2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测26文新人教A版!
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测46含答案
课时跟踪检测（四十六）1．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′（λ＞0），E，F分别是A′C′和AD的中点,且EF⊥平面A′BCD′.（1）求λ的值；(2)求二面角C－A′B－E的余弦值．解：以D为原点,DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设AA′＝AD＝2,则AB＝2λ,D（0,0，0），A′(2,0，2)，D′（0，0，2)，B（2，2λ，0)，C（0，2λ，0)，E（1,λ，2)，F(1，0，0）．（1)错误!＝（0，－λ,－2）,错误!＝（2，0,0)，错误!＝（0，2λ，－2），∵EF⊥D′A′，EF⊥A′B,∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0,即－2λ2＋4＝0，∴λ＝错误!。
(2）设平面EA′B的一个法向量为m＝（1，y，z），则错误!∵错误!＝（0，2错误!，－2)，错误!＝（－1,错误!，0），∴错误!∴y＝错误!，z＝1，∴m＝错误!.由已知得错误!为平面A′BC的一个法向量，又错误!＝（0，－错误!,－2)，∴cos〈m,错误!〉＝错误!＝错误!＝－错误!。
又二面角C－A′B－E为锐二面角，故二面角C－A′B－E的余弦值为错误!。
2．如图所示的几何体,四边形ABCD中，有AB∥CD,∠BAC＝30°，AB＝2CD＝2，CB＝1，点E在平面ABCD内的射影是点C，EF∥AC，且AC＝2EF.(1）求证：平面BCE⊥平面ACEF；（2）若二面角D－AF－C的平面角为60°，求CE的长．(1)证明：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 30°，解得AC＝错误!，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD,所以BC⊥EC.又AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF,所以平面BCE⊥平面ACEF.（2）解：因为EC⊥平面ABCD，又由(1）知BC⊥AC，所以可以以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测28文新人教A版
课时跟踪检测(二十八)[高考基础题型得分练]1．[2017·广东惠州二调]已知向量AB →＝(3,7)，BC →＝(－2,3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 答案：C解析：因为向量AC →＝AB →＋BC →＝(1,10)，则－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5，故选C.2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案：B解析：②中，e 1＝12e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35答案：A解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案：B解析：AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)， PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.6．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0 答案：B解析：∵a 与b 方向相反，∴b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.7．[2017·江苏杭州五校联盟一诊]已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，其中a ，b ，c ，A ，B ，C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：B解析：∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2与n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2，由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2，∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B2，∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2，化简得sin A 2＝sin B2.又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，可知A ＝B . 同理，由n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2与p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ，∴在△ABC 中，A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．故选B.8．[2017·河南八市质检]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 答案：C解析：如图，∵EC →＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0， 所以1a ＋1b ＝12.10．[2017·四川雅安模拟]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a－2b 与c 共线，则k ＝________.答案：1解析：∵a －2b ＝(3，3)，且(a －2b )∥c ， ∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.11．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.答案：－3解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)，由题意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南长沙调研]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案：A解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.2．[2016·江西南昌十校联考]已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)答案：B解析：∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B.3．[2017·甘肃兰州一中期中]如图所示，两个不共线向量OA →，OB →的夹角为θ，M ，N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在线段MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.24 B.18 C.22 D.12答案：B解析：∵M ，N ，C 三点共线，∴存在实数t 使得NC →＝tNM →(0≤t ≤1)，∴OC →＝ON →＋NC →＝ON →＋tNM →＝ON →＋t (OM →－ON →)＝(1－t )ON →＋tOM →＝1－t 2OA →＋t 2OB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t2，y ＝t2，∴x 2＋y 2＝1－t2＋t24＝14(2t 2－2t ＋1)(0≤t ≤1)． 令f (t )＝2t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，函数f (t )图象开口向上且以t ＝12为对称轴，∵t ＝12∈[0,1]，∴f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. ∴(x 2＋y 2)min ＝14×12＝18，故选B.4．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案：45解析：解法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得 AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎪⎫AD → ＋12AB →＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又AB →，AD →不共线，∴由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.∴λ＋μ＝45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，即AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23.(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．6．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知，得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4) ＝(0,20)，即M (0,20)．又CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4) ＝(9,2)，即N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测61 文 新人教A版
课时跟踪检测(六十一)[高考基础题型得分练]1．(2017·海南海口模拟)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解答下列问题．(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．解：(1)由题意可知，样本总人数为80.16＝50，∴b＝250＝0.04，∴y ＝b10＝0.004，a ＝16，x ＝0.032.(2)①由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y . 从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共9种情况．∴P (E )＝915＝35.②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，XY ，共7种情况．∴P (F )＝715.2．某足球队两名主力队员各进行了5组罚点球训练，每组罚10次，罚中次数如下表：场？(2)若从这两名队员的5组中各随机抽取一组分析罚点球的技术和心理因素，求选出的一组中甲恰好罚中次数多于乙的罚中次数的概率．解：(1)计算甲、乙的罚中次数的平均值得x 甲＝6＋5＋7＋9＋85＝7，x乙＝4＋8＋9＋7＋75＝7，所以两人罚中次数的平均值相等，s 2甲＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝2，s 2乙＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝145，s 2甲<s 2乙，甲罚中次数的方差较小，相对更稳定，应派甲队员出场．(2)记甲队员的5组次数分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，乙队员的5组次数分别为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，随机抽取各一组所有可能的情况有25种，分别为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，B 5)，(A 2，B 1)，…，(A 5，B 5)，其中甲恰好罚中次数多于乙的罚中次数的有(A 1，B 1)，(A 2，B 1)，(A 3，B 1)，(A 4，B 1)，(A 5，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 4)，(A 4，B 5)，(A 5，B 4)，(A 5，B 5)，共10种情况，故所求概率为P ＝1025＝25.3．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.[冲刺名校能力提升练]1．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是抛掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4), 所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝316.2．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解：(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x－y|<0.8，得x－0.8<y<0.8＋x，如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P (|x －y |<0.8)＝P (x －0.8<y <0.8＋x )＝4.163×3＝104225.3．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率． 解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}， 可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}， 因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－4，－6)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种， 故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45.(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)，共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测70含答案
课时跟踪检测(七十)1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R,结论是：a2〉0，那么这个演绎推理出错在( ）A．大前提 B．小前提C．推理过程D．没有出错答案：A解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为大前提是：任何实数的平方都大于0，是不正确的．故选A。
2．观察（x2）′＝2x,（x4）′＝4x3，（cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x)满足f(－x）＝f(x），记g(x）为f（x）的导函数,则g（－x)＝( ）A．f（x）B．－f(x）C．g(x）D．－g(x）答案:D解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x）＝－g(x）．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…,则式子3⊗5是第（)A．22项B．23项C．24项D．25项答案：C解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个,和为5的有4个，和为6的有5个,和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项,所以为第24项，故选C.4．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a〈b.证明:∵∠A＝30°，∠B＝60°,∴∠A〈∠B。
∴a〈b。
其中,画线部分是演绎推理的( )A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论答案：B解析：由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提．5．将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录k（k≤n)个点的颜色，称为该圆的一个“k阶色序",当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某国的任意两个“k阶色序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆"．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（）A．4 B．6C．8 D．10答案：C解析：因“3阶色序”中每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2×2×2＝8种,一方面,n个点可以构成n个“3阶色序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个;另一方面，若n＝8，则必须包含全部共8个“3阶色序”，不妨从(红，红，红）开始按逆时针确定其它各点颜色，显然(红，红,红，蓝，蓝，蓝，红，蓝）符合条件．故“3阶魅力圆”中最多有8个等分点，故选C.6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199答案：C解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测52文新人教A版.
