北师大版数学九上同步练2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程1
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-3用公式法求解一元二次方程》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。
北师大版九年级数学上册 第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习题(含答案)
北师大版九年级数学上册第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习题第1课时 公式法1．用求根公式计算方程x 2－3x ＋2＝0的根，公式中b 的值为(B)A ．3B ．－3C ．2D ．－322．用公式法解方程x 2＝6x －4时，b 2－4ac 的值为(C)A ．52B ．32C ．20D ．－123．x ＝2±（－2）2－4×3×（－1）2×3是下列哪个一元二次方程的根(D) A ．3x 2＋2x －1＝0 B ．2x 2＋4x －1＝0C ．－x 2－2x ＋3＝0D ．3x 2－2x －1＝04．一元二次方程x 2－px ＋q ＝0(4q ＜p 2)的两个根是(A) A ．x ＝p ±p 2－4q 2 B ．x ＝－p ±p 2－4q 2C ．x ＝－p ±p 2＋4q 2D ．x ＝q ±p 2＋4q 25．用公式法解方程(2x －1)2＋4＝(x ＋2)2－4，先把它整理为3x 2－8x ＋5＝0，它的根为x 1＝53，x 2＝1． 6．若方程x 2＋x ＋c ＝0的一个根为－1＋32，则另一个根为27．已知一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根是x 1，x 2(x 1＜x 2)，则x 1－x 28．已知m ＋4＋|n －1|＝0，则方程x 2＋mx ＋n ＝0的根是9．方程x 2－3|x|－2＝0的解是x 1＝2，x 2＝210．用公式法解方程：(1)(常德中考)x 2－3x －2＝0；解：∵a＝1，b ＝－3，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝3±172. ∴x 1＝3＋172，x 2＝3－172.(2)3x 2＋2x ＋1＝0.解：∵a＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．11．已知代数式7x(x ＋5)与代数式－6x 2－37x －9的值互为相反数，求x 的值． 解：根据题意，得7x(x ＋5)－6x 2－37x －9＝0，整理，得x 2－2x －9＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－9，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－9)＝40.∴x ＝2±402＝1±10.12．解关于x 的方程：ax 2＋(1－a)x －1＝0(a 为参数)．解：当a≠0，ax 2＋(1－a)x －1＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－1a； 当a ＝0时，x －1＝0，解得x ＝1.综上所述，当a≠0时，x 1＝1，x 2＝－1a； 当a ＝0时，x ＝1.13．准备在一块长为30米，宽为24米的矩形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路的面积为80平方米，求小路的宽度．解：设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为4x 米，依题意，得(30＋4x ＋24＋4x)x ＝80.整理，得4x 2＋27x －40＝0，解得x 1＝－8(舍去)，x 2＝54. 答：小路的宽度为54米．第2课时 一元二次方程根的判别式1．一元二次方程x 2－7x －1＝0的根的情况是(A)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．若关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有实数根，则k 的取值范围是(B)A ．k ＞－94B ．k ≥－94C ．k ≥－94且k≠0D ．k ＜－943．关于x 的一元二次方程x 2－ax －2＝0，下列结论一定正确的是(B)A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根C ．该方程没有实数根D ．无法确定4．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是(D)A ．a>0B ．a ＝0C ．c>0D ．c ＝05．已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋m －1＝0有两个相等的实数根，则m 的值为3．6．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是0．7．已知关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m>－14且m≠0． 8．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0有两个相等的实数根，则1a＋c 的值等于2．9．若关于x 的方程kx 2－x －34＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－13．10．已知函数y ＝kx －b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0的根的情况是有两个不相等的实数根．11．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋3＝0，当b ＝a ＋3时，请判断此方程根的情况．解：Δ＝b 2－4a×3＝b 2－12a ，∵b ＝a ＋3，∴Δ＝(a＋3)2－12a＝(a－3)2≥0.∴此方程有两个实数根．12．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25＝2(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.(1)若x(－4)＝6，求x的值；(2)若3a的值小于10，请判断方程2x2－bx－a＝0的根的情况．解：(1)∵x(－4)＝6，∴x[x－(－4)]＋1＝6，即x2＋4x－5＝0.解得x＝1或x＝－5.(2)∵3a＜10，∴3(3－a)＋1＜10.∴10－3a＜10.∴a＞0.∴Δ＝(－b)2＋8a＝b2＋8a＞0.∴该方程有两个不相等的实数根．13．已知关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0无实数根，判断方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0的根的情况．解：∵关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0无实数根，∴Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝－4m＋16＜0.解得m＞4.∴在方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0中，若m－5≠0，则Δ＝b2－4ac＝[2(m＋2)]2－4m(m－5)＝36m＋16＞0.∴当m－5＝0，即m＝5时，方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0有一个实数根，当m＞4且m≠5时，方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0有两个不相等的实数根．14．已知关于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋3m－12＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程只有一个根是正数，求m 的取值范围． 解：(1)证明：∵Δ＝(m －1)2－4(3m －12) ＝m 2－14m ＋49＝(m －7)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)由(1)知x ＝m －1±（m －7）2， 解得x 1＝3，x 2＝m －4.∵方程只有一个根是正数，∴m －4≤0，解得m≤4.。
