江苏省南通市2020届高三数学第二学期阶段性模拟考试含答案

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江苏南通市2019-2020学年度第二学期高三数学适应性测试(含答案)

2020届高三数学适应性练习参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}13=A ，，{}2|20B x x x =-<，则集合A B I = ． 2．已知复数(1i)43i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 . 3．现有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：10，11，12，13，14，则康复时间的方差为 . 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S 的值是．5．一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随机坐到其他三个位置上，则A 与B 相对而坐的概率为．6．已知向量，，a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμλμ=+∈R （，）a b c ，则λμ+的值为．7．将函数()π()sin 23f x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数，则ϕ的最小正值是．8．已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若31412a a -=，4217S S =，则2a 的值为．I ← 1While I < 6 I ← I +2 S ←2I +3 End While Print S（第4题）（第5题）cba（第6题）（第11题）BCDEFA（第14题）9．过双曲线2221(0)5y x b b-=>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ．若△POF 的面积5，则该双曲线的离心率为． 10．已知直线80ax by +-=()a b ∈，R 经过点(12)-，，则124a b +的最小值是．11．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l 1，一般的十字捆扎（如图（2）所示）所用绳长为l 2．若点心盒的长、宽、高之比为2:2:1，则12l l 的值为． 12．已知函数()f x x =，则不等2(2)()f x f x ->式的解集是．13．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为圆M ：224x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00()P x y ，为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为．14．已知等边ABC △的边长为1，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，且ADF DEF S S =△△13ABC S =△．若AD =x ，CE =y ，则yx的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin sin sin sin B C B AA B C--=+．（1）若ABC △3ab 的值；（2）若223c b a +=，求cos A ．16．（本小题满分14分）如图，已知EA 和DC 都垂直于平面ABC ，AB=AC ＝BC =AE =2CD ，F 是BE 的中点．（1）若G 为AF 中点，求证：CG ∥平面BDE ；（2）求证：AF ⊥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某度假村有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ，其内有一以正方形中心O 为圆心，2百米为半径的圆形观景湖．现规划修建一条从边AB 上点P 出发，穿过生态园且与观景湖相切的观赏道PQ （其中Q 在边AD 上）．（1）设APQ θ∠=，求观赏道PQ 的长l 关于θ的函数关系式()f θ；（2）试问如何规划设计，可使观赏道PQ 的长l 最短？G （第16题）BDFE CA（第17题）θQOAD18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为22，点(21，在椭圆上．若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2-=x 相交于Q ．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求直线l的方程；（3）点T 是x 轴上一点，若总有0uu u r uu u rPT QT ⋅=，求T 点坐标．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足1(2)0n n n S nS n ---+=，N 2n n *∈，≥，22a =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记221111i i i b a a +=++，1(1)nn i i T b ==-∑．① 求T n ；② 求证：11ln ln n n n T T T ++<．20．（本小题满分16分）已知函数2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--．（1）若函数f (x )与g (x )在(0)+∞，上均单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当(e 0]a ∈-，（其中e 为自然对数的底数）时，记函数()g x 的最小值为m ．求证：312em -<-≤；（3）记()()()2ln h x g x f x x '=--，若函数h (x )有两个不同零点，求实数a 的取值范围．（第18题）POxy Q2020届高三数学适应性练习附加21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区．．．．．．域内作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈，R ，矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵M ；（2）若曲线1C ：292y x x =-在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线截得的弦长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点B 在直线:1l y =-上，点T 满足TB u u r ∥OA u u u r，()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，T 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点P ()()00t t ，>的直线交曲线C 于点M N ，，分别过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为11M N ，．① 若1190M PN ?°，求实数t 的值；② 点M 关于y 轴的对称点为Q （与N 不重合），求证：直线NQ 过一定点，并求出这个定点的坐标．23．(本小题满分10分)已知数列}{n a 满足：11||n n a a n n*+-∈N ≤，．（1）证明：||n k n k a a n k n*+-∈≤，，N ；（2）证明：221(1)||2m i mi m m a a m *=--∈∑≤，N ．y A TBO（第22题）参考答案及评分细则一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}1； 2． 522； 3． 2； 4． 17；5．13； 6． 0； 7． 512π； 8． 4±；9． 35； 10． 32； 11． 2； 12． -21（，）； 13．5710-； 14．130222⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，，．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解】（1）因为 (sin sin )(sin sin )sin (sin sin )B C B C A B A +-=-，在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()()()b c b c a b a +-=-，化简得222a b c ab +-=， ……3分在ABC V 中，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==， ……4分因为(0,)C π∈，所以3πC =，又ABC V 3，可得1sin 32ab C =，所以4ab =. ……7分（2）因为223c b a +=,在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,所以2sin sin 2sin 3C B A += 因为A B C π++=，所以2sin sin()2sin 3C A C A ++= ……9分由（1）得3πC =，所以2sin sin()2sin 333ππA A ++=，化简得333sin 2A A -=，所以1sin()63πA -=. ……11分因为203A π<<，所以662πππA -<-<，所以222cos()1sin ()66ππA A -=--=所以22311261cos cos ()6632ππA A -⎡⎤=-+=-⋅=⎢⎥⎣⎦. ……14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取EF 中点Q ，连结GQ ，因为G 为AF 中点，所以GQ ∥AE ，且12GQ AE =. ……2分因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ，所以CD ∥AE ，又AE =2CD ，所以GQ ∥CD ，且GQ CD =. 所以四边形CDQG 为平行四边形，所以CG ∥DQ ， ……4分又CG ⊄平面BDE ，DQ ⊂平面BDE ，所以CG ∥平面BDE ． ……6分（2）取AB 中点P ，连结FP ，CP ，因为F 是BE 的中点，所以FP ∥AE ，且12FP AE =.因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ，所以CD ∥AE. 又AE =2CD ，所以CD ∥PF ，且CD =PF ，所以四边形CDFP 是平行四边形.所以CP ∥DF . ……8分因为AC ＝BC ，P 为AB 中点，所以CP ⊥AB ，所以DF ⊥AB .因为EA 垂直于平面ABC ，CP ⊂平面ABC ，所以CP ⊥AE ，所以DF ⊥AE . ……10分因为AB AE A =I ，AB AE ⊂，平面ABE ，所以DF ⊥平面ABE . 因为AF ⊂平面ABE ，所以DF ⊥AF . ……12分因为AB=AE ，F 是BE 的中点，所以AF ⊥BE .因为BE DF F =I ，BE DF ⊂，平面BDE ，所以AF ⊥平面BDE . ……14分17．（本小题满分14分）解：（1）以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(22)O ，，(cos 0)P l θ，，(0sin )Q l θ，，所以直线PQ 的方程为sin (cos )cos l y x l l θθθ=--，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ⋅+⋅-=. ……3分因为直线PQ 与圆O 相切，所以圆心到直线PQ 的距离为222sin 2cos sin cos 2sin cos l d θθθθθθ+-==+，化简得2sin 2cos sin cos 20l θθθθ+-=， ……5分解得2sin 2cos 2l θθ+-=，2sin 2cos 2()f θθθ+-=π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. ……7分（2）因为2sin 2cos 2()f θθθ+-=，则(cos sin )(2sin 2cos 22sin cos )()f θθθθθθθ-+--'=9分因为π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2220θθ+-≤，2222sin cos 0θθθθ+--< 令()0f θ'=，得π4θ=， ……11分则ππ124θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'<，()f θ单调递减，π5π412θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>，()f θ单调递增，所以π4θ=时，()f θ取得最小值为22. 答：设计成π4APQ ∠=时，可使观赏道PQ 的长l 最短. ……14分18．（本小题满分16分）【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，得2222211+=1222.a b c aa b c ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，解得21.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为2212x y +=． ……3分（2）由题意，设直线l 的方程为m x y +=21，联立方程组221212y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，，得 0444322=-++m mx x ，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()221612440m m ∆=--= 解得6m = ，所以直线l 的方程为2621±=x y ． ……6分（3）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2-=x 无交点，不符合题意，故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +m ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()022412222=-+++m kmx x k ，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210k m m k ∆=--+=，化简得：2221m k =+， ……8分所以412,P P P k x y kx m m m =-=+=，即⎪⎭⎫⎝⎛-m m k P 1,2，因为直线l 与直线2-=x 相交于Q ，所以)2,2(k m Q --，……10分设(0)T t ，，所以021)2(2=-+--⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅m k t t m k ，即0)1(12=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++t t m k 对任意的k ,m 恒成立， ……14分所以01=+t ，即1-=t ，所以点T 坐标为()0,1-. ……16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为1(2)0n n n S nS n ---+=，所以2n =时，11S =，即11a =. 因为2n ≥时，1(2)0n n n S nS n ---+=，即2n n S na n =+. n =1时也适合该式.所以2n ≥时，2n n S na n =+，112(1)1n n S n a n --=-+-，两式相减得1(2)(1)10n n n a n a ----+=，则1(1)10n n n a na +--+=，两式相减得112(1)(1)(1)02n n n n a n a n a n -+-----=，≥. 所以11202n n n a a a n -+--=，≥，所以11n n n n a a a a +--=-. 所以数列{a n }为等差数列.因为11a =，22a =，所以公差1d =，所以1(1)1n a n n =+-⨯=. ……4分（2）①因为a n =n ，所以2222222211(1)(1)1(1)(1)i i i i i b i i i i ++++=++=++ (1)111111(1)(1)1i i i i i i i i ++==+=+-+++， ……6分所以111111111()()()()1122334111n n T n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，…8分 ②要证11ln ln n n n T T T ++<，只要证11ln ln212n n n n n n ++<+++，只要证+12(1)ln (2)ln1n n n n n n ++>++，即证+1+122ln ln11+1+2111n n n n n n n n n n n n ++++>--+.…10分设+1n x n =，x >1，令ln ()11x xf x x x =>-，，则21ln ()(1)x xf x x --'=-， ……12分易证1ln 0x x -->，故()0f x '>在()1+∞，上恒成立. 所以()f x 在()1+∞，上单调递增，因为121n n n n ++>+，所以12()()+1n n f f n n ++>.所以所证不等式成立. ……16分 20．（本小题满分16分）【解】（1）因为函数2()(1)f x ax a x =-+-在(0)+∞，上单调递减，所以0102a a a-<⎧⎪⎨-⎪-⎩，≤，解得1a ≥.因为21()ln 2g x x x ax x =--在(0)+∞，上单调递减，所以()ln 110g x x ax '=+--≤在(0)+∞，上恒成立，即ln 0x ax -≤在(0)+∞，上恒成立，所以ln x a x≥在(0)+∞，上恒成立. ……2分令ln ()x t x x =，则21ln ()x t x x-'=，令()0t x '=，得e x =，当()0e x ∈，时，()0t x '>，()t x 单调递增；当()e +x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减，所以max 1()e t x =，所以1ea ≥.故实数a 的取值范围为[)1+∞，. ……4分（2）因为()ln g x x ax '=-，所以11()ax g x a x x -''=-=.当(e 0]a ∈-，时，[0e)a -∈，，所以11()0ax g x a x x -''=-=>恒成立，所以()ln g x x ax '=-在（0，+∞）上单调递增. 因为1e (1)()10e e ea a g a g +''=-=--=-<≥0，，所以(011e x ⎤∃∈⎥⎦，，使得0()0g x '=.，即00ln 0x ax -=.所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x <时，()0g x '>，()g x 单调递增. 从而2000min00000ln ()()ln 22ax x x m g x g x x x x x ===--=-. ……8分令(ln 1()12e x x x x x ϕ⎤=-∈⎥⎦，，，则ln 1()02x x ϕ-'=<.所以ln ()2x x x x ϕ=-在(11e ⎤⎥⎦，单调递减，因此()(1)1x ϕϕ=-≥，13()()e 2ex ϕϕ<=-.所以312em -<-≤. ……10分（3）因为2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--，所以2()()()2ln (1)ln 112ln h x g x f x x ax a x x ax x '=--=+-++---，即2()ln h x ax x x =--.所以2121()21ax x h x ax x x--'=--=，当0a ≤时，()0h x '<在(0)+∞，上恒成立，则h (x )在(0)+∞，上单调递减，故h (x )不可能有两个不同的零点. ……12分当0a >时，22ln ()x x h x x a x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令2ln ()x x F x a x +=-，则函数()h x 与函数()F x 零点相同.因为312ln ()x x F x x -+'=，令()12ln G x x x =-+，则2()10G x x'=+>在(0)+∞，上恒成立，因为(1)0G =，则x(01)，1 (1)+∞，()F x '- 0 + ()F x递减极小值递增所以()F x 的极小值为(1)1F a =-，所以要使()F x 由两个不同零点，则必须(1)10F a =-<，所以a 的取值范围为()01，. ……14分因为(1)0F <，1()0e F >，又()F x 在()01，内连续且单调，所以()F x 在()01，内有唯一零点. 又()()()()22222222ln 2022a a a a a a F a a a a⋅--+=->=，且21a >，又()F x 在()1+∞，内连续且单调，所以()F x 在()1+∞，内有唯一零点. 所以满足条件的a 的取值范围为()01，. ……16分21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】（1）因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量，所以1111λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即1113311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1333a b +=⎧⎨+=⎩，，解得20a b =⎧⎨=⎩，．所以矩阵2130⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ……4分（2）设曲线1C 上任一点00()Q x y ，在矩阵M 的作用下得到曲线2C 上一点()P x y ，，则002130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以00023x y x x y +=⎧⎨=⎩，，解得00323y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．因为200092y x x =-，所以()2292333yy x y -=-⋅，即曲线2C 的方程为2y x =． ……10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】曲线的直角坐标方程为2240x y x +-=， ……3分即22(2)4x y -+=，圆心(20)，，半径2r =，直线l 的普通方程为310x -=， ……6分所以圆心(20)，到直线l 的距离12d =，所以直线l 被曲线C 截得的线段长度()22221222152L r d =-=-=……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++．证明：由柯西不等式得()()22222222211x z x y z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦≥ …… 6分因为=5x y z ++，所以2225(2)252≥x y z ++⋅，所以222210≥x y z ++，当且仅当2a b c ==时取等号．……………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)解:（1）设T 的坐标为(),x y ，则B 为(),1x -，因为 A （0，1），所以()0,1TB y =--u u r ，(),2AB x =-u u u r因为()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，所以()20AB AB TB ?=u u u r u u u r u u r，所以220AB AB TB -?u u u r u u u r u u r，所以()24440x y +-+=，即 24x y =，所以曲线C 的方程为24x y = ……4分（2）法一：由题意，直线MN 的斜率必存在，设为k则直线MN 的方程为：y kx t =+，由24y kx tx yì=+ïí=ïî可得：2440x kx t --= 设()()1122,,,M x y N x y ，则21212Δ1616044k t x x k x x t ì=+>ïï+=íï?-ïî①因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r因为()()1112,1,,1PM x t PN x t =--=--u u u u r u u u u r所以()21210x x t ++=，所以()2410t t -++=解得：1t = ……6分 ②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()()1112,0Q x y x x -+?xyPN 1MNM 1O所以222121212121444QNx x y y x x k x x x x ---===++ 所以直线NQ 的方程为：()21114x x y y x x --=+ 令0x =得：()22211121112144444xx x x x x x x x y y t -=+=-+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分（2）法二：设()()222,,2,M m m N n n ()m n ¹，因为,,M N P 三点共线，所以MP NP k k =，所以2222m t n t m n --=，化简得：()()0mn t m n +-= 因为m n ¹，所以mn t =- ①由题意：()()112,1,2,1M m N n --，所以()()112,1,2,1PM m t PN n t =--=--u u u u r u u u u r因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r，所以()()2,12,10m t n t --?-=，所以()2410mn t ++=，所以()2410t t -++=，解得：1t = ……6分②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()22,Q m m -()0m n +?所以22222QNn m n m k n m --==+，所以直线NQ 的方程为：()222n my m x m --=+ 令0x =得：()222n m my m mn t -=+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分23．(本小题满分10分)【解析】（1）证明：||=n k n a a +-1121|()()()|n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L1121||||||n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L ≤11112n k n k n ++++-+-L ≤kn≤． ……3分（2）用数学归纳法证明．① 当1=m 时，左边0||22=-=a a =右边；当2=m 时，由（1）得左边||||4424a a a a -+-=2222||12a a +=-=≤=右边；② 设当k m =时，结论成立，即有221(1)||2k i ki k k a a =--∑≤， ……5分则当1+=k m 时，∑+=-+1122||1k i i k a a||221221i k k k a a a aki -+-=∑=+1221||k k ki a a +=-∑≤∑=-+ki i ka a122||由（1）得||221k k a a -+||222k kk a a -=+212kk =≤，所以1221||k k ki a a k +=-∑≤， ……8分所以∑+=-+1122||1k i i k a a 221||k i ki k a a =+-∑≤(1)2k k k -+≤(1)[(1)1]=2k k ++- 所以1+=k m 时结论成立．由①②可知原不等式成立． ……10分。

