2012-1013《线性代数》期(末)(B)试卷
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
2012-2013线性代数B 期末试卷 4(第二学期版)
队别__________
教学班次___________ 学号___________
姓名____________
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
武汉大学数学与统计学院 2012‐2013 学年第二学期《线性代数》期末考试试卷
1．设有三个不共面的向量α = (a1, a2 , a3 ) , β = (b1,b2 ,b3 ) ,γ = (c1, c2 , c3 )
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
姓名____________
教学班次___________ 学号___________
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
x4 x4
= =
1 2
⎪⎩ x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3
2 1 41
12．计算 D = 3 −1 2 1
1 2 32 5 0 62
队别__________
评卷人
试卷 第 1 页 （共 2 页）
得分
二、证明（1 小题，共 6 分）
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
证明：存在唯一一个向量 x ，使 x ⋅α = 1, x ⋅ β = 2, x ⋅γ = 3.
试卷 第 2 页 （共 2 页）
2⎞
《线性代数》样卷B及答案(1)
《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
中国农业大学2012-2013(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2012~2013学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题解析一．填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）1．设A 为3阶方阵，且||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得到B ，则||BA *=27-．解析：||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点：1.互换行列式的两行，行列式改变符号。
2.*||=n -1AA 2．A 为n 阶矩阵，且()R A E n -<，则A 的一个特征值为1．解析：由于()R A E n -<，所以||=0A -E ，所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点：1.()R A E n -<，知道A -E 不可逆，其行列式值为0.2.特征值的定义。
3．设A 为34⨯矩阵，()3R A =，且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解析：由于()3R A =，对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量，2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。
1η是非齐次线性方程组的特解。
所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。
4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型，则t．解析：正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的各阶顺序主子大于零，所以t 2t 22101101>21102t->，所以t 注释本题知识点：1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。
线性代数2012-2013历年(攀枝花学院,附答案)
2012～2013 学年度第 二 学期《线性代数》试卷（ A 卷）适用年级专业：2012级理工、经管类本科教学班 考 试 形 式：（ ）开卷、（ √ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序数为_________________.2、已知四阶行列式D 的第二行元素分别为 1,0,2,1-，他们的代数余子式分别为2,2,1,1-，则 行列式D =____________.3、设A 为4阶方阵，且2A =，则*A -= .4、设A 是43⨯矩阵，且线性方程组Ax b =有唯一解，则A 的列向量组线性 .5、如果一个二次型的标准型为2221235x x x -+，则此二次型的秩为 . 二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、若n 阶矩阵A 互换第一, 二行后得矩阵B , 则必有（ ）.()0=+B A A ； ()0=AB B ； ()0=+B A C ； ()0=AB D .2、设,,A B C 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若E ABC =，则下列各式中总成立的是（ ）.()A BCA E =； ()B A C B E =； ()C BAC E =； ()D CBA E =.3、 设0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组， 那么下列叙述正确的是（ ）.()A 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解; ()B 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解;()C 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解; ()D 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解.4、设4阶矩阵A 的特征值为2、2、3、-1，则A =（ ）.()A 6； ()B -6； ()C 12； ()D -12.5、设矩阵A 为正交阵，下列说法错误的是（ ）.()A T A A =； ()B E AA T =； ()C A 的列向量为单位向量；()D 11A =-或.三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式 1123112312131231D --=--.2、已知11112121,3321111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 求TB A .3、已知2110112132X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X .4、已知齐次线性方程组0Ax =有非零解, 其中142t A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求t 的值.