沪教版八年级数学15.3(1)等腰三角形(第1课时)
【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)
15.3《等腰三角形》基础练习本课时编写：合肥市五十中学新校天鹅湖校区胡思文第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C．100°D．140°2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2或5 B．3 C．4 D．53．如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°5．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°7．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°8．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．12．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．15．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．第2课时一、选择题1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°3．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．8 C．9 D．105．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：26．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条 D．8条7．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为．10．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=时，△AOP为等边三角形．11．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有个．12．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）．三、解答题14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（）A．10 B．C．5 D．2.52．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（）A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm4．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.55．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2 B．3 C．4 D．67．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠A=30°，则DE等于（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m二、填空题9．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=10，则BC=10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB 于点D，若CB=4，则BD的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D 和点E，若CE=2，则AB的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．13．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于．三、解答题14．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：（1）∠ADG的度数；（2）线段DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．2．解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D．3．解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．4．解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．5．解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．6．解：①若顶角的外角等于140°，那么顶角等于40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．故选：D．7．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．8．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．故选：C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．10．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．11．解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵AD=AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵AD=BD，∴∠B=37°，故答案为37°．13．解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．14．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=4，∴DC=8，∵AD=CD，∴AC=16，∴△ABC的周长=3AC=48．第2课时1．解：A、∵1+1=2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B、∵1+1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D、∵2+2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；故选：C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选：C．3．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，△ABC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．4．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．5．解：A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．6．解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．7．解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．8．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：B．9．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°，∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．故答案为：20°或40°或70°或100°．10．解：∵AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．11．解：如图，满足△EAB是等腰三角形的点E有5个，故答案为：5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故答案为：②14．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠EBD．∴BE=DE．（2）∵AB=BC，BD是△ABC的角平分线，∴AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连接BC．∵AB=AC（已知），∴∠1=∠2（等边对等角）．又∠ABD=∠ACD（已知），∴∠ABD﹣∠1=∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．即∠3=∠4．∴BD=DC（等角对等边）．第3课时1．解：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，即BC=AB，∴∠A=30°，故选：B．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，故选：B．4．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AC=AB=BC=6，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD=AC=3，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=CD=1.5．故选：C．5．解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．故选：D．6．解：∴CD是高，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=AB=×8=4，∴∠BCD=30°，∴BD=BC=2，故选：A．7．解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH=180°﹣∠BAC=30°，在Rt△ABH中，BH=AB=10，所以S△ABC=×10×30=150，所以购买这种草皮至少需要150a元．故选：C．8．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵D是AB中点，∴AD=BD，∴AE：CE=AD：BD，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，在Rt△ABC中，BC=AB=3，∴DE=1.5．故选：A．9．解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴BC=AC=5，故答案为：5．10．解：如图，过C点作BD的垂直平分线交BD于点E，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴∠BCE=∠A=30°，BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为：4．11．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故答案为：4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．13．解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．14．解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）；又∵∠B=120°，∴∠A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ADG=90°﹣30°=60°；（2）连接BD．∵AB的垂直平分线DG交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=90°；由（1）知∠A=∠C=30°，∴BD=CD（30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．。
沪科版数学八年级上册《15.3 等腰三角形(一)》课件
底边
合作探究
• 你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。
• 学生活动：发现问题，如图所示，重合的线段是AB=AC， BD=CD，底边上的高、顶角平分线，底边上的中线重合， 重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD， ∠ADB=∠ADC=90°；等边三角形如图所示，根据三角形 三边相等的概念，得出∠A=∠B=∠C，再由三角形内角和 等180°；得∠A=∠B=∠C=60°。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
预学检测
• 1、本节课主要学习那些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什
么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
回顾交流、操作感知
如图所示的三种三角形有什么特殊性呢？是怎样 的从属关系呢？ • 学生活动：等腰三角形有两个边是相等的叫做腰， 不等的边叫做底；等边三角形在三条边都相等， 它是等腰三角形的特例；而等腰三角形是三角形 家族中的成员之一。
15.3 等腰三角形（一）
教学目标：
• 1、知识与技能 • 进一步认识等腰三角形定义和性质。 • 2、过程与方法 • 通过观察、操作、想象、推理和交流活动，理解
等腰三角形“三线合一”等有关性质、发展几何 推理意识。 • 3、情感、态度与价值观 • 通过对问题的发现和解决，培养学生合作精神， 树立学好教学的信心，形成有条理的表达。
A D
B
C
当堂训练
• 课本练习第1,2,3题。
总结提升
• 本节课学习了哪些内容？你有何收 获？
作业布置
• 课堂作业：习题15.3第1.2题
• 家庭作业：1、基础训练15.3（1）
•
2、预学下一节内容。
教师反思
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 等腰三角形的性质
8．【中考·黔西南州】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线 上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．
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【点拨】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵CG＝CD，∠CGD＋∠CDG＝∠ACB， ∴∠CDG＝∠CGD＝30°.
