傅里叶变换性质

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意义 (1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展 倍。 时域压缩，频域扩展a倍 说明…… 说明 说明…… 说明
(3) a = −1
说明…… f (t ) → f (− t ), F(ω) → F(−ω) 说明
X
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f (t )
F(ω)
X
第
时域压缩，频域扩展a倍 （2）a>1 时域压缩，频域扩展 倍。 ）
f (2t ) E
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Eτ 2
t
1 ω F 2 2
τ o τ − 4 4
−
4π
o
τ
4π
ω
τ
持续时间短， 变化快。 信号在频域高频分量增加， 持续时间短 ， 变化快 。 信号在频域高频分量增加 ， 频 带展宽，各分量的幅度下降a倍 带展宽，各分量的幅度下降 倍。 此例说明： 信号的持续时间与信号占有频带成反比， 此例说明 ： 信号的持续时间与信号占有频带成反比 ， 有时为加速信号的传递， 要将信号持续时间压缩， 有时为加速信号的传递 ， 要将信号持续时间压缩 ， 则 要以展开频带为代价。 要以展开频带为代价。
−∞
O τ 2 − Gτ 1 (t )
t
2 由Sa(0) = τ，知 (0) ≠ 0 F
τ
−τ 2 O τ 2
t
t G (τ ) dτ = πτδ(ω) + τ Sa ωτ ∴F ∫ τ −∞ jω 2 t (τ )dτ ↔πτδ(ω) + τ Sa ωτ ∴∫ Gτ −∞ jω 2
jωτ 4 2 −jωτ 4
2
X
第
例4
f F 已知 (t ) ↔ F(ω)，求 [(t − 2) f (t )] = ？
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解：
F[(t − 2) f (t )] = F[tf (t ) − 2 f (t )]
d F(ω) =j − 2F(ω) d(ω)
X
第
例5
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ωτ 的频谱密度函数。 f f 已知 (t ) ↔ F(ω) = Eτ Sa ，求 (2t − 5)的频谱密度函数。 2 方法一：先标度变换， 方法一：先标度变换，再时延 1 ω Eτ ωτ Sa ∴ f (2t ) ↔ F = 2 2 2 5 4 τ −j ω E ωτ 2 5 ∴ Qb = −5 对 时移 （向右） f (2t − 5) ↔ 2 Sa 4 e 向右） ， t 2 方法二： 方法二：先时延再标度变换 相同 ωτ −jω5 5 向右）： f 对t时移 向右）： (t − 5) ↔ Eτ Sa （ e 2 Eτ ωτ −j5ω 2 Sa ω 对所有 压缩 ：f (2t − 5) ↔ e 2 2 4
Qa = 2,
X
例6
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 t 解： 已知 u(t ) = δ (t )d t δ (t ) ↔1
∫
2.求门函数 τ (t )积分的频谱函数。 G 积分的频谱函数。 Gτ (t ) ωτ 解： Gτ (t ) ↔τ Sa 1
−τ 2
1 1 则u(t ) ↔ + πδ(ω) ⋅ 1 = + πδ(ω) jω jω
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X
第
一．线性性质
1．性质
若f1(t ) ↔ F (ω) , f2(t ) ↔ F2(ω) 1
则c1 f1(t ) + c2 f2 (t ) ↔c1F1(ω) + c2F2 (ω) c1 , c2为常数
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X
第
二．尺度变换性质
1 ω 若f (t ) ↔ F(ω), 则f (at ) ↔ F , a为非零函数 a a
2
1 2E jωτ 2 4E 2E −jωτ 2 e e ∴F(ω) = − + 2 τ τ −ω τ
1 2E jωτ 2 −jωτ e = − 2+ e 2 −ω 2 τ
− 2E e = 2 τω
ωτ − 2E 2 jsin −e = 2 τω 4 2 ω τ 2 2 8E ω τ 4 τE ω τ sin Sa = = 2 2 4 ω τ 2 4 τω 4
X
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(3) a = −1
f (t ) → f (− t ), F(ω) → F(−ω) = F* (ω)
X
第
三．时移特性
若f (t ) ↔ F(ω),
