东城2013-2014高二第一学期期末数学理科
东城2013-2014高二第一学期期末数学理科
东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设命题p ：2,2014x x ∃∈<R ，则p ⌝为（ ）A ．2,2014x x ∀∈≥R B ．2,2014x x ∀∈<R C ．2,2014x x ∃∈≥R D ．2,2014x x ∃∈>R 2．直线236x y -=在y 轴上的截距为（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-3.双曲线22144x y -=的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ． y =±C ．2y x =±D ．y x =±4．若图中直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则 ( )A ．1k <2k <3kB ．1k <3k <2kC ．3k <2k <1kD ．3k <1k < 2k5. 设0m >，则椭圆2244x y m +=的离心率是（ ）A ．12B ．2C ．2D ．与m 的取值有关6. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ） A ．4- B ．2- C ． 2 D ． 47.“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知l 表示一条直线，α，β表示两个不重合的平面，有以下三个语句：①l α⊥；②l ∥β；③βα⊥.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39.α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( ) A ．α，β都与平面γ垂直B ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β， m ∥β10.在正方体1111ABCD A B C D -中，与1BD 所在直线所成的角为90是（ ）A ．1AAB ．1BC C ．1ACD ．CD11.已知抛物线24y x =的准线与双曲线 2221(0)x y a a-=>交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则a 的值为（ ）A B C ．3 D ．512．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且M 到平面11ADD A 的 距离是M 到直线BC 距离的2倍，则动点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.将答案填在题中横线上.13．若直线3=0x y a ++过圆x y x y 22+-2+4=0的圆心，则a 的值为 ． 14．若直线(+1)2x m y m +=-与直线28mx y +=-互相垂直，则m 的值为 ．15．已知1F ，2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若△2ABF 的周长为8，则k 的值为 .16. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个 全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 ．17．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为 ．18．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是_____________．ABE 三、解答题：本大题共4小题,共34分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本题满分8分）如图，⊥DC 平面ABC ，DC EA //，12AB AC AE DC ==，，M 为BD 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面AEM ⊥平面BDC ．20. （本题满分9分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；(Ⅲ)已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程.21．（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，平面ABCD ⊥平面CDEF . (Ⅰ)求证：ED ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角D BE C --的大小．22．（本题满分9分）已知曲线C ：22123x y m m+=+-()R m ∈．（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设2m =，过点(0, 4)D 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，O 为坐标原点，若OMN △为直角三角形，求直线l 的斜率．_ C_ A东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分. 13. 1- 14. 23- 15. 2 16． 64317.18. 12(,)23三、解答题：本大题共4个小题，共34分. 19．（本题满分8分）证明：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连接MN ,AN ,在△BCD 中，M ，N 分别为BD ，BC 的中点，所以DC MN //，且DC MN 21=．而DC EA //，且DC EA 21=，所以MN EA //，MN EA =．所以EANM 是平行四边形．所以EM //AN ． …………………… 2分 又因为EM ⊄平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，所以EM //平面ABC ． …………………… 4分（Ⅱ）因为AC AB =，N 为BC 的中点，所以BC AN ⊥．因为⊥DC 平面ABC ，AN ⊂平面ABC ， 所以AN DC ⊥． 又C BC DC = ,所以⊥AN 平面BDC ． …………………… 6分 又因为EANM 是平行四边形， 所以EM AN //．所以⊥EM 平面BDC ． 因为⊂EM 平面AEM ,B所以平面AEM ⊥平面BDC ． …………………… 8分 20． （本题满分9分）解：（Ⅰ） 因为圆M 与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ，所以圆心在直线 2x =-上．由2,240x x y =-⎧⎨+-=⎩得2,1.x y =-⎧⎨=⎩即圆心M 的坐标为（-2,1)．半径r ==所以圆M 的方程为22(2)1)10x y ++-=（. …………………… 3分（Ⅱ）由C 坐标可知点C 在圆M 上，由CM k =13得切线的斜率为3-， 故过点C (1,2)的圆M 的切线方程为350x y +-=. …………………… 5分 (Ⅲ)设00(,),(,)Q x y P x y ， 因为ADQP 为平行四边形，所以其对角线互相平分，即0035,224.22x x y y -+-+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得002,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ …………………… 7分又P 在圆M 上，代入圆的方程得22(22)(41)10x y -++--=，即所求轨迹方程为22(5)10x y +-=，除去点1,8)-（和(3,4)-． …………………… 9分21．（本题满分8分）解：(Ⅰ)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，且平面ABCD 平面CDEF = CD ，又因为四边形CDEF 为正方形，所以ED CD ⊥.因为ED ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD . …………………4分 (Ⅱ)以D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B C E .所以平面BDE 的法向量为(1,1,0)AC =-. ………5分设平面BEC 的法向量为(,,)x y z =n . 因为)1,1,0(),0,0,1(-==，_y_x由0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x y z =⎧⎨-+=⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩ 令1=z ，则(0,1,1)=n . …………………6 分因为1cos ,.2||||AC AC AC ⋅<>==n n n 所以二面角D BE C --的大小为060. …………………8分22． （本题满分9分）（Ⅰ）若曲线C ：22123x y m m+=+-是焦点在x 轴上的椭圆，则有230m m +>->解得132m << ． -------------------2分 （Ⅱ）2m =时，曲线C 的方程为2214x y +=，C 为椭圆，由题意知，点(0,4)D 的直线l 的斜率存在，所以设l 的方程为4y kx =+，由22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=， -------------------4分 222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，当0∆>时，解得2154k >． 设, M N 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当MON ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为MON ∠为直角，所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k⨯+-+=++，解得k =-------------------6分 （ⅱ）当OMN ∠或ONM ∠为直角时，不妨设OMN ∠为直角，此时，1OM k k ⋅=-，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-①又221114x y +=②将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），将123y =代入①，得1x =所以114y k x -==-------------------8分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为和-------------------9分B。
2013-2014高二理科数学期末复习-----综合练习
2013-2014高二理科数学期末复习-----综合练习一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1．在△ABC 中，60A =︒，75B =︒，c =20，则边a 的长为( ) A．B．C．D．2．不等式(50)(60)0x x -->的解集是( ) A ．(,50)-∞B ．(60,)+∞C ．(50,60)D ．(,50)(60,)-∞+∞3．十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式121,1,2;, 3.n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩ 由此可计算出8F = ( ) A ．8B ．13C ．21D ．34 4．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长为( )A. 3 B ．2 C. 6D ．2 25．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =( ) A ．153B ．182C ．242D ．2736．关于双曲线22916144y x -=，下列说法错误的是( ) A ．实轴长为8，虚轴长为6 B ．离心率为54C ．渐近线方程为43y x =±D ．焦点坐标为(5,0)±7．下列命题为真命题的是( ) A ．x ∀∈N ，32x x > B ．0x ∃∈R ，200220x x ++≤ C ．“3x >”是“29x >”的必要条件D ．函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =8．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52B.52C.12D ．－12第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） 9．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 .10．与椭圆221259x y +=焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 . 11．在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上有一点P ，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________． 12．已知(2,1,3)a =，(4,2,)b x =-，且a b ⊥，则||a b -= .13．在周长为定值P 的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 . 14．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是_________三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（12分）在△ABC 中，若sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．