课时跟踪检测(五十二)[高考基础题型得分练]1．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3答案：B解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上， ∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 答案：C解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1， 过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)， 与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)， ∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12³4³23＝4 3.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为12时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1)答案：A解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝12x ＋b ，过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m 得2x 2＋2x －m ＝0，从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－12.①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ＋1在直线l 上， 即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －54，将m ＝b －54代入①得b ＞34，所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →²OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案：B解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1， 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →²OB →＝－13.同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →²OB →＝－13.5．[2017²河北唐山统考]平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14 D ．－2答案：B解析：设AB 的中点为G ，由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得x 1－x 2 x 1＋x 2 4＝－ y 1－y 2 y 1＋y 22，整理得x 1＋x 22 y 1＋y 2 ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12， 又G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B.6．[2017²贵州安顺月考]在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0， 令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →²MB →＝0，则k ＝________.答案：2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →²MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线， 所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边， 所以△AMG ≌△AMF ， 所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°， 则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.8．[2017²辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案：553解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 x －1 ，x 25＋y24＝1消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2] ＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4³0＝553. 9．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________．答案：52解析：由双曲线的方程可知， 渐近线方程为y ＝±a bx .∵经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点， ∴此直线与渐近线y ＝a bx 平行， ∴a b＝2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52. [冲刺名校能力提升练]1．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132D ．8答案：A解析：不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则点B 在x 轴的上方，过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1， 于是有|BF |＝|BB 1|＝3， |AF ||AB |＝p|BB 1|， 由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223， tan θ＝sin θcos θ＝22，则直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，故选A.2．[2017²陕西西安中学模拟]如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →²DC →＝________.答案：－1解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB →＝(1,0)，DC →＝(－1,0)， 所以AB →²DC →＝－1.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1. 又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1， 所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切， 所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1.①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题意可知此方程有唯一解， 此时Δ＝1－mk ＝0， 即mk ＝1.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 4．[2017²贵州联考]已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ， a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1.①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， ∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12) ＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程， 得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 此时x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2.|x 1－x 2|＝43 12k 2＋9－b 23＋4k 2， ∴|MN |＝1＋k 2³43 12k 2＋9－b 23＋4k2＝46²1＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2， ∵3＋4k 2≥3，∴1<1＋13＋4k 2≤43，即26<26²1＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得，弦长|MN |的取值范围为[26，4 2 ]． 5．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解：(1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )． 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上⎝ ⎛⎭⎪⎫B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－334，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，334.。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测31文新人教A版
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－1n＋12 B ．cos n π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案：D解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 答案：D解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数的性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.3．已知数列{a n }，a 1＝－14，a n ＝－1a n －1＋1(n >1)，则当a n ＝－14时，n 的值可以为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：C解析：由题意，得a 1＝－14，a 2＝－43，a 3＝3，a 4＝－14，…，则a 3m －2＝－14(m ∈N *)，a 16＝－14，故选C.4．[2017·河北保定调研]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1) 答案：A解析：解法一：由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 解法二：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n－1. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 答案：A解析：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2，∴a 6＝3×46－2＝3×44，故选A.6．[2016·云南一模]在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )A.56B.52C.72 D ．5答案：C解析：因为a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，即数列{a n }是周期数列，周期为4，则a 2 016＋a 2 017＝a 4＋a 1＝3＋12＝72，故选C.7．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案：D解析：由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案：D解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案：6116解析：由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案：1n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 11．[2017·山西四校第二次联考]已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 016＝________.答案：3×101 008－3解析：因为a n ·a n ＋1＝2n，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＋2a n＝2，因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列．从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3×21008－3.12．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·山西四校联考]已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016＝( )A ．1B ．4 018C ．2 010D ．0答案：D解析：依题意，该数列为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009,1，…，按此规律，可知该数列的周期为6，且这6项之和为0.所以这个数列的前2 016项之和S 2 016＝S 336×6＝S 6＝0.2．[2017·湖北宜昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，若数列{a n }满足a n ＝f (n )，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3C ．(2,3)D ．(1,3) 答案：C解析：由已知得a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，若数列{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a ×7－3<a 8－6，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．3．[2016·北京海淀期末]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7.4．[2016·江西南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．答案：2解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2. 5．[2017·甘肃天水一模]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n.求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，①∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.6．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测50Word版含答案
