贵州省思南中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年 高二年级文科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}(){}22|128,|log 1xA xB x x x =≤≤=->，则A B = （ ） A ．(]2,3 B ．[]2,3C ．()(],00,2-∞D ．()[],10,3-∞- 2.已知i 是虚数单位，若11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则Z =（ ）A ．1B 3.已知角α的终边经过点()()3,40a a a -<，则sin cos αα+等于（ ） A ．15-B ．75-C ．15D ．754.椭圆22143x y +=的右焦点到直线3y x =的距离是（ ）A ．12 C ．1 D 5.设0.20.223log 3,log ,32a b c ===，则这三个数的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b c a >>6.函数()()21sin f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7.设2:log 0,:22x p x q <≥，则p 是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件8.已知()221xxf x ax =++，若()ln32f =，则1ln 3f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．19.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23 B ．16 C ．1 D ．1310.已知偶函数()f x 对x R ∀∈满足()()22f x f x +=-，且当30x -≤≤时，()()6log 2f x x =-，则()2015f 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．201511.设函数()()22,ln 3xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 满足()()0,0f a g b ==，则（ ）A ．()()0g a f b <<B ．()()0g a f b <<C ．()()0f b g a <<D ．()()0f b g a <<12.定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,128⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()2sin 2cos 2,0,0xx x x f x e x +≥⎧=⎨-<⎩，则2f f π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________． 14.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为____________．15.在如图所示的程序框图中，如果任意输入的[]2,3t ∈-，那么输出的s 的取值范围是_____________．16.若()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时， ()()21,021,2x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x kx =恰有4个不同的根，则实数k 的取值范围是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C2sin c A =． （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ∆的面积为2，求a b +的值． 18.某汽车公司为调查4S 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的,,,,A B C D E 五座城市的4S 店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：（1）根据该统计数据进行分析，求y 关于x 的线性回归方程；（2）现要从,A E 三座城市的5家4S 店中选取2家做深入调查，求被选中的4S 店来自同一城市的概率．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()11ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060,2BAD AB PD ∠===，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱AB 上一点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若E 是PB 中点，求点B 平面EDC 的距离． 20.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 和椭圆22:143x y E +=的右焦点重合，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为135°，求AB 的长；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且,MA mAF MB nBF ==，试求m n +的值．21.已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭． （1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程()1cos sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++．（1）求x 的取值范围，使得()f x 为常函数；（2）若关于x 的不等式()0f x a -≤有解，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题：13. 2e -- 14. 11 15．106t -≤≤ 16．3333,,4554⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 三、解答题17．解析：（12sin c A =及正弦定理得，（2）∵3c C π==，由面积公式得1sin 23ab π=，即6ab =．．．．① 由余弦定理得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=，∴()273a b ab +=+．．．．②，由①②得()225a b +=，故5a b +=． 18．解：（1）4,30x y ==， ∴()()()()()()()()()()()()()()()22222342830443030643530543130242630ˆ 2.134********b --+--+--+--+--==-+-+-+-+-，ˆ30 2.1421.6a=-⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为：ˆ 2.121.6y x =+． （2）2519． 证明：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PD ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又∵PD BD D = ，∴AC ⊥平面PBD ，而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ． （2）∵E 是PB 中点，连结EO ，则//PD EO ，EO ⊥平面ABCD ，且1EO =，∵1,OD OC ==2DE EC =，∴122CDE S ∆==，∵111112222362B EDC E BDC P BDC BDC V V V S PD ---∆===⨯⨯⨯=⨯⨯=设点B 平面EDC 的距离为d ，∵13B EDC CDE V S d -∆=⨯⨯=7CDE d S ∆===． 20．解： （1）据已知得椭圆E 的右焦点为()1,0F ，∴12p=， 2p =，故抛物线C 方程为24y x =，易知直线l 的方程为1y x =-+，于是()2221146104y x x x x x y x=-+⎧⇒-+=⇒-+=⎨=⎩， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121261x x x x +=⎧⎨=⎩ ，∴8AB AB =⇒==（或128AB p x x =++=）． （2）根据题意知l 的斜率必存在，于是设l 方程为()1y k x =-，点M 坐标为()0,M k -，∵()()1122,,,A x y B x y 为l 与抛物线C 的交点，∴()()2222242201y x k x k x k y k x ⎧=⎪⇒-++=⎨=-⎪⎩， ()2122121610421k x x k x x ⎧∆=+>⎪⎪⇒+=+⎨⎪=⎪⎩ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又∵MA mAF =，∴()()1111,1,x y k m x y +=--，得111x m x =-，同理221x n x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴()()21212121212122422214111121x x x x x x k m n x x x x x x k +-+-+=+===----++--+．21． 解：（1）函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为()0,+∞， 当0a =时，()21ln 2f x x x =-+，()()()21111x x x f x x x x x-+--+'=-+==； 当1623b ≤，有()0f x '>；当83b ≤，有()0f x '<， ∴()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在[]1,e 上为减函数，又()()221111,1,1222e f f e f e e ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，∴()()()()2min max 11,122e f x f e f x f ==-==-．（2）()()2122ln 2g x f x ax a x ax x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，则()g x 的定义域为()0+∞，， ()()()()()2121121211212x a x a x ax g x a x a x x x---⎡⎤--+⎣⎦'=--+==．①若12a >，令()0g x '=，得极值点1211,21x x a ==-， 当211x x >=，即112a <<时，在()0,1上有()0g x '>，在()21,x 上有()0g x '<，在()2,x +∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间()2,x +∞上是增函数， 并且在该区间上有()()()2,g x g x ∈+∞，不合题意；当211x x ≤=，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间()1,+∞上， 有()()()1,g x g ∈+∞，也不合题意； ②若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间()1,+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足()111022g a a =--≤⇒≥-， 由此求得a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 综合①②可知，当11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立． 22． 解：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q 的极坐标，2222sin 33πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2．23． 解：（1）()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数．f x的最小值为4，（2）由（1）得函数()a≥所以实数a的取值范围为4。