导数与微分在经济学中的简单应用.ppt
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导数在经济学中的简单应用ppt课件
而边际成本 C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q), 可见，边际成本与固定成本无关。
(4) 在经营决策分析中，通过分析边际成本，可 以制定现有成本基础上的最佳产量。
8
例3、假设某企业生产某种产品的总成本 C（万元） 与产量 Q（万件）之间的函数关系式为
C Q 0.02Q3 0.4Q2 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 100 万元
1 Q 60
Q1000 10
40
Q1000
其经济意义为：当产量达到1000单位时，如果再多生产1个 单位产品,则成本将相应增加 40个单位。
7
(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。
一般情况下，总成本 C(Q)由固定成本 C0和可变成本 C1(Q)
组成，即 C(Q) C0 C1(Q),
3.5 导数在经济学中的简单应用
随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济 及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部 分．把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数 学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用．
导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化 率．在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问 题．导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性” 是导数在经济分析应用中的两个重要概念．本节主要介绍导数概 念在经济学中的两个应用——边际分析与弹性分析．
解 y 6x
y 6x 12
x2
x2
函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值为12
2020/5/5
5
4、边际成本
1定义 设总成本函数 C C(Q), Q为产量, 称它的导数 C(Q)
为边际成本函数,简称边际成本．C(Q0 )称为当产量为 Q0时的 边际成本．边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位 时所增加的成本．
(4) 在经营决策分析中，通过分析边际成本，可 以制定现有成本基础上的最佳产量。
8
例3、假设某企业生产某种产品的总成本 C（万元） 与产量 Q（万件）之间的函数关系式为
C Q 0.02Q3 0.4Q2 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 100 万元
1 Q 60
Q1000 10
40
Q1000
其经济意义为：当产量达到1000单位时，如果再多生产1个 单位产品,则成本将相应增加 40个单位。
7
(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。
一般情况下，总成本 C(Q)由固定成本 C0和可变成本 C1(Q)
组成，即 C(Q) C0 C1(Q),
3.5 导数在经济学中的简单应用
随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济 及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部 分．把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数 学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用．
导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化 率．在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问 题．导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性” 是导数在经济分析应用中的两个重要概念．本节主要介绍导数概 念在经济学中的两个应用——边际分析与弹性分析．
解 y 6x
y 6x 12
x2
x2
函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值为12
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4、边际成本
1定义 设总成本函数 C C(Q), Q为产量, 称它的导数 C(Q)
为边际成本函数,简称边际成本．C(Q0 )称为当产量为 Q0时的 边际成本．边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位 时所增加的成本．
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
高等数学II (微积分 龚德恩 范培华)3.5 导数在经济学中的简单应用.ppt
（点）弹性，记作Ex ,即
Ex
lim
x0
y / x /
y x
.
相对变化率
称其为 f ( x)的弹性函数。
11/18/2019
11
若 y f (x)在点 x0可导, 则
Ex
x x0
lim y / y0 x0 x / x0
x0 lim y y0 x0 x
x0 y0
EP
p3
3 17
(3)
ER 1
Ep
14 ， 17
总收益增加 14 17
%
11/18/2019
20
一、主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
lim y x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
11/18/2019
21
1、导数的定义
价格下跌(降价)1%, 总收益减少(1 Ep )%.
2.
若
Ep
1时,
ER 1 EP
Ep
0,
价格上涨(提价)1%, 总收益减少( Ep 1)%.
价格下跌(降价)1% 总收益增加( Ep 1)%.
3.
