反证法导学案
反证法导学案
编写：王长德审核：朱效利日期2012.3.2
一、学习目标
知识与技能：了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题。
过程与方法：理解并体会反证法的思想内涵。
情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。
二、学习重、难点
重点：反证法的证明步骤。
难点：运用反证法证题。
三、学习过程
（一）、课前思考
问题1
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
问题2
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的?
1
知识改变命运学习成就未来
（二）、课内探究
各小组根据上面的问题1与问题2的分析交流总结以下问题：
1、反证法的定义：
__________。
2、反证法的步骤：（1）先假设。
（2）然后通过，推出与、、
或，说明假设不成立，从而得到原结论正确。（三）、典型例题
例1 说出下面的反面的假设
（1）直线与圆只有一个交点。
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
（3）一个三角形中不能有两个钝角。
例2 试使用反证法证明下列结论
（1）证明线面平行的判断定理。
（2）证明2不是有理数。
2
知识改变命运学习成就未来
（四）、课堂检测
1、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行。
2、设p是质数，证明：p是无理数
四、课堂小结：过这节课的学习你有哪些收获与体会？
五、课后练习
试用反证法证明下列结论
1、求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也
不等。
3
知识改变命运学习成就未来
2、已知⊙O，直径AB与弦CD相交于E，CE≠ED试证明直径AB一
定不垂直于弦CD。
3.用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。
4
知识改变命运学习成就未来
高中数学导学案
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件 学习探究（由学生完成） 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关 系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向 量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1， 试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ， 那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在 对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列 表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成） 练1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
反证法导学案
反证法导学案 编写：王长德审核：朱效利日期2012.3.2 一、学习目标 知识与技能：了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题。 过程与方法：理解并体会反证法的思想内涵。 情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。 二、学习重、难点 重点：反证法的证明步骤。 难点：运用反证法证题。 三、学习过程 （一）、课前思考 问题1 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动… 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 问题2 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的? 1 知识改变命运学习成就未来
（二）、课内探究 各小组根据上面的问题1与问题2的分析交流总结以下问题： 1、反证法的定义： __________。 2、反证法的步骤：（1）先假设。 （2）然后通过，推出与、、 或，说明假设不成立，从而得到原结论正确。（三）、典型例题 例1 说出下面的反面的假设 （1）直线与圆只有一个交点。 （2）垂直于同一条直线的两条直线平行。 （3）一个三角形中不能有两个钝角。 例2 试使用反证法证明下列结论 （1）证明线面平行的判断定理。 （2）证明2不是有理数。 2 知识改变命运学习成就未来
（四）、课堂检测 1、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行。 2、设p是质数，证明：p是无理数 四、课堂小结：过这节课的学习你有哪些收获与体会？ 五、课后练习 试用反证法证明下列结论 1、求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也 不等。 3 知识改变命运学习成就未来
高中数学选修1-2学案：2.2.2 反证法
2.2.2 反证法 [学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 知识点一间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明. 常见的间接证明的方法是________. 知识点二反证法 1.反证法定义 假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下： (2)反证法主要适用于什么情形？
题型一用反证法证明结论否定的问题 例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分. 反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明. 跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数. 题型二用反证法证明唯一性问题 例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.
反思与感悟 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P . 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条. 题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成 立.
高中数学学案制作格式标准
学案样板模式 1.页面设置：纸张B5长25.7，宽18.2 ，页边距上下均是 2.54 ， 左右均是3.17 2.设置页眉、页脚如下面例子，请根据内容写清楚归属第几册书 3.注意居中插入页码 第一章 集合与函数
新课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【课标要求】 【知识要点】 【情景设置】 【导学求思】 【范例剖析】 (小标题：五号宋体加粗) 【双基测评】 (标题下的内容：五号宋体) 【能力培养】 【课后作业】 习题课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【复习目标】 【方法介绍】 (小标题：五号宋体加粗) 【典型例题】 (标题下的内容：五号宋体) 【巩固练习】 复习课按下列格式规范: 1.2.1排列(小四宋体加粗居中)【知识系统】 【经典例题】(小标题：五号宋体加粗) 【运用导练】 (标题下的内容：五号宋体) 【自我反思】
第一章集合与函数
1.1.1集合的含义与表示 【课标要求】 1.集合语言是现代数学的基本语言。高中数学课程将集合作为一种语言来学习。通过本模块的学习，使学生学会用最基本的集合语言表示有关对象，并能在自然语言、图型语言、集合语言之间进行转换。体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，发展运用集合语言进行交流的能力。 2.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 3.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 【知识要点】 元素：一般的，我们把____________统称为元素； 集合：把一些元素组成的___-叫做集合。 集合的性质：_______、________、_______ 元素与集合间的关系： 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：________； 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:__________ 4常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作____； 正整数集，记作_______； 整数集，记作________； 有理数集，记作________； 实数集，记作_________。 集合的表示法 列举法：把集合中的元素_________，并用花括号{ }括起来表示集合的方法。描述法：用集合所含元素的_________表示集合的方法。 【情景设置】 在小学和初中时，我们已经接触过一些集合，比如说，到定点的距离等于定长的点的集合，自然数的集合等，你还能说说我们还接触过哪些集合吗？那集合的含义是什么呢？请同学们自己阅读教材第二页的内容。 【导学求思】 1、你能从教材给出的8个例子中自己总结出集合和元素的概念吗？ 2、那我们来判断一下下列情况能不能构成集合 (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； (3)非负奇数； (4)我校高一全体学生； (5)著名的数学家； 3、同学们，我们来思考一下，如果我想描述张三同学是不是我班的一员，
人教版数学高二A版选修4-5自我小测2.3反证法与放缩法