四、证明题（共8分）已知向量组321,,βββ线性无关，若向量组321,,ααα满足：3211βββα+-= ，3212βββα-+= ，3213βββα++-= ；判断向量组321,,ααα的线性相关性.五、（共 10分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=6063324208421221A 对应的列向量组的秩，并 求一个最大无关组 .六、（共 10分）设三元非齐次线性方程组b Ax =,若()2R A =,且12(1,1,2,0),(0,1,1,0)T T ηη=-=是两个已知解向量,求b Ax =的通解.七、（共 10分）已知方阵0111110a A b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为1231, 2.λλλ===-1）求b a ,的值；2）判断A 是否可以对角化.八、（共 10分）已知二次型：323121232221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++= ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵Q .一、填空题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每小题 2分，共 10 分）1、12;2、1;3、8;4、无关;5、3.二、选择题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每题2分，共 10分）1、C ；2、A;3、D ；4、D ；5、A ；三、计算题[三基类][教师答题时间： 15 分钟]（每题8分，共32分），1、解：由1123112312131231D --=--=11231123512131231--- …………（2分）……………（6分）2、解： TB A =111131*********⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭…………（3分）283770-⎛⎫=⎪⎝⎭. …………（5分）3、解： 12110112132X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭…………（3分） 211011121323-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭…………（3分） 41135123⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. ……………（2分）4、解： 由 1042t A -==, …………（5分）即 240t +=, …………（2分）得 2t =-. ……………（1分）四、证明题[三基类] [教师答题时间： 5分钟]（8分）证明：由123123111(,,)(,,)111111αααβββ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……（2分） 由04≠=A ，A 可逆，故两个向量组可相互线性表出,因此两个向量组等价. ………（3分） 由向量组321,,βββ线性无关，得123(,,)3R βββ=,有123123(,,)(,,)3R R αααβββ==, ………（2分） 故向量组321,,ααα线性无关 . ………（1分）五、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−0000000012001221rA ，……（4分）故向量组的秩为2， ……（3分）最大无关组为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0282. ……（3分）六、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解: 由()2R A =得0Ax =的基础解系含一个非零向量, ......（4分）故T T T（4分） （2分）七、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：1）由已知, 0;1 2.b A a b =⎧⎪⎨=--=-⎪⎩……………（3分）得 1,0.a b =-= ………(2分)2）当1λ=时，由111111111000111000A E λ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ……（2分） 得 ()1R A E -=，故1λ=对应两个线性无关的特征向量，……(2分) 故 A 可以对角化. …………（1分）八、 [综合型] [教师答题时间：10分钟]（10分）解: 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=333351315A ………………………………(2分)令0)9)(4(=--=-λλλλE A 得9,4,0321===λλλ。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
中国农业大学2012-2013(春)《线性代数》期末考试试题解析版
2012-2013学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶方阵，A 的第2行的元素分别为2,3,1-，其对应的余子式为3,2,3，则||A =9．解析:行列式等于某行元素与其对应的代数余子式乘积之和,所以||()()A =-⋅-+⋅+⋅-=2332139注释本题知识点:（1）||i i i i in in A a A a A a A =+++1122 答案：92．设A 为4阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，且12A =，则1(2)3*A A --=2．解析:A A A A A A A ------=-=-=-=1111411(2)3*3||(1)22注释本题知识点：（1）B ∗=∗=H （2） B =.答案：23．设,αβ是非齐次方程()E A x b λ-=的两个不同的解，则A 对应于特征值λ的特征向量为αβ-解析:A 对应于特征值λ的特征向量为满足E A x λ-=()0的解注释本题知识点:1）.非齐次线性方程组解的结构,若Ax b ηη=12，是的解,则Ax ηη=120-是齐次方程的解2）.特征值与特征向量的定义:若有实数λ以及非零向量α,使得A αλα=即()A E λα-=0则λ为矩阵A的特征值，非零向量α为矩阵A的特征向量答案：αβ-4.已知矩阵(0,1,0,1).Tα=若矩阵T E b αα+是矩阵2T E αα+的逆矩阵（其中b 是数），则b =．解析：若矩阵T E b αα+是矩阵2T E αα+的逆矩阵，则()()T T E b E E αααα++=2，由此可得，T T T T E b b E αααααααα+++=22，因为T αα=2，所以T T b αααα+=520，b =-25注释本题知识点：（1）逆矩阵定义，若矩阵AB=E，则B 为A 的逆矩阵。
