2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离学案新人教B版必修2
2018版高中数学第二章平面解析几何初步疑难规律方法学案新人教B版
第二章 平面解析几何初步1 直线与方程要点精析一、直线的倾斜角x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.解读 (1)直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x 轴相交的直线；第二种是与x 轴平行或重合的直线．这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角．(2)从运动变化的观点来看，当直线与x 轴相交时，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角． (3)不同的直线可以有相同的倾斜角．(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x 轴正方向的倾斜程度． 二、直线的斜率我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．即k ＝tan α.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.解读 (1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒．(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x 轴．(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x 轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便．(4)当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线没有斜率． 三、两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.解读 (1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个，一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在．(2)当两条直线的斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，此时也有l 1∥l 2. 四、两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.解读 (1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率．(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距． 错解 由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.剖析 忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解 当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在； 当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m，得出此直线的斜率为－3m，在y 轴上的截距为6m.评注 在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论． 二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程．错解 由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1.剖析 忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立．正解 当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1； 当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，知直线l 的方程为x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注 一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0. 三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．错解 设直线的方程为x a ＋y－a＝1. 因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1.解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解． 正解 当直线的截距均不为0时，同错解； 当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况． 四、一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值． 错解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在．剖析 由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不同时为0)这一条件．当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y ＝0，它不表示直线，应舍去． 正解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0.解得m ＝3. 所以当m ＝3时，直线的斜率不存在．评注 方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线．3 掌握两条直线的位置关系三个突破口在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型．下面举例说明． 题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值．例1 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.试求m 为何值时，l 1与l 2：(1)平行；(2)垂直．分析 (1)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0平行⇔－ab ＝－m n 且－c b ≠－d n”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m 的值；(2)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔(－a b )·(－m n)＝－1”即可求解． 解 (1)若l 1∥l 2，则－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m3，解得m ＝－1.所以当m ＝－1时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，则(－1m )·(－m －23)＝－1，解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2.评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交．例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解 根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为(2m ＋37，m －27)．因为交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋37>0，m －27<0，解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是(－32，2)．评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力． 题型三 有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)．例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解 把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝－－－42＋62＝151326.4 直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解．而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率． 一、直线系方程的类型1．平行直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0(C ≠C 1)． 2．垂直直线系：与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0.3．交点直线系：若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P ，则过交点P 的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线l 2)．4．过定点P (a ，b )的直线系方程可设为m (x －a )＋(y －b )＝0(m 为参数)． 二、直线系方程的应用1．平行或垂直的直线系方程的应用例1 已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在的直线方程．解 正方形的中心G 到已知边的距离为d ＝|－1－5|12＋32＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x ＋3y ＋c ＝0，则d ＝|－1＋c |10＝610，解得c ＝7或c ＝－5(舍去)．故所求一边的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x －y ＋m ＝0. 则d ＝－＋m |10＝610，解得m 1＝9或m 2＝－3.因此正方形另两边所在的直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.评注 利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可．在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数． 2．过交点的直线系方程的应用例2 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c,0)，设P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确求得OE 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0，求直线OF 的方程．解 由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，直线CP ：x c ＋y p＝1，点F 为直线AB 与直线CP 的交点，故过F 点的直线系方程可设为l ：x b ＋ya－1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x c ＋y p －1＝0. 又直线l 过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1p －1ay ＝0.评注 本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简洁． 3．过定点的直线系方程的应用例3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若直线不过第二象限，求实数a 的取值范围． 解 直线方程化为(3x －y )a －(x －2y ＋1)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即无论a 为何实数，直线总过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.设直线的斜率为k ，直线OP 的斜率为k OP .由图象可知，当直线的斜率k满足k≥k OP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限．故由k≥k OP，解得a∈(2，＋∞)．又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．评注过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数．本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出．5 活用两点间的距离公式已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用．一、判断三角形的形状例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．求证：△ABC是直角三角形．分析求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证．证明|AB|＝－1－2＋＋2＝25，即|AB|＝25，∴|AB|2＝20，同理|AC|2＝5，|BC|2＝25.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形．评注在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可．二、求点的坐标例2 已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值．分析由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|PA|＝|PB|即可解决．解设P(x,0)，则有|PA|＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，|PB|＝x－2＋－32＝x2－4x＋7.由|PA |＝|PB |，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7， 解得x ＝－95，从而得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，且|PA |＝21095. 评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法． 三、证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析 要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC |＝|AB |＋|BC |即可，要确定|AC |，|AB |，|BC |的长，只需利用两点间的距离公式即可． 证明 |AB |＝－2＋＋2＝22＋42＝25，|BC |＝－2＋－2＝12＋22＝5， |AC |＝－2＋＋2＝32＋62＝3 5.∵|AB |＋|BC |＝35，|AC |＝35，∴|AB |＋|BC |＝|AC |，即A ，B ，C 三点共线．评注 在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题． 四、证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.