北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展一
最新北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(一)
北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(一)学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（一）【学法旨要】1．本章的学习目标是什么？（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数．（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导．（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数．（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力．（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限．（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式．2．学好本章知识的关键是什么？由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点«Skip Record If...»处的函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量«Skip Record If...»的比值«Skip Record If...»当自变量的增量△x→0时的极限值．复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用．复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）．在求导过程中，比如，函数«Skip Record If...»可看作y＝f（u）«Skip Record If...»几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»求导，后将第三层的«Skip Record If...»关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得．【经点答疑】1．怎样理解导数概念？在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度．例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等．求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数．下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念．引例1 求变速直线运动的瞬时速度．解设有一质点M在直线AB上自O点开始作直线运动（如图3-1）．经过时间t后，该质点离O点的距离是t的函数s＝s（t）．求质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．设在«Skip Record If...»到«Skip Record If...»一段时间内距离从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，在△t这段时间内质点M所走的距离为«Skip Record If...»因此在△t时间内，质点M的平均速度为«Skip Record If...»若质点作等速运动，平均速度«Skip Record If...»就是质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度«Skip Record If...»．若质点M的运动是变速的，则«Skip Record If...»一般不会正好是«Skip Record If...»的瞬时速度，但△t愈小，«Skip Record If...»就愈接近«Skip Record If...»的瞬时速度，所以当△t→0时，«Skip Record If...»就可较精确的表示出时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．因此，我们用极限«Skip Record If...»来定义质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．瞬时速度v反映了路程函数s（t）相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率．引例2切线的斜率．解如图3-2，求曲线y＝f（x）在其上一点«Skip Record If...»处的切线PT 的斜率．点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着．在曲线上任意另取一点Q，设它的坐标是«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，则过点«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的割线斜率«Skip Record If...»（即△y对△x的平均变化率）是«Skip Record If...»当△x变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率«Skip Record If...»也随之变化．当|△x|较小时，取割线PQ的斜率«Skip Record If...»作为点P的切线斜率的近似值．当|△x|越小，这个近似程度也就越好．于是，当△x无限趋于0时，即点Q沿着曲线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率«Skip Record If...»的极限k就是曲线过点P的切线斜率（即y＝f（x）在点«Skip Record If...»处变化率）即«Skip Record If...»这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题．引例3 求电流强度．解设电流通过导线的横截面的电量是Q（t）,它是时间t的函数，求任一时刻«Skip Record If...»的电流强度．我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即«Skip Record If...»在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻«Skip Record If...»的电流强度．我们可通过以下方法得到：设在«Skip Record If...»到«Skip Record If...»一段时间内通过导线的电量是«Skip Record If...»«Skip Record If...»易知，△t取得越小，«Skip Record If...»就越接近时刻«Skip Record If...»的电流强度I．若当△t→0时，«Skip Record If...»的极限存在，则平均电流强度«Skip Record If...»的极限就是时刻«Skip Record If...»的电流强度．因此，我们定义：«Skip Record If...»．这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题．通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（x）在某点«Skip Record If...»处函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量△x（△x≠0）的比值当自变量△x无限趋于0时的极限．即«Skip Record If...»．在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决．我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念．设函数y＝f（x）在点«Skip Record If...»的某邻域内有定义，当自变量有增量△x（△x≠0）时（△x可正可负）函数有相应增量«Skip Record If...»．若极限«Skip Record If...»存在，则称函数f（x）在点«Skip Record If...»可导，并称该极限值为函数f（x）在点«Skip Record If...»（对x）的导数，记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»也可记作«Skip Record If...»若上面的极限不存在，则称函数f（x）在点«Skip Record If...»不可导．有时，我们把«Skip Record If...»记作x，于是«Skip Record If...»，当△x→0时，有«Skip Record If...»,则上面的极限可改为«Skip Record If...»导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到．引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度，只要求出路程函数s（t）在«Skip Record If...»的导数即可；要求曲线y＝f（x）在点«Skip Record If...»处的切线斜率，只要求出函数f（x）在点«Skip Record If...»处的导数即可；要求时刻«Skip Record If...»