课时跟踪检测(五十)1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．以上三个选项均有可能 答案：C解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案：B解析：将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.3．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A.2－1或－2－1 B ．1或－3 C ．1或－ 2 D. 2答案：B解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. 较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2. 即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 4．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11答案：C解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ， 从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.5．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在答案：A解析：由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝1，∴sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2， ∴点O 到直线l 的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角△OMP 中，∠OPM ＝30°， ∴直线l 的倾斜角为150°，故选A.6．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案：A 解析：如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|OA |sin ∠AOP ＝ 3.7．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2答案：D解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22， 因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 8．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0答案：C解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)， 所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)， 所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.9．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.答案：5解析：解法一：由已知得，圆心C (0,2)，半径r ＝5， △ABC 是直角三角形，|AC |＝－2＋－2＝10，|BC |＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝5.解法二：CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →， 由于|BC |＝5，AB ⊥BC ， 因此CA →·CB →＝5＋0＝5.10．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案：4±15解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3， 于是有|a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 12．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案：x ＋y －3＝0解析：依题意得，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大， 此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1， 因此所求直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．3或－5 D ．－3或5答案：C解析：解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x －a 2＋y －2＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0， 则由题意可得Δ＝2－4×2×(a 2－7)＝0， 整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.解法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切知，圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋－2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.2．在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.3π4答案：B解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.3．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当直线l 的斜率k 存在时，如图，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线x －2y ＋5＝0上的动点，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．答案：2解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0， 过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ， 易知此时|PA |的值最小． 由点到直线的距离公式，得 |OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5. 又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.5.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值．解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)， 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×＝4×(5＋24＋d 21d 22)． 因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3， 所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时等号成立， 所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测31 Word版含解析
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]．数列，－，－，…的一个通项公式是等于( )．．π．π答案：解析：令＝，…，逐一验证四个选项，易得正确．．设＝－＋－，则数列{}中的最大项的值是( )．．答案：解析：∵＝－＋，由二次函数的性质，得当＝或时，最大，最大值为.．已知数列{}，＝－，＝－(>)，则当＝－时，的值可以为( )．．．．答案：解析：由题意，得＝－，＝－，＝，＝－，…，则－＝－(∈*)，＝－，故选.．[·河北保定调研]在数列{}中，已知＝，＋＝＋，则其通项公式为＝( )．－＋．－．(－)．－答案：解析：解法一：由＋＝＋，可求＝，＝，＝，…，验证可知＝－.解法二：由题意知＋＋＝(＋)，∴数列{＋}是以为首项，为公比的等比数列，∴＋＝，∴＝－.．数列{}的前项和为，若＝，＋＝(≥)，则＝( )．×＋．×．＋．答案：解析：当≥时，＋＝，则＋＝＋，∴＋－＋＝＋－＝＋，即＋＝＋，∴该数列从第项开始是以为公比的等比数列．又＝＝＝，∴＝(\\(，＝，×－，≥，))∴＝×－＝×，故选.．[·云南一模]在数列{}中，＝，＝，＋＝，则＋＝( )．答案：解析：因为＝，＝，＋＝，所以＝，＝，＝，＝，即数列{}是周期数列，周期为，则＋＝＋＝＋＝，故选.．在数列{}中，已知＝，＝，＋等于＋(∈*)的个位数，则＝( )．．．．答案：解析：由题意得＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.所以数列中的项从第项开始呈周期性出现，周期为，故＝×＋＝＝.．已知数列{}满足＋＝－－(≥)，＝，＝，记＝＋＋…＋，则下列结论正确的是( )．＝－，＝．＝－，＝．＝－，＝。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测21文新人教A版
课时跟踪检测(二十一)[高考基础题型得分练]1．[2017·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112sin 30°＝4. 2．[2017·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D.817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[2017·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12 B.23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知，得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[2017·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12等于( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝ tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3 ＝－2 3.5．[2016·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ ＝cos ( π12－θ )＝13.6．[2017·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[2016·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58.8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ( α－π4 ) ＝－2×24×144＝－74， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9．[2017·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.10．[2017·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)，得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23 B.43 C.34 D.32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[2017·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B.1＋538 C.1－358D.1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．[2017·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．[2017·河北承德二模]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (2B )的取值范围．解：f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由余弦定理及a cos C ＋c2＝b ，可得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴π3<B ＋π6<2π3， 又f (2B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋12，∴1＋32<f (2B )≤32.∴f (2B )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1＋32，32.。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测23Word版含解析