分析 要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，|AM |＝x 2＋y 2，|BM |＝x －x 12＋y 2，|CM |＝x －x 12＋y －y 12，|DM |＝x 2＋y －y 12.∵|AM |2＋|CM |2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， |BM |2＋|DM |2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， ∴|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.即如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2都成立． 评注 用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．6 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点： 一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长|AB |＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上， ∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)． 作PQ ⊥AB 于Q ，连接AP ，在Rt△APQ 中，AQ ＝1，AP ＝r ，PQ ＝k ，∴r ＝1＋k 2. 又r ＝|k ＋2k －1|12＋22， ∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1， 整理得2k 2－3k －2＝0， 解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5，故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52， 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝54.因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝54. 例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0－2D －2E ＋F ＋8＝05D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单． 二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程． 分析 利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解 由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1， ∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．7 探究圆的切线探究1 已知点M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2上一点，l 是过点M 的圆的切线，求直线l 的方程． 解 设点P (x ，y )是切线l 上的任意一点，则OM ⊥MP . ∴k OM ·k MP ＝－1，即y 0x 0·y －y 0x －x 0＝－1.整理，得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20. ∵x 20＋y 20＝r 2，∴切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.当点M 在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用．结论1 过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 探究2 求过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程． 解 设点P (x ，y )是切线l 上的任意一点，则CM ⊥MP . ∴k CM ·k MP ＝－1， 即y 0－b x 0－a ·y －y 0x －x 0＝－1. 整理，得(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2.∵(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2， ∴切线l 的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.当点M 在直线x ＝a 和y ＝b 上时，可以验证上述方程同样适用．结论2 过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.探究3 求过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程．解 把圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝14(D 2＋E 2－4F )．由结论2可知切线l 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 2(x ＋D 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 2(y ＋E 2)＝14(D 2＋E 2－4F )． 整理，得x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.∴切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.结论3 过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点M (x 0，y 0)的切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＋D ·x ＋x 02＋E ·y ＋y 02＋F ＝0.8 圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ －32＋－2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法． 二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长|AB |＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长|AB |. 解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25， 所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3×1＋1×2|12＋22＝5， 所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4 5. 三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长|AB |. 解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x －2＋y 2＝9，消去y ，整理，得5x 2－14x ＋4＝0. 则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45.∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1452－4×45＝21455.评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解．9 圆与圆相交的三巧用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1 已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．解析 两圆方程作差，得x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝0评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可． 二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________________________________________________________________________． 分析 关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．解析 由平面几何知识，知AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x －y －9＝0. 答案 3x －y －9＝0评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系． 三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3 已知圆A ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆B ：(x －2)2＋(y －2)2＝9，则圆A 和圆B 的公切线有________条．分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数． 解析 因为圆心距|AB |＝－2＋－2＝2，R ＝3，r ＝2，且R ＋r ＝3＋2＝5，R －r ＝3－2＝1，所以有R －r <|AB |<R ＋r ，即两圆相交．所以两圆的公切线有两条． 答案 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距．10 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________．分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差． 解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得 (x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52， 所以圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝82，最小距离为d －r ＝22， 则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为82－22＝6 2. 答案 6 2评注 一般地，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r (r <d )，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d ＋r 和d －r .例2 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，P 是△ABC 内切圆上的动点，试求点P 到△ABC 的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值．分析 以C 点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理．解 以点C 为原点，使A 、B 分别位于x 轴、y 轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则△ABC 各顶点是A (8,0)，B (0,6)，C (0,0)，内切圆半径r ＝2S △ABC a ＋b ＋c ＝AC ·BCAC ＋BC ＋AB＝2.∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4. 设P (x ，y )是圆上的动点， 则S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100 ＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76 ＝3×4－4x ＋76＝88－4x . ∵点P 在内切圆上，∴0≤x ≤4，∴S max ＝88，S min ＝72.评注 本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行．11 妙用对策简解“圆”的问题在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量．现举例介绍求解圆问题的三条妙用对策简解． 一、合理选用方程要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷．如果问题中给出的圆心坐标关系，或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程．例1 求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)，B (3，－2)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆过点A (5,2)，B (3，－2)， 所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 易得线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．又因为圆心在直线2x －y －3＝0上， 所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即圆心为(2,1)．又圆的半径r ＝－2＋－2＝10.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 二、数形结合，充分运用圆的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解．比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等． 例2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程.解 如图所示，|AB |＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，|AD |＝23，|AC |＝4.在Rt△ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意， 此时方程为x ＝0.所以所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.评注 在直线与圆的位置关系中，直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容．解决这类弦长问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形． 三、设而不求，整体代入对于圆的一些综合问题，比如弦的中点问题，常运用整体思想．整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系．灵活运用整体代入、整体运算、整体消元(设而不求)、整体合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美． 例3 已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0，设l 与圆C 交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )． 当直线l 不垂直于x 轴时，依题意，得x 21＋(y 1－1)2＝5，① x 22＋(y 2－1)2＝5.