若
Ep
1,则 ER 0,提价或降价对总收益的影响不大 EP
11/18/2019
11/18/2019
23
2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
( x ) x 1
(a x ) a x ln a
导数与微分在经济中的简单应用
导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
03
微分在经济学中的应用
利用微分分析经济函示因变量y对于自变 量x的变动反应程度，即y对于x的变 化率。
弹性的计算
根据微分的定义，可以将弹性的计算 公式表示为d(y)/d(x)。
弹性的经济学意义
弹性反映了x变化时y的相应程度，对 于经济分析具有重要意义。
利用微分分析经济的价格弹性
微分的定义
函数在某一点的微分
函数在这一点变化率的近似值，表示函数在这一点的变化快慢。
微分的计算公式
根据定义，函数在某一点的微分等于函数值在该点的变化率与自变量在该点的变化率的比值的近似值 。
微分的几何意义
曲线在某一点的曲率
对于一条曲线，在任意一点处的微分就是该点处曲线在该点 的曲率，表示曲线在该点的弯曲程度。
导数与微分在经济学中的简单应用 教学课件
xx年xx月xx日
目 录
• 导数与微分的预备知识 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的模型应用 • 导数与微分在经济学中的实证分析 • 导数与微分在经济学中的综合应用案例
01
导数与微分的预备知识
导数的定义
函数在某一点的导数
利用导数与微分进行经济周期的预测分析
总结词
经济周期是指经济运行中出现的繁荣、衰退、萧条和复苏等循环现象，对经济的 稳定和持续发展具有重要影响。
详细描述
利用导数与微分进行经济周期的预测分析，需要运用时间序列分析和谱分析等方 法，建立经济周期的数学模型，运用导数和微分的方法分析模型的动态性质，预 测未来经济周期的变化趋势，并制定相应的政策建议。
函数在这一点变化率的极限，表示函数在这一点的变化快慢 。
导数的计算公式
根据定义，函数在某一点的导数等于函数值在该点的变化率 与自变量在该点的变化率的比值。
微积分3-5. 导数在经济学中的应用ppt课件
量 x 1）时函数的增量 y 的准确值为y
，由微分近似公
x x0
式知，y 的近似值为
x1
y xx0 f x0 1 f x0 dy f x x xx0 f x0
x1
x1
当x 1时，标志着自变量x 从 x0 减少一个单位，而
y xx0 dy f x x xx0 f x0
x1
x1
由此可知有关边际的经济意义是：经济函数 f (x) 在点x x0 处当自变 量 x 增加（减少）一个单位时，函数y 近似增加（减少）f (x0 ) 个单
位。
3
例3.38 设函数 y x2 ，求y 在 x 5 时的边际函数值
解
因为
y 2x，所以
y x5
10
若函数 y x2具有经济意义，则 y 10 表明：当 x 5 时，x 每改变一个单位（增加或减少一个单x位5），y 改变十个单位（增加
第三章 导数与微分
§3.1 导数的概念 §3.2 求导法则与求导公式 §3.3 隐函数的导数 高阶导数 §3.4 微分 §3.5 导数在经济学中的应用
1
§3.5 导数在经济学中的应用
一 边际与边际分析
“边际”(Margin)一词的一般含义是指事物在时间或空 间上的边缘或界限，它是反映事物数量的一个概念。在经济 上，边际量是指生产、交换、分配和消费在一定条件下的最 后增加量.研究这个增量的性质和作用，构成了边际分析的基 本内容。西方经济学认为，边际量或增量分析，比总量分析 和平均量分析，能更精确地描述经济变量之间的函数关系。
量 x 0 时的成本 C0 C(0) 为固定成本，C1(x) C(x) C0 为可
变成本。
C(x) lim C lim C(x x) C(x) 称为边际成本函数
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
05
导数与微分在经济学中的实践练习
练习一：利用导数分析函数单调性
总结词
通过导数的符号判断函数的单调性
详细描述
首先，需要了解导数的基本概念及其与函数单调性的关 系。其次，通过实例，展示如何利用导数判断函数的单 调性。
练习二：利用微分求解函数极值
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过微分求解函数的极值点
首先，需要了解微分的基本概念及其与函数极值的关系 。其次，通过实例，展示如何利用微分求解函数的极值 点。
2023
导数与微分在经济学中的 简单应用教学课件
contents
目录
• 导数与微分的概念 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的案例分析 • 导数与微分在经济学中的实践练习
01
导数与微分的概念
导数的定义
1 2
函数在某一点的导数
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率。
案例一：商品价格与需求量的关系
01
总结词：价格弹性பைடு நூலகம்
02
详细描述：在经济学中，商品 价格与需求量之间的关系可以 用导数来描述。如果需求函数 是线性的，那么它的导数就是 价格弹性，表示价格变动对需 求量变动的影响程度。
03
公式展示：如果需求函数是 Q=a-bP，其中Q是需求量， P是价格，a和b是常数，那么 价格弹性就是-b/a。
导数可以用来寻找最大收入的解，即如何确定销售量以达到最大 收入。
03
微分在经济学中的应用
微分在函数极值中的应用
总结词
找寻经济函数的最大值和最小值
详细描述
通过微分，我们可以求出函数的一阶导数，并找到导数为零的点，这些点就是函数的极值点。在经济学中，我 们常常需要找出一个经济函数的最优解，即经济函数的最大值或最小值。例如，在成本最小化问题中，我们可 以通过微分来找到总成本的最小值点。
导数在经济学中的应用 PPT课件
10 10
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”
二字．