课时跟踪检测(二十三)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C. 2．[2017·山东济南模拟]将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin 2x ＋2 C ．y ＝cos 2x D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 3．[2017·辽宁丹东二模]函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π8 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π16 答案：B解析：由题中图象可知，该函数的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2ππ＝2.又当x ＝π8时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以所求函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选B.4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．－ 3 B.33 C ．1 D. 3 答案：D解析：由题意可知，该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关 答案：C解析：π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．[2017·广西第一次质检]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15答案：B解析：由题图可以判断|A |<1，T >2π，|ω|<1.f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．7．[2017·河北承德一模]已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8．[2017·山西太原模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫w >0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象， 又g (x )的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2， ∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案：22 解析：―――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6 解析：据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12， 故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 11．[2017·辽宁抚顺一模]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2，点P (x 1,4)和Q (x 2,4)是函数f (x )图象上相邻的两个最高点，且|x 1－x 2|＝π，x ＝π3是函数f (x )的一个零点，则使函数f (x )取得最大值的最小正数x 0的值是________．答案：π12解析：由题意，可得A ＝4，2πω＝π， 所以ω＝2，f (x )＝4sin(2x ＋φ)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， 又0≤φ≤π2，所以φ＝π3，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.再根据sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝1，可得最小正数x 0＝π12.12．[2017·皖北协作区联考]已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称． 答案：①③④⑤解析：f (x )＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确； 将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0， 所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3， 另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，⑤正确． [冲刺名校能力提升练]1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数 D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象 答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确； 把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错．2．[2017·江西南昌一模]如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )A B C D答案：C解析：如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称， 所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ， 所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B,2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 则x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T 2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x N －x M |＝T 2＝πω(常数)，故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32 答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4≤πω，即ω≤12， 令k ＝0，得ω＝143.5．[2017·重庆巴蜀中学一模]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若关于x 的方程g (x )－(2m ＋1)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6.(2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，方程g (x )－(2m ＋1)＝0有两个解可看成函数y ＝g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2和函数y ＝2m ＋1的图象有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y ＝g (x )的图象有两个交点，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.。
高中数学 课时跟踪检测(二十六)对数函数的图象和性质 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学
课时跟踪检测（二十六） 对数函数的图象和性质A 级——学考水平达标练1．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44＜log 0.46 B ．1.013.4＞1.013.5C ．3.50.3＜3.40.3D ．log 76＜log 67解析：选D 因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44＞log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C 错．2．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：选D ∵0＜a ＝2-13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .故选D.3．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )解析：选A 函数的定义域为(－∞，1)，排除B 、D ，函数f (x )＝log 2(1－x )在定义域内为减函数，排除C ，故A 正确．4．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B ．12C ．2或12D ．3解析：选B 法一：函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝log a x 的图象过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.法二：∵函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，∴函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象过点(a ，a )，∴a a＝a ＝a 12，即a ＝12.5．若点(a ，b )在函数f (x )＝ln x 的图象上，则下列点中，不在函数f (x )图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－b B ．(a ＋e,1＋b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e a，1－bD ．(a 2,2b )解析：选B 因为点(a ，b )在f (x )＝ln x 的图象上，所以b ＝ln a ，所以－b ＝ln 1a，1－b ＝ln e a，2b ＝2ln a ＝ln a 2，故选B.6．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________． 解析：由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数， ∴函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为(－∞，2)． 答案：(－∞，2)7．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，4－x ＞0得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln[－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)． 答案：(1,4)8．已知函数y ＝log a (2－ax )(a >0，且a ≠1)在[0,1]上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：令u ＝2－ax ，则y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，由题意知y ＝log a u 在[0,1]内递增，所以a ＞1.又u ＝2－ax 在x ∈[0,1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2.综上，1＜a ＜2.答案：(1,2)9．比较下列各组数的大小 (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65；(3)3log 45与2log 23；(4)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)法一：∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1. ∴log 45>log 65.法二：画出y ＝log 4x 和y ＝log 6x 在同一坐标系中的图象如图所示，由图可知log 45＞log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log 2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23. (4)∵a ＋2＜a ＋3，故①当a ＞1时，log a (a ＋2)＜log a (a ＋3)； ②当0＜a ＜1时，log a (a ＋2)＞log a (a ＋3)．10．已知f (x )＝|lg x |，且1c＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小．解：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图象(如图)，由图象可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f1c＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )．B 级——高考水平高分练1．