抽象函数专题
高中数学抽象函数专题
三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。
若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭⎫⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ----,12)11()1(:x 1-x xx x f x x f x -=-+-得代换用（2）:)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (x f 3 x,x1)x (f 2)x1(f ,x x12=++=-与已知得得代换用，.232|)x (f |,024)x (9f02≥∴≥⨯-≥∆得由3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围． 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，必有23log 4a x ≤都成立.当1a >时，21log log 2a a x <,显然不成立．当01a <<时，213(log )log 24a a x >≥，解得3414a ≤<∴a 的取值范围是34[,1)4． 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）.练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。
抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。
本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax .0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且 当0<a 时，}12|{<<∈x ax x 当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ， 由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。
抽象函数-题型大全(例题-含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式：()211xf x x =++()f x 解：设1xux =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=-例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x xx x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()f x x x =++例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-, 不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x ,∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N=+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题 例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
抽象函数专题讲解与训练
4)若 ，求x的取值范围。
四、抽象函数的奇偶性
对于抽象函数的奇偶性，通常是利用赋值法得到 与 的关系，然后来判断。
例题4、定义在R上的函数 ，对任意x,y ，都满足 ,且 ，试判断 的奇偶性。
练习4、已知函数 在R上有意义，且对任意实数x，y都有 ,试判断函数 的奇偶性。
例题1.1、若函数 的定义域为[-1,2]，则 的定义域为。
例题1.2、若函数 的定义域为[1,3]，则 的定义域为。
例题1.3、若函数 的定义域为[1,3]，则 的定义域为。
例题1.4、若函数 的定义域为[3,8]，则函数 的定义域为。
练习1.1、已知函数 的定义域为（0,1），求函数 的定义域；
练习2.6、已知函数 ,求 的值；若 ，求a的值。
三、抽象函数的单调性
抽象函数单调性的判断通常用定义法。
例题3、已知函数 对任意x,y ，满足 ，当x 时， ，求证函数 在R上为增函数。
练习3、定义在R上的函数 ， ,当x 时， ,，且对任意的a,b ，都有 .
1)求证 ；
2)求证：都任意实数x,恒有 ；
练习1.2、已知函数 的定义域为（2,4），求函数 的定义域；
练习1.3、已知函数 的定义域为（1,2），求函数 的定义域。
二、抽象函数表达式与函数值
例题2.1、已知 ，求函数 ；
例题2.2、已知函数 满足 ，则 的表达式为；
例题2.3、已知二次函数 满足 ，求 的表达式；
例题2.4、已知函数 满足 ,求函数 的表达式；
五、线性函数型抽象函数
抽象函数满足 ,或 ,则说明该函数是一次函数 。
例题5、已知函数 对任意实数x，y，均有 ，且当 时， ， ，求 在区间[－2，1]上的值域。
高中数学2025一轮加强专题4：抽象函数 解析版
2025高三一轮加强专题4：抽象函数一、单选题1．定义在R 上的函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1f x y f x f y +=+-，若0x >时，()1f x >，则()f x （）A ．先单调通淢后单调递增B ．在R 上单调递增C ．在R 上单调通减D ．单调性不确定2．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f a f b f a ab b -=-，则（）A ．()00f =B ．()12f =C ．()1f x -为偶函数D ．()1f x -为奇函数3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y +-=+，且()00f ≠，则下列结论中错误的是（）A ．()01f =B ．()y f x =为奇函数C ．()y f x =不存在零点D ．()()2f x f x =4．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2222f f x y x y y f f x +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于直线12x =对称，()11f =，()f x 在[]1,0-上单调递增，则下列说法中错误的是（）A ．()()240f f +=B ．()f x 的一条对称轴是直线32x =C ．()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()202411k f k ==∑5．已知函数()f x 的定义域为R ，函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，函数()()231G x f x =+-为奇函数，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的一个对称中心为()2,1B ．()01f =-C ．函数()f x 为周期函数，且一个周期为4D ．()()()()12346f f f f +++=6．已知函数()f x 定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，下列结论成立的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()22f =-C ．()f x 在[]1,2上单调递减D ．()f x 有最大值二、多选题7．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上单调递减C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞在上单调递增8．定义在R 上的非常数函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x +为偶函数且()()23f x f x ++=.则下列说法中一定正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．6是函数()f x 的一个周期C ．()312f =D ．()f x '的图象关于直线3x =对称9．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都是R ，若函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()f x '为偶函数，则（）A ．312f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝B ．()()12123f x f x -++=C ．()f x '的图象关于直线1x =对称D ．()f x '的最小周期是110．已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A ．()14f -=-B ．()f x 有最大值C ．()20244048f =D ．函数()2f x +是奇函数11．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意实数x ，y 满足()()()()2f x y f x y g x f y +--=，()()210f f +=且()()210f f ⋅≠，则下列结论正确的是A ．()00f =B ．()112g =-C ．()f x 为奇函数D ．()202412024n f n ==∑12．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其中()f x '为()f x 的导函数，对于任意的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()1f x '+关于直线1x =对称C ．()20,f n n =∈ND ．81()1k f k ==-∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，则（）A ．()01f =-B ．()()0f x f x -≤C ．()()2f x y f x =+为奇函数D ．115212122k k f =-⎛⎫< ⎪⎝⎭∑参考答案：1．B【分析】利用函数单调性的定义即可判断.【详解】任取12x x <，令211,x x x y x =-=，则()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()()210f x f x ->，所以()f x 在R 上单调递增.故选：B.2．D【分析】对于A ，令0b =，可求出(0)f 进行判断，对于B ，令1a b ==，可求出(1)f 进行判断，对于CD ，令0,a b x ==，可求出()f x ，从而可求出()1f x -，进而可判断其奇偶性.【详解】对于A ，令0b =，则()()()00f a f f a -=，得()()010f a f -=⎡⎤⎣⎦，所以()0f a =或()01f =，当()0f a =时，()()()f a f b f a ab b -=-不恒成立，所以()01f =，所以A 错误，对于B ，令1a b ==，则()()()1110f f f -=，得(1)[(1)1]0f f -=，所以()10f =，或()11f =，由选项A 可知()10f ≠，所以()11f =，所以B 错误，对于CD ，令0,a b x ==，则()()()00f f x f x -=-，由选项A 可知()01f =，所以()1f x x =-，所以()111f x x x -=--=-，令()()1g x f x x =-=-，则()()g x x g x -==-，所以()g x 为奇函数，即()1f x -为奇函数，所以C 错误，D 正确，故选：D 3．B【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0x y ==，可得22(0)2(0)f f =，因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，所以A 不符合题意；对于B 中，函数()f x 的定义域为全体实数，由(0)1f =，显然不符合()()f x f x -=-，所以函数()f x 不是奇函数，所以B 符合题意；对于C 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0y =，可得22()()(0)f x f x f =+，即22()()10f x f x --=，解得()1f x =或1()2f x =-，所以函数()y f x =没有零点，所以C 不符合题意；对于D 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令y x =，可得2(2)(0)()()f x f f x f x =+，所以2(2)2()f x f x =，即(2)()f x f x =，所以D 不符合题意.故选：B ．4．D【分析】令0x y ==，可求得()00f =，令x y =-，可得()()f x f x -=-，利用已知可得()f x 关于32x =对称，可判断B ；可求得函数的周期为6，()f x 关于()3,0对称，计算可判断AD ；由题意可得()f x 在[]2,4上单调递减，可判断C.