝x ＋2x ＝3x 2＋12x ＋12x11 ＝3x ＋12x ＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．22．解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3604x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x≥0y ≥0作出可行域如图. 利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10y ＝3004x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．答生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．。

高二数学人教A必修5章末检测：第三章不等式 pdf版含解析

( ) ( ) ( ) ( ) 1
2
1
2
0，
0，
0，
0，
A. a1 B. a1 C. a3 D. a3
答案 B
解析由(1－aix)2<1，得 1－2aix＋(aix)2<1，
即 aix(aix－2)<0.又 a1>a2>a3>0，
2
22
2
∴0<x<ai，即 x<a1，x<a2且 x<a3.
222 ∵a3>a2>a1>0，
章末检测
一、选择题
1．设 a，b，c，d∈R，且 a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac>bd
C．a＋c>b＋d 答案 C
B．a－c>b－d ab
D.d>c
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
2．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N
解析由题意知 y＝ 2 ，所以xz＝ 4xz ＝ 4xz ＋2≥ 4xz ＋2＝2＋2＝3.当
y2 且仅当 x2＝9z2 时等号成立，所以xz的最小值为 3.
5．方程 x2＋(m－2)x＋5－m＝0 的两根都大于 2，则 m 的取值范围是( )
A．(－5，－4]

B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2)
答案 B 解析方程 x2－ax－12a2＝0 的两根为 4a，－3a，
且 4a<－3a，∴4a<x<－3a. y2
4．已知 x，y，z∈(0，＋∞)，且满足 x－2y＋3z＝0，则xz的最小值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12

2018-2019学年高中数学人教A版必修五第三章不等式检测卷含答案

第三章检测卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有().A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N2不等A.{x|-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x>3}3若集合A={x|x2-2x>0},B={x|A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B4不等式1A5若2x+2y=1,则x+y的取值范围是().A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]6若变量x,y满足约束条A.1B.2C.3D.47若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是().A.a2+b2>2abB.a+b ≥CD8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区A .29已知正实数a,b满足4a+b=30, A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)10某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为().A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x>0,y>0,若x,y 满12若x,y满足约束条13当x>1时,log2x2+log x2的最小值为.14如果实数x,y 满足条315若不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)解不等式17(8分)某工厂建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1 200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5 800元.若墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?18(9分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.19(10分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.20(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料4第三章检测卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有().A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N解析:∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=2a2-4a-a2+2a+3=a2-2a+3=a2-2a+1+2=(a-1)2+2>0,∴M>N.答案:A2不等A.{x|-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x>3}解析:原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.答案:A53若集合A={x|x2-2x>0},B={x|A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B解析:∵x2-2x=x(x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A与B在数轴上表示为由图象可以看出A∪B=R,故选B.答案:B4不等式A答案:D5若2x+2y=1,则x+y的取值范围是().A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]解析:∵2x+2y=1≥67≥2x+y ,即2x+y ≤2-2.∴x+y ≤-2.答案:D6若变量x ,y满足约束条A.1B.2C.3D.4解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,z 是直线y=-2x+z 在y 轴上的截距,当直线y=-2x+z 经过点A (1,0)时,z 取最大值,此时x=1,y=0,则z 的最大值是2x+y=2+0=2. 答案:B7若a ,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是( ). A.a 2+b 2>2abB.a+b ≥CD解析:由ab>0,得a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,A不成立;答案:D8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区A .解析:画出不等式.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA⊥直线x+y-2=0于点A,过D作DB⊥直线x+y-2=0于点B,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,∴|CD|=|AB|.8∴C点坐标为(-1,1).