的电流强度，只要求出电量函数Q（t）在«Skip Record If...»的导数即为所求时刻«Skip Record If...»的电流强度．很明显，函数增量与自变量增量之比«Skip Record If...»是函数在以«Skip Record If...»和«Skip Record If...»为端点的区间上的平均变化率，而导数«Skip Record If...»则是函数y＝f（x）在点«Skip Record If...»处的变化率，它反映了函数f（x）在点«Skip Record If...»处随自变量的变化而变化的快慢程度．[注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f（x）在点«Skip Record If...»处函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量△t（△x≠0）的比值«Skip Record If...»，当自变量的增量△x无限趋于0时的极限«Skip Record If...»但极限值并不一定是导数，如«Skip Record If...»．] 若只讨论函数在点«Skip Record If...»的左邻域（或右邻域）上的变化率，我们需引入单侧导数的概念．«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在，则称f（x）在点«Skip Record If...»右可导，并称该极限为f（x）在点«Skip Record If...»的右导数，记作«Skip Record If...»若极限«Skip Record If...»不存在，则称f（x）在点«Skip Record If...»右不可导．«Skip Record If...»右导数与左导数统称为单侧导数．由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数f（x）在点«Skip Record If...»可导的充要条件是f（x）在点«Skip Record If...»既是左可导又是右可导且左、右导数相等．即«Skip Record If...»由导数的定义可知，要用定义求y＝f（x）的导数«Skip Record If...»，可以分为以下三个步骤：«Skip Record If...»«Skip Record If...»利用导数定义求导数的难点是有一些比值«Skip Record If...»的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，使极限«Skip Record If...»成为已知极限的形式，以便于计算．例1求函数«Skip Record If...»在点x＝3的导数．思路启迪利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量△x（△x≠0）时对应的函数的增量△y,然后计算△y与△x的比值的极限．规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»（2）算比值．«Skip Record If...»（3）取极限．«Skip Record If...»点评求函数在某点«Skip Record If...»处的导数，首先应判断函数在点«Skip Record If...»处是否可导，即极限«Skip Record If...»是否存在且有限．若极限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；若极限不存在或极限为∞则函数在该点不可导．例2证明函数f（x）＝|x|在点x＝0处不可导．思路启迪首先要求函数f（x）在点x＝0处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f（x）在x＝0处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f（x）在点x＝0处不可导．规范证法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»点评判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量△y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限«Skip Record If...»，而应首先分别判断f（x）在分段点的两个单侧导数是否存在，即首先判断极限«Skip Record If...»与极限«Skip Record If...»的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性．例3 «Skip Record If...»思路启迪已知«Skip Record If...»存在，也即是极限«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，只要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成f （x）在点«Skip Record If...»处的导数的结构，该题的证明将容易得到．规范证法«Skip Record If...»点评在导数的结构（定义）«Skip Record If...»中，函数的增量«Skip Record If...»与自变量的增量△x是相应的，即自变量有增量△x时，相应的函数的增量是«Skip Record If...»，而在上面第二个极限中，函数的增量«Skip Record If...»所对应的自变量的增量是－△x（而非△x），这一点是至关重要的．因此应该有（易知△x→0时，－△x→0）．«Skip Record If...»例4证明：若函数f（x）与g（x）当x＝0时等于零，并且存在导数，且«Skip Record If...»则«Skip Record If...»思路启迪由已知条件，我们有«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»与«Skip Record If...»存在且«Skip Record If...»，故上面分式当«Skip Record If...»时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零．于是由极限的四则运算即可给出证明．规范证法由已知有«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5设«Skip Record If...»思路启迪直接利用导数的定义和正弦函数«Skip Record If...»规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»例6 设«Skip Record If...»思路启迪求«Skip Record If...»，即是求极限«Skip Record If...»即«Skip Record If...»，注意到函数«Skip Record If...»在x＝a处是连续的，即«Skip Record If...»，即可得出结果．规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»例7 «Skip Record If...»此函数在点a没有导数．思路启迪这里f（x）是一个分段函数，点a是f（x）的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．规范证法取△x≠0，«Skip Record If...»«Skip Record If...»例8 设«Skip Record If...»为了使函数f（x）于点«Skip Record If...»处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？思路启迪由于«Skip Record If...»是分段函数f（x）的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
北大附中高考数学专题复习导数与微分判断题训练和填空题训练
31．函数y＝x－ln（x＋1）在区间_________内单调减少，在区间_________内单调增加．
32．已知曲线 ，则其水平渐近线方程是____________，垂直渐近线方程是__________．
参考答案
一、判断题
37．√ 提示：在（－∞，0]上单调减少，而（0，＋∞）上单调增加．
38．√
39．√ 提示：利用函数的单调性证明不等式．设 ，则 ,f（x）在[1，＋∞]上连续，在（1， ＋∞）内 ，因此[1，＋∞）上单调增加，从而当x>1时，f（x）>f（1），由于f（1）＝0，故f（x）>f（1）＝0，即
40．× 提示： f（x）在（－∞，2）和（2，＋∞）内设有极值点，但在（－∞，2）内， ，函数f（x）单调增加，在（2，＋∞）内函数单调减少，又f（x）在点x＝2连续，故x＝2是函数f（x）的极大点．
24．x＝sint,y＝cos2t,在t＝π/6处 的斜率是2．（ ）
26．函数在每点的切线只与它的图象交于一点．（ ）
28．设0<α<1,f满足 及f（0）＝0，则f在点O是不可导的．（ ）
32．设f（x）＝axsinx＋bxcosx＋csinx＋dcosx，则只有当a＝1,b＝0,c＝0,d＝1时， （ ）
14．× 提示：考虑函数 ，当x＝0时f（x）＝0，而
15．√
16．×
17．× 提示：根据导数定义 知，在x＝0处左导数与右导数不相等．
18．× 提示： ，所以f（x）在x＝0处连续，但
同理 所以 不存在，即f（x）在x＝0处不可导．
19．√ 提示：利用复合函数求导公式及
北京高三导数知识点总结
北京高三导数知识点总结高三导数知识点总结一、导数的概念和定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。
