18学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系学案新人教B版必修2
高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学
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方程解
重合
交点 个数
无数个 交点
代数条件
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝ λC2(λ≠0)或 ___AA_12_＝__BB_12_＝__CC_12__(A2B2C2≠0)
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(2)几何方法判断
两条直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 的位置关系，也可用 两直线的斜率和在 y 轴上的截距来进行判断．具体判断方法如
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1．判断两条直线是否平行的步骤
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2．平行直线的求法 (1)求与直线 y＝kx＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的 条件可巧设为 y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参 数 m 的值； (2)求与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程时，可设方程为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出 m 即可．
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1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直 线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单 独讨论．
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1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
＝0，此时 l1∥l2；
当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，
此时 l1∥2．
故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2．
(3)由(2)知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
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18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直学案苏教版必修2
2.1.3 两条直线的平行与垂直1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两条直线平行 阅读教材P 89，完成下列问题．若直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2(k 1，k 2均存在)． 【拓展】 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 1与l 2斜率相等，则l 1∥l 2.(×)(2)若直线l 1∥l 2(两条直线的斜率分别为k 1，k 2)，则k 1＝k 2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√)2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝________. 【解析】 k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.【答案】 3教材整理2 两条直线垂直阅读教材P 90例2～P 91思考以上部分内容，完成下列问题． 两条直线垂直与斜率的关系(1)如图2－1－7①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1(k 1，k 2均存在)．(2)如图2－1－7②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．① ②图2－1－71．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______.【解析】 直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.【答案】 22．过点(0,1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________.【导学号：41292081】【解析】 直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x ＋2y－2＝0.【答案】 x ＋2y －2＝0[小组合作型]两直线平行的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行． (1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1,1)，Q (3,3)；(2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5,5)； (3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点C (－1,3)，D (2,0)．【精彩点拨】 依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．【自主解答】 (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－－＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法[再练一题]1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． 【解】 (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－－8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．两直线垂直的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否垂直． (1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 【精彩点拨】 利用两直线垂直的斜率关系判定． 【自主解答】 (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2．直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．[再练一题]2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10,40)． 【解】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－－1－－＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－－2－－＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－－＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.[探究共研型]两直线平行与垂直的应用探究 如图2－1－8，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？图2－1－8【提示】 α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．【精彩点拨】 利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．【自主解答】 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求． (2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2，∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用1．求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法，一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程，二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.2．由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．[再练一题]3．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD . (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．【解】 (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－－－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.1．下列说法正确的有________． ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．【解析】 ①中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；②中，斜率不存在时，错误；④错误．只有③正确．【答案】 ③2．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为________.【导学号：41292082】【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．【答案】垂直3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________.【解析】由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.【答案】 24．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为________．【解析】由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.【答案】135°5．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．【解】直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×(2a)＝0，即a＝0.。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 直线与平面平行的性质教案 新人教A版必修
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.3 直线与平面平行的性质教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.3 直线与平面平行的性质教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2.3 直线与平面平行的性质一、内容及其解析本节课要学的内容包括直线与平面平行的性质，其核心内容是性质定理。
理解它关键是找准性质定理的关键词“平行平面、同时、相交、交线”.学生已经学过直线与平面平行的判定本节课的内容直线与平面平行的性质就是在其基础上的发展。
由于它还与线面垂直有着、面面平行密切的联系，并有基础的作用。
教学重点是性质定理,解决的重点的是平面与平面平行的性质定理的应运用。