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2.3用公式法求解一元二次方程一．填空题（共10小题）1．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为．2．方程x2﹣6x﹣4=0的两根为x1= ，x2= ，x1+x2= ，x1•x2= ．3．已知a＞b＞0，且++=0，则= ．4．已知+|n﹣1|=0，则方程x2+mx+n=0的根是．5．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．6．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．7．方程x2+2ax+a﹣4=0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是．8．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．9．关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．10．x，y为实数，且满足，则y的最大值是二．选择题（共12小题）11．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣312．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）A．y= B．y= C．y= D．y=13．关于x的一元二次方程的两根应为（）A． B．， C． D．14．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜515．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，016．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定17．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定18．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠019．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限20．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣121．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④22．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1三．解答题（共7小题）23．（用公式法解一元二次方程）（1）2x﹣1=﹣2x2．（2）．（3）2（x﹣1）2﹣（x+1）（1﹣x）=（x+2）2．24．解方程x2=﹣3x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，∴x===即：x1=﹣2，x2=﹣1请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．25．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）26．已知关于x的方程mx2+x+1=0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．27．已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．28．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．29．m为任意实数，试说明关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根..参考答案一．填空题1．．2．6，﹣4．3．．4．2±5．0或16．6．1＜m＜5．7．a﹣4＜k＜a2．8．m=4．9．m＜且m≠0．10．．二．选择题11．B．12．C．13．B．14．A．15．C．16．C．17．B．18．B．19．C．20．D．21．C．22．C．三．解答题23．解：（1）2x2+2x﹣1=0，△=22﹣4×2×（﹣1）=12，x==所以x 1=，x 2=；（2）3x 2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×3×1=0，x=所以x 1=x 2=； （3）2x 2﹣4x+2﹣1+x 2=x 2+4x+4，2x 2﹣8x ﹣3=0，△=（﹣8）2﹣4×2×（﹣3）=4×22，x==所以x 1=，x 2=．24．解：解答有错误，正确的解法是：方程整理得：x 2+3x ﹣2=0，这里a=1，b=3，c=﹣2，∵△=9+8=17，∴x=，解得：x 1=，x 2=． 25．（1）证明：原方程可变形为x 2﹣5x+4﹣k 2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k 2）=4k 2+9＞0，∴不论k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x 2﹣5x+4﹣k 2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数， ∴k 取0，2，﹣2时，方程有整数解．26．解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0，解得：m=﹣2；（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b 2﹣4ac=1﹣4m ＞0，且m ≠0，解得：m ＜且m ≠0．27．（1）解：把x=﹣1代入x 2﹣5x ﹣m 2﹣2m ﹣7=0得1+5﹣m 2﹣2m ﹣7=0，解得m 1=m 2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．28．解：设=x，则b=ax，c=ax2，由a+b+c=13化为a（x2+x+1）=13．∵a≠0，∴x2+x+1﹣=0 ①又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数．即△=1﹣4（1﹣）=﹣3≥0，解得1≤a≤，且为有理数．故1≤a≤16当a=1时，方程①化为x2+x﹣12=0．解得x1=﹣4，x2=3，故a min=1，b=﹣4，c=16；a min=1，b=3，c=9．当a=16时，方程①化为x2+x+=0．解得x1=，x2=．故a max=16，b=﹣12，c=9；a max=16，b=﹣4，c=1．29．解：△=[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣3（m+3）]=m2+10m+37=（m+5）2+12，∵（m+5）2≥0，∴（m+5）2+12＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．。
北师大版数学九年级上册：2.3.1 公式法 同步练习(含答案)
2.3.1 公式法一、选择题1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=32.用公式法解方程x2-4x=2,其中b2-4ac的值是()A.16B.24C.8D.43.一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断4.[2020·黔西南州] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠15.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题6.已知一元二次方程x2-3x-a=0,当a=-6时,方程的根的情况为;若方程有两个相等的实数根,则a=.7.一元二次方程3x2=4-2x的解是.,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是12是.9.(1)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是;(2)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是.10.在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为.三、解答题11.不解方程,判断下列方程的根的情况:=0; (2)16x2-24x+9=0;(1)2x2-3x-32(3)x2-4√2x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x.12.用公式法解下列方程:(1)x2-5x+4=0;(2)x2+3x=0;(3)2x2-3x+9=0;8(4)2x2-3√3x+3=0;(5)0.3y2+y=0.8;(6)6x2-11x+4=2x-2;(7)(3x+2)(x+3)=x+14.13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).(1)求证:方程一定有实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.14.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长.(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.15.[分类讨论题] 已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根;(2)已知等腰三角形ABC的一边a为1,若另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.详解详析1.D2.B [解析] 方程x 2-4x=2可化为x 2-4x-2=0.∵a=1,b=-4,c=-2,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24.故选B .3.A [解析] ∵b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.故选A .4.D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2x+1=0有实数根,∴{m -1≠0,Δ=22-4×1×(m -1)≥0,解得m ≤2且m ≠1.故选D .5.A [解析] ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,所以原方程的根的情况是没有实数根.故选A .6.无实数根 -947.x 1=-1+√133,x 2=-1-√133[解析] 3x 2=4-2x ,3x 2+2x-4=0,则b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,故x=-2±√526,则x 1=-1+√133,x 2=-1-√133.故答案为x 1=-1+√133,x 2=-1-√133. 