答案：b =-255．已知矩阵11011303A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=与100030003B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=-相似，则a =．解析：矩阵A，B 相似，故有相同的特征值，因此1+1+a=1+3-3,可知a=-1.注释本题知识点：（1）矩阵A，B 相似，故有相同的特征值（2）矩阵特征值之和等于其主对角线元素的乘积答案：-1二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设n 阶矩阵A 与B 等价,则下列结论不正确的是【】(A)当0=A 时,0B =；(B)A 可以通过初等变换得到B ；(C)()()R A R B =；(D)A 与B 相似。
文档：线性代数期终考试卷答案及解析
试卷答案及提示一、试卷一答案及提示1）（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1451551111；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11B C ；（3）1；（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80232；（5）1，2，－2 2）（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D ；（5）B3)（1）22y x ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121613q 4）1-≠a 时，β可唯一表示成4321,,,αααα的线性组合，这时43210111212ααααβ⋅+++++++-=a a a a 5）0=+y x 。
提示：12,1=λ，要使A 可对角化必须1)(=-I A r ，求得0=+y x 。
6）（1）无解。
因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故)()(A r b A r ≠ 。
（2）2)(=A r ，3=n ，1)(dim =A N ，故通解)(,111202)(112R t t t x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=ξξξ7）（1）2=a 。
提示：321λλλ=A ，即10521303002=••=a a 。
（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q（3）q 为正定二次型，因为特征值全大于零。
8）提示：取j i e y e x ==,，由0=Ay x T 可求得),,2,1,,,2,1(0n j n i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==。
二、试卷二答案及提示1) (1)I ；（2）0；（3）63；（4）a ＝2，b ＝－1；（5）0 2）（1）C; (2)C; (3)B; (4)C; (5)D3)01≠≠b a 且时，方程组有唯一解；0=b 时，方程组无解；211≠=b a 且时，方程组无解；211＝且b a =时，方程组有无穷多解，解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222101t x ，（)R t ∈。
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵
大学线性代数期末考试题含答案
用心用情 服务社会1广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 线性代数 试卷满分 100 分考试时间: 2009 年 6 月 9 日 (第 17 周 星期 二 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分评卷签名 复核得分 复核签名一、 填空题 （每小题4分，共20分）1. 已知三阶行列式D 中第一行的元素依次为a 、2 、 1，它们的余子式分别是-2、-5、4，且D =10，则a = 。
2. 5,A A A *=-=设为三阶方阵，若则 。
3. 若n 阶矩阵A 满足O E A A =--422，则 ()1-+E A = 。
4.02030x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩如果齐次线性方程组 有非零解,则k= 。
5．设33500012,025A B ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的列向量组线性无关，则R(AB)= 。
二、选择题（每小题4分，共16分）1.A 为n m ⨯矩阵，0=AX 仅有零解的充分必要条件是（ ）(A)A 的列向量组线性无关 (B)A 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性无关 (D)A 的行向量组线性相关 2．设A ,B ,C 均为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且E ABC =，则下列等式总成立的有（ ）(A) E ACB = (B) E CBA = (C) E BAC = (D) E BCA =用心用情 服务社会2 3. 如果1333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a （ ） (A)8 (B)-12 (C)24 （D ）-244. 下列哪一个不是n 阶方阵为非奇异矩阵的充要条件（ ）(A) A 的行秩为n (B)A 的每个行向量都是非零向量 (C) n A r =)( (D) 线性方程0=Ax 只有零解三、(10分)四、解矩阵方程 B AX X +=2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101121011A ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=202031B .（12分）五、求非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系。
《线性代数》期末试题B卷参考答案及评分标准
《线性代数》试题 参考答案及评分标准一、（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1、设122122A -=⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求6A 。