二、目标及其解析1、目标定位掌握直线与平面平行的性质定理及其应用2、目标解析一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.三、问题诊断分析在本节课直线与平面平行的性质的教学中，学生可能遇到的问题是性质定理的证明；性质定理的正确应运用。
产生这一问题的原因是空间想象能力、思维能力不够空间立体感不强。
出现这一问题的原因是学生抽象能力太弱,要解决这一问题，就要让学生多观察具体实物注重培养这两方面的能力。
其中关键是空间想象能力的培养。
四、教学支持条件分析在本节课直线与平面平行的性质的教学中，准备使用课件。
因为使用课件有利于变抽象为直观。
五、教学过程设计问题一、一条直线与一个平面平行能得出什么结论?设计意图：推出线面平行的性质定理。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.2 直线与圆的位置关系学案 苏教版必修2
2.2.2 直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.知识点 直线与圆的三种位置关系及判定思考 用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系？ 梳理类型一 直线与圆的位置关系的判断例1 求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离.反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________.类型二 切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程. 引申探究若本例的条件不变，求其切线长.反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目. (1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系知，切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练 2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 类型三 弦长问题例3 (1)过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________.(2)圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1所得的弦长为22的圆的方程为___________. (3)直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交于A 、B 两点，截得的弦长为45，求直线l 的方程.反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22求解.(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在).(3)几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有(AB2)2＋d 2＝r 2，即AB ＝2r 2－d 2.通常采用几何法较为简便.跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8. (1)证明：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长.1.直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是________.2.若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线方程为________________. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则AB ＝________.5.直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，且MN ≥23，则k 的取值范围是________.1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在.3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.答案精析问题导学 知识点思考 联立直线与圆的方程，根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系．当方程组无解时，相离；当方程组有一解时，相切；当方程组有两解时，相交． 梳理 > ＝ < 无解 只有一解 题型探究例1 解 圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋y 2＝4， 故圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝6m 2＋1，圆的半径为r ＝2.①若相交，则d ＜r ，即6m 2＋1＜2，所以m ＜－22或m ＞22； ②若相切，则d ＝r ，即6m 2＋1＝2，所以m ＝±22； ③若相离，则d ＞r ，即6m 2＋1＞2，所以－22＜m ＜2 2. 跟踪训练1 [0°，60°]例2 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为－158x －y ＋152－3＝0，即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究解 因为圆心C 的坐标为(3,1)， 设切点为B ，则△ABC 为直角三角形，AC ＝－2＋＋2＝17，又BC ＝r ＝1， 则AB ＝AC 2－BC 2＝172－12＝4，所以切线长为4. 跟踪训练2 x ＋2y －5＝0例3 (1)30 (2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 (3)解 若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y －5＝k (x －5)， 即kx －y ＋5(1－k )＝0.如图所示，OH 是圆心到直线l 的距离，OA 是圆的半径，AH 是弦长AB 的一半，在Rt△AHO 中，OA ＝5，AH ＝12AB＝12·45＝2 5. ∴OH ＝OA 2－AH 2＝5， ∴－kk 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.跟踪训练3 (1)证明 ∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0，直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)， ∴直线l 经过定点(－1,2)．又∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圆C 内，∴直线l 与圆相交． (2)解 由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)． 又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ， ∴与OP 垂直的直线截得的弦长最短． ∵k OP ＝－2，∴k l ＝12，∴直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.设直线l 与圆交于A 、B 两点，OP ＝－2＋22＝5，∴AB ＝2r 2－OP 2＝28－5＝2 3.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为2 3. 当堂训练1．相交 2.(－∞，0)∪(10，＋∞) 3．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 4．2 5.(－∞，0]。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_2_3第2课时两条直线垂直的条件学案新人教B版必修2
- 让每一个人同等地提高自我第 2 课时 两条直线垂直的条件学习目标1. 掌握两条直线垂直的条件.2. 会利用两条直线的垂直关系，求参数或直线方程 .3. 能解决一些简单的对称问题．知识点 两条直线垂直的条件3思虑直线 l 1：y ＝－3x ＋ 1，直线 l 2： y ＝ 3 x ＋ 1，那么 l 1 与 l 2 互相垂直吗？为何？梳理 两条直线垂直对坐标平面内的随意两条直线 l1：1＋ 1＋ 1＝0和l 2： 2 ＋ 2 ＋ 2＝0，有 l 1⊥ 2 ?A xB y CA xB y Cl__________________.假如 BB ≠0，则 l的斜率 k ＝－ 11 ，1 21AB 1Al 2 的斜率 k 2＝－ 2.B 2又能够得出 l ⊥l ? ________________.12种类一两条直线垂直的判断例 1 分别判断以下两直线能否垂直．(1) 直线 l 1 经过点 A (3,4) ，B (3,7) ，直线 l 2 经过点 P ( － 2,4) ， Q (2,4) ； (2) 直线l 1的斜率为1，直线 l2与直线 2 ＋3y ＋ 1＝0 平行．3x反省与感悟 (1) 若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件： l 1⊥l 2 ? A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0 判断．(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥ l 2? k1·k2＝－1判断．(3)若所给的直线方程不是以上两种情况，则把直线方程化为一般式再判断．追踪训练 1 (1) 以下直线中与直线2x＋y＋ 1＝ 0 垂直的是 ()A． 2x－y－ 1＝ 0 B ．x－2y＋ 1＝01C．x＋2y＋ 1＝ 0 D ．x＋2y－ 1＝ 0(2) 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x 轴有交点 C，求交点C的坐标．种类二两条直线垂直关系的应用例 2 (1) 与直线y＝ 2x＋1 垂直，且在y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程是()1A．y＝2x＋ 4 B ．y＝ 2x＋4C．y＝－ 2x＋ 4 D ．y＝－1x＋ 4 2(2)直线 (2 －m) x＋my＋ 3＝ 0 与直线x－my－ 3＝ 0 垂直，则m的值为 ________．反省与感悟(1) 与直线Ax＋By＋C＝ 0 垂直的直线方程可设为Bx－ Ay＋ m＝0( m为参数)．(2) 与直线y＝kx＋m平行的直线方程可设为y＝ kx＋ b( b≠ m)；与它垂直的直线方程可设为y1＝－k x＋ n( k≠0)．追踪训练2求与直线4x－ 3y＋ 5＝0 垂直，且与两坐标轴围成的△AOB的面积为3 的直线方程．种类三对称问题命题角度 1中心对称问题例 3 (1) 求点P( x0，y0) 对于点A( a，b) 的对称点P′的坐标；(2)求直线 3x－y－ 4＝ 0 对于点 (2 ，－ 1) 的对称直线l的方程．=反省与感悟(1) 点对于点的对称问题若两点 A ( x 1 ， y 1) ， B ( x 2 ， y 2) 对于点 P ( x 0 ， y 0) 对称，则 P 是线段 AB 的中点，而且x 1＋ x 2x 0＝ 2 ，y ＋ y 21y 0＝ 2 .(2) 直线对于点的对称问题若两条直线 l 1，l 2 对于点 P 对称，则： ① l 1 上随意一点对于点 P 的对称点必在 l2上，反过来，l 2 上随意一点对于点 P 的对称点必在 l 1 上；②若 l 1∥ l 2，则点 P 到直线 l1，l 2 的距离相等；③过点 P 作向来线与 l 1 ，l 2 分别交于 A ， B 两点，则点 P 是线段 AB 的中点． 追踪训练 3与直线 2 x＋3 － 6＝0 对于点 (1 ，－ 1) 对称的直线方程是 ()yA ． 3x － 2y ＋ 2＝0B ． 2x ＋3y ＋ 7＝ 0C ． 3x － 2y － 12＝ 0D ． 2x ＋3y ＋ 8＝ 0命题角度 2轴对称问题例 4 点 P ( － 3,4) 对于直线 x ＋ y － 2＝ 0 的对称点 Q 的坐标是 ( )A ． ( －2,1)B ． ( － 2,5)C ． (2 ，－ 5)D ． (4 ，－ 3)反省与感悟(1) 点对于直线的对称问题y － y 0－ A＝－ 1，· Bx － x 0求 P ( x ，y ) 对于 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 的对称点 P ′(x ，y ) ，利用x ＋ xy ＋ yA · 2 ＋B · 2 ＋C ＝0能够求点 P ′的坐标．