②由①－②，可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－(y 1＋y 2－2)(y 1－y 2)． 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－y 1＋y 2－＝2x －y －＝x1－y. 而直线恒过点(1,1)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －1. 所以y －1x －1＝x1－y， 即x 2－x ＋(y －1)2＝0， 即(x －12)2＋(y －1)2＝14.当直线l 垂直于x 轴时，点M (1,1)也适合方程(x －12)2＋(y －1)2＝14.综上所述，点M 的轨迹方程是 (x －12)2＋(y －1)2＝14.评注 本题中设出A ，B 两点的坐标，但求解过程中并不需要求出来，只是起到了桥梁的作用，简化了解题过程．这种设而不求，整体处理的技巧，常能起到减少运算量、提高运算效率的作用．12 “三注意”避免“三种错”有关圆方程的求解一直是高考考查的重点和热点，而其错解问题一直困扰着同学们，常见的错解主要有：“忽视隐含条件致错”、“忽视多解过程致错”、“忽视检验结论致错”三种．下面就如何从三个角度避免错解进行例说，以助同学们一臂之力． 一、注意条件，避免忽视隐含条件致错圆方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即r ＝12D 2＋E 2－4F ，r >0，否则，易造成增解或漏解．例1 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C ：(x －3m )2＋(y －4m )2＝25(m ＋4)2相切，则点A 在圆C 的________(填“外部”、“内部”、“上面”)，m 的取值范围是________． 错解 因为过点A 与圆有两条切线，可见点A 必在圆的外部．因为点A 在圆的外部，则有(4－3m )2＋(2－4m )2>25(m ＋4)2，因此有240m <－380，解得m <－1912.故填外部，m <－1912.剖析 此题的错解在于忽视了圆方程的半径一定要大于0的隐含条件．应注意条件25(m ＋4)2>0.正解 因为过点A 与圆有两条切线，可见点A 必在圆的外部．因为点A 在圆的外部，则有(4－3m )2＋(2－4m )2>25(m ＋4)2，因此有240m <－380，解得m <－1912.再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m ＋4)2>0，所以m ≠－4，因此m 的取值范围是m <－1912且m ≠－4.答案 外部 m <－1912且m ≠－4二、注意过程，避免忽视多解过程致错有关圆方程的问题在求解的过程中要特别注意增解的情况，因为决定圆方程的条件一般是两个：“圆心”、“半径”，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生． 例2 圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点的圆的方程是________________________． 错解 因为圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)．因此圆的方程为(x －5)2＋y 2＝25.剖析 造成以上错解的原因是在解题过程中忽视了多种情况的存在性．正解 因为圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)或(－5,0)．因此圆的方程有两个，即(x －5)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋y 2＝25. 答案 (x －5)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋y 2＝25 三、注意结论，避免忽视检验结论致错圆方程的求解，对于求得的结论要注意检验，检验时要以事实为依据，对于题中的条件至结论要进行充分的挖掘，避免结论不严谨而出错．例3 已知Rt△ABC 的斜边为AB ，点A (－2,0)，B (4,0)，求点C 满足的方程．错解 设C (x ，y )，由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，如图，这样直角三角形斜边上的中点为M (1,0)，。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离学业分层测评 新人教b版必修2
2.2.4 点到直线的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.点P 在x 轴上，且到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( ) A.(8,0)B.(－12,0)C.(8,0)或(－12,0)D.(－8,0)或(12,0)【解析】 设点P 的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x －4×0＋6|32＋－2＝6， 解得x ＝8或x ＝－12.所以点P 的坐标为(8,0)或(－12,0). 【答案】 C2.已知点A (0,2)、B (2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A.4B.3C.2D.1【解析】 由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.因为△ABC 的面积为2，所以AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，得h ＝ 2.设点C (t ，t 2)，则由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，则t2＋t －4＝0或t 2＋t ＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C 有4个.【答案】 A3.到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( ) A.3x －4y －1＝0B.3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0C.3x －4y ＋1＝0D.3x －4y －21＝0【解析】 设所求的直线方程为3x －4y ＋c ＝0.由题意|c －－32＋－2＝2，解得c ＝－1或c ＝－21.故选B.【答案】 B4.已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2B.2－ 2C.2－1D.2＋1【解析】 由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 【答案】 C5.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D.203【解析】 设P (x 0，－x 20)为y ＝－x 2上任意一点，则由题意得P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x 0－3x 20－8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎪⎫x 0－232－2035，∴当x 0＝23时，d min ＝2035＝43.【答案】 A 二、填空题6.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________.【解析】 因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |32＋－2＝5⇒|b |＝10.所以b ＝±10.所以直线方程为3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0. 【答案】3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝07.若点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是________.【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 2 2 8.已知x ＋y －3＝0，则x －2＋y ＋2的最小值为________.【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)， 则点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且x －2＋y ＋2＝|PA |.|PA |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋－－3|12＋12＝ 2. 【答案】 2三、解答题9.已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程.【解】 由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l . 设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0， 则2·|c －9|72＋82＝|c －－72＋82，解得c ＝21或c ＝5.∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.10.已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程.【解】 ∵由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴中心坐标为(－1,0).∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310.∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.[能力提升]1.在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.4条【解析】 由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0. ∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条. 【答案】 B2.若动点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A.3 2B.2 3C.3 3D.4 2【解析】 根据已知条件可以知道，AB 的中点M 一定在处于l 1，l 2之间且与l 1，l 2距离相等的直线上，即M 在直线x ＋y －6＝0上，M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d ＝|－6|2＝3 2.【答案】 A3.若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)【解析】 两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由题意知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.【答案】 ①⑤4.如图224所示，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程.图224【解】 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b ).所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离学案(含解析)新人教B版必修
2.2.4 点到直线的距离1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题.(重点)2.会求两条平行直线的距离.(重点)3.点到直线的距离公式的推导.(难点)[基础·初探]教材整理1 点到直线的距离阅读教材P 87～P 88“例1”以上内容，完成下列问题. 1.概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离. 2.公式点P (x0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【解析】 由点到直线的距离公式得d ＝|0＋0－5|12＋22＝ 5. 【答案】 D教材整理2 两平行线间的距离公式 阅读教材P 89“例2”内容，完成下列问题. 1.概念夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离. 2.求法两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离. 3.公式两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d两直线3x ＋4y －2＝0和6x ＋8y －5＝0的距离等于( ) A.3 B.7 C.110D.12【解析】 直线6x ＋8y －5＝0化为 3x ＋4y －52＝0.故两直线平行，且两直线间的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋5232＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125＝110. 【答案】 C[小组合作型]求过点.【精彩点拨】 所求直线过点M ，且到两定点A 和B 的距离相等.解答本题可以根据几何意义分两类情况：(1)直线过线段AB 的中点；(2)所求直线与AB 平行，或可利用点到直线的距离公式求解.【自主解答】 法一 由题意可得k AB ＝－12，线段AB 的中点为C (1,1)，满足条件的直线经过线段AB 的中点或与直线AB 平行.当直线过线段AB 的中点时，由于M 与C 点的纵坐标相同，所以直线MC 的方程为y ＝1； 当直线与AB 平行时，其斜率为－12，由点斜式可得所求直线方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.综上，所求直线的方程为y ＝1或x ＋2y ＝0.法二 显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋b ，根据条件有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ＋b ，|－k －2＋b |k 2＋1＝|3k ＋b |k 2＋1，化简得：⎩⎪⎨⎪⎧b －2k ＝1，k ＝1－b ，或⎩⎪⎨⎪⎧b －2k ＝1，k ＝－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝0.故所求直线方程为y ＝1或x ＋2y ＝0.解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程时，要注意考虑直线的斜率是否存在.[再练一题]1.求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【解】 (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－－＋1|32＋－2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1.直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的方程.【精彩点拨】 先设出l 1、l 2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论.【自主解答】 当l 1，l 2的斜率不存在，即l 1：x ＝0，l 2：x ＝5时，满足条件. 