南京师大附中2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)

南京师大附中2019-2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.10y --=的倾斜角大小（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到1y =-，根据tan k θ==计算得到答案.10y --=，即1y =-，tan k θ==[)0,θπ∈，故3πθ=.故选：B .【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.2.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=A.2B.3C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4.已知251cos tan()3ααβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，即可得到结论. 【详解】因为α为锐角，且25cos α=， 所以25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==， 于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-， 又β为锐角，所以4πβ=.故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，属于基础题. 5.在ABC 中，若2cos sin sin B C A =，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】由题意,可知()sin sin A B C =+,展开并带入原式,可得到()sin 0B C -=,进而可判断出ABC 的形状. 【详解】由题意,()()sin sin πsin sin cos sin cos A A B C B C C B=-=+=+,则2cos sin sin cos sin cos B C B C C B =+⇔()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=,则B C =,即ABC 的形状是等腰三角形. 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换知识,考查了三角形的形状的判断,属于基础题. 6.过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用等面积法即可得到弦AB 的长.【详解】因为5OP =，半径1r OA ==，所以PA PB =由等面积法，即12AB OP OA AP ⋅=⋅，即22155OA AP AB OP ⋅⨯⨯===.故选：B.【点睛】本题考查圆的切线问题，与圆有关的几何问题，属于基础题.7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ） A. 01a << B. 1a =C. 12a <<D. 2a ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足sin b A a b <<，代入即可求得边长a 的取值范围.【详解】如图，2,30b A ==︒，垂线段11CB =，由正弦定理知，三角形有两个解，则满足sin b A a b <<，即12a <<. 故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题.8.直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 53(,]124B. 51(,]122C. 13(,]24D. 1[,)2+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9.若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ）A. 16B. 7C. 4-D. 7-【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求出圆2C 的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m 的值即可. 【详解】由题意，圆2C 可化简为22(4)(4)32(32)x y m m -++=-<，所以，圆2C 的圆心坐标()24,4C -，半径)232r m =<， 圆1C 的圆心坐标()11,0C ，半径11r =，所以，125C C ==，所以，51=或51=16m =或4-. 故选：AC.【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 10.下列命题中正确的有（ ） A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误； 对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确； 对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确；对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11.两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ） A. 3- B. 2-C. 1-D. 0【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线()20m x y m +-+=经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得m 的值，即可得到结论. 【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时0m =，此时不能构成三角形； 直线()20m x y m +-+=整理得：()()120m x x y ++-=，由1020x x y +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即直线()20m x y m +-+=经过定点()1,2--，当直线()20m x y m +-+=的斜率20k m =+=，即2m =-时，此时直线2y =-，0x y +=与x 轴不能构成三角形；当直线()20m x y m +-+=与直线0x y +=平行时，即3m =-时，三条直线不能构成三角形；综上：两直线()20m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交不能构成三角形的m 的取值为：0m =或2m =-或3m =-. 故选：ABD .【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定点的求法． 12.已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）A. 1B. 1-C. 3-D. 5-【答案】ACD【解析】 【分析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26<，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为________.【解析】 【分析】根据题意知，直线12,l l 为平行直线，则线段AB 的最小值为两平行直线间的距离. 【详解】由题知，2:210l x y +-=，即2:4220l x y +-=，故直线12,l l 为平行直线，则线段AB 的最小值为两平行直线间的距离d ==.. 【点睛】本题考查平行线之间的距离公式，属于基础题. 14.函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为________.【答案】1+【解析】 【分析】根据题意，将函数化简为()sin 223f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】由题意，())112cos sin sin 21cos 2sin 2223f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，最大值为：12+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图像和性质，属于基础题.15.已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】 (1). 2 (2). 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．16.在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =，则直线l 的方程为________.【答案】3y =- 【解析】 【分析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA =得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可.