【详解】()()2222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x y ==，可得()()2200000022f f f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()00f =；令x y =-，()()2222x x x x f x f x f f -+⎛⎫⎛⎫⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()2f x f x f x ⋅-=-，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数；∵122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于12x =对称，()()11332121222222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++⇒-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴()f x 关于32x =对称，故B 正确；∴3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()3()f x f x f x -=+=-，∴()6(3)()f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为6，∵()f x 关于32x =对称，可得()f x 关于()3,0对称∴()()600f f ==，()()511f f =-=-，()()411f f =-=-，()30f =，()()211f f ==，所以()()240f f +=，2024()337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)(2)2f k f f f f f f f f =+++++++=∑小，故A 正确，D 错误；∵202377(1686)222f f f ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在[]1,0-上单调递增∴()f x 在[]2,4上单调递减，所以7(4)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：D.5．C【分析】对于A ，由()G x 为奇函数，则()()G x G x -=-，再将()()231G x f x =+-代入化简可求出对称中心；对于B ，由选项A 可得(2)1f =，再由()F x 为偶函数可得(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =可求出(0)f ；对于C ，由()f x 的图象关于点(2,1)对称，结合(0)1f =-求出(4)f 进行判断；对于D ，利用赋值法求解判断.【详解】对于A ，因为()()231G x f x =+-为奇函数，所以()()G x G x -=-，即(23)1[(23)1]f x f x --=-+-，所以(23)(23)2f x f x -++=，所以(2)(2)2f x f x -++=，所以函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，所以A 正确，对于B ，在(2)(2)2f x f x -++=中，令0x =，得2(2)2f =，得(2)1f =，因为函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，所以()()F x F x -=，所以()()()()1111f x x f x x ---=+-+，所以(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =，则(2)(0)2f f -=，所以1(0)2f -=，得(0)1f =-，所以B 正确，对于C ，因为函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，(0)1f =-，所以(4)3f =，所以(0)(4)f f ≠，所以4不是()f x 的周期，所以C 错误，对于D ，在(2)(2)2f x f x -++=中令1x =，则(1)(3)2f f +=，令2x =，则(0)(4)2f f +=，因为(0)1f =-，所以(4)3f =，因为(2)1f =，所以()()()()12346f f f f +++=，所以D 正确，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.6．D【分析】利用题设结合赋值法可得出()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，令2y =，则()()()24222f x xf x x -=-，得()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，2x =时，()()2212222f f +⎡⎤⎣⎦=-⨯+恒成立，无法确定()22f =-，B 不一定成立；由于()22f =-不一定成立，故()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+不一定为偶函数，A 不确定；由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+的对称轴为()1212x f =⋅+⎡⎤⎣⎦与[]1,2的位置关系不确定，故()f x 在[]1,2上不一定单调递减，C 不确定，由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+表示开口向下的抛物线，故函数()f x 必有最大值，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质求解.7．AB【分析】令1x y ==-，求出()1f ，令1x y ==，求出()1f -，再分别令1y =-和1y =，即可求出函数()f x 的解析式，进而可得函数性质.【详解】定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，令1x y ==-，则()()1211f f =-+，所以()113f =，令1x y ==，则()()1211f f =-+，所以()113f -=-，令1y =-，则()()()()()1111233f f x f x f x f x xx x x x-=--+-=--+-=---，所以()13f x x-=-，令1y =，则()()()111111333f f x f x xx x x x x-=-++=--+=，所以()13f x x =，因为()()13f x f x x-=-=-，且定义域关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数()13f x x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减.故选：AB.8．ACD【分析】根据偶函数的性质即可求解A ，根据4是函数()f x 的一个周期，利用反证法即可求解B ，由赋值法求解C ，求导，即可判断D.【详解】对于A ：因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x -+=+，即()f x 的图象关于直线2x =对称，所以A 正确；对于B ：由()()23f x f x ++=得()()243f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，即4是函数()f x 的一个周期，若6也为函数()f x 的一个周期，则2为函数()f x 的一个周期，那么()()()232f x f x f x ++==，即()32f x =为常数函数，不合题意，所以B 错误；对于C ：由A 可知()()13f f =，对于()()23f x f x ++=可令1x =得()()133f f +=，所以()312f =，所以C 正确；对于D ：由A 可得()()22f x f x -+=+，求导可得()()220f x f x ''++-=即()()40f x f x ''+-=，对于()()23f x f x ++=求导可得()()20f x f x '+'+=，所以()()42f x f x -='+'，即函数()f x '的图像关于直线3x =对称，所以D 正确；故选：ACD.9．BC【分析】用举反例的方法得选项A ，D 错误，再由对称性和对称性与周期性之间的关系对剩余选项逐一分析即可.【详解】因为()f x '为偶函数，函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，对于函数() 1.5f x x =，显然其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，且() 1.5f x '=，故() 1.5f x '=为偶函数，即() 1.5f x x =满足条件()f x '为偶函数，且其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，但33122f ⎛⎫=⎪⎭'≠ ⎝，故A 错误；()f x '的最小正周期不是1，D 错误；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()113f t f t ∴-++=，令2t x =，得()()12123f x f x -++=，故B 正确；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()(2)3f x f x ∴=--+，两边求导得：()()2f x f x ''=-，()f x ∴'的图象关于直线1x =对称,故C 正确；故选：BC.10．AD【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()02f =-，令1,1x y ==-，则()()()11112f f f -=-++，解得()14f -=-，所以A 正确；对于B 中，令121,x x y x x ==-，且12x x <，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+-+，可得()()()21212f x f x f x x -=-+，若0x >时，()2f x >-时，()()210f x f x ->，此时函数()f x 为单调递增函数；若0x <时，()2f x <-时，()()210f x f x -<，此时函数()f x 为单调递减函数，所以函数()f x 不一定有最大值，所以B 错误；对于C 中，令1y =，可得()()()()1122f x f x f f x +=++=+，即()()12f x f x +-=，所以()()()()()()()2024202420232023202232f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()2112023204046f f f ⎡⎤+-+=⨯+=⎣⎦，所以C 错误；对于D 中，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+-+，可得()()220f x f x ++-+=，即()()22f x f x +=--+⎡⎤⎣⎦，所以函数()2f x +是奇函数，所以D 正确；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出()14f -=-，及证明函数()2f x +是奇函数.11．ABC【分析】令0y =即可判断A ；令1x y ==即可判断B ；令1x =可得()(1)(1)f x f x f x =--+，结合奇函数的定义即可判断C ；由选项C ，令1x x =-可得(1)()(2)f x f x f x -=+-，求出()f x 的周期即可求解.【详解】()()2()()f x y f x y g x f y +--=.A ：令0y =，得()()2()(0)0f x f x g x f -==，则(0)0f =，故A 正确；B ：令1x y ==，得(2)(0)2(1)(1)f f g f -=，即(2)2(1)(1)f g f =，又(2)(1)0f f +=且(2)(1)0f f ≠，所以2(1)(1)(1)0g f f +=，解得1(1)2g =-，故B 正确；C ：令1x =，得(1)(1)2(1)()f y f y g f y +--=，即(1)(1)()f y f y f y +--=-，得()(1)(1)f y f y f y =--+，所以()(1)(1)f x f x f x =--+，得()(1)(1)f x f x f x -=+--，所以()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数，故C 正确；D ：由选项C 知()(1)(1)f x f x f x =--+，又(1)(1)f x f x -+=--，得()(1)(1)f x f x f x =-+--①，令x 替换成1x -，得(1)()(2)f x f x f x -=+-②，①②相加，得(1)(2)0f x f x --+-=，则(2)(1)(1)f x f x f x -=---=+，得()(3)f x f x =+，即()f x 的周期为3，所以(0)(3)0f f ==，因为(1)(2)(3)0,202467432f f f ++==⨯+，所以20241()(1)(2)(3)(2024)(1)(2)0n f n f f f f f f ==++++=+=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：对于含有,x y ，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有,x y 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.12．