专题13 利用导数解决函数的极值、最值-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)【原卷版】

学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值.x【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（）A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（）A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛-∞,1 ⎫2 ⎪ ⎝⎭C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R .（1）当a = 2 时，求f (x )的极值；（2）写出函数f (x )的单调增区间；（3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ．（1）求函数f (x )的极值；（2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )．【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数学习界的007f ( x ) = x ln x -1 (m + 1) x2 - x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）2A ． ⎛ - 1 , 0⎫B ． ⎛-1, 1 -1⎫C ． ⎛ -∞, 1 -1⎫ ）D ． (-1, +∞)e ⎪ e⎪ e⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭⎝⎭【变式演练 6】（由极值求其他）【四川省江油中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试】已知函数f ( x ) = 1x 3 + ax 2 + bx (a , b ∈ R ) 在 x = -3 处取得极大值为 9.3（1）求 a ， b 的值；（2）求函数 f (x ) 在区间[-4, 4] 上的最大值与最小值.类型二求函数在闭区间上的最值万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步求出函数 f (x ) 在开区间(a , b ) 内所有极值点；第二步计算函数 f (x ) 在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 【河南省天一大联考 2020 届高三阶段性测试】已知函数 f ( x ) = ln x - x ， g ( x ) = ax 2+ 2x (a < 0) .（1）求函数 f( x ) 在⎡1 , e ⎤上的最值； ⎢⎣ e ⎥⎦（2）求函数 h( x ) = f (x ) + g (x ) 的极值点.【变式演练 7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟 2019-2020 学年高三上学期 12 月联考】已知函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上可导，则“函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a ,b ) ，满足 f '(x 0 ) = 0 ”的⎨ 1 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练 8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月模拟】若函数⎧a ln x - x 2 - 2 (x > 0 )f ( x ) = ⎪x + + a (x < 0) 的最大值为 f (-1) ，则实数a 的取值范围为（）⎩⎪ xA ． ⎡⎣0, 2e 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣0, 2e 3⎤⎦C ． (0, 2e 2⎤⎦D ． (0, 2e 3⎤⎦【变式演练 9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】已知函数f (x ) = cos 2 x s in 2x ，若存在实数 M ，对任意 x 1 , x 2 ∈R 都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) ≤ M 成立.则 M 的最小值为（）A.3 38B.32C.3 3 4D.2 3 3【变式演练 10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学 2020 届高三下学期期中】已知函数f (x ) = (x - a - 1)e x -1 - 1x 2 + ax , x > 02（1）若 f (x ) 为单调增函数，求实数 a 的值；（2）若函数 f (x ) 无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和.【高考再现】1.【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数 ƒ(x ) = 䂸x 3 — t x 䂸 + 1(t C R )在(t h + œ) 内有且只有一个零点，则 ƒ(x )在[ — 1h 1]上的最大值与最小值的和为．2【. 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷）】已知函数 ƒ x = 䂸sinx + sin 䂸x ，则 ƒ x的最小值是．3. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 21】已知函数 f (x ) = sin 2x sin 2x ．3 381 2 n （1）讨论 f ( x ) 在区间(0,π) 的单调性；（2）证明： f (x ) ≤ ；（3）设 n ∈ N *，证明： sin 2x sin 22x sin 24x sin 22nx ≤ 3 ． 4n4. 【2020 年高考天津卷 20】已知函数 f (x ) = x3+ k ln x (k ∈ R ) ， f ' (x ) 为 f ( x ) 的导函数．（Ⅰ）当 k = 6 时，（i ）求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（ii ）求函数 g (x ) = f (x ) - f '(x ) + 9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当 k - 3 时，求证：对任意的 x , x ∈[1, +∞) ，且 x> x ，有 f '( x ) + f ' (x ) > f (x 1 )- f (x 2 ) ． 1 2 1 2 2x - x 1 25. 【2018 年全国卷Ⅲ理数】已知函数 ƒ x = 䂸+ x + tx 䂸 ln 1 + x — 䂸x ．（1）若 t = t ，证明：当— 1 ǹ x ǹ t 时，ƒ x ǹ t ；当 x Σ t 时，ƒ x Σ t ；（2）若 x = t 是 ƒ x 的极大值点，求 t ．6. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数 ƒ(x ) = [tx 䂸 — (3t + 1)x + 3t + 䂸]e x .（Ⅰ）若曲线 y = ƒ(x )在点(䂸h ƒ(䂸))处的切线斜率为 0，求 a ；（Ⅱ）若 ƒ(x)在 x = 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.7. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数 ƒ(x )=(x — t 1)(x — t 䂸)(x — t 3)，其中t 1h t 䂸h t 3 C R ,且t 1h t 䂸h t 3是公差为 d 的等差数列.（I ）若t 䂸 = t h d = 1h 求曲线 y = ƒ(x )在点(t h ƒ(t ))处的切线方程；（II ）若 d = 3，求 ƒ(x)的极值；4 4 （III ）若曲线 y = ƒ(x) 与直线 y =— (x — t 䂸) — 6 3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1.【2020 届高三 6 月质量检测巩固卷数学（文科）】若函数 f ( x ) = e x (-x 2 + 2x + a )在区间(a , a +1) 上存在最大值，则实数a 的取值范围为（）⎛ -1 A ．, -1 + 5 ⎫ B ． (-1, 2)2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ -1 C ． 2 ⎫ , 2⎪⎛ -1 D ．2⎫, -1⎪ ⎝ ⎭⎝⎭2. 【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届高三下学期第四次检测】若函数 f (x ) = ae x- 1在其定义域上只有 3x个极值点，则实数a 的取值范围（）⎛ e 2 ⎫⎛ e 2 ⎫ A ． -∞, - ⎪ (1, +∞)⎝⎭ B ． -∞, - ⎪⎝⎭C ． ⎛-e , -1 ⎫ (1, +∞)D ． ⎛-∞, - 1 ⎫4e 2 ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭xx2 x3. 【湖北省金字三角 2020 届高三下学期高考模拟】已知函数 f ( x ) = e + - ln x 的极值点为1 ，函数 2g ( x ) = e x + x - 2 的零点为 x ，函数 h ( x ) = ln x的最大值为x ，则（） 2 2x 3A. x 1 > x 2 > x 3B. x 2 > x 1 > x 3C. x 3 > x 1 > x 2D. x 3 > x 2 > x 14. 【湖北省宜昌一中、龙泉中学 2020 届高三下学期 6 月联考】已知函数（ff (e ) = 1，当 x ＞0 时，下列说法正确的是（）ex ）满足 x 2 f '(x ) + 2xf (x ) = 1+ ln x ，① f (x ) 只有一个零点；② f (x ) 有两个零点；- 5 + 5 - 5③ f (x) 有一个极小值点；④ f (x) 有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④5.【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟】已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3)，则下列结论正确的是（）A．f (x)在x = 0 处有极大值B．f (x )在x = 2 处有极小值C. f (x)在[1, 3]上单调递减D．f (x )至少有3 个零点6.【云南省曲靖市2020 届高三年级第二次教学质量监测】已知实数a, b 满足0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤ 1 ，则函数f (x)=x3 -ax2 +b2 x +1 存在极值的概率为（）A．1B．3C．16 6 3D.37.【云南省红河自治州2019-2020 学年高三第二次高中毕业生复习统一检测】下列关于三次函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0) ( x ∈R) 叙述正确的是（）①函数f (x) 的图象一定是中心对称图形；②函数f (x) 可能只有一个极值点；③当x ≠-b时，f (x) 在x =x 处的切线与函数y = f (x) 的图象有且仅有两个交点；0 3a 0④当x ≠-b时，则过点(x, f (x))的切线可能有一条或者三条．0 3a 0 0A．①③B．②③C．①④D．②④8.【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知e 为自然对数的底数，设函数f (x)=1 x2 -ax +b ln x 存在极大值点x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值f (x )< 0 ,则下列结论2 0 0bb ( ) 中正确的是()A. 存在 x 0= ,使得f (x 0 ) < - 12eB. 存在 x 0= ，使得f (x 0 ) > -e 2C.b 的最大值为e 3D.b 的最大值为 2e 2ax 2⎛ 1 , 3⎫9. 【四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试】函数f （x ）＝ 2+（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间 2 ⎪⎝ ⎭内有极小值，则 a 的取值范围是（）A ． ⎛ -2, -1 ⎫B ． ⎛-2, -1 ⎫3 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭C ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃⎛ - 1 , +∞⎫D ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃ ⎛ - 1 , +∞ ⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭10.【河北省衡水中学 2019-2020 学年高三下学期期中】已知函数 f (x ) =(x2- a )2- 3 x 2 -1 - b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一．组．即可）1 3 5 9① a ≤ - ② < a < ③ a = 1 ，-2 < b < 0 ④ a = 1 ，- < b < -2 或b = 0 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小值点2 2 2 4⑦6 个零点⑧4 个零点1. 【福建省漳州市 2020 届高三高考数学（文科）三模】已知函数 f (x ) = ( x + 3) e x- 2m ， m ∈ R .（1）若 m = 3，求 f ( x ) 的最值；2（2）若当 x ≥ 0 时， f (x - 2) + 2m ≥ 1 mx 2+ 2x +1 ，求 m 的取值范围.e 212. 【安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学 2020 届高三高考数学（文科）最后一卷】已知函数 f (x ) = 1 x 2- 2x + a ln x ， a > 1 . 2e（1）讨论 f( x ) 的单调性；（2）若f (x )存在两个极值点x1 、x2 ，求f (x1 )+f (x2 )的取值范围.13.【2020 届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测】已知函数f (x)=ae x + 2e -x+(a - 2 )x .（1）若y =f (x )存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）设1 ≤a ≤ 2 ，设g (x)= f (x)-(a + 2)cos x 是定义在⎛-∞,π ⎤上的函数.2 ⎥⎝⎦（ⅰ）证明：y =g'(x )在⎛-∞,π ⎤上为单调递增函数( g'(x)是y =g (x )的导函数)；2 ⎥⎝⎦ （ⅱ）讨论y =g (x )的零点个数.14.【广东省惠州市2021 届高三上学期第一次调研】已知函数f (x) =x- ln(ax) ．a（1）若a > 0 ，求f (x) 的极值；（2）若e x ln x +mx 2 +(1 -e x )x +m ≤ 0 ，求正实数m 的取值范围．15.【北京五中2020 届高三（4 月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16.【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021 届高三上学期第一次联考】已知函数f (x) =ae x - cos x -x(a ∈R).（1）若 a = 1 ，证明：f (x) ≥ 0 ；（2）若f (x) 在(0,π) 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.17.【西南地区名师联盟2020 届高三入学调研考试】已知函数f (x)=1x3 +bx2 +cx ，b 、c 为常数，且3学习界的007- 1< b < 1， f '(1) = 0 . 2（1）证明： -3 < c < 0 ；（2）若 x 是函数 y = f (x ) - cx 的一个极值点，试比较 f ( x - 4) 与 f (-3) 的大小. 0218.【山东省威海荣成市 2020 届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 PMQ （ M 为此圆弧的中点）和线段 PQ 构成.已知圆O 的半径为12 千米， M 到 PQ 的距离为16 千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域 R 1 为矩形 ABCD ，养殖区域 R 2 为 A M B ，且 A , B 均在圆弧上，C ,D 均在线段 PQ 上，设∠AOM =α.（Ⅰ）用α分别表示矩形 ABCD 和 A M B 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在 R 1 内养殖鱼类，在 R 2 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3 : 2 .求当α为何值时，能使年总产值最大.19.【江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数 f (x ) = ( x - a ) e x + b (a , b ∈ R ) ．（1）讨论函数 f( x ) 的单调性；（2）对给定的 a ，函数 f( x ) 有零点，求b 的取值范围；（3）当 a = 2 ， b = 0 时， F (x ) = f ( x ) - x + ln x ，记 y = F ( x ) 在区间⎛ 1 ,1⎫上的最大值为 m ，且4 ⎪ ⎝ ⎭m ∈[n, n + 1), n ∈Z ，求n 的值．20.【陕西省西安中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数f ( x) =x -1 -a ln x ．（1）当 a = 1 时，求f(x)的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1+1)(1+1) ⋅⋅⋅ (1+1) <m ，求m 的最小值．2 22 2n。

