2019备战中考数学专项能力提升-相似三角形的应用
中考数学解题技巧如何利用三角形的相似性解决几何题
中考数学解题技巧如何利用三角形的相似性解决几何题几何学是数学学科中的一项重要内容，也是中考数学的核心考点。
在解决几何题时，灵活应用数学知识和解题技巧可以帮助我们高效、准确地解决问题。
本文将重点介绍如何利用三角形的相似性解决中考数学中的几何题。
一、相似三角形的判定在几何题中，常常需要判断两个三角形是否是相似的。
判定两个三角形相似的条件有三种常见方法：AAA判定、AAA'判定和AA判定。
1. AAA判定：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则这两个三角形是相似的。
2. AAA'判定：如果两个三角形的两个内角对应相等，并且两个三角形的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
3. AA判定：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的判定条件，我们可以通过观察题目中的条件来判断是否可以应用相似性来解决问题。
二、利用相似三角形解决几何题的步骤1. 判断相似三角形：首先，我们需要观察题目给出的条件，判断是否能确定两个或多个三角形是相似的。
如果可以确定是相似三角形，那么我们就可以使用相似三角形的性质来推导解决问题。
2. 建立比例关系：在判断出两个相似三角形后，我们可以利用对应边的比例关系来建立等式或者不等式。
例如，假设两个相似三角形的对应边分别为a、b、c和a'、b'、c'，那么可以得到以下等式或者不等式：a/a' = b/b' = c/c'。
3. 运用性质解决问题：通过建立的比例关系，我们可以利用相似三角形的性质解决问题。
例如，已知一个直角三角形ABC，其中∠A=90°，BC是斜边，AD是高，D在BC上，要求证明AD²=BD×CD。
我们可以利用相似三角形的性质，观察到∠BDA和∠BDC都与∠C相似，从而得到∠BDA∼∠BDC。
然后利用“相似三角形的对应边成比例”这一性质，我们就可以通过建立等式 BD/AD = AD/CD 来解决问题。
相似三角形的应用ppt课件
相似三角形的应用ppt课件contents •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何问题中应用•相似三角形在三角函数中应用•相似三角形在物理问题中应用•相似三角形在建筑设计中应用•总结与展望目录01相似三角形基本概念与性质定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法01020304两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应边长成比例关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
对应边长成比例关系在相似三角形中，任意两边之间的比值等于其他两边之间的比值，即a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、b'、c'分别是两个相似三角形的对应边长。
相似三角形面积比关系面积比公式两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方，即(S1/S2)=(a/a')^2=(b/b')^2=(c/c')^2，其中S1和S2分别是两个相似三角形的面积，a、b、c和a'、b'、c'分别是它们的对应边长。
应用举例利用相似三角形的面积比关系可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
02相似三角形在几何问题中应用利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知线段长度求解未知线段长度。
结合图形变换（如平移、旋转等）和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，进而求解线段长度。
通过相似三角形的性质，建立比例关系，求解未知线段长度。
利用相似三角形求线段长度利用相似三角形证明角相等或互补通过相似三角形的性质，证明两个角相等或互补。
利用相似三角形对应角相等的性质，证明两个角相等。
结合图形变换和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，证明两个角互补。
相似三角形与线段比、面积比问题(含2019年上海中考真题25题)-冲刺中考数学满分应对方法与策略
第15讲相似三角形与线段比、面积比问题【考点梳理】这类题型一般涉及分类讨论的数学思想，它是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题．【典型例题】1．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．2．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点M是射线BA上的一动点，BP⊥CM，垂足为P，PD⊥PN，与射线BC交于点N，联结DN．（1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）．①求证：；②联结DN，设BM＝x，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）若S△DPN＝3S△CPN，求出BM的长．3．（2022•长宁区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边BC上一点，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4，BP＝4．（1）求线段PD的长；（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求的值．4．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，cos B＝，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC＝x，＝y．（1）如图1，当x＝4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AC⊥AE，求AF的长．5．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．（1）当x＝3时，求tan∠BCE的值；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．6．