∴D点坐标为(2,-2).∴|CD||AB|=C.答案:C9已知正实数a,b满足4a+b=30,A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)解析:≥当且仅.故选A.答案:A910某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为().A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,由题意,目标函数z=280x+200y.画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,目标函数过点A时,z取最大值.解方程x=15,y=55,即A(15,55).10所以甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱时,甲、乙两个车间每天总获利最大.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x>0,y>0,若x,y 满解析:∵x>0,y>0,∴1xy≤3,当且仅x,等号成立,∴xy的最大值为3.答案:312若x,y满足约束条如图,作出不等式组所表示的可行域.11由z=x+3y,得y=l0:x+3y=0,在可行域内平移直线l0,由图可知直线过A点时z最大,A(1,2).所以z max=1+3×2=7.答案:713当x>1时,log2x2+log x2的最小值为. 解析:当x>1时,log2x>0,log x2>0,所以log2x2+logx2=2log2x≥当且仅当2log2x x,等号成立,所以log2x2+logx2的最小值答案:14如果实数x,y 满足条解析:画出可行域如图中的阴影部分所示.12设P(x,y)为可行域内的一点,M (1,1),由于点P在可行域内,则由图知k MB≤k PM≤k MA.又可得A(0,-1),B(-1,0),则k MA=2,k MB≤k PM ≤2,答案:15若不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.解析:不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.若a+2=0,则显然不成立;若a+2≠0,⇔a>2.答案:(2,+∞)13三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)解不等式解≤1≤0,∴-2≤x<6.由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,∴x>1或x<∴原不等式组的解集17(8分)某工厂建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1 200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5 800元.若墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?解设房子的长为x m,宽为y m,总造价为t元,则xy=12,且t=3×x×1200+3×y×800×2+5 800=1 200(3x+4y)+5 800≥1 200×800=34 600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).故最低总造价是34 600元.18(9分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解f(x)=x2-2x-8.14当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,则x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).于是对一切x>2,均有不等≥m成立.≥x=3时,等号成立), ∴实数m的取值范围是(-∞,2].19(10分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.解∵x2-(3m+1)x+2m2+m=(x-m)[x-(2m+1)],∴方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0的两解是x1=m,x2=2m+1.当m<2m+1,即m>-1时,原不等式的解为m<x<2m+1;当m=2m+1,即m=-1时,原不等式无解;当m>2m+1,即m<-1时,原不等式的解为2m+1<x<m.综上所述,当m>-1时,原不等式的解集为{x|m<x<2m+1};当m=-1时,原不等式的解集为⌀;当m<-1时,原不等式的解集为{x|2m+1<x<m}.151620(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,那而z=0.28x+0.9y,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A 时,z 最小,又直线x+y=35 000和直线y故当x ,饲料费用最低.答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.。

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第3章不等式（苏教版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.不等式2104x x ->-的解集是. 2.设01b a <<<，则下列不等式中成立的是.①21a ab <<；②1122log log 0b a <<；③21ab b <<；④222b a <<.3.不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域是一个.4.不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于.5.已知函数2log (1)fx x =+（）且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是. 6.已知不等式1()9a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y恒成立，则正实数a 的最小值为.7.若函数1,0,()1,0,x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则不等式(1)x x ++∙(1)1f x +≤的解集是.8.设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（,a ,b c +∈R ），则M 的取值范围是.9.对于满足等式22(1)1x y +-=的一切实数,x y ，不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围是. 10.若正数,,,a b c d 满足4a b cd +==，则ab c d +（填“≥”或“≤”），且等号成立时,,,a b c d 的取值（填“唯一”或“不唯一”）.11.不等式224122xx +-≤的解集为. 12.已知函数1x y a -=(01)a a >≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为.13.设函数25z x y =+，其中,x y 满足条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z 的最大值是. 14.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 .二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分）15.