例4 解
Ey Ey 求 y 4 3 x 的弹性函数 及 Ex Ex
Ey x 3x y , y 3, Ex y 4 3x
．
x2
Ey Ex
x2
3 2 0.6． 4 3 2
2、需求弹性 格P的函数：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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Ey x 我们称它为y f ( x)的弹性函数， y 仍为x的函数， Ex y
Ey 当x x0 时， Ex Ef ( x0 ) x0 f ( x0 ) ． Ex f ( x0 )
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”
二字．
例4 解
Ey Ey 求 y 4 3 x 的弹性函数 及 Ex Ex
Ey x 3x y , y 3, Ex y 4 3x
．
x2
Ey Ex
x2
3 2 0.6． 4 3 2
2、需求弹性 格P的函数：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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Ey x 我们称它为y f ( x)的弹性函数， y 仍为x的函数， Ex y
Ey 当x x0 时， Ex Ef ( x0 ) x0 f ( x0 ) ． Ex f ( x0 )
导数在经济学中的简单应用.ppt
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q)
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4ຫໍສະໝຸດ Q30Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
11/14/2019
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
11/14/2019
9
二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
12
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
11/14/2019
13
(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
总收益： R(Q)
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4ຫໍສະໝຸດ Q30Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
11/14/2019
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
11/14/2019
9
二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
12
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
11/14/2019
13
(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
感谢您的观看
汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
导数在经济分析中的应用举例教学课件ppt
03
高阶导数的经济学意义
高阶导数可以用来描述一个函数的变化率，从而在经济学中 可以用来分析成本、收益、利润等变量的变化率。但是，高 阶导数的解释和应用相对复杂，需要一定的数学基础和专业 知识。
高阶导数的计算困难
高阶导数的计算涉及到多次求导，需要一定的计算能力和技 术。同时，对于非线性函数，高阶导数的计算可能更加复杂 和困难。
导数在经济分析中的未来发展
导数与其他经济理论的结合
未来可以将导数与其他经济理论进行结合，例如与博弈 论、产业组织理论等结合，从而更好地解释和分析经济 现象和问题。
导数的应用范围拓展
随着数学和计算机技术的发展，导数的应用范围可能会 进一步拓展。例如，可以利用计算机程序实现导数的计 算和分析，从而更好地服务于经济分析和决策。
THANKS
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导数与经济增长的研究
总结词
导数可以用于研究经济增长的速度和趋势，为政策制定者提供参考依据。
详细描述
经济增长是一个国家发展的重要指标，而其增长速度和趋势往往受到多种因素的影响。通过导数分析，我们可 以研究经济增长的变化率及其影响因素，为政策制定者提供参考依据。例如，通过求导可以分析一个国家的 GDP增长速度是上升还是下降，从而制定相应的经济政策。
04
导数在经济分析中的实证研究
导数与经济增长的实证研究
导数与经济增长动态
利用导数分析经济增长的动态变化，探讨导数对经济产出的影响。
导数对经济增长趋势的预测
通过导数的计算，对经济增长的趋势进行预测和分析。
导数与消费关系的实证研究
导数与消费倾向的关系
研究导数与消费倾向之间的关系，探讨导 数对消费的影响。
导数与劳动力市场的研究
导数在经济学中应用课件
对销量的变化率。
6
3.边际利润
2024/9/23
设 L( x) 是利润函数，则由总成本、总收 入和总利润之间的关系，显然可得
L(x) R(x) C(x) 两边求导得
L'(x) R'(x) C'(x) L'(x) 称之为边际利润函数。
边际利润的经济意义: 每增加一个单位的销 量所增加的利润。即边际利润为总利润对销量 的变化率。
2024/9/23
§4.4 导数概念在经济学中的应用
一、边际与边际分析 二、弹性与弹性分析
1
一、边际与边际分析
2024/9/23
边际概念是经济学中的一个重要概念，通 常指经济变量的变化率. 利用导数研究经济 变量的边际变化的方法，即边际分析法，是 经济理论中的一个重要分析方法.