自我小测 1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1) 2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B 3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( ) A ．3a ＝3b B ．3a ＜3b C ．3a ＝3b 且3a ＜3b D ．3a ＝3b 或3a ＜3b 4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)， 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12 .那么它的假设应该是__________． 7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件． 8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 ，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ????1＋1b n (其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13 log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．
反证法导学案
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间： 3反证法 【教学目标】 1. 结合已学过的实例，了解反证法是间接证明的一种基本方法。 2.了解反证法的思考过程与特点，能正确运用反证法进行数学证明。 3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。 【重点、难点】 重点：反证法。 难点：反证法的应用。 【学法指导】 1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论； 3预习p13-p15 【自主探究】不看不讲 1.在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一。我们可 先假设---------------， 在这个前提下，若推出的结果与------、------、------相矛盾，或与命题中的----------相矛盾，或与假设相------、从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定--------------成立，这种证明方法叫作反证法。 2.反证法的整体步骤是： （1）作出-------------的假设；（2）进行推理，导出------------；（3）否定-----，肯定--------。 3.若证明命题“质数有无限多个”，适宜的证法是（） （A）综合法（B）分析法（C）反证法（D）逼近法 4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是 （A）假设至少有一个钝角（B）假设至少有两个钝角（C）假设没有一个钝角（D）假设没有一个钝角或至少有两个钝角。 5、已知 1 , 0< (新课程)高中数学《1.1.1 正弦定理》导学案 新人教A版必修5
1.1.1 正弦定理 班级： 组名： 姓名： 设计人： 审核人： 领导审批： 【学习目标】 1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理，初步学会由特殊到一般的思想方法发现数学规律。（难点） 2.掌握正弦定理，并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。（重点） 【研讨互动 问题生成】 1. 正弦定理的概念； 2. 什么是解三角形； 3. 正弦定理适用于哪两种情况； 【合作探究 问题解决】 1.在ABC △中，已知3b =，c =30B ∠=，解此三角形。 2.在ABC △中，已知∠A=4530B ∠=，C=10,解此三角形。 3．在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A,B 为锐角，sin A sin B = 10 （1） 求A+B 的值： （2） 若-1，求a,b,c 得值 【点睛师例 巩固提高】 1. 在ABC △中，已知222 sin sin sin A B C +=，求证：ABC △为直角三角形 2． 已知ABC △中，60A ∠=，45B ∠=，且三角形一边的长为m ，解此三角
【要点归纳 反思总结】 1． 正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，表示形式为 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 是三角形外接圆的半径。 2． 正弦定理的应用 （1）如果已知三角形的任意两角与一边，由三角形的内角和定理可以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。 （2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边和角。 【多元评价】 自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】 1．在ABC △中，若2sin sin cos 2 A C =，则ABC △是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ． 等腰直角三角形 2. 正弦定理适用的范围是（ ） Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．任意三角形 3. 在ABC △中，已知30B =，b =，150c =，那么这个三角形是（ ） Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 4. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 5. 在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值 （ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 6.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B = ==，则a 等于 （ ） A B ．2 C D 7. ．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于 （ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2
§3.2反证法和放缩法
§3.2反证法和放缩法 ☆学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ??? ?? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1 已知a +b +c > 0，a b +bc +c a >0，a bc >0，求证：a ,b ,c >0 . 例2 设233=+b a ，求证：2≤+b a 。 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有： 10．已知2 22a y x =+，可设 ， ； 20．已知12 2≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例3 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） .A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞ 例4 已知22 1x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(， ②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+-
华师大版八年级数学上册导学案含答案-14.1 3.反证法
3.反证法 学习目标： 1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤（重点）； 2.学会运用反证法证明有关命题（难点）. 自主学习 一、知识链接 1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________法. 2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？ 答：第一步：____________________；第二步：_______________；第三步：_________________. 二、新知预习 1.除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法. 2.在证明一个命题时,有时先假设______的反面是正确的；然后通过_________，推出与基本 事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设___________，进而得出原结论 正确.这种证明方法叫做_______法. 合作探究 一、探究过程 探究点：反证法 操作画出如下三角形，计算较短两边的长的平方的和，与较长边的平方，它们是否相等？ （1）1，1.5，2.4；（2）1.5，2，2.5；（3）1.5，2.5，3. 猜想当一个三角形的三边a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角 三角形. 问题你会如何证明这个猜想？ 【要点归纳】反证法步骤：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事 实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. . 已知： . 求证： . 证明：假设，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有条直线与直 线c平行，这与“过直线外一点”矛盾. ∴假设不成立. ∴ . 【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出 与已知公理或定理之间的矛盾.