9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC＝________．
(2)求∠ACF的度数．
解：∵在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝30°. ∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝30°. 又∵∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30°＋60°＝90°.
15．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E ，C，作△AEC，使AE＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度 数．
结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
D
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE
7．【2021·合肥庐阳区四十五中月考】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝ AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：作AF⊥BC，垂足为F， ∵AB＝AC，∴BF＝CF， ∵AD＝AE，∴DF＝EF， ∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
证明：在△ACD中，∵CD＝AC，CF是△ACD的中线， ∴CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF. ∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB. ∴∠FCA＋∠ACE＝∠DCF＋∠ECB＝90°， ∴CE⊥CF.
13．【芜湖鸠江区校级统考】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ 35°，E是BC边上一点，且AE＝CE，D是C边上的中点，连接AD，AE.
【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)
15.3《等腰三角形》基础练习第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C．100°D．140°2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2或5 B．3 C．4 D．53．如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°5．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°7．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°8．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．12．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．15．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．第2课时一、选择题1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°3．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．8 C．9 D．105．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：26．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条 D．8条7．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为．10．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=时，△AOP为等边三角形．11．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有个．12．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）．三、解答题14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（）A．10 B．C．5 D．2.52．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（）A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm4．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.55．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2 B．3 C．4 D．67．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠A=30°，则DE等于（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m二、填空题9．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=10，则BC=10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB 于点D，若CB=4，则BD的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E，若CE=2，则AB的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．13．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于．三、解答题14．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：（1）∠ADG的度数；（2）线段DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．2．解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D．3．解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．4．解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．5．解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．6．解：①若顶角的外角等于140°，那么顶角等于40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．故选：D．7．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．8．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．