当l 1、l 2的斜率存在时，设l 1：y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，l 2：y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0，由两条平行直线间的距离公式得|1－－5kk 2＋－2＝5，解得k ＝125.此时l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.综上所述，所求直线l 1，l 2的方程为l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.求两平行线间距离一般有两种方法1.转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算.2.公式法：直接用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2，但要注意两直线方程中x ，y 的系数必须分别相同.[再练一题]2.与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A.2x ＋y ＝0 B.2x ＋y －2＝0C.2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D.2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0【解析】 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55， 解得c ＝0或c ＝2.故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0. 【答案】 D[探究共研型]探究1 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .你能求出d 的取值范围吗？【提示】 如图，显然有0<d ≤|AB |. 而|AB |＝＋2＋＋2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310].探究2 上述问题中，当d 取最大值时，请求出两条直线的方程. 【提示】 由上图可知，当d 取最大值时，两直线与AB 垂直. 而k AB ＝2－－6－－＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.在△ABC 中，A (1,0)，B (0，－2)，点C 在抛物线y ＝x 2上，求△ABC 面积的最小值.【精彩点拨】 求出AB 所在的直线方程，△ABC 面积最小就是点C 到直线AB 的距离最小.从而求得△ABC 面积的最小值.【自主解答】 |AB |＝12＋22＝5， 直线AB 的方程为x ＋y－2＝1，即2x －y －2＝0， 设C 点坐标为(a ，a 2)， 则C 点到直线AB 的距离为 d ＝|2a －a 2－2|5.S △ABC ＝12×5×|2a －a 2－2|5＝12|a 2－2a ＋2|＝12|(a －1)2＋1|≥12， 所以当a ＝1时，△ABC 的面积最小，最小值为12.1.距离公式在有关面积计算中的应用主要体现在一边的高的计算上，但要注意根据条件进行选择.2.有关最值问题应注意：先考虑几何方法，若运用几何性质不易断定时，改用函数思想求解.[再练一题]3.已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1)、B (m ，m )、C (4,2)，1<m <4.当m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？【解】 |AC |＝－2＋－2＝10，直线AC 的方程为y －12－1＝x －14－1，即x －3y ＋2＝0.∵点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|12＋－2，∴△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14. ∵1<m <4，∴1<m <2，∴0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14≤14，0<S ≤18.∴当m ＝32，即m ＝94时，△ABC 的面积S 最大.1.点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A.322B.22C.32D.12【解析】 d ＝|1＋1＋1|12＋－2＝322. 【答案】 A2.两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0间的距离为( ) A.3 B.2 C.1 D.12【解析】 d ＝|－7－－32＋42＝1.【答案】 C3.点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为( ) A.a >7 B.a <－3 C.a >7或a <－3D.a >7或－3<a <7【解析】 由题意得|3a －6|32＋42>3，即a <－3或a >7，故选C. 【答案】 C4.分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________.【解析】 d ＝|3－(－2)|＝5. 【答案】 55.求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程. 【解】 ∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋b ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|b －6|52＋－2＝3，解得b ＝45或b ＝－33.∴所求直线方程为：5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0.。
高中数学第二章平面解析几何初步教案新人教B版必修2
第二章平面解析几何初步示范教案整体设计教学分析本节课是对第二章根本知识与方法总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生根本知识系统化与网络化，根本方法条理化．通过小结与复习，对全章知识内容进展一次梳理，突出知识间内在联系，在综合运用知识解决问题能力上提高一步．采用分单元小结方式，让学生自己回忆与小结各单元知识．在此根底上，教师可对一些关键处予以强调．比方可重申解析几何根本思想——坐标法．并用解析几何根本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求与要注意问题．可让学生先阅读教科书中“思考与交流〞有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中特殊地位．三维目标1．通过总结与归纳直线与直线方程、圆与圆方程、空间直角坐标系知识，对全章知识内容进展一次梳理，突出知识间内在联系，在综合运用知识解决问题能力上提高一步．2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究与思考问题能力，激发学生学习数学兴趣，培养分类讨论思想与抽象思维能力．重点难点教学重点：解析几何解题根本思路与解题方法形成．教学难点：整理形本钱章知识系统与网络．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道学习是一个循序渐进过程，更是一个不断积累过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上根底梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚完毕本章．引出课题．设计2.为了系统掌握第二章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题阅读教材P111思考交流，画出本章知识构造.讨论结果：知识构造应用例如思路1例1直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成三角形面积为24，求直线l方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，那么当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m＝±24. ∴直线l 方程为3x ＋4y±24＝0.点评：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行直线方程可设为Ax ＋By ＋m＝0(m≠C)．变式训练求满足以下条件直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x ＋3y ＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直；答案：(1)2x ＋3y －1＝0.(2)2x －y ＋5＝0.例2求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A(5,2)与点B(3，－2)圆方程．分析：因为条件与圆心有关系，因此可设圆标准方程，利用圆心在直线2x －y －3＝0上，同时也在线段AB 垂直平分线上，由两直线交点得出圆心坐标，再由两点间距离公式得出圆半径，从而得到方程．解：方法一：设圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，r ＝10.所以圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 方法二：因为圆过点A(5,2)与点B(3，－2)，所以圆心在线段AB 垂直平分线上，线段AB 垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆圆心C 坐标为(a ，b)，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，b ＝－12a －4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.所以圆心C(2,1)，r ＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.所以所求圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.点评：此题介绍了几何法求圆标准方程，利用圆心在弦垂直平分线上可得圆心满足一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，由两点间距离公式得出圆半径，从而得到圆标准方程．其实求圆标准方程，就是求圆圆心与半径，有时借助于弦心距、圆半径之间关系计算，可大大简化计算过程与难度．如果用待定系数法求圆方程，那么需要三个独立条件，“选标准，定参数〞是解题根本方法，其中选标准是根据条件选择恰当圆方程形式，进而确定其中三个参数．变式训练求经过两点A(－1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上圆标准方程．解：2＋(y －b)2＝r 2.∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋4－b 2＝r 232＋2－b 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1r 2＝10.所以圆方程是x 2＋(y －1)2＝10.方法二：线段AB 中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1.故点(0,1)为所求圆圆心．由两点间距离公式得圆半径r ＝10.所求圆方程为x 2＋(y －1)2＝10.思路2例3自点A(－3,3)发出光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线方程．解：(待定系数法)设光线l 所在直线方程为y －3＝k(x ＋3)，那么反射点坐标为(－31＋k k，0)(k 存在且k≠0)． ∵光线入射角等于反射角，∴反射线l′所在直线方程为y ＝－k[x ＋31＋k k]， 即l′：y ＋kx ＋3(1＋k)＝0.∵圆(x －2)2＋(y －2)2＝1，且l′与圆相切，∴圆心到l′距离d ＝|2＋2k ＋31＋k |1＋k2＝1. ∴k＝－34或k ＝－43. ∴光线l 所在直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.点评：此题是方程思想典例，方法较多，无论那种方法都是设出适当未知数，列出相应方程求解，对光线问题解决，一般利用对称方法解题，往往会收到意想不到结果．变式训练 点A(0,2)与圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝365，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过路程．解：设反射光线与圆相切于D 点．点A 关于x 轴对称点坐标为A 1(0，－2)，那么光线从A 点到切点所走路程为|A 1D|在，Rt△A 1CD 中，|A 1D|2＝|A 1C|2－|CD|2＝(－6)2＋(－2－4)2－365＝36×95. ∴|A 1D|＝1855，即光线从A 点到切点所经过路程是1855. 知能训练1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，那么a 等于( ) A ．0 B.16C ．0或 1D ．0或16答案：D2．直线l 过点P(5,10)，且原点到它距离为5，那么直线l 方程为__________．答案：x ＝5或3x －4y ＋25＝03．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成三角形面积不大于1，那么b 取值范围是__________．答案：[－2,0)∪(0,2]4．经过点P(0，－1)作直线l ，假设直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)线段没有公共点，那么直线l 斜率k 取值范围为__________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，那么m 值是__________．答案：m ＝0或m ＝－126．求经过点P(2,3)且被两条平行直线3x ＋4y －7＝0与3x ＋4y ＋8＝0截得线段长为32直线方程．解：因为两条平行直线间距离d ＝|－7－8|32＋42＝3， 所以所求直线与直线3x ＋4y －7＝0夹角为45°.设所求直线斜率为k ，那么tan45°＝|k －－34||1＋－34k|. 解得k ＝17或k ＝－7. 因此x －7y ＋19＝0或7x ＋y －17＝0为所求．6．直线l ：3x ＋4y －10＝0与曲线C ：x 2＋y 2－5y ＋p ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，O 为坐标原点，求实数p 值．解：直线l 与曲线C 方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －10＝0，x 2＋y 2－5y ＋p ＝0，消去x ，得25y 2－125y ＋100＋9p ＝0.∴y 1y 2＝100＋9p 25. 同理，x 1x 2＝16p －10025. ∵OA⊥OB，∴y 1y 2x 1x 2＝－1. ∴100＋9p2516p －10025＝－1， 解得p ＝0.拓展提升设有半径为3 km 圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人速度都一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？分析：首先建立适当坐标系，结合几何知识解题．由于是圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，于是可以以村落中心为原点，以开场时A 、B 两人前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件，然后再准确设元，列出方程．