(14分)解关于x的不等式22---+30a a x(2)(23)x a+>.a16.（14分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位:cm）能使矩形广告的面积最小?第16题图17.(14分)不等式22(23)(3)10m m x m x -----<对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.18.（16分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？19.（16分）已知二次函数()f x 满足(2)0f -=，且2422x x f x +≤≤（）对一切实数x 都成立. （1）求(2)f 的值；（2）求()f x 的解析式；（3）设1()n b f n =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：43(3)n nS n >+.20.（16分）某村计划建造一个室内面积为72 m 2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第3章不等式（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2.3． 4．5. 6.7.8.9.10.11.12. 13. 14.二、解答题15．16.17.18.19.20.第3章不等式（苏教版必修5）参考答案1.（-2，1）∪（2，+∞）解析：原不等式化为(2)(1)(2)0x x x +-->，解得21x -<<或2x >.2.④解析：∵2x y =是增函数，而01b a <<<，∴1222b a <<<.3.三角形解析：原不等式组可化为0002x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＞，＞，或000 2.x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＜，＜，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示，∴不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域是一个三角形.第3题图第4题图4.43解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又,B C 两点的坐标分别为（0，4），40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故14441233ABC S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△. 5.()()()f c f b f a c b a >>解析：特殊值法.令7a =，31b c ==，，满足0a b c >>>，∴ 2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+.故()()()f c f b f a c b a>>. 6.4 解析：不等式1()9a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则1219y ax a a a x y +++≥++≥，∴a ≥2或4a ≤-（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.7.21x ≤-解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或，所以1,1,2121R x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈--≤≤-⎪⎩⎩或1x <-或12121x x -≤≤-⇒≤-. 8.8 解析：M =b c a +·a c b +·a bc+≥8ab bc ac abc ∙∙=8.9.[21,)-+∞解析：令cos x θ= ，1sin y θ=+，则()sin cos 1x y θθ-+=---=π2sin 4θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-1，∴ max ()2x y -+=-1.∵0x y c ++≥恒成立，∴ max ()2c x y ≥-+=-1. 10.≤ 唯一解析：因为4a b cd +==，由基本不等式得2a b ab +≥，故4ab ≤.又2()4c d cd +≤，故4c d +≥，所以ab c d ≤+，当且仅当2a b c d ====时，等号成立.11.{|31}x x -≤≤解析：依题意得2241(3)(1)031x x x x x +-≤-⇒+-≤⇒∈-，［］.12.4 解析：由题意知(11)A ，，∴10m n +-=，∴1m n +=， ∴1m +1n =11()2224n m n m m n m n m n m n ⎛⎫++=++≥+∙= ⎪⎝⎭.13.19解析：先在平面直角坐标系xOy 内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图中阴影部分）.把25z x y =+变形为5152y x z =-+，得斜率为25-，在y 轴上的截距为15z ，随z 变化的一族平行直线.由图可以看出，当直线5152y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距15z 最大，即z 最大. 解方程组283x y y +=⎧⎨=⎩，，得23.x y =⎧⎨=⎩，故23M （，）.此时max z =2×2+5×3=19.第13题图14.40解析：设长为x 米，宽为y 米，则610100x y +≤，即3550x y +≤.∵0255335x y x y +≥∙≥，当且仅当35x y =时等号成立，,x y 为正整数，∴只有当324525x y ==，时面积最大，此时面积40xy =平方米. 15.解：由22(2)(23)x a a a x ---+30a +>，得[(2)3]()0a x x a --->. ①当2a =时，20x -<，解得2x <. ②当2a >时，原不等式可以化为32()0a x x a ⎛⎫⎪⎭--⎝->. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---，所以当3a =时，2(03)x ->，则x ∈R 且3x ≠. 当23a <<时，32a a >-，解得32x a >-或x a <.当3a >时，32a a <-，解得32x a <-或x a >. ③当2a <时，原不等式可以化为3(2)0a x x a ⎛⎫⎪⎭--⎝-<. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---，所以当12a -<<时，32a a <-，所以32a x a -<<；当1a =-时，2(01)x +<，不等式无解；当1a <-时，32a a >-，所以32a a x <<-. 所以原不等式的解集为：当1a <-时，32a x a x ⎧⎫⎨⎬-⎩<<⎭；当1a =-时，不等式无解；当12a -<<时，32xa x a <<⎧⎫⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，{|2}x x <；当23a <<时，32a x x a x ⎧⎫<>⎨⎩⎭-⎬或；当3a =时，{|3}x x x ∈≠且R ；当3a >时，32x x x a a ⎧⎫<>⎨-⎬⎩⎭或. 16.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积(20)(225)2402550018 500254018 5002254018 500S a b ab b a a b a b =++=+++=++≥+∙=+2 1 00024 500ab =，当且仅当2540a b =时等号成立，此时58b a =，将其代入①式得120a =，从而75b =，即当12075a b ==，时，S 取得最小值24 500.