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a ＞0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )解析：选A f (x )＝(k －1)a x－a －x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)＝(k －1)a－a 0＝k －2＝0，∴k ＝2.∵f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，∴g (x )＝log a (x ＋k )的图象是选项A 中的图象．2．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 3．是否存在实数a ，使函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解：存在．设u ＝g (x )＝ax 2－x ，则y ＝log a u .假设符合条件的a 值存在． (1)当a ＞1时，只需g (x )在[2,4]上为增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a≤2，g (2)＝4a －2＞0.解得a ＞12.∴a ＞1.(2)当0＜a ＜1时，只需g (x )在[2,4]上为减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4，g (4)＝16a －4＞0.无解．综上所述，当a ＞1时，函数y ＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数． 4．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－a x，其中0＜a ＜1.(1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )＞1，求x 的取值X 围．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，不妨令0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－a x，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2，∵0＜a ＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴g (x 1)－g (x 2)＜0， ∴g (x 1)＜g (x 2)，∴g (x )为增函数，又∵0＜a ＜1，∴f (x )是(a ，＋∞)上的减函数．(2)∵log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－a x ＞1，∴0＜1－a x＜a ， ∴1－a ＜a x＜1.又∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0， ∴a ＜x ＜a1－a，∴x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 1－a .5．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q 与森林面积S 的关系是Q ＝50log 2S10.(1)若要保证森林具有净化效果(Q ≥0)，则森林面积至少为多少个单位？ (2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？ 解：(1)由题意，当Q ＝0时，代入关系式可得0＝50log 2S10，解得S ＝10，因为Q 随S 的增大而增大，所以当Q ＞0时S ≥10. 所以森林面积至少有10个单位． (2)将S ＝80代入关系式， 得Q ＝50log 28010＝150，所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测6文新人教A版
课时跟踪检测(六)[高考基础题型得分练]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案：D解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故既不是奇函数，也不是偶函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1 D ．7答案：A解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案：B解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x－1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，故选B. 4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案：C解析：∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的最小正周期为π.5．[2017·湖北荆州模拟]已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1答案：D解析：因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3 x－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝1－ 3. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案：A解析：由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98答案：A解析：∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.8．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，若f (1－a )＋f (1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．答案：(1，2)解析：由题意知，函数f (x )为奇函数，在(－1,1)上单调递减，由f (1－a )＋f (1－a 2)>0，得f (1－a )>f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1，解得1<a < 2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝________.答案：－1解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，所以当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)，则f (x )＝－f (－x )＝－2－x－15.因为f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期为4的周期函数．而4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2 －(log 220－4)－15＝－242log 220－15＝－1. 10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．答案：f (1)>g (0)>g (－1)解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．11．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案：－32解析：函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )， 即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax，整理得e 3x＋1＝e2ax ＋3x(e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·陕西西安模拟]设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 答案：C解析：由f (2－x )＝f (x )可知，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 2．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2答案：A解析：∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 014)＝f (2)＝2.3．[2016·广东惠州三调]如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12答案：A解析：由题中图象知，f (x )＝0有3个根0，a ，b ，a ∈(－2，－1)，b ∈(1,2)，g (x )＝0有3个根0，c ，d ，c ∈(－1,0)，d ∈(0,1)，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或a ，b ，由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根，因而m ＝9；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝0或c ，d ，由图象可以看出0时对应有3个根，d 时有4个，c 时只有2个，加在一起也是9个，即n ＝9，∴m ＋n ＝9＋9＝18，故选A.4．[2017·内蒙古包头模拟]若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t(t ＞0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．答案：2解析：由题意，f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t ＝t ＋2x ＋sin x x 2＋t ，显然函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋t是奇函数， ∵函数f (x )最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4， ∴M －t ＝－(N －t )，即2t ＝M ＋N ＝4，∴t ＝2.5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数， 且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|， 所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测20Word版含答案
课时跟踪检测(二十)1．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：D解析：原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23 C ．－12D ．1 答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.3．设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b答案：D解析：由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b .4．设当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A ．－55B ．55 C ．－255D ．255答案：C解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －α)，其中sin α＝255，cos α＝55，因为当x ＝θ时，函数y ＝sin x －2cos x 取得最大值，所以sin(θ－α)＝1， 即sin θ－2cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，联立方程组可得cos θ＝－255，故选C.5．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23答案：D解析：依题意，得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α，则sin 2α的值可以为( )A ．－12或1B ．12 C ．34 D ．－34答案：A解析：解法一：由已知得22(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2α，∴sin α＋cos α＝22或sin α－cos α＝0，解得sin 2α＝－12或1.解法二：由已知得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12或sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝0， 则sin 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×14－1＝－12或sin 2α＝1.7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4答案：A解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， 故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， 故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22， 且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.8．计算2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.答案： 3 解析：原式＝－－sin 20°sin 70°＝＋－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.9．