BCD【分析】对于A ：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B ：结合复合函数导数公式与对称性可对于CD ：借助赋值法结合周期性分析求解.【详解】因为()f x 的定义域为R对于选项A ：令0x y ==，可得()()()()2200000f f f f =-=，即()00f =，令0x =，可得()()()()()2220f y f y f f y f y -=-=-，且()f y 不恒为零，则()()f y f y -=-，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，故A 错误；对于选项B ：令11x ty t=+⎧⎨=-⎩，可得22(2)(2)(1)(1)0f f t f t f t =+--=，即22(1)(1)f x f x +=-，即22()(2)f x f x =-，可得()(2)f x f x =±-，令2x =，可得2(2)(2)()f y f y f y +-=-，即2(2)(2)()f x f x f x +-=-，当()(2)0f x f x =-≠时，有()()()2f x f x f x +=-=-，所以(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-+=；当()(2)0f x f x =--≠，有(2)()f x f x +=，可得(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-=，当()(2)0f x f x =-=，结合()()f x f x -=-，有()(2)f x f x -=--，可得()(2)0f x f x =-+=，所以(2)(2)0f x f x ++-=；综上所述：(2)(2)0f x f x ++-=，两边同时求导可得(2)(2)f x f x +=-''，可知()f x '关于直线2x =对称，所以(1)f x '+关于直线1x =对称，故B 正确；对于选项C ：由选项B 可知：()(2)f x f x =±-，若()()(2)2f x f x f x =-=--，即()(2)f x f x +=-，可得()()(4)2f x f x f x +=-+=，可知4为()f x 的周期；若()()(2)2f x f x f x =--=-，即()(2)f x f x +=，可得()()(4)2f x f x f x +=+=，可知4为()f x 的周期；综上所述：4为()f x 的周期.且()()200f f ==，所以()20,f n n =∈N ，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：(2)(2)0f x f x ++-=，令1x =，可得(3)(1)0f f +=，可得()()()()12340f f f f +++=，结合周期性可得()()()81()1011k f k f f f =-=-+=-=-∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．13．BCD【分析】利用赋值法求得()0f 即可判断A ；利用赋值可得()2222x x f x f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且判断出()1f x ≠-，由不等式的性质可得()10f x +>，即可判断B ；利用函数的奇偶性以及()0g 的值即可判断C ；利用等比数列的判定可得()f n的通项公式，利用等比数列的求和公式可得1152121252k k f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即可判断D ．【详解】令1x =，0y =，则()()()()()11010f f f f f =++，将()11f =代入得()200f =，即()00f =，故A 错误；由()00f =，令y x =-可得()()()()0f x f x f x f x =+-+-，若存在x 使得()1f x =-，则上式变为01=-，显然不成立，所以()1f x ≠-，又()2221122222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()1f x ≠-，所以()1f x >-，将()()()()0f x f x f x f x =+-+-整理为()()()()1f x f x f x -+=-，因为()1f x >-，即()10f x +>，所以()()0f x f x -≤，故B 正确；令()()()()R 2f x g x x f x =∈+，则()()()()()()()()()()()()()()()202222f x f x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x +-+--+-=+==+-++-+，且()()()00002f g f ==+，所以()g x 为奇函数，故C 正确；当*n ∈N 时，()()()()()()11121f n f n f f n f f n +=++=+，()()1121f n f n ++=+，所以(){}1f x +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()12n f n +=，由()2112x f x f ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭可知2122n n f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12n f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()*221N 2n n f n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以)521111155222111221215252212k k k k f -==-⎛⎫-⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n 项和进行分析，由此即可顺利得解．。
人教版必修一：《基本初等函数》复习之抽象函数专题
人教版必修一：《基本初等函数》复习之抽象函数专题1、抽象函数相对于具体函数而言，没有具体的解析式，有的是这一类函数所具有共同性质2、抽象函数题型标配：①任意 ②关系恒等式3、选配：单调性、奇偶性、某一函数值、某一范围内函数值、4、常见求解问题：求值、判断奇偶性、判断单调性、解不等式因为“任意”两字：为赋值埋下伏笔恒等式：可正用，可逆用，可变形用练习：人教版必修1第82页第7题、第75页B 组题第五题从以上题目中以发现，具体函数可以抽象出一类函数所具有的性质练习：1、函数()f x 的定义域为{}0D x x =≠，且满足对任意的12,x x D ∈,都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+(1) 求(1)f 的值（2）判断()f x 的奇偶性（求值，不但有明确要求求值，还有暗的要求求值；证奇偶性，要注()f x -的出现）2、已知函数()f x 不为0，当,x y R ∈恒有()+(-)2()()f x y f x y f x f y +=⋅，求证：()f x 为偶函数3、()f x 是定义在R 上的函数，对,x y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=++，求证：()f x +1为为奇函数4、已知定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()(),x f f x f y y =-且当1x >时，()0f x <，（1）求(1)f 的值 （2）判断()f x 的单调性5、()f x 是定义在R 上的函数，对,a b R ∈都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x >（1）求证：()f x 为为增函数（2）若(1)1f =，解不等式(32)3f m -<6、()f x 是定义在R 上的函数，对,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+且当0x >时，()0f x <，(1)2f =-（1）求证：()f x 为奇函数（2）求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值3、设函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意[],1,1a b ∈-，当0a b +≠时，都有()()0f a f b a b+>+ （1）若a b >，试比较()()f a f b 与的大小（2）解不等式：(3)(21)f x f x <+总结：（1）有的直接让求值，而有的是通过分析得知需要求值；（2）有的直接让证单调性，而有的是通分析知道需要证单调性；那么什么时候要证单调性呢，如果题目中出现求最值问题、比较大小问题，往往要证单调性（3）有的直接要证奇偶性问题，而有的是通过分析可得要证奇偶性。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
抽象函数专题讲解
解:令 x=y=0,得：f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
f ( x) 的定义域．
2 例 2 已知函数 f ( x 2 x 2) 的定义域为 0， 3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 x 2 ≤ 5 ．
2
令 u x 2 x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ，1 ≤ u ≤ 5 ．
解： f ( x) 的定义域为 15 ， ，1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 故函数 f (3x 5) 的定义域为 ， ． 3 3ຫໍສະໝຸດ 4 10 ≤ x≤ ． 3 3
4 10
2、已知 f g ( x) 的定义域，求 f ( x ) 的定义域 其解法是： 若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ， 则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为
1 1 2 f (1) 0,f (1) .令x n, y 1, 得f (n 1) f (n) 2[f (1)] f (n) , 2 2
1 n 2017 即 f(n 1) - f(n) ,故f(n ) , f(2001) . 2 2 2
三、抽象函数常见模型
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性及图象问题。
抽象函数题型汇编
抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知()f x 的定义域，求(())f g x 的定义域．解法：若()f x 的定义域为[]a b ，，则(())f g x 中()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为(())f g x 的定义域．例1 设函数()f x 的定义域为[01]，，则(1)函数2()f x 的定义域为 ；(2)函数2)f 的定义域为 ． 解析：(1)由已知有201x ≤≤，解得11x -≤≤，故2()f x 的定义域为[11]-，；(2)由已知，得021≤，解得49x ≤≤，故2)f 的定义域为[49]，． (二)已知(())f g x 的定义域，求()f x 的定义域．解法：若(())f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 函数[lg(1)]y f x =+的定义域为09x ≤≤，则()y f x =的定义域为 ． 解析：由09x ≤≤，得1110x +≤≤，所以0lg(1)1x +≤≤，故填[01]， (三)已知(())f g x 的定义域，求(())f h x 的定义域．解法：先由(())f g x 定义域求()f x 定义域，再由()f x 定义域求得(())f h x 定义域． 例3 函数(1)y f x =+定义域是[23]-，，则(21)y f x =-的定义域是 ． 解析：先求()f x 的定义域，∵(1)f x +的定义域是[23]-，，∴23x -≤≤ ∴114x +≤≤，即()f x 的定义域是[14]-，再求[()]f h x 的定义域，∵1214x --≤≤，∴502x ≤≤∴(21)f x -的定义域是502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 例4 函数()f x 的定义域是(01]，，求()1()()()02g x f x a f x a a =+⋅--<≤的定义域．解析：∵由已知，有0101x a x a <+⎧⎨<-⎩≤，≤，即11a x a a x a -<-⎧⎨<+⎩≤，≤，∴函数的定义域由(1)(1]a a a a --+I ，，确定 ∵102a -<≤∴11a a a a -<+-≤≤∴函数()g x 的定义域是(1]a a -+，．【巩固1】已知函数2()f x 的定义域是12［，］，求()f x 的定义域． 