16．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在直线12y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设123n a n b +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，试求n T .17．（12分）已知点A(－1,0)，B(1,0)，分别过A、B作直线l1与l2，使l1⊥l2，求l1与l2交点P的轨迹方程．18．（14分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?19．（14分）如图，在长方体1AC中，12,AB BC AA ==点E 、F 分别是面11AC 、面1BC 的中心．（1）求异面直线AF 和BE 所成的角；（2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．20. （14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上,右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当A M A N =时，求实数m 的取值范围.AA 1BC D B 1C 1D 1 EF2013-2014斗门一中高二理科数学期末复习-----综合练习答案一、选择题：ACCCD DDA二、填空题：9. 8； 10. 22188x y -=； 11.5； 12. ；13. 4P ，216P ； 14. [0,2]三、解答题：15．解 (1)由sin(C －A )＝1知， C －A ＝π2，且C ＋A ＝π－B ，∴A ＝π4－B 2，∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－B 2＝22⎝⎛⎭⎫cos B 2－sin B 2， ∴sin 2A ＝12(1－sin B )＝13，又sin A >0，∴sin A ＝33. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ，∴BC ＝AC sin Asin B ＝6·3313＝32，由(1)知sin A ＝33，∴cos A ＝63. 又sin B ＝13，∴cos B ＝223.又sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×223＋63×13＝63，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.16. 解：（1）依题意得，1,2n S n n =+即212n S n n =+. ……………（2分）当n≥2时， 221111()(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦; ………（5分）当n=1时，2111311121222a S ==+⨯==⨯-. ……………（6分） 所以*12()2n a n n N =-∈.……………（7分）（2）由（1）得12233n a n n b +==，……………（8分） 由2(1)2123393n n n n b b ++===，可知{}n b 为等比数列. ……………（10分） 由21139b ⨯==，……………（11分）故19(19)99198n n n T +--==-. ……（13分）17．[解析] 设l 1：y ＝k (x ＋1)，(k ≠0)(1)则l 2：y ＝－1k(x －1)(2)(1)与(2)两式相乘，消去k 得，y 2＝－(x 2－1)， ∴x 2＋y 2＝1，特别地，当k 不存在或k ＝0时，P 分别与A 、B 重合，也满足上述方程，∴所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1.18. 解：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值812z x y =+，…（1分）线性约束条件为735620504500,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩.…………（3分）作出可行域.…………（6分）把812z x y =+变形为一组平行直线系8:1212zl y x =-+，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距12z最大，即z 取最大值. 解方程组73562050450x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点(5,7)M ，……………（10分） max 85127124z =⨯+⨯=.……………（12分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.………………（13分）19. 解：（1）A （2，0，0），F （1，2），B （2，2，0），E （1，1，C （0，2，0）. ∴2(1,2,),(1,AF BE =-=--， ……（4分） ∴ 1210AF BE →→∙=-+=.……（6分） 所以AF 和BE 所成的角为90︒ .……（7分）（2）设平面BEC 的一个法向量为(,,),n x y z =又 (2,0,0),BC =- (1,2),BE =--则：20n BC x ∙=-=，0n BE x y ∙=--=. ∴0x =， 令1z =，则：y =,∴ (,1)n →=. …………（10分）∴,22AF n COS AF n AF n∙<>===∙.……………（12分）设直线AF 和平面BEC 所成角为θ，则：Sin θ=. 即 直线AF 和平面BEC ……………（14分）AA 1BC DB 1C 1D 1EF20. 解：（1）依题意可设椭圆方程为 2221(1)x y a a+=> ，……………（1分）则右焦点F . ……（2分）3=, 解得：23a =.……………（4分） 故 所求椭圆的标准方程为：2213x y +=.……………（5分）（2）设P 为弦MN 的中点，联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， ………………（6分）消y 得： 222(31)63(1)0k x mkx m +++-=. ………………（7分）由于直线与椭圆有两个交点， 0,∴∆>即 2231m k <+ ① …………（8分）23231M N p x x mk x k +∴==-+， 从而 231p p my kx m k =+=+， 21313p Ap py m k k x mk+++∴==-. 又 ,A M A N A P M N=∴⊥， 则： 23113m k mk k++-=- ，即： 2231m k =+ ② ，……………（12分）把②代入①得：22m m >，解得： 02m <<； 由②得：22103m k -=>，解得：12m > . 所以，122m <<.………………（14分）。
北京市东城区高二数学上学期期末考试试题理
北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分，考试时长120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ） A. 2B. 1C.21 D. 不存在2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ） A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x3. 已知直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则=m （ ） A. －1B.41C. 1D. 44. 已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m ∥α，n∥α，则m∥n B. 若m ⊥α，α⊂n ，则m ⊥n C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α5. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（ ） A. 2B. 22C. 4D. 246. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x ，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ）A. 31-B. 21-C. 1D. 28. 已知抛物线x y C =2:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，045||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1B. 2C. 4D. 89. 过点P )1,3(--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]6,0(πB. ]3,0(πC. ]6,0[πD. ]3,0[π10. 点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为__________。
理科(6科全)—北京市东城区2014届高三上学期期末考试
东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高 三 物 理 2014.01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分。
考试时长100分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。
每小题只有一个选项正确。
)1．已知两个质点相距为r 时，它们之间的万有引力大小为F 。
若只将它们之间的距离变为2r ，则它们之间的万有引力大小为A ． 4FB ．2FC ．41F D ．21F 2．人站在电梯中随电梯一起运动。
下列过程中人处于超重状态的是A ．电梯加速上升B ．电梯加速下降C ．电梯匀速上升D ．电梯匀速下降3．如图所示，在粗糙水平地面上放一质量为M 的斜面，质量为m 的木块沿斜面匀速下滑，此过程中斜面保持静止，则A ．地面对斜面有水平向右的摩擦力B ．地面对斜面有水平向左的摩擦力C ．地面对斜面的支持力等于（M+m ）gD ．地面对斜面的支持力小于（M+m ）g4．正点电荷的电场线如图所示，a 、b 是电场中的两点。
下列说法中正确的是A ．a 点的电场强度一定等于b 点的电场强度B ．a 点的电场强度一定大于b 点的电场强度C ．a 点的电势一定小于b 点的电势D ．a 点的电势一定等于b 点的电势5．我国家庭照明电路用的交流电的电压瞬时值随时间变化的规律为u =311sin100πt V ，关于此交流电下列说法中正确的是A . 电压的最大值是311VB . 电压的有效值是311VC . 交流电的频率为100HzD . 交流电的周期为100s6．如图所示电路，电源内阻不可忽略。
开关S 闭合后，在滑动变阻器R 0的滑片向下滑动的过程中A ．电压表的示数增大，电流表的示数减小B ．电压表的示数减小，电流表的示数增大C ．电压表与电流表的示数都增大D ．电压表与电流表的示数都减小7．一列简谐横波某时刻波形如图所示，此时质点P 的速度方向沿y 轴正方向，则A ．这列波沿x 轴负方向传播B ．质点a 此时动能最大，加速度最小C ．再经过一个周期，质点P 运动到x=6m 处D ．当质点P 运动到最低点时，质点b 恰好运动到平衡位置 8．质量为m 的物体由静止开始下落，由于空气阻力影响物体下落的加速度为g 54，在物体下落高度为h 的过程中，下列说法正确的是A ．物体的动能增加了mgh 54 B ．物体的机械能减少了mgh 54 C ．物体克服阻力所做的功为mgh 54 D ．物体的重力势能减少了mgh 54 9．如图所示，小车静止在光滑水平地面上，小车的上表面由光滑的斜面AB 和粗糙的平面BC 组成（它们在B 处由极短的光滑圆弧平滑连接），小车右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当传感器受压力时，其示数为正值；当传感器受拉力时，其示数为负值。
2013-2014海淀第一学期高二期末数学试题理课及答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2014.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( ) （A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( )（A ）12-（B ）2- （C ）12 （D ）2（3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA = a , OB = b ，OC =c ，那么向量AP用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(0,2)（C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）（A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） OABCP F ED 1C 1B 1A 1DCBA（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥. （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.1A(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且PC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P，31(,22P，4P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.AB CDP海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2014．01 一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）103（10）10y-=（11）32或1（12（13（14）①②④注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y，则(0,)N y，(,)OM x y=，(4,)NA y=-.