高考数学母题解密专题06 双曲线附答案解析(江苏专版)

（a>0，b>0）与直线 y＝ 3 x 无交点，则离心率 e 的取值范围是________．
7．（江苏省南通市 2020 届高三下学期 6 月模拟考试数学试题）已知离心率 e 2 的双曲
x2 线 D： a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，虚轴的两个端点分别为
双曲线 C 的渐近线方程为 y x ，且它的一个焦点为 F ( 2,0) ，则双曲线 C 的一条准
线与两条渐近线所成的三角形的面积为______． 4．（2020 届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期
第三次调研考试数学试题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝4x 的准线是双
bc c
b
，
所
以
b
3 c ，因此 a2 c2 b2 c2 3 c2 1 c2 ， a 1 c ，
2
44
2
e 2．
【名师点睛】（ 1）已知双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 求
渐
近
线
：
x2 y2 0 y b x ；
a2 b2
a
（2）已知渐近线 y mx 可设双曲线方程为 m2 x2 y2 ( 0) ；
（三）求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 a, c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 a，b，c 的关系
c2
a2
b2
将双曲线的离心率公式变形，即 e
c a
1 b2 a2
1
，注意区分
1
b2 c2
双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2 b2 c2 ，而在双

江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)

江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。

精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)

所以目标函数的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位，，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出与坐标，表示出，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除选项；利用排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
因为
又因为，
所以，即函数为偶函数，故排除；
又因为，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

江苏省南通市部分校2025届高三第一学期期初调研考数学试卷(含答案)

江苏省南通市部分校2025届高三第一学期期初调研考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={x |y = −x 2+1}，B ={x ||x−1|∈A }，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [0,2]D. [−1,1]2.设a,b ∈R ，则“a 3=(b +1)3”是“3a >3b ”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若α,β为两个不同的平面，m 为一条直线，则下列结论中正确的是( )A. 若m//α，m//β，则α//βB. 若m ⊥α，α⊥β，则m//βC. 若m//α，m//β，则α与β相交D. 若m ⊥α，m//β，则α⊥β4.已知函数f (x )的部分图象如下图所示，则f (x )的解析式可能为( )A. f (x )=2cos x e x +e −xB. f (x )=2sin x e x +e −xC. f (x )=2sin 2x e x +e −xD. f (x )=4sin x e x +e −x 5.若a =log 1213,b=(13)12,c =sin 12，则a,b,c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a 6.已知平行于圆锥底面的平面将圆锥的侧面分成面积相等两部分，且原圆锥的高和底面圆的半径均为2，则截得的圆台的体积为( )A. 73πB. 8−2 23πC. 2 23πD. 2 2π7.设函数f (x )=x 3+32x 2+ax ，若函数y =f (x )在x =x 0和x =x 0+1的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为( )A. 16 B. 13 C. 12D. 238.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)上一点M (3 24a, 24b )作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于P,Q 两点，若∠MOQ =3∠MOP ，则离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5二、多选题：本题共3小题，共15分。

高考数学母题解密专题07 函数与方程(江苏专版)

专题07 函数与方程【母题来源一】【2020年江苏】已知y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f （-8）的值是____．【母题来源二】【2019年江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【母题来源三】【2018年江苏】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想.【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种考查角度：一是求函数零点的个数；二是判断零点的范围．一般为填空题的压轴题，难度较大，【方法总结】1．函数零点的判定方法（1）定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．（2）方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．（3）图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.2．判断函数零点个数的方法（1）解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.3．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：（1）判断函数的单调性；（2）利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；（3）解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．4．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．5．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：（1）求出零点，直接比较大小；（2）确定零点所在区间；（3）同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.1．（江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试）已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________．2．（2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3a f x x =+，则()f a 的值为________． 3．（江苏省泰州市2020届高三下学期5月高考模拟）若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______．4．（江苏省扬州中学2019-2020学年高三下学期4月月考）已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．5．（江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟）已知函数3ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩，若()()g x f x ax =-有3个零点，则实数a 的取值范围为________．6．（江苏省无锡市天一中学2020届高三下学期6月模拟）若函数()()30f x x ax a -=>的零点都在区间[]10,10-上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值的个数为______．7．（江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试）已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________．8．（江苏省南京师大附中2020届高三下学期6月高考模拟）已知函数()f x =，()ln ,01,016x x g x x x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()f x g x =有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．9．（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期）已知()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-（1a >）在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值__________．10．（2020届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期第二次调研考试）设函数()()2log ,048,48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是______．11．（江苏省南京师大附中2019-2020学年高二上学期期初模拟）已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________．12．（2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=__________． 13．（江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f ，则3a b +的值为． 14．（江苏省苏州市2020届高三下学期5月二模）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足()12f >-，()32f m m =-，则m 的取值范围是______．15．（2020届江苏省南京十三中、中华中学高三下学期联合调研）定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上是增函数，又()30f -=，则不等式()0xf x <的解集为______．16．（2020届江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校高三下学期4月联考）已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln x f xx =，a e <≤e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十)