1.边际成本 2.边际收入 3.边际利润
此时降价将使总收益减少，提价将使总收益
增加．
当 p 5 时 p 1,为单位弹性，说明当 p 5
时，需求变动的幅度与价格变动的幅度相同，
即价格上涨 1%，需求量也减少 1%； 此时提
价或降价对总收益没有明显影响．
20
2024/9/23
解 当 p 6 时， p 1.2 1，为高弹性，说明 p 6 时，需求变动的幅度大于价格变动的幅 度，即价格上涨 1%，需求量将减少 1.2%；此 时降价将使总收益增加，提价将使总收益减 少．
lim
x0
C x
lim C(x
x0
x) x
C(x)
存在，则称此极限为产量为 x的边际成本，即
C'(x)称之为边际成本函数。 即边际成本是总
成本函数关于产量的导数。
边际成本的经济意义为: 在一定产量 的基 础上，再生产1单位产品应增加的总成本.即 总成本对产量的变化率.
第四章 导数的应用 《经济数学》PPT课件
4.3.1
函数的极值
1) 极值的定义 ➢ 如图所示,函数f(x)有两个极大值f(x2),f(x4),三个极小值
f(x1),f(x3),f(x5),但这并不意味着f(x2)或f(x1)是函数f(x)在定义 域中的最大值或最小值,而只是对xi附近局部范围来说的,如图42所示的函数f(x),其极小值f(x5)甚至比极大值f(x2)大.
的灵敏程度,这就是经济量的弹性.一般来说,商品的需求量对市 场价格的反应是很灵敏的,反映当商品价格变动时需求量变动的 强弱程度的量就是需求弹性. • 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格,记该商品在点P0处的 需求弹性或需求弹性系数为: 记需求弹性函数为: • 在经济上表示,当产品的价格为P时,价格变动1%,需求量将变化 η%.
PART
04
4.5
导数在经济中的应用
4.5.1 导数的概念在经济中的应用
1) 边际分析 ➢ 在第1章中,我们介绍了几个经济中常用的函数: • 成本函数C(Q):给出生产Q单位产品的总成本. • 收益函数R(Q):给出销售Q单位产品的总收益. • 利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q):给出生产Q单位产品并全部销售出去后的总利润. ➢ 这三个函数中的自变量Q只能取非负整数,但对现代企业而言,产品的生产、
一般地,函数在给定的区间上的最大值与最小值可能在区间内部 的点处取得,也可能在区间的端点处取得.如果函数的最大值与最 小值是在区间内部的点处取得,那么这个最大值(或最小值)一定 也是极大值(或极小值).因此,对于在给定区间上的函数,可直接求 出极值可疑点(驻点和导数不存在的点)及区间端点处的函数值, 比较这些数值的大小,即可求出函数的最大值与最小值.
4.3.2 函数的最大(小)值
在第2章中我们曾经指出,闭区间上的连续函数一定存在最大值 和最小值.与极值概念不同的是,极值是一个局部性的概念,而最 大值(或最小值)是全局性的概念.最大值(或最小值)是函数在所 考察的区间内全部函数值中的最大者(或最小者),而极值只是函 数在极值点的某个邻域内的最大值或最小值.