解2122122A ⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，6A E =， ……………… 7分 2、计算行列式1234234134124123D =.解 原式=11111105413132413-=---- . ……………… 7分3、计算行列式121212n n n x ax x x x a x D x x x a--=-.解121212n n n x a x x x x a x D x x x a--=-212121nin i ni ni ni n i x ax x x a x ax x ax x a===---=--∑∑∑ ……………… 3分221211()1n nn i i n x x x a x x a x x a=-=--∑ ……………… 5分2111100()()()0n nnn i i i i x x a x a a x a a-==-=-=---∑∑ ……………… 7分4、计算矩阵20202010102102101010⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩。
解2020222220202010100101001010210210122100211010100000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………… 7分 5、设矩阵111111000,010004b A b a B =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且A 与B 相似，求,a b 。
解 由两行列式相等得：，2(1)0b -=，得1b = ……………… 4分由两对角线的和相等得：25a +=，则3a = ……………… 7分二、（本大题共4小题，每小题9分，共36分）6、设矩阵101020101A =⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且2AB E A B +=+，求B 。
线性代数期末考试试卷+答案
大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线代期末考试B卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （B ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．下列等式中正确的是（ ） A ．()222A B A AB BA B +=+++ B ．()TT T AB A B = C ．()()A B A B A B -+=-22 D ．()33A A A A -=-22.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311132213A 则21a 的代数余子式21A 的值为 （ ）A. 1.B. 1-C. 2.D. 2-3．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ） A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 4．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（ ）A ．210λ B ．021λ C ．20λD ．2λ 5．设向量组(I)：1α，2α，…r α，向量组(II)：1α，2α，…r α，1r +α，…，s α则必有（ ）。
A ．若(I)线性无关，则(II)线性无关B ．若(II)线性无关，则(I)线性无关C ．若(I)线性无关，则(II)线性相关D ．若(II)线性相关，则(I)线性相关6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121113A 的三个特征值分别是321,,λλλ，则321λλλ++的值等于（ ） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.7.已知A 是一个43⨯阶矩阵，则下列命题正确的是( )__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2 A. 若A 中所有三阶子式都为零，则 2.R AB. 若 2.R A则A 中所有三阶子式都为零C. 若A 中所有二阶子式都不为零，则 2.R AD. 若 2.R A则A 中所有二阶子式都不为零8.．设n 阶方阵A 的0=A 则A 的列向量（ ）A ．0)(=A RB ． 0)(≠A RC ．线性相关D ．线性无关 9.设向量组A 可由向量组B 线性表示，则有（ ）A. )()(B R A R ≤B. )()(B R A R ≥C. )()(B R A R =D. 不能确定)(A R 和)(B R 的大小. 10．设n 元线性方程组Ax =b 且为()()n b A R A R ==,，则该方程组（ ）A.有唯一解；B.有无穷多解；C.无解；D.不确定。
线性代数期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空3分，共15分)1、设A 为n 阶方阵，且3A =，则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A *= 。
（其中A *是A 的伴随矩阵） 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分，共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是（ ）（A ）1k ≠ （B ）3k ≠-（C ）1k ≠且3k ≠- （D ）1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为（ ） ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵，且0AB =，则下列一定成立的是（ ）()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是（ ）()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时，1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=（ ） （A ）d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（B ）1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（C ）1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（D ）1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、（8分）计算行列式411102*********23D -=-四、（11分）求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。
线性代数期末试卷及详细答案
（A ）A=E
（B ） A 相似于 E （ C） A2 E
（ D） A 合同于 E
8、若 1, 2, 3 , 4 是线性方程组 AX O 的基础解系，则 1 + 2 + 3 + 4 是 AX O 的
（A ）解向量
（ B）基础解系
（ C ）通解；
（ D） A 的行向量；
9、 1 , 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 2 ，且 X 1 和 X 2 分别是对应于 1 和 2 的特征
准型，并求出正交变换。 四、证明题（ 7 分）