故选：C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．10．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．11．解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵AD=AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵AD=BD，∴2∠B=∠ADC=74°，∴∠B=37°，故答案为37°．13．解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．14．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=4，∴DC=8，∵AD=CD，∴AC=16，∴△ABC的周长=3AC=48．第2课时1．解：A、∵1+1=2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B、∵1+1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D、∵2+2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；故选：C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选：C．3．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，△ABC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．4．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．5．解：A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．6．解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．7．解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．8．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：B．9．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°，∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．故答案为：20°或40°或70°或100°．10．解：∵AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．11．解：如图，满足△EAB是等腰三角形的点E有5个，故答案为：5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故答案为：②14．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠EBD．∴BE=DE．（2）∵AB=BC，BD是△ABC的角平分线，∴AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连接BC．∵AB=AC（已知），∴∠1=∠2（等边对等角）．又∠ABD=∠ACD（已知），∴∠ABD﹣∠1=∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．即∠3=∠4．∴BD=DC（等角对等边）．第3课时1．解：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，即BC=AB，∴∠A=30°，故选：B．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，故选：B．4．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AC=AB=BC=6，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD=AC=3，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=CD=1.5．故选：C．5．解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．故选：D．6．解：∴CD是高，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=AB=×8=4，∴∠BCD=30°，∴BD=BC=2，故选：A．7．解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH=180°﹣∠BAC=30°，在Rt△ABH中，BH=AB=10，所以S△ABC=×10×30=150，所以购买这种草皮至少需要150a元．故选：C．8．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵D是AB中点，∴AD=BD，∴AE：CE=AD：BD，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，在Rt△ABC中，BC=AB=3，∴DE=1.5．故选：A．9．解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴BC=AC=5，故答案为：5．10．解：如图，过C点作BD的垂直平分线交BD于点E，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴∠BCE=∠A=30°，BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为：4．11．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故答案为：4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．13．解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．14．解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）；又∵∠B=120°，∴∠A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ADG=90°﹣30°=60°；（2）连接BD．∵AB的垂直平分线DG交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=90°；由（1）知∠A=∠C=30°，∴BD=CD（30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．。
【提高练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】