(2) 直线对于直线的对称问题若两条直线 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则：① l 1 上随意一点对于直线 l 的对称点必在 l 2 上，反 过来， l 2 上随意一点对于直线 l 的对称点必在 l 1 上；②过直线 l 上的一点 P 且垂直于直线 l作向来线与 l ，l 2 分别交于点 A ， B ，则点 P 是线段 AB 的中点．1追踪训练 4 求直线 m ： 2x ＋ y － 4＝ 0 对于直线 n ： 3x ＋ 4y － 1＝ 0 对称直线 b 的方程．321．若直线 l 1 的斜率 k 1＝4，直线 l 2 经过点 A (3 a ，－ 2) ， B (0 ， a ＋ 1) ，且 l 1⊥ l 2，则实数 a的值为()A ． 1B ． 3C ．0或 1D ．1或32．直线 ( m ＋ 1) x ＋ my ＋ 1＝ 0 与直线 ( m － 1) x ＋ ( m ＋ 1) y － 10＝0 垂直，则m 的值为 ( )1 A ．－ 1B. 211C ．－ 3D ．－ 1 或23．直线 l 过点 ( － 1,2) 且与直线 2x － 3y ＋ 4＝0 垂直，则 l 的方程是 ()A ．3 ＋2 y － 1＝0B ． 3x ＋2 ＋7＝0xyC ． 2x － 3y ＋ 5＝0D ． 2x －3y ＋ 8＝ 04．已知点 P (3,2) 与点 Q (1,4) 对于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 ________．5．一条光芒从点(3,2) 发出，到 x 轴上的 点后，经 x 轴反射经过点( － 1,6) ，则反射光AM B线所在直线的斜率为 __________．1．判断两直线垂直： (1) 假如斜率都存在，只判断k 1k 2＝－ 1；假如一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上边的两种状况； (2) 利用 A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0 判断．2．求点对于直线的对称点： (1) 设 P ( x 0，y 0 ) ， l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0( A 2＋ B 2≠0) ，若点 P 对于 l 的对称点为 Q ( x ， y ) ，则 l 是 PQ 的垂直均分线，即① PQ ⊥ l ；② PQ 的中点在 l 上，解方程组y － y 0 Ax － x 0 · －B ＝－1，x ＋ x 0可得出点 Q 的坐标．y ＋y 0A ·2 ＋B · 2 ＋C ＝0(2) 点 A ( x ，y ) 对于直线 x ＋ y ＋C ＝ 0 的对称点 A ′的坐标为 ( － y － C ，－ x －C ) ，对于直线 x －y ＋ C ＝0 的对称点 A ″的坐标为 ( y － C ， x ＋C ) ．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点思虑如图，∵ l 1 的倾斜角为 120°， l 2 的倾斜角为 30°，∴ l 1⊥ l 2.梳理 A 1A 2＋ B 1B 2＝0 k 1k 2＝－ 1题型研究例 1 解(1) 直线 l 1 的斜率不存在，故直线l 1 与 x 轴垂直，直线 l 2 的斜率为 0，故直线 l 2 与 x 轴平行， 因此 l 1 与 l 2 垂直．1 2 1 2 2(2) 直线 l 1 的斜率为 k 1＝ 3，直线 l 2 的斜率为 k 2＝－ 3， k 1× k 2＝ 3×( － 3) ＝－ 9≠－ 1，因此直线 l 1 与 l 2 不垂直．追踪训练 1 (1)B[ 由斜率之积为－ 1 得 B 正确． ](2) 解设 C ( x, 0) ，由题意知CA ⊥CB ，则 k CA × k CB ＝－ 1，3－0 2－ 0即－ 1－x ×4－ x ＝－1，解得 x ＝ 1 或 2，∴ C (1,0) 或 C (2,0) ．例 2 (1)D(2) －2或 1分析(1) 由于所求直线与 y ＝ 2x ＋1 垂直，因此设直线方程为1轴上的截距为 4，因此直线的斜截式方程为y ＝－ 2x ＋ 4.1y ＝－ 2x ＋b . 又由于直线在 y(2) 由直线方程可知， 当一条直线的斜率不存在时， 不存在 m 使两直线垂直， 因此两直线的斜率都存在．由k1·2－ m 1＝－2或 ＝ 1.2＝－1，可得 (－)·＝－ 1，解得kmmmm追踪训练 2解 设与直线 4 － 3 ＋ 5＝ 0 垂直的直线方程为3 ＋4 ＋ ＝0.xyxy m令 x ＝0，得 ymm＝－ ，则 (0，－ )；4 A 4m m令 y ＝0，得 x ＝－ 3，则 B ( － 3， 0) ．由于 S △ AOB ＝ 3，1因此 2| OA | ·|OB |1mm＝2| －4| ·| － 3| ＝3.2因此 m ＝ 72，因此 m ＝±6 2.故所求直线方程为 3 ＋ 4＋ 6 2＝0或 3 ＋4 －6 2＝ 0.x yxy例 3 解(1) 依据题意可知点 A ( a ， b ) 为 PP ′的中点，设点 P ′的坐标为 ( x ， y ) ，a ＝x ＋ x 02，则依据中点坐标公式，得b ＝y ＋ y，2x ＝ 2a －x 0，因此y ＝ 2b － y 0 .因此点 ′的坐标为 (2 － x 0, 2 － 0) ．P a b y(2) 方法一 设直线 l 上随意一点 M 的坐标为 ( x ， y ) ，则此点对于点 (2 ，－ 1) 的对称点为 M 1(4 － x ，－ 2－ y ) ，且M 1 在直线 3x － y － 4＝ 0 上，因此 3(4 － x ) －( － 2－ y ) － 4＝ 0，即 3x － y － 10＝0.因此所求直线 l 的方程为 3x － y －10＝ 0.方法二 在直线 3x － y －4＝ 0 上取两点 A (0 ，－ 4) ，B (1 ，－ 1) ， 则点(0 ，－ 4) 对于点 (2 ，－ 1) 的对称点为 1(4,2) ，AA点 (1 ，－ 1) 对于点 (2 ，－ 1) 的对称点为 B (3 ，－ 1) ．1可得直线 A 1B 1 的方程为 3x －y － 10＝ 0，即所求直线 l 的方程为 3x － y － 10＝ 0.追踪训练 3 D [ 由平面几何知识易知所求直线与已知直线 2x ＋3y － 6＝0 平行，则可设所求直线方程为 2 x ＋ 3 y ＋ C ＝0.在直线 2 ＋ 3 － 6＝ 0 上任取一点 (3,0) ， x y对于点 (1 ，－ 1) 的对称点为 ( － 1，－ 2) ，则点 ( － 1，－ 2) 必在所求直线上，∴2×( － 1) ＋3×( － 2) ＋C ＝ 0，解得 C ＝ 8.∴所求直线方程是2x ＋ 3y ＋ 8＝ 0.]例 4 B [ 设对称点的坐标为 (a ， ) ，由题意，得ba － 3b ＋ 4－2＝ 0，＋a ＝－ 2，22b － 4解得b ＝5，a ＋ 3＝ 1，即 Q ( －2,5) ．]追踪训练 4 解 方法一 设直线 b 上的动点 P ( x ，y ) ，直线 m 上的点 Q ( x 0, 4－ 2x 0) ，且 P ，Q两点对于直线 n ： 3x ＋ 4y － 1＝ 0 对称，则有：x ＋ x 04－ 2x 0＋ y2 ×3＋×4－ 1＝ 0，2y － 4－ 2x 04x － x 0＝ 3，消去 x 0，得 2x ＋11y ＋ 16＝ 0. 方法二由直线 m ： 2x ＋y － 4＝ 0 知A (2,0) ，B (0,4) 为直线 m 上的点，设 A ， B 对于直线 n 的对称点为 A ′(a ， b ) ， B ′(a ′， b ′) ，a ＋ 2b3× 2 ＋ 4×2－1＝0， 则有：b4a － 2＝ 3，4a ＝5，4 8解得即 A ′(，－ )．＝－ 8，55b5a ′＋ 0b ′＋ 43×＋ 4×－ 1＝0，22b ′－ 4 4 ′＝3，a18a ′＝－ 5 ，184即 B ′(－解得4 5 ，－ 5) ．b ′＝－，548－5－－52∴ k ＝184＝－ 11，b－ 5－ 5∴所求直线 b 的方程为824y ＋ 5＝－ 11( x －5) ，即 2x ＋ 11y － 16＝ 0.当堂训练1． D4． x －y ＋ 1＝ 0分析线段 PQ 的垂直均分线就是直线l ，4－ 2则 k l ·k PQ ＝k l · 1－ 3＝－ 1，得 k l ＝ 1又 PQ 的中点坐标为 (2,3) ，∴直线l 的方程为 y － 3＝ x － 2，即 x －y＋ 1＝ 0.5．－ 2分析如下图，作点 A 对于 x 轴的对称点 A ′，因此点 A ′在直线 MB 上．由对称性可知′(3 ，－ 2) ，A因此光芒 MB 所在直线的斜率为 k6－ － 2＝＝－ 2.A ′B－1－3故反射光芒所在直线的斜率为－2.。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系》_1
反
馈
练
习
一.基础题
1.判断下列各组直线的位置关系：
⑴ ， ；
⑵ ， ；
⑶ ， .
2.求过点 且与直线 平行的直线方程:
⑴ ；
⑵ .
二.提高题
1.直线 与直线
平行，求 的值.
2.已知两直线
当 为何值时，直线 ：⑴相交；⑵平行；⑶重合.
学生自主完成，并让部分学生作板演.
设计意图
复
习
引
入
1.教师提问：
所有与 轴平行的直线方程形式：
所有与 轴平行的直线方程形式：
（C为常数）
2.求直线 与 的交点坐标.
3.教师提问：我们能不能通过两条直线方程联立得到的方程组解的组数去判断两条直线的位置关系呢？最后得出结论：
两条直线相交：方程组有一组解；
两条直线平行：方程组没有解；
两条直线重合：方程组有无数组解.
2.2.3两条直线的位置关系
课题
两条直线相交、平行、重合的条件
课型
新ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课
目
标
知识
技能
1．会求两条直线的交点坐标；
2．知道两条直线相交、平行、重合的条件并应用其解题.
过程
方法
1.会通过两条直线方程联立后所得的方程组解的组数来研究两条直线的位置关系.
2.会表示与已知直线平行的直线方程.
情感
态度
价值观
1.通过学生的主动参与，师生、生生合作交流，提高学生学习兴趣，激发求知欲；
2.培养学生严谨求实、一丝不苟的科学态度.
教学重点
两条直线相交、平行、重合的条件.
教学难点
两条直线相交、平行 、重合的条件的推导.
学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.2.3两条直线的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册
1 1
1 1
(2)l1:y=- x+ ,l2:y=- x+ .
2 4
2 4
因为 k1=k2 且 b1=b2,所以两直线重合.
1
1
(3)l1:y=3x,l2:y=3x+1.
因为 k1=k2 且 b1≠b2,所以两直线平行.
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(5)当直线 l1:A1x+B1y+C1=0(A21 + B12 ≠0)与 l2:A2x+B2y+C2=0(A22 + B22 ≠0)相交
时,直线系(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 必过定点,此定点为两条直线 l1,l2
的交点.
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。
微判断
激趣诱思
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.实际上,过山车的运动包含了许多数学
和物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们靠着一根根巨大的
柱子支撑,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相
平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?那么两条直线的
平行与垂直用什么来刻画呢?
2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的
斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零;(2)利用A1A2+B1B2=0判断.
3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数含参数时不好用;
利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.