8.12 [解析] ∵b 2-4ac=0,∴一元二次方程有两个相等的实数根,∴此方程的另一个根为12.9.(1)0 (2)k<-1[解析] (1)一元二次方程x 2-2x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4+4m>0,∴m>-1.故答案为0.(2)由题意可知Δ=4+4k<0,∴k<-1.故答案为k<-1.10.x 1=-1+√52,x 2=-1-√5211.解:(1)2x 2-3x-32=0,∵Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×-32=21>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)16x 2-24x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)x 2-4√2x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-4√2)2-4×1×9=-4<0,∴方程没有实数根.(4)3x 2+10=2x 2+8x ,即x 2-8x+10=0,∵Δ=b 2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0,∴方程有两个不相等的实数根.12.解:(1)∵a=1,b=-5,c=4,∴Δ=b 2-4ac=(-5)2-4×1×4=9>0,∴x=5±√92=5±32,∴x 1=1,x 2=4. (2)∵a=1,b=3,c=0,∴Δ=b 2-4ac=32-4×1×0=9>0,∴x=-3±√92×1,∴x 1=0,x 2=-3.(3)∵a=2,b=-3,c=98,∴Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×98=9-9=0, ∴x=-(-3)±√02×2,∴x 1=x 2=34. (4)∵a=2,b=-3√3,c=3,∴Δ=b 2-4ac=(-3√3)2-4×2×3=3>0,∴x=3√3±√32×2=3√3±√34, ∴x 1=√3,x 2=√32.(5)移项,得0.3y 2+y-0.8=0.∵a=0.3,b=1,c=-0.8,∴Δ=b 2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=1.96>0,∴y=-1±√1.962×0.3=-1±1.40.6, ∴y 1=23,y 2=-4.(6)原方程可化为6x 2-13x+6=0.∵a=6,b=-13,c=6,∴Δ=b 2-4ac=(-13)2-4×6×6=25>0,∴x=13±√252×6=13±512, ∴x 1=32,x 2=23.(7)原方程可化为3x 2+10x-8=0,∵a=3,b=10,c=-8,∴Δ=b 2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,∴x=-10±√1966, 即x=-5±73,∴x 1=23,x 2=-4.13.解:(1)证明:∵m ≠0,Δ=[-(m-2)]2-4m ×(-2)=m 2-4m+4+8m=m 2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴方程一定有实数根.(2)由(1)易得x=m -2±(m+2)2m ,∴x 1=1,x 2=-2m , 当整数m 取±1,±2时,x 2为整数.∵方程有两个不相等的整数根,∴-2m ≠1,∴m ≠-2,∴整数m 的值为-1,1,2.14.解:(1)△ABC 是直角三角形.理由:∵原方程有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.∵(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,∴2ax2+2ax=0,而a≠0,∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.15.[解析] (1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.(2)分b=c,b=a两种情况.解:(1)∵Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,这个方程一定有实数根.(2)①若b=c,则Δ=0,即(k-2)2=0,∴k=2,∴方程可化为x2-4x+4=0,∴x1=x2=2,则b=c=2,∴△ABC的周长为5;②若b=a=1(或c=a=1),则1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根.把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,∴原方程可化为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴a=b=1,c=2(或a=c=1,b=2),此时不满足三角形的三边关系,舍去.综上所述,△ABC的周长为5.。
北师版九年级数学上册 第2章 2.3 《用公式法求解一元二次方程》 同步测试(包含答案)
北师版九年级数学上册第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程同步测试题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．方程x 2－4x ＝0中，b 2－4ac 的值为（ ）A ．－16B ．16C ．4D ．－42．方程x 2＋x －1＝0的一个根是（ ）A ．1－ 5 B.1－52 C ．－1＋ 5 D.－1＋523．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．－44. 方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号5. 关于x 的一元二次方程x 2－23x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （）A ．m ＜3B ．m ＞3C ．m ≤3D ．m ≥3C ．无实数根D ．不能确定7. 若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，则判别式Δ＝b 2－4ac 和完全平方式M ＝(2at ＋b)2的关系是（）A ．Δ＝MB ．Δ>MC ．Δ<MD ．不能确定8．方程(m －2)x 2－3－m x ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．m>52B ．m ≤52且m≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m≠29. 用公式法解方程4y 2－12y －3＝0，得到（ ）A ．y ＝－3±62 B ．y ＝3±62 C ．y ＝3±232D ．y ＝－3±23210. 若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0没有实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象可能是 （）第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 一元二次方程2x 2－3x ＋1＝2的解为x 1＝，x 2＝．12. 方程(2x －1)(x ＋3)＝2x 化成一般形式是________________，用公式法解此方程时，b 2－4ac ＝______.13．一元二次方程2x 2－x ＋1＝0根的情况是_____________________.14. 下列一元二次方程，①x 2＋6x ＋9＝0 ；②x 2＝x ；③x 2＋3＝2x ；④(x －1)2＋1＝0________．有两个不相等的实数根的是________________（填序号）15．已知关于x 的一元二次方程2x2－kx ＋3＝0有两个相等的实根，则k 的值为___________ 16. 若关于x 的一元二次方程(1－k)x 2＋2kx －k ＋1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是__________ 17．已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是_________________________．方程”．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则mn＝____．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)不解方程，判断下列一元二次方程根的情况．(1)9x2＋6x＋1＝0；(2)16x2＋8x＝－3；20. (6分) 用公式法解方程．(1)x2＋2x－3＝0；(2)3x2＋2x＋1＝0.21. (6分)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2（a－2）2＋b2－4的值．22．(6分) 已知关于x的一元二次方程(a＋b)x2＋2cx＋(b－a)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；23．(6分) 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．24．(8分) 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．25．(8分)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 的边长，易知AE＝2c，这时我们把关于x的形如ax2＋2cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)试判断方程2x2＋10x＋3＝0是不是“勾系一元二次方程”；(2)求关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的实数根；(3)当c＝2，且△ABC的面积为1时，求证：x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的根．