解析：2()f x 的定义域是12［，］，是指12x ≤≤， 所以2()f x 中的2x 满足214x ≤≤ 从而函数()f x 的定义域是[14]，．【巩固2】已知函数()f x 的定义域是[12]-，，求函数()12log (3)f x -的定义域．解析：()f x 的定义域是[12]-，，意思是凡被f 作用的对象都在[12]-，中，由此可得 ()()211211111log (3)231224x x x ---⇒-⇒≤≤≤≤≤≤所以函数()12log (3)f x -的定义域是1114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【巩固3】()f x 定义域为(01)，，则()1()()||2y f x a f x a a =++-≤定义域是 ．解析：因为x a +及x a -均相当于()f x 中的x ，所以011011x a a x a x a a x a <+<-<<-⎧⎧⇒⎨⎨<-<<<+⎩⎩，，，，(1)当102a -≤≤时，则(1)x a a ∈-+，； (2)当102a <≤时，则(1)x a a ∈-，．二、解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力． 例5 已知 ()211x fx x =++，求()f x ．解析：设1x u x =+，则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=-．2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x ．此解法简洁，还能进一步复习代换法． 例6 已知()3311f x x x x +=+，求()f x解析：∵()()()()()()2221111113f x x x x x x xx xx+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)(||)13f x x x x x x =-=-≥，3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数． 例7 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4，求()f x ． 解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ 22222()24ax bx a c x x =+++=++比较系数得2()4132112222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩，，，，，∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． 例8 已知()y f x =为奇函数，当0x >时，()lg(1)f x x =+，求()f x ．解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求0x <时的表达式． ∵0x ->，∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-， ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当0x <时()lg(1)f x x =--∴lg(1)0()lg(1)0x x f x x x +⎧=⎨--<⎩，≥，例9 ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有1()()1f x g x x +=-， 求()f x ，()g x ．解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-， 不妨用x -代换1()()1f x g x x +=- ………①中的x ，∴1()()1f x g x x -+-=--即1()()1f xg x x -=-+……② 显见①+②即可消去()g x ，求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例10 设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++，及(1)1f =，求()f x 解析：∵()f x 的定义域为N ，取1y =，则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)1f =，∴(2)(1)2f f =+，(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有(1)()1232n n f n n +=++++=L ，∴1()(1)2f x x x x =+∈N ， 【巩固4】设函数()f x 存在反函数，1()()()g x f xh x -=，与()g x 的图象关于直线0x y +=对称，则函数 ()h x =（ ）A ．()f x -B ．()f x --C ．1()f x --D ．1()f x ---解析：要求()y h x =的解析式，实质上就是求()y h x =图象上任一点00()P x y ，的横、纵坐标之间的关系． 点00()P x y ，关于直线y x =-的对称点00()y x --，适合1()y f x -=， 即00()x g y -=-．又1()()g x f x -=，1000000()()()x f y y f x y f x -∴-=-⇒-=-⇒=--，即()()h x f x =--，选B ．【巩固5】设对满足01x x ≠≠，的所有实数x ，函数()f x 满足()1()1x f x f x x -+=+，求()f x 的解析式．解析：在()1()1x f x f x x -+=+（1）中以1x x-代换其中x ，得：()()11211x x f f x x x --+-=-(2)再在(1)中以11x --代换x ，得()12()11x f f x x x --+=--(3)(1)-(2)+(3)化简得：321()2(1)x x f x x x --=- 评析：如果把x 和1x x -分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略． 三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值．其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化．或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．例11 已知定义域为+R 的函数()f x ，同时满足下列条件：①1(2)1(6)5f f ==，；②()f x y ⋅=()()f x f y +，求(3)(9)f f ，的值．解析：取23x y ==，，得(6)(2)(3)f f f =+ 因为1(2)1(6)5f f ==，，所以4(3)5f =- 又取3x y ==，得8(9)(3)(3)5f f f =+=-例12 定义在R 上的函数()f x 满足：()(4)f x f x =-且(2)(2)0f x f x -+-=，求(2000)f 的值． 解析：由(2)(2)0f x f x -+-=，以2t x =-代入，有()()f t f t -=， ∴()f x 为奇函数且有(0)0f =，又由(4)[4()]f x f x +=--()()f x f x =-=-，∴(8)(4)()f x f x f x +=-+= ()f x 是周期为8的周期函数，∴(2000)(0)0f f ==【巩固6】已知()f x 的定义域为+R ，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数x y ，都成立，若(8)4f =， 则(2)f =_______．解析：在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得 (8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，∴(4)2f =又令2x y ==，得(4)(2)(2)2f f f =+=，∴(2)1f =【巩固7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足：(2)[1()]1()f x f x f x +-=+，(1)1997f =，求(2001)f 的值．解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现()f x 是周期函数，显然()1f x ≠，于是 1()(2)1()f x f x f x ++=-，1()11(2)1()1(4)1(2)1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++++-+===--++--所以1(8)()(4)f x f x f x +=-=+，故()f x 是以8为周期的周期函数， 从而(2001)(82501)(1)1997f f f =⨯+== 四、值域问题例13 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y ，，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数()f x 的值域．解析：令0x y ==，得2(0)[(0)]f f =，即有(0)0f =或(0)1f =．若(0)0f =，则()(0)()(0)0f x f x f x f =+==，对任意x ∈R 均成立，这与存在实数12x x ≠，使得12()()f x f x ≠成立矛盾，故(0)0f ≠，必有(0)1f =．由于()()()f x y f x f y +=对任意x y ∈R ，均成立，因此，对任意x ∈R ，有 ()()()()2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦≥下面来证明，对任意()0x f x ∈≠R ，设存在0x ∈R ，使得0()0f x =，则0000)(0)(()()0f f x x f x f x =-=-= 这与上面已证的(0)0f ≠矛盾，因此，对任意()0x f x ∈≠R ， 所以()0f x >评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段． 【巩固8】已知函数()f x 对任意实数x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在[21]-，上的值域．解析：设12x x <，且12x x ∈R ，，则210x x ->， 由条件当0x >时，()0f x > ，21()0f x x ∴->又2211()[()]f x f x x x =-+2111()()()f x x f x f x =-+>，∴()f x 为增函数， 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-又令0x y == ，得(0)0f = ，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数， (1)(1)2f f ∴=-=，(2)2(1)4f f -=-=-所以()f x 在[21]-，上的值域为[42]-， 五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用．例4 已知()f x 是定义在(11)-，上的偶函数，且在(01)，上为增函数，满足(2)f a -- 2(4)0f a -<，试确定a 的取值范围．解析：∵()f x 是偶函数，且在(01)，上是增函数，∴()f x 在(10)-，上是减函数， 由2121141a a -<-<⎧⎨-<-<⎩a < (1)当2a =时，2(2)(4)(0)f a f a f -=-=，不等式不成立． (2)2a <<时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩(3)当2a <2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a的取值范围是2)(2U ． 例15 ()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，若22(sin )(1cos )f m x f m x -++≤对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：：2222sin 31cos 3sin 1cos m x m x m x m x ⎧-⎪++⎨⎪-++⎩Q ≤，≤，≥，对x ∈R 恒成立222sin 3sin 1cos m x m x m x ⎧-⎪⇔⎨-++⎪⎩≤，≥，对x ∈R 恒成立⇔22223sin 151sin cos (sin )24m x m m x x x ⎧-⎪⎨--+=--+⎪⎩≤，≥， 对x ∈R 恒成立， 2231514m m m ⎧-⎪∴⎨--⎪⎩≤，≥，所以m 为所求【巩固9】已知函数()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，且对一切实数x ，不等式(sin )f k x -≥ 22(sin )f k x -恒成立，求k 的值．解析：由单调性，脱去函数记号，得222222221sin 1sin 111(sin )2sin sin 42k x k x k k x k x k x ⎧+⎧-⎪⎪⇔⎨⎨-+---⎪⎪⎩⎩≤，()≤，≥，()≤ 由题意知(1)(2)两式对一切x ∈R 恒成立，则有22min 22max (1sin )11119(sin )424k x k k k x ⎧⎫+=⎪⎪⇒=-⎨⎬-+-=⎪⎪⎩⎭≤≥ 【巩固10】已知函数()f x 对任意x y ∈R ，有()()2()f x f y f x y +=++，当0x >时，()2f x >，(3)5f =，求不等式2(22)3f a a --<的解集．