……………………2分因为直线MO NA⊥，所以240OM NA x y⋅=-=，即24y x=. ………………………4分所以动点M的轨迹C的方程为24y x=（0x≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA∠=时，因为MO NA⊥，所以π3NAO∠=.所以直线AN的倾斜角为π3或2π3.当直线AN的倾斜角为π3时，直线NAy--=；……………8分当直线AN的倾斜角为2π3时，直线NA0y+-=.…………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y+=.由方程可知：212a=，24b=，2228c a b=-=，c=……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x yx y⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x--=.解得：2x=或1x=-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分 （17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，AD PD D = ，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BC CD C = ，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =，所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC = ，(1,0,1)DP =- ，(1,1,0)BD =- ，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =. 所以 (1,0,1)=n ． 同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分所以cos ,⋅<>===n m n m |n ||m |．所以 二面角B PD C --………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．所以|cos ,|EC APEC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=经检验1[0,1]2λ=-∈． 所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(,)22P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:3BC x ty =-.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89.当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或y =.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-+.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于22(,0)2N t +. 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分 注：对于其它正确解法，相应给分.。
2013-2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(理科)
曲靖市2013—2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．753．“22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππD ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）A ．521B ．27C ．13D ．8217．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤88．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．在二项式()62+x 的展开式中，含3x 的项的系数是__________10．曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x 轴所围成的图形面积为_________11．已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值，则a 的取值范围为__________12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 13．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是14．如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：C1BA 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729仿此，26的“分裂”中最大的数是 ；32013 的“分裂”中最大的数是 ； 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且三角形MBC 的面积为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若((0,)62f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 211-= (*n N ∈). （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2） 记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.17．（本小题满分14分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （Ⅰ）求证：//EF 平面1BDC ;（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在， 指出点G 的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．(本小题满分14分) 已知函数()b ax x x f +-=331，其中实数b a ,是常数． （Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率；（Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时A 1x()a g 的解析式；（Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数()2ln bf x ax x x=--，(1)0f =. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小，并说明你的理由.中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题二、填空题9．160； 10．83； 11．01<<-a ； 12．326+； 13．12-；14．11（本空2分）；3m （m 为奇数）的“分拆”的最大数是21m m +-，所以2201320124054181+=（本空3分，写成“220132012+”或“4054181”都给3分）三、解答题15．（本小题满分12分）解：（I ）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π== ……….2分由(0)2sin 1f ϕ==，得1sin 2ϕ=， ……………………………………3分∵02ϕπ<<，∴6ϕπ=，∴()2sin()6f x x π=+． …………………………………………….6分 （Ⅱ）由()2sin 6f ααπ-=sin α=， ∵(0,2απ∈，∴cos α=， ∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===，∴cos(2)cos2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==． …………………….12分16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差0d >，∴355,9a a ==，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ( *n N ∈)………………4分又当n=1时，有b 1=S 1=1－.32,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==q b ∴.3211nn n q b b ==- ( *n N ∈) …………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211+++=-==n n n n n n n c n b a c …………10分∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c ∴.1n n c c ≤+ …………………………12分在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴ //,EF BD ∴BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D//EF ∴平面1BC D…………………….7分（II ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为1︰15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅ 111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=> 所以符合要求的点G 不存在 ……………………….14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，， 其中事件A ： “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，，故62()93P A ==． 即事件“(1)0f ≥”发生的概率23…………………….4分 （Ⅱ）31(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-,① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1()(1)3g a f a ==-； ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+, 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩…………………….9分（Ⅲ）当1=a 时，()()1,3123-='∴+-=x x f b x x x f当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==321m in 又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈∴b b x f x 32,3220时，，当 而()[]210,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得)()(21x f x f '=()()f x f x '∴⊆的值域的值域，[]22-,1,333b b ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦即∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-73b ≤≤.…………………….14分20．(本小题满分14分)解（Ⅰ） (1)0f a b a b =-=⇒= ，()2ln a f x ax x x ∴=--， 22 ()a f x a x x'∴=+-. 要使函数()f x 在其定义域内为单调函数，则在定义域(0,)+∞内， ① 当0a =时，2()0f x x'=-<在定义域(0,)+∞内恒成立， 此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意； ②当0a >时，要使222111 ()()0a f x a a a x x x a a '=+-=-+-≥恒成立，则10a a-≥，解得1a ≥；此时函数()f x 在其定义内为单调递增函数，满足题意；③ 当0a <时，22()0a f x a x x'=+-<恒成立；此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞；…………………….4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）（Ⅱ）由题意知(1)0f '=，可得20a a +-=，解得1a =，所以21()(1)f x x'=-于是/2211(1211n n n n a f n a na a n +=-+=-+-+，下面用数学归纳法证明22n a n ≥+成立，数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，14212a =≥⨯+，不等式成立；（ii ）假设当n k =时，不等式22k a k ≥+成立，即22k a k -≥成立，则当1n k =+时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++， 所以当1n k =+时，不等式也成立，由（i ）（ii ）知*n N ∀∈时都有22n a n ≥+成立. …………………….8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）得1111(22)1[2(1)222]121n n n n n a a a n a n n a ----=-++≥-+-++=+，（*,2n N n ∀∈≥）于是112(1)n n a a -+≥+， （*,2n N n ∀∈≥）成立，所以2112(1)a a +≥+，3212(1),...a a +≥+，112(1)n n a a -+≥+成立 累乘可得：1112(1)n n a a -+≥+，则1111112(1)n n a a -≤++成立，（*,2n N n ∀∈≥） 所以1231111...1111n a a a a ++++++++2111111212(1...)(1)1222525n n a -≤++++=-<+.。