解：以开场时A 、B 两人前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3v km/h ，v km/h ，再设A 出发x 0 h 后在点P 处改变前进方向，又经y 0 h 在点Q 处与B 相遇，那么P 、Q 两点坐标为(3vx 0,0)，(0，v(x 0＋y 0))，如以下图所示．由于A 从点P 到Q 行走时间是y 0 h ，于是由勾股定理有|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，有(3vx 0)2＋[v(x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2.整理，得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.又x 0＋y 0>0，所以5x 0＝4y 0.①于是k PQ ＝0－v x 0＋y 03vx 0－0＝－x 0＋y 03x 0.② 把①代入②得k PQ ＝－34.由于切线PQ 与y 轴交点Q 对应纵坐标v(x 0＋y 0)值就是问题答案，于是转化为“当直线y ＝－34x ＋b 与圆相切时，求纵截距b 值〞．利用圆心到切线距离等于圆半径，得4|b|32＋42＝3，解得b ＝154(b>0)．因此A 、B 两人相遇位置是离村落中心正北334km 处． 课堂小结本节课学习了：1．复习本章知识，形成知识网络．2．解决与直线、圆有关问题．作业本章小结稳固与提高 6,7,9,11题．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是表达学生主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有根底知识复习、基此题型联系，又为了满足高考要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进展了归纳与总结．通过新旧知识联系，加强横向沟通，培养学生多角度思考问题，利用不同方法解决问题能力．在课堂上进展解题方法讨论有助于活泼学生思维，促进发散思维培养，提高思维灵活性，抓住数形结合数学思想，总结解题规律，充分表达解析几何研究方法．教会学生思想方法比教会学生解题重要多．数学知识将来可能会遗忘，而数学思想方法会影响一个人一生．备课资料备选习题1．假设过定点M(－1,0)且斜率为k 直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内局部有交点，那么k 取值范围是( )A ．0<k< 5B ．－5<k<0C ．0<k<13D ．0<k<5 答案：A2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动120°弧长到达Q 点，那么Q 坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)答案：A3．过坐标原点且与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切直线方程为( )A ．y ＝－3x 或y ＝13x B ．y ＝－3x 或y＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13x D ．y ＝3x 或y＝13x 解析：过坐标原点直线为y ＝kx ，与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切，那么圆心(2，－1)到直线方程距离等于半径102，那么|2k ＋1|1＋k 2＝102，解得k ＝13或k ＝－3，∴切线方程为y ＝－3x 或y ＝13x.答案：A4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切圆方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：r ＝|3×2－4×－1＋5|32＋42＝3.答案：C5．圆：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0与圆：x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，那么AB 垂直平分线方程是________．答案：3x －y －9＝06．从点A(－4,1)出发一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l 所在直线方程．解：设B(1,6)关于直线l 1对称点为B′(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴直线AB′方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0.故直线l方程为3x －7y ＋19＝0.7．直线l ：2x －y ＋1＝0与点A(－1,2)、B(0,3)，试在l 上找一点P ，使得|PA|＋|PB|值最小，并求出这个最小值．解：过点B(0,3)且与直线l 垂直直线方程为l′：y －3＝－12x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l′相交于点Q(45，135)．点B(0,3)关于点Q(45，135)对称点为B′(85，115)，连接AB′，那么依平面几何知识，知AB′与直线l 交点P 即为所求．直线AB′方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1425，y ＝5325，即P(1425，5325)，相应最小值为|AB′|＝－1－852＋2－1152＝170 5.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_2_3第2课时两条直线垂直的条件学案新人教B版必修2
- 让每一个人同等地提高自我第 2 课时 两条直线垂直的条件学习目标1. 掌握两条直线垂直的条件.2. 会利用两条直线的垂直关系，求参数或直线方程 .3. 能解决一些简单的对称问题．知识点 两条直线垂直的条件3思虑直线 l 1：y ＝－3x ＋ 1，直线 l 2： y ＝ 3 x ＋ 1，那么 l 1 与 l 2 互相垂直吗？为何？梳理 两条直线垂直对坐标平面内的随意两条直线 l1：1＋ 1＋ 1＝0和l 2： 2 ＋ 2 ＋ 2＝0，有 l 1⊥ 2 ?A xB y CA xB y Cl__________________.假如 BB ≠0，则 l的斜率 k ＝－ 11 ，1 21AB 1Al 2 的斜率 k 2＝－ 2.B 2又能够得出 l ⊥l ? ________________.12种类一两条直线垂直的判断例 1 分别判断以下两直线能否垂直．(1) 直线 l 1 经过点 A (3,4) ，B (3,7) ，直线 l 2 经过点 P ( － 2,4) ， Q (2,4) ； (2) 直线l 1的斜率为1，直线 l2与直线 2 ＋3y ＋ 1＝0 平行．3x反省与感悟 (1) 若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件： l 1⊥l 2 ? A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0 判断．(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥ l 2? k1·k2＝－1判断．(3)若所给的直线方程不是以上两种情况，则把直线方程化为一般式再判断．追踪训练 1 (1) 以下直线中与直线2x＋y＋ 1＝ 0 垂直的是 ()A． 2x－y－ 1＝ 0 B ．x－2y＋ 1＝01C．x＋2y＋ 1＝ 0 D ．x＋2y－ 1＝ 0(2) 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x 轴有交点 C，求交点C的坐标．种类二两条直线垂直关系的应用例 2 (1) 与直线y＝ 2x＋1 垂直，且在y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程是()1A．y＝2x＋ 4 B ．y＝ 2x＋4C．y＝－ 2x＋ 4 D ．y＝－1x＋ 4 2(2)直线 (2 －m) x＋my＋ 3＝ 0 与直线x－my－ 3＝ 0 垂直，则m的值为 ________．反省与感悟(1) 与直线Ax＋By＋C＝ 0 垂直的直线方程可设为Bx－ Ay＋ m＝0( m为参数)．(2) 与直线y＝kx＋m平行的直线方程可设为y＝ kx＋ b( b≠ m)；与它垂直的直线方程可设为y1＝－k x＋ n( k≠0)．追踪训练2求与直线4x－ 3y＋ 5＝0 垂直，且与两坐标轴围成的△AOB的面积为3 的直线方程．种类三对称问题命题角度 1中心对称问题例 3 (1) 求点P( x0，y0) 对于点A( a，b) 的对称点P′的坐标；(2)求直线 3x－y－ 4＝ 0 对于点 (2 ，－ 1) 的对称直线l的方程．=反省与感悟(1) 点对于点的对称问题若两点 A ( x 1 ， y 1) ， B ( x 2 ， y 2) 对于点 P ( x 0 ， y 0) 对称，则 P 是线段 AB 的中点，而且x 1＋ x 2x 0＝ 2 ，y ＋ y 21y 0＝ 2 .(2) 直线对于点的对称问题若两条直线 l 1，l 2 对于点 P 对称，则： ① l 1 上随意一点对于点 P 的对称点必在 l2上，反过来，l 2 上随意一点对于点 P 的对称点必在 l 1 上；②若 l 1∥ l 2，则点 P 到直线 l1，l 2 的距离相等；③过点 P 作向来线与 l 1 ，l 2 分别交于 A ， B 两点，则点 P 是线段 AB 的中点． 追踪训练 3与直线 2 x＋3 － 6＝0 对于点 (1 ，－ 1) 对称的直线方程是 ()yA ． 3x － 2y ＋ 2＝0B ． 2x ＋3y ＋ 7＝ 0C ． 3x － 2y － 12＝ 0D ． 2x ＋3y ＋ 8＝ 0命题角度 2轴对称问题例 4 点 P ( － 3,4) 对于直线 x ＋ y － 2＝ 0 的对称点 Q 的坐标是 ( )A ． ( －2,1)B ． ( － 2,5)C ． (2 ，－ 5)D ． (4 ，－ 3)反省与感悟(1) 点对于直线的对称问题y － y 0－ A＝－ 1，· Bx － x 0求 P ( x ，y ) 对于 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 的对称点 P ′(x ，y ) ，利用x ＋ xy ＋ yA · 2 ＋B · 2 ＋C ＝0能够求点 P ′的坐标．(2) 直线对于直线的对称问题若两条直线 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则：① l 1 上随意一点对于直线 l 的对称点必在 l 2 上，反 过来， l 2 上随意一点对于直线 l 的对称点必在 l 1 上；②过直线 l 上的一点 P 且垂直于直线 l作向来线与 l ，l 2 分别交于点 A ， B ，则点 P 是线段 AB 的中点．1追踪训练 4 求直线 m ： 2x ＋ y － 4＝ 0 对于直线 n ： 3x ＋ 4y － 1＝ 0 对称直线 b 的方程．321．若直线 l 1 的斜率 k 1＝4，直线 l 2 经过点 A (3 a ，－ 2) ， B (0 ， a ＋ 1) ，且 l 1⊥ l 2，则实数 a的值为()A ． 1B ． 3C ．0或 1D ．1或32．直线 ( m ＋ 1) x ＋ my ＋ 1＝ 0 与直线 ( m － 1) x ＋ ( m ＋ 1) y － 10＝0 垂直，则m 的值为 ( )1 A ．－ 1B. 211C ．－ 3D ．－ 1 或23．直线 l 过点 ( － 1,2) 且与直线 2x － 3y ＋ 4＝0 垂直，则 l 的方程是 ()A ．3 ＋2 y － 1＝0B ． 3x ＋2 ＋7＝0xyC ． 2x － 3y ＋ 5＝0D ． 2x －3y ＋ 8＝ 04．已知点 P (3,2) 与点 Q (1,4) 对于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 ________．5．一条光芒从点(3,2) 发出，到 x 轴上的 点后，经 x 轴反射经过点( － 1,6) ，则反射光AM B线所在直线的斜率为 __________．1．判断两直线垂直： (1) 假如斜率都存在，只判断k 1k 2＝－ 1；假如一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上边的两种状况； (2) 利用 A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0 判断．2．求点对于直线的对称点： (1) 设 P ( x 0，y 0 ) ， l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0( A 2＋ B 2≠0) ，若点 P 对于 l 的对称点为 Q ( x ， y ) ，则 l 是 PQ 的垂直均分线，即① PQ ⊥ l ；② PQ 的中点在 l 上，解方程组y － y 0 Ax － x 0 · －B ＝－1，x ＋ x 0可得出点 Q 的坐标．y ＋y 0A ·2 ＋B · 2 ＋C ＝0(2) 点 A ( x ，y ) 对于直线 x ＋ y ＋C ＝ 0 的对称点 A ′的坐标为 ( － y － C ，－ x －C ) ，对于直线 x －y ＋ C ＝0 的对称点 A ″的坐标为 ( y － C ， x ＋C ) ．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点思虑如图，∵ l 1 的倾斜角为 120°， l 2 的倾斜角为 30°，∴ l 1⊥ l 2.梳理 A 1A 2＋ B 1B 2＝0 k 1k 2＝－ 1题型研究例 1 解(1) 直线 l 1 的斜率不存在，故直线l 1 与 x 轴垂直，直线 l 2 的斜率为 0，故直线 l 2 与 x 轴平行， 因此 l 1 与 l 2 垂直．1 2 1 2 2(2) 直线 l 1 的斜率为 k 1＝ 3，直线 l 2 的斜率为 k 2＝－ 3， k 1× k 2＝ 3×( － 3) ＝－ 9≠－ 1，因此直线 l 1 与 l 2 不垂直．追踪训练 1 (1)B[ 由斜率之积为－ 1 得 B 正确． ](2) 解设 C ( x, 0) ，由题意知CA ⊥CB ，则 k CA × k CB ＝－ 1，3－0 2－ 0即－ 1－x ×4－ x ＝－1，解得 x ＝ 1 或 2，∴ C (1,0) 或 C (2,0) ．例 2 (1)D(2) －2或 1分析(1) 由于所求直线与 y ＝ 2x ＋1 垂直，因此设直线方程为1轴上的截距为 4，因此直线的斜截式方程为y ＝－ 2x ＋ 4.1y ＝－ 2x ＋b . 又由于直线在 y(2) 由直线方程可知， 当一条直线的斜率不存在时， 不存在 m 使两直线垂直， 因此两直线的斜率都存在．由k1·2－ m 1＝－2或 ＝ 1.2＝－1，可得 (－)·＝－ 1，解得kmmmm追踪训练 2解 设与直线 4 － 3 ＋ 5＝ 0 垂直的直线方程为3 ＋4 ＋ ＝0.xyxy m令 x ＝0，得 ymm＝－ ，则 (0，－ )；4 A 4m m令 y ＝0，得 x ＝－ 3，则 B ( － 3， 0) ．由于 S △ AOB ＝ 3，1因此 2| OA | ·|OB |1mm＝2| －4| ·| － 3| ＝3.2因此 m ＝ 72，因此 m ＝±6 2.故所求直线方程为 3 ＋ 4＋ 6 2＝0或 3 ＋4 －6 2＝ 0.x yxy例 3 解(1) 依据题意可知点 A ( a ， b ) 为 PP ′的中点，设点 P ′的坐标为 ( x ， y ) ，a ＝x ＋ x 02，则依据中点坐标公式，得b ＝y ＋ y，2x ＝ 2a －x 0，因此y ＝ 2b － y 0 .因此点 ′的坐标为 (2 － x 0, 2 － 0) ．P a b y(2) 方法一 设直线 l 上随意一点 M 的坐标为 ( x ， y ) ，则此点对于点 (2 ，－ 1) 的对称点为 M 1(4 － x ，－ 2－ y ) ，且M 1 在直线 3x － y － 4＝ 0 上，因此 3(4 － x ) －( － 2－ y ) － 4＝ 0，即 3x － y － 10＝0.因此所求直线 l 的方程为 3x － y －10＝ 0.