导数的定义如下：设函数y=f(x)，在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处的导数为：f'(x0) = lim┬(△x->0)((f(x0+△x)-f(x0))/△x)二、导数的计算法则1. 常数法则：设k为常数，则导数f'(x) = 02. 幂函数法则：- 若f(x) = x^n，其中n为常数，则导数f'(x) = nx^(n-1)- 特殊情况：- 当n为负整数时，函数f(x) = x^n在x = 0处无导数- 当n为0时，函数f(x) = x^n在整个定义域上导数恒为03. 指数函数法则：- 若f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则导数f'(x) = (ln(a))a^x- 若f(x) = e^x，则导数f'(x) = e^x4. 对数函数法则：- 若f(x) = log┬a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则导数f'(x) = 1/(xln(a))- 若f(x) = ln(x)，则导数f'(x) = 1/x5. 三角函数法则：- 若f(x) = sin(x)，则导数f'(x) = cos(x)- 若f(x) = cos(x)，则导数f'(x) = -sin(x)- 若f(x) = tan(x)，则导数f'(x) = sec^2(x)6. 反函数法则：- 若f(x) = y为可逆函数，且y = g(x)的导数在x = b处存在且不为0，则反函数g(x)在y = b处的导数为1/f'(g(b))- 简记为：若y = f(x)的导数不为0，则(dy)/(dx) = 1/(dx)/(dy)三、导数的应用1. 切线和法线：- 切线方程：y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)- 法线方程：y = -(1/f'(x0))(x - x0) + f(x0)2. 凹凸性和拐点：- 凹凸性：函数f(x)的二阶导数f''(x)代表函数曲线凹凸性质。
2023北京高考数学 20题导数
2023北京高考数学 20题导数一、导数的概念和性质导数是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点上的变化率。
在数学高考中，导数是一个非常重要的考点。
理解导数的概念和性质对于解题和应用非常关键。
1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点上的变化率，即函数在该点的斜率。
对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(Δx→0) [f(a+Δx) - f(a)] / Δx其中，lim表示极限，Δx表示x的增量。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数图像在某一点的切线的斜率。
函数的导数越大，表示函数的变化越快，切线的斜率越陡峭。
3. 导数的性质导数的性质包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则等。
线性性：对于常数k和函数f(x)，有f'(k) = 0和[kf(x)]' = kf'(x)。
乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
商法则：对于函数u(x)和v(x)，有[u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2。
链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，有y' = f'(g(x))g'(x)。
二、导数的计算方法导数的计算方法包括基本函数的导数、常用函数的导数和隐函数的导数等。
1. 基本函数的导数常用的基本函数有常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
这些函数的导数可以通过基本导数公式和导数的性质进行计算。
常数函数的导数为0，幂函数的导数可以通过公式y = x^n的导数公式计算，指数函数的导数为其本身的导数，对数函数的导数可以通过公式y = log(x)的导数公式计算，三角函数的导数可以通过公式y = sin(x)和y = cos(x)的导数公式计算。
北京高考导数复习知识点
北京高考导数复习知识点导数是微积分中的重要概念，它在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
在高考中，导数是必考内容，理解和熟练掌握导数的定义、性质和运算法则对于考生来说非常重要。
本文将对北京高考中涉及的导数知识点进行详细介绍和复习，帮助考生全面了解导数的相关内容。
一、导数的基本定义和概念1. 函数的导数：给定函数y=f(x)，在其中一点x处，如果函数在该点附近有定义并存在极限，那么称函数在点x处可导，并将该极限值称为函数在该点的导数，记作f'(x)或dy/dx。
2. 导函数：导函数是函数y=f(x)在其定义域上的每个可导点处的导数所确定的新函数，记作f'(x)或dy/dx。
二、导数的计算和运算1. 基本导数公式：常数的导数为0，幂函数的导数为幂次乘以底数的幂次减一，指数函数的导数为导数等于自身乘以ln(a)，对数函数的导数为导数等于自身的导数除以自身。
2.导数的四则运算法则：和的导数等于导数的和，差的导数等于导数的差，常数倍的导数等于常数倍后函数的导数，积的导数等于先导后函数加后导前函数，商的导数等于分母导后函数减后导前函数除以分母的平方。
三、导数的几何意义和应用1.导数的几何意义：在直角坐标系中，函数在其中一点x处的导数f'(x)表示函数的曲线在该点处的切线的斜率。
2.函数的单调性和极值点：若函数在其中一区间上的导数恒大于（或小于）0，则该函数在该区间上单调递增（或递减）；函数在其中一点处的导数为0，则该点可能是函数的极值点。
3.函数的凸凹性和拐点：若函数在其中一区间上的导数恒大于（或小于）0，则该函数在该区间上是凸函数（或凹函数）；函数在其中一点处的导数的增减性改变，且导数为0，则该点可能是函数的拐点。
4.极限与导数的关系：若函数在其中一点处可导，则函数在该点处一定连续。
四、应用题1.切线方程：已知函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，切线方程y=f'(a)(x-a)+f(a)。
北京北京大学附属中学高考数学高考数学压轴题 导数及其应用多选题分类精编附解析
一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e =，则t 的最小值为2【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得15x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．3．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=，所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.4．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误．()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.7．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ）A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．10．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．ff f <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
北京高三导数知识点归纳
北京高三导数知识点归纳导数是数学中的一个重要概念，它在微积分中起着至关重要的作用。
在高三阶段，学生们需要掌握导数的基本概念、性质和应用。
本文将对北京高三阶段学习中的导数知识点进行归纳和总结，帮助学生们更好地理解和应用导数。
一. 导数的基本概念导数是函数变化率的极限，用来描述函数在一点上的变化趋势。
在高三阶段，学生需要掌握导数的定义和求导法则。
具体知识点包括：1.1 导数的定义：导数表示函数f(x)在某一点x处的变化率，记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗。
1.2 导数的求导法则：学生需要熟练掌握常见函数求导法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的求导法则。
二. 导数的性质导数具有一些重要的性质，学生需要理解和应用这些性质来解决问题。
具体性质包括：2.1 导数的四则运算：导数具有加减乘除的运算法则，即若f(x)和g(x)都有导数，则其和、差、积、商的导数都可以通过对应的运算得到。
2.2 导数与函数图像的关系：导数可以反映函数图像的特征，如导数大于零表示函数递增，导数小于零表示函数递减，导数等于零表示函数的极值点等。
三. 极值与最值问题导数在极值问题中起着重要的作用。
学生需要了解极值与最值问题的求解方法。
具体知识点包括：3.1 极值点的判断：使用导数的正负性来判断函数的极值点。
当导数变号时，函数可能存在极值点。
3.2 极值的求解：通过求解导数为零的方程来获得函数的极值。
使用极值的求解方法，可以帮助求解优化问题、最大最小值问题等。
四. 曲线的凹凸性导数还可以用来判断函数图像的凹凸性。
学生需要了解曲线的凹凸性与导数的关系。
具体知识点包括：4.1 凹凸性的判断：通过函数的二阶导数来判断函数图像的凹凸性。