2020届高三年级第二次模拟考试（十）数学（满分160 分，考试时间120 分钟）、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70分．1. 已知集合A＝{x|1<x<3} ，B＝{x|2<x<4} ，则A∪B＝________2. 若复数z 满足z＝i（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数 a 的值为a＋2i3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为［12，13），［13 ，14），［14 ，15），［15 ，16），［16 ，17］，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，则第三组的人数为_ ．（第3题）（第4 题）4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为_______ ．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格， 2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为_______ ．6. 在等差数列{a n}中，a4＝10，前12 项的和S12＝90，则a18的值为 ____ ．222 x y7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知 A 是抛物线y2＝4x 与双曲线4－b2＝1（b>0）的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________ ．π8. 若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象经过点（，2），且相邻两条6ππ对称轴间的距离为π2，则f（π4）的值为___ ．9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为 2 ，则该正四棱锥的表面积为10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－5x，则不等式f （x －1）>f（x）的解集为．211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（－1，0），B（5，0）．若在圆M：（x －4）2＋（y －m）2＝ 4 上存在唯一一点P，使得直线PA，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P 在DA的延长线上，且满足（PB＋|x ＋3| ，x≤0，13. 已知函数f(x) ＝ 3 设g(x) ＝kx＋1，且函数y＝f(x) －g(x) 的图x3－12x＋3，x>0.象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________ ．2214. 在△ ABC中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A＋cos 2B 的最大值为_____ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. ( 本小题满分14 分)π 设向量a＝(cos α，λ sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<2，且a＋b与a－b互相垂直．(1) 求实数λ 的值；4(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α 的值．516. ( 本小题满分14 分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E 分别是AB1和BC 的中点．求证：(1) DE ∥平面ACC1A1；(2) AE ⊥平面BCC1B1.17. （本小题满分14 分）某公园内有一块以O为圆心，半径为20 米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O 外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB ＝∠ QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞π台O 处的距离都不超过60 米．设∠ OAB＝α，α∈（0 ，3）．问：对于任意α，上述设计方案3是否均能符合要求？(2) 设经过点 P(2 ， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，点 Q(m ，0) ． ①若对任意直线 l 总存在点 Q ，使得 QA ＝QB ，求实数 m 的取值范围； ②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ：的一个顶点到一个焦点的距离等于 2. (1) 求椭圆 C 的方程；2x2＋ayb 2 ＝1(a>b>0) 的离心率为 22，且椭圆 C 短轴19. (本小题满分16 分)2x－2 已知函数f(x) ＝ln x －，a>0.x－1＋2a(1) 当a＝2时，求函数f(x) 的图象在x＝1 处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1 ，＋∞ ) ，不等式f(x) ≥0恒成立，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数 a 的取值范围．20. (本小题满分16 分) 已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2⋯a n)2＝a n1＋1a n n＋－11.a2(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求2的值；a1(2) ① 求证：数列{a n} 为等比数列；② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋⋯＋a n≤2n－1，求数列{a n} 的公比q的取值范围．2020 届高三年级第二次模拟考试（十）数学附加题（本部分满分 40分，考试时间 30 分钟）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ]（本小题满分 10 分）（1）求 a ， b 的值；（2）求 A 的逆矩阵 A －1.x ＝t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的参数 y ＝ 3t ＋2值．C. [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（本小题满分 10 分）解不等式： |2x －1| －x ≥2.【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分 10 分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B ，每遇到一个岔路2 b1121， B，AB ＝a 30 － 14 1已知矩阵 A ＝B. [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（本小题满分 10 分）方程为x ＝ cos θ， y＝ 3sin θ（ θ 为参数），P 是曲线 C 上的任意一点．求点 P 到直线 l 的距离的最大口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集中，设C 是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点 C 的概率；(2) 设这 4 名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10 分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n 个点中，任取3个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T 的最小值；3(2) 若n≥4，求证：T≥2C n3.2020 届高三年级第二次模拟考试（十）数学参考答案因为 0<α<π2 ，所以 sin 2α≠0，所以 λ2－ 1＝0.又因为 λ >0，所以 λ＝ 1.（6 分）（2）由（1）知 a ＝（cos α，sin α）．44 由 a ·b ＝，得 cos αcos β＋ sin αsin β＝，554即 cos （ α－β ）＝ .（8 分）5 ππ 因为 0<α<β< 2 ，所以－ 2 <α－β<0，23所以 sin （ α－β ）＝－ 1 － cos （α－β）＝－ 5.（10 分）sin （α－β） 3所以 tan （ α－β）＝ cos （α－β）＝－ 4，（12 分）tan （α－β）＋ tan β 1因此 tan α＝tan （ α－β＋β ）＝1－ tan （α－β） tan β＝2.（14 分）16. （1）连结 A 1B ，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1中， AA 1∥BB 1且 AA 1＝BB 1，所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为 D 是 AB 1 的中点，所以 D 也是 BA 1 的中点．（2 分）在△ BA 1C 中， D 和E 分别是 BA 1和 BC 的中点，所以 DE ∥A 1C. 又因为 DE 平面ACC 1A 1，A 1C 平面 ACC 1A 1，所以 DE ∥平面 ACC 1A 1.（6 分）（2）由（1）知 DE ∥A 1C ，因为 A 1C ⊥BC 1，所以 BC 1⊥DE.（8 分）又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝ D ， AB 1， DE 平面 ADE ，所以 BC 1⊥平面 ADE. 又因为 AE 平面 ADE ，所以 AE ⊥BC 1.（10 分）在△ABC 中， AB ＝ AC ，E 是 BC 的中点，所以 AE ⊥BC.（12 分）因为 AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ， BC 1∩BC ＝ B ，1. {x|1<x<4}2. － 23. 184.316 5. 35 6. －47. y ＝± 3 x 8. 3 9. 410. （－2， 3） 11. ± 21 12. 13. － 9，1314.2＋1 2（1）由 a ＋b 与 a － b 互相垂直，－ 1＝ 0.（2 分）＝ 1，＝ 0.（4 分） 15. 所以 cos 2α＋λ 2sin 2α 又因为 sin 2α＋ cos 2α 所以（λ 2－ 1）sin 2α可得（a ＋b ）·（a －b ） 22＝a －b ＝BC 1 ，BC 平面 BCC 1B 1，所以 AE ⊥平面 BCC 1B 1.（14 分）17. 过点 O 作 OH 垂直于 AB ，垂足为 H. 在直角三角形 OHA 中， OA ＝ 20，∠ OAH ＝α，所以 AH ＝20cos α，因此 AB ＝ 2AH ＝40cos α.（4 分）由图可知，点 P 处的观众离点O 最远．（5 分）在三角形 OAP 中，由余弦定理可知 OP 2＝OA 2＋ AP 2－2OA ·AP ·cos α＋ 23π （7 分）3＝400（6cos 2α＋ 2 3sin α cos α＋ 1）＝ 400（3cos 2 α＋ 3sin 2 α＋ 4）＝800 3sin 2α＋ π3 ＋1 600.（10 分） ππ π因为 α∈ 0 ，3 ，所以当 2α＝ 6 ，即 α＝ 12时，（OP 2）max＝ 800 3＋1 600 ，即 OP max ＝ 20 3＋ 20.（12 分）因为 20 3＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60米．（13 分）故对于任意 α，上述设计方案均能符合要求．（14 分）所以 b 2＝ a 2－ c 2＝1，x2所以椭圆 C 的方程为 2 ＋y 2＝1.（2 分） ①设 AB 的中点为 M （x 0，y 0），2x 1＋ x 24k 22k则 x0＝2＝1＋2k2，y0＝k(x 0－2) ＝－1＋ 2k 2.(6 分) 当 k ≠0时，因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥ l ，2 解法一：设直线的方程为 y ＝k （x －2），代入椭圆 C 的方程，消去 y ，得（1 ＋ 2k 2）x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.因为直线 l 交椭圆 C 于两点，所以 Δ＝（－8k 2） 2－4（1 ＋2k 2）（8k 2－ 2）>0 ，解得－ 2 <k< 2 .（4 分）设点 A （x 1， y 1），B （x 2， y 2），＝ 400 ＋ (40cos α － 2×20× 40cos α ( － 2cossin αc＝218. (1) 依题意得 a 2c ＝1，8k 8k － 2则 x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2k－1＋2k2－0即 k QM ·k ＝2·k ＝－1.4k1＋2k2－m2k2 解得 m ＝1＋2k 2.（8 分）解法二：①设点 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2），AB 中点为 M （x 0，y 0）． 2x 1 22＋y 21＝ 1，依题意 22 两式作差，x 2 22＋ y 2＝ 1，得y x 1－－y x 2×y x 0＝－12（x 0≠0）．x 1－ x 2 x 0 2y 1－ y 2 又因为 x 1－x 2＝kAB x 0－221所以 y 02＝－ 2x 0（x 0－2）．当 x 0＝0 时， y 0＝ 0，21符合 y 02＝－ 2x 0（x 0－2）．（ⅰ）（4 分）又因为 QA ＝QB ，所以 QM ⊥l ，所以（x 0－ m ）（x 0－ 2）＋（y 0－ 0）（y 0－ 0）＝0，即 y 0＝－（x 0－ m ）（x 0－2）．（ ⅱ）（6 分）由（ⅰ）（ ⅱ），解得 x 0＝ 2m ，当 k ＝0 时，可得m ＝0，符合 m ＝1＋2k 22k 2.2k 2 因此 m ＝1＋2k 2k112（1－ m ）<12，解得 0≤m<12.（10 分）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0），所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2，由 x 222＋y ＝ 1， 2消去 y ，得 x －4mx － 4m ＝0，所以 x 1， x 2也是此方程的两个根，所以 x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－ 4m.（14 分） 8k 2－2 x1x2＝1＋2k 2，由 0≤k 2＝（12 分）x 1x 2＝又因为 x 1＋ x 2＝ 2，1＋ 2k22 所以 8k 2＝－8k －21＋2k 2 1＋ 2k 22k 1 所以 m ＝1＋2k2k 2＝ 51.（162，解得 k 2＝ 1，8分）y 0－0因此 y 02＝ 2m － 2m 2.（8 分）因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以点 M 在椭圆 C 内，2（ 2m ） 221所以 2 ＋（2m － 2m 2）<1 ，解得 m<2. 22 又 y 20＝ 2m － 2m 2≥0，所以 0≤m ≤1.1综上，实数 m 的取值范围是 0，2 .（10 分）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0），所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2，由 x 2 2消去 y ，2 ＋y ＝ 12得 x 2－4mx －4m ＝0.（ ⅲ）（12 分）当 y 0≠0时，则直线 l 为 y ＝－ x0 （x －2），代入椭圆的方程，2y 0得（2y 02＋ x 02）x 2－4x 02x ＋4x 20－ 4y 20＝0.将（ ⅰ）代入上式化简得 x 2－2x 0x ＋3x 0－ 2＝0.（ ⅳ）当 y 0＝0 时，此时 x 0＝ 0，x 1＝－ 2， x 2＝ 2也满足上式．（14 分）x2由①可知 m ＝ 2，代入（ ⅲ）化简得 x 2－2x 0x －2x 0＝0.（ ⅴ）因为（ ⅳ）（ ⅴ）是同一个方程，所以 3x 0－ 2＝－ 2x 0，解得 x 0＝，5x 0 1所以 m ＝ 2＝5.（16 分）2x － 21 8 119. （1）当 a ＝2时， f （x ）＝lnx － x ＋3，f ′（x ）＝ x －（x ＋3）2，则 f ′（1）＝ 2.1又因为 f （1）＝0，所以函数 f （x ）的图象在 x ＝1处的切线方程为 y ＝ 2（x －1），即 x －2y － 1＝0.（2 分）2x －2（2）因为 f （x ）＝ln x －x －1＋2a，1 所以 f ′ （x ）＝－ 2x （x －1＋ 2a ）2 2 2 2x －2x ＋ 4a －4a ＋ 1 （ x －1）＋4a －4ax 2＝1＋2 a －a 2∈（1，＋∞ ），当x ∈（1， x 2）时， f ′（x ）<0 ，x （x －1＋2a ）2，（4 分）且 f （1）＝0. 因为 a>0，所以 1－2a<1. ①当 4a 2－ 4a ≥ 0，即 a ≥1时，因为 f ′（x ）>0 在区间（1 ，＋∞ ）上恒成立，所以函数 f （x ）在区间（1 ，＋∞ ）上单调递增．当 x ∈[1 ，＋∞ ）时， f （x ） ≥f （1）＝ 0，所以 a ≥1满足条件．（6 分）②当 4a 2－4a<0，即 0<a<1 时，由 f ′（x ）＝ 0，得 x 1＝1－2 a － a 2∈（0 ， 1），4a2x （x －1＋2a ）2则函数f（x）在区间（1，x2）上单调递减，所以当x∈（1，x2）时，f（x）<f（1）＝0，这与x∈[1 ，＋∞ ）时，f（x）≥0 恒成立矛盾，所以0<a<1 不满足条件．综上，实数 a 的取值范围为[1 ，＋∞ ）．（8 分）（3）①当a≥1时，因为函数 f ′（x）≥0在区间（0 ，＋∞ ）上恒成立，所以函数f（x）在区间（0 ，＋∞ ）上单调递增，所以函数f（x）不存在极值，所以a≥1不满足条件；（9 分）1②当2<a<1 时，1－2a<0，所以函数f（x）的定义域为（0 ，＋∞），由f′（x）＝0，得x1＝1－2 a－a2∈（0 ，1），x2＝1＋2 a－a2∈（1，＋∞ ）．列表如下：由于函数f（x）在区间（x 1，x2）是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，1所以2<a<1 不满足条件．（11 分）1 ③当a＝2时，由f′（x）＝0，得x＝2.列表如下：此时函数f（x）仅存在极小值，不合题意，1所以a＝2不满足条件．（12 分）1④当0<a<2时，函数f（x）的定义域为（0 ，1－2a）∪（1－2a，＋∞ ），且0<x1＝1－2 a－a2<1－2a，x2＝1＋ 2 a－a2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x) 存在极大值f(x 1) 和极小值f(x 2)，(14 分)因为0<x1<1－2a<x2，x1所以ln <0，x1－x2<0，x1－1＋2a<0，x2－1＋2a>0，x2所以f(x 1) －f(x 2)<0 ，即f(x 1)<f(x 2) ，1所以0<a<2满足条件．1综上，实数a的取值范围为0，2 .(16 分)2 3 220. (1) 因为(a 1a2) 2＝a31a3，所以a22＝a1a3，因此a1，a2，a3 成等比数列．(2 分) 设公比为t ，因为a1，2a2，3a3成等差数列，a2 a3所以4a2＝a1＋3a3，即4× ＝1＋3× ，a1 a121于是4t ＝1＋3t ，解得t＝1 或t ＝3，a2 1所以a＝ 1 或3.(4 分)a1 3(2) ①因为(a 1a2⋯a n) 2＝a n1＋1a n n＋－11，所以(a 1a2⋯a n a n＋1) 2＝a1n＋2a n n＋2，n2a n＋ 2两式相除得a n＋1＝a1· n－1，a n＋1即a n n＋＋11＝a1a n n＋2，(*)(6 分)2n ＋ 2 n ＋1 n＋ 1即a n＋ 2 ＝a n ＋1a n＋3，所以a n＋2＝a n＋1a n＋3，2* 即a n2＋1＝a n a n＋2，n≥2，n∈N*，(8 分) 由(1) 知a22＝a1a3，所以a2n＋1＝a n a n＋2，n∈N*，因此数列{a n} 为等比数列．(10 分)②当0<q≤2时，由n＝ 1 时，可得0<a1≤1，所以a n＝a1q n－1≤2n－1此时f(x 1) －f(x 2) ＝ln x1 4a(x1－x2)x1－1＋2a)( x2－1＋2a).2x1－2 2x 2－ 2x1－1＋2a －ln x2 ＋x2－1＋2alnx1x2由(*) ，(*)(**)n＋ 2 n＋ 1得a n＋2＝a1a n＋3，两式相除得n＋2 n ＋1a n＋2 a n＋ 3n ＋1＝n a n＋1 a n ＋2因此 a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ≤1＋ 2＋⋯＋ 2n －1＝2n －1，所以 0<q ≤2满足条件．（12 分）当 q>2 时，n由 a 1＋a 2＋⋯＋ a n ≤2－1，a 1（1－ q ） n 得 1 1－q ≤2n －1，整理得 a 1q n ≤（q － 1）2 n ＋ a 1－ q ＋ 1.（14 分）因为 q>2，0<a 1≤1，所以 a 1－ q ＋1<0，由于q >1，因此 n<log qq －1，与任意 n ∈N *恒成立相矛盾，2 2 a 1所以 q>2 不满足条件．综上，公比 q 的取值范围为（0 ，2] ．（16 分）2b21. A. （1）因为 A ＝， B ＝a32－b ＝1，b ＝ 1，所以 a ＝ 4，即（4 分）a ＝ 4.a － 3＝1，（2）因为 |A |＝2×3－1×4＝ 2，（6 分）312.（10 分）π＋ 4 ＝ 1，此时 d 取最大值，所以距离 d 的最大值为 62 2.（10 分）1C. 当 x ≥2时，由 2x － 1－x ≥2，得 x ≥3.（4 分）11当 x<2时，由 1－2x －x ≥2，得 x ≤－ 3.（4 分） 231 综上，原不等式的解集为 {x|x ≥3 或 x ≤－3} ．（10 分）22. （1）设“甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C ”为事件 M ，B. 直线 l 的参数方程为x ＝ t ，y ＝ 3t （t 为参数），化为普通方程为＋23x －y ＋2＝ 0.（2 分）设点 P （cosθ，3sin θ），则点 P 到直线 l的距离| 3cos θ－ 3sin θ＋ 2| 6cos d ＝（ 3） 2＋1π θ＋＋ 242，（6分）因此 a 1q n<（q －1）2 n，即2qn<q －a 1112－1， AB ＝ 4所以 A －1＝取 θ＝－ 4 时， cos θ11甲选中间的路的概率为 3，在前面从岔路到达点 C 的概率为 2，这两个事件相互独立，所 32 111以选择从中间一条路走到点 C 的概率为 P 1＝ × ＝ .（2 分）3 2 6 111 同理，选择从最右边的道路走到点 C 的概率为 P 2＝ × ＝ .326因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，111所以 P （M ）＝P 1＋P 2＝＋＝ .6631故甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 3.（4 分）（2）随机变量可能的取值 X ＝0，1，2，3， 4，（5 分） 01 02 4 16则 P （X ＝0）＝C 40× 3 × 3 ＝81，P （X ＝1）＝C 14×1 123 32 × ＝，3 3 81 P （X ＝2）＝C 24× 1 2 2 2 24 3 × 3 ＝ 81，P （X ＝3）＝C 34× 1 3 2 1 83 × 3 ＝ 81，P （X ＝4）＝C 44× 1 4 2 0 113 × 23 ＝811，（8 分）概率分布为：8181813×881＋4×811＝43.（10 分） 23. （1）当 n ＝3 时，共有 6 个点，因此 T 的最小值为 2.（3 分）（2）首先证明：任意 n ，k ∈ N *，n ≥k ，有 C k n ＋1>C k n .若染红色的点的个数为则 T ＝ C 63＝20；若染红色的点的个数为则 T ＝ C 53＝10；若染红色的点的个数为则 T ＝ C 43＝4；若染红色的点的0或 6， 1或 5， 2或 4，3，则 T ＝ C 33＋ C 33＝ 2；证明：因为 C k n ＋ 1－ C k n ＝C k n －1>0，所以 C k n ＋1>C k n .设这 2n 个点中含有 p （p ∈ N ，p ≤2n ）个染红色的点， ①当 p ∈{0 ， 1， 2} 时， 3 3（ 2n －2）（ 2n － 3）（ 2n －4） T ＝C 2n － p ≥C 2n －2＝ 6 ＝4×（n －1）（n －2）（2n －3）因为所以 6 n ≥ 4，所以 2n － 3>n ， n (n －1)(n － 2) 3 3 T>4× ＝ 4C 3n >2C 3n .(5 分) 6 p ∈{2n －2，2n －1，2n} 时， 32n －2， ②当 T ＝C 3p ≥C 同理可得 T>2C 3n .(6 分 ) ③当 3≤p ≤2n － 3 时， T ＝C p ＋ C 2n －p ，设 f(p) ＝ C p 3＋ C 23n －p ，3≤p ≤2n － 3，当 3≤ p ≤ 2n － 4 时， f(p ＋1) －f(p) ＝ C p ＋1＋ C 2n －p －1－C p －C 2n －p ＝ C p － C 2n －p －1，显然 p ≠2n － p －1，当 p>2n － p － 1 即 n ≤p ≤2n － 4时， f(p ＋1)>f(p) ，当 p<2n － p － 1 即 3≤p ≤n － 1 时， f(p ＋1)<f(p) ，即 f(n)<f(n ＋1)<⋯<f(2n － 3) ；f(3)>f(4)> ⋯>f(n) ；因此 f(p) ≥f(n) ＝ 2C 3n ，即 T ≥ 2C n 3. 综上，当 n ≥4时， T ≥2C n 3.(10 分)。