参考答案 1-5 BDABA 6-10AABCA 11.3＋174，3－17412. 2x 2＋3x －3＝0，33 13. 没有实数根 14. ② 15. ±26 16. k ≥12且k ≠1.17. 有两个不相等的实数根 18. -219. 解：(1)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1， ∴Δ＝b 2－4ac ＝36－36＝0， ∴此方程有两个相等的实数根 (2) 化为一般形式为16x 2＋8x ＋3＝0， ∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴Δ＝b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0， ∴此方程没有实数根20. 解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－3，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16>0， ∴x ＝－2±162＝－2±42，∴x 1＝1，x 2＝－3 (2) ∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0， ∴原方程没有实数根.21. 解：∵ax 2＋bx ＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即b 2－4a ＝0， ∴b 2＝4a ，∵ab 2（a －2）2＋b 2－4＝ab 2a 2－4a ＋4＋b 2－4 ＝ab 2a 2－4a ＋b 2＝ab 2a 2，又∵a≠0，∴ab 2a 2＝b 2a ＝4aa ＝422. 解：(1)△ABC 是等腰三角形，理由：当x ＝－1时， (a ＋b)－2c ＋(b －a)＝0，∴△ABC 是等腰三角形(2)△ABC 是直角三角形，理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2c)2－4(a ＋b)(b －a)＝0， ∴a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 是直角三角形 23. 解：(1)∵a ≠0，∴Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4a ＋4－4a ＝a 2＋4>0， ∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac ＝0，∴可以取a ＝1，b ＝2，则方程变形为x 2＋2x ＋1＝0， 解得x 1＝x 2＝－1(a ，b 的取值不唯一)24. 解：(1)证明：∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4>0， ∴x 2－(m ＋2)x ＋(2m －1)＝0恒有两个不相等的实数根 (2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋(2m －1)＝0，解得m ＝2， ∴原方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ①当该直角三角形的两直角边长分别为1，3时， 由勾股定理得其斜边的长度为32＋1＝10， ∴该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的一直角边长和斜边长分别为1，3时， 由勾股定理得其另一直角边长为32－1＝22， ∴该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2 25. 解：(1)易得a ＝2，b ＝3，c ＝5，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴方程2x 2＋10x ＋3＝0是“勾系一元二次方程” (2)由求根公式可求得x 1＝－2c ＋2（a －b ）2a ＝2a －2b －2c2a，x 2＝－2c －2（a －b ）2a ＝－2a ＋2b －2c2a(3)证明：∵c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.① ∵△ABC 的面积为1，∴ab ＝2.②2解得x1＝x2＝－1.∴x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的根。
北师大版九年级上册2.3用公式法解一元二次方程同步训练 ()
2019-2019学年数学北师大版九年级上册2.3用公式法解一元二次方程同步训练一、选择题1.用公式法解方程x2-23x时，a ，b ，c的值依次是（）A. 0，-2，-3B. 1，3，-2C. 1，-3，-2D. 1，-2，-32.用公式法解方程（2）2=6（2）-4时，b2-4的值为（）A. 52B. 32C. 20D. -123.方程2+31用公式法求解，先确定a ，b ，c的值，正确的是（）A. 1，3，1B. 1，3，1C. 1，3，1D. 1，3，14.如果一元二次方程20（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A. b2-4≥0B. b2-4≤0C. b2-4＞0D. b2-4＜05.方程x2-32=0的最小一个根的倒数是（）A. 1B. 2C.D. 46.方程（1）（2）=1的根是（）A. x1=1，x2=2B. x11，x22C. x1=0，x2=3D. 以上都不对7.已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估计正确的是（）A. 0＜a＜1B. 1＜a＜2C. 2＜a＜3D. 3＜a＜4二、填空题8.一元二次方程x2-32=0的解是9.写出方程x21=0的一个正根10.当时，代数式x2-812的值是-4．11.利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1．12.已知k＞0，且关于x的方程32+121=0有两个相等的实数根，那么k的值等于．13.如果关于x的一元二次方程x2+22=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为14.关于x的方程32+122=0有实数根，则k的取值范围是．三、解答题15.用公式法解方程：（1）；（2）（3）（4）16.已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．（1）求k的值；（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．17.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-87=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长18.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）4=0有两个相等的实数根，求m的值．19.已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）20.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆2，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣0的根的情况．答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】整理得：x2+32=0，这里1，3，2．故选B．【分析】方程整理为一般形式，找出a ， b ，c的值即可2.【答案】C【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】∵（2）2=6（2）-4∴x2-24=0∴1，2，4∴b2-4 =4+16=20．故选C．【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c ，最后求出判别式的值3.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】将2+31整理为一般形式得：2+31=0，可得出1，3，1．故选A【分析】将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b及常数项c即可．4.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】若一元二次方程20（a≠0）能用公式法求解，则b2-4≥0；故选A．【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．5.【答案】A【考点】一元二次方程的求根公式及应用【解析】【解答】解：x2-32=0，（1）（2）=0，1=0或2=0，x1=1或x2=2，所以方程x2-32=0的最小一个根的倒数是1，故答案为：A．【分析】观察方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解，再求出方程的解中较小一个根的倒数。
北师版九上数学2.3 用公式法求解一元二次方程(第一课时) 课件
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数学 九年级上册 BS版
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2 x2＋5＝7 x ；
解：将原程化为一般形式，得2 x2－7 x ＋5＝0.