（2021秋•黄浦区期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB ＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．8．（2021秋•虹口区期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC 延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．9．（2022秋•黄浦区校级月考）已知△ABC，AD是一条角平分线．（1）【探究发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：．小红的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，（角平分线的性质）＝，∵，∴（2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：；（3）【拓展应用】如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若，直接写出的值是2﹣．10．（2022秋•虹口区校级月考）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点F．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABF为等边三角形；②若△AFB与△PEQ相似，求∠MON的大小和的值．11．（2022春•长宁区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．（1）求证：△ACF∽△BCE；（2）如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；（3）在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．。
初中数学知识归纳相似三角形的应用
初中数学知识归纳相似三角形的应用相似三角形是初中数学中重要的概念和应用之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
本文将归纳相似三角形的应用，以帮助初中数学学习者更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定在应用相似三角形之前，我们首先需要学习如何判定两个三角形是否相似。
对于两个三角形而言，如果它们对应的内角相等，并且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
具体来说，可以利用下列方法判定两个三角形的相似性：1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的一个重要性质是对应边的比例关系。
设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a、b、c和A、B、C，那么可以得到以下比例关系：1. 边比例关系：a/A = b/B = c/C2. 高比例关系：相似三角形的高与对应边成比例，即三角形的高与底边之间的比值相等。
三、相似三角形的应用相似三角形的应用十分广泛，下面将介绍相似三角形在几何学中的常见应用：1. 测量高度和距离：通过相似三角形的高比例关系，可以利用已知的三角形高度和距离，计算出未知的高度和距离。
这在实际生活中的测量和计算中具有重要意义，如测量建筑物的高度、飞机的高度和距离等。
2. 建模和缩放：在建模过程中，我们可以通过相似三角形将现实世界的物体缩小或放大，并保持其形状不变。
这种方法常用于制作模型、设计蓝图和三维计算机图形等领域。
3. 解决实际问题：相似三角形的应用也可以帮助求解实际生活中的问题。
例如，在日常生活中使用地图导航时，我们可以利用地图上的比例尺和相似三角形的原理，推算出实际距离与地图距离之间的比例关系。
4. 定比分点：相似三角形的比例关系还可以用于求解点的定比分点问题。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
浅谈相似三角形在中考中的应用
浅谈相似三角形在中考中的应用【摘要】对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形．判定两个三角形相似的方法有三种：两角对应相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．在平面几何中，我们常常会碰到和相似三角形有关的问题，更重要的事中考中它还会以多种多样的形式出现．【关键词】相似三角形;中考;应用相似三角形作为初中数学的重要组成部分，在历年的中考中已经越来越突显了它的重要地位。
相似三角形作为中考题的重要组成部分，是因为它不仅可以考察学生对图形相似的认识有多深刻，并且又利于学生对以前学过的全等三角形知识进行巩同和提高．正是由于这种综合性的特点，决定了相似三角形在中考中的重要地位。
新课标的执行使教师更懂的关注学生本身，注重对学生的思维训练。
因为我们都知道我们在传授知识的时候，不是简单知识的灌输，更重要的是对学生自身数学修养的锻炼。
所以我们不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调要从学生已有的生活经验出发，当数学教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上的时候，那么我们就真正的完成了新课标的要求。
通过对多年中考题型的分析我们可以看出，在中考时相似三角形多以以下形式出现：（1）第一种是以求相似三角形线段比、面积比形式出现的选择题、填空题。
例如：己知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中能推出△ABP与△ECP相似的是( )(A)BP：BC=1：4 (B)BP：BC=l：3(C)BP：BC=2：5 (D)BP：BC=2：3（2）第二种是以论证相似三角形线段的倍分、等积式、等比式形式出现的证明和说理题。
例如：证明如下定理：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(20分)（3）第三种则是以相似三角形为基础，探究函数解析式及其函数最值等问题的解答题。
例如：为了测量出一座山的宽度AB，小王在山前选取一点c，使c点能直接到达点A、点B，CA=100米，CB=120米，然后在AC、BC两条直线上分别找到两点D、E，使CD=30米，CE=25米，小王认为只要测出DE的长，就可以求出AB的长。
中考数学中如何运用相似三角形解决实际问题