15.3 《等腰三角形》提升练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．如图，等边三角形ABC与相互平行的直线a，b 订交，若∠ 1=25 °，则∠ 2 的大小为（）A．25°B．35°C． 45°D． 55°2．某等腰三角形的三边长分别为x，3， 2x﹣ 1，则该三角形的周长为（）A．11B． 11 或 8C． 11 或 8 或 5D．与 x 的取值相关3．如图，等边三角形ABC中， AD⊥ BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠ EBC=45°，则∠ ACE 等于（）A．15°B．30°C． 45°D． 60°4．如图，∠ AOB=60°， OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向挪动，以AC为边在右侧作等边△ ACD，连结 BD，则 BD 所在直线与OA 所在直线的地点关系是（）A．平行B．订交C．垂直D．平行、订交或垂直P 是三角形内的随意一点，PD∥ AB， PE∥ BC， PF∥ AC，5．如图，△ABC是等边三角形，点12，则PD+PE+PF=（）若△ ABC的周长为A．12B．8 C． 4D． 3二、填空题6．如图，在凸四边形ABCD中， AB=BC=BD，∠ ABC=80°，则∠ ADC 等于°．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为．8．如图，等腰△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=50°，AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，则∠ DBC 的度数是．三、解答题9．已知：如图，△ABC 中， AB=AC，点 D 是△ ABC内一点，且 DB=DC，连结 AD 并延伸，交BC 于点 E．（1）依题意补全图；（2）求证： AD⊥ BC．10．如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别在边BC、AC上，且 AE=CD，BE 与 AD 订交于点P，BQ⊥AD 于点 Q．（1）求证：△ ABE≌△ CAD；（2）请问 PQ 与 BP有何关系？并说明原因．第2课时一、选择题1．如图，以点O 为圆心，随意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点 A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（）A．30°B．45°C． 60°D． 90°2．如图：在△ABC中，以下条件中能说明△ABC是等边三角形的是（）A．AB=AC，∠ B=∠ C B． AD⊥ BC， BD=CDC． BC=AC，∠ B=∠C D． AD⊥ BC，∠ BAD=∠ CAD3．下边给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（ 4）有一个角为 60°的等腰三角形，此中是等边三角形的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个4．已知：在△ ABC中，∠ A=60°，如要判断△ ABC 是等边三角形，还需增添一个条件．现有下边三种说法：①假如增添条件“AB=AC”，那么△ ABC是等边三角形；②假如增添条件“∠ B=∠ C”，那么△ ABC是等边三角形；③假如增添条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ ABC是等边三角形．上陈述法中，正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个5．如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD，CE是角均分线，则图中的等腰三角形共（）有A．8 个B．7 个C．6 个D．5 个二、填空题6．假如 a，b，c 为三角形的三边，且（ a﹣b ）2+（ a﹣ c）2+|b ﹣ c|=0 ，则这个三角形是．7．假如一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是三角形．8．如图，在△ABC 中， BC=8cm， BP、 CP分别是∠ABC 和∠ ACB的均分线，且PD∥ AB， PE ∥ AC，则△ PDE的周长是cm．三、解答题9．如图，在△ ABC 中，AB=AC=2，∠ B=∠ C=40°，点 D 在线段 BC 上运动（ D 不与 B、C 重合），连结 AD，作∠ ADE=40°，DE 交线段 AC 于 E．（ 1）当∠ BDA=115°时，∠ EDC=°，∠ DEC=°；点D从B向C运动时，∠ BDA 渐渐变（填“大”或“小”）；ABD≌△ DCE，请说明原因；（ 2）当DC等于多少时，△（ 3）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状能够是等腰三角形吗？若能够，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以够，请说明原因．10．如图，点O 是等边△ ABC内一点，∠ AOB=110°，∠ BOC=α．以 OC为一边作等边三角形OCD，连结 AC、 AD．（1）当α=150°时，试判断△ AOD 的形状，并说明原因；（2）研究：当 a 为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？第3课时一、选择题1．如图，将一个有45°角的三角板的直角极点放在一张宽为3cm 的纸带边缘上．另一个顶点在纸带的另一边缘上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（）A．3cm B． 6cm C． 8cm D． 9cm2．如图，△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则AP 的长不行能是（）A．3.5B．4.2C． 5.8D． 6.53．如图，在△ABC 中，∠ A=90°，∠ C=30°，AD⊥ BC 于D， BE 是∠ ABC 的均分线，且交AD 于 P，假如AP=2，则AC 的长为（）A．2B． 4C． 6D． 8BC的长（）4．如图，在△ABC中， AB=AC，∠ C=30°， AB⊥ AD， AD=4cm，求A．8cm B． 12cm C． 15cm D．16cm5．如图，已知∠ AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=10，点M 、N在边OB 上，PM=PN，若MN=2 ，则 OM=（）A．3B． 4C． 5D． 6二、填空题6．如图，在等边△ABC中， BD是AC 边上的中线，过点 D 作DE⊥ BC于点E，且CE=1.5，则AB 的长为．7．假如一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为．8．在等腰△ABC中，AD⊥ BC交直线BC于点D，若 AD=BC，则△ ABC的顶角的度数为．三、解答题9．如图，一艘轮船清晨8 时从点 A 向正北方向出发，小岛P 在轮船的北偏西15°方向．轮船每小时航行15 海里， 11时轮船抵达点 B 处，小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向．（ 1）求此时轮船距小岛为多少海里？（ 2）在小岛 P 的四周 20 海里范围内有暗礁，假如轮船不改变方向持续向前航行，能否会有触礁危险？请说明原因．10．已知，如图 Rt△ABC中，∠ BAC=90°，AD 是 BC边上的高，∠ B=2∠ C，E 是 BC的中点．求证： DE=AB．参照答案第1课时1．解：过点 C 作 CD∥ b，∵直线 a∥ b，∴CD∥ a∥ b，∴∠ 4=∠ 1=25°，∵∠ ACB=60°，∴∠ 3=∠ ACB﹣∠ 4=60°﹣ 25°=35°，∴∠ 2=∠ 3=35°．应选： B．2．