解析：设12x x ∈R ，且12x x <，则210x x ->， 21()2f x x ∴->，即21()20f x x -->22112111()[()]()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+=-+->，21()()f x f x ∴>故()f x 为增函数，又(3)(21)(2)(1)23(1)45f f f f f =+=+-=-=，(1)3f ∴=，2(22)3(1)f a a f ∴--<=，即2221a a --<，13a ∴-<<因此不等式2(22)3f a a --<的解集为{}|13a a -<<． 六、单调性问题例16 设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x y ，，有()f x y +=()()f x f y ，求证：()f x 在R 上为增函数．证明：在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f = 若(0)0f =，令00x y >=，，则()0f x =，与()1f x >矛盾 所以(0)0f ≠，即有(0)1f =当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0()10x f x ->->>， 而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()0()f x f x =>-又当0x =时，(0)10f =>，所以对任意x ∈R ，恒有()0f x > 设12x x <，则21210()1x x f x x ->->，∴21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->，∴()y f x =在R 上为增函数例17 已知偶函数()f x 在(0)+∞，上是减函数，问()f x 在(0)-∞，上是增函是减函数，并证明你的结论． 证明：如图所示，易知()f x 在(0)-∞，上是增函数，证明如下： 任取121200x x x x <<⇒->->因为()f x 在(0)+∞，上是减函数，所以12()()f x f x -<-． 又()f x 是偶函数，所以1122()()()()f x f x f x f x -=-=，， 从而12()()f x f x <，故()f x 在(0)-∞，上是增函数．【巩固11】如果奇函数()f x 在区间[37]，上是增函数且有最小值为5，那么()f x 在区间[73]--，上是( ) A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5-D ．减函数且最大值为5-解析：画出满足题意的示意图1，易知选B ． 七、奇偶性问题例18 已知函数()(0)f x x x ∈≠R ，对任意不等于零的实数12x x ，都有121()()f x x f x ⋅=2()f x +，试判断函数()f x 的奇偶性．解析：取1211x x =-=，得：(1)(1)(1)f f f -=-+，所以(1)0f = 又取121x x ==-得：(1)(1)(1)f f f =-+-，所以(1)0f -= 再取121x x x ==-，，则()(1)()f x f f x -=-+，即()()f x f x -= 因为()f x 为非零函数，所以()f x 为偶函数．【巩固12】若函数()(()0)y f x f x =≠与()y f x =-的图象关于原点对称，求证：函数()y f x =是偶函数． 证明：设()y f x =图象上任意一点为00()P x y ， ()y f x =Q 与()y f x =-的图象关于原点对称，00()P x y ∴，关于原点的对称点00()x y --，在()y f x =-的图象上，00()y f x ∴-=--，00()y f x ∴=-又00()y f x =，00()()f x f x ∴-=即对于函数定义域上的任意x 都有()()f x f x -=，所以()y f x =是偶函数． 八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x (其中a 为常数)， 1．()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2．()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 3．1()()f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；4．()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 5．1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．6．1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．7．1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．8．函数()y f x =满足()()(0)f x a f a x a +=->，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．9．函数()()y f x x =∈R 的图象关于直线x a =和()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；10．函数()()y f x x =∈R 的图象关于两点00()()()A a y B b y a b <，，，都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；11．函数()()y f x x =∈R 的图象关于0()A a y ，和直线()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以4()b a -为周期的周期函数；例19 设()f x 定义在R 上且对任意的x 有()(1)(2)f x f x f x =+-+，求证：()f x 是周期函数，并找出它的一个周期．解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出()()f x T f x +=(T 为非零常数)则()f x 为周期函数，且周期为T ．证明：()(1)(2)f x f x f x =+-+Q (1) (1)(2)(3)f x f x f x ∴+=+-+ (2)(1)+(2)得()(3)f x f x =-+(3) 由(3)得(3)(6)f x f x +=-+(4) 由(3)和(4)得()(6)f x f x =+．上式对任意x ∈R 都成立，因此()f x 是周期函数，且周期为6．例20 设函数()f x 的定义域为R ，且对任意的x y ，()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，并存在正实数c ，使()02c f =．试问()f x 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由． 解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：cos y x =满足题设条件，且cos 02π=，猜测()f x 是以2c 为周期的周期函数．()()()()20222222()()(2)()()c c c c c c f x f x f x f f x c f x f x c f x c f x ⎡⎤⎡⎤++++-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+=-∴+=-+=Q 故()f x 是周期函数，2c 是它的一个周期．【巩固13】设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．对任意12x x ∈，102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅．证明()f x 是周期函数．证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(2)f x f x x =-∈R ， 又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，()(2)f x f x x ∴-=-∈R ，，将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f x x =+∈R ，这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 ()f x 是偶函数的实质是()f x 的图象关于直线0x =对称又()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 是周期函数，且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到思考一：设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线(0)x a a =≠对称，证明()f x 是周期函数，且2a 是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =对称．()(2)f x f a x x ∴=-∈R ， 又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，，()(2)f x f a x x ∴-=-∈R ， 将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f a x x =+∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2a 是它的一个周期思考二：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和()x b a b =≠对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =和x b =对称()(2)f x f a x x ∴=-∈R ，，()(2)f x f b x x =-∈R ，，(2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ， 将上式的x -以x 代换得(2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，[2()][(2)2][(2)2]()f x b a f x a b f x a a f x x ∴+-=-+=-+=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，()f x 还是不是周期函数？我们得到思考三：设()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称．证明()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．，证明：()f x Q 关于1x =对称，()(2)f x f x x ∴=-∈R ，又由()f x 是奇函数知()()f x f x x -=-∈R ，，(2)()f x f x x ∴-=--∈R ， 将上式的x -以x 代换，得(2)()f x f x x +=-∈R ，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x ∴+=++=-+=--=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4是它的一个周期()f x 是奇函数的实质是()f x 的图象关于原点(00)，中心对称，又()f x 的图象关于直线1x =对称，可得()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．由此进行一般化推广，我们得到思考四：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，中心对称，且其图象关于直线()x b b a =≠对称．证明()f x 是周期函数，且4()b a -是它的一个周期． 证明：()f x Q 关于点(0)M a ，对称，(2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， ()f x Q 关于直线x b =对称，()(2)f x f b x x ∴=-∈R ，，(2)(2)f b x f a x x ∴-=--∈R ，将上式中的x -以x 代换，得(2)(2)f b x f a x x +=-+∈R ， [4()][2(24)][2(24)]f x b a f b x b a f a x b a ∴+-=++-=-++-[2(2)][2(2)]()f b x a f a x a f x x =-+-=+-=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数()f x ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则()f x 是R 上的周期函数．