则f (t − t0 ) ↔ F(ω)e− jωt0 ;
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幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 右 −ωt0 ω 相移 t0 ωt0 左
Eτ
E
−
τ
2
o
τ
2
t
−
2π o 2π
ω
τ
τ
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。
t f 2
2Eτ
−
2F(2ω )
E
t
π τ
−τ
o
τ
o
π τ
ω
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 脉冲持续时间增加 倍 变化慢了， 带压缩a倍 高频分量减少，幅度上升a倍 带压缩 倍。高频分量减少，幅度上升 倍。
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τ →ωc , t ↔ω
ωc ωc 1 ωc t f (ω) = Euω + Eωc Sa − uω − ↔ F(t ) = 2 2 2π 2 ωc ωc t = E Sa 2π 2
宽度为2ω0 的方波
π 若ωc = 2ω0， 则有Sa(ω0t ) ↔ G2ω0 (ω) ω0
X
第
例2（时移性质，）
求图(a)所示三脉冲信号的 求图 所示三脉冲信号的 频谱。 频谱。 解：
信号，其频谱函数 0 (ω), F 信号， 令f0 (t )表示矩形单脉冲
f (t )
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E
−T
−Байду номын сангаас
τ
2
τ
2
T
t
( a ) 三脉冲信号的波形
(
jωT
+e
− jωT
)
O
F(ω)
ωτ = Eτ ⋅ Sa [1+ 2cos(ωT )] 2
3Eτ
2π 2π 4π T T
τ
脉冲个数增多， 脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变 包络不变，
ω
( c ) 三脉冲信号的频谱
X
第
例3：
求三角函数的频谱密度函数． 求三角函数的频谱密度函数．
X
解 F[ f ′′(t )] = ∫
=
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2E τ 4E 2E τ −jωt δ t + − δ (t ) + δ t − e d t −∞ τ τ 2 2 τ
∞
2E
τ
e
jωτ
2
−
4E
τ
+
2E
τ
e
−jωτ
2
= ( jω) F(ω ) = −ω 2F(ω)
ωτ F0 (ω) = Eτ ⋅ Sa 2
Eτ
F0 (ω)
2π
τ
O
(b)
ω
X
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因为
f (t ) = f0 (t ) + f0 (t + T) + f0 (t − T)
数 由时移性质知三脉冲函 f (t ) F 的频谱函数 (ω)为:
Eτ
F0 (ω)
2π
τ
O
ω
F(ω) = F0 (ω) 1+ e
−∞
F(ω) dω = F(0)Bω
Bω
1 ∞ = ∫−∞ F(ω)dω 2π 2π ∴Bω =
τ
Bf =
1
度与占有的 等效带宽成 反比。 反比。
X
τ
第
八．频域微分性质
若f (t ) ↔ F(ω), 则tf (t ) ↔ jd F(ω) dω 或− jtf (t ) ↔d F(ω) dω
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推广
dt = ∫ f(t)e
−∞
∞
− jω t
dt × ∫ δ' （t）e
− jωt
dt
= F(w) jw
F[ f ′(t )] = jωF(ω) :
ω 幅度乘 , 相位增加 j → 900
X
第
七．时域积分性质
若f (t ) ↔ F(ω)，则
t
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F(ω) F(0) ≠ 0时， f (τ ) dτ ↔πF(0)δ (ω) + ∫−∞ jω
第
意义
傅里叶变换具有惟一性。 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： •了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系 •用性质求 用性质求F(ω)； 用性质求 ； •了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用
ω0为常数，注意 号 为常数， ±
2．证明
F[ f (t)e
jω0t
] = ∫ [ f (t)e ]e
∞ jω0t −∞
− jω t
dt