江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测(一)数学试题(含答案)

江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足(1+i)z =1−2i 3，则z 的共轭复数为( )A. 32−12iB. 32+12iC. −32−12iD. −32+12i2.已知函数y =f(x)的对应关系如下表，函数y =g(x)的图象如图，则f[g(1)]的值为( ) x 123f(x)230A. 3B. 0C. 1D. 23.设集合A ={x||x−2|≤1}，B ={x|log 2x <1}，C ={x|x ∈A 且x ∉B}，则C =( )A. ⌀B. [1,2)C. [2,3]D. (2,3]4.命题p:−3≤x ≤1，q:x ≤a.若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是( )A. (−3,+∞)B. [−3,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)5.设f(x)是定义域为R 的奇函数，f(−3)=−7，当x ≥0时，f(x)=a x +b ，则f(1)=( )A. 1B. −36−1C. 37−b +bD. −37+b +b6.我们知道当0<x <2或x >4时，2x >x 2.若a =log 23，b = 3，c =2log 32，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a7.函数f(x)=13x 3−x 2+ax ，对任意x 1，x 2∈[1,2]，且x 1≠x 2，都有f(x1)−f(x 2)x 1−x 2>1，则a 的范围是( )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (2,+∞)D. [2,+∞)8.若e a =e 3b +e 2+b ，则a−2b 的最小值为( )A. 2B. 1+ln2C. 1D. ln2二、多选题：本题共3小题，共15分。