方法二 在直线 3x － y －4＝ 0 上取两点 A (0 ，－ 4) ，B (1 ，－ 1) ， 则点(0 ，－ 4) 对于点 (2 ，－ 1) 的对称点为 1(4,2) ，AA点 (1 ，－ 1) 对于点 (2 ，－ 1) 的对称点为 B (3 ，－ 1) ．1可得直线 A 1B 1 的方程为 3x －y － 10＝ 0，即所求直线 l 的方程为 3x － y － 10＝ 0.追踪训练 3 D [ 由平面几何知识易知所求直线与已知直线 2x ＋3y － 6＝0 平行，则可设所求直线方程为 2 x ＋ 3 y ＋ C ＝0.在直线 2 ＋ 3 － 6＝ 0 上任取一点 (3,0) ， x y对于点 (1 ，－ 1) 的对称点为 ( － 1，－ 2) ，则点 ( － 1，－ 2) 必在所求直线上，∴2×( － 1) ＋3×( － 2) ＋C ＝ 0，解得 C ＝ 8.∴所求直线方程是2x ＋ 3y ＋ 8＝ 0.]例 4 B [ 设对称点的坐标为 (a ， ) ，由题意，得ba － 3b ＋ 4－2＝ 0，＋a ＝－ 2，22b － 4解得b ＝5，a ＋ 3＝ 1，即 Q ( －2,5) ．]追踪训练 4 解 方法一 设直线 b 上的动点 P ( x ，y ) ，直线 m 上的点 Q ( x 0, 4－ 2x 0) ，且 P ，Q两点对于直线 n ： 3x ＋ 4y － 1＝ 0 对称，则有：x ＋ x 04－ 2x 0＋ y2 ×3＋×4－ 1＝ 0，2y － 4－ 2x 04x － x 0＝ 3，消去 x 0，得 2x ＋11y ＋ 16＝ 0. 方法二由直线 m ： 2x ＋y － 4＝ 0 知A (2,0) ，B (0,4) 为直线 m 上的点，设 A ， B 对于直线 n 的对称点为 A ′(a ， b ) ， B ′(a ′， b ′) ，a ＋ 2b3× 2 ＋ 4×2－1＝0， 则有：b4a － 2＝ 3，4a ＝5，4 8解得即 A ′(，－ )．＝－ 8，55b5a ′＋ 0b ′＋ 43×＋ 4×－ 1＝0，22b ′－ 4 4 ′＝3，a18a ′＝－ 5 ，184即 B ′(－解得4 5 ，－ 5) ．b ′＝－，548－5－－52∴ k ＝184＝－ 11，b－ 5－ 5∴所求直线 b 的方程为824y ＋ 5＝－ 11( x －5) ，即 2x ＋ 11y － 16＝ 0.当堂训练1． D4． x －y ＋ 1＝ 0分析线段 PQ 的垂直均分线就是直线l ，4－ 2则 k l ·k PQ ＝k l · 1－ 3＝－ 1，得 k l ＝ 1又 PQ 的中点坐标为 (2,3) ，∴直线l 的方程为 y － 3＝ x － 2，即 x －y＋ 1＝ 0.5．－ 2分析如下图，作点 A 对于 x 轴的对称点 A ′，因此点 A ′在直线 MB 上．由对称性可知′(3 ，－ 2) ，A因此光芒 MB 所在直线的斜率为 k6－ － 2＝＝－ 2.A ′B－1－3故反射光芒所在直线的斜率为－2.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离学业分层测评新人教B版必修
224点到直线的距离（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1•点P 在x 轴上，且到直线 3x — 4y + 6 = 0的距离为6,则点P 的坐标为（ ）A.（8,0） B.（ — 12,0） C.（8,0）或（一12,0）D.（ — 8,0）或（12,0）|3 x — 4X 0+ 6|【解析】 设点P 的坐标为（X, 0）,则根据点到直线的距离公式可得 —2 ’ 2 = 6,寸 32+ —4 解得x = 8或x =— 12.所以点P 的坐标为（8,0）或（—12,0）. 【答案】 C2 . .2. 已知点A （0,2）、B （2,0），若点C 在函数y = x 的图象上，则使得厶 ABC 的面积为2的 点C 的个数为（）A.4B.3C.2D.1【解析】 由题意可得|AB = 2 2,直线AB 的方程为x + y — 2 = 0.因为△ ABC 的面积为2，所以AB 边上的高h 满足方程1X2 2h = 2,得h = 2.+ t — 4 = 0或t 2+ t = 0,这两个方程共有 4个不相等的实数根，故满足题意的点C 有4个.【答案】 A 3.到直线3x — 4y — 11 = 0的距离为2的直线方程为（）A. 3x — 4y — 1 = 0B. 3x — 4y — 1 = 0 或 3x — 4y — 21 = 0C. 3x — 4y + 1 = 0D. 3x — 4y — 21 = 0| c — —II |【解析】 设所求的直线方程为3x — 4y + c = 0.由题意-2= 2，解得c =— 1寸3 + —4或c =— 21.故选B.2设点qt , t ），则由点到直线的距离公式得2|t + t — 2| —2—2 2即 |t + t — 2| = 2,则 t【答案】B4. 已知点（a, 2）（a>0）到直线I : x —y + 3= 0的距离为1，贝U a等于（）A. 2B.2 —2C. 2- 1D. 2 + 1【解析】 由题意得|a -芳31 = 1，即| a +11 =£V 2 又 a >0,「. a = J 2— 1.【答案】 C【答案】 A 、填空题6•倾斜角为60°,且与原点的距离是 5的直线方程为 __________________ .【解析】 因为直线斜率为tan 60 °= • 3，可设直线方程为 y =•_ 3x + b ,化为一般式± 10.所以直线方程为 3x — y + 10= 0或.3x — y — 10= 0. 【答案】 .3x — y + 10= 0 或 3x — y —10 = 07.若点P 在直线x + y — 4= 0 上, O 为原点，则|OP 的最小值是 ___________ 【解析】I OP 的最小值，即为点 0到直线x + y — 4= 0的距离，d —丨 —— |=厶艮.【答案】 2 28.已知 x + y — 3= 0，则 ―x — 2—2+ y + 1—2的最小值为 _________【解析】 设P (x , y ) , A (2 , — 1),则点P 在直线x + y — 3 = 0 上,5. 抛物线y = - x 2上的点到直线 4x + 3y — 8 = 0距离的最小值是（A.3B.5C.5D.203【解析】 2 2设Rx o ,— X o ）为y = — x 上任意一点，则由题意得P 到直线4x + 3y — 8 = 02的距离 d =|4xo —3x0—8122、 20—3 x o — -------.3 3 520t2丄•••当 x o = 3时, d min = ~5得，3x — y + b = 0.由直线与原点距离为|0 — 0 + b |5，得.「3 J —12=5?|b | = 10.所以且.x—? 2+ y+1 2=|PA.|2 +—I 一 3|I PA 的最小值为点 A (2 , — 1)到直线x + y — 3 = 0的距离d = -------------------------- 22= 2.屮+ 1 【答案】 .2三、解答题9.已知直线l i 和l 2的方程分别为7x + 8y + 9= 0,7x + 8y — 3 = 0，直线I 平行于l i ,直线d i 1I 与l i 的距离为d i ，与丨2的距离为d 2,且了 =，求直线I 的方程.d 2 2【解】 由题意知l i //丨2,故l i //丨2〃 I . 设I 的方程为7x + 8y + c = 0,|c — 9| |c — — |_72+ 82=—7T?— 解得c = 2i 或c = 5.•••直线 I 的方程为 7x + 8y + 2i = 0 或 7x + 8y + 5= 0. I0.已知正方形的中心为直线x — y + i = 0和2x + y + 2= 0的交点，正方形一边所在直线方程为x + 3y — 2 = 0,求其他三边所在直线的方程. x — y +1 = 0,【解】 ••由|2x + y + 2 = 0,•中心坐标为（一1,0）.| — 1 — 2| = 3 「2+ 32 —IO ，x + 3y + m = 0 和 3x — y + n = 0.• m = 4 或 m =— 2（舍去），n = 6 或 n = 0.•其他三边所在直线的方程为x + 3y + 4= 0,3x — y = 0,3 x — y + 6= 0.［能力提升］1. 在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】 由题可知所求直线显然不与 y 轴平行，•可设直线为y = kx + b,解得|x =—1， y = 0，•••中心到已知边的距离为•••正方形中心到各边距离相等,即kx—y + b= 0..| k —2 + b|…d1= ••一= 1,V k2+ 1■|3 k—1 + b| - …、d2= -------------------- 2= 2，两式联立，k2+15 4解得b i= 3, b2= 3，二k i = 0, k2= — 3.故所求直线共有两条.【答案】B2. 若动点A(x i, y i)、B(X2, y2)分别在直线l i：x+ y—7 =0 和12：x + y —5= 0 上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为()A.3 2B.2 3C.3 3D.4 2【解析】根据已知条件可以知道，AB的中点M—定在处于l i,丨2之间且与l i,丨2距离相等的直线上，即M在直线x + y—6= 0 上, M到原点距离的最小值就是原点到直线x+ y — 6 =0的距离，由点到直线的距离公式得d= -= 3J2.【答案】A3. 若直线m被两平行线I仁x —y + i= 0与I2：x—y+ 3 = 0所截得的线段的长为2 2,则m的倾斜角可以是①i5°，②30°，③45°，④60°，⑤75°,其中正确答案的序号是_______ .(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d= ,i+1 =2，由题意知直线叭「的夹角为30, i的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+ 45°= 75°或45°—30°= i5【答案】①⑤4. 如图2-2-4所示，已知直线I仁x+ y —i = 0,现将直线I i向上平移到直线丨2的位置, 若I2 , l i和坐标轴围成的梯形面积为4,求I 2的方程.图2-2-4【解】设丨2的方程为y=—x+ b(b>0)，则题图中A(i,0) , Q0,i) , B(b, 0) , Q0 , |1 + 0—b| | b—1| —2_ =— 2—.2+ 2b2=4，所以b2= 9, b=± 3•但b>1,所以b yQ A>沪丘b>1)，由梯形面积公式得b—b).所以AD= 2,BC= 2b.梯形的高h就是A点到直线12的距离，故h = =3.从而得到直线12的方程是x+ y — 3 = 0.。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_8
§3.3.3点到直线的距离【课程标准】探索并掌握点到直线的距离公式. 【学习目标】1.通过由特殊到一般的过程及方法对比，会选用三角形等面积法推导点到直线的距离公式，讨论A=0及B=0的情况，并体会数形结合思想和坐标法的使用，提升逻辑推理和数学运算素养;2.通过对点到直线的距离公式的理解，会运用公式求解点到直线的距离问题，并体会数形结合思想，提升数学运算素养. 【学习重点】点到直线的距离【学习难点】点到直线的距离公式的推导 【评价任务】1.完成探究一和探究二及思考，检测目标1是否达成.2.完成例1、例2及练习，检测目标2是否达成. 【资源与建议】1.点到直线距离公式，是直线方程的运用，是坐标法的继续，属于解析几何的基础知识，在解决许多实际问题中有着广泛的应用.2.点到直线的距离公式的推导过程中方程变形灵活，能力要求高，属于本节知识的难点，通过小组讨论合作和教师的设问引导突破难点.3.本节课的内容按以下流程进行：点到直线距离的定义→探究点到直线距离公式推导过程→运用点到直线距离公式求解具体问题（一题多解）→总结反思.4.学生已经掌握两点间的距离公式，可以自主探究或者小组讨论的形式尝试推导点到直线的距离公式.5.课后作业布置：A 组全部完成，B 组作业供学有余力的同学选做. 【学习过程】 （一）复习引入1.),(),(222111y x P y x P ，两点间的距离公式：（二）新知探究【探究一】1.点到直线的距离是怎样定义的？0(11):40P l x y +-=2.如何求解点，到直线的距离？0o 0(x ,y )0P Ax By C ++=【探究二】用等面积法推导点到直线的距离公式0=0A B =【思考】或时上述公式是否成立？0o 0(x ,y )0P Ax By C ++=【公式】点到直线的距离 说明：（三）学以致用01(12):32P l x -=例：求点，到直线的距离.练习：01.(23):3430P l x y -++=求点，到直线的距离.2.x y =求坐标原点到直线的距离.(1,3),(3,1),(1,0),A B C ABC -∆例2：已知点求的面积.（四）课时小结知识点： 思想方法： （五）作业布置A 组：完成课本P108练习第1,2题.B 组：1.已知点())0(2,>a a 到直线03:1=+-y x l 的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B .22- C.12- D.12+2.已知点A （-3，-4），B （6,3），直线l 过点P （-1,5）且到点A,B 的距离相等，求直线l 的方程。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_12
教学设计
教学过程设计
尽可能多的方法，逐步体会
【教学安排】
【教学安排】
先由学生自主验证具体情况，再由PPT 展示一般l l
教学特色：
1. 坚持“核心素养为本”的教学设计理念，根据课程标准分析教学内容，准确把握教学内容的本质，精心设计教学过程，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验；
2. 探究设置三个梯度，难度循环上升，符合学生的身心特点和认识规律，让学生经历数学探究活动的过程，提升建模、运算、推理、优化等数学素养；
3. 通过层层设疑串起课堂，问题的设计具有一定的开放性，难度具有一定的层次性，设置具有一定的启发性，使教学组织有章可循，内容推进自然、完整，一气呵成。
人教课标版(B版)高中数学必修2教学教案-点到直线的距离1
2.2.4 点到直线的距离一、教材分析 1、教学内容本节课是人教B 版数学必修2第二章《平面解析几何初步》第§2.2.4节，主要内容是点到直线的距离公式的推导和应用.2、课程标准探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 3、地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，是在学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识基础上的学习，对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系等几何问题的进一步学习奠定了基础.二、教学目标理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，能用公式2221BA C C d +-=求两平行线间距离.4、教学重点、难点及确立的依据 教学重点：点到直线的距离公式 确定依据：由本节在教材中的地位确定 教学难点：点到直线的距离公式的推导确定依据：学生根据点到直线的距离定义进行推导，思路自然，但运算繁琐，在解决问题的过程中遇到困难，此时需要教师引导学生采用整体代换的思想简化推导过程.三、教学方法发现法：本节课为了培养学生探究性思维能力，在教学过程中，使老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己动手实践，引导、启发学生分析、发现、归纳、论证等，从而形成完整的数学模型.确定依据： (1) 美国教育学家波利亚的教与学三原则：主动学习原则，最佳动机原则，阶段渐进性原则. (2) 事物之间相互联系，相互转化的辩证法思想.四、学法指导发现法：丰富学生的数学活动，学生经过观察、练习、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题.1、让学生通过讨论的方式自主学习，培养他们独立思考的能力和交流互助学习的能力；2、渗透转化思想和从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，培养学生抽象概括能力和运用知识解决问题的能力；五、教学过程创设情景，引入课题——探索实践，合作交流——运用知识，解决问题——变式训练，深化理解——反思小结，巩固提高六、几点说明1、板书设计：2、时间安排。