高中数学习题课“导学案”的环节-2019年文档资料
高中数学习题课“导学案”的环节 随着新课改的实施，“导学案”这种高效的教学方式备受大家青睐。导学案在高中数学课堂发挥着重要的作用，习题课是高中数学最重要的课型之一。“习题课”上应用导学案可以提高学生学习高中数学的兴趣和解题能力，也有利于学生自主学习能力的提高。如何编制高中数学习题课导学案就成了重中之重。我认为高中数学习题课“导学案”的编写应该包含以下环节。 一、学习目标 学习目标是学生在学习过程中预期要达到的目标或标准。教师需根据高中数学新课程标准，结合学生的现有的认知水平和学习情况制定学习目标。具体要求为：（1）目标内容要全面，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三维目标缺一不可。（2）目标要有一定难度，不可过高，也不可过低。要让学生觉得通过自己努力就可以达到本节课的要求。（3）目标要具体可操作，将学习目标落实到导学案具体题目中，让学生通过每一个具体的学习任务循序渐进地实现学习目标。 二、重点难点 学习重点是教师根据教学内容，认为学生通过课堂学习必须掌握的内容。教师根据高中数学新课程标准以及教材确定重点，在这个过程中教师也要充分了解学生的实际情况，以免确定的重点过难。学习难点是大部分学生学习吃力的地方，确定教学难点
时，不仅要根据新课标，还要结合以往经验和学生实际情况。在导学案中突出学习重难点，可以让学生在课堂教学中有的放矢地听课，促进学生更高效地学习。 三、知识回顾 习题课的作用是巩固基础知识，帮助学生查漏补缺，加深学生对知识、方法、数学思想的认识，让学生“有备而来”，提高学习效率。在习题课导学案中知识回顾是必不可少的环节。在新授巩固习题课中，回顾的知识要起到承上启下的作用，既温习了已学过的知识，也要为新知识的学习做好铺垫。章节总结习题课，不仅要让学生回顾每一个零散的知识点，还要帮助学生形成知识网络，梳理出一个知识框图。专题训练习题课的知识回顾不能拘泥于知识的顺序，要有层次性，需要加入本节知识的考点分布，让学生了解所学知识在高考中的地位。 四、学习检测 为复习本节课的定义、概念、性质、公式、方法等，根据学情，编制简单题目引发学生再现这些知识，进而牢记这些知识。题目的难度要适中，以简单题为主，题量一般是5个选择题或填空题，覆盖面要广，不出现重复知识。 五、典例分析 这是导学案的重要环节，也是课堂教学的重要环节。导学案不是练习册，习题课也不是练习课，这些不同就是体现在典例分析这一环节中。高中数学习题课是教师通过引导学生解决问题，
2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法导学案新人教A版
2.3 反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立． (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． 3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．
常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩． 例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1 n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)． 以上n ∈N，且n >1. 【例1】 若a 3＋b 3 ＝2，求证：a ＋b ≤2. 【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1. 【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12 a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23 a 的数． 【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
人教版数学高二选修4-5导学案三反证法与放缩法
学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式． 知识点一反证法 思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 梳理反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行________________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明________不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明____________________，从而断定原命题成立． 知识点二放缩法 思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？ 梳理放缩法 (1)放缩法证明的定义
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值______或________，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． (2)放缩法的理论依据 ①不等式的传递性． ②等量加(减)不等量为____________． ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定性”结论 例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b ，证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， 求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能同时大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；
高中数学人教B版选修1-2学案：2.2.2 反证法
2.2.2 反证法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.(重点、难点) [基础·初探] 教材整理反证法 阅读教材P39～P40的内容，完成下列问题. 1.反证法 一般地，由证明p?q转向证明﹁q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法，叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾主要是指： (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.() (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.() (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.() 【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法. (2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理. (3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数 列. 【精彩点拨】 第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求 解.第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明. 【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ???a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2). (2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝ b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，
人教版A版高中数学必修二1.2.1中心投影和平行投影导学案设计(无答案)