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高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系(1)导学案(无答案)新人教B版必修2
两条直线的位置关系 （一）预习准备：1.直线方程的一般式，点斜式，斜截式2.直线Ax+By+C=0的斜率，纵截距 预习目标：直线位置关系的条件及简单应用 预习内容：教材81页——84页预习检验1. 直线012431=--=-y x y x 与的交点坐标为2.判断下列各对直线的位置关系1::14:)4(03:;012:)3(0486:;0243:)2(014:;0243:)1(21212121-=-==+=-=-+=-+=+-=-+x y l x y l x l x l y x l y x l y x l y x l3.过点P （-1,2）， 与直线121+=x y 平行的直线方程为 与x 轴平行的直线方程为 与x=2平行的直线方程为4.直线0532,01=-+=++y x y ax 与直线平行时，a=2.2.3 两条直线的位置关系 （一）课堂探究 例11.已知直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ，求证：当21C C ≠时，21l l 与平行变式：若直线的方程用斜截式表示，那么两条平行直线的方程可设为：例2 设直线,023)2(:,06:221=++-=++m my x m l y m x l 当m 为何值时，21l l 与 1. 相交 2.平行 3.重合巩固：直线01)1(:,062:221=-+-+=++a y a x l y ax l 平行时,求a 的值. 变式：实数m 为何值时，三条直线056,0523,013=-+=--=-+y x y x my x 不能围成三角形.思考求证：不论m 为何实数，直线5)12()1(-=-+-m y m x m 都过定点（9，-4）；若题目没有给出该定点坐标，你能求出吗？小结反思2.2.3 两条直线的位置关系 （一）课后作业 1. 判断下列各对直线的位置关系2,0103)4(0628,034)3(083,063)2(0742,072)1(==+=+-=+-=+-=-+=-+=-+y x y x y x y x y x y x y x2.下列直线中，与直线134+-=x y 平行且不过第一象限的是（ ） A ．0743=++y x B. 0734=++y x C.04234=-+y x D.04243=-+y x 3.直线21,l l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为21,αα，斜率分别为21,k k ，则下列命题:①若2121//k k l l =，则;②若2121//,l l k k 则=；③若2121//αα=，则l l ； ④若2121//,l l 则αα=正确的个数是（ ）A.1 B .2 C.3 D.44.直线l 过点P （1,2），且与A （2,3）,B(4,-5)的距离相等，那么l 的方程为（ ） A.064=-+y x B.064,0723=-+=-+y x y x C.064=-+y x D.064,0732=-+=-+y x y x5.直线A （-2，m ）B(m,4)与直线2x+y-1=0平行，则m=6.三条直线0,01,0832=+=--=++ky x y x y x 交于一点时，k =7.直线012)1(=++--m y x m 恒过定点8. 已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),则平行四边形ABCD 的两边AD,CD 所在直线的方程分别为： 9. 直线2),1(=++=y x x k y 的交点在第一象限时，求k 的范围。
新教材高中数学第二章平面解析几何2-2-3两条直线的位置关系课件新人教B版选择性必修一
提示：(1)×.两条直线的斜率相等，这两条直线可能平行，也可能重合． (2)×.两条直线平行，也可能两条直线都不存在斜率． (3)×.两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线才 垂直． (4)√.两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都垂直于 x 轴，所 以一定平行． (5)×.因为直线 l1 与 l2 有可能重合．
2．两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1⊥l2⇔_k_1_k_2＝__－__1_． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔ _A__1_A_2_＋__B_1_B_2_＝__0．
【思考】 两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？ 提示：不一定，因为两直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在．
则 k 的值是( )
A．1 或 3
B．1 或 5
C．3 或 5
D．1 或 2
(2)过点 P(－1，3)且平行于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＋7＝0
D．x－2y＋5＝0
【思路导引】(1)根据斜率存在不存在分类讨论，若存在斜率，则斜率相等． (2)显然斜率存在，两直线平行斜率相等，由点斜式求出直线方程，再化为一般式．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若 l1∥l2，则 k1＝k2.( ) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直 线垂直．( ) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( ) (5)若直线 l1，l2 的方程组成的方程组有解，则 l1 与 l2 一定相交．( )
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系学案 新人教B版必修2
2.2.3 两条直线的位置关系[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.[知识链接]1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引]1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系,可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：111222截距来进行判断.具体判断方法如表所示.对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2B 2. 又可以得出：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.要点一 直线的交点问题例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1,－2). 又直线l 经过原点,所以直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0,即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0, ∵直线过原点(0,0), ∴8－λ＝0,λ＝8,∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0,10x －5y ＝0, 即2x －y ＝0.规律方法 本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.跟踪演练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得 P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0, 又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0, 解得λ＝11,∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 要点二 两条直线的平行关系例2 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1,－2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (－1,－1)； (2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2),B (－3,10),l 2经过点M (5,－2),N (5,5). 解 (1)k 1＝1－－2－－＝1,k 2＝－1－4－1－3＝54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行；(2)k 1＝1,k 2＝2－12－1＝1,k 1＝k 2,∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合. (3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝0－32－－＝－1,k 1＝k 2,数形结合知,l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.规律方法 判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练2 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,a ＋2).若l 1∥l 2,求a 的值.解 设直线l 2的斜率为k 2,由斜率公式得k 2＝2－a ＋1－－＝－a3.若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1＝－a3,由斜率公式k 1＝2－a a －4,则2－a a －4＝－a3,∴a ＝1或a ＝6.经检验,当a ＝1或a ＝6时,l 1∥l 2. 要点三 两条直线的垂直关系例3 判断下列各题中的直线l 1,l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1,－2),B (1,2),l 2经过点P (－2,－1),Q (2,1)； (2)l 1经过点A (3,4),B (3,6),l 2经过点P (－5,20),Q (5,20). 解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－－1－－＝2,直线l 2的斜率k 2＝1－－2－－＝12,因为k 1·k 2＝1≠－1,所以l 1与l 2不垂直.(2)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率k 2＝20－205－－＝0,所以l 1⊥l 2.规律方法 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.跟踪演练3 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2,－4),B (6,6),C (0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率. 解 由斜率公式可得k AB ＝6－－6－－＝54, k BC ＝6－66－0＝0, k AC ＝6－－0－－＝5.由k BC ＝0知,直线BC ∥x 轴,∴BC 边上的高线与x 轴垂直,其斜率不存在.设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2, 由k 1k AB ＝－1,k 2k AC ＝－1, 即k 1×54＝－1,k 2×5＝－1,解得k 1＝－45,k 2＝－15.综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15.1.直线l 1：2x ＋3y －2＝0；l 2：2x ＋3y ＋2＝0的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合答案 B解析 ∵A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1,∴l 1∥l 2.2.已知直线l 1的斜率k 1＝－85,直线l 2的斜率k 2＝58,则l 1与l 2的位置关系为( )A.平行B.重合C.垂直D.无法确定 答案 C解析 ∵k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2. 3.下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等,则两直线平行； ②若l 1∥l 2,则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 A解析 当k 1＝k 2时,l 1与l 2平行或重合,①不成立；②中斜率不存在时,不正确；④同①,也不正确.只有③正确.故选A.4.直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直,则l 的方程是( ) A.3x ＋2y －1＝0 B.3x ＋2y ＋7＝0 C.2x －3y ＋5＝0 D.2x －3y ＋8＝0 答案 A解析 与2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y ＋m ＝0,把(－1,2)代入直线方程得m ＝－1.5.一条光线从A (3,2)发出,到x 轴上的M 点后,经x 轴反射通过点B (－1,6),则反射光线所在直线的斜率为__________. 答案 －2解析 如图所示,作A 点关于x 轴的对称点A ′,所以点A ′在直线MB 上. 由对称性可知A ′(3,－2),所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－－－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.1.两直线平行或垂直的判定方法2.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线垂直的条件学案
第2课时两条直线垂直的条件1．了解垂直是相交的特例．2．理解两条直线垂直的条件．3．掌握两直线垂直的判定方法，并能根据条件判定两直线垂直．两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的条件图示倾斜角设直线l1的倾斜角为α1，l2的倾斜角为α2，则|α2－α1|＝90°的关系系数关系l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0斜率关系当直线l1与l2斜率都存在且分别为k1，k2时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－11．若l1、l2的斜率之积是－1，则一定有l1⊥l2吗？反之呢？解：若k1·k2＝－1，则l1、l2的斜率都存在且不为0，所以一定有l1⊥l2，但要注意l1⊥l2，不一定有k1·k2＝－1，还有l1、l2中一条斜率为0，同时另一条斜率不存在的情况．2．判断下列直线的位置关系：(1)l1：2x－4y－7＝0，l2：2x＋y－5＝0；(2)l1：2x＝7，l2：3y－5＝0．解：(1)因为A1＝2，B1＝－4，C1＝－7；A2＝2，B2＝1，C2＝－5，又因为A1A2＋B1B2＝0，所以l1与l2垂直．(2)因为l1斜率不存在，l2斜率为0，所以l1与l2垂直．判定直线垂直判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否垂直． (1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)；(2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)； (3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．【解】 (1)由已知得，k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，因为k 1k 2＝1，所以l 1与l 2不垂直． (2)由题得，k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，因为k 1k 2＝－1， 所以l 1⊥l 2．(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，所以l 1⊥l 2．判定两直线是否垂直有两种方法：一是A 1A 2＋B 1B 2＝0；二是k 1·k 2＝－1，本题没有给出直线方程的一般式，因此可先求出斜率，利用k 1·k 2＝－1判定较简单，但应注意数形结合，注意公式k 1k 2＝－1成立的条件．特殊情形时要数形结合，作出判断．已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1，1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．解：因为A (5，－1)，B (1，1)，C (2，m )，所以k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1．当AB ⊥BC 时，有k AB ·k BC ＝－1， 即－12·(m －1)＝－1，解得m ＝3；当AB ⊥AC 时，有k AB ·k AC ＝－1， 即－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋13＝－1，解得m ＝－7；当AC ⊥BC 时，有k AC ·k BC ＝－1， 即⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋13·(m －1)＝－1，解得m ＝±2．