解：当x=3 时，此时 2x﹣1=5，∴3+3＞ 5，能构成三角形，此时三角形的周长为： 3+3+5=11，当 x=2x﹣1 时，此时 x=1，∴1+1＜ 3，不可以构成三角形，当 2x﹣ 1=3 时，此时 x=2∴3+2＞ 3，能构成三角形，此时三角形的周长为： 3+3+2=8，应选： B．3．解：∵等边三角形ABC 中， AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD 是BC 的垂直均分线，∵点 E在 AD上，∴BE=CE，∴∠ EBC=∠ ECB，∵∠ EBC=45°，∴∠ ECB=45°，∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ACB=60°，∴∠ ACE=∠ ACB﹣∠ ECB=15°，应选： A．4．解：∵∠ AOB=60°， OA=OB，∴△ OAB 是等边三角形，∴OA=AB，∠ OAB=∠ ABO=60°①当点 C 在线段 OB 上时，如图 1，∵△ ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠ CAD=60°，∴∠ OAC=∠ BAD，在△ AOC和△ ABD 中，，∴△ AOC≌△ ABD，∴∠ ABD=∠ AOC=60°，∴∠ DBE=180°﹣∠ ABO﹣∠ ABD=60°=∠AOB，∴BD∥ OA，②当点 C 在 OB 的延伸线上时，如图2，同①的方法得出OA∥ BD，∵△ ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠ CAD=60°，∴∠ OAC=∠ BAD，在△ AOC和△ ABD 中，，∴△ AOC≌△ ABD，∴∠ ABD=∠ AOC=60°，∴∠ DBE=180°﹣∠ ABO﹣∠ ABD=60°=∠AOB，∴BD∥ OA，应选： A．5．解：延伸EP、 FP 分别交 AB、 BC于 G、 H，则由 PD∥AB， PE∥BC， PF∥AC，可得，四边形 PGBD， EPHC是平行四边形，∴PG=BD， PE=HC，又△ ABC是等边三角形，又有 PF∥ AC， PD∥ AB 可得△ PFG，△ PDH 是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ ABC的周长为12，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4，应选： C．6．解：∵ AB=BC=BD，∠CBD，∴∠ ADB=90°﹣∠ ABD，∠ CDB=90°﹣∴∠ ADC=∠ ADB+∠ CDB=90 °﹣∠ ABD+90°﹣∠CBD=180 °﹣（∠ ABD+∠ CBD）=180 °﹣× 80°=180 °﹣40°=140 °．故答案为： 140．7．解：①如图一，∵△ ABC是等腰三角形，BD⊥ AC，∠ ADB=90°，∠ ABD=50°，∴在直角△ ABD 中，∠ A=90°﹣ 50°=40°，=70°；∴∠ C=∠ ABC=②如图二，∵△ ABC是等腰三角形，BD⊥ AC，∠ ADB=90°，∠ ABD=50°，∴在直角△ ABD 中，∠ BAD=90°﹣ 50°=40°，又∵∠ BAD=∠ABC+∠ C，∠ ABC=∠ C，∴∠ C=∠ ABC===20°．故答案为： 70°或 20°．8．解：∵ AB=AC，∠ A=40°，∴∠ ABC=（180°﹣∠ A）=（180°﹣50°）=65°，∵MN 垂直均分线 AB，∴ AD=BD，∴∠ ABD=∠ A=50°，∴∠ DBC=∠ ABC﹣∠ ABD=65°﹣50°=15°．故答案为： 15°．9．解：（ 1）如下图，（2）∵ AB=AC，∴点 A 在 BC的垂直均分线上，∵BE=CE，∴点 E 在 BC 的垂直均分线上，∴A、E 都在BC的垂直均分线上，∵延伸 AE交 BC边于点 D，∴AD⊥ BC．10．（ 1）证明：∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠ BAC=∠ ACB=60°，在△ BAE和△ ACD中：∴△ BAE≌△ ACD（2）答： BP=2PQ．证明：∵△ BAE≌△ ACD，∴∠ ABE=∠ CAD．∵∠ BPQ为△ ABP外角，∴∠ BPQ=∠ ABE+∠ BAD．∴∠ BPQ=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=60°∵BQ⊥ AD，∴∠ PBQ=30°，∴ BP=2PQ．第2课时1．解：连结AB，依据题意得：OB=OA=AB，∴△ AOB 是等边三角形，∴∠ AOB=60°．应选： C．2．解：A、AB=AC，∠B=∠C，只好说明△ABC 是等腰三角形，错误；B、 AD⊥ BC， BD=CD，只好说明△ ABC是等腰三角形，错误；C、 BC=AC，∠ B=∠C，能说明△ ABC是等边三角形，正确；D、 AD⊥BC，∠ BAD=∠ CAD，只好说明△A BC是等腰三角形，错误；应选： C．3．解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（ 1），（ 4）推出等边三角形，（2）若每个角各取一个外角时，该结论建立．而（ 3）只好得出这个三角形是等腰三角形．应选： C．4．解：①若增添的条件为AB=AC，由∠ A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若增添条件为∠B=∠ C，又∵∠ A=60°，∴∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=∠ B=∠ C，则△ ABC为等边三角形；AB、BC 上的高相等，如下图：③若增添的条件为边已知：∠ BAC=60°， AE⊥ BC，CD⊥AB，且 AE=CD，求证：△ ABC为等边三角形．证明：∵ AE⊥ BC， CD⊥ AB，∴∠ ADC=∠ AEC=90°，在 Rt△ ADC和 Rt△ CEA中，，∴Rt△ ADC≌ Rt△CEA（ HL），∴∠ ACE=∠ BAC=60°，∴∠ BAC=∠B=∠ ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有 3 个．应选： A．5．解：∵ AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ ACB=（180°﹣∠ A）=72°，∵ BD， CE是角均分线，∴∠ ABD=∠ DBC=∠ ABC=36°，∠ ACE=∠ECB=36°，∴∠ A=∠ ABD=∠ ACE，∠ DBC=∠ ECB，∴∠ BDC=180°﹣∠ ACB﹣∠ DBC=180°﹣ 72°﹣ 36°=72°，同理∠ BEC=72°，∴∠ BDC=∠ ACB，∠ BEC=∠ EBC，∴∠ EOB=180°﹣∠ BEC﹣∠ EBD=180°﹣ 72°﹣36°=72°，同理∠ DOC=72°，∴∠ BEO=∠ BOE，∠ CDO=∠ COD，即等腰三角形有△ OBC，△ ADB，△ AEC，△ BEC，△ BDC，△ ABC，△ EBO，△ DCO，共 8 个，应选： A．6．解：∵（ a﹣ b）2+（ a﹣c） 2+|b ﹣ c|=0 ，∴a﹣ b=0，a﹣ c=0， b﹣ c=0，∴a=b， a=c，b=c，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形．7．解：等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的均分线相互重合（三线合一），∴假如一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是等边三角形．8．