导数在经济学中应用34页PPT
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
导数在经济学中应用
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
导数与微分在经济学中的应用
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（２） 由Q 900 10P， 由Q 900 10P
故收入函数为
R(Q )
P Q
(90
Q
)Q
90Q
Q2
10
10
因此，利润函数为
L(Q ) R(Q ) C(Q )
(90Q
Q
2
)
(20Q
6000)
Q
2
70Q
6000
10
10
故边际利润函数为
L(Q ) Q
100
平均成本为 C(500) 14100 28.2 （元）
500
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（2）(Q Q
)
Q
100
20
1600
Q
C
(Q
)
1 100
1600
Q2
令C(Q ) 0，因Q >0，故得唯一驻点Q 400.
又C(400)
3200
Q3
0，故Q
ER R(P) P R(P) 1
EP
R(P) f (P)
P 5000时， (5000) 2
3
ER
1 0.33.
EP P5000 3
结果表明，当价格 P 5000时，若价格上涨1%,
总收益将增加0.33%.
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(4) P 6000时，
(6000) (80 P ) P
其经济意义是：当日产量为500件时，每增产(或减 产)1件产品，将增加(或减少)成本30元
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在例1中，已经求得当日产量为400件时，平均成本 最低，故相应产量的边际成本为
C(400) 400 20 28 （元）
（２） 由Q 900 10P， 由Q 900 10P
故收入函数为
R(Q )
P Q
(90
Q
)Q
90Q
Q2
10
10
因此，利润函数为
L(Q ) R(Q ) C(Q )
(90Q
Q
2
)
(20Q
6000)
Q
2
70Q
6000
10
10
故边际利润函数为
L(Q ) Q
100
平均成本为 C(500) 14100 28.2 （元）
500
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（2）(Q Q
)
Q
100
20
1600
Q
C
(Q
)
1 100
1600
Q2
令C(Q ) 0，因Q >0，故得唯一驻点Q 400.
又C(400)
3200
Q3
0，故Q
ER R(P) P R(P) 1
EP
R(P) f (P)
P 5000时， (5000) 2
3
ER
1 0.33.
EP P5000 3
结果表明，当价格 P 5000时，若价格上涨1%,
总收益将增加0.33%.
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(4) P 6000时，
(6000) (80 P ) P
其经济意义是：当日产量为500件时，每增产(或减 产)1件产品，将增加(或减少)成本30元
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在例1中，已经求得当日产量为400件时，平均成本 最低，故相应产量的边际成本为
C(400) 400 20 28 （元）
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Ep 其意义是： 当价格从p上升1%时，需求量从D(p)减少第3E章EDp导个数百与微分分数
例5 (收益弹性)
如果R=R(p)是收益函数，则
R=pD(p)
R( p) D( p) pD(p)=D(p)-D(p) ED D(p)(1- ED )
Ep
Ep
当 ED >1时，R(p)<0,从而随价格的上升收益会减少; Ep
x y
dy dx
x y
fx0点可导，
在x0的弹性
Ey Ex
就存在。
x0
由弹性定义得：
当 x 1%时,Ey
x0
Ex
x x0
y ，(%) y0
（实际含义）
即当自变量x在点x 增加1%时， 0
因变量y在y =f(x )近似地改变 Ey 个百分数
第3章 导数与微分
例6，设某商品的市场需求函数为 D 15 p
求 1) ED
3
Ep
2) ED Ep
p9 ,并说明其实际意义
3）ED 1时的价格，并说明这是的收益情况。 Ep
解：1)D(p)=-
1 3
,
ED Ep
p D
D(
p)
1 3
(15
p
p)
p 45
p
3
2) ED Ep
第3章 导E数p与微分
例4 (需求价格弹性) 设人们对某商品的需求量
为D=D(P)，其价格为p，则人们对该商品的需求价格弹性
为
Ep
ED Ep
p D
dD dp
p D
D( p).
由于D一般是p单调递减函数，D(p) ， 当p>0时，D<0， D(p)<0 经济学中习惯于正数，添加“”后可使 ED 0
§3.6 导数与微分在经济学 中的简单应用
在经济学中，通常把代表成本C、收益R、利润L等 经济变量称为总函数，其对应的导数就称之为总函 数的边际函数.
第3章 导数与微分
例1 (边际成本) 设厂商的成本函数为
C=C(q)(q是产量)，
则边际成本为 MC C'(q). 当∆q较小时有 C(q q) C(q) C'(q)q.