综上所述，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为3或－7或±2．已知垂直求参数或直线方程直线l 过点P (1，－1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，求l 的方程． 【解】 法一：由直线2x ＋3y ＋1＝0得斜率k ′＝－23，由垂直条件得l 的斜率k ＝－1k ′＝32， 点斜式方程为y ＋1＝32(x －1)，故l 的方程为3x －2y －5＝0．法二：由l 与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，可设l 的方程为3x －2y ＋C ＝0． 因为P (1，－1)在l 上，所以3×1－2×(－1)＋C ＝0， 解得C ＝－5，所以l 的方程为3x －2y －5＝0．(1)常把一般式化为斜截式，求出已知斜率，再利用斜率间的关系得垂直直线的斜率； (2)若直线l 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直，则直线l 方程可设为Bx －Ay ＋D ＝0．直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，求a的值．解：法一：当a ＝1时，l 1为x ＝3，l 2为y ＝25，故l 1⊥l 2．当a ＝－32时，l 1的方程为－32x ＋52y ＝3，l 2的方程为－52x ＝2，显然l 1、l 2不垂直．当a ≠1且a ≠－32时，由k 1·k 2＝－1得a a －1·1－a2a ＋3＝－1，解得a ＝－3．综上所述，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2．法二：利用A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3．对称性问题求点P (2，4)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点P ′的坐标．【解】 设P ′(x ，y )，因为PP ′⊥l ，所以y －4x －2·2＝－1． ① 又因为线段PP ′的中点在直线l 上， 所以2·x ＋22－y ＋42＋1＝0． ②由①②组成方程组可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝225.所以P ′(65，225)．设P 与P ′关于直线l 对称，则几何条件为PP ′⊥l ，且PP ′的中点在直线l 上，转化为代数式后即可解得所求点的坐标．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 的对称直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1，1)的对称直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l ．所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×(－12)＝－1x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25y 0＝195，即P ′点的坐标为(25，195)．(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P ′1(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×(－12)＝－1x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85．把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0．(3)设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′2(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x y 1＝2－y ．将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0．1．判定两直线垂直的方法(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0判断； (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1判断； (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断． 2．垂直直线的求法(1)求与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y ＝－1kx ＋m ，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx －Ay ＋m ＝0，然后用待定系数法，求出m ．3．利用直线垂直的条件求参数的值常用的两种方法 (1)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； (2)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于方法(2)要注意讨论直线的斜率是否存在，要利用分类讨论的思想解题，从这个方面来说，不如方法(1)简捷．利用斜率判定两直线垂直时应注意的问题(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在； (2)使用时应注意l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1的前提条件是：l 1与l 2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不能确定答案：C2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．13 解析：选C ．因为两直线垂直，所以k ·2＝－1，所以k ＝－12．3．由三条直线2x －y ＋2＝0，x －3y －3＝0和6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是 三角形．解析：由x －3y －3＝0和6x ＋2y ＋5＝0垂直可知该三角形是直角三角形． 答案：直角4．如果直线l 与直线x ＋y －1＝0关于y 轴对称，那么直线l 的方程是 ． 答案：x －y ＋1＝0, [学生用书P117(单独成册)])[A 基础达标]1．过点P (－1，3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：选A ．直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为－2，由点斜式得y－3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0．2．下列说法正确的个数为( )①若两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线垂直；②若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．①正确；当两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，满足l 1⊥l 2，但不满足k 1·k 2＝－1，所以②错误；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错误；④正确．故选B ．3．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以点A 为直角顶点的直角三角形D ．以点B 为直角顶点的直角三角形解析：选C ．如图所示， 易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知，三角形是以点A 为直角顶点的直角三角形．4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：选D ．因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3． 5．已知点P (a ，b )和Q (b －1，a ＋1)是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选D ．因为k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，所以k l ＝1．显然x －y ＝0错误，故选D ．6．直线Ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋C ＝0互相垂直，垂足为(1，m )，则A ＋C ＋m ＝ ．解析：由两直线垂直，得A ＝10，又因为点(1，m )在直线10x ＋4y －2＝0上，所以m ＝－2． 再将(1，－2)代入2x －5y ＋C ＝0，可得C ＝－12．A ＋C ＋m ＝10－12－2＝－4．答案：－47．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2，2)，B (0，1)，C (4，3)，点D (m ，1)在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝ ．解析：设直线AD ，BC 的斜率分别为k AD ，k BC ，由AD ⊥BC 得k AD ·k BC ＝－1，所以1－2m －2×3－14－0＝－1⇒m ＝52．答案：528．已知直线l 垂直于直线3x －4y －7＝0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，则直线l 的方程为 ．解析：设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋C ＝0，则它在x 轴上的截距为－C4，在y 轴上的截距为－C 3．所以|－C 4|＋|－C3|＋C 216＋C 29＝10．所以|C |＝10，即C ＝±10．所以直线l的方程为4x ＋3y ＋10＝0或4x ＋3y －10＝0．答案：4x ＋3y ＋10＝0或4x ＋3y －10＝09．已知点A (－2，－5)和B (6，6)，点C 在y 轴上，且∠ACB ＝90°，求点C 的坐标． 解：设C (0，y )，由∠ACB ＝90°知，AC ⊥CB ，且AC 与CB 的斜率都存在，则y ＋52·y －6－6＝－1，解得y ＝－6或y ＝7．故所求点C 的坐标为(0，－6)或(0，7)．10．若直线ax ＋y ＋1＝0与直线4x ＋2y ＋b ＝0关于点(2，－1)对称，试确定a ，b 的值． 解：法一：因为直线ax ＋y ＋1＝0与直线4x ＋2y ＋b ＝0关于点(2，－1)对称，所以两直线的斜率必相等，即两直线平行．所以a ＝42，所以a ＝2．在2x ＋y ＋1＝0上任取一点A (0，－1)，则点A (0，－1)关于点(2，－1)的对称点为(4，－1)，必在直线4x ＋2y ＋b ＝0上， 所以4×4＋2×(－1)＋b ＝0， 所以b ＝－14， 所以a ＝2，b ＝－14．法二：设(x ，y )为直线ax ＋y ＋1＝0上的任一点，(x ′，y ′)为(x ，y )关于(2，－1)的对称点，则4x ′＋2y ′＋b ＝0，① 且⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，②y ′＝－2－y .③将②③代入①并整理得：2x ＋y －12＋b2＝0，④依题意知④与ax ＋y ＋1＝0应为同一方程．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－12＋b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－14．[B 能力提升]11．已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (－6，3)，其垂心为H (－3，2)，则其顶点A 的坐标为( )A ．(－19，－62)B ．(19，－62)C ．(－19，62)D ．(19，62)解析：选A ．设A (x ，y )，由已知，得AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，且直线AH ，AC 的斜率存在，所以⎩⎨⎧k AH ·k BC ＝－1，k BH ·k AC ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－1，y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62，即A (－19，－62)．12．已知A (0，1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为 ．解析：AB ⊥l 1时AB 最短，所以线段AB 所在直线的斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0．答案：x －y ＋1＝013．已知点A (3，1)，B (0，－1)，C (1，3)，则点D (a ，b )满足什么条件时，可以使得(1)AB ∥CD ；(2)AB ⊥CD ？解：由已知，得k AB ＝1－(－1)3－0＝23，k CD ＝b －3a －1．(1)当AB ∥CD 时，b －3a －1＝23， 所以2a －3b ＋7＝0． (2)当AB ⊥CD 时，b －3a －1×23＝－1， 所以3a ＋2b －9＝0．14．(选做题)已知A (0，3)、B (－1，0)、C (3，0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．解：设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示．由于k AB ＝3，k BC ＝0， 所以k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD 是直角梯形的直角腰，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ． 因为k BC ＝0，所以CD 的斜率不存在，从而有x ＝3． 又k AD ＝k BC ，所以y －3x＝0，所以y ＝3．此时AB 与CD 不平行． 故所求点D 的坐标为(3，3)． (2)若AD 是直角梯形的直角腰， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ． 因为k AD ＝y －3x ，k CD ＝yx －3，又由于AD ⊥AB ，所以y －3x ×3＝－1， ①又AB ∥CD ，所以yx －3＝3． ②①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝185y ＝95， 此时AD 与BC 不平行，即所求点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95． 综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标为（3，3）或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系(1)导学案(无答案)新人教B版必
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3 两条直线的位置关系（1）导学案（无答案）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3 两条直线的位置关系（1）导学案（无答案）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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两条直线的位置关系 （一)预习准备:1.直线方程的一般式，点斜式，斜截式2。
直线Ax+By+C=0的斜率，纵截距预习目标：直线位置关系的条件及简单应用预习内容:教材81页——84页预习检验1。
直线012431=--=-y x y x 与的交点坐标为2。
判断下列各对直线的位置关系1::14:)4(03:;012:)3(0486:;0243:)2(014:;0243:)1(21212121-=-==+=-=-+=-+=+-=-+x y l x y l x l x l y x l y x l y x l y x l3.过点P （-1,2）,与直线121+=x y 平行的直线方程为与x 轴平行的直线方程为与x=2平行的直线方程为4.直线0532,01=-+=++y x y ax 与直线平行时，a=2.2.3 两条直线的位置关系 (一）课堂探究例11.已知直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ，求证:当21C C ≠时，21l l 与平行变式：若直线的方程用斜截式表示，那么两条平行直线的方程可设为：例2 设直线,023)2(:,06:221=++-=++m my x m l y m x l 当m 为何值时，21l l 与1. 相交2.平行 3。
高中数学 第2章 平面解析几何 2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系学案(含解析)新