解：∵ BP、 CP分别是∠ ABC和∠ ACB 的角均分线，∴∠ ABP=∠ PBD，∠ ACP=∠PCE，∵PD∥ AB， PE∥ AC，∴∠ ABP=∠BPD，∠ ACP=∠CPE，∴∠ PBD=∠ BPD，∠ PCE=∠ CPE，∴BD=PD， CE=PE，∴△ PDE的周长 =PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．故答案是： 8．9．解：（ 1）∠ EDC=180°﹣∠ ADB﹣∠ ADE=180°﹣ 115 °﹣ 40°=25 °，∠DEC=180°﹣∠ EDC﹣∠ C=180°﹣ 40°﹣ 25°=115°，∠BDA 渐渐变小；故答案为： 25°， 115°，小；（2）当 DC=2时，△ ABD≌△ DCE，原因：∵∠ C=40°，∴∠ DEC+∠ EDC=140°，又∵∠ ADE=40°，∴∠ ADB+∠ EDC=140°，∴∠ ADB=∠ DEC，又∵ AB=DC=2，∴△ ABD≌△ DCE（AAS），（ 3）当∠ BDA 的度数为 110°或 80°时，△ ADE的形状是等腰三角形，原因：∵∠ BDA=110°时，∴∠ ADC=70°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=70°，∠ AED=∠ C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠ DAC=∠AED，∴△ ADE的形状是等腰三角形；∵当∠ BDA 的度数为80°时，∴∠ ADC=100°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=40°，∴∠ DAC=∠ADE，∴△ ADE的形状是等腰三角形．10．解：（1 ）∵△ OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ ACB=∠ OCD=60°，∴∠ BCO=∠ ACD，在△ BOC与△ ADC 中，∵，∴△ BOC≌△ ADC，∴∠ BOC=∠ ADC，而∠ BOC=α=150°，∠ ODC=60°，∴∠ ADO=150°﹣ 60°=90°，∴△ ADO 是直角三角形；（2）∵设∠ CBO=∠ CAD=a，∠ ABO=b，∠ BAO=c，∠ CAO=d，则 a+b=60°， b+c=180°﹣110°=70°， c+d=60°，∴ b﹣ d=10°，∴（ 60°﹣ a）﹣d=10°，∴ a+d=50°，即∠ DAO=50°，①要使 AO=AD，需∠ AOD=∠ ADO，∴190°﹣α=α﹣ 60°，∴α=125°；②要使 OA=OD，需∠ OAD=∠ ADO，∴ α﹣ 60°=50°，∴ α=110°；③要使 OD=AD，需∠ OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．因此当α为 110°、125°、 140°时，三角形AOD 是等腰三角形．第3课时1．解：过点 C 作 CD⊥ AD， CD=3cm，在直角三角形ADC 中，∵∠ CAD=30°，∴AC=2CD=2× 3=6cm ．应选： B．2．解：∵△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AC=3，∴AB=2AC=6，即 AP 的范围是 3≤ AP≤ 6，∴ 6.5 不在范围内；应选： D．3．解：∵△ ABC中，∠ BAC=90°，∠ C=30°，∴∠ ABC=60°．又∵ BE是∠ ABC 的均分线，∴∠ EBC=30°，∴∠ AEB=∠ C+∠ EBC=60°，∠ C=∠ EBC，∴∠ AEP=60°， BE=EC．又 AD⊥ BC，∴∠ CAD=∠ EAP=60°，则∠ AEP=∠EAP=60°，∴△ AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△ AEB中，∠ ABE=30°，则 EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．应选： C．4．解：∵ AB=AC，∠ C=30°，∴∠ B=∠ C=30°，∠ BAC=120°，∵AB⊥ AD，∴∠ BAD=90°，∵AD=4cm，∴BD=2AD=8cm，∵∠ DAC=120°﹣ 90°=30°，∴∠ DAC=∠C，∴AD=DC=4cm，∴BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm，应选： B．5．解：作PH⊥ MN 于 H，∵PM=PN，∴MH=NH= MN=1 ，∵∠ AOB=60°，∴∠ OPH=30°，∴OH= OP=5，∴OM=OH﹣ MH=4 ，应选： B．6．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ABC=∠ C=60°， AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴ AD=CD=3，∴ AB=AC=AD+CD=6．故答案为： 67．解：此题分两种状况议论：（ 1）如图 1，当 BD 在三角形内部时，∵BD= AB，∠ ADB=90°，∴∠ A=30°；（ 2）当如图 2， BD 在三角形外面时，∵BD= AB，∠ ADB=90°，∴∠ DAB=30°，∠ ABC=180°﹣∠ DAB=30°=150°．故答案是： 30°或 150°．8．解：① BC 为腰，∵AD⊥ BC于点 D，AD= BC，∴∠ ACD=30°，如图 1， AD 在△ ABC内部时，顶角∠ C=30°，如图 2， AD 在△ ABC外面时，顶角∠ ACB=180°﹣30°=150°，② BC 为底，如图 3，∵AD⊥ BC于点 D，AD= BC，∴AD=BD=CD，∴∠ B=∠ BAD，∠ C=∠ CAD，∴∠ BAD+∠ CAD=× 180°=90°，∴顶角∠ BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或 150°或 90°．故答案为： 30°或 150°或 90°．9．解：（ 1）∵∠ PAB=15°，∠ PBC=30°，∴∠ PAB=∠ APB，PB=AB=15× 3=45 海里；（2）过 P 点作 PD⊥ BC于 D，在 Rt△ PBD中，∠ PBD=30°， PB=45，∴ PD==22.5，22.5＞ 20．因此，轮船持续向前航行，不会有触礁危险．10．解：∵ Rt△ ABC中，∠ BAC=90°，∠ B=2∠ C，∴∠ B=60°，∠ C=30°，∴BC=2AB，∵AD 是 BC边上的高， E 是 BC 的中点．∴ BC=2AE，∴ AB=AE，∴∠ AED=60°，∴∠ DAE=30°，∴AE=2DE=AB，即 DE= AB．。
【精选】八年级数学上册15.3等腰三角形15.3.1等腰三角形的性质课件新版沪科版
∴x+ 2x + 2x=180.(三角形内角和等于 180°） 解方程，得x= 36. ∴∠A=36°，∠C=72°.
（来自教材）
知1－讲
例5 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图(1)，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC＝1 (180－BAC )＝1 (180－50)＝65.
2
2
知2－讲
证明： (2) ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°. ∵EF⊥AB， ∴∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠BDE. 又∵BG平分∠ABC， ∴∠FBE＝∠DBE. ∵BE为公共边， ∴△BDE≌△BFE， ∴EF＝ED.