江苏省南通市2020届考前练习卷数学试题讲评建议

高三数学练习卷讲评建议填空题的答案必须根据设问的要求针对性作答，若所求的对象是集合，则答案必须以集合的形式呈现；若求函数的定义域和值域，则要将结果写成集合或区间的形式；若求圆的标准方程，则不能写成一般方程；若所求值为分式或分数，则要化为最简形式；填空题的书写要清晰规范，不得潦草、模糊，要便于阅卷教师评判辨认．1．集合答题注意事项：（1）高考第一题出错的机率较高，要审清交集还是并集；（2）注意有限集与无限集；（3）集合表示方法的规范性；（4）注意元素的互异性；（5）搞清题目要求填的是元素、元素的个数还是集合．2．复数答题的注意事项：（1）复数的虚部是实数；（2）共轭复数的概念；（3）求模要开方；（4）注意运用积的模等于模的积，商的模等于模的商简化运算．3．统计问题注意事项：（1）注意频率分布直方图纵轴上单位的意义（频率/组距）；（2）注意方差与标准差的区别与联系；（3）所有频率之和为1；（4）防止茎叶图概念的遗忘；（5）系统抽样防止遗漏．4．算法答题注意事项：（1）细心审题，做好转化；（2）用表格的形式罗列循环的过程，循环的次数；（3）数列运算问题要看清共有多少项．5．解析几何填空题如果是双曲线、抛物线一般为容易题，审题要认真. （1）双曲线要注意焦点位置，标准方程的形式；（2）注意双曲线,,a b c的关系与椭圆中,,a b c的关系的区别；（3）注意双曲线与抛物线定义的应用；（4）抛物线要注意开口方向，焦点位置.椭圆填空题要注意焦点所在位置，椭圆与不等式结合的题目及有关离心率问题要关注椭圆上点的坐标的取值范围；（5）注意看清焦距与半焦距等问题，注意焦半径的取值范围．6．（1）几何概型尽可能画出图形，找出相应的测度；（2）古典概型用罗列法列出所有基本事件；（3）理科生不提倡用排列组合法；（4）注意是一次性取出还是多次取出 .7．不等式问题：（1）基本不等式重点突破二元及多元问题，利用基本不等式求最值问题注意等号成立的条件，特别是多次运用不等式时；（2）二元问题可以消元化为一元问题，转化为求函数的最值．8．（1）等差数列与等比数列填空题要注意基本量法与运用等差、等比数列的性质两类方法的选择；（2）叠加法，叠乘法要注意项数；（3）构造法主要是通过转化将数列转化为等差数列或者等比数列处理;（4）等比数列要注意公比为1±的特殊情况．（5）利用基本不等式或函数最值得方法求数列中的最值问题要注意取等号的条件，注意n 为正整数．9．函数填空题的常考点有：（1）抽象函数问题．主要考查函数周期性奇偶性的综合应用，常常可以结合具体函数方便理解；（2）定义域．要注意对数的真数大于0，开偶次方被开方数为非负数，分式的分母不为0；（3）函数的图象和性质，函数的零点，分段函数等问题.常用方法有直接运算，数形结合，特殊化等方法.（4）导数相关问题．切线问题要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，单调区间要注意函数的定义域．10．今年要特别关注涉及数学文化数学史和新冠疫情相关的应用题．这类问题要认真阅读，弄清其数学本质，提取出相关数学信息，准确求解．11．直线与圆解题时要注意：（1）注意挖掘图形的几何特征，注意尽可能画出图象，利用数形结合；（2）对于动态图形要借助临界位置帮助解题；（3）直线问题斜率不存在的情况（4）关注隐圆问题．12．平面向量注意事项：（1）涉及特殊图形问题优先考虑坐标化(本题建系后设点C 的坐标时要注意其位置的范围，由此确定点C 横坐标的取值范围)；（2）关注用平面向量的几何意义优化解题；（3）用基底法要目标明确；（4）动态图形特殊化；（5）极化恒等式常常可以简化运算．法一：设圆心为O ，连结OC OD ，.则=()DC AB OC OD AB OC AB OD AB ⋅-=⋅-⋅2=cos +1(0)3OC AB πθθ∈，，所以，DC AB ⋅的取值范围为(03)，. 法二：以AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则12(10)B(10)((cos sin )23A D C πθθθ--∈，，，，，，(0，).所以，1=(20)(cos +sin +1(03)2DC AB θθθ⋅∈，，，. 法三：利用数量积的几何意义，可得.13．分段函数、周期函数、函数零点问题注意事项：常用方法有数形结合、参数分离，特别要关注数形结合法的应用，注意临界点在分类讨论中的关键作用；建议重点关注与一次函数、二次函数、特别是三次函数有关的分段函数问题．解：令()24=f x x u -+，则由()0f u =可得，0u =或2u =．所以，原函数零点个数即方程 ()=24f x x -与()=22f x x -不同解的个数，即函数()y f x =的图象与直线24,22y x y x =-=-公共点的个数．由图可知，公共点个数共5个，所以，函数的零点个数有5个．14．解三角形综合题要注意：（1）利用正弦定理及余弦定理进行边角转换；（2）三角形的内角和等于π；（3）记住一些三角形中的恒等式常常能帮助解题；（4）数形结合常常可以简化运算．法一：设ABC △中角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．由已知GA GC ⊥得，0GA GC ⋅=，所以，()()0BA BG BC BG --=，又1()3BG BA BC =+，代入，可得2225b a c =+.又2222cos a c b ac B +=+，所以，2242cos 2sin sin sin cos b ac B B A C B ==，即（1）．又111tan tan A C+=，即cos cos sin cos cos sin sin =1sin sin sin sinC sin sin A C A C A C B A C A A C ++==，所以，sin sin sin B A C =（2）.由（1）（2）得1tan 2B =．法二：连结BG 并延长，交AC 于D 点，过B 作BH AC ⊥于H 点．若点H 在线段AC 上，则tan tan BH BH A C AH CH==，．所以 111tan tan AH CH AC A C BH BH++===，从而AC BH =．若点H 在线段AC 的延长线上，同理可得AC BH =.设=2AC ，则23BH BD ==，，所以DH所以，点H 在线段AC 的延长线上，所以tan tan 1tan tan()1tan tan 2ABH CBH B ABH CBH ABH CBH ∠-∠=∠-∠===+∠∠.15．作答立体几何试题时，每个结论的得出要有理有据，不得含糊；每个逻辑段的推理条件要完备，缺一不可；前后逻辑段的联系要紧密，无关信息不得混入，过程书写要清晰．考生在解题时要注意：（1）应用直线和平面平行（垂直）的判定定理、性质定理时要把条件写全（如EF BEF ⊂平面这些条件也不要省了），每个逻辑段的条件结论要准确；（2）涉及平面几何中的有关结论要进行必要的证明；（3）对给出线段长度的题目要结合勾股定理等知识判断线线之间的位置关系；（4）对直棱柱、正棱柱、长方体、正方体中有关结论不要乱用；（5）不要乱用“准定理”；（6）认真书写防止笔误（特别是顶点字母）．16．高考三角题的区分度往往是阅卷时对规范性的要求程度决定的，在求解三角解答题时一定要规范．作答时过程要完整，原始公式、变形过程、数据代入、结果呈现，要环环相扣；推理过程要严谨规范，符号取舍时要说理清晰，不能凭感觉简单随意；确定一个角的值时，要结合角的范围准确定论．（1）运用诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等公式时，必须分三步①呈现公式，②代入数据，③得出结果；（2）确定角的值及应用平方关系时必须交代角的范围；（3）在精准确定角的范围时可利用三角函数的图像及性质；（4）三角形中注意两边之和大于第三边，三角形的内角和等于0180，三角形的每个内角都在0π（，）之间． 17．应用题解题注意事项：（1）解题前至少把题目读两遍；（2）读题后把题目中的信息进行梳理，必要时把数据列表，平面图形类应用题建模时是设角参、数参还是点参均需要思考不同建模方案背后的答题路径，比较以后再操作．特别注意如果题中已设变量情况下不要轻易另设其他变量．考试最忌讳毫无规划，盲目求解，否则费时费力，得不偿失；（3）函数应用题要交代定义域；（4）建模过程要分步求解，不要一次性给出最后结果；（5）实际问题要注意单位统一；（6）解出结果后要检验是不是符合条件（如本题中半圆是不是在矩形内）；（7）最后要作答．方法三：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (k <0，b >0)，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ，则AM =b m ，AN =b k -m ， ()22b b O k -，，在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r = 因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12b ()b k⋅-= 400，所以b 2=－800k ，所以喷泉区域面积S 喷泉=()2π22MN =()()222π1π111(800)1100π()200π88()b k k k k k ⎡⎤+-+-+⎢⎥-⎣⎦==≥，当且仅当1k =-时，取等号．此时b =202，r =20，O ．所以半圆方程为22((400(0)x y x y -+-=+-．因为AB =100 m ，AD =75 m ，所以直线BC ，CD 方程分别为x ＝100，y ＝75，所以点O 到CD 的距离d 1=75－102＞20=r ，点O 到BC 的距离d 2=100－102＞20=r ，所以AM =202＜75=AD ，AN =202＜100=AB ，所以满足以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉．所以S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2．（2）由（1）知，AM =b m ，AN =b k-m ，()22b b O k -，，若MN =100 m ，则22210000b b k +=，所以k =．点O 到CD 的距离1752b d =-，点O 到BC 的距离21002b d k=+．因为以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉，所以1d r ≥，2d r ≥，即75502b -≥，100502b k +≥，所以50b ≤，0k ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭．注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050b <≤．所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=12=，所以当50b k ==，时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．（另解）假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=250001k k-+，记25000()(0)1k f k k k -=<+，则2225000(1)()0(1)k f k k -'=<+，所以()250001k f k k -=+在0⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是单调减函数，所以当k =时，S 假山取得最大值1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2．18．解析几何解答题注意事项：（1）审题时要注意长轴长、长半轴长等的区别，焦距长与c 的关系；（2）直线和圆、直线和椭圆问题注意图形几何特征的挖掘及几何性质的使用；（3）注重回归圆锥曲线的定义，利用定义或者创造条件使用定义，巧妙解题，椭圆问题注意一些常规结论（使用时要推导，本题中B 为OC 的中点一定要证明）；（4）解析几何本质上是几何问题，只不过是运用坐标法或者方程转化为代数问题，因此要充分利用几何性质，优化解题路径，减少运算量，如焦点弦问题注意定义的应用；（5）注意答题时间的把控（不要轻易放弃、也不要一条路走到黑）．（6）对于直线与二次曲线的问题要注意点差法与常规方法的选择，设点与设斜率的选择．是设点还是设直线？这需要根据具体试题而定（本题设点更方便）．在设点的前提下，答题路径是怎样的？其中运算最为复杂的节点在哪里？这种运算是不是你熟悉的？同样设直线又怎样？在对不同方案进行简单比较、规划以后再动手操作，必然会事半功倍．（7）权衡所设变量，合理选择方法，从而优化解题思路，优化运算过程，避免死算蛮算，从整体角度观察，优化运算过程．例如本题如果设直线AB 的方程就是用2x my =+这种形式，后续在解题中消去x 解题方便．因此我们在解解析几何题时要特别注重优化解题思路，提高运算求解能力．19、20．近几年19、20难度有所下降，特别是第二问．基础弱的学生立足第一问，关注第二问，不好高骛远；中等学生量力而行，力求第二问有所突破；优秀学生在确保前面题目正确的基础上要体现解题的意志力．21．附加题三选二注意事项：（1）我市考生明确选择A 、B ，如无特殊情况不选择其他题目（如A 、B 确实有困难可尝试选择其它题目）；（2）A 、B 在解题时不要急于求成，要确保将这20分收入囊中．22．江苏高考近几年常常考空间向量和概率，适当关注数学归纳法及抛物线．空间向量问题解题时一定要注意解题的规范性．（1）建系前一定要先证明作为坐标轴的三条直线两两垂直；（2）1 求出各点的坐标后一定要检查；（3）要理清线线角、线面角、面面角与相应的向量所成角之间的关系，防止出现符号错误、正余弦关系混乱错误；（4）如果引入字母表示相关角一点要交代清楚；（5）最后要根据题目要求下明确的结论．（方法二）连结BD ，交AC 于点O ．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，所以底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1D D ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ，所以1D D AC ⊥，1D D BD ⊥．过点O 作1DD 的平行线l ，则l AC ⊥，l BD ⊥．分别以直线CA DB l ，，为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则100)(00)(010)(011)(012)A C B M D --，，，，，，，，，，，，所以1(311)(022)AM BD =--=-，，，，，．设异面直线1DB 与1A M 所成角为θ，从而1112cos cos 5AM BDAM BD AM BD θ⋅=<⋅>===，所以异面直线1DB 与1AM ．（2）由（1）得，(0)AC =-，， (11)AM =-，．设面AMC 的一个法向量1111()x y z =，，n ，则11AC AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n 即1100AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩，=，n n 所以111100y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，，所以10x =，取11y =，则11z =，即平面AMC 的一个法向量为1(011)=，，n ．设(2)N a b ，，，则1b =-，所以(12)CN a =+-，．设平面ACN 的法向量为2222()x y z =，，n ，则22AC CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n 即2200AC CN ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩，=，n n所以22220((1)0.a x y z ⎧-=⎪⎨+-+=⎪⎩，所以20x =，取21y =，则21z =+，即平面ACN的一个法向量为2(011)=+，，n ，则121212cos cos 4|||⋅π=<⋅>===⋅n n n n |n n ，解得a =，即(2)N ，，所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 23．一般考生重点完成第一问，不要在第二问中耗费太多时间，基础好的同学在确保前三题的正确率的基础上争取有所突破．。

2019江苏省南通市高三二模数学试卷含答案

南通市2019届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2．某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ．【答案】18．3．复数i z =（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ▲ ．【答案】76．5．根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6．若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，． 7．若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-则b 的值为 ▲ ．【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）【答案】充要．9．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲．（第5题）10y +=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ．【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ．【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ．【答案】14π313．若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ．【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ．【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求：（1）AB 的值；（2）sin()sin A B C-的值．【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=，亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分（方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，PABCDE （第16题）PABCDE（第16题）FM 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分（2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分由正弦定理得sin()cos cos sin A B a B b A C c--=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分（方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ，所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ．因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥．因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.11.4）．【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分（2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天，浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=y有最小值为4a -.令44a -≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x ya b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分（2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=，即()()222182y x+=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分（方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k+==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． …………… 15分当k ＝0，S △AMB 1161=⨯=；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． …………… 16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OMk k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+，又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列；（3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑．【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nSn S=，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分（3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，t ，求(1)(1)a t -- 的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x xf s x x s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数，则有()(0)0g s g <=，而12e02x x s+>，所以()1202x x f +'<．又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-，所以2100x x y -+=，即122112e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t ，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2019届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111ab cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，．再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ 的中点M ()1cos cos2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而()()2222cos cos2sin sin222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系．不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)．又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()220CE x y λλ=+-=，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212⋅=n n．解得λ=±233－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． ……… 10分23.（本小题满分10分）数学试卷设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有 {}11122i i a a +∈，，．（1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）；（2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．【解】（1）当3n =时，131a a ==．因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，，所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件： 77181111i ii i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ．显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C k k k -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)

5．已知是定义在R上的奇函数．当时，，若，则实数t的值为_____________．
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在，，，，内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，，则 _____________．
2．已知复数（i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．
21．已知矩阵，对应的变换把点变成点．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为、直线的极坐标方程为．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
7．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为PD的中点，已知，，，则三棱锥的体积为_____________．

2020届江苏省七市高三第二次调研考试(4月) 数学理(含附加)

