2020年中考高频考点——圆中常用的辅助线作法

中考高频考点————圆中常用的辅助线作法

圆是中考的必考点，也是重难点，圆的题型难点很大一部分来源于圆中很多的隐藏条件，需要添加辅助线才能很好的理解，圆中常见的辅助线作法有如下几种：(1)遇弦作弦心距或半径；(2)遇直径作直径所对的圆周角；(3)已知切线，连半径，得垂直；(4)直线与圆交点明确，证切线时，连半径，证垂直；(5)直线与圆交点不明确，证切线时，作垂直，证半径．

一．知识梳理

圆的主要知识点：

1.垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________.

推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧

圆的两条平行弦所夹的弧。

2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________.

推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________.

2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______.

3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距

4.切线的性质与判定、

性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径.

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径.

二．常见辅助线做法

►作法一作半径或直径

①作半径(或直径)：构造等腰三角形或直角三角形

1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则P A 的长为( )

A ．5 B.5 3

2

C ．5 2

D ．5 3

2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝63，则BC ︵

的长为( )

A ．2π

B ．4π

C ．8π

D ．12π

3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝2 3，则⊙O 的面积为( )

A ．2π

B ．4π

C ．8π

D ．12π

4．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________．

5．如图，⊙O 的半径为6，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝45°，则弦AB 的长是________．

②连接过切点的半径或直径：见切线，连切点，得垂直

6．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为()

A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

7．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.

(1)求∠D的度数；

(2)若CD＝2，求BD的长．

►作法二作弦心距：解决弦长的计算与证明问题

8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽为()

A．1.4 m B．1.6 m C．1.8 m D．2 m

9．如图9－ZT －9所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为( )

A.15 B ．2 5 C ．2 15 D ．8

► 作法三 构造直径所对的圆周角：见直径想直角

10． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.

11．如图，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，C 为AB 延长线上一点，CP 与⊙O 相切于点P ，过点B 作弦BD ∥CP ，连接PD .

(1)求证：点P 为BD ︵

的中点；

(2)若∠C ＝∠D ，求四边形BCPD 的面积．

► 作法四 判定直线与圆相切(作半径或作垂直)

①有交点⇒作半径，证垂直

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是半圆O的切线；

(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

13.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.

求证：直线DM是⊙O的切线．

②无交点⇒作垂直，证半径

14．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.

(1)求证：直线PB与⊙O相切；

(2)PO的延长线与⊙O相交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．

15.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.

求证：CD与⊙O相切.