这里 a ＝2， b ＝－7， c ＝5.
∵ b2－4 ac ＝（－7）2－4×2×5＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
这里 a ＝1， b ＝2， c ＝3.
∵ b2－4 ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，
∴原方程无实数根.
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【点拨】用公式法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一元
二次方程的一般形式；②准确找出 a ， b ， c 的值；③计算 b2－4
ac 的值，当 b2－4 ac ≥0时，代入求根公式求根；当 b2－4 ac ＜0
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第二章
3
一元二次方程
用公式法求解一元二次方程（第一课时）
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目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
数学 九年级上册 BS版
1. 一元二次方程的求根公式.
一般地，对于一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）.当
（2）Δ＝ b2－4 ac ＝0⇔方程有 两个相等的 实数根；
（3）Δ＝ b2－4 ac ＜0⇔方程 没有 实数根.
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0 2
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
用公式法解下列方程：
（1） x2－3 x ＋1＝0；
解：（1）这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝1.
最新北师版九年级数学上册精品教案：2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程1
2．3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝7±1456.故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；(3)x2－2x＋1＝0.解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.∵a＝3，b＝5，c＝－2，∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x＝－5±492×3＝－5±76，∴x1＝13，x2＝－2；(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，∴x＝2±02×1＝2±02，∴x1＝x2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac ＜0时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k>－1 B．k>－1且k≠0C．k<1 D．k<1且k≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎨⎧（－2）2－4·k·（－1）>0，k≠0.解得k>－1且k≠0，故选B.易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】根的判别式与三角形的综合应用已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2m ax＋(c－b)m＝0.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2m a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，即4m(a2＋b2－c2)＝0.又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程错误!经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。
九年级上册(北师大版)数学课时练习：2.3用公式法求解一元二次方程(有答案)
九年级上册（北师大版）数学课时练习：2.3用公式法求解一元二次方程（有答案）2.3用公式法求解一元二次方程一．填空题（共10小题）1．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为．2．方程x2﹣6x﹣4=0的两根为x1= ，x2= ，x1+x2= ，x1•x2= ．3．已知a＞b＞0，且++=0，则= ．4．已知+|n﹣1|=0，则方程x2+mx+n=0的根是．5．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．6．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．7．方程x2+2ax+a﹣4=0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k 的取值范围是．8．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是．9．关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．10．x，y为实数，且满足，则y的最大值是二．选择题（共12小题）11．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c 的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3k≠019．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限20．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0且k≠﹣121．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④22．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1三．解答题（共7小题）23．（用公式法解一元二次方程）（1）2x﹣1=﹣2x2．（2）．（3）2（x﹣1）2﹣（x+1）（1﹣x）=（x+2）2．24．解方程x2=﹣3x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，∴x===即：x1=﹣2，x2=﹣1请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．25．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）26．已知关于x的方程mx2+x+1=0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．27．已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．28．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．29．m为任意实数，试说明关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根..参考答案一．填空题1．．2．6，﹣4．3．．4．2±5．0或16．6．1＜m＜5．7．a﹣4＜k＜a2．8．m=4．9．m＜且m≠0．10．．二．选择题11．B．12．C．13．B．14．A．15．C．16．C．17．B．18．B．19．C．20．D．21．C．22．C．三．解答题23．解：（1）2x2+2x﹣1=0，△=22﹣4×2×（﹣1）=12，x==所以x1=，x2=；（2）3x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×3×1=0，x=所以x1=x2=；（3）2x2﹣4x+2﹣1+x2=x2+4x+4，2x2﹣8x﹣3=0，△=（﹣8）2﹣4×2×（﹣3）=4×22，x==所以x1=，x2=．24．解：解答有错误，正确的解法是：方程整理得：x2+3x﹣2=0，这里a=1，b=3，c=﹣2，∵△=9+8=17，∴x=，解得：x1=，x2=．25．（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．26．