二阶导数大于零表示函数图像凹向上，二阶导数小于零表示函数图像凹向下。
4.2 凹凸点的求解：通过求解二阶导数为零的方程来获得函数的凹凸点。
高考数学一轮总复习导数与微分应用
高考数学一轮总复习导数与微分应用高考数学一轮总复习：导数与微分应用导数与微分是高中数学中重要的概念，也是高考中常考的知识点。
掌握导数与微分的应用，有助于解决实际问题，并提高解题的效率。
本文将分析导数与微分的应用场景，并介绍相应的解题方法。
一、导数与函数的极值问题1. 导数与函数的单调性在函数图像上，导数代表函数的变化趋势。
当函数的导数大于零时，函数呈现递增趋势；当导数小于零时，函数呈现递减趋势。
通过函数的导数，我们可以确定函数的单调性，并解决与单调性相关的问题。
例如，已知函数y = x^2，在定义域内，导数dy/dx = 2x。
当导数大于零时，即2x＞0，可得x＞0；当导数小于零时，即2x＜0，可得x＜0。
由此可知，函数y = x^2在x＞0时递增，在x＜0时递减。
2. 函数的极值函数的极大值和极小值，也称极值点，是函数图像上的特殊点。
通过导数，我们可以求得函数的极值点。
对于函数y = f(x)，当其导数dy/dx从正数变为负数时，即dy/dx＞0到dy/dx＜0，函数在此点附近由递增变为递减，该点可能是函数的极大值点；当导数从负数变为正数时，即dy/dx＜0到dy/dx＞0，函数在此点附近由递减变为递增，该点可能是函数的极小值点。
导数从负数变为正数时，即当x从负数变为正数时，可以推断该函数在x＝0的附近有极小值。
二、导数与函数的图像拐点问题1. 导数与函数的凹凸性函数的凹凸性是函数图像上的特征，通过导数，我们可以确定函数图像的凹凸区间。
对于函数y = f(x)，当其导数的二阶导数d^2y/dx^2大于零时，即d^2y/dx^2＞0，函数图像在该区间内凹向上；当二阶导数小于零时，即d^2y/dx^2＜0，函数图像在该区间内凸向上。
例如，已知函数y = x^4，在定义域内，一阶导数dy/dx = 4x^3，二阶导数d^2y/dx^2 = 12x^2。
当二阶导数大于零时，即12x^2＞0，可得x＞0或x＜0。
北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展(一)
学科：数学教学内容：导数与微分知识拓展（一）【知识拓展】1．若函数y ＝f （x ）是由参数方程所确定的，该怎样求它的导数？ 前面我们讨论了显函数和隐函数的导数，但在某些情况下，因变量y 与自变量x 的关系是通过另一参变量t 由参数方程()t x ϕ=和()t y ψ=来给出的，对于这类函数，有时可以把它很简单地表示成显函数的形式，但有时就比较麻烦甚至不可能．因此，我们有必要找出这类函数的求导方法．设()t x ϕ=的反函数()x t 1-ϕ=，并设它满足反函数求导的条件，于是可把y 看作复合函数．()()[].x t y 1-==ϕψψ由复合函数与反函数的求导法则，得()().t t 'dtdx dt dydx dy dt dy dx dy ϕψ'==⋅=.dx dy,t sin y ,t cos x 1所确定的函数的导数求参数方程例⎩⎨⎧γ=γ=()().t cot tsin t cos t cos t sin dtdx dt dydx dy -=γ-γ='γ'γ==规范解法.dx yd 数所确定的函数的二阶导，2t t y 1,t x 求参数方程例22223⎩⎨⎧-=-= 思路启迪 根据二阶导数的定义,dx y d dx dy dx d dx y d 22'=⎪⎭⎫ ⎝⎛=因此要求,dx yd 22只要把y 对x 的导数y '求出来，再将y '与x ＝t －1联系，重复利用参数方程求导公式，求出y '对x 的导数，即dx'dy 也即是我们要求y 对x 的二阶导数.dx yd 22()()().2t 324t 61t t4t 3dtdx dx dy dt d dx dy dx d dx y d .t 4t 3dtdxdt dy dx dy 2222-=-='-'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==规范解法如果函数y ＝f （x ）是由极坐标方程γ＝γ（θ）给出来的，则可把极坐标方程先化成参数方程，再求导数．即x ＝γ（θ）cos θ,y ＝γ（θ）sin θ,从而()()()()()()().tan tan sin cos cos sin d dx d dydx dy θθγ-θγ'γθ+θθγ'=θθγ-θθγ'θθγ+θθγ'=θθ=2．什么是罗尔定理？我们先考察一个函数()2x x f y ==，容易验证这个函数满足： （Ⅰ）在闭区间[－1，1]上连续． （Ⅱ）在开区间（－1，1）内可导． （Ⅲ）f （－1）＝f （1）＝1．这个函数的导数()(),0x 2x f ,x 2x f =='='令得x ＝0∈（－1，1）即在开区间（－1，1）内存在点x ＝使得()00f ='（如图3－14）．一般地，我们有（即罗尔定理）．若函数f （x ）满足条件（Ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（Ⅱ）在开区间（a,b ）内可导；（Ⅲ）在区间[a,b]的两个端点的函数值相等，即f （a ）＝f （b ），则至少存在一点()b ,a ∈ξ使得().0f =ξ'罗尔定理的几何意义是：两个端点的纵坐标相等的处处存在切线（端点除外）的连续曲线y ＝f （x ）上，至少有一点()()ξξf ,的切线是水平的．如图3－15．()[].3,1x ,3x 2x x f 2满足罗尔定理证明例-∈--=()()()()()()(),1x 22x 2x f .03f 1f ,3x 1x x f -=-='==--+=规范证法显然f （x ）满足罗尔定理的三个条件，其中a ＝－1,b ＝3．存在点ξ＝1∈（－1，3），使().01f ='即符合罗尔定理的结论．3．什么是拉格朗日中值定理？ 在罗尔定理的几何意义中，可以看出在罗尔定理的条件下，曲线上至少有一条切线是水平的，这时曲线的两个端点的连线也是水平的（f （a ）＝f （b ）），因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线．这个结论可以推广到更一般的情况，即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理）．若函数f （x ）满足：（Ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（Ⅱ）在开区间（a ，b ）内可导；则至少存在一点ξ∈（a ，b ），使()()().ab a f b f f --=ξ'()()()()()()a x ab a f b f a f x f x F 证明：作辅助函数-----= 容易验证，F （x ）在[a ，b]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈（a ，b ），使().0F =ξ'()()()()()()()()()().a b a f b f f .0ab a f b f f F ,ab a f b f x f )x (F --=ξ'=---ξ'=ξ'---'='即从而又 拉格朗日中值定理的几何意义是：处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线y ＝f(x)上，至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图3—16)．在拉格朗日定理的证明中，采用的方法是先作出一个辅助函数，故这种方法也称辅助函数法．辅助函数法也称为构造法．它是数学分析中一种重要的证题方法，这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数，然后再由已知条件、概念和定理，推断所要证明的结论的正确性．拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理，也是微分学中最重要的定理之一，它的结论常称为拉格朗日中值公式．为运用方便，可把这个公式写成下列几种形式．()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()().1θ0Δx,θΔx x f x f Δx x f Ⅳ.1θ0,a b a b θa f a f b f Ⅲ.b a,ξ,a b ξf a f b f Ⅱ.b a,ξ,ab a f b f ξf Ⅰ000<<+'=-+<<--+'=-∈-'=-∈--=' ()()().1θ0Δx,θΔx x f Δy Ⅴ0<<+'=对于这些公式要灵活运用，比如：①不必局限于a<b ；②若某函数f （x ）在开区间（a ，b ）（有限或无限）内处处有导数，则对()b ,a x ,x 21∈∀可以断言，在1x 与2x 之间存在ξ使()()().x x x f x f f 1212--=ξ'拉格朗日定理建立了函数f （x ）在[a ，b]上的平均变化率()()ab a f b f --（整体性质）与该函数在（a ，b ）内某点处导数()ξ'f （局部性质）之间联系，从而为利用导数解决整体性问题提供了可能性．需要说明的是：在拉格朗日定理中，只指出“中间值”ξ（或θ）的存在性，而没有提供确定ξ（或θ）的方法．例1 证明：若f （x ）在区间（a ，b ）内的导数恒为零，那么f （x ）在区间（a ，b ）内是一个常数．思路启迪 要证明f （x ）在（a ，b ）内是一个常数，只要能证明：对于（a ，b ）内的任意不相同的两点21x ,x 都有()()21x f x f =即可．规范证法 任取()b ,a x ,x 21∈，不妨设21x x <，因为f （x ）在（a ，b ）内可导，从而f （x ）在[]21x ,x 上连续，在()21x ,x 内可导，由微分中值定理，至少存在一点()21x ,x ∈ξ，使得()()()().f x x x f x f 1212ξ'-=-()()()()()()().x f x f 0即x f x 于是f 0,ξf 从而0,x f 有,b a,x 由已知，对1212==-='≡'∈∀即函数f （x ）在（a ，b ）内是一个常数．