【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ， 将直线带入圆的方程得()221660kx kx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k⋅=+， 由2MB MA =，得122x x =，即2221k x k =+，1241kx k =+， 所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值. 【答案】（1）13.（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；（2）根据（1）得sin B =，利用三角形面积公式得3a =，再利用余弦定理即可. 【详解】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 设sin ak A=，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===， 带入cos cos 3cos c B b C a B +=，化简得sin 3sin cos A A B =， 因为,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈>>，所以1cos 3B =； （2）由（1）可知，sin 0B >，222sin 1cos B B =-=， 又1sin 2ABC S ac B ∆=，所以1222222ABC S a ∆=⋅⋅=，解得3a =.在△ABC 中，由余弦定理2222cos ac B a c b =+-， 即2221232323b ⨯⨯⨯=+-，解得3b =.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题. 18.（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【答案】（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可.【详解】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【点睛】本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.【答案】（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=.【解析】【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程；（2）根据题意，设()33,B t t +，则342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17BC k =-，即可得到BC 的直线方程. 【详解】（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即两直线的交点()0,1P -， 所以，直线AP 的斜率21310k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-.（2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点M 在直线2l 上， 即3421022t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --， 所以22131AB k --==--， 直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BC AB BC AB k k k k k k k k --=++， 即11133111133BC BC k k --=++，解得17BC k =-， 所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=-+，化简得7170x y ++=. 【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题.20.（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值； （2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域.【答案】（1）2425-；（2）5[,14-+. 【解析】【分析】（1）根据题意，直接平方即可得到结论；（2）根据题意，记sin cos t θθ+=，则2sin 21x t =-，将函数()f x 转化为2()1g t t t =+-，再利用二次函数即可得到结论. 【详解】（1）因为1sin cos 5θθ+=，所以221sin cos 2sin cos 25θθθθ++= 即 11sin 225θ+=，所以24sin 225θ=- （2）记sin cos t θθ+=，显然4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故t ⎡∈⎣， 将sin cos t θθ+=两边平方，得2sin 21t θ=-，故2215()()1(),[24f xg t t t t t ==+-=+-∈ 所以min 15()()24f xg =-=-，max ()1f x g == 所以()f x的值域为5[,14-+ 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，三角函数的图像和性质，二次函数求值域，属于基础题.21.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．【答案】（1）37AC =（2）26BD =【解析】【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin θ，根据正弦定理可求sin ∠ADB 35=，进而可求cos ∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值． （2）由（1）得：BD 2＝14﹣5θ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cos φ5=，sin φ5=，从而可求BD 的值． 【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅， 得21465cos BD θ=-，又5cos θ=25BD = ∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴225sin 1cos 155θθ⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sinADB =∠，解得：3sin 5ADB ∠=， ∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2θθ=+⨯-)()157sin 2cos 7sin2θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cos θ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos 5θ=-时，小路AC 百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 百米． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =.（1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）(2Q +或(2- ；（3）(22k ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为()222x y b r +-=，列方程解得即可； （2）根据题意，利用PO =得点Q 的轨迹方程为()()222224x t y t t -+-=，再利用两圆相切解得即可.（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设(01)CM d d =<≤，得圆M 的半径12M r AB ==，利用()20CP CM MP =+，表示出动点000(,)P x y 的轨迹为以()0,3C 为半径的圆的内部(含边界)，再利用点C 到直线l 的距离d >，解得即可.【详解】（1）设圆的方程为222()(0)x y b r r +-=>，将M ，N 坐标带入，得：2222220(2)1(3)b r b r ⎧+-=⎨+-=⎩，解得31b r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的方程为22(3)1x y +-=.（2）设(),Q t t ，(,)P x y ，由PO ==，化简得222(2)(2)4x t y t t -+-=，由题意，此圆与圆C21t =±，解得2t =± 所以(2Q ++或(2-（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设圆M 上有一动点000(,)P x y ，设(01)CM d d =<≤，则圆M 的半径12M r AB ==()()222001212||||cos CP CM MP d d CM MP CM MP θ=+=+-+⋅=+⋅⋅ ，其中θ为0CM MP ，的夹角，[0,]θπ∈.因为011[0,]2CM MP d ⋅=，所以0[0,CP ∈. 故点0P 在以(0,3)C 为半径的圆的内部(含边界)，所以点C 到直线l的距离d >>k ⎛∈ ⎝⎭. 【点睛】本题考查圆与方程，直线与圆的位置关系，阿波罗尼斯圆，隐圆问题，属于中档题.。