故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 17.解：若2230m m --=，则1m =-或3m =. 当1m =-时，不合题意；当3m =时，符合题意.若2230m m --≠，设22()(23)(3)1f x m m x m x =-----，则由题意，得22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎪⎨=[-(-3)]+4(--)<⎪⎩解得135m -<<. 综合以上讨论，得135m -<≤.18.解：设投资人分别用x y ，万元投资甲、乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为0.5z x y =+.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线0:0.50l x y +=，并作平行于直线0l 的一组直线0.5x y z +=，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线10x y +=与直线0.30.1 1.8x y +=的交点.解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，40.567z =+⨯=(万元).∴ 当46x y ==，时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大. 第18题图19.（1）解：∵ 2422x x f x +≤≤（）对一切实数都成立， ∴4(2)4f ≤≤，∴(2)4f =.（2）解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠.∵(2)0(2)4f f -==，，∴424,1,42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩∵22ax bx c x ++≥，即2240ax x a -+-≥，∴214240410aa a ∆=--≤⇒-≤（）（）， ∴ 14a =，241c a =-=，故2()14x f x x =++.（3）证明：∵ 2144114()(2)(2)(3)23n b f n n n n n n ⎛⎫==>=- ⎪+++++⎝⎭， ∴ 1211111111444344523333(3)n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＞. 20.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m，则72ab =，蔬菜的种植面积(4)(2)428802(2)8042S a b ab b a a b ab =--=--+=-+≤-=32（m 2）.当且仅当2a b =，即126a b ==，时，max 32S =.答：当矩形温室的边长为6 m ，12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2.。

2019-2020学年数学高中人教版A必修5学案：第三章不等式复习 Word版含解析

第三章不等式本章复习学习目标1.理解生活中存在着大量的数量关系,了解不等式(组)的实际背景,理解不等式一些基本性质.2.深刻理解三个二次之间的关系.以二次函数为中心,能运用二次函数的图象、性质解答不等式的有关问题.渗透函数与方程思想、数形结合思想及分类讨论思想.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组;并能用平面区域表示;能熟练解答线性规划问题,并理解其中蕴含的数形结合思想.4.能够灵活熟练地利用基本不等式解决相关的最值问题.合作学习一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组求解下列各题,并思考每道题目考查的知识点.1.已知a>b,有下列结论:①ac>bc;②a2>b2;③1a <1b;④a3>b3.其中正确结论的序号为.2.不等式x2-2x-15≤0的解集是.3.二元一次不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的方.4.若变量x,y满足约束条件{y≤2x,x+y≤1,y≥-1,则x+2y的最大值是.5.已知x>0,y>0,且x+y=2,则x2+y2的最小值为.二、运用规律,解决问题【例1】已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集是[1,3],求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得不等式f(x)≤0有实数解?若存在,求出所有的实数a;若不存在,请说明理由.(3)解关于x的不等式f(x)≤0.师生交流1:本题中所体现的思想方法可以推广到一般情形吗?请你尝试总结一下.【例2】已知实数x,y满足{2x+y≥6, x+3y≥9, x+y≤6.(1)求y-1x+1的最大值和最小值;(2)若目标函数z=ax+y(a<0)的最小值为3,求实数a的值.师生交流2:本题的解答注重什么思想?体现在哪里?【例3】已知正实数x ,y 满足x+2y=1. (1)求xy 的最大值; (2)求1x +1y 的最小值.师生交流3:第(1)问还有其他解法吗?对于“二元函数的最值问题”你认为有哪些常用解法?既然有这些方法,在解答具体问题时,应如何选择呢?三、变式训练,深化提高变式训练1:若对任意的实数x ∈[1,3]时,不等式f (x )=x 2-(a+1)x+a ≤0恒成立,求实数a 的取值范围.变式训练2:若将例2改为:已知实数x ,y 满足{2x +y ≤6,x +3y ≥9,kx +y ≤6.若z=x+y 的最小值为5,求实数k 的值.变式训练3:将例3中的“x+2y=1”改为“x+y=xy”,求xy 的最小值.四、反思小结,观点提炼1.本节课我们重点复习了哪些知识?2.在这些问题的求解过程中,体现了哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境题组:再现型题组1.④2.[-3,5]3.右下4.53 5.2 二、运用规律,解决问题【例1】解:(1)由题意,有{f (1)=0,f (3)=0,解得a=3.(2)因为Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0,所以当a=1时,不等式f (x )≤0有解为{x|x=1}; (3)当a>1时,{x|1≤x ≤a };当a=1时,{x|x=1};当a<1时,{x|a ≤x ≤1}. 师生交流1:规律一:不等式f (x )≤0、方程f (x )=0都可以看做是y=f (x )的特殊情形.因此,不等式问题的求解策略,一般有两个:一是直接求不等式的解集;二是构造相应的函数,将不等式问题转化为函数的值域、最值问题或利用函数的图象求解.如本题中不等式的能成立、恒成立问题,可以通过求不等式的解集完成;可以转化为相应函数的最值问题求解;也可以根据图象求解.【例2】解:作出可行域,如图所示(阴影部分).(1)因为y -1x+1表示可行域内的点(x ,y )与点P (-1,1)连线的斜率,结合图形可以知道,该斜率介于直线PC 和直线P A 之间.解方程组{x +y =6,x +3y =9,得点C 的坐标为x=92,y=32. 又A (0,6),所以32-192+1≤y -1x+1≤6-10+1,即111≤y -1x+1≤5. 所以y -1x+1最大值为5,最小值为111.(2)z=ax+y 可化为y=-ax+z ,它表示斜率为-a 的一族直线,因为a<0, 所以-a>0,故直线经过点C 时,z 最小为3. 将x=92,y=32代入3=ax+y ,解得a=13.师生交流2:数形结合思想;例如y -1x+1几何意义,甚至更细致一些是哪两个点之间的连线斜率都要观察出来;再如目标函数对应的直线的斜率与边界直线斜率之间的比较;再如直线过定点问题等等.