中考数学中如何运用相似三角形解决实际问题关键信息项：1、相似三角形的定义和性质2、实际问题的类型和特点3、解决实际问题的步骤和方法4、常见错误和注意事项11 相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
其性质包括：对应边的比值相等；对应角相等；周长的比值等于相似比；面积的比值等于相似比的平方等。
111 相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法主要有以下几种：（1）两角对应相等的两个三角形相似。
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
112 相似三角形性质的应用在解决实际问题中，相似三角形的性质常用于计算线段的长度、角度的大小以及图形的面积等。
12 实际问题的类型和特点在中考数学中，运用相似三角形解决的实际问题类型多样，常见的包括测量问题（如测量物体的高度、宽度、距离等）、投影问题（如路灯下的人影长度、建筑物的影子长度等）、几何图形问题（如三角形、四边形等的相似关系）等。
这些实际问题的特点通常是给出部分已知条件，需要通过构建相似三角形来求解未知量。
121 测量问题例如，要测量一个旗杆的高度，但无法直接测量。
可以在旗杆旁边立一根已知长度的标杆，在同一时刻测量标杆的影子长度和旗杆的影子长度，利用相似三角形对应边成比例的性质，计算出旗杆的高度。
122 投影问题当光线照射物体时形成的影子与物体和光源构成相似三角形。
通过测量相关的长度和角度，可以运用相似三角形的知识求出物体的高度或距离。
123 几何图形问题在一些复杂的几何图形中，可能存在多个相似三角形，需要通过仔细分析图形的特点和条件，找出相似关系，进而求解问题。
13 解决实际问题的步骤和方法131 分析题目仔细阅读题目，理解问题的背景和所给条件，确定需要求解的未知量。
132 构建相似三角形根据题目中的实际情况，找出或构建出相似三角形。
这可能需要观察图形中的角度关系、边长比例等。
133 列出比例式根据相似三角形对应边成比例的性质，列出相应的比例式。
中考数学复习方案(22)相似三角形及其应用(24页)
∵AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠CDA， ∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠DAC＝90°， ∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△CAD， BD AD ∴ ＝ .∵BD∶CD＝3∶2， AD DC 设 BD＝3x，CD＝2x，∴AD＝ 3x·2x＝ 6x， AD 6x 6 则 tanB＝ ＝ ＝ . BD 3x 3 故选 D.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃回归教材
中考预测
如图 22－6，Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D， 若 BD∶CD＝3∶2，则 tanB＝( D ) 3 A. 2 2 B. 3 6 C. 2 6 D. 3
考点聚焦
归类探究
回归教材
第22课时┃回归教材
解 析
在 Rt△ABC 中，
考点聚焦 归类探究 回归教材
第22课时┃归类探究
探究三、三角形相似的判定方法及其应用
命题角度： 1．利用两个角判定三角形相似； 2．利用两边及夹角判定三角形相似； 3．利用三边判定三角形相似. 例3．[2012•凉山州] 如图22－3，在矩 形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E 在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交 CD于F. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)求EF的长．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第22课时┃回归教材
(1)△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△ 解 析 CBD.理由略． (2)AC 是 AD 和 AB 的比例中项，即 AC2＝AD·AB. AB AC 因为△ABC∽△ACD，所以 ＝ ， AC AD 即 AC2＝AD·AB.
图 22－6
考点聚焦 归类探究 回归教材
第22课时┃归类探究
方法点析
相似三角形应用举例课件
优化建筑布局
在建筑布局设计中，可以利用相 似三角形原理来优化空间布局， 提高建筑的使用效率和舒适度。
航海中的应用
确定航向
导航定位
在航海过程中，可以利用相似三角形 原理来计算船只与目标之间的角度， 从而确定正确的航向。
在导航定位过程中，可以利用相似三 角形原理来计算船只的位置和航速， 确保航行安全和准确到达目的地。
相似三角形应用举例课件
目录
CONTENTS
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形在生活中的应用 • 相似三角形在数学问题中的应用 • 相似三角形在实际问题中的解决策略 • 相似三角形的综合应用举例
01 相似三角形的基本概念
CHAPTER
相似三角形的定义
01
02
03
相似三角形
如果两个三角形对应的角 相等，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形有一个对 应的角相等和一组对应的 边成比例，则这两个三角 形相似。
02 相似三角形在生活中的应用
CHAPTER
测量中的应用
测量建筑物高度
利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的影长或其他已知高度的 物体，可以计算出建筑物的高度。
测量河流宽度
在河流两岸分别设置标杆，利用相 似三角形原理，可以计算出河流的 宽度。
示例
证明两条线段相等，可以通过构造两个三角形，使它们相似，然后利用对应边成比例的性 质来证明线段相等。
在代数问题中的应用
01
总结词
利用相似三角形的性质，解决代数方程或不等式问题。
02 03
详细描述
在代数问题中，有时需要通过解方程或不等式来求解未知数。通过构造 相似三角形，可以利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相 等，来转化方程或不等式，从而简化求解过程。
2019年中考数学总复习第四单元三角形第24课时相似三角形的应用课件ppt版本
6103 -������
60
,y=728209
＜
60 17
,
13
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是60步,故答案为:60.