北京市东城区2013高三上学期期末考试数学理试卷
北京市东城区2013高三上学期期末考试数学理试卷1 / 11东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D） （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
黑龙江省某重点中学2013-2014学年高二上学期期末数学理试题 含答案
高二数学（理科）期末试题（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1.如果命题“()p q ⌝∨”是假命题,则下列说法正确的是（ ）A.p q 、均为真命题B.p q 、中至少有一个为真命题C.p q 、均为假命题D.p q 、中至少有一个为假命题2.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；② 从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为 （ ） A ．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，② 分层抽样 D ．①② 都用分层抽样 3.右图程序运行的结果是 （ ） A.515 B.23 C.21 D.19 4.下列关系属于线性相关关系的是 ( ) ①父母的身高与子女身高的关系 ②圆柱的体积与底面半径之间的关系 ③汽车的重量与汽车每消耗1L 汽油所行驶的平均路程 ④一个家庭的收入与支出A.①②③B.②③④ C .①③④ D.①②③④ 5.如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共 有 ( ) A.12对 B.24对C.36对D.48对 6.下列说法错误的是 ( ) A. 10≠xy 是5≠x 或2≠y 的充分不必要条件B ．若命题:p 012≠++∈∀x x R x ，，则:p ⌝012=++∈∃x x R x ，C. 线性相关系数r 的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强.D. 用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之后加和7.与向量(3,4,5)--共线的单位向量是 （ ）A.()1052--B.(1052和()1052--C.(,1052D.(,1052-和()1052--4装┆┆┆┆┆┆┆订┆┆┆┆┆┆┆线┆┆┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆8.如果执行下面的程序框图，输出的56S =，则判断框中 为 （ ） A.7?k ≥ B.8?k ≤ C.7?k ≤ D.8?k ≥ 9.下列各数中最小的一个是 （ ） A.(2)111111 B.(6)210 C.(4)1000 D.(8)10110.数4557，1953，5115的最大公约数是 （ ） A.31 B.93 C ．217 D ．65111.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此 将他们随机编号为1,2，L ,960分组后在第一组采用简单 随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区 间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷C 的人数 为 （ ） A.7 B.9 C.10 D.1512.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 （ ）A ．45 B.35 C ．25 D ．15第Ⅱ卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13.已知一个五次多项式5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-,用秦九韶算法求当 3x =时多项式的值为 。
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试题及答案
2013—2014学年上学期期终考试试卷2012级数学试卷一、填空题：（每题3分，共24分）1. 过点（1,3）且与直线1y -=x 平行的直线方程是2. 过圆4x 22=+y 上一点)1,3(-P 的切线方程是3. 点A(-2，1)到直线0243:=--y x l 的距离为4. 已知直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是5. 平行于同一平面两条直线的位置关系为6. 在60°的二面角βα--m 的面α内有一点A 到面β的距离为3,A 在β上的射影为A ′,则A ′到面α的距离为7. 用一个平面截半径为25cm 的球,截面面积是π492cm ,则球心到截面的距离为 8.抛掷两颗骰子，则“两颗骰子点数相同”的概率为二、选择题（每题3分，共30分）1．若直线0=++c by ax 通过第一、三、四象限，则 （ ） A. 0,0>>bc ab B. 0,0<>bc ab C. 0,0><bc ab D. 0,0<<bc ab2. 若直线02x =++ay 和02x 3=-y 互相垂直，则a 等于 （ ）A. 23-B. 32- C. 32 D. 233. 方程04222=++-+m y x y x 表示一个圆，则 （ ） A. 5≤m B. 5m < C. 51<mD. 51≤m4. 空间中与同一条直线都垂直的两条直线的位置关系是 （ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都可能5．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上的射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 （ ）A ．31 B.322 C.22 D.326. 长方体一个顶点上的三条棱长分别是a ,b ,c ，那么长方体的全面积是( ) A. ca bc ab ++ B. 222c b a ++ C. abc 2 D. )(2ca bc ab ++7．已知两球的球面面积比为4︰9 ,则两个球的体积比为 （ ） A. 2︰3 B. 4︰9 C. 8︰27 D. 4︰278.一副扑克牌有黑、红、梅、方各13张,大小王各1张,从中任取一张，则不同取法的种数是 （ ） A. 4 B. 54 C. 413 D. 1349．由1，2，3，4，5五个数字组成 个没有重复数字的三位数偶数（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 4810．某校对全校3000名学生的肺活量进行调查，准备抽取500名学生作为调查对象，则上面所述问题中的总体是 （ ） A.3000名学生 B.3000名学生的肺活量 C.500名学生 D.500名学生的肺活量 三、计算题：（共24分）1．已知点()5,3A 是圆0808422=---+y x y x 的一条弦的中点，求这条弦所在直线方程.（8分）2．求圆2x 22=+y 上的点到直线03=--y x 的最长距离。
北京市东城区高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)
北京市东城区2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（共48分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设命题p ：2,2014x x ∃∈<R ，则p ⌝为（ ）A ．2,2014x x ∀∈≥RB ．2,2014x x ∀∈<RC ．2,2014x x ∃∈≥RD ．2,2014x x ∃∈>R3.双曲线22122x y -=的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ． 2y x =±C ．y =D ．y x =± 【答案】D 【解析】试题分析：因为双曲线的方程为22122x y -=，故a b =by x x a=±=±，故选D. 考点：双曲线的性质.4.如图，函数)(x f y =在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-6.若图中直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则( )A ．1k <2k <3kB ．1k <3k <2kC ．3k <2k <1kD ．3k <1k < 2k8.“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：直线2y x =+与圆22)()2x a y b -+-=（相切，则圆心(,)a b 到直线20y x --=的距离等于半=4b a -=或a b =，故“b a =”是“直线2y x =+与圆22)()2x a y b -+-=（相切”的充分不必要条件，选A.考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件；3.点到直线的距离公式.9.已知l 表示空间一条直线， α，β表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①l α⊥；②l ∥β；③βα⊥.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.若圆022=++++F Ey Dx y x 关于直线04:1=+-y x l 和直线03;2=+y x l 都对称，则E D +的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由圆的方程022=++++F Ey Dx y x 可得圆心的坐标为(,)22D E--，又圆关于直线12l l 、对称，所以直线12l l 、都经过圆的圆心，所以40223022D ED E ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--⨯=⎪⎩，解得62D E =⎧⎨=-⎩，所以4D E +=，故选D.考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.11.若函数x ax x f ln )(-=在),21(+∞内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．),2[+∞B ．]2,(-∞C ．]0,(-∞D ． ]0,(-∞),2[+∞称性可知，1FF A ∆为等腰直角三角形，所以112AF FF ==即2a=，解得5a =，∴222c a b =+=16155+= D. 考点：双曲线的性质.第Ⅱ卷（共52分）二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）15.已知1F ，2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若△2ABF 的周长为8，则k 的值为 . 【答案】2 【解析】试题分析：由椭圆的方程22121x y k k +=++，可知210k k +>+>即1k >-，此时a =2ABF ∆的周长等于22112248AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==，所以2a =，所以222k +=即2k =. 考点：椭圆的定义及其标准方程.16.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 .17.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为 .【答案】【解析】试题分析：设点D 为弦PQ 的中点，连接OD ，则由圆的知识可知OD PQ ⊥且60POD ∠=︒，而圆的半径为1，所以1||1cos 602OD =⨯︒=，另一方面原点O 到直线10y kx --=的距离为||OD =12=，解得k =考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.18.已知椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的离心率相同，且12a a .给出如下三个结论：考点：椭圆的标准方程及其性质.三、解答题 （本大题共4小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分8分）如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，E 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AEC ； （2）求证：平面QDC ⊥平面AEC .20.（本题满分8分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （1）求圆M 的方程；（2）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程.【答案】（1）22(2)1)10x y ++-=（；（2）350x y +-=. 【解析】21.（本题满分9分）已知函数32()2f x x ax bx c =-++.（1）当0c =时，()f x 的图象在点(1,3)处的切线平行于直线3y x =+，求,a b 的值；（2）当3,92a b ==-时，()f x 在点,A B 处有极值，O 为坐标原点，若,,A B O 三点共线，求c 的值. 【答案】（1）26a b =⎧⎨=⎩；（2）3c =. 【解析】试题分析：（1）本小题考查导数在切线上的应用问题，根据所给的切点及切线所平行的直线方程，可得(1)3(1)10f f c =⎧⎪'=⎨⎪=⎩，从中求解关于,a b 的方程组即可；（2）将所给的3,92a b ==-代入得32()39f x x x x c =--+，通过求导，先求出函数的极值，写出极值点，然后根据,,A B O 三点共线，利用OA OB k k =，即可计算出c 的值.22.（本题满分9分）已知曲线C ：22123x y m m+=+-()R m ∈. （1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设2m =，过点(0, 4)D 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，O 为坐标原点，若OMN ∠为直角，求直线l 的斜率.因为OMN ∠为直角，所以1OM k k ⋅=-，即111141y y x x -⋅=- 整理得221114x y y =-①------------------7分。