规律二:运用数形结合思想解答问题时,首先要观察数学式子中的各个系数对图象的制约,与图象对应起来;然后,在图形中观察出的规律、结论也要对应到数学式子中的相应系数上来.【例3】解:(1)xy=12x ·(2y )≤12(x+2y 2)2=18.当且仅当{x =2y ,x +2y =1,即x=12,y=14时,xy 的最大值为18.(2)方法一:因为x+2y=1,所以1x +1y =(1x +1y )(x+2y )=3+2yx +xy ≥3+2√2.当且仅当{2y x=x y,x +2y =1,即x=√2-1,y=2-√22时,1x +1y最小值为3+2√2.方法二:因为x+2y=1,所以x=1-2y ,又x>0,y>0, 所以0<y<12, 所以1x+1y=11-2y +1y =1-yy (1-2y ),(*) 令t=1-y ,则12<t<1, (*)式可化为t (1-t )(2t -1)=t -2t 2+3t -1=1-(2t+1t )+3≥3-2√2. 当且仅当2t=1t,即t=√22,x=√2-1,y=2-√22时,1x +1y最小值为3+2√2.师生交流3:有,可以消元,转化为一元函数求最值.规律三:“二元函数的最值问题”的求解方法,一般有三种:(1)通过消元转化为“一元”函数求解,体现了化归转化的数学思想; (2)寻求条件、结论的几何意义,数形结合求解,体现了数形结合思想;(3)构造基本不等式所必须的条件,运用基本不等式求解,体现了化归转化思想. 要观察条件、结论的特征,根据这些特征合理选择方法. 三、变式训练,深化提高变式训练1:解:结合二次函数图象可知,只需{f (1)≤0,f (3)≤0,即{0≥0,6-2a ≥0,解得a ≥3.所以实数a 的取值范围是[3,+∞).变式训练2:解:由{2x +y ≤6,x +3y ≥9,kx +y ≤6.可确定如图所示的平面区域,又因为z=x+y 的最小值为5,即直线x+y=5与平面区域相交在最靠下的位置.由{x +3y =9,x +y =5解得B (3,2),又因为直线kx+y=6过点B (3,2),所以3k+2=6, 解得k=43.变式训练3:解:x+y=xy ≥2√xy ,即xy ≥2√xy ,又x ,y 为正实数,所以√xy ≥2, xy ≥4.当且仅当{x =y ,x +y =xy ,即x=y=2时,等号成立.四、反思小结,观点提炼1. 三个二次之间的关系在解决一元二次不等式问题中的应用;线性规划问题的求解策略;灵活运用基本不等式求最大(小)值.2.函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化的数学思想.。

2019【人教A版】高中数学必修五学案设计(含答案)第三章 3.2(二)

人教版高中数学必修精品教学资料[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解,其步骤是：(1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶重根穿而不过,奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律,写出不等式的解集．思考 (x －1)(x －2)(x －3)2(x －4)＞0的解集为______________．答案 {x |1＜x ＜2或x ＞4} 解析利用数轴穿根法知识点三一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题,可有以下2种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况,即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即：k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .题型一分式不等式的解法例1 解下列不等式： (1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2. 解 (1)由x ＋43－x ＜0,得x ＋4x －3＞0,此不等式等价于(x ＋4)(x －3)＞0, ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}． (2)方法一移项得x ＋1x －2－2≤0,左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0,即x －5x －2≥0,同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．方法二原不等式可化为x －5x －2≥0,此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0，② 解①得x ≥5,解②得x ＜2,∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )＞0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0),再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负,直接去分母也可．跟踪训练1 不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0,∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0,∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．题型二解一元高次不等式例2 解下列不等式： (1)x 4－2x 3－3x 2＜0； (2)1＋x －x 3－x 4＞0；(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0. 解 (1)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0, 当x ≠0时,x 2＞0,由(x －3)(x ＋1)＜0,得－1＜x ＜3；当x ＝0时,原不等式为0＜0,无解．∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3,且x ≠0}． (2)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＜0, 而对于任意x ∈R ,恒有x 2＋x ＋1＞0, ∴原不等式等价于(x ＋1)(x －1)＜0, ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0,进一步化为⎝⎛⎭⎫x －32⎝⎛⎭⎫x －43⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)＞0, 如图所示,得原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2.反思与感悟解高次不等式时,主导思想是降次,即因式分解后,能确定符号的因式应先考虑约分,然后可以转化为一元二次不等式,当然也可考虑数轴穿根法．跟踪训练2 若不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集是{x |1＜x ＜2},则不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6＞0的解集是( ) A ．(1,2)B ．(－∞,－1)∪(6,＋∞)C ．(－1,1)∪(2,6)D ．(－∞,－1)∪(1,2)∪(6,＋∞) 答案 D解析由题意知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2),则待解不等式等价于(x －1)(x －2)(x 2－5x －6)＞0⇒(x －1)(x －2)(x －6)(x ＋1)＞0⇒x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6. 题型三不等式恒成立问题例3 对任意的x ∈R ,函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )的值恒大于0,则a 的取值范围为________．