18学年高中数学第一章集合1.1集合的含义与表示学案北师大版必修1

1.1 集合的含义与表示[核心必知]1．集合的含义与标记一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．2．元素的定义、标记与特性(1)定义与标记：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a ，b ，c ，d ，…标记．(2)特征：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．3．元素与集合的关系4.常见集合的符号表示5.集合的常用表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的条件表示某些对象属于这个集合的方法叫作描述法．6．集合的分类按所含元素的个数分为：(1)有限集：含有限个元素的集合． (2)无限集：含无限个元素的集合． (3)空集∅：不含有任何元素的集合．[问题思考]1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？提示：不能，因为没有明确的标准．2．下列关系正确吗？①0∈N ＋；②π∈R ；③1∈Q ；④0∈Z ；⑤0∈N .提示：②③④⑤正确．3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？ 提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．讲一讲1．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．[尝试解答] 因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3和－1，符合要求；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时，集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.利用集合元素互异性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．练一练1．由实数x 2,1,0，x 所组成的集合里最少有________个元素．解析：若x 2＝x ＝1，即x ＝1，则集合中有2个元素；若x 2＝x ＝0，即x ＝0，则集合中也有2个元素，故集合里最少有2个元素．答案：22．若集合A 中有且仅有三个数1,0，a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a 2≠0.若a 2＝1，则a ＝±1，由元素的互异性知a ≠1，所以当a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知，a ＝－1.讲一讲2．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R ), 选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B[尝试解答] 选C 集合A中元素y是实数，不是点，故B、D不正确；集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验．练一练3．已知6∈{2,4，x，x2＋x}，则x等于( )A．2 B．6C．2或6 D．－3或6解析：选D当x＝6时，集合为{2,4,6,42}；当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x ＝2不合题意；当x＝－3时，集合为{2,4，－3,6}所以a＝6或－3.4．用符号∈或∉填空．(1)23________{x|x＜11}，2＋5 ________{x|x≤2＋3}；(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N}，(－1,1) ________{y|y＝x2}；(3)设x＝13－52，y＝3＋2π，M＝{m|m＝a＋b2，a∈Q，b∈Q}，则x________M，y________M.解析：(1)23＝12＞11；2＋5＝(2＋5)2＝7＋210＜7＋212＝(2＋3)2＝2＋3；∴填∉，∈.(2)设n2＋1＝3，n＝±2∉N，∴填∉.把(－1,1)代入y＝x2成立，但(－1,1)是有序实数对，而{y|y＝x2}是y的取值集合，∴填∉.(3)x＝13－52＝－341－5241，－341∈Q，－541∈Q.∴x∈M.∵π∉Q，∴y∉M.∴填∈，∉.答案：(1)∉∈(2)∉∉(3)∈∉讲一讲3．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于16的质数组成的集合A；(2)方程x2－2x＋1＝0的解组成的集合B；(3)平面直角坐标系中直线y＝x上的点组成的集合C；(4)所有被3除余1的整数组成的集合D；(5)E＝{}(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋；(6)F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z x ∈N . [尝试解答] (1)大于2且小于16的质数有3,5,7,11,13，故A ＝{}3，5，7，11，13.(2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的解1，故B ＝{1}．(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合是点集，故C ＝{}x ，y y ＝x ，x ∈R .(4)这一集合中元素的属性为被3除余1且为整数，所以D ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z .(5)∵x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴E＝{}，，，，，.(6)∵61＋x ∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x ＝1,2,3,6.∴x ＝0,1,2,5.即61＋x＝6,3,2,1.∴F ＝{}6，3，2，1.(1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．练一练5．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}；②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析：选A 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相 同．③不正确．已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．[错解] 由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得：a≤－1，[错因] 涉及关于x的方程ax2＋bx＋c ＝0的问题，易误认为其一定是关于x的一元二次方程，即a≠0，而丢掉二次项系数a ＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况．[正解] 当a＝0时，方程只有一个根－12，则a＝0符合题意．当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．1．下列各组对象中能构成集合的是( )A ．2016年中央电视台春节联欢晚会中吸引观众的演员B ．某校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2015年全国经济百强县 答案：D2．给出以下结论：①{2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合；②{y |y ＝x 2，x ∈R }与{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }是同一集合； ③{0,1}与{(0,1)}是不同集合． 其中正确的结论个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C ①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样．3．给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ＋； ④|－3|∈N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 由元素与集合的关系知①②正确，③④错误．4．集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为________． 解析：当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意；当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}，满足题意，综上可知．m ＝0，12.∴m 的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，125．设A ＝{x －2,2x 2＋5x,12}，若－3∈A ，则x ＝________. 解析：由题意可知：x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入集合A 中，x －2＝2x 2＋5x ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32满足已知条件(x ＝－1舍去)，所以x ＝－32.答案：－326．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合． 解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ) A ．∅∈{a } B ．a ∉{a } C ．a ∈{a ，b } D ．{a }∈{a ，b } 答案：C 2．有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； (3)方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； (4)集合{x |4<x <5}是有限集． 其中正确的说法是( ) A ．只有(1)和(4) B ．只有(2)和(3) C ．只有(2)D ．以上四种说法都不对解析：选C 0∈{0}；方程(x －1)2(x －2)＝0的解集为{1,2}；集合{x |4<x <5}是无限集，只有(2)正确．3．(新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．下面六种表示法：①{x ＝2，y ＝1}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1；③{(2,1)}；④(－1,2)；⑤{2,1}；⑥{(x ，y )|x ＝2，或y ＝1}，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②③D ．②③⑥解析：选 C 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2,1)}，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝2，且y ＝1}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x ＝2及y ＝1上的所有点．④不是集合．二、填空题5．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. 解析：由已知B ＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16} 6．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ∈Z ，且65－a ∈N ＋，则M ＝________.解析：5－a 整除6，故5－a ＝1,2,3,6， 所以a ＝4,3,2，－1. 答案：{4,3,2，－1}7．已知含有三个实数的集合既可表示成⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a2 012＋a2 013＝________.解析：依题意b ＝0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a,0,1}，{a 2，a ＋b,0}＝{a,0，a 2}， 于是a 2＝1，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)，故a ＝－1， ∴a2 012＋a2 013＝0.答案：08．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z }，若－4∈A,2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72.又∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1,0,1,2,3}． 答案：{－1,0,1,2,3} 三、解答题9．设集合A 含有3个元素a 2＋2a －3,2,3，集合B 含有2个元素2，|a ＋3|，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．解：因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4. 10．数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a ∈A .(1)若2∈A ，写出A 中的两个元素； (2)若A 为单元素集合，求出A 和a . 解：(1)若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A ， ∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ；当11＋a ＝2即a ＝－12时，2∈A . 综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13.(2)∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a ，即a 2＋a －1＝0，解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1－52，a ＝－1－52或A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52，a ＝－1＋52.。