进一步我们想到，定义在R 上的函数()f x ，其图象如果有两个对称中心，那么()f x 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，和(0)()N b a b ≠，对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于(0)(0)M a N b ，，，对称 (2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， (2)()f b x f x x -=-∈R ， (2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ，将上式中的x -以x 代换，得 (2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，，[2()][2(2)][2(2)]()f x b a f b x a f a x a f x x ∴+-=+-=+-=∈R ， ()f x ∴是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题(1)对称性的概念及常见函数的对称性 1．对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴．②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心．2．常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)①常函数；②一次函数；③二次函数；④反比例函数；⑤指数函数；⑥对数函数；⑦幂函数；⑧正弦函数；⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称；⑩余弦函数；○13正切函数；○12耐克函数；○13三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异；○14绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类．前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称．○15形如(0)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+，的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =-(由分母为零确定)和直线a y c=(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点()d a c b -，． (2)抽像函数的对称性1．函数()y f x =图像本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称①()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()(2)f a x f a x f x f a x ⇔+=-⇔=- ()(2)f x f a x ⇔-=+②()()()f a x f b x y f x +=-⇔=的图像关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．特别地，函数()y f x =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-． (2)中心对称①()y f x =的图像关于点()a b ，对称()()2()(2)2f a x f a x b f x f a x b ⇔++-=⇔+-= ()(2)2f x f a x b ⇔-++=．②()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图像关于点()2a b c +，对称． 特别地，函数()y f x =的图像关于原点(00)，对称的充要条件是()()0f x f x +-=． (3)对称性与周期性之间的联系①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；特别地：若()y f x =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2||a 的周期函数； ②若函数()f x 既关于点(0)a ，对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为||b a -，相邻对称轴或中心的距离为2||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4||T b a =-．特别地：若()y f x =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为4||a 的周期函数． 2．两个函数图像的对称性(互对称问题)(1)函数()y f a x =+与()y f a x =-图像关于直线0x =对称． (2)函数()y f x =与(2)y f a x =-图像关于直线x a =对称 (3)函数()y f x =-与(2)y f a x =+图像关于直线a x -=对称(4)函数()y f a x =+与()y f b x =-图像关于直线()()0a x b x +--=对称即直线2b a x -=对称(5)函数()y f x =与()y f x =-图像关于x 轴对称．(6)函数()y f x =与()y f x =-图像关于y 轴对称．(7)函数()y f x =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称． (8)函数()y f x =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称． (9)函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称． (10)函数()y f x =与1()y f x -=--的图像关于直线y x =-对称．(11)函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和1()y f a x -=+的图像关于直线y x a =+对称．(12)函数()y f x =与2(2)y b f a x =--的图像关于点()a b ，成中心对称．特别地，函数()y f x =与()y f x =--图像关于原点对称．例21 函数()y f x =满足()()2002f x f x +-=，求11()(2002)f x f x --+-值． 解析：已知式即在对称关系式()()2f a x f a x b ++-=中取02002a b ==，， 所以函数()y f x =的图象关于点(02002)，对称．根据原函数与其反函数的关系，知函数1()y f x -=的图象关于点(20020)，对称． 所以11(1001)(1001)0f x f x --++-=将上式中的x 用1001x -代换，得11()(2002)0f x f x --+-=评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a b ，均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称图形． 十、综合问题 (1)比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解． 例22 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，0x <时，()f x 是增函数，若10x <，20x >，且12||||x x <，则12()()f x f x --，的大小关系是_______．解析：1200x x <>Q ，且12||||x x <，122100x x x x ∴<-<⇒-<< 又0x <时，()f x 是增函数，21()()f x f x ∴-<()f x Q 是偶函数，11()()f x f x ∴-=，故12()()f x f x ->-(2)讨论方程根的问题例23 已知函数()f x 对一切实数x 都满足(1)(1)f x f x +=-，并且()0f x =有三个实根，则这三个实根之和是 ．分析：由(1)(1)f x f x +=-知直线1x =是函数()f x 图象的对称轴．又()0f x =有三个实根，由对称性知11x =必是方程的一个根，其余两根23x x ，关于直线1x =对称， 所以23212x x +=⨯=，故1233x x x ++=． (3)研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解．例24 若函数(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线 对称.解析：()y f x =的图象22垐垐垐?噲垐垐?左移个单位右移个单位(2)y f x =+的图象，而(2)y f x =+是偶函数，对称轴是0x =，故()y f x =的对称轴是2x =．例25 若函数()f x 的图象过点(01)，，则(4)f x +的反函数图象必过定点 .解析：()f x 的图象过点(01)，，从而(4)f x +的图象过点(41)-，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，(4)f x +的反函数的图象必过定点(14)-，．【巩固14】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m n ，，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<．(1)判断()f x 的单调性；(2)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅>，，{()|(1}B x y f ax y a =-=∈R ，，，若A B =∅I ，试确定a 的取值范围．解析：(1)在()()()f m n f m f n +=⋅中，令10m n ==，，得(1)(1)(0)f f f =⋅，因为(1)0f ≠，所以(0)1f =．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x n x ==-，因为当0x >时，0()1f x <<，所以当0x <时00()1x f x -><-<， 而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()10()f x f x =>>-又当0x =时，(0)10f =>，所以，综上可知，对于任意x ∈R ，均有()0f x >． 设12x x <，则2121)00(1x x f x x -><-<，所以[]21211211((((()))))f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，∴在R 上为减函数． (2)由于函数()y f x =在R 上为减函数，所以2222()())((1)f x f y f x y f ⋅=+>即有221x y +<，又(1(0)f ax y f -==，由单调性，有0ax y -由A B =∅I ，所以直线0ax y -+与圆面221x y +<无公共点．1，解得11a -≤≤．【巩固15】设函数()y f x =定义在R 上，当0x >时，()1f x >，且对任意m n ，，有 ()()()f m n f m f n +=⋅，当m n ≠时()()f m f n ≠．(1)证明(0)1f =；(2)证明：()f x 在R 上是增函数； (3)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅<，，{()|()10}B x y f ax by c a b c a =++=∈≠R ，，，，，，若A B =∅I ，求a b c ，，满足的条件．解析：(1)令0m n ==得(0)(0)(0)f f f =⋅，(0)0f ∴=或(0)1f =．若(0)0f =，当0m ≠时，有(0)()(0)f m f m f +=⋅，与当m n ≠时，()()f m f n ≠矛盾，(0)1f ∴=． (2)设12x x <，则210x x ->，由已知得21()1f x x ->，因为10x ≥，1()1f x >，若10x <时，110()1x f x ->->，，由11(0)()()f f x f x =⋅- 12211111()0()()()()()f x f x f x x f x f x f x ∴=>=-⋅>-，()f x ∴在R 上为增函数.(3)由22()()(1)f x f y f ⋅<得221x y +< (1) 由()1f ax by c ++=得0ax by c ++= (2)从(1)、(2)中消去y 得22222()20a b x acx c b +++-<，因为A B =∅I 22222(2)4()()0ac a b c b ∴∆=-+-<，即222a b c +<．。
抽象函数-题型大全(例题-含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是数学中重要的概念，它们用来描述函数的特点和性质。
在本文中，我们将对这些概念进行复习和详细解释。
首先，我们来复习抽象函数的奇偶性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)有相反的符号。
奇函数的图像关于原点对称，通常呈现出关于原点对称的特点。
例如，f(x)=x^3是一个奇函数，因为f(-x)=-x^3、对于奇函数，如果其函数图像在原点通过，则其图像也必然经过一些关于原点对称的点。
与奇函数相对的是偶函数。
偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)相等。
偶函数的图像关于y轴对称，通常呈现出关于y轴对称的特点。
例如，f(x)=x^2是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2、对于偶函数，如果其函数图像在y轴通过，则其图像在整个y轴上对称。
接下来，我们来复习抽象函数的周期性。
周期函数是指满足f(x+T)= f(x)的函数，其中T是一个常数，称为函数的周期，函数定义域内的任意x都满足这个条件。
周期函数的特点是其函数图像在横坐标上以一定的间隔重复出现。
例如，f(x) = sin(x)是一个周期函数，它的周期是2π，即对于任意x，f(x+2π) = sin(x)。
最后，我们来复习抽象函数的对称性。
对称函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(x)与f(-x)相等。
对称函数的图像有一个对称轴，即对于任意在对称轴上的点x，其关于对称轴的对称点也属于函数的图像。
例如，f(x)=x^4是一个对称函数，因为f(x)=f(-x)=x^4、对称函数的对称轴可以是y轴、原点或其他直线。
综上所述，奇偶性、周期性和对称性是抽象函数重要的特性。
它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，并在解决问题中起到指导作用。
高考抽象函数专题
抽象函数专题几类抽象函数模型练习题1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，假设f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12．解：因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝12．2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009．解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×12＝1009．3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，假设f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1C ．19D ．43答案：D ． 解：因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9累加，得f (8)＝43．(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，假设f (1)＝1，则f (－8)＝A．－1 B．1 C．19 D．43答案：C．解：因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：f (1)－f (0)＝2f (0)－f (－1)＝1f (－1)－f (－2)＝0f (－2)－f (－3)＝－1f (－3)－f (－4)＝－2f (－4)－f (－5)＝－3f (－5)－f (－6)＝－4f (－6)－f (－7)＝－5f (－7)－f (－8)＝－6累加，得f (－8)＝19．另外：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (x)＋f (－x)＝x 2－24．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则以下说法正确的选项是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数答案：C解：x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案：B 解：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝12 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (325)的值为 ．答案：127．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式． 解：因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②． 相减得4x 2f (x )＋9f (x )－2 x 2＋2 x －3x －3＝0，所以f (x )＝2 x 2＋x ＋34x 2＋9．(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥223．证明：因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1x ②．②×2得2f (1x )－4f (x )＝2x③．①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥223．8．(12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)假设f (k ⋅3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围． 解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式(3)(394)0x x x f k f ⋅+--<等价于(3)(394)x x x f k f ⋅<-++，因此3394x x x k ⋅<-++，即4133x xk <-++，因为413133x x -++≥-+=，当3log 2x =取等号，所以实数k 的取值范围是(,3)-∞． 9．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－23． (1)判断f (x )为奇偶性；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值． 解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＝f (△x )． 因为△x >0，所以△y <0，所以f (x )在R 上是减函数． (3)因为f (1)＝－23，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝－43；f (3)＝f (1)＋f (2)＝－2；f (－3)＝－ f (3)＝2；f (6)＝f (3)＋f (3)＝－4．由(2)知f (x )在[－3，6]上，所以求f (x )在[－3，6]上的最大值为f (－3)＝2，最小值为f (6)＝－4． 10．(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 2x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，且当x >1时，f (x )<0．(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值． 解：(1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为当x >1时，f (x )<0，x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)<0，△y >0，所以f (x )为单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得，f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2． 11．(12分)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (1x )＝－f (x )；(2)求证：f (x )为偶函数；(3)当x >1时，f (x )>0，求证：f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解：(1)取x ＝y ＝1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )．(2)取y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (－1)＝f (－x )．取x ＝y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，f (－1)＋f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝0． 所以f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数． (3)解法1：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0，△y >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由(2)知f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解法2：设x 1，x 2∈(－∞，0)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1 )＝－f (x 1x 2)．因为x 1x 2>1，所以f (x 1x 2)>0，△y <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．12．(12分)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．当x >0时，f (x )>1，且f (0)≠0． (1)求证：f (0)＝1； (2)求证：f (x )>0；(3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)假设f (x )·f (2x －x 2)>1，求x 的取值范围． 解：(1)取a ＝b ＝0代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)2＝f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)a ＝x ，b ＝－x 代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)＝f (x )·f (－x )，即f (x )＝1 f 〔－x 〕 ．当x >0时，f (x )>1； x ＝0时，f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )>1，所以f (x )＝1f 〔－x 〕 ∈(0，1)．综上，f (x )>0．(3)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x )－f (x 1) ＝f (x 1)f (△x )－f (x 1)＝f (x 1)[f (△x )－1] ．因为 △x ＝x 2－x 1>0，所以f (△x )>1，故△y >0，f (x )是R 上的增函数．(4)f (x )·f (2x －x 2)＝f (x ＋2x －x 2)＝f (3x －x 2)，1＝f (0)，所以不等式f (x )·f (2x －x 2)>1可化为f (3x －x 2)> f (0)．由(2)知3x －x 2>0，得x 的取值范围为(0，3)． 13．(12分)已知定义在R 上的不恒为零的函数f (x )满足 f (xy )＝y f (x )＋x f (y )． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)假设f (2)＝2，*n ∈N ，设a n ＝ f 〔2n 〕2n ，b n ＝ f 〔2n 〕n，求证数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列． 解：(1)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (1)＝0． 取x ＝y ＝－1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (－1)＝0．取y ＝－1代入f (－x )＝－f (x )＋x f (－1)，得f (－x )＝－f (x ) ，所以f (x )为奇函数． (2)因为f (2n ＋1)＝f (2·2n )＝2 f (2n )＋2n f (2)，所以f (2n ＋1)＝2 f (2n )＋2n ＋1．同除以2n ＋1，得 f 〔2n+1〕2n+1 ＝ f 〔2n 〕2n＋1，即a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．a 1 ＝ f 〔2〕2 ＝1，所以 a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，所以f (2n )＝2n ．因为b n +1b n＝2，所以数列{b n }为等比数列．14．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①对任意实数m ，f (x m )＝mf (x )；②f (2)＝1． (1)求证：f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (3)假设f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围． 