高中数学 第2章 平面解析几何 2.2 直线及其方程 2.2.4 点到直线的距离学案(含解析)新人教
2.2.4 点到直线的距离学 习 目 标核 心 素 养1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点)2．会求两条平行直线之间的距离．(重点) 3．点到直线的距离公式的推导．(难点) 1．通过点到直线的距离公式的推导，培养逻辑推理的数学核心素养．2．借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养．在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l ，仓库看作点P ，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？1．点到直线的距离(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．思考：点P (x 0，y 0)到直线l 1：x ＝x 1的距离是多少？点P (x 0，y 0)到直线l 2：y ＝y 1的距离为多少？[提示] |x 0－x 1|；|y 0－y 1|． 2．两条平行直线之间的距离(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．( )(2)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b ．( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2．( )(4)两直线x ＋2y ＝m 与2x ＋4y ＝3n 的距离为|m －3n |5．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× [提示] (1)正确． (2)应是d ＝|y 0－b |． (3)正确．(4)错误．将2x ＋4y ＝3n 化为x ＋2y ＝32n ，因此距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －32n 5．2．(教材P 95练习A①改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ． 5 D [由点到直线的距离公式得：d ＝|0＋0－5|12＋22＝5．] 3．分别过点M (－1,5)，N (2,3)的两直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是 ．3 [d ＝|2－(－1)|＝3．]4．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －2＝0间的距离为 ． 1 [d ＝|－7－－2|32＋42＝1．]5．求与直线l ：3x －4y －11＝0平行且与直线l 距离为2的直线方程． [解] ∵与l 平行的直线方程为3x －4y ＋c ＝0．根据两平行直线间的距离公式得|c －－11|32＋－42＝2，解得c ＝－1或c ＝－21． ∴所求方程为：3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0．点到直线的距离【例1】 [解] 当直线的斜率不存在时，直线为x ＝－2，它到A 、B 的距离不相等，故可设直线方程为y －1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋1＝0．由|－k －2＋2k ＋1|k 2＋1＝|3k ＋2k ＋1|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝－12．所求直线方程为y ＝1或x ＋2y ＝0．点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x ＝a 或y ＝b ，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d ＝|x 0－a |或d ＝|y 0－b |．(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．[跟进训练]1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A (3,1)的距离为2的直线的方程． [解] ①当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0． 由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17．∴所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．②当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0． 由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6．∴所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上所述，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．两条平行线间的距离【例2】 1212求l 1与l 2间的距离．[解] l 1的斜率为k 1＝27，l 2的斜率k 2＝621＝27．因为k 1＝k 2，且l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2，l 2的方程可化为2x －7y －7＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝||－8＋722＋72＝153＝5353．求两平行线间距离一般有两种方法(1)转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．(2)公式法：直接用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2，但要注意两直线方程中x ，y 的系数必须分别相同．[跟进训练]2．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋m ＝0， ∵两直线的距离为2， ∴|6－m |52＋122＝2，∴m ＝32或m ＝－20．∴所求直线为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0． 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋c ＝0．在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 点P 0到直线5x －12y ＋c ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋c 52＋－122＝|c －6|13， 由题意得|c －6|13＝2，则c ＝32或c ＝－20．∴所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0．距离公式的综合应用[探究问题1．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ．你能求出d 的取值范围吗？[提示] 如图，显然有0<d ≤|AB |． 而|AB |＝6＋32＋2＋12＝310．故所求的d 的变化范围为(0,310]．2．上述问题中，当d 取最大值时，请求出两条直线的方程． [提示] 由上图可知，当d 取最大值时，两直线与AB 垂直． 而k AB ＝2－－16－－3＝13，∴所求直线的斜率为－3． 故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0．【例3】 在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大．[思路探究] 点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．[解] 如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1． 所以a ＋3b －12＝0．①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，所以3×a 2－b ＋42－1＝0．即3a －b －6＝0，②解①②得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0．所以由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． 所以点P (2,5)为所求．在本例中，求到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小的P 点的坐标？[解] 如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245．所以AC ′所在直线的方程为 19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267． 故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267为所求．求最值问题的处理思路(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰．3．求两平行直线间的距离，即可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．4．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．1．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2A [直线x ＋2＝0，即x ＝－2为平行于y 轴的直线，所以点(5，－3)到x ＝－2的距离d ＝5－(－2)＝7．]2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：9x ＋12y －10＝0间的距离等于( ) A ．75 B ．715 C ．415D ．23C [l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0，由平行线间的距离公式得d ＝|－6＋10|92＋122＝415．] 3．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝ ． 10 [由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|32＋42＝2，∴a ＋d ＝10．] 4．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为 ． 12或－6 [由题意知直线mx ＋y ＋3＝0与AB 平行或过AB 的中点，则有－m ＝4－2－1－3或m ×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m ＝12或m ＝－6．] 5．已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解] (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则由平行直线间的距离公式得|c ＋14|5＝3，∴c ＝1或－29．∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_3
2.2.4点到直线的距离【教具准备】多媒体课件。
【教学目标】1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式。
2. 会用点到直线距离公式求解有关的距离问题。
【教学重难点】重点：点到直线距离公式的推导与应用。
难点：选择恰当的解决问题的方法。
【教学过程】一、复习提问（1分钟）1. 直线的一般式方程是什么？2. 两点之间的距离公式是什么?二、新课引入（2分钟）用三个事例引入新课，一是房子离火车是否在安全距离范围?二是法国的戴尔马大桥的桥面至少上升多高轮船才能安全通过?三是有一个水厂到附近的河流取水，需要铺设管道，请问怎样铺设所需管道最少?三、自学提纲（3分钟）请同学们带着以下问题自学课本第106至107页。
1. 点到直线的距离的定义是什么?2. 点到直线的距离怎么求呢?教材上介绍了哪些方法？3. 点到直线的距离的公式是什么?四、探索研究（12分钟）1. 点到直线的距离的定义2. 特殊情形1：点),(000y x P 到坐标轴的距离。
点),(000y x P 到x 轴的距离______；点),(000y x P 到y 轴的距离______. 3. 特殊情形2：点),(000y x P 到直线11,y y x x ==距离。
点),(000y x P 到直线1x x =的距离____； 点),(000y x P 到直线1y y =的距离_____. 4. 一般情形：求点),(000y x P 到直线l ：0++=Ax By C 的距离。
其中A ≠0且B ≠0。
方法一：上述方法虽然思路十分自然，但具体运算需要一定技巧。
方法二：先用框图给出思路后，让学生动手自己推导公式。
5. 推导出公式后和同学们一起总结公式的注意点：（1）用此公式时直线要先化成一般式，且分子是将点的坐标代入直线方程的一般式的左边得到代数式的绝对值，分母是直线方程一般式的x,y 项系数的平方和的算术平方根。
（2）此公式是在A 、B ≠0的前提下推导的，但对于A=0或B=0，此公式也成立；但是A=0或B=0时我们一般不用该公式，而是用数形结合的方法，利用横(或纵)坐标之差的绝对值来求解。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_7
《点到直线的距离》教学设计一．1．教材分析 ⑴ 教学内容《点到直线的距离》人教B 版数学教科书必修二第二章第四课时，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用． ⑵ 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2．学情分析高一年级学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法． 3．教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标． ⑴ 知识技能① 理解点到直线的距离公式的推导过程； ② 掌握点到直线的距离公式；③ 掌握点到直线的距离公式的应用． ⑵ 数学思考① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； ② 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力． ⑶ 解决问题① 通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ② 由探索特殊情况下A=0或B=0以及点()2,0P 到直线0x y -=的距离，推广到探索点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=()22A B +≠0的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法． ⑷ 情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．二． 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．ll(2,OP ∴=2sin 45222PQ OP ∴==⨯= 2y x y =⎧∴⎨=-⎩2,OP ∴=12C d A ∴=ABC ABC=5例题，使生够板书设计：设计说明：1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．让学生的思路沿着由特殊到一般的方式证明结论，特别是增加了设而不求的数学方法，突出几何直观和数形结合的思想方法；3．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．课题：点到直线的距离 1．问题1当A=0或B=0时,直线为y=y 1或x=x 1的形式. 如何求点到直线的距离？ 2． 问题1 如何求点(2,0)P 到直线0x y -=的距离？ 方法① 方法② 方法③ 3． 问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++= 的距离（220A B +≠）？ 方法① 利用定义的算法 方法② 设而不求的算法点到直线的距离公式4．典型例题 例1 例25．课堂练习 6．课堂小结 7．课后作业。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_1