2013～2014学年度第一学期期末考试安排
市教科办〔2013〕225号关于石家庄市2013—-2014学年度第一学期中学期末考试工作安排的通知各县(市）、区教研室（教科所），各直属学校：为确保试卷信度，准确了解各区县及学校的教学质量,经研究决定，本学期期末考试,石家庄市教育科学研究所仍提供各科试卷.现将考试工作的具体安排通知你们，请有关单位认真组织落实，并做好成绩统计汇总和试卷评价意见反馈工作.一、考试科目初一:语文数学英语（含听力）思品历史地理生物(7科)初二：语文数学英语(含听力)物理思品历史地理生物（8科）初三：化学(1科）高一：语文数学英语（含听力）物理化学生物历史地理政治（9科）高二：语文数学英语（含听力）物理化学生物历史地理政治（9科）二、几点说明1．初中语文考试时间为100分钟;数学、英语、化学考试时间各为90分钟；其余学科考试时间均为60分钟。
2．高中语文考试时间为150分钟;高中数学、英语考试时间为120 分钟；其余各科考试时间均为90分钟。
3．（1）初一、初二历史均为开卷考试。
(2）初一、初二政治包含时事政治考试占10％。
4．初一依据一种教材命题：语文（人教）数学（冀教) 英语（人教）思品(山东）历史(河北）地理（人教）生物(冀少)5．初二依据一种教材命题：语文（人教）数学(冀教) 英语（人教）物理（人教）思品（山东）历史（河北）地理（人教）生物（冀少）6．初三依据一种教材命题：化学（人教）7．高一不再分A、B卷，而是在部分试题中针对不同层次学校的学生设置不同难度的试题,以体现分层评价的要求；高二年级按文、理分科选择定试卷。
各单位可根据实际情况选择试题作答。
8．期末考试具体时间安排见附件一。
三、考试要求1．由石家庄市教育科学研究所提供期末试卷，为保证期末考试的严肃性,各单位必须按照规定日期和时间进行考试，不得以任何理由．．．．．．．提前组织考试，以防止泄密而影响其他单位考试。
本次期末考试，教．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．各征订单位须与教科所签科所将派人巡视和抽查各学科的考试情况．．．．．．．．．．．．．．．．．．订“保密协议”,各征订单位必须讲诚信,凡不能履行协议的单位不予使用试卷.2．各单位必须保证试卷安全，严防失密,要做到防盗、防火、防水，要安排两人昼夜值班看管试卷，做到万无一失。
北京市东城区(南片)1314学年高二上学期期末考试数学(理)试题(附答案)
北京市东城区（南片）2013—2014学年上学期高二期末考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 命题p ︰x ＝0，命题q ︰xy ＝0，则p 与q 的推出关系是A. q p ⇒B. p q ⇒C.D. q p ⇔2. 在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点E ，则点E 满足AE ＜2的概率为 A.4π B. 41 C. 8π D. 21 3. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 是线段A 1C 1上一动点，那么直线CE 恒垂直于 A. AC B. BD C. A 1D D. A 1D 1 4. 如图所示，程序框图的输出结果为 A.43 B. 61 C. 1211 D. 24255. 一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是A. 2s 2B. 4s 2C. 8s 2D. 16s 26. 用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 平面⊥α平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线l ，α⊥l 且β⊥l B. 存在一个平面γ，γ∥α且γ∥β C. 存在一个平面γ，γ⊥α且γ⊥β D. 存在一条直线l ，α⊥l 且l ∥β8. 设),(00y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF ⋅的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 16二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
）9. 某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为 。
10. 下列命题中，真命题的是 。
①必然事件的概率等于l ②命题“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件 ④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 。
北京市东城区2013届高三上学期期末考试 数学理科试题
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 【答案】C【KS5U 解析】因为{1,2,3}A B = ，所以3B ∈,所以{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}B =共有4个，选C.（2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（A ）1- （B ）1 （C （D ）【答案】B【KS5U 解析】因为i 1i a +-是纯虚数，所以设i,0,1ia bib b R +=≠∈-.所以(1)a i b i i b b i +=-=+，所以1a b ==，选B.（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 【答案】C【KS5U 解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】A【KS5U 解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选A.（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【KS5U 解析】+=-a b a b 两边平方得222222a a b b a a b b ++=-+，即0a b = ，所以a b ⊥，所以“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的充要条件选C.（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]【答案】D【KS5U 解析】，当3s =时，对应的平面区域为阴影部分，由y x z 23+=得322zy x =-+，平移直线由图象可知当直线经过点C 时，直线322z y x =-+的截距最大，此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)C ，代入y x z 23+=得7z =。
北京市西城区2013—2014学年度高二年级第一学期期末数学(理科)试卷
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( )A. 1B.C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( ) A. 4B. 3C. 2D. 13．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-4．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( )A. x ∀∈R ，20x <B. x ∀∈R ，20x ≤C. x ∃∈R ，20x ≥D. x ∃∈R ，20x <5． “n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6．关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( ) A. 若//a M ，//b M ，则//a b B. 若//a M ，b a ⊥，则b M ⊥ C. 若b M ⊂，且a b ⊥，则a M ⊥D. 若a M ⊥，//a N ，则M N ⊥7．已知12,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，8AB =，则22AF BF +=( ) A. 2B. 10C. 12D. 148．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. 8B. 6C. 4D.839．已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN BN =⋅ ，则动点M 的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别是线段B B 1，AB 和1AC 上的动点，观察直线CE 与 F D 1，CE 与1D G ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个俯视图侧视图正视图F D A B CA 1B 1C 1D 1E G二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.13. 双曲线221412x y -=的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体1111ABCD A BC D -中，ABCD 是边长 为1的正方形，1D B 与平面ABCD 所成的角为45， 则棱1AA 的长为_______；二面角1B DD C --的 大小为_______. 16. 已知M 为椭圆22143x y+=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点. 给出下列结论：①存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ②不存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ③存在点,M N ，使得90OMN ∠=； ④不存在点,M N ，使得90OMN ∠= . 其中，所有正确结论的序号是__________. D ABCA 1B 1C 1D 1三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN AB ⊥.18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程. ABCDNPM如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在ABE ∆内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由． ABEC DP·ABCA 1B 1C 1E已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率； （Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.22.（本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 2，y = 14. π:2 15.16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. 证明：（Ⅰ）取PD 中点Q ，连结AQ,NQ .因为 N 是PC 中点， 所以 1//2NQ DC . ………………2分 又M 是AB 中点，1//2AM DC , 所以 //AM NQ ，四边形AQNM 是平行四边形. ………4分 所以 //MN AQ . ………………5分 因为 MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ， 所以 //MN 平面PAD . ………………7分（Ⅱ）因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分又 ABCD 是矩形，所以 AB AD ^. ………………9分 所以 AB ^平面PAD , ………………10分 所以 AB AQ ^. ………………11分 又 //AQ MN ,所以 AB MN ^. ………………13分 ABCDNPM Q18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，依题意，有a =， ………………2分即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分 （Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分 另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，1=， ………………11分解得34k =-， ………………12分 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o ，即AC BC ^. ………………2分 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,， 所以 1=(222)AB ,,-uuu r ，=(110)CE ,,u u r ， 1=(202)CA ,,uuu r. ………………4分又因为 10AB CE ?uuu r uur ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………………6分所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1ACE . ………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1ACE 的法向量， ………………9分 11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB ×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r=. ………………12分 设直线11AC 与平面1ACE 所成的角为q ， 则111sin =cos CA ,AB 狁uuu u r uuu rq =. 