解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0，解得：m=﹣2；（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m ＞0，且m≠0，解得：m＜且m≠0．27．（1）解：把x=﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0得1+5﹣m2﹣2m﹣7=0，解得m1=m2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．28．解：设=x，则b=ax，c=ax2，由a+b+c=13化为a（x2+x+1）=13．∵a≠0，∴x2+x+1﹣=0 ①又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数．即△=1﹣4（1﹣）=﹣3≥0，解得1≤a≤，且为有理数．故1≤a≤16当a=1时，方程①化为x2+x﹣12=0．解得x1=﹣4，x2=3，故a min=1，b=﹣4，c=16；a min=1，b=3，c=9．当a=16时，方程①化为x2+x+=0．解得x1=，x2=．故a max=16，b=﹣12，c=9；a max=16，b=﹣4，c=1．29．解：△=[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣3（m+3）] =m2+10m+37=（m+5）2+12，∵（m+5）2≥0，∴（m+5）2+12＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．。
北师大新版数学九年级上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习
北师大新版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》同步练习一．选择题（共12 小题）1．用公式法求一元二次方程的根时，第一要确立a、 b、 c 的值．对于方程﹣4x2 +3=5x，以下表达正确的选项是（）A．a=﹣4，b=5，c=3B．a=﹣4，b=﹣ 5， c=3C．a=4， b=5，c=3D． a=4，b=﹣ 5， c=﹣32．用公式法解方程4y2=12y+3，获得（）A．y=B．y=C． y=D．y=3．对于 x 的一元二次方程的两根应为（）A．B．，C．D．4．已知 a 是一元二次方程x2﹣3x﹣ 5=0 的较小的根，则下边对a 的预计正确的是（）A．﹣ 2＜ a＜﹣ 1B． 2＜ a＜ 3C．﹣ 3＜ a＜﹣ 4D． 4＜ a＜ 55．一元二次方程2x2﹣ 2x﹣ 1=0 的较大实数根在以下哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0．若一元二次方程2+2x+m=0 中的 b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（）6 xA．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确立7．对于 x 的方程 rx2+（r+2）x+r﹣ 1=0有根只有整数根的全部有理数 r 的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不可以确立6x 9=0 有实数根，则 k 的取值范围是（）28．若对于 x 的方程 kx ﹣+A．k＜1 B． k≤ 1 C． k＜ 1 且 k≠0 D．k≤1 且 k≠ 09．若对于 x 的一元二次方程 nx2﹣2x﹣1=0 无实数根，则一次函数y=（ n+1）x ﹣ n 的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．对于 x 的一元二次方程（ k+1） x2﹣2x+1=0 有两个实数根，则k的取值范围是（）A ．k ≥0B ．k ≤0C ．k ＜0 且 k ≠﹣ 1D ．k ≤ 0 且 k ≠﹣ 111．已知一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，以下说法：①若 a+b+c=0，则 b 2﹣4ac ＞0；②若方程两根为﹣ 1 和 2，则 2a+c=0；③若方程 ax 2 +c=0 有两个不相等的实根， 则方程 ax 2+bx+c=0 必有两个不相等的实根；④若 b=2a c ，则方程有两个不相等的实根．此中正确的有（ ）+A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ ．对于 x 的一元二次方程（ 2 ﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是12 a ﹣1）x （ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣ 1二．填空题（共 10 小题）13 ．若 2+ab ﹣b 2且≠ ，则 的值为 ．a =0ab 014 ．方程 x 2﹣ 6x ﹣4=0 的两根为 x 1 ， 2， 1+x 2=，= x =x x 1?x 2=．15．已知 a ＞b ＞0，且 + + =0，则 = ．16 ．已知 +| n ﹣ ，则方程 x 2+mx+n=0 的根是 ． 1| =017 ．已知对于 x 的方程 x 2+（ a ﹣ 6）x+a=0 的两根都是整数，则 a 的值等于．18 ．若方程 x 2﹣ 4| x|+ 5=m 有 4 个互不相等的实数根，则 m 应知足．19 ．方程 2+2ax+a ﹣4=0 恒有相异两实根，若方程 x 2+2ax+k=0 也有相异两实根， x 且其两根介于上边方程的两根之间，则 k 的取值范围是 ．22x 2=0 有实根，则 m 的最大整数解 20．对于 x 的一元二次方程（ m ﹣5）x + + 是 ．21．对于 x 的方程 mx 2﹣2x+3=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是．22．x ，y 为实数，且知足，则 y 的最大值是三．解答题（共 7 小题）23．（用公式法解一元二次方程）（1） 2x﹣1=﹣ 2x2．（2）．（3） 2（ x﹣1）2﹣（ x+1）（ 1﹣x）=（x+2）2．24．解方程 x2=﹣3x+2 时，有一位同学解答以下：解：∵ a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，∴ x===即：x1=﹣2，x2=﹣1请你剖析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．25．已知对于 x 的方程（ x﹣1）（ x﹣ 4） =k2， k 是实数．（ 1）求证：方程有两个不相等的实数根：（ 2）当 k 的值取时，方程有整数解．（直接写出 3 个 k 的值）26．已知对于 x 的方程 mx2+x+1=0，试按要求解答以下问题：（ 1）当该方程有一根为 1 时，试确立 m 的值；（ 2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确立m 的取值范围．27．已知对于 x 的方程x2﹣5x﹣m2﹣ 2m﹣ 7=0．（1）若此方程的一个根为﹣ 1，求 m 的值；（2）求证：不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．28．已知三整数 a，b， c 之和为 13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的 b 与 c 的值．29．m 为随意实数，试说明对于x 的方程 x2﹣（ m﹣ 1） x﹣3（m+3）=0 恒有两个不相等的实数根 ..参照答案一．选择题1．B．2．C．3．B．4．A．5．C．6．C．7．B．8．B．9．C．10．D．11．C．12．C．二．填空题13．．14．6，﹣ 4．15．．16．2±17．0 或 16．18．1＜m＜5．19．a﹣4＜k＜ a2．20．m=4．21．m＜且m≠0．22．．三．解答题23．解：（ 1）2x2+2x﹣ 1=0，△=22﹣ 4× 2×（﹣ 1）=12，x==因此x1 2；= ，x =（2） 3x2﹣ 2 x+1=0，△=（﹣ 2 ）2﹣4×3×1=0，x=因此 x1=x2=；（3） 2x2﹣ 4x+2﹣1+x2=x2+4x+4，2x2﹣8x﹣ 3=0，△ =（﹣ 8）2﹣ 4× 2×（﹣ 3）=4× 22，x==因此 x1=，x2=．24．解：解答有错误，正确的解法是：方程整理得： x2+3x﹣2=0，这里 a=1， b=3， c=﹣2，∵△ =9+8=17，∴ x=，解得： x1=，x2=．25．（ 1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣ k2=0．