答案－2＜a ＜2解析由题意知,f (x )开口向上,故要使f (x )＞0恒成立, 只需Δ＜0即可, 即(a －4)2－4(5－2a )＜0, 解得－2＜a ＜2.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题,通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数),并结合图象建立关于参数的不等式求解．跟踪训练3 对任意a ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零,则x 的取值范围是( ) A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2答案 B解析 f (x )＞0,∴x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0, 即(x －2)a ＋(x 2＋4－4x )＞0, 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＞0，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2－4x ＋4＝x 2－3x ＋2＞0，－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.题型四一元二次不等式在生活中的应用例4 某人计划收购某种农产品,如果按每吨200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a 万吨,政府为了鼓励个体多收购这种农产品,决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点,预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在征税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x 的取值范围．解 (1)降低后的征税率为(10－x )%,农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨,收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得,y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得,150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%,化简得x 2＋40x －84≤0, ∴－42≤x ≤2. 又∵0＜x ＜10, ∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．反思与感悟不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键．跟踪训练4 在一个限速40 km/h 以内的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2,S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任．解由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12, S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10. 分别求解,得 x <－40或x >30. x <－50或x >40.由于x >0,从而得x 甲>30 km/h,x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任．1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3},B ＝{x |x －2x ≤0},则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ＜2}D ．{x |0≤x ≤1}答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1},B ＝{x |0＜x ≤2}, ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅,则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 答案 D解析 a ＝0时符合题意．a >0时,相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0,得{a |0<a ≤4},综上,得{a |0≤a ≤4},故选D.3．不等式(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)x ＋4＞0的解集为______________________．答案 {x |－4＜x ＜－3或x ＞－1} 解析原式可转化为 (x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)＞0,根据数轴穿根法,解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1.4．设x 2－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈(1,3)恒成立,求a 的取值范围．解原不等式x 2－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2＋2x ＋8对任意x ∈(1,3)恒成立, 设f (x )＝－x 2＋2x ＋8,易知f (x )在[1,3]上的最小值为f (3)＝5. ∴a ≤5.5．某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏；若售价每提高1元,日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x 元,则x ≥15,并且日销售收入为x [30－2(x －15)],由题意知,当x ≥15时,有x [30－2(x －15)]＞400,解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时,分母不为零．2．对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时,经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min . 3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x ,用x 来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解．一、选择题1．不等式1＋x 1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1＜x ≤1}B ．{x |－1≤x ＜1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1＜x ＜1}答案 B解析原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x ＜1.2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜2或2＜x ＜3}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |－1＜x ＜2} 答案 A解析原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －3)＜0，x －2≠0，∴－1＜x ＜3且x ≠2.