（来自教材）
知1－练
1 填空： (1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_________; (2)如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的 度数是_________; (3)如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形 的最小内角等于__________.
（来自教材）
2 (中考·盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数 为( ) A．40° B．50° C．60° D．70°
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 120°，点 D，E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.
解：∵AB=AC，（已知） ∴∠B=∠C.（等边对等角） ∴∠B=∠C= 1 (180 120)=30. 又∵ BD=AD，2 （已知） ∴∠BAD=∠B=30°.（等边对等角） 同理，∠CAE=∠C=30°.
数学沪科版八年级(上册)第1课时等腰三角形的性质
证明：延长CD交AB的延长线于P, 在△ADP和△ADC中，∠PAD=∠CAD,AD=AD, ∠PDA=∠CDA,∴△ADP≅△ADC. ∴∠P=∠ACD. 又DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=ACD, ∴DE=EC. 同理可证，AE=DE,∴AE=CE.
6.已知：如图所示，△ABC是等腰直角三角形， ∠A=90°，BD是∠ADE的平分线，DE⊥BC于 E，若BC=10cm，求△DEC的周长.
=120°-30°-30°=60°
巩固提升
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
解：图1中，∠B=∠C= 1 (180°-36°)=72°. 2
图2中，∠E=∠F= 1 (180°-120°)=30°. 2
2.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， AD是底边BC上的高，标∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度 数，指出图中有哪些线段相等.
例2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， 点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE 的度数.
解：∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠B=∠C= 1 ×（180°-120°）
=30°.
2
又∵BD=AD,∴∠BAD来自∠B=30°.同理，∠CAE＝∠C=30°
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
2
4.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并 且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.
解：设三角形的底边长为xcm, 则腰长为（x+2)cm,根据题意， 得x+2（x+2)=16，解得x=4. ∴等腰三角形的边长为4cm,6cm和6cm.
5.如图，在△ABC中，过C 作∠BAC的平分 线AD的垂线，垂足为D,DE∥AB交AC于E.求 证：AE=CE.
15.3等腰三角形(沪科版第1课时)
沪科版八年级上册第十五章15.3等腰三角形（第1课时）教学设计15.3 等腰三角形（第1课时）教学设计说明一、内容和内容解析1.内容等腰三角形的性质定理以及推论.2.内容解析本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形——等腰三角形. 等腰三角形是一类特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还有许多特殊的性质.由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛，而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，因此等腰三角形性质的探索是通过轴对称进行的，借助于轴对称发现了等腰三角形的性质，也获得了添加辅助线证明性质的方法.性质的证明是将欲证明相等的两个角(或线段)置于两个全等三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本策略之一.等腰三角形性质的探索与证明体现了转化的思想.教材通过让学生画一个等腰三角形，再通过折纸、猜测、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，是一个由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的过程.这种“操作——观察——发现——猜想——论证”的数学思想方法是今后研究几何图形的基本数学思想方法.同时，等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提供了方法，也是后续学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的重要基础.因此，本节课在教材中处于非常重要的地位，起着承上启下的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点:等腰三角形性质的获得以及探索证明等腰三角形性质.二、目标与目标解析1.目标（1）探究并证明等腰三角形的性质，体会轴对称在研究几何问题中的作用；（2）能利用等腰三角形的性质进行有关计算、证明，并运用性质解决实际问题；（3）经历操作——观察——发现——猜想——论证的研究几何图形问题的全过程，积累数学活动经验，增强合作交流意识、培养大胆猜想、乐于探究的良好品质.2.目标解析达成目标(1)的标志是:学生能借助操作和轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线证明性质的方法；能正确理解两个性质的含义(会区分命题的条件和结论，能用数学语言准确表述性质的含义，会将“三线合一”分解成三个命题)；能利用三角形全等证明等腰三角形的性质.