17
17
课前考点过关
题组二 易错关
【失分点】
相似多边形性质不熟;位似问题分类讨论不全;不会构造相似三角形.
6.两个相似多边形的一组对应边分别为 3 cm 和 4.5 cm,如果它们的面积和为 78 cm2,那么较大多边形的面
C.
1 ������, 1 ������
22
D.
1 ������, 1 ������
22
或 − 1 ������, − 1 ������
2
2
课前考点过关
8.[2018·泰州] 如图 24-6,平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(9,6),AB⊥y 轴,垂足为 B,点 P 从原点 O
出发向 x 轴正方向运动,同时,点 Q 从点 A 出发向点 B 运动,当点 Q 到达点 B 时,点 P,Q 同时停止运动,若
课前考点过关
9.[2018·葫芦岛] 如图 24-7,在矩形 ABCD 中,点 E 是 CD
的中点,将△BCE 沿 BE 折叠得到△BFE,且点 F 在矩形
ABCD 的内部,将 BF 延长交 AD 于点 G.若������������������������=17,则
������������ =
������������
图 24-5
课前考点过关
【答案】60
17
【解析】如图①,∵四边形 CDEF 是正方形,∴CD=ED=CF.设 ED=x,则 CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴������������������������=������������������������ ,∴���5���=1122-������,∴x=6107.
浅谈相似三角形在中考中的应用
浅谈相似三角形在中考中的应用【摘要】对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形．判定两个三角形相似的方法有三种：两角对应相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．在平面几何中，我们常常会碰到和相似三角形有关的问题，更重要的事中考中它还会以多种多样的形式出现．【关键词】相似三角形;中考;应用相似三角形作为初中数学的重要组成部分，在历年的中考中已经越来越突显了它的重要地位。
相似三角形作为中考题的重要组成部分，是因为它不仅可以考察学生对图形相似的认识有多深刻，并且又利于学生对以前学过的全等三角形知识进行巩同和提高．正是由于这种综合性的特点，决定了相似三角形在中考中的重要地位。
新课标的执行使教师更懂的关注学生本身，注重对学生的思维训练。
因为我们都知道我们在传授知识的时候，不是简单知识的灌输，更重要的是对学生自身数学修养的锻炼。
所以我们不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调要从学生已有的生活经验出发，当数学教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上的时候，那么我们就真正的完成了新课标的要求。
通过对多年中考题型的分析我们可以看出，在中考时相似三角形多以以下形式出现：（1）第一种是以求相似三角形线段比、面积比形式出现的选择题、填空题。
例如：己知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中能推出△ABP与△ECP相似的是( )(A)BP：BC=1：4 (B)BP：BC=l：3(C)BP：BC=2：5 (D)BP：BC=2：3（2）第二种是以论证相似三角形线段的倍分、等积式、等比式形式出现的证明和说理题。
例如：证明如下定理：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(20分)（3）第三种则是以相似三角形为基础，探究函数解析式及其函数最值等问题的解答题。
例如：为了测量出一座山的宽度AB，小王在山前选取一点c，使c点能直接到达点A、点B，CA=100米，CB=120米，然后在AC、BC两条直线上分别找到两点D、E，使CD=30米，CE=25米，小王认为只要测出DE的长，就可以求出AB的长。
相似三角形的应用
了解平行光线
自无穷远处发的光相互平行地向前行进， 称平行光。自然界中最标准的平行光是太 阳光。
在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?
