2011高考数学总复习课件85直线、平面垂直的判定及性质

4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、
β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( D)
A.n⊥βBBiblioteka n∥β，或n βC.n⊥α
D.n∥α,或nα
解析 ∵n与β的位置关系各种可能性都有，
∴A、B都不对.当nα时，作n′∥n,且n′∩m
=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ=l,则有m⊥l,
又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α;当nα
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC， △PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 5 . (1)设M是PC上的一点， 证明：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱锥P—ABCD的体积. 思维启迪 (1)因为两平面垂直与M点位置无 关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=45 , ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， BD面ABCD， ∴BD⊥面PAD. 又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD. (2)解 过P作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD， ∴PO⊥面ABCD， 即PO为四棱锥P—ABCD的高. 又△PAD是边长为4的等边三角形， ∴PO=2 3.
知能迁移1 Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB= SC，D为斜边AC中点.
（1）求证：SD⊥面ABC； （2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC.
证明 （1）如图所示，取AB中点E， 连结SE，DE， 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、 AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB, ∵SA=SB， ∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE=E， ∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.
(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC. 又∵M为AB的中点，∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM. 又N为PC的中点，∴MN⊥PC. 由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C, ∴MN⊥平面PCD. 探究提高 垂直问题的证明，其一般规律是“由已 知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已 知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结 论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综 合的思路结合起来.
是相交直线或异面直线.故②③错，选C.
题型分类 深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
【例1】 如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面, M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA=45°. 求证：MN⊥平面PCD. 思维启迪 (1)因M为AB中点,只要证△ANB 为等 腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.
时，显然成立.故C不对，D正确.
5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、
γ表示三个不同的平面.
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C) A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出 △PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可 得MN⊥PC.
证明 （1）连接AC，AN，BN， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，N为PC中点， AN 1PC.
2 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， BN 1PC.∴AN=BN， ∴△AB2N为等腰三角形， 又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB， 又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都
平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这
两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的
交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是( )
线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角
的平面角或得到点到面的距离等.
知能迁移2 在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等 腰
三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于 M,若AM=MA1,求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 证明 (1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB1C1C， 面ABC∩面BB1C1C=BC， ∴AD⊥侧面BB1C1C. ∵CC1 面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，
∴四边形ABCD为梯形.
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为48 8 5,
此即为梯形的高.
45 5
S四边A形BCD 2
54 2
58 524. 5
VPABCD 13242 3163.
探究提高 当两个平面垂直时，常作的辅助线是
在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为
在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点， ∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC. （2）若AB=BC，则BD⊥AC， 由（1）可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC， ∴SD⊥BD， ∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.
题型二 面面垂直的判定与性质 【例2】 如图所示，在四棱锥P—ABCD
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.②和④
解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直 线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与 平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一 条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③ 不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它 们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④ 正确. 答案 D