学科组：高一数学组主备人：级段：高一学期时间：2020.3 《中心投影和平行投影》导学案（学习单） 一、创设情境，引入新课 1、提问：地上什么东西捡不起来？ 观看视频影子舞。 2、提问：同学们在感受这些形象逼真的图形时，是否思考一下，这些图形是怎样形成的呢？它们形成的原理又是什么呢？这些原理还有哪些重要用途呢？ 3、导入：这就是我们本节课所要研究的问题——中心投影和平行投影。 4、思维导图展现教学目标及重难点 二、知识生成、示例讲解 （一）、投影的概念 投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。 2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。 3、中心投影中物体与光源的距离产生的影子大小有什么关系？ 特点：中心投影的投影大小与物体和投影面之间的有关. 3、中心投影的应用 空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线． 中心投影后的图形与原图形相比，虽然改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时，经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图。【活动一】观察与思考 1、中心投影有什么特点？ 二）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影分为斜投影与正投影。 1、正投影：投射线于投影面 2、斜投影：投射线于投影面 3、正投影与斜投影的应用 正投影，能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．斜投影，在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种辅助图样． 讲解原则：配以多媒体动画，让学生思考，抽象或概括出相应定义，教师加以修正。 【活动二】思考1：平行投影有哪些的特点？ 结论：平行投影中，与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的完全相同，与物体和投影面之间的无关。 思考2：平行投影的到的影子总与实际图形形状相同吗？中心投影呢？ 结论：物体平行于投影面，形状、大小；物体倾斜于投影面形状、大小 三、升华提炼 【活动三】如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同的位置： （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面。三种情况的正投影各是什么形状？
2014秋冀教版数学八上17.5《反证法》word学案
17.5反证法导学案 【学习目标】 知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【学习重难点】 学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。 学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 【学习过程】 一、学前准备 1、复习回顾 两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只 有条直线与已知直线垂直。 2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。他运用了怎样的推理方法? 答：。 3、自学课本162页内容： （1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法. 反证法证题的基本步骤： 1．假设；（反设） 2．从这个假设和出发，经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果；（归缪）3．由，判定假设不成立，从而说明是正确的.（结论） 二、自学、合作探究 1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠∠ C 证明：假设，则（） 这与矛盾．假设不成立． ∴． 例2、用反证法证明平行线的性质定理一：。
高中数学《几类不同增长的函数模型》导学案
3．2.1几类不同增长的函数模型 函数模型 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝xα(α>0)都是□1增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)的□2增长速度越来越快，会超过□3并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的□4增长速度则会越来越慢． (3)对于函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝xα(α>0)，存在一个x0，使得当x>x0时，有□5a x>xα>log a x. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．() (2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．() (3)能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案(1)×(2)√(3)√ 2．做一做 (1)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________． (2)(教材改编P98T1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关
系为________． (3)(教材改编P95例1)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________. (4)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势． 答案(1)减少3个单位(2)b
2019学年数学人教A版选修4-5优化复习：第二讲 三 反证法与放缩法
[课时作业] [A组基础巩固] 1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数() A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数． 答案：C 2．设x>0，y>0，A＝ x＋y 1＋x＋y ，B＝ x 1＋x ＋ y 1＋y ，则A与B的大小关系为() A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A1 D．M与1大小关系不定 解析：M是210项求和，M＝ 1 210＋ 1 210＋1 ＋ 1 210＋2 ＋…＋ 1 211－1 < 1 210＋ 1 210＋ 1 210＋…＋ 1 210＝
1，故选B. 答案：B 5．若f (x )＝? ????12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ? ????a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ? ?? ??2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A D ．H ≤G ≤A 解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2 ＝2ab a ＋b ， 又∵f (x )＝? ?? ??12x 为单调减函数， ∴f ? ????a ＋b 2≤f (ab )≤f ? ?? ??2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________． 答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥12 7．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b | ，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b | ＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b | ＝1. 答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2 ，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2 ＝M . ∴M 新冀教版八年级数学上册17.5反证法导学案 【学习目标】 知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【学习重难点】 学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。 学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 【学习过程】 一、学前准备 1、复习回顾 两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只 有条直线与已知直线垂直。 2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。他运用了怎样的推理方法? 答：。 3、自学课本162页内容： （1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法. 反证法证题的基本步骤： 1．假设；（反设） 2．从这个假设和出发，经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果；（归缪）3．由，判定假设不成立，从而说明是正确的.（结论） 二、自学、合作探究 1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠∠ C 证明：假设，则（） 这与矛盾．假设不成立． ∴． 例2、用反证法证明平行线的性质定理一：。新冀教版八年级数学上册17.5反证法导学案