3.3.3点到直线的距离教学设计一、课题：点到直线的距离二、课型：新授课三、课时：40分钟四、教材分析点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的的公式之一，它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。
教材试图让学生通过学习探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴含其中的教学思想和方法；能让学生充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。
五、学情分析从总体上看，学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力。
同时，学生已经掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定基础知识，但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来以一定的难度。
六、教学目标知识与技能目标：理解点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式；掌握点到直线的距离公式的应用。
过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，提高观察、类比、抽象、概括、数形结合等能力。
情感态度与价值观：通过对问题的探究活动，获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，优化数学思维品质。
七、教学重难点重点：点到直线的距离公式的推导思路和应用。
难点：点到直线的距离公式的应用。
八、教学工具：多媒体九、教学过程（幻灯片1）同学们好，上节课，我们研究了两点间的距离公式，而这节课，我们来研究点到直线的距离，首先，我们来看一个实际问题：（幻灯片2）在一条公路附近有一大型仓库，现要再修建一条公路与之连起来，便于运货。
那么怎么设计能使这段公路最短？最短路程又是多少？同学们看到屏幕，这个代表仓库，而这条代表公路，那么要修建一条公路把仓库和公路连接起来，是不是有很多种修建的方法？比如这条，还有这条垂直于公路的，还有这样的。
那为了使仓库到公路的距离最短，那那一条最短呢？是不是垂直于公路的这条？因为再连接其他的公路都能形成一个直角三角形，而直角三角形的斜边都比直角边长，从而呢，最短的就是这条垂线段的长度。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_7
点到直线的距离教学目标知识与技能：探究并掌握点到直线的距离公式，能用公式解决一些简单的问题；过程与方法：学习并领会探究点到直线间距离公式的思维过程，掌握用数形结合的数学思想来研究数学问题的方法；情感、态度与价值观：提高自主探究及发散思维的能力，提高团队合作精神。
教学重难点重点：点到直线距离公式的探究过程，有关数学思想方法的应用。
难点：点到直线距离公式的探究。
讲解、讨论、探究式教学过程一、创设情景，揭示课题如图，已知四边形ABCD中四点A,B,C,D的坐标，如何求它的面积?二、探究总结形成概念将上述问题抽象成数学问题，即：点到直线的距离问题。
（回忆点到直线距离的定义：点B到直线l的垂线段BE的长度。
）问题在平面直角坐标系中，已知点B和一条直线l，怎样求点B到直线l的距离d？方法一：1.求垂线BE的方程2.求交点E的坐标3.求B与E两点间距离上述方法虽然思路简单，但是计算较为繁琐方法二（等面积法）：如图，1.过B 分别做x 轴、y 轴的垂线X=3和y=-2，与直线交于两点S,R ；2.构成三角形，转化成求直角三角形高的问题；知道面积和底边，就可以求高， 现在转化为求SR BS BR 、、的长度两点间距离公式，转化为求R 、S 的坐标3.CD 所在直线方程：5x+4y-26=0;S 点坐标为)411,3(；R 点的坐标为)2,534(- 519;419==BR BS ;由勾股定理得204119)519()419(2222=+=+=BR BS SR BE SR BR BS ⋅=⋅,所以414119=BE 三、一般公式推导过程过),(000y x P 作x 轴的平行线，交l 于点R ),(00y AC By +- 过0P 作y 轴的平行线，交l 于点S ),(00BC Ax x +-当直线l 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时：∴AC By Ax x x R P R ++=-=0000， BC By Ax y y S P S ++=-=0000 C By Ax BA B A S P R P RS ++⋅+=+=00222020 由三角形面积公式知：PS PR RS PH ⋅=⋅ 所以220000B A CBy Ax RS SP R P d +++=⋅=思考：当0=A 或0=B 时，上述公式是否成立?①0,0==B A 时，此时直线不存在；②00≠=B A ，时，直线变为0=+C By ，即：B C y -=，直线为平行于x 轴的直线（或与x 轴重合），则22000000)(BA C By AxBC By B C y B C y Q P d +++=+=+=--==； ③00=≠B A ，时，直线变成0=+C Ax ，即：A C x -=，直线为平行于y 轴的直线（或与y 轴重合），则22000000)(BA C By Ax A C Ax A C x A C x Q P d +++=+=+=--==。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．2.4 点到直线的距离学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．知识点一点到直线的距离思考1 你能说出求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的一个解题思路吗？思考2 根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？思考3 点到直线的距离公式对于当A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？梳理点到直线的距离及公式(1)定义：点到直线的________的长度．(2)图示：(3)公式：d＝________________.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？梳理 两条平行直线间的距离及公式(1)定义：夹在两平行线间的________________的长．(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②当点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练 1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________．类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为____________． (2)已知直线l 到直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． 跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．类型三 利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________． 反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时点P 的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．命题角度2 有关两平行线间距离的最值例4 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . (1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程．反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32D.321．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．± 22．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －C ＝0的距离为25，则C 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11D ．9或－113．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( ) A.10 B.355C. 6D ．3 54．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．答案精析问题导学 知识点一思考1 由PQ ⊥l ，以及直线l 的斜率为－A B ，可得l 的垂线PQ 的斜率为B A，因此，垂线PQ 的方程可求出．解垂线PQ 与直线l 的方程组成的方程组，得点Q 的坐标，用两点间距离公式求出|PQ |，即为点P 到直线l 距离． 思考2 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B|＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．梳理 (1)垂线段 (3)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2知识点二思考 点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． 梳理 (1)公垂线段 题型探究例1 (1)解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－－＋1|42＋－2＝185. ②3y ＝4可化为3y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得|－3×3－4|02＋32＝133. ③x ＝3可化为x －3＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－3|1＝1. (2)解 方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等， 故x ＝－1满足题意．当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二 由题意，得l ∥AB 或l 过AB 的中点， 当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ， 直线l 的斜率为k l ， 则k l ＝k AB ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 跟踪训练1 (1)[13，313](2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 解析 (1)由题意知，|4×4－3a |42＋－2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0. 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 例2 (1)104解析 由题意，得63＝m1，∴m ＝2.将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0， 由两平行线间距离公式，得d ＝|－1＋6|62＋22＝540＝104. (2)2x －y ＋1＝0解析 设直线l 的方程为2x －y ＋C ＝0， 由题意，得|3－C |22＋12＝|C ＋1|22＋12，解得C ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.跟踪训练2 解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为 |－12×12＋C |52＋－2＝|C －6|13. 由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式， 得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意得，两直线的斜率都存在， 设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0.因为l 1与l 2的距离为5，所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512. 所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 例3710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1 ＝x －2＋y －2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离， 即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 跟踪训练3 解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1， ∴OP 所在的直线方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)．(2)由题意知，过点P 且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.例4 解 (1)设经过点A 和点B 的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为 |AB |＝－3－2＋－1－2＝310，∴d 的取值范围为(0,310]．(2)由(1)知，d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.跟踪训练4 D [两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－－62＋82＝32.] 当堂训练 1．D 2.B 3.B 4．10解析 由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10. 5．(5，－3)解析 由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线， 设垂足为M ，则|MP |为最小， 直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3∴所求点的坐标为(5，－3)．。