例析与圆有关的探索性问题

圆与学科内知识的综合
为了体现数学知识之间的相互联系，有利于学生感受数学的整体性，中考试题往往将圆与四边形和相似形以及三角函数等多个知识点进行叠加，从而使问题具有较强的综合性．请看下面的例题． 一、圆与相似相结合
例1 （2009年丽水市）如图1，已知在等腰△ABC 中，∠A =∠B =30°，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D ． （1）尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC 是过A ，D ，C 三点的圆的切线；
（3）若过A ，D ，C 三点的圆的半径为3,则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．
分析：（1）本题作法不唯一．△ACD 为直角三角形，我们知道直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，故只需作出AD 边的垂直平分线即可找到圆心；（2）欲证BC 为⊙O 的切线，只需证∠BCO =90°；（3）两相似三角形的对应关系不确定，诱发分类讨论．
解：（1）作出圆心O ，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆.
（2）证明：∵CD ⊥AC ，∴∠ACD =90°．
∴AD 是⊙O 的直径，连结OC ，∵∠A =∠B =30°，∴∠
ACB =120°．
又∵OA =OC ，∴∠ACO =∠A =30°，∴∠BCO =∠ACB －∠
ACO =120°－30°=90°. ∴BC ⊥OC ，∴BC 是⊙O 的切线． （3）存在．
∵∠BCD =∠ACB －∠ACD =120°－90°=30°，∴∠BCD =∠B , 即DB =DC ． 又∵在Rt △ACD 中，DC =AD 330sin =︒⋅，∴BD
①过点D 作DP 1// OC ，则△P 1D B ∽△COB ，
BO
BD
CO D P =
1，∵BO =BD +OD =32，∴
B
A
图1
A
B
C
D
P 1D =
BO BD ×OC =33
②过点D 作DP 2⊥AB ，则△BDP 2∽△BCO ，∴BC
BD
OC D P =2，∵BC ＝,322=-CO BO ∴133
32=⨯=⨯=OC BC
BD D P .
二、圆与四边形相结合
例2 （2009年德州市）如图3，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ． （1）求∠AEC 的度数；
（2）求证：四边形OBEC 是菱形．
分析：（1）易判定△AOC 是等边三角形，从而得∠AOC ＝60°，再利用圆周角与与圆心角的关系可求∠AEC ．（2）欲说明四边形OBEC 是菱形，已具备一组邻边相等：OB ＝OC ，只需再证明四边形OBEC 是平行四边形，即证OC ∥BD ，
CE ∥OB ．
解：（1）在△AOC 中，AC =2，∵ AO ＝OC ＝2， ∴ △AOC 是等边三角形，∴ ∠AOC ＝60°． ∴∠AEC ＝30°．
（2）∵l 为⊙O 的切线，∴OC ⊥l ，又BD ⊥l ，∴ OC ∥BD ． ∴ ∠ABD ＝∠AOC ＝60°．
∵ AB 为⊙O 的直径，∴ △AEB 为直角三角形，∠EAB ＝30°． ∴∠EAB ＝∠AEC ．∴CE ∥OD ． ∴ 四边形OBEC 为平行四边形．
又∵ OB ＝OC ＝2，∴ 四边形OBEC 是菱形． 三、圆与一元二次方程相结合
例3 （2009年梅州市）如图4，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ． （1）当E 是CD 的中点时：
①tan ∠EAB 的值为________； ② 证明：FG 是⊙O 的切线；
B
图3
（2）试探究：BE 能否与⊙O 相切?若能，求出此时DE 的长；若不能，请说明理由．
分析：（1）欲求tan ∠EAB ，可转化为求∠DEA 的正切值；（2）
欲证FG 是⊙O 的切线，可考虑连接OF ，证明FG ⊥OF ；（3）与（2）小题切线的判定不同，本小题较难直接判定BE 能或不能与⊙O 相切，正难则间，可采用倒推法，即先假设BE 能与⊙O 相切，并以此为条件进行探索，看是否能求出DE 的长，并以此作为BE 能否与⊙O 相切的判定依据． 解：（1）①∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEA ． 在Rt △ADE 中，DE ＝
12DC ＝12AB ＝52，tan ∠DEA ＝AD DE
＝6
5． ②在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCE ，又CE ＝DE ， ∴△ADE ≌△BCE ，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ，
连OF ，则OF ＝OA ，∴∠OAF ＝∠OFA ，∠OFA ＝∠EBA ，∴OF ∥EB ， ∵FG ⊥BE ，∴FG ⊥OF ，∴FG 是⊙O 的切线．
（2）若BE 能否与⊙O 相切，因AE 是⊙O 的直径，则AE ⊥BE ，∠AEB =30°， 设DE ＝x ，则EC ＝5－x ，由勾股定理得：AE 2+EB 2＝AB 2，即(9+x )2+[(5－x )]2＝25，整理得x 2
+－5x +9＝0．
∵b 2－4ac ＝25－36＝－11＜0，∴该方程无实数根． ∴点E 不存在，BE 不能与⊙O 相切． 四、圆与三角函数相结合
例4 （2009年武汉市）如图2，Rt ABC △中，∠ABC =90°，以AB 为直径作⊙
O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF =CF ，求tan ∠ACO 的值． 分析：（1）欲证直线DE 是⊙O 的切线，需连接OD ，证明∠ODE =90°，由已知∠ABC =90°，故可通过证明△ODE ≌△OBE ，从而有∠ODE =∠ABC =90°；（2）欲求tan ∠ACO ，需过O 作OH ⊥AC 于H ，再求OH 、CH 的比值． 解：（1）连接OD 、OE 、BD ．
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠CDB =∠ADB =90°．
图4
C
E
B
A
O
图5 F
D H
∵点E是BC的中点，∴DE=CE=BE．
∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE．
∴∠ODE=∠OBE=90°，∴直线DE是⊙O的切线．（2）作OH⊥AC于点H，
由（1）知，BD⊥AC，EC=EB．
∵OA=OB，∴OE∥AC，且OE=1
2 AC．
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．
∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF．∴DC=OE=AD．∴BA=BC，∴∠A=45°．
∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH．
∴CH=3OH，∴tan∠ACO=OH
CH
=
1
3
．。