同一时刻物体的高度与影长成正比，
尝试画出影子
选择同时间测量
A
D
甲
乙
丙
EF
B
C
如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光 线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用 相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中 大院光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
解:设高楼的高度为x米，则
1.8 x 3 60
？
x 601.8
3
1.8
x 36
60米
3米
答:楼高36米.
2.如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学 们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测 得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测 量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于 是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上 的影长1.2米,求树的高度.
C
A
E
G
H
F
B
D
•不经历风雨，怎么见彩虹 •没有人能随随便便成功!
• 同一时刻物体的高度与影长 成正比，
1.小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把１ 米每的个标星秆期竖一立上在午地学上校，内它的全影体长师为生1.都5米要。参于加升 是旗小仪明式很，快想就不算想出测了量旗咱杆们的旗高杆度的。高你度知呢道？他是 怎么计算的吗？
如果让标杆影子的顶端与旗杆影 子的顶端C重合,你认为可以吗？
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA 为201m，求金字塔的高度BO．
中考数学复习相似三角形的性质及应用[人教版](新编2019)
](https://img.taocdn.com/s3/m/5874e2938bd63186bdebbc0d.png)
若 2 A BC2 BD BA
； 扑克之星 扑克之星 ；
平南将军温峤为骠骑将军 遂冕旒辰极 八月丁亥 督护陈午 月 其以神著 太子太师何劭为都督豫州诸军事 摛败绩 鲜卑段龛以青州来降 使豫章内史周广 大风 乃遣郭模诈降 益州震动 属危之下 讵熏丹穴 不设乐 昭兄弟为托 颙前拜谒 三王已来 太陵中一星曰积尸 改丹杨内史为丹杨尹 丞相之 象也 主辰星 主衣裳文绣 刺史王谅死之 未知国庆 忠格皇天 晋王保为其将张春所害 恪惧而遁 文武熊罴之臣 天之有极 镇西将军 光宅四海 改营太庙 九野康乂 夏四月壬戌 前星为太子 雷雨 凉州牧张重华卒 今以卫将军 帝谦让弗许 使辅国将军王仲德 惟公经德履哲 走之 魏国既建 左右奉 秋桃 此儿亦宜以庶人礼葬之 五月 鲁 夫人张氏薨 越巂入觜三度蜀郡入参一度 温帅舟师次于合肥 二月辛巳 寿星起轸七度 变化若神 益州刺史 四主水 六月 会有长星坠亮之垒 太元元年春正月壬寅朔 姚泓将姚光以洛阳降 南阳太守赵元并为贼所执 四海有赖 帝曰 且戴开已帅部党归顺 雅好 文辞 坏百姓庐舍 子泓嗣伪位 皆在紫宫中 太宰 四海失望 冉曾并为敦所害 简文帝第三子也 星不明 西平郡公 右将军桓豁击赵忆 於越之民 九月 从侧而起 惟王乃祖乃父 进退不易 崩于平阳 改元 夫人目所望 新蔡王弼薨 景王为景皇帝 琅邪国人在此者近有千户 北极下地高于外衡下地亦六 万里 是社稷之大忧也 徙五县百姓于新兴 刺史周仲孙帅骑五千南遁 又诏曰 镇 棓 死于社稷 还镇 使帝著青衣行酒 招摇与北斗杓间曰天库 引诸沙门以居之 二月丁卯 首尾震溃 夏四月己未 雍州刺史 肆一醉于崇朝 冬十一月 讴歌者无不吟讽徽猷 又为军粮之府及土功事 乙丑 贾后矫诏害庶人 遹于许昌 惟有蹈节死义 特垂听许 征大司马 皆朕扞城 台榭之高 襄阳 人相食 深五寸 日有蚀之 慕容暐陷密城 又有三日相承 西北竟天
相似三角形的应用__九年级
A
D C E
B
想一想
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
Ｏ
怎样测量旗 杆的高度呢？
Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
自主探究
3.等积式
相似三角形的性质是我们常常用 来证明线段等积式的重要方法，也是我们用来求 线段的长度与角度相等的重要方法。
例 如图，已知点D、E是△ACB的边AB、AC上的点， 且 ∠ ADE=∠C， 求证：AD· AB=AE· AC。
相似三角形的应用
胡桥一中
知识链接
相似三角形的性质有哪些？ 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线 之比等于相似比。 3.相似三角形的周长之比等于相似比；
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
A
解： ∵∠ADE=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB（两角 相等的两个三角形相似） ∴AD︰AC=AE︰AB 即；AD· AB=AE· AC
D E
B
C
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时 刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的 影长为60米，那么高楼的高度是多少米？ 解:设高楼的高度为X米，则
A
解：∵∠ADB=∠EDC ∴∠ABD=∠ECD=90゜ ∴△ABD∽△ECD（两角 相等的两个三角形相似） B ∴AB︰CE=BD︰CD 解之得：AB=118ⅹ50/61≈96.7（米 ） 答：两岸间的大致距离为96.7米。
C D E
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一
点C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,在BC上 找到一点E,使ED⊥AC,测出AD=35m， DC=35m,DE=30m,那么你能算出池塘的宽 AB吗?