但在经济学中，常常需要知道
当x在x 改变一个百分数时即 x =1%
0
y
x0
y在y 改变多少个百分数 y =?，
0
y0
即,要求 y0 x x0
第3章 导数与微分
弹性定义：
x 设y=f(x)是一个经济函数，x在 x0的改变量
相应的在y0 f (x0)处的改变量为
y f (x0 x) f (x0)
在任意一点 x的弹性记为 Ey ， Ex
y
如果极限,lim x0
y0 x
,
存在，
Ey 作为x的函数称为y f (x)弹性函数 Ex
x0
则称此极限为y=f(x)在x0点的弹性，记为
Ey Ex
x x0
第3章 导数与微分
y
, Ey Ex
lim x0
y x
x y lim
y x0 x
Ep
Ep 45 p
2
这时,R(P)=0
R(P) pD( p) 15 p p2 .(一元二次函数求最值) 3
当p
对称轴时，即p=-
15 2( 1)
=
45 2
3
对应的函数值最大R(P) 675 4
第3章 导数与微分
类似地，有 R(q 1) R(q) R'(q).
因此，边际成本MR表示销量为q时销售1个单位 产品所增加的收入.
第3章 导数与微分
例3 (边际利润) 在例1和例2的记号下，厂商的
利润函数为 则边际利润为
L L(q) R(q) C(q)，
ML L(q) R(q) C(q).
p9
9 45
9
1 4
0.25
当价格p从9上升1%时，该商品需求量D(9)=12台基础上下降 ED =0.25% Ep
ED =0.25%<1， 当价格上涨时收益能够增加。 Ep
第3章 导数与微分
3）ED 1时，ED p 1 p 45 p p 45 22.5
0
0
Ex xx0
第3章 导数与微分
例3供给价格弹性
• 设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中 p是商品价格，S是市场的供给量，
•则
ES = p S(p) Ep s
由于S一般随p的上升而增加，S(p) ， 当p>0时，s>0， S(p)>0 故 ES 0
Ep 其意义是： 当价格从p上升1%时，市场供给量从S(p)增加 ES 个百分数
因此边际利润 ML L'(q) 表示销量为q时，销售1 个单位产品所增加的利润.
第3章 导数与微分
弹性分析
x 设y=f(x)是一个经济函数，x在 x0 的改变量
相应的在y0 f (x0)处的改变量为
y f (x0 x) f (x0)
导数y
x x0
f (x0)
y lim x0 x
在经济分析中把产量增加一个单位认为是微小改
变，从而有
C(q 1) C(q) C'(q).
因此，边际成本MC表示产量为q时生产1个单位产品
所花费的成本.
第3章 导数与微分
例2 (边际收益) 设厂商的需求函数为p= p(q)
(q是产量，p为产品的销售价格). 则厂商的收益为 R R(q) q p(q). 边际收益为 MR＝R' (q).
当 ED <1时，R(p)>0,从而随价格的上升收益会增加； Ep
当 ED =1时，R(p)=0,收益相对于价格处于临界状态。
Ep
第3章 导数与微分
例5、需求收入弹性
• 设人均收入为M，对该种商品的需求量为 Q，则Q=Q(M)为单调增加函数，其弹性 EQ = M Q(M) EM Q 称为需求收入弹性
例5 (收益弹性)
如果R=R(p)是收益函数，则
R=pD(p)
R( p) D( p) pD(p)=D(p)-D(p) ED D(p)(1- ED )
Ep
Ep
当 ED >1时，R(p)<0,从而随价格的上升收益会减少; Ep
x y
dy dx
x y
fx0点可导，
在x0的弹性
Ey Ex
就存在。
x0
由弹性定义得：
当 x 1%时,Ey
x0
Ex
x x0
y ，(%) y0
（实际含义）
即当自变量x在点x 增加1%时， 0
因变量y在y =f(x )近似地改变 Ey 个百分数
第3章 导数与微分
例6，设某商品的市场需求函数为 D 15 p
求 1) ED
3
Ep
2) ED Ep
p9 ,并说明其实际意义
3）ED 1时的价格，并说明这是的收益情况。 Ep
解：1)D(p)=-
1 3
,
ED Ep
p D
D(
p)
1 3
(15
p
p)
p 45
p
3
2) ED Ep
第3章 导E数p与微分
例4 (需求价格弹性) 设人们对某商品的需求量
为D=D(P)，其价格为p，则人们对该商品的需求价格弹性
为
Ep
ED Ep
p D
dD dp
p D
D( p).