2.2.3 两条直线的位置关系学习目标核心素养1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点)2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点)3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点) 1．通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养．2．借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养．过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，①l1与l2相交⇔k1≠k2；②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2．(2)向量方法判断设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，因为v 1＝(A 1，B 1)是直线l 1的一个法向量，v 2＝(A 2，B 2)是直线l 2的一个法向量． ①l 1与l 2相交(即只有一个交点)的充要条件是v 1与v 2不共线，即A 1B 2≠A 2B 1． ②l 1与l 2平行或重合的充要条件是v 1与v 2共线，即A 1B 2＝A 2B 1；l 1与l 2重合的充要条件是，存在实数λ使得⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2.思考：直线Ax ＋By ＋C 1＝0与直线Ax ＋By ＋C 2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？ [提示] 平行的充要条件是C 1≠C 2，重合的充要条件为C 1＝C 2． 2．两条直线垂直对应关系l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2图示1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． ( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×[提示] (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率为( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．13B [因为k ＝k AB ＝3－03－2＝3，所以l 的斜率为3．]3．直线l 1与l 2的斜率是一元二次方程2 019x 2－2 020x －2 019＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为 ．垂直 [由题意知一元二次方程2 019x 2－2 020x －2 019＝0的两根x 1·x 2＝－1， ∴直线l 1、l 2的斜率之积k 1k 2＝－1，∴直线l 1⊥l 2．]4．若直线l ：x ＋ay ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，则a ＝ ．－12 [因为直线l ：x ＋ay ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，所以1×(－1)－2a ＝0，解得a ＝－12．]5．经过点P (－2，－1)，Q (3，a )的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a ＝ ．－6 [由题意知a －－13－－2＝－1，所以a ＝－6．]两条直线相交、平行、重合的判定【例1】 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0；l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．[思路探究] 可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值． [解] ∵直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m ．(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0，即(m －3)(m ＋1)≠0，即m ≠3，且m ≠－1． 故当m ≠3，且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m m －2＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，∴m ＝－1．故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m m －2＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3．故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.[跟进训练]1．l 1：9x －y ＋a ＋2＝0；l 2：ax ＋(a －2)y ＋1＝0．求当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．[解] 由题意：A 1＝9，B 1＝－1，C 1＝a ＋2，A 2＝a ，B 2＝a －2，C 2＝1， (1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即9(a －2)－a ×(－1)≠0，∴a ≠95．故当a ≠95时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧9a －2－a ×－1＝0，－1－a 2－4≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝95，a ≠± 3.∴当a ＝95时，l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，由(2)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝95，a ＝±3，不成立，∴直线l 1与l 2不重合．综上所述：当a ≠95时，两直线相交，当a ＝95时，两直线平行，不论a 为何值两直线不会重合．两条直线垂直的判定【例2】 (1)l 1经过点A (3,2)，B (3，－1)，l 2经过点M (1,1)，N (2,1)，判断l 1与l 2是否垂直；(2)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2,3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，若l 1⊥l 2，求a 的值．[思路探究] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．[解] (1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，所以l 1⊥l 2． (2)由题意，知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在． 当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0， 则l 1⊥l 2，满足题意． 当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5， 由斜率公式，得k 1＝3－a a －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3．由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1， 即3－a a －5×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0． 综上所述，a 的值为0或5．利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．[跟进训练]2．分别判断下列两直线是否垂直．(1)直线l 1的斜率为－10，直线l 2经过点A (10,2)，B (20,3)． (2)直线l 1经过A (3,4)，B (3,7)，直线l 2经过点P (－2,4)，Q (2,4)． (3)直线l 1的斜率为13，直线l 2与直线2x ＋3y ＋1＝0平行．[解] (1)直线l 1的斜率为k 1＝－10，直线l 2的斜率为k 2＝3－220－10＝110，k 1·k 2＝－10×110＝－1．所以直线l 1与l 2垂直．(2)直线l 1的斜率不存在，故l 1与x 轴垂直，直线l 2的斜率为0，故直线l 2与x 轴平行，所以l 1与l 2垂直．(3)直线l 1的斜率为k 1＝13，直线l 2的斜率为k 2＝－23，k 1·k 2＝－29≠－1，所以直线l 1与l 2不垂直．直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC 的三个顶点坐标A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，你能判断△ABC 的形状吗？ [提示] 如图，AB 边所在的直线的斜率k AB ＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2．由k AB ·k BC＝－1，得AB ⊥BC ，即∠ABC ＝90°．∴△ABC 是以点B 为直角顶点的直角三角形．2．若已知直角三角形ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，你能求出m 的值吗？ [提示] 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2． 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2．【例3】 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0．试判断四边形OPQR 的形状．[思路探究] 利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．[解] 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－2＋t －2t －1－2t ＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t．所以k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ ．所以四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，所以OP ⊥OR ， 故四边形OPQR 为矩形．1．将本例中的四个点，改为“A (－4,3)，B (2,5)，C (6，3)，D (－3，0)，顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判断四边形ABCD 的形状．”[解] 由题意A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12． 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．2．将本例改为“已知矩形OPQR 中按逆时针顺序依次为O (0，0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，试求顶点R 的坐标．”[解] 因为OPQR 为矩形，所以OQ 的中点也是PR 的中点，设R (x ，y )， 则由中点坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧0＋1－2t 2＝1＋x 2，0＋2＋t 2＝t ＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝2.所以R 点的坐标是(－2t,2)．1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2．判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．(2)证明两直线平行时，仅仅有k 1＝k 2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况． (3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．直线x ＋ay －7＝0与直线(a ＋1)x ＋2y －14＝0平行，则a 的值是( ) A ．1 B ．－2 C ．1或－2 D ．－1或2 B [由已知，得a (a ＋1)－2＝0，解得a ＝－2或a ＝1．当a ＝1时，两直线重合，∴a ＝－2．]2．如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3C [∵k 1＝tan 30°＝33， 又l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， ∴k 2＝－3．]3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10A [由已知，得4－mm ＋2＝－2，∴m ＝－8．]4．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 2的斜率为k ＝m 2－3，若l 1∥l 2，则m 的值为 ． ±2 [由题意知m 2－3＝tan 45°，解得m ＝±2．]5．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． [解] (1)由k AB ＝m －32m2＝tan 135°＝－1， 解得m ＝－32或m ＝1．(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3． 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3． (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1．。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系》_8
两条直线的位置关系教学目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．（5）进一步掌握求直线方程的方法．（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．教学建议1．知识结构2．重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在．③点到直线的距离①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：．③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．教法建议1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）．又如，在求到的角时，根据图形中角的关系，建立与倾斜角和的联系（有且只有或两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式．2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．教学过程一、位置关系总结二、题型一判断两直线的位置关系1、（2014云南模拟）直线2x-y+1=0与直线y-1=2(x+1)的位置关系是（）A 平行B 垂直C 相交但不垂直D 重合2、已知点（2，-3）和直线l:2x-3y+4=0,则直线了L与点的基线的位置关系是（）A 平行B 垂直C 相交但不垂直D 重合题型二已知两直线位置关系求参数的值已知两直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y＋1＝0，l2：ax＋(a－1)y＋2＝0，则当a为何值时，(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2?练习：1、（2014顺义二模）l1:x-2y+1=0 与直线l2:mx-y=0平行，则m=＿2、（2014山东月考）“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的＿条件A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件题型三与其他知识点相关的已知b>0,直线（b2+1）x+ay+2=0 与直线x-y-1=0 互相垂直，则ab的最小值是＿题型四与已知直线平行或垂直求直线方程（2010安徽文数）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0三、总结四、作业。
高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系bb高一数学
已知直线 l1：x＋2y－1＝0 与直线 l2：mx－y＝0 垂 直，则 m＝( )
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
12/13/2021
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
B．2
C．－12
12/13/2021
解：(1)AB 所在直线的方程为1y＋＋33＝1x－－22， 即 4x＋y－5＝0. (2)∵B(2，－3)，C(3,5)，∴D52，1. ∴AD 所在直线的方程为 y＝1.