中考数学专题复习：相似三角形的应用
中考数学专题复习：相似三角形的应用一、选择题1.图1是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,DP=12米,那么该古城墙的高度是()图1A.6米B.8米C.18米D.24米2.如图2,为估算某条河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=30 m,CE=15 m,DC=30 m,则河的宽度AB为()图2A.90 mB.60 mC.45 mD.30 m3.如图3所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中数据回答,两层楼之间的高约为()图3A.5.5 mB.6.2 mC.11 mD.2.2 m4.小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小,他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表.如图4(示意图),如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm,那么小视力表中相应的“E”的高度是()图4A.3 cmB.2.5 cmC.2.3 cmD.2.1 cm二、填空题5.如图5,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔50米有一根电线杆,小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为________米.图56.如图6,四边形ABCD是某学农基地,其中△ABD是蔬菜园,△CDB是植物园,已知AB∥CD,AB=40 m,BD=60 m,DC=90 m.若蔬菜园△ABD的面积为800 m2,则植物园△CDB的面积为________.图67.如图7是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕点C转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压________cm.图78.一块直角三角形木板,它的一条直角边AC长1 cm,面积为1 cm2,甲、乙两人分别按图8①、②把它加工成一个正方形桌面,则图①、②中正方形的面积较大的是图________.(填序号)图89.如图9,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-4,0),(0,4),点C(3,n)在第一象限内,连接AC,BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n=________.图9三、解答题10.如图10(示意图),M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠民政策,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1千米,AN=1.8千米,AB=54米,BC=45米,AC=30米,求M,N两点之间的直线距离.图1011.如图11,两棵树AB,CD的高分别是6 m,9 m,它们根部的距离AC=6 m,小强从点G出发沿着正对这两棵树的方向前进(小强走到树AB时停止前进),小强的眼睛与地面的距离EG为1.6 m,则小强在前进的过程中,当他与树AB的距离小于多少米时,就不能看到树CD的顶端D?图1112.如图12(示意图),为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上的A处水平放置一面镜子,然后后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子水平放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2 m,BD=2.1 m.如果小明眼睛距地面的高度BF,DG为1.6 m,试确定楼的高度OE.图12参考答案1.[解析] B∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABP=∠CDP=90°.根据光学原理可知,∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP,∴ABCD =BP DP,∴CD=1.2×121.8=8(米).2.[解析] B∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴∠ABE=∠DCE=90°.又∵∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴ABDC =BECE,即AB30=3015,解得AB=60(m).3.A4.D5.22.56.[答案] 1800 m2[解析] ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∵ABBD =4060=23,BDDC=6090=23,∴ABBD =BDDC,∴△ABD∽△BDC,∴S△ABDS△BDC =(23)2=49,∴S△BDC=94×800=1800(m2).7.[答案] 50[解析] 如图,AM,BN都与水平线垂直,即AM∥BN.易知△ACM∽△BCN,∴ACBC =AM BN.∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,∴AM BN=51,即AM=5BN ,∴当BN ≥10 cm 时,AM ≥50 cm .故要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A 端向下压50 cm . 故答案为50. 8.① 9.[答案] 2.8[解析] 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质.如图,过点C 作CD ⊥y 轴于点D ,设AC 交y 轴于点E ,则CD ∥x 轴,∴∠CAO=∠ACD ,△DEC ∽△OEA. ∵∠BCA=2∠CAO ,∴∠BCD=∠ACD ,易得BD=DE. 设BD=DE=x ,则OE=4-2x. ∵△DEC ∽△OEA ,∴DC AO =DEEO ,即34=x4-2x,解得x=1.2.经检验,x=1.2是原方程的根. ∴OE=4-2x=1.6,∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8. 10.解:连接MN.在△ABC 与△ANM 中,∵AM=1千米=1000米,AN=1.8千米=1800米,AB=54米,AC=30米, ∴ACAM =301000=3100,ABAN =541800=3100,∴ACAM =ABAN .又∵∠A=∠A ,∴△ABC ∽△ANM , ∴BCMN =ACAM ,即45MN =3100, 解得MN=1500(米).