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a 2，x －4＜2a 有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞) 答案 A解析由题意得,a 2＋1＜x ＜4＋2a . ∴只须4＋2a ＞a 2＋1, 即a 2－2a －3＜0,∴－1＜a ＜3.4．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立,则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3答案 C解析 x 2－4x －m 在x ∈[0,1]时,最小值为1－4－m , ∴令－3－m ≥0,∴m ≤－3.5．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B ),若不等式(x －a )⊙(x ＋a )＜1对任意的实数x ∈R 恒成立．则实数a 的取值范围为( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12答案 C解析 ∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a ), ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )＜1,即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立, 即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立, 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0, 解得－12＜a ＜32,故选C.6．下列选项中,使不等式x ＜1x ＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,＋∞) 答案 A解析方法一取x ＝－2,知符合x ＜1x＜x 2,即－2是此不等式的解集中的一个元素,所以可排除选项B 、C 、D.方法二由题知,不等式等价于(1x －x )(1x －x 2)＜0,即(x 2－1)(x 3－1)x 2＜0,从而(x －1)2(x ＋1)(x 2＋x ＋1)x 2＜0,解得x ＜－1,选A.7．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集为(1,＋∞),则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集为( )A ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)B ．(1,2)C ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)D ．(－1,2)答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根,∴a －b ＝0,即a ＝b , ∵ax －b ＞0的解集为(1,＋∞), ∴a ＞0, 故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2＞0, 转化为(x ＋1)(x －2)＞0. ∴x ＞2或x ＜－1. 二、填空题8．不等式x 2－2x －3x －5≤0的解集为__________________．答案 {x |x ≤－1或3≤x ＜5}解析原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －3)(x ＋1)≤0，x －5≠0，由数轴穿根法得x ≤－1或3≤x ＜5.9．当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立,则m 的取值范围是________．答案 (－∞,－5]解析设f (x )＝x 2＋mx ＋4,要使x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.10．若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞,－1)∪(4,＋∞),则实数a ＝________.答案 4解析 ∵(x －a )(x ＋1)＞0与x －ax ＋1＞0同解, ∴(x －a )(x ＋1)＞0的解集为(－∞,－1)∪(4,＋∞), ∴4,－1是(x －a )(x ＋1)＝0的根,∴a ＝4. 三、解答题11．关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3＜2对任意实数x 恒成立,求实数m 的取值范围．解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0, ∴原式即4x ＋m ＜2(x 2－2x ＋3)恒成立, ∴m ＜2x 2－8x ＋6恒成立, 设f (x )＝2x 2－8x ＋6, 则f (x )min ＝－2. ∴m ＜－2.12．已知关于x 的不等式(a ＋1)x －3x －1＜1.(1)当a ＝1时,解该不等式； (2)当a ＞0时,解该不等式．解原不等式可化为(a ＋1)x －3x －1－1＜0,即ax －2x －1＜0,等价于(ax －2)(x －1)＜0. (1)当a ＝1时,不等式等价于(x －1)(x －2)＜0, 所以1＜x ＜2,所以原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}． (2)因为原不等式等价于(ax －2)(x －1)＜0, 所以a ⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0, 因为a ＞0,所以⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0, 当2a ＞1,即0＜a ＜2时,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜2a ；当2a＝1,即a ＝2时,解集为∅；当2a ＜1时,即a ＞2时,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ＜x ＜1. 13．某工厂生产商品M ,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率．据市场调查,若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时,每年的销售量减少10P 万件,据此,问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元,求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P 值．解税率为P %时,销售量为(80－10P )万件,即f (P )＝80(80－10P ),税金为g (P )＝80(80－10P )·P %,其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.(2)∵f (P )＝80(80－10P ) (2≤P ≤6)为减函数,∴当P ＝2时,f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8,g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128,∴当P ＝4时,国家所得税收金额最高为128万元．。