12/13/2021
(3)kBC＝53＋ －32＝8，∴BC 边上的高的斜率为－18， ∴高线的方程为 y－1＝－18(x－1)，即 x＋8y－9＝0. (4)BC 的垂直平分线的方程为 y－1＝－18x－52， 即 x＋8y－221＝0.
已知三角形内角 A 的内角平分线所在的 直线是 l：2x＋y＋1＝0，而 B(1,2)和 C(－1，－1)是三角形的另 外两个顶点，求顶点 A 的坐标．
解：设点 B 关于 l 的对称点为 B1(x1，y1)， ∴l⊥BB1，线段 BB1 的中点在 l 上， ∵kl＝－2，kBB1＝xy11－－12， ∴yx11－ －21＝12，即 x1－2y1＋3＝0.①
(2)设直线 l 关于 A(1,1)的对称直线为 l′，则直线 l 上任一点 P2(x1，y1)关于点 A 的对称点 P2′(x，y)一定在直线 l′上，反之也 成立．
由xy＋ ＋22 xy11＝ ＝11， ，
得xy11＝ ＝22－ －xy， .
∵P2 在直线 l 上，把 P2 的坐标(x1，y1)代入 l 的方程可得：2 －x＋2(2－y)－2＝0，即 x＋2y－4＝0.
高中数学第二章平面解析几何2.2.3两条直线的位置关系省公开课一等奖新优质课获奖课件
0),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
(2)设直线l1,l2方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1.
2.(1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直全部直线能够怎样表示?
2.2.3
两条直线位置关系
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课 标 阐 释
思
1.理解通过方程组给出的两条直线相
交、平行、重合的条件.
2.会根据直线的斜率判断两条直线平
行或重合.
3.会求两条直线的交点坐标.
4.理解用勾股定理推导两条直线垂直
的条件:A1A 2+B1B2=0 和 k 1k 2+1=0.能熟
练地运用这两个条件判断两条直线是
否垂直.
维
脉 络
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一
二
一、两条直线相交、平行与重合条件
【问题思索】
1.填写下表:
(1)两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0位置关系,能够
1 + 1 + 1 = 0,
用方程组 2 + 2 + 2 = 0 解个数进行判断,也可用直线方程
3
由①得x=3y,代入②得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以
两直线平行.
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
解法二(1)因为A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线相交、平行与重
第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件1．了解平面内两条直线的位置关系． 2．理解直线相交、平行、重合的概念． 3．会求两条直线的交点． 4．掌握两直线相交、平行、重合的判定方法．两条直线相交、平行与重合的条件 (1)代数方法判断两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下： 方程组的解位置 关系交点个数代数条件无解平行无交点A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(A 2C 1－A 1C 2≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有唯一解相交有一个交点 A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)有无数个解重合无数个 交点A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)(2)几何方法判断两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断．具体判断方法如表所示．位置关系平行重合相交图示k ，b 满足条件k 1＝k 2且b 1≠b 2k 1＝k 2且b 1＝b 2k 1≠k 21．若两条直线平行，斜率一定相等吗？解：不一定．例如直线x ＝3和x ＝－2平行，但是，两条直线斜率不存在． 2．判断下列各组中两条直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2． 解：(1)因为32≠－1－6＝16，即A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋4，2x －6y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12．(2)把l 2化为一般式为x －3y ＋2＝0． 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2＝2， 所以l 1与l 2重合． (3)因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2， 所以l 1与l 2平行．判断直线的位置关系判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2，1)，l 2经过点M (3，4)，N (－1，－1)； (2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1，1)，B (2，2)；(3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点M (－1，3)，N (2，0)； (4)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5，5)．【解】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，因为k 1≠k 2，所以l 1与l 2不平行． (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，则有k 1＝k 2．又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠－1，即A ，B ，M 不共线， 故l 1∥l 2．(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2．当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．解答此类问题应考虑周全．已知P (－2，m )，Q (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若直线PQ ∥直线MN ，求m 的值．解：由题意可知，直线PQ 和MN 的斜率显然都存在． 因为PQ ∥MN ，所以k PQ ＝k MN ． 即4－m m ＋2＝1－31－(m ＋2)，解得m ＝0或1． 利用两直线平行的条件求参数已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0．问：当m 为何值时，l 1与l 2(1)平行；(2)重合？ 【解】 (1)因为l 1∥l 2， 所以3－m (m －2)＝0． 即m 2－2m －3＝0． 所以m ＝－1或m ＝3．经检验当m ＝3时两直线重合，故m ＝3舍去． 所以m ＝－1．(2)由(1)可知当m＝3时两直线重合．利用两直线相交、平行、重合的条件进行判断时要根据题目合理选择，要特别注意系数为0和不为0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件(1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合？解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4即m－2≠±2，所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交．(2)由A1B2－A2B1＝0得m＝0或m＝4，当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2；当m＝4时，两直线方程为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥2．故m＝0或m＝4时，两直线l1∥l2．(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合．求直线方程已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A和直线l平行的直线方程．【解】设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，由(2，2)在直线l上，可得3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14．所以过点A与直线l平行的直线方程为3x＋4y－14＝0．直线方程的设法(1)直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这是经常采用的解题技巧．(2)经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．解：法一：设直线l 的斜率为k ，因为直线l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，所以k ＝－34．又因为直线l 过点(1，2)，所以所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0．法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，因为直线l 过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11，所以所求直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0．1．判断两条直线是否平行的步骤2．平行直线的求法(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D ．13解析：选B ．因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3．2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合D ．不确定解析：选B ．直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0， 所以l 1∥l 2．3．直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xx ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，所以交点坐标为(1，2)． 答案：(1，2)4．直线l 过A (1，1)点且与过B (2，5)，C (3，－1)两点的直线平行，则直线l 的方程为 ．答案：6x ＋y －7＝0[学生用书P115(单独成册)])[A 基础达标]1．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合解析：选C ．当k ＝12时，两直线重合，当k ≠12时，两直线平行．2．经过点A (1，1)和点B (－3，2)的直线l 1与过点C (4，5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝( )A ．1B ．4C ．52D ．44解析：选C ．因为k 1＝2－1－3－1＝－14，又l 1∥l 2，所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52．3．已知两平行直线的斜率是方程2x 2－4x ＋m －1＝0的两实根，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析：选C ．由题意知方程2x 2－4x ＋m －1＝0的两实根相等，所以Δ＝(－4)2－4×2×(m －1)＝0．解之得m ＝3．4．如果直线l 1：2x －ay ＋1＝0与直线l 2：4x ＋6y －7＝0平行，则a 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．0解析：选B ．因为l 1∥l 2，所以2×6－(－a )·4＝0，解得a ＝－3．5．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠±1 B ．a ≠1，a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠±1，a ≠2解析：选A ．因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3，0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形．所以a ≠±1．6．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝ ．解析：由题意得tan 45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4．答案：47．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0x ＋y ＋1＝0得交点为(58，－138)，又l 3的斜率为－12，所以所求直线方程为y ＋138＝－12(x －58)，得8x ＋16y ＋21＝0． 