设 A 为 m× n 矩阵， B 为 n 阶矩阵，已知 R(A) n
证明：若 AB=O ，则 B=O
《线性代数》期末考试题 A 题参考答案与评分标准
填空题
1、 -10；
2、 81；
3、
4，
6，
12；
1
4、
A
3E ；
2
5、 5；
二、单项选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分)
填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
345
1、设 D1 = 3 1
5 ， D2= 5
2
2
1 0
0 ，则 D = D1 O
0
O
= _____________。
D2
2、四阶方阵
A、B ，已知
1 A=
，且 B= 2A -1
16
1
2A ，则 B =_____________ 。
1b1
002
求 a,b 6、齐次线性方程组
2 x1 x2 3x3 0 x1 3x2 4 x3 0
x1 2 x2 ax 0
线性代数B试卷答案
《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性 相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的 代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则 （ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ， 求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。
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上海应用技术学院2012—2013学年第二学期
《线性代数A 》期（末）（B ）试卷
课程代码: B 学分: 2 考试时间: 100 分钟 课程序号: ，404,405,407,408 _ 班级： 学号： 姓名:
我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
一、
选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）
1.设A 为n 阶方阵，2n ≥，则5A -=（ ）。
A ．
()5n
A -
B ．5A -
C ．5
A
D ．5
n
A
2．设A ，B 均为m n ⨯阶矩阵，且m n ≠，则下列结果是n 阶方阵的是( )。
A ． T
AB B ． T
A B C ． T BA D ．AB
3．设β可由向量α1=(1,0,0)T ，α2=(0,0,1)T ，线性表示，则下列向量β只可能是( )。
A ．(2,1,1) B ．(-3,0,2)
C ．(1,1,0)
D ． (0,-1,0) 4. 向量组12,,s ααα，()2s >线性无关的充分必要条件是 （ ）。
A ．12,,
s ααα均不为零向量 B ．12,,
s ααα中任意两个向量不成比例
C ．12,,s ααα中任意s-1个向量线性无关
D ．12,,s ααα中任意一个向量均不能由其
余s-1个向量线性表示
5．设3元非齐次线性方程组Ax=b ，系数矩阵A 的秩r(A )=2，1η，2η，3η为方程组的解，
12ηη+=（2，0，4）T ，23ηη+=（1，-2，1）T ，则对任意常数
k , 方程组的通解可表
为（ ）。
A ．(1,0,2)T +k (1,-2,1)T
B ．(1,-2,1)T +k (2,0,4)T
C ．(2,0,4)T +k (1,-2,1)T
D ．(1,0,2)T +k (1,2,3)T 二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 1． 设行列式D=3332
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a =3，D 1=11111213
2121222331
3132
33
525252a a a a a a a a a
a a a ---，则D 1=_________。
2． 若n 阶方阵A 的秩小于n , 则A 的行列式等于___________。
3． 设矩阵1234A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，1101P ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则T
AP =__________________。
4．设A 为3阶矩阵，*
A 是A 的伴随阵，且2=A ，求
*1A A -+=___________。
5．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=001020300A 的逆矩阵1-A =___________。
三、 计算题（本大题共6小题，共计64分）
1、计算行列式
1121
121121111112。
（本题8分）
2、设3阶矩阵
110
011
101
A
-⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，求2
A的秩。
（本题10分）。
3、设
23
13
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
11
10
B
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，解方程AX X B
=+。
（本题10分）
第3 页
4、设向量组：
11 2 1 2
α
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
-
⎪
-⎝⎭
，
2
2
5
6
5
α
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
-
⎪
-⎝⎭
，
3
3
1
1
1
α
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
，
4
1
2
7
3
α
-
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
-
⎪
-
⎝⎭
，求向量组的秩和一个极
大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来。
（本题12分）
5、求齐次线性方程组
123
123
123
20
20
20
x x x
x x x
x x x
+-=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-++=
⎩
的的一个基础解系及其通解。
（12分）
第 5 页
6、讨论a, b 取什么值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=--=--b
ax x x x x x x x x 321
321321223312有唯一解，有无穷多解，无解，当有无穷多解时，求出方程组的通解。
（本题12分）
四、 证明题（本大题6分）
设n 阶矩阵A 满足2
A A =，E 为n 阶单位矩阵。
证明2E A -可逆，且
()
1
22E A E A --=-。