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第三章章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a2．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N4．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．(12)a <(12)bC ．lg(a －b )>0 D.ab>16．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞) D．(－∞，3]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤189．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1010．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定11．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1C ．[1,8)D ．[8，＋∞)12．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－1C ．f (x )有最大值1D ．f (x )有最小值113．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________________________________________________________________________．14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(cc ＋a )≤18.19．(12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1.20．(12分)求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：第三章不等式章末检测答案(B)1．D [∵a <0，－10，ab 2<0. ∴ab >a ，ab >ab 2.∵a －ab 2＝a (1－b 2)＝a (1＋b )(1－b )<0， ∴a <ab 2.∴a <ab 2<ab .] 2．C3．A [∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3) ＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3 ＝(a －1)2＋2>0.∴M >N .] 4．B [∵x 2－ax －12a 2<0(a <0) ⇔(x －4a )(x ＋3a )<0 ⇔4a <x <－3a .]5．B [取a ＝0，b ＝－1，否定A 、C 、D 选项．故选B.]6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －＋1≥2x －1x －1＋1＝3.∴a ≤3.] 7．A [f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔－1≤x ≤1.]8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D.]9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时， u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝83.∴u ＝x ＋3y ∈[－8，83]．∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2sa ＋b， ∴T －2t ＝s a ＋b2ab －2s a ＋b ＝s ×a ＋b 2－4ab2ab a ＋b＝s a －b 22ab a ＋b>0，故选B.]11．D [M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·bc＝8. ∴M ≥8，当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．]12．D [∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)， ∴(x －1)2∈[0,4)， ∴f (x )＝(x －1)2＋1x －2－1≥2x －2·1x －2－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1x －2，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1.] 13．－2 解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2.14．－2<a ≤2解析当a ＝2时，－4<0恒成立，∴a ＝2符合．当a －2≠0时，则a 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝a －2＋a －解得－2<a <2.综上所述，－2<a ≤2. 15．5≤a <7解析先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．由图知：5≤a <7. 16．20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x )万元，400x·4＋4x ≥160，当1600x＝4x 即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋b ab又∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a －b >0，ab >0，∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .18．证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ac >0，∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc >0.∴abc a ＋b b ＋c c ＋a ≤18即(aa ＋b )·(bb ＋c )·(cc ＋a )≤18. 当且仅当a ＝b ＝c 时，取到“＝”．19．解不等式ax x －2>1可化为a －x ＋2x －2>0.∵a <1，∴a －1<0，故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为 {x |2<x <21－a}，当a <0时，原不等式的解集为 {x |21－a<x <2}．当a ＝0时，原不等式的解集为∅.20．解设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.21．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN ＝(x ＋2)米．∵DN AN ＝DCAM，∴AM ＝x ＋x ， ∴S AMPN ＝AN ·AM ＝x ＋2x，由S AMPN >32，得x ＋2x>32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝x ＋2x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24. 故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．22．解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3604x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥0y ≥0作出可行域如图.利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝3004x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．答生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．。