利用拉格朗日定理可以证明不等式，常用的步骤为： （1）选择适当的函数f （x ）及相应区间[a ，b]． （2）验证条件，应用拉格朗日定理得()()()()().b ,a ,a b f a f b f ∈ξ-ξ'=-()().b ,a x f )3(不等式内的符号或单调性证得在根据'例2 设f （x ）在[0，c]上定义，()x f '存在且单调递减，f （0）＝0．证明：对于0≤a ≤b ≤a ＋b ≤c ，恒有f （a ＋b ）≤f （a ）＋f （b ）．思路启迪 对函数f （x ）在区间[0，a]与[b,a ＋b]上分别应用拉格朗日中值定理，再结合()x f '的单调递减性即可证得．规范证法 （1）若a ＝0时显然成立． （2）若a>0时，()[]()()()()()()().a ξ0ξf a a 即f .0a ξf 0f a 即f 上应用拉格朗日定理，0，a 在x 由f <<'=-'=-再由f （x ）在[b,a ＋b]上应用拉格朗日定理得()()()().b a y b ,a y f b f b a f +<<'+=+因()x f '单调递减，故对ξ<a ≤b<y ，有()()y f f '≥ξ'注意到a ≥0，故有()()y f a f a '≥ξ'，于是()()()()().a f b f f a b f b a f +=ξ'+≤+从上面可以看出，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日的一种特殊情况（只要令f （a ）＝f （b ）即得罗尔定理）．4．怎样利用导数求不定式的极限？ 我们先看几个例子：.431x 4x 3x lim 不存在；x 1sin lim x x 1xsinlim 0;x lim x x lim 22x 0x 0x 0x 20x =+-===∞→→→→→从上面几个例子可以看出，有两个函数f （x ）和g （x ），当x →a （或x →∞）时都趋于零，或都趋于穷大，但这时的极限()()()x g x f limx a x ∞→→可能存在，也可能不存在，通常把这种类型的极限称为不定式的极限．若x →a 时，f （x ）与g （x ）都趋于0，则称极限()()x g x f lima x →为0型不定式；若当x →a 时，f （x ）与g （x ）都趋于无穷大，则称极限()()x g x f lim a x →为∞∞型不定式．关于不定式的极限，我们有下面的结论．()()()()()()()()()()()()()()().x g x f lim x g x f lim 且存在,x g x f lim 则.包括存在x g x f lim③0;x g lim x f lim ②0;x g 可导，且在点a的某去心邻域内x g ,x 若①f 洛必达法则Ⅰ型不定式.(1)a x a x a x a x ax ax ''=∞''==≠'→→→→→→[注：①上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分别求导的结果，即是()()x g x f ''，而不是()()'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f ，这一点在利用上面的公式时一定要注意．②若()()x g x f lim a x ''→仍是一个不定式，并且它仍满足上面的三个条件，则此时对()()x g x f lima x ''→再用一次洛必达法则，即此时有()()()()x g x f lim x g x f lima x a x ''''=''→→，即洛必达法则可以重复应用．③上面的x 的变化趋势x →a 可换成-→a x ，,x x ,x ,a x -∞→+∞→∞→→+或结论仍成立．].00x sin x x cos x x lim10x ⎪⎭⎫⎝⎛--→型求例思路启迪 由于当x →0时，x －xcosx →0,x －sinx →0，所以这是一个不定式，考虑利用洛必达法则．规范解法 易知这是型不定式，应用洛必达法则得：.xcos lim x sin xlim x cos x sin x lim xsin x cos x x sin x sin lim x cos x sin x x cos lim x sin x x cos x x limx x x x x x 312220011000000=+=⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=++=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--→→→→→→型 点评 本题在应用一次洛必达法则以后得极限：xcos 1xsin x x cos 1lim0x -+-→．由极限公式：当x →0时，1－cosx ＋xsinx →0,1－cosx →0,故仍是一个不定式，且它的分子分母分别求导之后的极限存在，因此再应用一次洛必达法则．.00x x sin x lim230x ⎪⎭⎫⎝⎛-→型求例 则.0，考虑利用洛必达法x 0,sinx 0时，x 当x 思路启迪3→→-→61x 6x sin lim x 3x cos 1limx x sin x lim0x 20x 30x ==-=-→→→规范解法.00x1xarctan 2lim 3x ⎪⎭⎫⎝⎛-π+∞→型求例思路启迪 由于,0x 1lim ,0x arctan 2lim x x ==⎪⎭⎫⎝⎛-π+∞→+∞→故考虑利用洛必达法则．.1x 1x lim x1x 11lim x 1x arctan 2lim 22x 22x x =+=-+-=-π+∞→+∞→+∞→规范解法()()()()()().f .g ,g g ,x ,x xx g x f 0300000004'=''='=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=试求且已知设例思路启迪 按照导数的定义，我们有()()()()().x x g lim 0x 0x x g lim 0x 0f x f lim 0f 20x 0x 0x →→→=--=--='由已知()0g '存在可知g （x ）在点x ＝0连续，故()(),00g x g lim 0x ==→显然()0x 0x 2→→，故极限()20x x x g lim→为00型不定式．又()0g ''存在，从而()()()()()0x 0g x g lim 21x 2x g lim xx g lim 0x 0x 20x --'='=''→→→ ().0g 21''=存在． ()()(),xx g 0x 0f x f ，0x 2=--≠时当规范解法 ∴由洛必达法则得()()()()()().230g 210x 0g x g lim 21x2x g lim x x g lim 0f 0x 0x 20x =''=-'-'='=='→→→ 点评 虽然()0g ''存在，此时有()(),00g x g lim 0x ='='→即()x2x g lim0x '→仍为不定式，但我们不能再次利用洛必达法则而用以解法：()()()()().230g 212x g lim x 2x g lim x x g lim 0f 0x 0x 20x =''='='=='→→→因为已知条件中只给出当x ＝0时g（x ）的两阶导数即()0g ''存在，而当x ≠0时，g （x ）的两阶导数即()()0x x g ≠''不一定存在，即使()()0x x g ≠''存在，极限()x g lim 0x ''→也不一定存在，故两次利用洛必达法则是错误的．()()()()()()()()()()()()()()().x g x f lim x g x f lim 也存在，且x g x f lim 则.包括存在x g x f lim③;x g lim ,x f lim ②0;x g 导，且在点a的某去心邻域可x g ,x 若①f 洛必达法则Ⅱ型不定式.(2)a x a x a x a x ax ax ''=∞''∞=∞=≠'∞∞→→→→→→[]”.x ,x ,x ,a x ,a a”同样可换成“xx 注：这里的变化趋热“+∞→-∞→∞→→→→+-.nx sin ln mx sin ln lim 5x ⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+→型求例思路启迪 由于-∞=-∞=++→→nx sin ln lim ,mx sin ln lim 0x 0x ，故这是个不定式极限，考虑利用洛必达法则Ⅱ．.1mx cos m nx cos n lim n m 00mx sin nx sin lim n m nx cos mx sin mx cos nx sin n m lim nxsin ln mx sin ln lim 0x 0x 0x 0x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++→→→→型规范解法().0n为正整数，a ex lim 求例6λx nx >+∞→ 思路启迪 当x →＋∞时，,e ,x x n +∞→+∞→λ故这是个∞∞型不定式的极限，考虑利用洛必达法则Ⅱ，故有相继应用洛必达法则n 次得．().0e!n lim ex 1n n lim e nx lime x lim x n x x n 2n x x1n x x n x =λ==λ-=λ=λ+∞→λ-+∞→λ-+∞→λ+∞→ 规范解法 点评 对该不定式利用n －1次．洛必达法则的每一结果仍是不定式，第n 次应用洛必达法则极限存在，故该极限需相继使用n 次洛必达法则才能求出极限．除上述讨论的00型与∞∞型不定式之外，在实际问题中，我们还常遇到一些象∞－∞、0·∞、00、∞1、0∞型的不定式，对于这些不定式，我们都可以通过一些变化把它变成0型或∞∞型的不定式，从而可以得到解决．