2020届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三第二次调研考试（4月）数学理科(满分160分，考试时间120分钟)2020．4参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a －5，7}．若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值是________．2. 若复数z 满足zi＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．(第4题)3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨．4. 如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________．6. 在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是________．7. 在等差数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝a 2＋a 4，a 8＝－3，则a 20的值是________．(第8题)8. 如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则V 1＋V 2V的值是________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T.若PT ＝PO ，则PC 的长是________．11. 若x ＞1，则2x ＋9x ＋1＋1x －1的最小值是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝e x 在点P(x 0，ex 0)处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(x 0，0)，△PAB 的面积为3，则x 0的值是________．13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2))，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则A 6A 7→·A 7A 8→的值是________．14. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧|log 2x －a|，0＜x ≤4，f （8－x ），4＜x ＜8.若存在实数m ，使得关于x 的方程f(x)＝m有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π4))，其中0＜α＜π2.(1) 求(b －a )·a 的值；(2) 若c ＝(1，1)，且(b ＋c )∥a ，求α的值．16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：(1) PQ∥平面ABC；(2) PQ⊥平面ABB1A1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝1，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当AN ＝127AM时，求直线l 的方程．某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)．设AD＝x，DE ＝y1，AM＝y2(单位：百米)．(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的“F点”．(1) 设函数f(x)＝kx2－2ln x(k∈R)．①当k＝1时，求函数f(x)的极值；②若函数f(x)存在“F点”，求k的值；(2) 已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)－g(x2)|≥1，求a的取值范围．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝18.设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝－1，a n＋b n ＝－12S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是等差数列；(3) 是否存在等差数列{c n }，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ？若存在，求出所有符合题意的等差数列{c n }；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01a 0的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0.若曲线C 1：x24＋y 2＝1在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C 的方程为ρ＝r(r ＞0)，直线l 的方程为ρcos(θ＋π4)＝ 2.设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝27，求r 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2＝2，求证：x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z1＋z 2≤ 2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺维持营业，否则该店就停业．(1) 求发生调剂现象的概率；(2) 设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．23.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1，x2，…，x n)为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量a＝(x1，x2，…，x n)，其中x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，…，n.记范数为奇数的n维向量a的个数为A n，这A n个向量的范数之和为B n.(1) 求A2和B2的值；(2) 当n为偶数时，求A n，B n(用n表示)．2020届高三模拟考试试卷(七市联考)数学参考答案及评分标准1. 92. 53. 104. 525. 236. π67. －158. 139. 2 10.13 11. 812. ln 613.42714. (－∞，1) 15. 解：(1) 因为向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π4))，所以(b －a )·a ＝a ·b －a 2(2分)＝cos αcos(α＋π4)＋sin αsin(α＋π4)－(cos 2α＋sin 2α)(4分)＝cos(－π4)－1＝22－1.(6分)(2) 因为c ＝(1，1)，所以b ＋c ＝(cos(α＋π4)＋1，sin(α＋π4)＋1)．因为(b ＋c )∥a ，所以[cos(α＋π4)＋1]sin α－[sin(α＋π4)＋1]cos α＝0.(9分)于是sin α－cos α＝sin(α＋π4)cos α－cos(α＋π4)sin α，从而2sin(α－π4)＝sin π4，即sin(α－π4)＝12.(12分)因为0＜α＜π2，所以－π4＜α－π4＜π4，于是α－π4＝π6，即α＝5π12.(14分)16. 证明：(1) 取AB 的中点D ，连结PD ，CD.在△ABB 1中，因为点P ，D 分别为AB 1，AB 中点，所以PD ∥BB 1，且PD ＝12BB 1.在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1∥BB 1，CC 1＝BB 1.因为点Q 为棱CC 1的中点，所以CQ ∥BB 1，且CQ ＝12BB 1.(3分)于是PD ∥CQ ，PD ＝CQ.所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ ∥CD.(5分)因为CD ⊂平面ABC ，PQ ⊄平面ABC ，所以PQ ∥平面ABC.(7分) (2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC. 又CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD.因为CA ＝CB ，点D 为AB 中点，所以CD ⊥AB.(10分) 由(1)知CD ∥PQ ，所以BB 1⊥PQ ，AB ⊥PQ.(12分)因为AB ∩BB 1＝B ，AB ⊂平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以PQ ⊥平面ABB 1A 1.(14分)17. 解：(1) 记椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)．因为右顶点A(a ，0)在圆C 上，右准线x ＝a 2c与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相切，所以⎩⎨⎧（a －3）2＋02＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2c －3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.于是b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) (解法1)设N(x N ，y N )，M(x M ，y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.所以x N ·2＝16k 2－124k 2＋3，解得x N ＝8k 2－64k 2＋3.(6分)由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －2），（x －3）2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2－(4k 2＋6)x ＋4k 2＋8＝0，所以x M ·2＝4k 2＋8k 2＋1，解得x M ＝2k 2＋4k 2＋1.(8分)因为AN ＝127AM ，所以2－x N ＝127(x M －2)，(10分)即124k 2＋3＝127·21＋k 2，解得k ＝±1.(12分)所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(14分)(解法2)设N(x N ，y N )，M(x M ，y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)．由方程组⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3t 2＋4)y 2＋12ty ＝0，所以y N＝－12t3t 2＋4.(6分)由方程组⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，（x －3）2＋y 2＝1，消去x ，得(t 2＋1)y 2－2ty ＝0，所以y M ＝2t t 2＋1.(8分) 因为AN ＝127AM ，所以y N ＝－127y M .(10分)即－12t 3t 2＋4＝－127·2t t 2＋1，解得t ＝±1.(12分) 所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(14分)18. 解：(1) 因为S △ADE ＝23S △ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD ＝x ，所以12AD ·AE ·sin π3＝23(12×32×sin π3)，所以AE ＝6x.(2分)由⎩⎨⎧0＜AD ＝x ≤3，0＜AE ＝x6≤3，得2≤x ≤3. (解法1)在△ADE 中，由余弦定理得DE 2＝AD 2＋AE 2－2AD ·AE ·cos π3＝x 2＋36x 2－6.所以，直道 DE 的长度y 1关于x 的函数关系式为y 1＝x 2＋36x2－6，x ∈[2，3]．(6分)在△ADM 和△AEM 中，由余弦定理得AD 2＝DM 2＋AM 2－2DM ·AM ·cos ∠AMD ①，AE 2＝EM 2＋AM 2－2EM ·AM ·cos(π－∠AMD) ②.(8分)因为点M 为DE 的中点，所以DM ＝EM ＝12DE.由①＋②，得AD 2＋AE 2＝DM 2＋EM 2＋2AM 2＝12DE 2＋2AM 2.所以x 2＋(6x )2＝12(x 2＋36x 2－6)＋2AM 2，所以AM 2＝x 24＋9x 2＋32.所以，直道AM 的长度y 2关于x 的函数关系式为y 2＝x 24＋9x 2＋32，x ∈[2，3]．(10分)(解法2)在△ADE 中，因为DE →＝AE →－AD →，所以DE →2＝AE →2－2AE →·AD →＋AD →2＝(6x )2－2·6x ·xcos π3＋x 2＝x 2＋36x2－6.所以，直道DE 的长度y 1关于x 的函数关系式为y 1＝x 2＋36x2－6，x ∈[2，3]．(6分)在△ADE 中，因为点M 为DE 的中点，所以AM →＝12(AD →＋AE →)．(8分)所以AM →2＝14(AD →2＋AE →2＋2AD →·AE →)＝14(x 2＋36x2＋6)．所以，直道AM 的长度y 2关于x 的函数关系式为y 2＝x 24＋9x 2＋32，x ∈[2，3]．(10分)(2) 由(1)得，两条直道的长度之和为DE ＋AM ＝y 1＋y 2＝x 2＋36x 2－6＋x 24＋9x 2＋32≥2x 2·36x2－6＋2x 24·9x 2＋32(12分)＝6＋322(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝36x 2，x 24＝9x 2，即x ＝6时取“＝”)．(14分)答：当AD ＝6百米时，两条直道的长度之和取得最小值(6＋322)百米．(16分)19. 解：(1) ① 当k ＝1时，f(x)＝x 2－2ln x(k ∈R )，所以f ′(x)＝2（x －1）（x ＋1）x (x ＞0)．令f ′(x)＝0，得x ＝1.(2分)列表如下：－＋所以函数f(x)② 设x 0是函数f(x)的一个“F 点”(x 0＞0)．因为f ′(x)＝2（kx 2－1）x(x ＞0)，所以x 0是函数f ′(x)的零点．所以k ＞0.由f ′(x 0)＝0，得kx 20＝1，x 0＝1k. 由f(x 0)＝x 0，得kx 20－2ln x 0＝x 0，即x 0＋2ln x 0－1＝0.(6分) 设φ(x)＝x ＋2ln x －1，则φ′(x)＝1＋2x＞0，所以函数φ(x)＝x ＋2ln x －1在(0，＋∞)上单调递增，注意到φ(1)＝0，所以方程x 0＋2ln x 0－1＝0存在唯一实数根1，所以x 0＝1k＝1，得k ＝1. 根据①知，k ＝1时，x ＝1是函数f(x)的极小值点，所以1是函数f(x)的“F 点”．综上，实数k 的值为1.(9分)(2) 因为g(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，所以g ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c(a ≠0)．因为函数g(x)存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程⎩⎨⎧3ax 2＋2bx ＋c ＝0，ax 3＋bx 2＋cx ＝x 的两个相异实数根．由ax 3＋bx 2＋cx ＝x 得x ＝0，ax 2＋bx ＋c －1＝0.(11分)① 当x ＝0是函数g(x)一个“F 点”时，c ＝0且x ＝－2b3a ，所以a(－2b 3a )2＋b(－2b3a)－1＝0，即9a ＝－2b 2.又|g(x 1)－g(x 2)|＝|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2b 3a －0≥1，所以4b 2≥9a 2，所以9a 2≤2(－9a)．又a ≠0，所以－2≤a ＜0.(13分)② 当x ＝0不是函数g(x)一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程⎩⎨⎧3ax 2＋2bx ＋c ＝0，ax 2＋bx ＋c －1＝0的两个相异实数根．又a ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b 3＝b ，c 3＝c －1，解得⎩⎨⎧b ＝0，c ＝32.所以ax 2＝－12，得x 1，2＝±－12a. 所以|g(x 1)－g(x 2)|＝|x 1－x 2|＝2－12a≥1，得－2≤a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是[－2，0)．(16分) 20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 4＝18，所以q 3＝18，解得q ＝12.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(12)n －1.(3分)(2) 证明：由(1)得，当n ≥2，n ∈N *时，(12)n －1＋b n ＝－12S n －1 ①，所以(12)n ＋b n ＋1＝－12S n ②，②－①，得b n ＋1－12b n ＝(12)n ，(5分)所以b n ＋1（12）n －b n （12）n －1＝1，即b n ＋1a n ＋1－b na n ＝1，n ≥2，n ∈N *.因为b 1＝－1，由①得b 2＝0，所以b 2a 2－b 1a 1＝0－(－1)＝1，所以b n ＋1a n ＋1－b na n＝1，n ∈N *.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是以－1为首项，1为公差为等差数列．(8分)(3) 解：由(2)得b n a n ＝n －2，所以b n ＝n －22n －1，S n ＝－2(a n ＋1＋b n ＋1)＝－2(12n ＋n －12n )＝－n2n －1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n ＝dn ＋c ，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ，即对任意n ∈N *，都有－n 2n －1≤dn ＋c ≤12n －1 ③.(10分)首先证明满足③的d ＝0.若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0.(ⅰ) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，n ∈N *时，c n ＝dn ＋c ＞1≥12n －1＝a n ，这与c n ≤a n 矛盾．(ⅱ) 若d ＜0，则当n ＞－1＋cd，n ∈N *时，c n ＝dn ＋c ＜－1.而S n ＋1－S n ＝－n ＋12n ＋n 2n －1＝n －12n ≥0，S 1＝S 2＜S 3＜…，所以S n ≥S 1＝－1.故c n ＝dn ＋c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾．所以d ＝0.(12分)其次证明：当x ≥7时，f(x)＝(x －1)ln 2－2ln x ＞0.因为f ′(x)＝ln 2－1x ＞ln 2－17＞0，所以f(x)在[7，＋∞)上单调递增，所以当x ≥7时，f(x)≥f(7)＝6ln 2－2ln 7＝ln 6449＞0.所以当n ≥7，n ∈N *时，2n －1＞n 2.(14分) 再次证明c ＝0.(ⅲ) 若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N *，S n ＝－n 2n －1＞－1n＞c ，这与③矛盾．(ⅳ) 若c ＞0时，同(ⅰ)可得矛盾．所以c ＝0.当c n ＝0时，因为S n ＝1－n 2n －1≤0，a n ＝(12)n －1＞0，所以对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n .所以c n ＝0，n ∈N *.综上，存在唯一的等差数列{c n }，其通项公式为c n ＝0，n ∈N *满足题设．(16分)2020届高三模拟考试试卷(七市联考) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为AA－1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤01a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 002a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 所以⎩⎨⎧b ＝1，2a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01120.(4分) 设P(x ′，y ′)为曲线C 1上任一点，则x ′24＋y ′2＝1.又设P(x ′，y ′)在矩阵A 变换作用下得到点Q(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤01120⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ′x ′2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎨⎧y ′＝x ，x ′2＝y ，即⎩⎨⎧x ′＝2y ，y ′＝x ，代入x ′24＋y ′2＝1，得y 2＋x 2＝1，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：ρ＝r(r ＞0)的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点为圆心，半径为r 的圆．(3分)由直线l 的方程ρcos(θ＋π4)＝2，化简得ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(6分) 记圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝|2|2＝ 2.又r 2＝d 2＋(AB2)2，即r 2＝2＋7＝9，所以r ＝3.(10分)C. 证明：因为x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2＝2，所以11＋x 2＋11＋y 2＋11＋z 2＝1－x 21＋x 2＋1－y 21＋y 2＋1－z 21＋z 2＝1.(5分)由柯西不等式得(x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2)(11＋x 2＋11＋y 2＋11＋z 2)≥(x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2)2，所以(x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2)2≤2.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2≤ 2.(10分)22. 解：(1) 记2家小店分别为A ，B ，A 店有i 人休假记为事件A i (i ＝0，1，2)，B 店有i 人休假记为事件B i (i ＝0，1，2)，发生调剂现象的概率为P ，则P(A 0)＝P(B 0)＝C 02(12)2＝14，P(A 1)＝P(B 1)＝C 12(12)2＝12， P(A 2)＝P(B 2)＝C 22(12)2＝14.所以P ＝P(A 0B 2)＋P(A 2B 0)＝14×14＋14×14＝18.答：发生调剂现象的概率为18.(4分)(2) 依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，则 P(X ＝0)＝P(A 2B 2)＝14×14＝116，P(X ＝1)＝P(A 1B 2)＋P(A 2B 1)＝14×12＋12×14＝14.P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)＝1－116－14＝1116.(8分)所以X 的分布列为所以E(X)＝2×1116＋1×14＋0×116＝138.(10分)23. 解：(1) 范数为奇数的二元有序实数对有(－1，0)，(0，－1)，(0，1)，(1，0)，它们的范数依次为1，1，1，1，故A 2＝4，B 2＝4.(3分)(2) 当n 为偶数时，在向量a ＝(x 1，x 2，x 3…，x n )的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，…，n －1进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或－1，共有C 1n ·2n －1个，每个a 的范数为n －1；a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或－1，共有C 3n ·2n －3个，每个a 的范数为n －3；…a 的n 个坐标中含n －1个0，其余坐标为1或－1，共有C n －1n ·2个，每个a 的范数为1；所以A n ＝C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n·2， B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2.(6分) 因为(2＋1)n ＝C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋C 2n ·2n －2＋…＋C n n ①，(2－1)n ＝C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋C 2n ·2n －2－…＋(－1)n C n n ②，①－②2得C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＝3n －12，所以A n ＝3n －12.(8分)(解法1)因为(n －k)C k n ＝(n －k)·n ！k ！（n －k ）！＝n ·（n －1）！k ！（n －1－k ）！＝nC k n －1，所以B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2 ＝n(C 1n －1·2n －1＋C 3n －1·2n －3＋…＋C n －1n －1·2)＝2n(C 1n －1·2n －2＋C 3n －1·2n －4＋…＋C n －1n －1)＝2n ·(3n －1－12)＝n ·(3n －1－1)．(10分)(解法2)①＋②2得C 0n ·2n ＋C 2n·2n －2＋ (3)＋12. 因为kC kn＝k ·n ！k ！（n －k ）！＝n ·（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝nC k －1n －1，所以B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2 ＝n(C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2)－[C 1n ·2n －1＋3·C 3n ·2n －3＋…＋(n －1)·C n －1n ·2] ＝nA n －n(C 0n －1·2n －1＋C 2n －1·2n －3＋…＋C n －2n －1·2)21 ＝n ·(3n －12－3n －1＋12)＝n ·(3n －1－1)．(10分)。