所以直线11AC 与平面1ACE ………………13分20. （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结OD,OE ， ………………1分因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^. 因为 四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，AB //CD ， 所以 四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC ， 又 AB BC ^，所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ，………………3分 所以 AB DE ^. ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ，所以 OE OD ⊥. ………………5分 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系则 (100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-，(00)E .所以 =(101)AD ,,-u u u r ,=(01)DE -u u u r， ………………6分设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则1100DE ADìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n n 111100z x z ìï-=ïÛíï-+=ïî， ………………7分 令11z =，则11x =,1y =所以1n =(11),. ………………8分 同理求得平面BCE 的法向量为2n =(10),-， ………………9分设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212×=n n n n =. 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为7. ………………10分 （Ⅲ）解：设22(0)Q x ,y ,，因为11()22P -， 所以2211()22PQ x ,y ,=+--uu u r ，=(100)CD ,,u u u r ,=(01)DE -u u u r . 依题意00PQ CD PQ DEìï?ïíï?ïïîuu u r uu u ruu u r uuu r ，， 即210210x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïï ………………11分解得 212x =-，2y = ………………12分 符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分所以，存在点1(0)23Q ,,-，使PQ ^平面CDE，此时3PQ =.…………14分 21.解：（Ⅰ）设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+，由 2(1),12,y k x y x =+⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分 因为 20k ≠，且2242(212)4144480k k k ∆=--=->，所以，(k ∈ . ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122122k x x k -+=，121x x =. ………………5分 因为线段AB 中点的横坐标等于2，所以2122622x x k k +-==， ………………6分解得k =. ………………7分 （Ⅱ）依题意11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， ………………8分又 21112y x =，22212y x =，所以 222112()y x x y y y =-+-， ………………9分12212112y y x y y y y =--- ………………10分因为 221212144144y y x x ==， 且12,y y 同号，所以1212y y =， ………………11分所以 2112(1)y x y y =--， ………………12分所以，直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分22. 解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=， 解得0x =或43x =-， ………………2分 所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ………………4分所以AC =………………5分 （Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B ， 因为3OB OP =，P 在线段OB上，所以(,0)3P，求得AC =6分 所以OAC ∆的面积等于4291. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ， 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分 122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+， 所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km m k k -++， ………………9分 所以2263(,)2121km m B k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=. ……………10分 计算AC ==…………11分. ………………12分 因为点O 到AC 的距离O AC d -=. ………………13分所以，OAC ∆的面积2OACO AC S AC d ∆-1=⋅4291==. 综上，OAC ∆面积为常数49. ………………14分。
2014东城区高二(上)期末数学(理科)
2014东城区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）设命题p：，则¬p为（）A．B．C．D．2．（4分）直线2x﹣3y=6在y轴上的截距为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣33．（4分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x4．（4分）若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k3＜k2＜k1D．k3＜k1＜k25．（4分）设m＞0，则椭圆x2+4y2=4m的离心率是（）A．B．C．D．与m的取值有关6．（4分）已知向量=（﹣1，x，3），=（2，﹣4，y），且∥，那么x+y等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．（4分）“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．（4分）已知l表示空间一条直线，a，b表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①l⊥a；②l∥b；③a⊥b，以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）A．O B．1 C．2 D．39．（4分）α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A．α、β都平行于直线l、mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与BD1所在直线所成的角为90°是（）A．AA1B．B1C C．A1C D．CD11．（4分）已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则a的值为（）A．B．C．D．12．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.将答案填在题中横线上.13．（3分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则a的值为．14．（3分）若直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则m的值为．15．（3分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2的周长为8，则k的值为．16．（3分）一个几何体的三视图如上图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形，则该几何体的体积为．17．（3分）若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为．18．（3分）过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（8分）如图，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=DC，M为BD的中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面AEM⊥平面BDC．20．（9分）已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．21．（8分）如图，已知四边形ABCD与CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（Ⅰ）求证：ED⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣C的大小．22．（9分）已知曲线C：（m∈R）．（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】根据特称命题的否定是全称命题，∴命题的否定是：∀x∈R，x2≥2014；故选A．2．【解答】令x=0，可得2×0﹣3y=6，解得y=﹣2，∴直线2x﹣3y=6在y轴上的截距为：﹣2故选：C3．【解答】∵a2=b2=4，∴此双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程y=±x．故选A．4．【解答】直线的斜率是其倾斜角的正切值，当倾斜角大于90°小于180°时，斜率为负值，当倾斜角大于0°小于90°时斜率为正值，且正切函数在（0°，90°）上为增函数，由图象三条直线的倾斜角可知，k1＜k3＜k2．故选B．5．【解答】∵m＞0，∴椭圆x2+4y2=4m化成标准形式，得（m＞0），因此，a2=4m，b2=m，可得a=、b=、c==．∴椭圆的离心率e===．故选：C6．【解答】∵向量=（﹣1，x，3），=（2，﹣4，y），且∥，∴=m，即（2，﹣4，y）=m（﹣1，x，3），∴，即，∴x+y=﹣6+2=﹣4，故选：A．7．【解答】若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．故选A．8．【解答】若l∥b，则存在直线m⊂平面b，使m∥l，则由l⊥a可得：m⊥平面a，由面面垂直的判定定理可得：平面a⊥平面b成立，若l⊥a，a⊥b，则l∥b或l⊂b若l∥b，a⊥b，则l与a的关系不确定故得到三个命题，其中正确命题有1个故选B9．【解答】对于A，当α∩β=a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；对于B，当α∩β=a，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β；对于C，当l与m平行时，不能推出α∥β；对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得α∥β，故选D．10．【解答】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1与BD1所成的角是∠BD1D，不是90°；由DD1⊥AC，BD⊥AC，且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∴BD1⊥AC；同理BD1⊥B1C，即B1C与BD1所成的角为90°；A1C与BD1所成的角是∠A1OD1，不是90°；CD与BD1所成的角是∠BD1C1，不是90°；综上，与BD1所在直线所成的角为90°的是B1C；故选：B．11．【解答】∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的准线为x=﹣1，焦点为F（1，0）．又∵直线x=﹣1交双曲线于A、B两点，△FAB为直角三角形．∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'=2由此可得A（﹣1，2）、B（﹣1，﹣2），如图所示将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得，解之得a=（舍负）故选：D12．