下面我们通过一些例题加以说明．().0x ln x lim 720x 型例∞⋅+→思路启迪 由于当,lnx 0,时，x 0x 2-∞→→→+故这是一个0·∞型不定式，考虑首先将其变成00或∞∞型，再利用洛必达法则． .02x limx2x 1lim x 1x ln lim x ln x lim 20x 30x 2x 20x =-=-=⎪⎭⎫⎝⎛∞∞=++++→→→→型规范解法点评 上述解题过程是将0·∞型变成∞∞型，再应用洛必达法则，我们看会出现什么结果．xln x 2lim x1ln 1x2lim 00x ln 1x lim x ln x lim 220x 20x 20x 20x ++++→→→→-=⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛=型 可以看出，当变成0型再利用洛必达法则，不但求不出极限，而且结果比不用洛达法则以前更复杂，因此该极限不能变成0型求它的极限．由该例我们得到启示：当将0·∞型变成00型⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∞型或用洛必达法则求不出它的极限时，应考虑将它变成∞∞型⎪⎭⎫⎝⎛型或00，再利用洛必达法则求之．().0x lim 80x 0x 型例+→思路启迪 对于00型不定式，首先利用恒等式N ln e N =将其变成0·∞型，再利用上述方法求之．().e ex lim ,x lim xxln lim x ln x lim xln x lim xx x x x x 1010000===∴=-==+→→→→→++++ 规范解法()().x tan x sec lim 92x 型求例∞-∞-π→思路启迪 首先利用三角关系，将secx －tanx 变成xcos xsin 1-再利用洛必达法则．().0x sin x cos lim 00x cos x sin 1lim x tan x sec lim 2x 2x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-π→π→π→型规范解法()().1x cos lim 102x 1x 型求例∞→思路启迪 因为x →0时，cosx →1+∞→2x1故这是∞1型不定式，首先利用恒等式N ln e N =，并将其变成00型或∞∞型，再利用洛必达法则．()().e ex cos lim .x x sin x cos lim x x cos lim xx cos ln lim,e cos xx cos ln limx x x x x x x cos ln x x 211002012222211212-→→→→==∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-===→ 规范解法()().xx lim xln x 型求例012111∞+++∞→思路启迪 因为当x →∞时，.0xln 1,x 1x 2→+∞→++故这是一个0∞型不定式，首先利用恒等式N e N ln =即可．.e e e x 1x lim .1x 1x 11lim xln x 1x ln lim .e x 1x 1x ln x 1x ln limxln 12x 2x 2x x ln x 1x ln xln 122x 2===⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→ 规范解法从以上解题的过程可以看出，利用洛必达法则求不定式的极限是非常方便的，可以说，洛必达法则是解决不定式的极限的非常有用的方法．因此希望读者能够熟练掌握此种方法．凡遇到不定式的极限能够想到利用洛必达法则．应用洛必达法则应注意以下几个问题：（1）审查所求的极限是否为不定式，不是不定式不能应用洛必达法则，因为它不满足洛必法则的条件，如：()()1x 2xsin 2lim x 1x cos 22lim x 1x cos 22lim 0x 20x 20x =='+'-=+-→→→ 是错误的．因为极限20x x 1x cos 22lim+-→不是00型不定式．事实上.0x1x cos 22lim 20x =+-→ （2）除计算型型与∞∞00两种不定式外，计算其他五种不定式∞－∞、0·∞、∞1、00、0∞型要用对数或代数运算将它转化为不定式型型或∞∞00，然后再应用洛必达法则． （3）洛必达法则中有一个条件是极限()()x g x f limx x ''→存在，如果极限()()x g x f lim 0x x ''→不存在，计算极限()()x g x f limx x →就不能应用洛必达法则．虽然()()x g x f lim 0x x ''→不存在，但是极限()()x g x f lim 0x x →也有可能存在，这时计算它的极限要用其他的计算极限的方法．例如，计算极限xxsin x limx +∞→，应用洛必达法则有极限()()()x cos 1lim x x sin x lim x x sin x lim x x x +=''+=+∞→∞→∞→（不存在），而极限1x x sin 1lim x x sin x limx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→∞→却是存在的．所以该极限不能应用洛必达法则．这种现象也不难解释，因为在洛必达法则中，条件()()x g x f limx x ''→存在仅是充分条件，即当()()x g x f lim 0x x ''→不存在时，而极限()()x g x f limx x →也有可能存在．（4）应用洛必达法则计算不定式的极限，可能会出现()()x g x f limx x ''→仍是不定式，这时可再应用洛必达法则．值得说明的是，在计算极限的过程中，掌握以下这些极限（不定式）并进行运用，将可简化极限的步骤，这些极限是：()()().xxtan lim,xx ln lim ,a a ln xa lim ,x x cos lim ,e x lim ,e x lim ,x x sin lim x x x x x xx xx x 等1110121111110002010==+>=-=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→→→∞→→。
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学科:数学教学内容:导数与微分知识拓展(一)【知识拓展】1.若函数y=f(x)是由参数方程所确定的,该怎样求它的导数?前面我们讨论了显函数和隐函数的导数,但在某些情况下,因变量y 与自变量x 的关系是通过另一参变量t 由参数方程()t x ϕ=和()t y ψ=来给出的,对于这类函数,有时可以把它很简单地表示成显函数的形式,但有时就比较麻烦甚至不可能.因此,我们有必要找出这类函数的求导方法.设()t x ϕ=的反函数()x t 1-ϕ=,并设它满足反函数求导的条件,于是可把y 看作复合函数.()()[].x t y 1-==ϕψψ由复合函数与反函数的求导法则,得()().t t 'dtdx dt dydx dy dt dy dx dy ϕψ'==⋅= .dx dy,t sin y ,t cos x 1所确定的函数的导数求参数方程例⎩⎨⎧γ=γ=()().t cot tsin t cos t cos t sin dtdx dt dydx dy -=γ-γ='γ'γ==规范解法.dx yd 数所确定的函数的二阶导，2t t y 1,t x 求参数方程例22223⎩⎨⎧-=-= 思路启迪 根据二阶导数的定义,dxy d dx dy dx d dx y d 22'=⎪⎭⎫ ⎝⎛=因此要求,dx yd 22只要把y 对x 的导数y '求出来,再将y '与x=t-1联系,重复利用参数方程求导公式,求出y '对x 的导数,即dx'dy 也即是我们要求y 对x 的二阶导数.dxyd 22()()().2t 324t 61t t4t 3dtdx dx dy dt d dx dy dx d dx y d .t 4t 3dtdxdt dy dx dy 2222-=-='-'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==规范解法如果函数y=f(x)是由极坐标方程γ=γ(θ)给出来的,则可把极坐标方程先化成参数方程,再求导数.即x=γ(θ)cosθ,y=γ(θ)sinθ,从而()()()()()()().tan tan sin cos cos sin d dx d dydx dy θθγ-θγ'γθ+θθγ'=θθγ-θθγ'θθγ+θθγ'=θθ= 2.什么是罗尔定理?我们先考察一个函数()2x x f y ==,容易验证这个函数满足: (Ⅰ)在闭区间[-1,1]上连续. (Ⅱ)在开区间(-1,1)内可导. (Ⅲ)f(-1)=f(1)=1.这个函数的导数()(),0x 2x f ,x 2x f =='='令得x=0∈(-1,1)即在开区间(-1,1)内存在点x=使得()00f ='(如图3-14).一般地,我们有(即罗尔定理).若函数f(x)满足条件(Ⅰ)在闭区间[a,b]上连续;(Ⅱ)在开区间(a,b)内可导;(Ⅲ)在区间[a,b]的两个端点的函数值相等,即f(a)=f(b),则至少存在一点()b ,a ∈ξ使得().0f =ξ'罗尔定理的几何意义是:两个端点的纵坐标相等的处处存在切线(端点除外)的连续曲线y=f(x)上,至少有一点()()ξξf ,的切线是水平的.如图3-15.()[].3,1x ,3x 2x x f 2满足罗尔定理证明例-∈--= ()()()()()()(),1x 22x 2x f .03f 1f ,3x 1x x f -=-='==--+=规范证法显然f(x)满足罗尔定理的三个条件,其中a=-1,b=3.存在点ξ=1∈(-1,3),使().01f ='即符合罗尔定理的结论.3.什么是拉格朗日中值定理?在罗尔定理的几何意义中,可以看出在罗尔定理的条件下,曲线上至少有一条切线是水平的,这时曲线的两个端点的连线也是水平的(f(a)=f(b)),因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线.