江苏南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2020-2021学年下高三第一次调研考试数学试题(全解析)

江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA PB PC ++=0；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-；丙：PA PB PC ==；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅．如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

南通市2020届高三阶段调研测试_2.5模试卷及其详细解析

第 1 页共 16 页 Read x If x < 0 Then m ← 2x +1 Else m ←23x - End If Print m （第4题）南通市2020届高三阶段性练习
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合{}2101M =--，，，，{}
20N x x x =+≤，则M N =I ▲ ．
【答案】{}10-，
2．已知复数i 2i
a ++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】12
- 3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，
则这5次得分的方差是 ▲ ．
【答案】85
4．根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的值
是 ▲ ．【答案】32 5．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221y x a b
-=(00)a b >>，
，则该双曲线的渐近线的方程是 ▲ ．
【答案】2y x =±
6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同
学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 ▲ ．
【答案】12
7．将函数()π()sin 23
f x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到函数()
g x 的图象．若()g x 为奇函数，则ϕ的最小正值是 ▲ ．【答案】π6
8．已知非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2=a ，|2+|4=a b ，则||=b ▲ ．
【答案】4。

江苏省南通市启东市吕四中学2020届高三化学下学期第一次质量检测试题【含答案】

图 1
图2
①氧缺位铁酸铜(CuFe2O4－x)与水反应的化学方程式为。
②CuFe2O4 可用电化学方法得到，其原理如图 2 所示，则阳极的电极反应式为。
22. (12 分)以硫酸渣(含 Fe2O3、SiO2 等)为原料制备铁黄(FeOOH)的一种工艺流程如下：
A. 原子半径：r(W) > r(Z) > r(Y) B. 由 X、Y 组成的化合物中均不含共价键 C. Y 的最高价氧化物的水化物的碱性比 Z 的弱 D. X 的简单气态氢化物的热稳定性比 W 的强
二 .不定项选择题：本题包括 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分。每小题只有一个或两个选项符合题意。若正确答案只包括一个选项，多选时，该小题得 0 分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得 2 分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得 0 分。 16.下列说法正确的是( )
（2）浸取过程中 Fe2（SO4）3 的作用是_______________________________________，浸取时 Fe2（SO4）3 与 ZnS 发生反应的化学方程式为________________________________．（3）除铁过程控制溶液的 pH 在 5.4 左右，该反应的离子方程式为
江苏省南通市启东市吕四中学 2020 届高三化学下学期第一次质量检测试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 120 分。考试时间 100 分钟。
可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 S：32 Mn：55
选择题(50 分)
一 .单项选择题：本题包括 15 小题，每小题 2 分，共计 30 分。每小题只有一个选项符合题

2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立，此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+，当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =，所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =，所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <，所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-，因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥，故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为．【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率．【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=，即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②，又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解．【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤．故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积．【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==．故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定．【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-，由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-，代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-，令[]01,0,2t y t =-∈，则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=，综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-，故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-，所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =，所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =，且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =，所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长．【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22，【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列．（2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式；（2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=，两图象在点(),P s t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+，因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=，将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增；所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。

2025届江苏省连云港等四市高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届江苏省连云港等四市高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（）A ．8B ．16C ．D ．2．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+4．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]5．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）A ．1BCD ．06．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（）A B C ． D7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（）A ．4B ．8C ．16D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（） A ．y x =± B ．2y x =± C ． 3y x =± D ．2y x =±9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A ．413B 213C ．926D 31310．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8 12．已知函数()2ln 2x x f x ex a x =-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ，则=-1393a a▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 363f x a x x =+-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知1sin cos 2θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ．（1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？19．(本小题满分16分)设n S 数列{}n a 的前n 项和，对任意n *∈N ，都有1()()n n S an b a a c =+++（a b c ，，为常数）．（1）当3022a b c ===-，，时，求n S ；（2）当1002a b c ===，，时，（ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（ⅱ）若对任意,m n *∈N ，必存在p *∈N 使得p m n a a a =+，已知211a a -=，且1111129nii S =∈∑[，），求数列{}n a 的通项公式．20．(本小题满分16分)若实数0x 满足()00p x x =，则称0x x =为函数()p x 的不动点．（1）求函数()ln 1f x x =+的不动点；（2）设函数()323g x ax bx cx =+++，其中a b c ，，为实数．① 若0a =时，存在一个实数01[,2]2x ∈，使得0x x =既是()g x 的不动点，又是()g x ' 的不动点（()g x '是函数()g x 的导函数），求实数b 的取值范围； ② 令()()()'0h x g x a =≠，若存在实数m ，使m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，求证：函数()h x 存在不动点．江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学附加题2020.05（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A .（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a -1-2 b ，对应的変换把点(2,1)变成点(7、－1). (1) 求a ,b 的特征值. (2) 求矩阵M 的特征值.B .（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．C ．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）对任意实数t ，不等式|3||21||21||2|t t x x -++-++≥恒成立，求实数x 的取值范围．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）已知(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ．（1）求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n 的值；（2）求1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n的值．23．（本小题满分10分）甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束．（1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}2,3,4 2. 34i -3. 5124.5. 46. (],2-∞7. 40 8. 128π 9. 113 10. [1,7] 11. 1- 12. 1 13. 2(,)4e-∞- 14.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=-，即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-．（2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-．令πππ2π22π+262k x k --≤≤，得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．16．（本小题满分14分）证明：（1）如图，连接OQ ，因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ，所以//PA 平面QBD . ……… 6分（2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合，即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN ∥l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=，由条件得，4343055c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=．因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN = 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以△PMN的面积为132⨯=．（2）直线PM 与圆O 相切，证明如下：设00()M x y ，，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--．联立方程组00545343200x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩，，解得点P 的坐标为()0000004(53)4(54)4343y x y x y x -----，，所以()000000004(53)4(54)4343y x PM x y y x y x --=---u u u u r --，，由于()00OM x y =u u u u r ，，22004x y +=，所以2200000000004(53)4(54)4343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=---u u u u r u u u u r --0000004(53)4(54)443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-，所以PM OM ⊥u u u u r u u u u r，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证．18. 设正三角形长为l ，如图，设EF x =，则BF =，GF l =……………3分若以EF 为底、GF 为高，则圆柱底面半径12x r π=2322111124x V r h l lx ππππ⎛⎫⎛⎛⎫===+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭，02x <<……………… 6分())211242xV lx l ππ'=-+=--当0x <<时，10V '>；当2x <<时，10V '<；所以31max136l V V π==……………………………………………………………8分若以GF 为底、EF为高，则圆柱底面半径2r =………………………11分223222221443V r h x x x l x πππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，02x <<222144V x x l π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令20V '=，得1x =2x =当0x <<时，20V '>x <<20V '<；所以32max2V V ==………………………………………………………14分因为332max1max 36l V V π=>=，所以以GF 为底、EF为高，且EF =16分19．解：（1）当0a =，32b =，2c =-时，13()22n n S a a =+-．① 当1n =时，1113()22S a a =+-，所以11a =．当2n ≥时，1113()22n n S a a --=+-．②①－②得：13n n a a -=．因为11a =，所以10n a -≠，所以13nn a a -=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以131(31)132nn n S -==--．（2）（ⅰ）当12a =，0b =，0c =时，1()2n n n S a a =+．③当2n ≥时，1111()2n n n S a a ---=+．④③－④得：11(2)(1)n n n a n a a --=--，⑤ 所以11(1)n n n a na a +-=-．⑥⑤－⑥得：11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a +--+-=-．因为2n ≥，所以112n n n a a a +-+=即11n n n n a a a a +--=-，所以{}n a 是等差数列．（ⅱ）因为211a a -=，所以1d =．因为p m n a a a =+，所以11122a p a m n +-=++-，所以11a p m n =--+．因为*,,p m n N ∈，所以1a ∈Z ．又因为1111129a <≤，所以19211a <≤，所以11a =或12a =．当11a =时，n a n =，(1)2n n nS +=，()11122111nii n S n n ==-=++∑，所以121141139S S +=> 不符合题意．当12a =时，1n a n =+，(3)2n n nS +=，所以()1111211111931239ni i S n n n ==-++<+++∑满足题意．所以1n a n =+．20.解：（1）由题意可知，ln 1x x +=．令()ln 1x x x ϕ=-+，0x >．故()11'1xx x xϕ-=-=．…………………………2分所以函数()ln 1f x x =+的不动点为1．………………………………………………4分（2）① 由题意可知20000032bx cx x bx c x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，………………………………………………6分消去c ，得200311b x x =-+，01[,2]2x ∈，所以5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．…………………………8分② ()()2'32h x g x ax bx c ==++．由题意知m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，故可设公比为q ，则()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，故方程()h x qx =有三个根m ，()h m ，()()h h m ．………………………………11分又因为0a ≠，所以()()2'32h x g x ax bx c ==++为二次函数，故方程()h x qx =为二次方程，最多有两个不等的根．则m ，()h m ，()()h h m 中至少有两个值相等．……………………………………………………………………13分当()h m m =时，方程()h x x =有实数根m ，也即函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()h h m m =时，则()qh m m =，2q m m =，故21q =，又因为各项均为正数，则1q =，也即()h m m =，同上，函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()()h h m h m =时，则()qh m qm =，()h m m =，同上，函数()h x 存在不动点，符合题意；综上所述，函数()h x 存在不动点．…………………………………………………16分附加题参考答案21A.B ．解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3， (2)分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分C. 解：设()|3||21|f t t t =-++，即13221()432323t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-⎨⎪->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，所以()f t 的最小值为72，所以7|21||2|2x x -++≤．当2x <-时，不等式即为7(21)(2)2x x ---+≤，解得32x -≥，矛盾；当122x -≤≤时，不等式即为7(21)(2)2x x --++≤，解得12x -≥，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为7(21)(2)2x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤．综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤．22.（1）令x ＝0得，a 0＝1；令x ＝1得，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n＝22n ．于是a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝22n －1．（2）a k ＝C k 2n ，k ＝1，2，3，…，2n ，首先考虑1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1＝k !(2n +1－k )!(2n ＋1)!＋(k ＋1)!(2n －k )!(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋1－k ＋k ＋1)(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋2)(2n ＋1)!＝2n ＋2(2n ＋1) C k 2n ，则1 C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1 C k ＋12n ＋1)，因此1 C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1 C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－n n ＋1．23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）．设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦．而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃）因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)，所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。

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