解：(1)因为x ，y 均为正数，根据指数函数性质可知，总有实数m ，n 使得x ＝2m ，y ＝2n ． 于是f (xy )＝f (2m 2n )＝f (2m +n )＝(m +n )f (2)＝m +n ．而m ＝m f (2) ＝f (2m ) ＝f (x )， n ＝n f (2) ＝f (2n ) ＝f (y )，所以f (xy )＝f (x )+f (y )． (2)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (1)＝0． 取y ＝1x 代入f (1)＝f (x )＋f (1x )，得－f (x )＝f (1x )．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，根据指数函数性质可知，总有正实数r ，使得x 2x 1 ＝2r ，所以△y ＝f (2r )＝r >0．因此f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数．(3)由(1)知假设f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3 x )，2 ＝f (2)＋f (2)＝f (4)． 所以不等式f (x )＋f (x －3)≤2即f (x 2－3 x )≤f (4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 x ≤4x >0x －3>0得x 的取值范围为(3，4] 15．(12分)定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (x ) ≥0，f (1)＝1．当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1＋x 2 ≤1时，f (x 1＋x 2)≥ f (x 1)＋f (x 2) ．(1)求f (0)； (2)求f (x )最大值；(3)当x ∈[0，1]时，4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x ) ≥0，所以f (0) ≥0．取x 1＝x 2＝0代入f (x 1＋x 2) ≥f (x 1)＋f (x 2)得f (0) ≤0，因此f (0)＝0． (2)设x 1，x 2∈[0，1]，△x ＝x 2－x 1>0，则△x ∈[0，1]，所以f (△x ) ≥0． △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x ) －f (x 1) ≥f (x 1 )＋f (△x ) －f (x 1)＝f (△x ) ≥0． 所以函数f (x )在[0，1]上不是减函数，f (x )最大值是f (1)＝1．(3)当x ∈[0，1]时，f (x ) ∈[0，1]．假设f (x )＝1，则4－4(2－a )＋5－4a ＝10≥，不等式4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥成立．假设f (x ) ∈[0，1)，别离参数a ≤1－f (x ) ＋14[1－f (x )]．因为1－f (x ) ＋14[1－f (x )]≥2[1－f (x )]14[1－f (x )]＝1，当f (x )＝12时等号成立．所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．备选：1．(12分，重庆)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ． (1)假设f (2)＝3，求f (1)； (2)求f (0)；(3)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式． 2．(12分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；(2)当x 1，x 2 (0，12)时， f (x 1)＋2<log a x 2，求a 的取值范围．3．(12分)已知偶函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x 2－1)< 2． 4．(12分)已知函数f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且f (－21)＝0，当x >－12时，f (x )>0．求证：f (x )是单调递增函数． 5．(12分)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )f (y )，且f (x )≠0，当x >1时，f (x )<1．试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 6．(12分)已知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足f (x －y )＝f (x )f (y )＋1f (x )－f (y )，存在正常数a ，使f (a )＝1．求证：f (x )是奇函数．。
2025高考数学培优25讲2.2抽象函数
由 f x y f x y f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式
cos x y cos x y 2cosxcosy ，可设 f x acosx ，则由方法一中 f 0 2, f 1 1知
a
2, acos
1 ，解得 cos
1
，取
f
x y
f f
x y ．
指数函数
（6）对于指数函数 f x a x ，与其对应的抽象函数为 f x y f x f y ．
（7）对于指数函数
f
x a x ，其抽象函数还可以是
f
x y
f f
x y
．其中
(a
0,
a
1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x logax ，与其对应的抽象函数为 f xy f x f y ．
4
则 f 2010 =
．
2．（多选题 2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x 1 为偶函数，对 x R ， f x 0 ，且
f x 1 f x f x 2 ，若 f 1 2 ，则以下结论正确的为（ ）
A． f 2 2 B． f 3 1
C． f 1 f 5
D．
f
1 2
f
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
2．（2014·陕西·高考真题）下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（ ）
1
A． f x x 2
B． f x x3
C．
f
x
1 2
x
D． f x 3x
3．（2024·河南新乡·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R ，
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
《抽象函数专题分析》课件
抽象函数是程序设计中常见的概念，本课件将深入分析抽象函数的定义、作 用及其在实际项目中的应用，帮助大家更好地掌握和应用这一知识点。
什么是抽象函数
抽象函数的定义
抽象函数是一种只定义而 不实现的函数，用于规范 类和子类的行为。
抽象函数和抽象类的 关系
抽象函数必须在抽象类中 定义，而抽象类可以包含 抽象函数和具体函数。
抽象函数的作用和应 用场景
抽象函数可以在继承关系 中强制子类实现特定行为， 提高代码的可复用性和可 维护性。
使用抽象函数的注意事项
1 如何定义抽象函数
在抽象类中使用 abstract关键字定义抽 象函数，不包含实现代 码。
2 子类如何实现抽象
函数
子类必须实现父类中的 所有抽象函数，否则子 类也必须被定义为抽象 类。
抽象函数具体业务场 景中的应用
探讨抽象函数在解决具体业务 问题中的应用和效果。
实际案例分析和总结
通过实际案例的分析总结抽象 函数的优势和不足。
Q&A
常见问题解答
回答大家在学习和使用抽象函数时遇到的常见问题。
抽象函数的补充说明
进一步解释抽象函数的相关概念和细节。
知识点总结
对抽象函数的重点知识进行总结，巩固大家的学习成果。
抽象函数的优缺点
1
优点
提高代码的可复用性和可维护性，减少代码的重复工作。
2
缺点
抽象函数的使用频率较低，需要合理选择是否使用抽象函数。
3
抽象函数和接口的比较
比较抽象函数和接口在功能和使用场景上的差异，选择合适的设计方式。
抽象函数在实际项目中的应用案例
抽象函数在框架设计中 的应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽象函数
1.定义：没有给出具体解析式的函数叫做抽象函数，抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解。
2.抽象函数的单调性：
例1.已知定义在R 上的函数)(x f 对任意x 、R y ∈有()()()f x y f x f y +=+，且当0>x 时0)(<x f
（1）试判断函数)(x f 在R 上的单调性；
（2）若(1)1f =，()(2)2f x f x --<，求x 的取值范围。
例2.已知定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时1)(<x f ，且对任意x 、R y ∈有()()()f x y f x f y +=⋅
（1）证明1)0(=f ；
（2）证明对任意R x ∈，恒有0)(>x f ；
（3）判断)(x f 在R 上的单调性；
（4）若2
(1)(2)1f x f x x +⋅-+>，求x 的取值范围。
例3.若定义域为),0(+∞的函数)(x f 有()()()f xy f x f y =+，且当1>x 时0)(<x f
（1）求)1(f ；
（2）判断)(x f 在定义域上的单调性；
（3）若(2)1f =，求满足不等式()(3)2f x f x +-≥的x 的取值范围。
例4.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f y =，(1)0f ≠，当1x >时1)(<x f ，且对任意x 、R y ∈有()()()f xy f x f y =⋅
（1）求)1(f ；
（2）证明对任意(0,)x ∈+∞，恒有0)(>x f ；
（3）判断)(x f 在R 上的单调性；
（4）若(1)(1)1f x f x +⋅->，求x 的取值范围。
例5.已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，当),0(+∞∈x 时，恒有x x f f 2)]([=，且过)(x f 图像上任意两点的直线斜率都大于1，求证：
（1）)(x f 为增函数； （2）x x f >)(； （3）
23)(34<<x x f 证明：（1）对任意1x 、2x 满足210x x <<，恒有1)()(1
212>--x x x f x f ，则 0)()(1212>->-x x x f x f ，故)(x f 为增函数。
（2）由于11)()(])([)()(2)()()]([>--=---=--=--x
x f x x x f x x f x x x f x f x x x f x f x f f ，即 2)(>-x
x f x ，又由0>x 知0)(>-x x f ，故x x f >)(。
（3）由（2）知2)(>-x
x f x ，所以21)(<-x x x f ，即23)(<x x f ，故 2
3)(2)()]([<=x f x x f x f f ，所以34)(>x x f ，总之23)(34<<x x f 。
2.抽象函数的奇偶性：
例1.已知函数)(x f ，当x 、R y ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.
（1）求证：)(x f 是奇函数；
（2）若(3)1f -=，求(2013)f .
例2.函数()y f x =(,0)x R x ∈≠对任意的非零实数,x y 恒有()()()f xy f x f y =+，试判断函数)(x f 的奇偶性
例3.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数
例4.已知定义在[-2，2]上的偶函数，()f x 在区间[0，2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围。
3.抽象函数的对称性：
（1）若函数)(x f 图像关于直线a x =对称，则)2()()()(x a f x f x a f x a f -=⇔-=+
（2）若)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f 图像关于直线2
b a x +=对称。
（3）若函数)(x f 图像关于点)0,(a 对称，则)2()()()(x a f x f x a f x a f --=⇔--=+
（4）若函数)(x f 图像关于点),(b a 对称，则
)2(2)()(2)(x a f b x f x a f b x a f --=⇔--=+
例1.函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且()0f x =有且只有7个根，则这些实数根的和为
例2.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于_______对称
例3.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，设()()()F x f x f a x =--
（1）用函数单调性的定义证明：()F x 是R 上的增函数；
（2）证明:函数()y F x =的图象关于点(,0)2a 成中心对称图形.。