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案：17250解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. 10．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．答案：12解析：解法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.11．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．答案：13解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β ＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C ．35D ．－35答案：C解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得， sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得，cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，②由①②可得，cos α＋sin α＝－15，③由①③可得，sin α＝35.2．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4＜βB ．β<π4<αC ．π4<α<βD ．π4<β<α答案：B解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.3．3cos 10°－1sin 170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4答案：D 解析：3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝－12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4.4.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.答案：－3π4解析：因为tan α＝tan＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13<1，所以0<α<π4.又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34<1， 所以0<2α<π4，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.因为0<β<π，所以－π<2α－β<π4，所以2α－β＝－3π4.5．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314⎝ ⎛⎭⎪⎫0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值； (2)求β的值．解：(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α ＝－2×－3212＝2 3.。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测33文新人教A版
课时跟踪检测（三十三）［高考基础题型得分练］1. 在等比数列｛a n｝中，如果a i+ a4= 18, a?+ a3= 12,那么这个数列的公比为（）1A. 2 B<2C. 2 或1D.—2 或1答案：Ca1 + a4解析：设数列｛a n｝的公比为q,由比+ & =2. [2017 •湖北宜昌模拟]在等比数列｛a n｝中，若a1—3, a4—24,则a3 + a4+ a5 —( )A. 33B. 72C. 84D. 189答案：C3 ^&4 2 3 4解析：由已知，得q——8，解得q—2，则有 & + a4+ a5—a«q + q + q ) —3X (4 + 8 + 16）—84.3. 已知x, y, z € R,若一1, x, y, z，—3成等比数列，则xyz的值为（）A. —3B.±3C.—3 3D.±3 3答案：C解析：由等比中项知y2—3,「. y —± , 3,又T y 与一1, — 3 符号相同，y ——;3, y —xz,所以xyz —y3——3,3.4. ［2017 •河北衡水模拟］已知正数组成的等比数列｛a n｝,若a©。
—100,则a7+ a14的最小值为（)A. 20B. 25C. 50D.不存在答案：A解析：2(a7 + 弘)—2 2a7 + an + 2a?a14》4a?a14—4a1a2o—400,. • a7+ a14》20.n—1 1 21 —q + q —18 —q —12,1 得q—2或q—勺a1 1 + q3_ a1 q+ q —1 + q3 1 + q 1—q+q2 q+q2 —q 1 + q15. ［2017 •山东临沂模拟］已知等比数列｛a n｝的前n项和为S—a・2 —+石，则a的值为21 2———1 n 时，a n = S n — S n -1 = a ^2 1 — a ・2“ 2= a ・2“ 2,当 n = 1 时，a 1 = S = a +7,61• a =— 3.6. [2017 •河北高三联考]古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织, 日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天 的2倍，已知她5天共织5尺，问这女子每天分别织布多少？ ”根据上题的已知条件,1 一2 = 5，解得 x = 31, •••前n 天所织布的尺数为鲁(2 n — 1).5由31(2n — 1) >30,得2n > 187,贝y n 的最小值为8. 3 17. [2017 •浙江杭州第二次质检]已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， 且满足号+|= 2 + 2,齐 ¥= 4 + 4，则 a 1a 5 =( )2 a 1 a 2 4 4 a s a 4答案：C解析：设数列｛a n ｝的公比为q ,由题意知q >0._ 4 a 3a 4A •— 3B.D.答案: 解析: 若要使织布的总尺数不少于30,该女子所A. 7C. 9 10答案:解析: 设该女子第一天织布 x 尺,A. 24 2B. 8C. 8 2D. 16a 1 a 2 a 1 + a 2'2 + 2 =2 22 = a 1+ a 2=a 1 + a 2 a©'••• a i a 2= 4,q = 2,1同理，a® = 16,.・.q =牯=4,又a s a4= a3q= 16,二a2= 8,2, •- a£5= a3 = 8 2，故选C.2&设各项都是正数的等比数列 ｛a n ｝ ,S 为前n 项和，且So = 10,S 30= 70，那么 5=( )A. 150B.— 200C. 150 或—200D. 400 或—50答案：A解析：依题意，数列So , S 20— S o , S — S 20, So — S 30成等比数列，因此有(S 20— S o )2= S o ( S —S 20).2即(S 20— 10) = 10(70 — S 。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测44 含
课时跟踪检测(四十四)1．点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6,1) D ．(－8，－6,1)答案：A解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．2．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断 答案：B解析：因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．3．在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直 答案：B 解析：由题意得， AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点，∴AB ∥CD .4．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案：B解析：由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．5．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案：C解析：∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0， ∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．6．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 答案：C解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，所以AE →·CD →＜0. 又因为AE →·BC →＝0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →.7．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．43 C.53 D ．75答案：D解析：由题意，得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.8．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．答案：(0，2，3) 解析：由题意知，点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)．9．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|＝________. 答案：773解析：设P (x ，y ，z )， ∴AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773.10．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案：60°解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10， 即2a·c ＋b·c ＝－10. 又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.1．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2 C.14a 2 D ．34a 2 答案：C解析： 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a·c ＋b·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，∵A 1M ＝AN ＝23a ， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，23a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．答案：解析：由题意，设BP →＝λBD 1→， 其中λ∈，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →) ＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→ ＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →) ＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈． 因此DC →·AP →的取值范围是．4.已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.5．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝ 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.6．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解：假设存在满足条件的点G ，设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测29 Word版含答案
课时跟踪检测(二十九)．已知＝，＝，向量在方向上的投影是，则·＝( )．．．．－答案：解析：∵〈，〉＝，＝，∴·＝〈，〉＝×＝.．已知向量，满足·＝，＝，＝，则－＝( )．．．．答案：解析：－＝＝＝＝.．已知＝(，－)，＝()，且∥，则＝( )．．．．答案：解析：∵∥，∴＝，解得＝－，∴＝(－)，∴＝＝.故选.．向量，满足＝，＝，(＋)⊥(－)，则向量与的夹角为( )．°．°．°．°答案：解析：∵(＋)⊥(－)，∴(＋)·(－)＝，∴－·＋·－＝，∴·＝，∴向量与的夹角为°.故选.．已知向量＝()，＝(，－)．若向量满足(＋)∥，⊥(＋)，则＝( )．．答案：解析：设＝(，)，则＋＝(＋，＋)，＋＝(，－)．又(＋)∥，∴(＋)＋(＋)＝.①又⊥(＋)，∴(，)·(，－)＝－＝.②联立①②，解得＝－，＝－.．如图，已知点是边长为的正三角形的边上的动点，则·(＋)( )．为定值．最大值为．与的位置有关．最小值为答案：解析：设的中点为，连接，，的夹角为θ，则有·(＋)＝·＝·(θ)＝＝.．对任意向量，，下列关系式中不恒成立的是( )．·≤．－≤－．(＋)＝＋．(＋)·(－)＝－答案：解析：根据·＝θ，又θ≤，知·≤，恒成立．当向量和方向不相同时，－>－，不恒成立．根据＋＝＋·＋＝(＋)，恒成立. 根据向量的运算性质，得(＋)·(－)＝－，恒成立．．已知向量⊥，＝，则·＝.答案：解析：因为⊥，所以·＝.所以·＝·(＋)＝＋·＝＋＝＝.．已知向量，，其中＝，＝，且(－)⊥，则向量和的夹角是．答案：解析：设向量和的夹角为θ，由题意知，(－)·＝－·＝，∴－θ＝，解得θ＝，∴θ＝.．已知(－，θ)，( θ，)，若＋＝－(为坐标原点)，则锐角θ＝.答案：解析：解法一(利用几何意义求解)：由已知可知，＋是以，为邻边作平行四边形的对角线向量，－则是对角线向量，于是对角线相等的平行四边形为矩形．故⊥.因此·＝，∴锐角θ。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测26含解析