【解答】平面ABB1A1内作MN⊥AA1于N，连接MB∵平面ABB1A1⊥平面AA1D1D，平面ABB1A1∩平面AA1D1D=AA1，∴MN⊥平面AA1D1D，可得MN就是M到平面ADD1A1的距离，∵BC⊥平面ABB1A1，MB⊂平面ABB1A1，∴MB⊥BC，即MB就是M到BC的距离，∵M到平面ADD1A1的距离是M到直线BC距离的2倍，即MN=2MB∴根据圆锥曲线的统一定义，可得动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA1为一条准线的曲线，其离心率e==．因此，动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA1为一条准线的椭圆．故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.将答案填在题中横线上. 13．【解答】圆x2+y2﹣2x+4y=0的标准形式为：（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心为（1，﹣2），∵直线3x+y+a=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，∴点（1，﹣2）适合直线3x+y+a=0方程即3×1﹣2+a=0，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．14．【解答】∵直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，∴1×m+（m+1）×2=0，解得m=﹣．故答案为：．15．【解答】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴k+2＞k+1＞0，可得k＞﹣1．因此a2=k+2，解得a=．根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a．∵线段AB经过左焦点F1，△ABF2的周长为8，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=8，即|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8，解得a==2，可得k=2．故答案为：216．【解答】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是4的正方形，底面面积是4×4=16，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，这条侧棱的长度是4，∴四棱锥的体积是故答案为：．17．【解答】因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），如图可得∠OPE=30°；OE=OPsin30°=，即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d==⇒k=．故答案为：．18．【解答】如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．【解答】（I）取BC的中点N，连接MN，AN，因为M为BD的中点，所以MN∥DC，且MN=DC，而EA∥DC且EA=DC，∴EA MN，∴EANM是平行四边形…2分∴EM∥AN…3分又因为EM⊄平面ABC，AN⊂平面ABC，∴EM∥平面ABC，…5分（II）∵AB=AC，N为BC的中点，∴AN⊥BC．∵DC⊥平面ABC，AN⊂平面ABC，∴DC⊥AN，又DC∩BC=C，∴AN⊥平面BDC，…7分又AN∥EM，∴EM⊥平面BDC，…9分∵EM⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面BDC…10分20．【解答】（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0），∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=﹣2上．由，解得，即圆心M的坐标为（﹣2，1）．∴半径，因此，圆M的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10．（Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）2+（2﹣1）2=10，∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直．∵CM的斜率k CM=，∴过点C的切线斜率为k==﹣3，由此可得过点C（1，2）的圆M的切线方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），化简得3x+y﹣5=0．（Ⅲ）设Q（x，y）、P（x0，y0），∵四边形ADQP为平行四边形，∴对角线AQ、PD互相平分，即AQ的中点也是PD的中点．即，解得将P（x﹣2，y﹣4）代入圆M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10，∴顶点Q在圆x2+（y﹣5）2=10上运动，∵圆x2+（y﹣5）2=10交直线AD于点（﹣1，8）和（﹣3，4），当Q与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP，∴顶点Q的轨迹方程为x2+（y﹣5）2=10，（点（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）．21．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，又因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥CD．因为ED⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD．…（4分）（Ⅱ）解：以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．所以平面BDE的法向量为．…（5分）设平面BEC的法向量为=（x，y，z）．因为，所以即令z=1，则=（0，1，1）．…6 分所以cos＜，＞==．所以二面角D﹣BE﹣C的大小为60°．…（8分）22．【解答】（Ⅰ）若曲线C：是焦点在x轴上的椭圆，则有m+2＞3﹣m＞0，解得．∴m的取值范围是（）．（3分）（Ⅱ）m=2时，曲线C的方程为，C为椭圆，由题意知，点D（0，4）的直线l的斜率存在，∴设l的方程为y=kx+4，由消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0．（5分）△=（32k）2﹣240（1+4k2）=64k2﹣240，当△＞0时，解得．设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），因为∠OMN为直角，所以k OM•k=﹣1，即，整理得．①（7分）又，②，将①代入②，消去x1得，解得或y1=﹣2（舍去），将代入①，得，∴．故所求k的值为．（9分）word下载地址。
【数学】北京市东城区2013-2014学年高二第一学期期末考试(文).docx
东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设命题p：x R,x22014 ，则 p 为（）A．x R,x22014B．x R ,x22014C．x R,x22014D．x R ,x220142．直线2x 3 y60 在 y 轴上的截距为（）A．3B． 2C． 2D． 33．双曲线x2y21的渐近线方程为（）22A．y4x B．y2x C． y 2 x D．y x 4．如图，函数y f (x)在A，B两点间的平均变化率是()A． 1B．－ 1C．2D．－ 2 5. 设点P(a,b, c)关于原点的对称点为P ，则PP等于（）A．2 a2b2 c 2B． a2 b 2 c 2C．a b c D． 2 a b c6．若图中直线l， l2， l3的斜率分别为 k， k， k，则()1123A．k< k< k3B．k < k < k12132C．k< k2< k D．k < k < k231317．已知P为椭圆x2y21上的一点， B1，B2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB1B2的169面积为6，则满足条件的点P 的个数为（）A． 0B． 2C．4D． 68. “a b ”是“直线y x与圆（ x a2(y b)22相切”的（）2)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知l表示空间一条直线，，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①l ；② l ∥ ；③. 以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）A ． 0B． 1C．2D ． 310．若圆 x 2y 2 Dx Ey F 0 关于直线 l 1 : x y4 0 和直线 l 2 ; x3y 0 都对称，则 D E 的值为（）A ．4B．2C． 2D． 411．若函数 f ( x)ax ln x 在 ( 1 ,) 内单调递增，则 a 的取值范围为 ()A ． [ 2, )B2 ． ( ,2]C ． ( ,0]D． (,0] [ 2, )12.抛物线y 24x 的准线与双曲线x 2 y 2 1(a0) 交于 A, B 两点，点 F 为抛物线的a 2焦点，若△ FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A ．5B6C ．5D． 65．5二、填空题：本大题共 6 小题 , 每小题 3 分 , 共 18 分 . 将答案填在题中横线上 .13．曲线 y x 3 2x 4 在点 (1，3) 处的切线的斜率为.14．若直线x (m+1)y 2 m 与直线 mx 2 y8 互相垂直， 则 m 的值为．x 2 y 2 F 1 的直线交椭15．已知 F 1 ， F 2 是椭圆1的左、右焦点，过 k 2k 1圆于 A, B 两点，若△ ABF 2 的周长为 8 ，则 k 的值为.16．一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为4 的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为．17．若直线 y kx1 与圆 x 2y 2 1相交于 P ， Q 两点，且POQ120 ( 其中 O 为原点 ) ，则 k 的值为．18．已知椭圆 C x 2y 2（ab0 ）和椭圆 C x 2y 2 （ a b0 ）：：1a 1 2b 1 2 1112a 2 2b 2 2122的离心率相同，且a 1 a 2 . 给出如下三个结论：①椭圆 C 1 和椭圆 C 2 一定没有公共点；②a1b1 ；③ a 12a 2 2b 1 2 b 2 2 .a 2b 2其中所有正确结论的序号是 ________．三、解答题：本大题共 4 小题 , 共 34分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（本题满分 8 分）如图，矩形 ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直， E 是 QD 的中点.（I ）求证：QB∥平面AEC ;Q P（II ）求证：平面QDC⊥平面AEC．EAD20. （本题满分 8 分）B C已知圆 M 的圆心在直线x 2 y 4 0 上，且与x轴交于两点A( 5,0),B(1,0).（Ⅰ）求圆 M 的方程；（Ⅱ）求过点 C (1,2)的圆M的切线方程.21.（本题满分 9 分）已知函数 f (x)x32ax2bx c .（Ⅰ）当 c0 时， f ( x) 的图象在点 (1,3) 处的切线平行于直线 y x 2 ，求 a, b的值；（Ⅱ）当 a 3,b9 时， f ( x) 在点 A, B 处有极值，O为坐标原点，若 A, B,O 三点共线，2求 c 的值. 22．（本题满分9 分）已知曲线 C ：x2y2R )．m 231 (mm（Ⅰ）若曲线 C 是焦点在x轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设 m 2 ，过点D (0, 4)的直线l与曲线 C 交于M, N 两点， O 为坐标原点，若OMN 为直角，求直线l 的斜率．东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（文科）参考答案一、：本大共12 小，每小 4 分，共48分．1． A2．C3．D4．B5． A6． B 7． C8．A9．B10． D11． A12． D二、填空：本大共 6 小 , 每小 3 分 , 共 18分 .13. 1 14.215.2166417． 3 或 3 18．①②3．3三、解答：本大共4个小，共34 分 .19．（本分 8 分）解: （ I ）接BD交AC于O , 接EO．Q P 在三角形 BDQ 中， E ，O分 QD 和 BD 的中点，所以 EO ∥QB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分E 又 EO平面 AEC ，QB平面 AEC ，A D所以 QB ∥平面AEC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分B OC（II ）因矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，平面 ABCD平面 ADPQ = AD ， CD平面 ABCD ，CD AD ，所以 CD平面 ADPQ ．又AE 平面 ADPQ ，所以 CD AE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又因 AD AQ ， E 是 QD 的中点，所以 AE QD ．又 QD CD D ，所以AE平面 QDC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分由AE 平面 AEC ，所以平面 QDC ⊥平面AEC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分20．（本 分 8 分）解：（Ⅰ） 因 M 与 x 交于两点 A( 5,0) , B(1,0) , 所以 心在直 x2 上．