这个结论可以推广到更一般的情况,即有下面更一般的结论(即拉格朗日中值定理).若函数f(x)满足:(Ⅰ)在闭区间[a,b]上连续;(Ⅱ)在开区间(a,b)内可导;则至少存在一点ξ∈(a,b),使()()().ab a f b f f --=ξ' ()()()()()()a x ab a f b f a f x f x F 证明：作辅助函数-----= 容易验证,F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点ξ∈(a,b),使().0F =ξ'()()()()()()()()()().a b a f b f f .0ab a f b f f F ,ab a f b f x f )x (F --=ξ'=---ξ'=ξ'---'='即从而又 拉格朗日中值定理的几何意义是:处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线y=f(x)上,至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图3—16).在拉格朗日定理的证明中,采用的方法是先作出一个辅助函数,故这种方法也称辅助函数法.辅助函数法也称为构造法.它是数学分析中一种重要的证题方法,这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数,然后再由已知条件､概念和定理,推断所要证明的结论的正确性.拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理,也是微分学中最重要的定理之一,它的结论常称为拉格朗日中值公式.为运用方便,可把这个公式写成下列几种形式.()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()().1θ0Δx,θΔx x f x f Δx x f Ⅳ.1θ0,a b a b θa f a f b f Ⅲ.b a,ξ,a b ξf a f b f Ⅱ.b a,ξ,ab a f b f ξf Ⅰ000<<+'=-+<<--+'=-∈-'=-∈--=' ()()().1θ0Δx,θΔx x f Δy Ⅴ0<<+'=对于这些公式要灵活运用,比如:①不必局限于a<b;②若某函数f(x)在开区间(a,b)(有限或无限)内处处有导数,则对()b ,a x ,x 21∈∀可以断言,在1x 与2x 之间存在ξ使()()().x x x f x f f 1212--=ξ'拉格朗日定理建立了函数f(x)在[a,b]上的平均变化率()()ab a f b f --(整体性质)与该函数在(a,b)内某点处导数()ξ'f (局部性质)之间联系,从而为利用导数解决整体性问题提供了可能性.需要说明的是:在拉格朗日定理中,只指出“中间值”ξ(或θ)的存在性,而没有提供确定ξ(或θ)的方法.例1 证明:若f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零,那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数.思路启迪 要证明f(x)在(a,b)内是一个常数,只要能证明:对于(a,b)内的任意不相同的两点21x ,x 都有()()21x f x f =即可.规范证法 任取()b ,a x ,x 21∈,不妨设21x x <,因为f(x)在(a,b)内可导,从而f(x)在[]21x ,x 上连续,在()21x ,x 内可导,由微分中值定理,至少存在一点()21x ,x ∈ξ,使得()()()().f x x x f x f 1212ξ'-=-()()()()()()().x f x f 0即x f x 于是f 0,ξf 从而0,x f 有,b a,x 由已知，对1212==-='≡'∈∀即函数f(x)在(a,b)内是一个常数.利用拉格朗日定理可以证明不等式,常用的步骤为: (1)选择适当的函数f(x)及相应区间[a,b]. (2)验证条件,应用拉格朗日定理得()()()()().b ,a ,a b f a f b f ∈ξ-ξ'=-()().b ,a x f )3(不等式内的符号或单调性证得在根据'例2 设f(x)在[0,c]上定义,()x f '存在且单调递减,f(0)=0.证明:对于0≤a ≤b ≤a+b ≤c,恒有f(a+b)≤f(a)+f(b).思路启迪 对函数f(x)在区间[0,a]与[b,a+b]上分别应用拉格朗日中值定理,再结合()x f '的单调递减性即可证得.规范证法 (1)若a=0时显然成立. (2)若a>0时,()[]()()()()()()().a ξ0ξf a a 即f .0a ξf 0f a 即f 上应用拉格朗日定理，0，a 在x 由f <<'=-'=-再由f(x)在[b,a+b]上应用拉格朗日定理得()()()().b a y b ,a y f b f b a f +<<'+=+因()x f '单调递减,故对ξ<a ≤b<y,有()()y f f '≥ξ'注意到a ≥0,故有()()y f a f a '≥ξ',于是()()()()().a f b f f a b f b a f +=ξ'+≤+从上面可以看出,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,而罗尔定理是拉格朗日的一种特殊情况(只要令f(a)=f(b)即得罗尔定理).4.怎样利用导数求不定式的极限? 我们先看几个例子:.431x 4x 3x lim 不存在；x 1sin lim x x 1xsinlim0;x lim x xlim22x 0x 0x 0x 2x =+-===∞→→→→→从上面几个例子可以看出,有两个函数f(x)和g(x),当x →a(或x →∞)时都趋于零,或都趋于穷大,但这时的极限()()()x g x f limx a x ∞→→可能存在,也可能不存在,通常把这种类型的极限称为不定式的极限.若x →a 时,f(x)与g(x)都趋于0,则称极限()()x g x f lima x →为0型不定式;若当x →a 时,f(x)与g(x)都趋于无穷大,则称极限()()x g x f lima x →为∞∞型不定式.关于不定式的极限,我们有下面的结论.()()()()()()()()()()()()()()().x g x f lim x g x f lim 且存在,x g x f lim 则.包括存在x g x f lim③0;x g lim x f lim ②0;x g 可导，且在点a的某去心邻域内x g ,x 若①f 洛必达法则Ⅰ型不定式.(1)a x a x a x a x ax ax ''=∞''==≠'→→→→→→[注:①上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分别求导的结果,即是()()x g x f '',而不是()()'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f ,这一点在利用上面的公式时一定要注意.②若()()x g x f lim a x ''→仍是一个不定式,并且它仍满足上面的三个条件,则此时对()()x g x f lima x ''→再用一次洛必达法则,即此时有()()()()x g x f lim x g x f lima x a x ''''=''→→,即洛必达法则可以重复应用.③上面的x 的变化趋势x →a 可换成-→a x ,,x x ,x ,a x -∞→+∞→∞→→+或结论仍成立.].00x sin x x cos x x lim10x ⎪⎭⎫⎝⎛--→型求例思路启迪 由于当x →0时,x-xcosx →0,x-sinx →0,所以这是一个不定式,考虑利用洛必达法则.规范解法 易知这是型不定式,应用洛必达法则得: .xcos lim x sin xlim x cos x sin x lim xsin x cos x x sin x sin lim x cos x sin x x cos lim x sin x x cos x x limx x x x x x 312220011000000=+=⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=++=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--→→→→→→型点评 本题在应用一次洛必达法则以后得极限:xcos 1xsin x x cos 1lim0x -+-→.由极限公式:当x→0时,1-cosx+xsinx →0,1-cosx →0,故仍是一个不定式,且它的分子分母分别求导之后的极限存在,因此再应用一次洛必达法则..00x x sin x lim230x ⎪⎭⎫⎝⎛-→型求例则.0，考虑利用洛必达法x 0,sinx 0时，x 当x 思路启迪3→→-→61x 6x sin lim x 3xcos 1limx x sin x lim0x 20x 30x ==-=-→→→规范解法.00x1xarctan 2lim 3x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π+∞→型求例思路启迪 由于,0x 1lim ,0x arctan 2lim x x ==⎪⎭⎫⎝⎛-π+∞→+∞→故考虑利用洛必达法则..1x 1x lim x1x 11lim x 1x arctan 2lim 22x 22x x =+=-+-=-π+∞→+∞→+∞→规范解法()()()()()().f .g ,g g ,x ,x xx g x f 0300000004'=''='=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=试求且已知设例思路启迪 按照导数的定义,我们有()()()()().x x g lim 0x 0x x g lim 0x 0f x f lim 0f 20x 0x 0x →→→=--=--='由已知()0g '存在可知g(x)在点x=0连续,故()(),00g x g lim 0x ==→显然()0x 0x 2→→,故极限()20x x x g lim→为00型不定式.