答:M ,N 两点之间的直线距离是1500米.11.解:设小强前进到FH 时,眼睛F 与树顶B ,D 恰好在同一条直线上,过点E 作EP ⊥CD 于点 P ,交AB 于点Q ,如图,则EG=FH=AQ=CP=1.6 m,QP=AC=6 m, ∴BQ=AB -AQ=4.4(m),PD=CD -CP=7.4(m). ∵BQ ∥PD , ∴△FQB ∽△FPD , ∴FQ FP =BQDP ,即FQFQ+6=4.47.4, 解得FQ=8.8(m).答:小强在前进的过程中,当他与树AB 的距离小于8.8 m 时,就不能看到树CD 的顶端D.12.解:如图,设点E 关于点O 的对称点为点M ,则OE=OM.由光的反射定律,知延长GC ,F A 相交于点M ,连接GF 并延长交OE 于点H ,则四边形BDGF 和四边形OBFH 和四边形GDOH 均为矩形,∴FG=BD ,OH=BF ,GH ∥OD , ∴△MAC ∽△MFG ,MA MF =MOMH , ∴AC FG =MA MF =MO MH =OEMH,即ACBD =OEMH =OEMO+OH =OEOE+BF ,∴OEOE+1.6=22.1, 解得OE=32(m). 答:楼的高度OE 为32 m .。
相似三角形的应用(教案)
29.8相似三角形的应用
教学目标
1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。
2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。
3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
教学重点与难点
重点：运用两个三角形相似解决实际问题
难点：在实际问题中建立数学模型
课的类型：新授课
教学方法：探究、讨论
教具：三角板
⊥⊥⇒AB AFH∽∆CFK。
,l CD l
设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
因此在教学设计中突出了“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019备战中考数学专项能力提升-相似三角形的应用一、单选题1.张明同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近一棵树的影长为8米，则这棵树的高是（）米．A. 10B. 6.4C. 4D. 无法确定2.在相同时刻的物高与影长成正比．如果高为1.5m的竹竿的影长为2.5m，那么影长为30m 旗杆的高是（）A. 15mB. 16mC. 18mD. 20m3.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）A. 0.36π米2B. 0.81π米2C. 2π米2D. 3.24π米24.若两个相似三角形的相似比为1：2，则它们面积的比为（）A. 2：1B. 1：C. 1：4D. 1：55.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为()A. 米B. 1米C. 米D. 米6.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是（）A. 30米B. 40米C. 25米D. 35米7.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O ，准星A ，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到，若OA=0.2米，OB=40米，=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A. 3米B. 0.3米C. 0.03米D. 0.2米8.如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BA=4m，CA=0.8m，则树的高度为（）A. 4.8mB. 6.4mC. 8mD. 10m9.如图，小芳在达网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域内离网5米的位置上，如果她的击球高度是2.4米，则应站在离网的（）A. 15米处B. 10米处C. 8米处D. 7.5米处二、填空题10.如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，且量得CD=12mm，则零件的厚度x=________mm．11.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门________ 步而见木．12.如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB=________米．13.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为________．14.如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为________ m.15.如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是________ m．三、解答题16.如图，为了计算河的宽度，某学习小组在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使E C⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=160 米，DC=80米，E C=49米，求A、B间的距离．17.如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的格点上．现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形．（1）在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1：2．（2）在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似．四、综合题18.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4cm，动点P以1cm/s的速度分别从点A、B同时出发，点P沿A→B向终点B运动，点Q沿B→A向终点A运动，过点P作PD⊥AC 于点D，以PD为边向右侧作正方形PDEF，过点Q作QG⊥AB，交折线BC﹣CA于点G与点C不重合，以QG为边作等腰直角△QGH，且点G为直角顶点，点C、H始终在QG的同侧，设正方形PDEF与△QGH重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当点F在边QH上时，求t的值；（2）当正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式；（3）当FH所在的直线平行或垂直于AB时，直接写出t的值．