答案：8x ＋16y ＋21＝08．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为 ．解析：由题意得l 1∥l 2，则1＋1－4a－0＝－2－10－1，解得a ＝－6． 答案：－69．求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A (3，2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行；(2)经过点C (2，－3)，且平行于过点M (1，2)和N (－1，－5)的直线．解：(1)设所求直线的方程为：4x ＋y ＋m ＝0．又过点A (3，2)，所以4×3＋2＋m ＝0，所以m ＝－14，所以所求直线的方程为4x ＋y －14＝0．(2)因为M (1，2)，N (－1，－5)， 所以k MN ＝2－(－5)1－(－1)＝72．又所求直线与过M 、N 的直线平行，故可设所求直线的方程为y ＝72x ＋b ．又直线过点C (2，－3)，所以－3＝72×2＋b ，所以b ＝－10．所以所求直线的方程为y ＝72x －10．即7x －2y －20＝0．10．光线从点A (－3，4)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1，6)，求光线BC 所在直线的斜率．解：设B (a ，0)，C (0，b )，过点B 、C 作两条法线交于点E ， 则∠E ＝90°．所以∠ECB ＋∠EBC ＝90°， 所以2∠ECB ＋2∠EBC ＝180°． 由入射角等于反射角，得∠DCB ＋∠ABC ＝180°， 所以AB ∥CD ． 所以k AB ＝k CD ，即－4a ＋3＝b －6． ①由入射角等于反射角，还可得直线AB 的倾斜角与直线BC 的倾斜角互补， 所以k AB ＝－k BC ，即－4a ＋3＝－b－a． ②解①②得a ＝－75，b ＝72．所以B (－75，0)，C (0，72)．所以k BC ＝52．[B 能力提升]11．已知过A (－2，m )和B (m ，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10解析：选A ．由题意可知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8．12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为 ．解析：依题意，直线CD 的斜率k CD ＝k AB ＝8－06－(－2)＝1，且过C (8，6)，则CD 的方程为y －6＝1×(x －8)，即x －y －2＝0．直线AD 的斜率为k AD ＝k BC ＝6－88－6＝－1，且过点A (－2，0)，则AD 的方程为y ＝－1×(x ＋2)，即x ＋y ＋2＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0x ＋y ＋2＝0得D (0，－2)． 答案：(0，－2)13．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0．试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2．解：(1)因为m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，所以m ＝1，n ＝7． (2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4． 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠∓2．即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2．14．(选做题)已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0，1)，B (1，0)，C (4，3)，求顶点D 的坐标．解：设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ．所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3，4)．。
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2.2.3 两条直线的位置关系
[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想
.
[知识链接]
1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.
2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
. 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引]
1.两条直线相交、平行与重合的条件
(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系,可以用方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：
111222截距来进行判断.具体判断方法如表所示.
对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋
B 1B 2＝0.
如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2B 2
. 又可以得出：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.
要点一 直线的交点问题
例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程.
解 方法一 解方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－2，
所以直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1,－2). 又直线l 经过原点,所以直线l 的方程为
y －0
－2－0＝x －0
－1－0
,即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0, ∵直线过原点(0,0), ∴8－λ＝0,λ＝8,
∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0,10x －5y ＝0, 即2x －y ＝0.
规律方法 本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.
跟踪演练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.
解 方法一 解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋4＝0，
x ＋y －2＝0得 P (0,2).
因为l 3的斜率为3
4,且l ⊥l 3,
所以直线l 的斜率为－4
3
,
由斜截式可知l 的方程为y ＝－4
3x ＋2,
即4x ＋3y －6＝0.
方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0, 又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0, 解得λ＝11,∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 要点二 两条直线的平行关系
例2 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：
(1)l 1经过点A (－1,－2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (－1,－1)； (2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2)；
(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2),B (－3,10),l 2经过点M (5,－2),N (5,5). 解 (1)k 1＝
1－－
2－－
＝1,k 2＝－1－4－1－3＝5
4
,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行；
(2)k 1＝1,k 2＝2－1
2－1＝1,k 1＝k 2,
∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合. (3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝
0－3
2－－
＝－1,k 1＝k 2,数形结合知,l 1∥l 2.
(4)l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.
规律方法 判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.
跟踪演练2 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,a ＋2).若
l 1∥l 2,求a 的值.
解 设直线l 2的斜率为k 2,由斜率公式得
k 2＝
2－a ＋1－－
＝－a
3
.
若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1＝－a
3,
由斜率公式k 1＝2－a a －4,则2－a a －4＝－a
3,
∴a ＝1或a ＝6.
经检验,当a ＝1或a ＝6时,l 1∥l 2. 要点三 两条直线的垂直关系
例3 判断下列各题中的直线l 1,l 2是否垂直：
(1)l 1经过点A (－1,－2),B (1,2),l 2经过点P (－2,－1),Q (2,1)； (2)l 1经过点A (3,4),B (3,6),l 2经过点P (－5,20),Q (5,20). 解 (1)直线l 1的斜率k 1＝
2－－
1－－＝2,直线l 2的斜率k 2＝
1－－
2－－
＝1
2
,因为k 1·k 2＝1≠－1,所以l 1与l 2不垂直.
(2)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率k 2＝
20－20
5－－
＝0,所以l 1⊥l 2.
规律方法 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.
跟踪演练3 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2,－4),B (6,6),C (0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率. 解 由斜率公式可得
k AB ＝6－－6－－＝54
, k BC ＝6－6
6－0
＝0, k AC ＝
6－－0－－
＝5.
由k BC ＝0知,直线BC ∥x 轴,
∴BC 边上的高线与x 轴垂直,其斜率不存在.
设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2, 由k 1k AB ＝－1,k 2k AC ＝－1, 即k 1×5
4
＝－1,k 2×5＝－1,
解得k 1＝－45,k 2＝－1
5
.
综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在；
AB 边上的高所在直线的斜率为－45
； AC 边上的高所在直线的斜率为－1
5
.
1.直线l 1：2x ＋3y －2＝0；l 2：2x ＋3y ＋2＝0的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合
答案 B
解析 ∵A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1,∴l 1∥l 2.
2.已知直线l 1的斜率k 1＝－85,直线l 2的斜率k 2＝5
8,则l 1与l 2的位置关系为( )
A.平行
B.重合
C.垂直
D.无法确定 答案 C
解析 ∵k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2. 3.下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等,则两直线平行； ②若l 1∥l 2,则k 1＝k 2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 A
解析 当k 1＝k 2时,l 1与l 2平行或重合,①不成立；②中斜率不存在时,不正确；④同①,也不正确.只有③正确.故选A.
4.直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直,则l 的方程是( ) A.3x ＋2y －1＝0 B.3x ＋2y ＋7＝0 C.2x －3y ＋5＝0 D.2x －3y ＋8＝0 答案 A
解析 与2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y ＋m ＝0,把(－1,2)代入直线方程得m ＝－1.
5.一条光线从A (3,2)发出,到x 轴上的M 点后,经x 轴反射通过点B (－1,6),则反射光线所在直线的斜率为__________. 答案 －2
解析 如图所示,作A 点关于x 轴的对称点A ′,
所以点A ′在直线MB 上. 由对称性可知A ′(3,－2),
所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－－
－1－3＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.
1.两直线平行或垂直的判定方法
2.。