∵△ =（﹣ 5）2﹣4×1×（ 4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论 k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为 x2﹣ 5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴ x=为整数，∴ k 取 0，2，﹣ 2 时，方程有整数解．26．解：（ 1）将 x=1 代入方程得： m+1+1=0，解得： m=﹣2；（2）由方程有两个不相等的实数根，获得△ =b2﹣4ac=1﹣4m＞0，且 m≠0，解得： m＜且 m≠ 0．27．（ 1）解：把 x=﹣1 代入 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0 得 1+5﹣m2﹣2m﹣7=0，解得 m1=m2=﹣ 1，即 m 的值为 1；（ 2）证明：△ =（﹣ 5）2﹣4（﹣ m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（ m+1）2≥0∴△＞ 0，∴方程都有两个不相等的实数根．28．解：设=x，则 b=ax， c=ax2，由 a+b+c=13 化为 a（x2+x+1）=13．∵a≠ 0，∴ x2+x+1﹣=0①又由于 a， b，c 为整数，则方程①的解必为有理数．即△ =1﹣4（1﹣）=﹣3≥0，解得 1≤a≤，且为有理数．故 1≤a≤16当 a=1 时，方程①化为 x2 +x﹣12=0．解得 x1=﹣4，x2=3，故 a min=1， b=﹣4，c=16；a min=1， b=3，c=9．当 a=16 时，方程①化为 x2+x+=0．解得 x1=，x2=．故a max=16，b=﹣12，c=9；a max=16，b=﹣4，c=1．29．解：△=[ ﹣（m﹣1）] 2﹣4×1×[ ﹣3（m+3）]=m2+10m+372=（m+5） +12，∴（ m+5）2+12＞0，即△＞ 0，∴方程有两个不相等的实数根．第 6页。
九年级数学上册第二章《一元二次方程》2.3用公式法求解一元二次方程第1课时公式法练习北师大版(20
九年级数学上册第二章《一元二次方程》2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时公式法同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二章《一元二次方程》2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时公式法同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3 第1课时公式法知识点 1 一元二次方程的求根公式1．用公式法解－x2＋3x＝1时，需先求出a,b,c的值，则a，b,c依次为（)A．－1，3，－1 B．1,－3，－1C．－1，－3,－1 D．－1，3，12．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是（)A．x＝错误!B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!知识点 2 用公式法解一元二次方程3．方程x2＋3x－14＝0的解是( ）A．x＝错误! B．x＝错误!C．x＝错误! D．x＝错误!4．2017·都匀期末方程2x2－4x＋1＝0的根是( ）A．x1＝1＋错误!，x2＝1－错误!B．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2C．x1＝1＋错误!,x2＝1－错误!D．x1＝2＋错误!，x2＝2－错误!5．用公式法解方程：(1）x2－2x＝1；(2)4x2－3＝12x。
知识点 3 一元二次方程根的判别式6．2017·广元方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是（)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号7．2017·安顺若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．－1C．2 D．－38．2017·长春若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是________．9．2017·潍坊若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根,则k 的取值范围是________．10．已知关于x的方程x2＋2 错误!x－1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ）A．k≥0 B．k＞0C．k≥－1 D．k＞－111．2017·锦州关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是（)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根,则该三角形的周长是( ）A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对13．2017·通辽若关于x的一元二次方程（k＋1）x2＋2（k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（)图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步,问长多阔几何．"意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多（）A．12步 B．24步C．36步 D．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a＊b＝(a＋1)2－ab,则方程（x＋2）*5＝0的解为（)A．x＝－2B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝错误!，x2＝错误!D．x1＝错误!，x2＝错误!16．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．17．已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根?（2)为m选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1)如果x＝－1是方程的根,试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状，并说明理由；(3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．1．A 。
北师大版九年级上册数学 第1课时 用公式法求解一元二次方程1(2)
2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程一、填空题1、把()2332x x +=+化成()002≠=++a c bx ax 的形式后，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝______．2、用公式法解方程1582--=x x ，其中ac b 42-＝ ，1x ＝ ，2x ＝_______．3、不解方程，判断所给方程：①0732=++x x ；②042=+x ；③012=-+x x 中，有实根的方程有 个.4、关于x 的一元二次方程()0122=++-+m x m x 有两个相等的实数根，则m 的值是 .5、若一元二次方程0132=-+x bx 有解，则b 应满足的条件是________．6、若关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足的条件是_______．7、已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长为________． 8、当x =_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 9、若关于x 的一元二次方程02=-+n mx x 有两个相等的实数根，则m ，n 所满足的关系式是 ．10、若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为________．二、选择题1、利用求根公式求x x 62152=+的根时，c b a ,,的值分别是（ ） A ．5，12，6 B ．5，6，12 C ．5，－6，12 D ．5，－6，－122、已知一元二次方程012=-+x x ，下列判断正确的是（ ）A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定3、方程0263422=++x x 的根是（ ）A ．3,221==x xB ．2,621==x xC ．2,2221==x xD ．