课时跟踪检测（二十六）[高考基础题型得分练]1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，（2b－c）cos A－a cos C＝0.（1）求角A的大小；(2)求函数y＝3sin B＋sin错误!的最大值．解：(1）在△ABC中，由正弦定理，得(2sin B－sin C）cos A－sin A cos C＝0，即2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A，∴2sin B cos A＝sin（A＋C）＝sin B。
又sin B≠0，∴cos A＝1 2，又0〈A〈π，∴A＝错误!。
(2)由(1)知，A＝错误!，∴在△ABC中，B＋C＝2π3,且B∈错误!.y＝错误!sin B＋sin错误!＝3sin B＋sin错误!＝3sin B＋cos B＝2sin错误!。
又B ∈错误!，∴B ＋错误!∈错误!,∴sin 错误!∈错误!，∴2sin 错误!∈（1，2］．故函数y ＝错误!sin B ＋sin 错误!的最大值为2.2．[2017·山东日照模拟］已知在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且函数f (x ）＝2cos x sin （x －A )＋sin A 在x ＝错误! 处取得最大值．(1)当x ∈错误!时，求函数f (x ）的值域；（2)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝错误!，求△ABC 的面积．解：∵f （x )＝2cos x sin （x －A ）＋sin A＝2cos x ·sin x cos A －2cos x cos x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin （2x －A ），又函数f (x )在x ＝错误! 处取得最大值，∴2×错误!－A ＝2k π＋错误!,其中k ∈Z ,解得A ＝π3－2k π，其中k ∈Z 。
（1）∵A ∈(0,π）,∴A ＝错误!,又x ∈错误!，∴2x －A ∈错误!，∴－错误!<sin （2x －A ）≤1,即函数f（x)的值域为错误!.（2)由正弦定理，得错误!＝错误!，则sin B＋sin C＝错误!sin A，即错误!＝错误!×错误!，∴b＋c＝13.又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c）2－2bc－2bc cos A，即49＝169－3bc，∴bc＝40。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测23文新人教A版
课时跟踪检测（二十三）［高考基础题型得分练］答案：A解析：令 x = 0,得 y = sin j - -3，排除 B, D.由 f i —号=0, f i 6 = 0,排除n2. ［2017 •山东济南模拟］将函数y = cos 2x + 1的图象向右平移 —个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A. y = sin 2 xB. y = sin 2 x + 2 (nC. y = cos 2 x D . y = cos 2x — "4 答案：A解析：将函数y = cos 2x + 1的图象向右平移"4个单位得到y = cos 2 x —亍+ 1 = sin 2x +1，再向下平移1个单位得到y = sin 2 x ,故选A.象如图所示，则此函数的解析式为（）C.3. ［2017 •辽宁丹东二模］函数 y = 2sin( 3 x + 0 ) n 在一个周期内的图n 上的简图是（2普 /.-2...........A. y = 2sin 2x -；4 B . y = 2sin 2x + 才f 3n、次 7 n、C. y = 2sin x +育D. y = 2sin㊁+肓答案：B解析：由题中图象可知，该函数的最小正周期T = 2X——= n ，所以3 = ---------- =I 88丿n2.又当 x = 时，2sin i 2X ~8 + $ = 2, 即 sin 庁 + $ = 1,所以 4 + $ = -2 + 2k n , k € Z ,n解得 $ = — + 2k n, k € Z ,又因为I $ |< n ，所以$ =4，所以所求函数解析式为 y = 2sin 2x + n ，故选B.ni' n i4.函数f (x ) = ta n 3 x ( 3 >0)的图象的相邻两支截直线 y = 2所得线段长为 ~，则f i g=( )A — ' 3 B.-^3C. 1D. 3 答案：D解析：由题意可知，该函数的周期为n ,n n「・—=~, 3 = 2, f(x) = tan 2 x.3 2•••f n = tan n =33 n3 x + $ )( A> 0, 3 > 0)在X =T 时，取最大值 A,在x =~^时，取4 f (x ) = sin5 答案：B解析：由题图可以判断I A <1 , T >2 n , | 3 |<1. f (0)>0 , f ( n )>0 , f (2 n )<0，只有选项B 满足上述条件.2,则3的取值范围是()5.设函数y = A sin( 最小值一A 则当x = 7t时，函数y 的值(A.仅与3有关B. 仅与$有关C.等于零D.与$ , 3均有关答案：Cn 3 nT + T 解析：一2— n ,根据函数y = A sin( 3 x + $ )的图象可知，当x = n 时，函数y 的 值为0.故选C.C.4f (x )= 5sin2 1 2x 飞 D. 7. [2017 •河北承德一模]已知函数f (x ) = 2sin3 x在区间匕，亍上的最小值为-A.B.6. [2017 •广西第一次质检]已知函数f (x ) = A sin( 3 x + $ )的图象如图所示，则该函A. _ ；U[6 ,+s)9——OO -,，2■?3<—0 = 3C. ( —m,— 2] U [6 ,+m)解析：当3 >0时，—3 3W3 x w — 3，由题意知,3 4n n n n时，—3 < 3 X W — 3- 3,由题意知—3W — ~2，3 <— 2.-3、综上可知，3的取值范围是(—m,— 2] U g,+m .& [2017 •山西太原模拟]已知函数f (x ) = sin( 3 x + $ ) w >0, | 0 |<专 的最小正周期n是n ,若将f (x )的图象向右平移 ◎个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f (x )的图象)nA. 关于直线x = 12对称 ,, 5 n ,B. 关于直线x = 12对称C. 关于点令0对称D. 关于点卷,0对称 答案：B解析：T f (x )的最小正周期为 n , 2n = n ,3 = 2,3••• f(x)的图象向右平移 寺个单位后得到x —3 + 0 = sin 2x ——的图象,■ 3丿」 < 3 丿I ， -pmD. ( —m,答案：D—2] U2， 7t2n ~3~ + 0 = k n ,k €Z ,g ( x ) = sinB.即当3 <0■?3<—0 = 3又g (x )的图象关于原点对称,k € Z ,• $ =- n2x -勺=一 i ，• A ，C 错误;n n —— =—3 _ 2，• B 正确，D 错误.3 >0, - 2< $ <2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移nn 个单位长度得到y = sin x 的图象，则f "6 =解析:••• f (x ) = sinn i 2x-㊁. 9.将函数 f (x ) = sin( 3 x + $ ) \y = sin x纵坐标不变向左平移个单位长度y= sin( +--------------- > y = sin 横坐标变为原来的2倍 1x€ .即 f (x ) = sin gx + -6 ,n . n n .•-f 石=sin 12+ 石=sin7t当x =答案：sin n + nnnn ~，即 f (x ) = sin i ^x +10 .已知函数 f (x ) = sin( 3 x + $ )$的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，且过点2, - 2，则函数解析式f (x )=解析：据已知两个相邻最高点和最低点距离为解得T = 4,故32 n n ~T = 2 2 ,2,可得1 + 1 2=2 2,又函数图象过点2, -1 ,故 f (2) = sin 守 x 2+ 01=—sin 0=-2，,,n n 总“n又—~2 w 0 w 空，解得0 = ~6，故 f (x ) = sin i ^x + -6 .11. [2017 •辽宁抚顺一模]函数 f (x ) = A si n( co x + 0 ) A >0, « >0, 0w 0 三卡，点nP (X i,4)和Q X 2,4)是函数f (x )图象上相邻的两个最高点，且|X i — X 2| = n , x = -3是函数f (x )的一个零点，则使函数 f (x )取得最大值的最小正数x o 的值是 _________ .n答案：122 n解析：由题意，可得A = 4,= n ,o所以 o = 2, f (x )= 4sin(2 x + 0 ).+ 0口2 n 、可得 sin + 0 = 0,k 3 丿「n又0w 0 w 亍,所以 0 = "3， f (x ) = 4sin j 2x + "3 .再根据 sin j 2x o + "3 = 1,12. [2017 •皖北协作区联考]已知函数f (x ) = sin x + 3cos x ,则下列命题正确的是_______ .(写出所有正确命题的序号)① f (x )的最大值为2;可得最小正数 7tX o=— 12②f(x)的图象关于点一n, 0对称；③f (x)在区间—6, 6上单调递增;⑤f (x)的图象与g(x) = sin x-善的图象关于x轴对称.答案：①③④⑤解析：f (x) = sin x+ 3cos x=2知x+fcos x所以①正确；将x = --6代入f(x)，得f n \ f n n \f—石=2sin -6 +5 = 1工0，所以②不正确；n n nt由2k n—㊁W x+ — W2k n + —, k€ Z,5 n n得2k n —xW2k n+：, k€ Z,6 6所以f(x)在区间i —誓,才上单调递增，③正确；若实数m使得方程f(x) = m在［0,2 n ］上恰好有三个实数解，结合函数 f (x)=另一解为x =nn ,7n即 X 1, X 2, X 3满足 X 1 + X 2 + X 3=p ，④正确; 3[2017 •黑龙江哈尔滨模拟]设函数f (x ) = sin 2x +^，则下列结论正确的是()答案：C解析：对于函数f (x ) = sin j 2x + -6 ,5 n 1,,，.-sinT= 2,故 A 错;函数的最小正周期为 T == n ,函数，故D 错.2. ［2017 •江西南昌一模］如图，M XM ,y M ), N (XN , yQ 分别是函数 f (x ) = A sin( w x + 0 )( A >0, w >0)的图象与两条直线 丨1：y =A > m > 0) , 12： y = —m 的两个交点，记S (m )= | X N —X M |，贝y s (m 的图象大致是()因为 f (x ) = 2sin j x + -3 =2sin x + n — 23n=- 2sin x —［冲刺名校能力提升练］ 2n—，⑤正确.1. A.f (x )的图象关于直线 x =nn 对称 B. f (x )的图象关于点6，0对称C. f (x )的最小正周期为 n，且在o , n 上为增函数D. 把f (x )的图象向右平移n12个单位，得到一个偶函数的图象7tr n , | n |当 x =7t6，0不是函数的对称点，故 B 错;此时函数为增函数，故 C 正确;把f (x )的图象向右平移 令个单位，得到g (x ) = sin |2 'x — 曰六.疋可当 x € 0, 2X + — € I — ，2X 十 6 € '6，n _ = sin 2x ，函数答案：C对称，点N 与点C 关于直线x = X 2对称，所以X M + X D = 2x i , x c + X N = 2x 2，所以X D = 2x i — X M ,X c = 2X 2 — X N .X M + x c = 2X B , X D + X N = 2X B , X M + 2X 2 — X N = 2X B ,2X I — X M + X N = 2X B , 心 T贝U X M — X N = 2( X B — X 2) =— 2 ,TX N — X M = 2(X B — X i ) =,所以|X N —x M = T =—(常数)，故选C.2 —n3.函数f (x ) = A sin( 3 x + $ ) , A >0, 3> 0, | $ | 的部分图象如图所示，若x i ,解析：如图所示，作曲线 y = f (x )的对称轴 x = X i , x = X 2，点 M 与点D 关于直线x = x i又点 M 与点C 点D 与点N 都关于点B 对称,所以所以0,n3，且 f (X 1)= f (X 2)，则 f (X 1+ X 2)=()n n由丨 © I v y ，得 © =~3， 则 f (x ) = sin i 2x + 才.n n——+ — 6 3 = n 2 = 12f (X i + X 2) = sin 2X n + nn =值，无最大值，则 314答案：Tn n+ — 6 3 n解析：依题意，x =2 = ~4时，y 有最小值,X 2€A. 1 1B. 2C.答案:解析: 观察图象可知, 3 = 2, f (x ) = sin(2将i —青，0代入上式,A = 1, T = n ,x + © ).得sin© = 0,函数图象的对称轴为 x =又 x i , X 2€3，且 f (x i ) = f (X 2),X 1 + X 2 n2 = 12,n.X i + X 2=—,3 =~23.故选 D.4.已知 f (x ) = sin 3 x +( 7t，且f (x )在区间i nn ，nn 上有最小3 >0) , f = fn n 3 n二—w + — = 2k n+ N ( k € Z),14w = 8k + —(k € Z),3nn n 口戸■石一匸W —,即卩w < 12, 3 4 w14 令 k = 0,得 w =■—.5 . [2017 •重庆巴蜀中学一模]某同学用“五点法”画函数f (x ) = A sin( w x +n解：(1)根据表中已知数据，解得 A = 5, w = 2, $ =——，数据补全如下表:w x + $n2n3 n 2 2 nnn7n H 5 n 13n x 12 3 12 612 A sin( w x + $ )5—5且函数表达式为f (x ) = 5sin i 2x —.w x + $0 n~2n3n""2" 2nxn5 n 6A sin( w x + $ )5—50) i w >0, | $ |<寺在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数 f (x )的解析式;(2)将y = f (x )的图象向左平移 亍个单位，得到函数y = g (x )的图象.若关于 x 的方程g (x ) — (2m ^ 1) = 0 在 |0, n 上有两个不同的解，求实数m 的取值范围.•/ f (x )在区间(2)通过平移，g(x) = 5sin i2x+~n，方程g(x) —(2m+ 1) = 0有两个解可看成函数y =7n - n q g(x) ,x € 0 —和函数y= 2m^ 1的图象有两个交点，当x €5 3为使直线y= 2mi+ 1与函数y= g(x)的图象有两个交点，只需空1<5，解得玄三m<2.故实数m的取值范围为比，2 ,■0,。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测13含解析