x 2,x 2,2 分由得即 心 M 的坐 （ -2,1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ x 2 y 4 0y1.半径 r 32 1210 ,所以 M的方程 ( x2)2 （ y 1)210 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1（Ⅱ）由 C 坐 可知点 C 在 M 上，由 k CM，可知切 的斜率3 ．⋯⋯ 6 分3故 点 C (1,2) 的 M 的切 方程3x y 5 0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21．（本 分 9 分）解：（Ⅰ） 当 c0 ， f ( x)x 3 2ax 2bx .所以 f '(x) 3x 2 4ax b .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分依 意可得（f1）=3 , f (1) 1，3 4a b 1,a 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分即2a b 解得b6.1 3,（Ⅱ）当 a3,b9 ， f (x)x 33x 2 9xc .2所以 f '(x) 3x 2 6x 9 3(x 3)(x 1) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分令 f (x)0 ，解得 x 13 ， x 21 .当 x 化 ， f '(x), f ( x)化情况如下表：x( , 1)1( 1,3)f '(x)3(3, )f ( x)5+c 27+ c所以当 x 1 ，f (x)极大值5 c ；当x 3 ，f ( x)极小值27 c .不妨 A(1,5 c) , B(3, 27c) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因 A, B,O 三点共，所以 k OA k OB.即 5+c 27 c，解得 c 3.13故所求 c3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分22．（本分9 分）解：（Ⅰ）若曲 C ：x2y2m 2 3 m 0 ，m 21是焦点在 x 上的，有3 m1解得2m 3 ．-------------------3分（Ⅱ） m 2 ，曲 C 的方程x2y 21， C ，4由意知，点D(0,4) 的直 l的斜率存在，所以l的方程 y kx 4 ，x22，由4y1消去 y 得 (14k 2 ) x232kx600 .------------------5分y kx4(32k) 2240(14k 2 )64k2240，当0 ，解得k215．4M , N 两点的坐分(x1, y1) ,( x2, y2)，因OMN 直角，所以kOM k1 ，即y1y141 ，x1x1整理得 x12 4 y1y12．①-----------------7分又 x12y12 1 ,②将①代入②，消去x1得3 y124y1 4 0 ，4解得 y12或 y1 2 （舍去），3将 y122y14代入①，得 x1 5 ，所以 k 5 . 33x1故所求 k 的值为5 .----------------9分。
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东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设命题p ：2,2014x x ∃∈<R ，则p ⌝为（ ）A ．2,2014x x ∀∈≥RB ．2,2014x x ∀∈<RC ．2,2014x x ∃∈≥RD ．2,2014x x ∃∈>R 2．直线236x y -=在y 轴上的截距为（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-3.双曲线22144x y -=的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ． y =±C ．2y x =±D ．y x =±4．若图中直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则 ( )A ．1k <2k <3kB ．1k <3k <2kC ．3k <2k <1kD ．3k <1k < 2k5. 设0m >，则椭圆2244x y m +=的离心率是（ ）A ．12 B ．2 C D ．与m 的取值有关 6. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ） A ．4- B ．2- C ． 2 D ． 4 7.“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知l 表示一条直线，α，β表示两个不重合的平面，有以下三个语句：①l α⊥；②l ∥β；③βα⊥.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39.α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( ) A ．α，β都与平面γ垂直B ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β， m ∥β10.在正方体1111ABCD A BC D -中，与1BD 所在直线所成的角为90是（ ）A ．1AAB ．1BC C ．1ACD ．CD 11.已知抛物线24y x =的准线与双曲线 2221(0)x y a a-=>交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则a 的值为（ ）A B C D 12．正方体1111ABCD A BC D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且M 到平面11ADD A 的 距离是M 到直线BC 距离的2倍，则动点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.将答案填在题中横线上.13．若直线3=0x y a ++过圆x y x y 22+-2+4=0的圆心，则a 的值为 ． 14．若直线(+1)2x m y m +=-与直线28mx y +=-互相垂直，则m 的值为 ．15．已知1F ，2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若△2ABF 的周长为8，则k 的值为 .16. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个 全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 ．17．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为 ．18．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是_____________．ABE 三、解答题：本大题共4小题,共34分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本题满分8分）如图，⊥DC 平面ABC ，DC EA //，12AB AC AE DC ==，，M 为BD 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面AEM ⊥平面BDC ．20. （本题满分9分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；(Ⅲ)已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程.21．（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，平面ABCD ⊥平面CDEF . (Ⅰ)求证：ED ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角D BE C --的大小．22．（本题满分9分）已知曲线C ：22123x y m m+=+-()R m ∈． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设2m =，过点(0, 4)D 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，O 为坐标原点，若OMN △为直角三角形，求直线l 的斜率．_ C_ A东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分. 13. 1- 14. 23- 15. 2 16． 64317.18. 12(,)23三、解答题：本大题共4个小题，共34分. 19．（本题满分8分）证明：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连接MN ,AN ,在△BCD 中，M ，N 分别为BD ，BC 的中点，所以DC MN //，且DC MN 21=．而DC EA //，且DC EA 21=，所以MN EA //，MN EA =．所以EANM 是平行四边形．所以EM //AN ． …………………… 2分 又因为EM ⊄平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，所以EM //平面ABC ． …………………… 4分（Ⅱ）因为AC AB =，N 为BC 的中点，所以BC AN ⊥．因为⊥DC 平面ABC ，AN ⊂平面ABC ， 所以AN DC ⊥． 又C BC DC = ,所以⊥AN 平面BDC ． …………………… 6分 又因为EANM 是平行四边形， 所以EM AN //．所以⊥EM 平面BDC ． 因为⊂EM 平面AEM ,B所以平面AEM ⊥平面BDC ． …………………… 8分 20． （本题满分9分）解：（Ⅰ） 因为圆M 与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ，所以圆心在直线 2x =-上．由2,240x x y =-⎧⎨+-=⎩得2,1.x y =-⎧⎨=⎩即圆心M 的坐标为（-2,1)．半径r ==所以圆M 的方程为22(2)1)10x y ++-=（. …………………… 3分（Ⅱ）由C 坐标可知点C 在圆M 上，由CM k =13得切线的斜率为3-， 故过点C (1,2)的圆M 的切线方程为350x y +-=. …………………… 5分 (Ⅲ)设00(,),(,)Q x y P x y ， 因为ADQP 为平行四边形，所以其对角线互相平分，即0035,224.22x x y y -+-+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得002,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ …………………… 7分又P 在圆M 上，代入圆的方程得22(22)(41)10x y -++--=，即所求轨迹方程为22(5)10x y +-=，除去点1,8)-（和(3,4)-． …………………… 9分21．（本题满分8分）解：(Ⅰ)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，且平面ABCD平面CDEF = CD ，又因为四边形CDEF 为正方形，所以ED CD ⊥.因为ED ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD . …………………4分 (Ⅱ)以D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B C E . 所以平面BDE 的法向量为(1,1,0)AC =-. ………5分设平面BEC 的法向量为(,,)x y z =n . 因为)1,1,0(),0,0,1(-==，_y_x由0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x y z =⎧⎨-+=⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩令1=z ，则(0,1,1)=n . …………………6 分因为1cos ,.2||||AC AC AC ⋅<>==n n n所以二面角D BE C --的大小为060. …………………8分22． （本题满分9分）（Ⅰ）若曲线C ：22123x y m m+=+-是焦点在x 轴上的椭圆，则有230m m +>-> 解得132m << ． -------------------2分 （Ⅱ）2m =时，曲线C 的方程为2214x y +=，C 为椭圆， 由题意知，点(0,4)D 的直线l 的斜率存在，所以设l 的方程为4y kx =+，由22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=， -------------------4分 222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，当0∆>时，解得2154k >． 设, M N 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当MON ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为MON ∠为直角，所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k kk⨯+-+=++，解得k =-------------------6分 （ⅱ）当OMN ∠或ONM ∠为直角时，不妨设OMN ∠为直角，此时，1OM k k ⋅=-，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-①又221114x y +=② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），将123y =代入①，得1x =所以114y k x -==-------------------8分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为和-------------------9分B。