621-==x x4、一元二次方程012=+-ax x 的两实数根相等，则a 的值为（ ）A ．0=aB ．2,2-==a a 或C ．2=aD ．02==a a 或5、若关于x 的一元二次方程()0112=++-kx x k 有实根，则k 的取值范围是（ ） A ．1≠k B ．2>k C ．12≠<k k 且 D ．k 为一切实数6、如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．21<kB ．021≠<k k 且C ．2121<≤-kD ．02121≠<≤-k k 且 7、已知c b a 、、是△ABC 的三边长，且方程()()012122=--++x c bx x a 的两根相等，•则△ABC为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8、如果不为零的n 是关于x 的方程02=+-n mx x 的根，那么n m -的值为（ ）A ．-12B ．-1C ．12D ．1 9、若()()0822222=----n m n m ，则22n m -的值是（ ） A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2三、利用公式法解下列方程（1）25220x x -+= （2）012632=--x x （3）0231322=-+y y（4）0422=++x x （5）()332-=-x x x （6） ()012552=++x x（7）()()1281-=++x x （8）()93222-=-x x （9）0242232=-+-x x四、解答题1、如图，是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，•如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值．2、小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园（阴影部分），所建花园占剩余空地面积的12，请你求出图中的x ．。
北师大版九年级上册数学 2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程教案1
2．3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝7±1456.故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；(3)x2－2x＋1＝0.解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.∵a＝3，b＝5，c＝－2，∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x＝－5±492×3＝－5±76，∴x1＝13，x2＝－2；(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，∴x＝2±02×1＝2±02，∴x1＝x2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k>－1 B．k>－1且k≠0C．k<1 D．k<1且k≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎨⎧（－2）2－4·k·（－1）>0，k≠0.解得k>－1且k≠0，故选B.易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】根的判别式与三角形的综合应用已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2m ax＋(c－b)m＝0.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2m a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，即4m(a2＋b2－c2)＝0.又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程错误!经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。
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北师版数学八年级上册
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
一、填空题
1、把()2332x x +=+
化成()002≠=++a c bx ax 的形式后，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝
______．
2、用公式法解方程1582--=x x ，其中ac b 42-＝ ，1x ＝ ，2x ＝_______．
3、不解方程，判断所给方程：①0732=++x x ；②042=+x ；③012=-+x x 中，有实根的方程有 个.
4、关于x 的一元二次方程()0122=++-+m x m x 有两个相等的实数根，则m 的值是 .
5、若一元二次方程0132=-+x bx 有解，则b 应满足的条件是________．
6、若关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足的条件是_______．
7、已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为82
cm ，则此长方形的周长为________． 8、当x =_______时，代数式13x +与2214
x x +-的值互为相反数． 9、若关于x 的一元二次方程02=-+n mx x 有两个相等的实数根，则m ，n 所满足的关系式是 ．
10、若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为________．
二、选择题
1、利用求根公式求x x 62152=+
的根时，c b a ,,的值分别是（ ） A ．5，12，6 B ．5，6，12 C ．5，－6，12 D ．5，－6，－12
2、已知一元二次方程012=-+x x ，下列判断正确的是（ ）
A ．该方程有两个相等的实数根
B ．该方程有两个不相等的实数根
C ．该方程无实数根
D ．该方程根的情况不确定
3、方程0263422=++x x 的根是（ ）
A ．3,221==x x
B ．2,621==x x
C ．2,2221==x x
D ．621-==x x
4、一元二次方程012=+-ax x 的两实数根相等，则a 的值为（ ）
A ．0=a
B ．2,2-==a a 或
C ．2=a
D ．02==a a 或
5、若关于x 的一元二次方程()0112=++-kx x k 有实根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1≠k
B ．2>k
C ．12≠<k k 且
D ．k 为一切实数
6、如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ．21<k
B ．021≠<k k 且
C ．2121<≤-k
D ．02
121≠<≤-k k 且 7、已知c b a 、、是△ABC 的三边长，且方程()()012122=--++x c bx x a 的两根相等，•则△ABC 为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．任意三角形
8、如果不为零的n 是关于x 的方程02=+-n mx x 的根，那么n m -的值为（ ）
A ．-12
B ．-1
C ．12
D ．1 9、若()()0822222=----n m n m ，则22n m -的值是（ ）
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2
三、利用公式法解下列方程
（1）25220x x -+= （2）012632=--x x （3）
023
1322=-+y y
（4）0422=++x x （5）()332-=-x x x （6） ()012552=++x x
（7）()()1281-=++x x （8）()93222-=-x x （9）0242232
=-+-x x
四、解答题
1、如图，是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，•如果正方体的
左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值．
2、小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园（阴影部分），所建花园占剩余空地面积的12
，请你求出图中的x ．。