又()0g ''存在,从而()()()()()0x 0g x g lim21x 2x g lim x x g lim 0x 0x 20x --'='=''→→→ ().0g 21''=存在. ()()(),xx g 0x 0f x f ，0x 2=--≠时当规范解法 ∴由洛必达法则得()()()()()().230g 210x 0g x g lim 21x2x g lim x x g lim0f 0x 0x 20x =''=-'-'='=='→→→ 点评 虽然()0g ''存在,此时有()(),00g x g lim 0x ='='→即()x2x g lim0x '→仍为不定式,但我们不能再次利用洛必达法则而用以解法:()()()()().230g 212x g lim x 2x g lim x x g lim 0f 0x 0x 20x =''='='=='→→→因为已知条件中只给出当x=0时g(x)的两阶导数即()0g ''存在,而当x ≠0时,g(x)的两阶导数即()()0x x g ≠''不一定存在,即使()()0x x g ≠''存在,极限()x g lim 0x ''→也不一定存在,故两次利用洛必达法则是错误的.()()()()()()()()()()()()()()().x g x f lim x g x f lim 也存在，且x g x f lim 则.包括存在x g x f lim③;x g lim ,x f lim ②0;x g 导，且在点a的某去心邻域可x g ,x 若①f 洛必达法则Ⅱ型不定式.(2)a x a x a x a x ax ax ''=∞''∞=∞=≠'∞∞→→→→→→[]”.x ,x ,x ,ax ,a a”同样可换成“x x 注：这里的变化趋热“+∞→-∞→∞→→→→+-.nx sin ln mx sin ln lim 5x ⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+→型求例思路启迪 由于-∞=-∞=++→→nx sin ln lim ,mx sin ln lim 0x 0x ,故这是个不定式极限,考虑利用洛必达法则Ⅱ..1mxcos m nx cos n lim n m 00mx sin nx sin lim n m nx cos mx sin mx cos nx sin n m lim nxsin ln mxsin ln lim 0x 0x 0x 0x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++→→→→型规范解法().0n为正整数，a ex lim 求例6λx nx >+∞→ 思路启迪 当x →+∞时,,e ,x x n +∞→+∞→λ故这是个∞∞型不定式的极限,考虑利用洛必达法则Ⅱ,故有相继应用洛必达法则n 次得.().0e!n lim e x 1n n lime nx lime x lim x n x xn 2n x x1n x x n x =λ==λ-=λ=λ+∞→λ-+∞→λ-+∞→λ+∞→ 规范解法 点评 对该不定式利用n-1次.洛必达法则的每一结果仍是不定式,第n 次应用洛必达法则极限存在,故该极限需相继使用n 次洛必达法则才能求出极限.除上述讨论的型与∞∞型不定式之外,在实际问题中,我们还常遇到一些象∞-∞､0·∞､00､∞1､0∞型的不定式,对于这些不定式,我们都可以通过一些变化把它变成00型或∞∞型的不定式,从而可以得到解决.下面我们通过一些例题加以说明.().0x ln x lim 720x 型例∞⋅+→ 思路启迪 由于当,lnx 0,时，x 0x 2-∞→→→+故这是一个0·∞型不定式,考虑首先将其变成00或∞∞型,再利用洛必达法则. .02x limx2x 1lim x 1x ln lim x ln x lim 20x 30x 2x 20x =-=-=⎪⎭⎫⎝⎛∞∞=++++→→→→型规范解法点评 上述解题过程是将0·∞型变成∞∞型,再应用洛必达法则,我们看会出现什么结果.x ln x 2lim x1ln 1x2lim 00x ln 1x lim x ln x lim 220x 20x 20x 20x ++++→→→→-=⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛=型 可以看出,当变成型再利用洛必达法则,不但求不出极限,而且结果比不用洛达法则以前更复杂,因此该极限不能变成00型求它的极限.由该例我们得到启示:当将0·∞型变成0型⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∞型或用洛必达法则求不出它的极限时,应考虑将它变成∞∞型⎪⎭⎫⎝⎛型或00,再利用洛必达法则求之.().0x lim 80x 0x 型例+→ 思路启迪 对于00型不定式,首先利用恒等式N ln e N =将其变成0·∞型,再利用上述方法求之.().e e x lim ,x lim xxln lim x ln x lim xln x lim x x x x x x 1010000===∴=-==+→→→→→++++ 规范解法()().x tan x sec lim 92x 型求例∞-∞-π→思路启迪 首先利用三角关系,将secx-tanx 变成xcos xsin 1-再利用洛必达法则.().0x sin x cos lim 00x cos x sin 1lim x tan x sec lim 2x 2x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-π→π→π→型规范解法()().1x cos lim 102x 1x 型求例∞→思路启迪 因为x →0时,cosx →1+∞→2x1故这是∞1型不定式,首先利用恒等式N ln e N =,并将其变成型或∞∞型,再利用洛必达法则.()().e ex cos lim .x x sin x cos lim x x cos lim xx cos ln lim,e cos xx cos ln limx x x x x x x cos ln x x 211002012222211212-→→→→==∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-===→ 规范解法 ()().xx lim xln x 型求例012111∞+++∞→思路启迪 因为当x →∞时,.0xln 1,x 1x 2→+∞→++故这是一个0∞型不定式,首先利用恒等式N e N ln =即可..e e ex 1x lim .1x 1x 11lim xln x 1x ln lim .e x 1x 1x ln x 1x ln lim xln 12x 2x 2x x ln x 1x ln xln 122x 2===⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→ 规范解法从以上解题的过程可以看出,利用洛必达法则求不定式的极限是非常方便的,可以说,洛必达法则是解决不定式的极限的非常有用的方法.因此希望读者能够熟练掌握此种方法.凡遇到不定式的极限能够想到利用洛必达法则.应用洛必达法则应注意以下几个问题:(1)审查所求的极限是否为不定式,不是不定式不能应用洛必达法则,因为它不满足洛必法则的条件,如:()()1x 2xsin 2lim x 1x cos 22lim x 1x cos 22lim 0x 20x 20x =='+'-=+-→→→ 是错误的.因为极限20x x 1x cos 22lim+-→不是00型不定式.事实上.0x 1x cos 22lim 20x =+-→ (2)除计算型型与∞∞00两种不定式外,计算其他五种不定式∞-∞､0·∞､∞1､00､0∞型要用对数或代数运算将它转化为不定式型型或∞∞00,然后再应用洛必达法则. (3)洛必达法则中有一个条件是极限()()x g x f limx x ''→存在,如果极限()()x g x f lim 0x x ''→不存在,计算极限()()x g x f limx x →就不能应用洛必达法则.虽然()()x g x f lim 0x x ''→不存在,但是极限()()x g x f lim 0x x →也有可能存在,这时计算它的极限要用其他的计算极限的方法.例如,计算极限xxsin x limx +∞→,应用洛必达法则有极限()()()x c o s 1lim x x sin x lim x x sin x limx x x +=''+=+∞→∞→∞→(不存在),而极限1x x s i n 1lim x x sin x limx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→∞→却是存在的.所以该极限不能应用洛必达法则.这种现象也不难解释,因为在洛必达法则中,条件()()x g x f limx x ''→存在仅是充分条件,即当()()x g x f lim 0x x ''→不存在时,而极限()()x g x f limx x →也有可能存在.(4)应用洛必达法则计算不定式的极限,可能会出现()()x g x f limx x ''→仍是不定式,这时可再应用洛必达法则.值得说明的是,在计算极限的过程中,掌握以下这些极限(不定式)并进行运用,将可简化极限的步骤,这些极限是:()()().xxtan lim,xx ln lim ,a a ln xa lim ,x x cos lim ,e x lim ,e x lim ,x x sin lim x x x x x xx xx x 等1110121111110002010==+>=-=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→→→∞→→。