由于D一般是p单调递减函数，D(p) ， 当p>0时，D<0， D(p)<0 经济学中习惯于正数，添加“”后可使 ED 0
§3.6 导数与微分在经济学 中的简单应用
在经济学中，通常把代表成本C、收益R、利润L等 经济变量称为总函数，其对应的导数就称之为总函 数的边际函数.
第3章 导数与微分
例1 (边际成本) 设厂商的成本函数为
C=C(q)(q是产量)，
则边际成本为 MC C'(q). 当∆q较小时有 C(q q) C(q) C'(q)q.
但在经济学中，常常需要知道
当x在x 改变一个百分数时即 x =1%
0
y
x0
y在y 改变多少个百分数 y =?，
0
y0
即,要求 y0 x x0
第3章 导数与微分
弹性定义：
x 设y=f(x)是一个经济函数，x在 x0的改变量
相应的在y0 f (x0)处的改变量为
y f (x0 x) f (x0)
在任意一点 x的弹性记为 Ey ， Ex
y
如果极限,lim x0
y0 x
,
存在，
Ey 作为x的函数称为y f (x)弹性函数 Ex
x0
则称此极限为y=f(x)在x0点的弹性，记为
Ey Ex
x x0
第3章 导数与微分
y
, Ey Ex
lim x0
y x
x y lim
y x0 x
Ep
Ep 45 p
2
这时,R(P)=0
R(P) pD( p) 15 p p2 .(一元二次函数求最值) 3
当p
对称轴时，即p=-
15 2( 1)
=
45 2
3
对应的函数值最大R(P) 675 4
第3章 导数与微分
类似地，有 R(q 1) R(q) R'(q).
因此，边际成本MR表示销量为q时销售1个单位 产品所增加的收入.
第3章 导数与微分
例3 (边际利润) 在例1和例2的记号下，厂商的
利润函数为 则边际利润为
L L(q) R(q) C(q)，
ML L(q) R(q) C(q).
p9
9 45
9
1 4
0.25
当价格p从9上升1%时，该商品需求量D(9)=12台基础上下降 ED =0.25% Ep
ED =0.25%<1， 当价格上涨时收益能够增加。 Ep
第3章 导数与微分
3）ED 1时，ED p 1 p 45 p p 45 22.5
0
0
Ex xx0
第3章 导数与微分
例3供给价格弹性
• 设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中 p是商品价格，S是市场的供给量，
•则
ES = p S(p) Ep s
由于S一般随p的上升而增加，S(p) ， 当p>0时，s>0， S(p)>0 故 ES 0
Ep 其意义是： 当价格从p上升1%时，市场供给量从S(p)增加 ES 个百分数
因此边际利润 ML L'(q) 表示销量为q时，销售1 个单位产品所增加的利润.
第3章 导数与微分
弹性分析
x 设y=f(x)是一个经济函数，x在 x0 的改变量
相应的在y0 f (x0)处的改变量为
y f (x0 x) f (x0)
导数y
x x0
f (x0)
y lim x0 x
在经济分析中把产量增加一个单位认为是微小改
变，从而有
C(q 1) C(q) C'(q).
因此，边际成本MC表示产量为q时生产1个单位产品
所花费的成本.
第3章 导数与微分
例2 (边际收益) 设厂商的需求函数为p= p(q)
(q是产量，p为产品的销售价格). 则厂商的收益为 R R(q) q p(q). 边际收益为 MR＝R' (q).
当 ED <1时，R(p)>0,从而随价格的上升收益会增加； Ep
当 ED =1时，R(p)=0,收益相对于价格处于临界状态。
Ep
第3章 导数与微分
例5、需求收入弹性
• 设人均收入为M，对该种商品的需求量为 Q，则Q=Q(M)为单调增加函数，其弹性 EQ = M Q(M) EM Q 称为需求收入弹性