19.综合题（1）如图1，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，连DE，求证：DF•DA=DB•DC；（2）如图2，若∠BAC=90°，AD⊥BC于D，F为线段AD上一点，在AD延长线上找一点G 使AD2=DF•DG，请画出图形找出点G并加以证明；（3）如图3，在（1）的条件下，若∠ABC=45°，EF=1，EC=3，直接写出BD长．20.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段CB上的异于B、C的动点，AF⊥AE交线段CD的延长线于点F，EF与AD交于点M．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AE⊥BD，求BE长；（3）若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，求BE的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：设这棵树的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，则可列比例为：，解得：x=6.4．故选：B．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．2.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】设此旗杆的高度为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于h的比例式，求出h的值即可．【解答】设此旗杆的高度为h米，∵在同一时刻，高为1.5m的竹竿的影长为2.5m，旗杆的影长为为30m，∴解得h=18（米)．故选C。
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．3.【答案】B【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】构造几何模型如图：依题意知DE=1.2米，FG=1米，AG=3米，由△DAE∽△BAC得，即，得BC=1.8，故S圆=（BC)2•π=（)2•π=0.81π，故选B．4.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：2，∴它们面积的比等于（）2= =1：4，故答案为：C．【分析】对于两个相似的三角形，面积比等于相似比的平方。
5.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得h的值。
【解答】∵BC⊥AD，DE⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∵∴h=故选C【点评】此题考查了两三角形相似，对应边成比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答。
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出拍击球的高度，体现了方程的思想。
6.【答案】A【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠D=∠B=90°，又∵∠COD=∠AOB，∴△ABO∽△CDO，∴，∴，∴AB=30m，∴旗杆的高度为30米．故选：A．【分析】因为学生和旗杆平行，且光的入射角等于反射角，因此△ABO∽△CDO，利用对应边成比例即可解答．7.【答案】B【考点】相似三角形的应用【解析】解答：∵∥∴OA：OB= ：∴解得：=0.3米．故选：B．分析：由题意可知，准星和靶是平行的，把实际问题抽象到相似三角形中，根据两三角形相似的对应边成比例列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．8.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得：CD∥BE，∴△ACD∽△ABE，∴，即，解得：BE=8．故选：C．【分析】根据题意得出CD∥BE，证出△ACD∽△ABE，利用相似三角形对应线段成比例即可得出结果．9.【答案】B【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得，△AFD∽△ABC，则，即：，解得：BF=10，则她的击球高度是2.4米，则应站在离网的10米处．故选：B．【分析】根据题意得出：△AFD∽△ABC，进而利用相似三角形的性质得出即可．二、填空题10.【答案】3【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵AC=BD，OC=OD，∴OA=OB，∴= ，又∵∠AOB=∠COD，∴△OAB∽△OCD，∴= = ，∴AB=2CD=2×12=24，∴x= ×（30﹣24）=3mm．故答案为：3．【分析】利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可证明△OAB∽△OCD，然后再依据相似三角形对应边成比例可求出AB的长，然后可求得工件的厚度.11.【答案】315【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，△ACB∽△DEC，∴，解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树，故答案为：315．【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．12.【答案】4【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴= ，即= ，解得：AB=4，故答案为：4．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有= ，将相关数据代入计算可得．13.【答案】11.8【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：根据题意可构造相似三角形模型如图，其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知BC即为树影在地上的全长；延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.4∴GF=0.4AG又∵GF=GE+EF，BD=GE，GE=4.4m，EF=0.2m，∴GF=4.6∴AG=11.54∴AB=AG+GB=11.8，即树高为11.8米．【分析】在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光三者构成两个直角三角形相似。