课时跟踪检测(十三)[高考基础题型得分练]1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a）2的导数为( )A．2（x2－a2）B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2）答案：C解析：∵f（x)＝（x＋2a)（x－a）2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′（x）＝3(x2－a2)．2．2016世界机器人大会于10月21日～10月25日在北京举行，现场有一机器人的运动方程为S（t)＝错误!＋t,其中S的单位是米，t 的单位是秒，那么该机器人在6秒末的瞬时速度是( ) A．4米/秒B．6米/秒C．13米/秒D．15米/秒答案：C解析：因为S(t）＝错误!＋t，所以S′（t)＝错误!＋1，所以S′（6)＝13，即6秒末的瞬时速度为13米/秒,故选C.3．[2017·山东师大附中月考]曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是x ln 2＋y－1＝0，则a＝（）A.错误!B．2C ．ln 2D ．ln 12答案：A 解析：由题知y ′＝a x ln a ,y ′｜x ＝0＝ln a ，又切点为（0，1），故切线方程为x ln a －y ＋1＝0,∴a ＝错误!。
4．若f (x ）＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝（ ）A ．2B ．0C ．－2D ．－4 答案：D解析:f ′(x )＝2f ′(1）＋2x ，∴令x ＝1,得f ′（1）＝－2，∴f ′（0)＝2f ′(1）＝－4.5．[2017·河北保定调研］已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ）A ．eB ．－e C.错误!D ．－错误! 答案：C解析：y ＝ln x 的定义域为(0,＋∞)，且y ′＝1x,设切点为(x 0，ln x 0），则y ′｜ x ＝x 0＝错误!，切线方程为y －ln x 0＝错误!（x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为错误!.6．[2017·河南开封一模］已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx ＋n相切于点A（1，3),则n＝( )A．－1 B．1C．3 D．4答案：C解析:对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，所以k＝3＋m，又k ＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.7．［2017·郑州质检]已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x)在x＝3处的切线，令g(x）＝xf（x)，g′（x)是g(x)的导函数,则g′（3)＝（)A．－1 B．0C．2 D．4答案:B解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－错误!，∴f′(3)＝－错误!,∵g（x)＝xf（x），∴g′(x）＝f（x)＋xf′(x)，∴g′（3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f（3）＝1，∴g′（3）＝1＋3×错误!＝0.8．若点P是函数y＝e x－e－x－3x错误!图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ）A.错误!B。
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课时跟踪检测(二十六)[高考基础题型得分练]1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos A ＝12， 又0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)知，A ＝π3， ∴在△ABC 中，B ＋C ＝2π3，且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3. y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6 ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1,2]． 故函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值为2. 2．[2017·山东日照模拟]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且函数f (x )＝2cos x sin(x －A )＋sin A 在x ＝5π12处取得最大值． (1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域；(2)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 解：∵f (x )＝2cos x sin(x －A )＋sin A＝2cos x ·sin x cos A －2cos x cos x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )，又函数f (x )在x ＝5π12处取得最大值， ∴2×5π12－A ＝2k π＋π2，其中k ∈Z ， 解得A ＝π3－2k π，其中k ∈Z . (1)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3， 又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x －A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3， ∴－32<sin(2x －A )≤1， 即函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C， 则sin B ＋sin C ＝b ＋c a sin A ， 即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3. 3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2a －b c ＝cos B cos C. (1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝cos(2x ＋C )，将f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域． 解：(1)∵a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边，且2a －b c ＝cos B cos C，∴由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝cos B cos C， 即(2sin A －sin B )cos C ＝cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos C ＝1，即cos C ＝22. ∵C 是△ABC 的内角，∴C ＝π4. (2)由(1)可知，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. ∵0≤x ≤π3，∴－π4≤2x －π4≤5π12， 又cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝6－24， ∴6－24≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1， ∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－24，1. 4．[2017·湖南邵阳模拟]如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DA ＝DC ，已知B ＝π4，BC ＝1.(1)若△DBC 是锐角三角形，DC ＝63，求角A 的大小； (2)若△BCD 的面积为16，求边AB 的长． 解：(1)在△BCD 中，B ＝π4，BC ＝1，DC ＝63， 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin B， 解得sin ∠BDC ＝1×2263＝32， 则∠BDC ＝π3或∠BDC ＝2π3. 由△DBC 是锐角三角形，可得∠BDC ＝π3. 又由DA ＝DC ，得A ＝π6. (2)由于B ＝π4，BC ＝1，△BCD 的面积为16，则12·BC ·BD sin π4＝16， 解得BD ＝23. 由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos π4 ＝1＋29－2×23×22＝59，故CD ＝53， 则AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝5＋23， 故边AB 的长为5＋23. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·山东淄博模拟]已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . (1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B 的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得 32sin A ＋12cos A ＝2cos A ， 即sin A ＝3cos A .因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3. (1)证明：因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝33， 由正弦定理知，a sin A ＝csin C ， 即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32，即2a －3c ＝0. (2)解：因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3， 所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3， 因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1， 所以sin(A －B )＝35， 所以sin B ＝sin[A －(A －B )]＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B )＝43－310. 2．[2017·河南郑州模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1tan A ＋1tan C ＝1sin B，且b ＝2，a >c . (1)求ac 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝74，求a ，c 的值． 解：(1)因为cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋cos C sin A sin A sin C＝A ＋C sin A sin C ＝sin B sin A sin C， 所以sin B sin A sin C ＝1sin B，即sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理，可得b 2＝ac ，又b ＝2，所以ac ＝2.(2)S ＝12ac sin B ＝sin B ＝74，又ac ＝2且a >c ，所以a 2>ac ＝2，即a > 2.又b ＝2，所以A >B ，故角B 一定为锐角，因此cos B ＝1－sin 2B ＝34. 由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，所以a 2＋c 2＝5，由ac ＝2且a >c ，解得a ＝2，c ＝1.3．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝p ·q .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)∵f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23代入可得a 2＋12a 2＝7， 解得a 2＝3或4.∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.。