达成目标(2)的标志是:学生能在等腰三角形的情境中利用两个性质进行计算和证明，并运用性质解决实际问题.达成目标(3)的标志是:学生经历画一个等腰三角形，再折纸、观察、发现、猜想等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证.三、教学问题诊断分析1.学生的认知情况学生在小学已经接触过等腰三角形，并且在第十三章也已学习等腰三角形的有关概念和一般三角形的性质.所以对于等腰三角形并不陌生.学生在第十四章《全等三角形》中，系统地学习了全等三角形的性质以及三角形全等的判定方法.本章第1、2节，学习了轴对称图形、轴对称及其基本性质，体验到轴对称在生活中的广泛应用.在此基础上，探究等腰三角形的性质.2.学生在学习中可能存在的困难如果让学生直接证明等腰三角形的性质，辅助线的添加学生不容易想到. 所以本节课先通过让学生折纸，进而发现等腰三角形性质，然后再证明等腰三角形性质.等腰三角形的性质学生通过折纸获得，证明时添加的辅助线受“操作”活动的启发就很容易想到.学生由于认知经验不足，对等腰三角形“三线合一”的理解容易出现错误，影响对“三线合一”的应用，教师在教学中应引导学生将“三线合一”分解为三个结论，以此来加深学生对“三线合一”的理解.基于以上分析，确定本节课的教学难点:等腰三角形性质的获得和对等腰三角形性质的结构认识与理解.四、教学策略分析本节课通过展示课件中的图片，介绍等腰三角形的应用，引入课题.活动1：（1）学生在纸上任意画一个等腰三角形；（2）学生裁剪出等腰三角形，得到等腰三角形纸片（实物）.活动2：学生观察折叠后的等腰三角形纸片，发现相等的线段、角及全等三角形.从而发现等腰三角形的性质.活动3：学生结合等腰三角形操作过程，思考如何证明等腰三角形“等边对等角”的性质.然后在“等边对等角”的证明过程后，继续找全等三角形中相等的元素，接着证明出等腰三角形的“三线合一”的性质.活动4：把等腰三角形“三线合一”的符号语言表示设计成填空题，降低学生掌握它的难度.活动5：应用性质、得出推论.活动6：例1是运用等腰三角形“等边对等角”的性质的计算题，其中变式题渗透整体思想、符号化意识等.活动7：再看我们剪出等腰三角形，回顾本节课中所学习的知识以及解决问题的方法和思想，并联系旧知来感悟数学学习中的思想方法.活动8：作业有必做题和选做题，让学有余力的学生得到更好地发展.本课中我采用探索式、启发式教学法.在教学中以裁剪的等腰三角形为主线，贯穿整节课.课堂上以学生参与为主,把认知的主动权交给学生，等腰三角形性质的发现、证明全都交给学生完成，而我只是适时的给予点拨和纠正.这样便于激发学生学习热情,体验成功的喜悦,通过学生自己动手使学生在获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样更有利于调动学生积极性,激发学生兴趣,使学生变被动学习为积极主动愉快学习,也符合数学教学的直观性和可接受性.“授人以鱼，不如授之以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识.在这节课中主要让学生体会我们解决问题的方法.引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门.15.3 等腰三角形（第1课时）教学设计教材：义务教育教科书（沪科版）八年级上册授课教师：安徽省淮南实验中学山南第一中学杨慧芳教学目标：1.探究并证明等腰三角形的性质，体会轴对称在研究几何问题中的作用；2.能利用等腰三角形的性质进行有关计算和证明，并运用性质解决问题；3.经历操作——观察——发现——猜想——论证的研究几何图形问题的全过程，积累数学活动经验，增强合作交流意识、培养大胆猜想、乐于探究的良好品质.教学重点：等腰三角形性质的获得以及探索证明.教学难点：等腰三角形性质的获得和对等腰三角形性质的结构认识与理解.教具：长方形纸片、剪刀（裁纸刀）、三角尺、圆规等.教学过程设计：问题与情景师生活动设计意图创设情景、引入课题1.通过课件展示图片，介绍等腰三角形的应用.2.等腰三角形是一类特殊的三角形，等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？教师用课件展示几幅图片，介绍等腰三角形的应用.用数学史和生活实例引入课题，激发学生的兴趣和探究学习的欲望.活动6：巩固练习、理解新知1.例题解析例1 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，点D,E是边BC上两点，且BD=AD,CE=AE，求∠DAE的度数.变式1：如果删去例1中的条件“AB=AC”，能否求得∠DAE的度数？变式2：改变条件，继续探究.2.前后呼应建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板，在底边中点做一个记号D；再从顶点悬下一个铅锤，把这块等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅锤是不是通过记号D，就能检查房梁是不是水平的.这是为什么?教师注意观察学生的思考过程，适时的追问用到了等腰三角形的什么性质？学生思考、口述解题思路.学生结合图形解释，再次理解等腰三角形的“三线合一”的性质.这个例题的解答及时应用所学解决问题，了解学生的学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功的体验，增强学习数学的自信心.变式关注等腰三角形的性质应用，同时蕴含整体思想.这个过程发展学生的推理能力和表达能力.通过回顾前面的问题，解释原理的同时体会等腰三角形的作用，前后呼应.。
1等腰三角形第1课时课件沪科版八年级上册数学
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 ∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高线
BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合 性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平 分底边.简称“三线合一”.
A
B
C
D
三、概念剖析
（二）等腰三角形的性质及其推论
图①
图②
点拨：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分
线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
【当堂检测】
5.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG-DG＝CG-EG， ∴BD＝CE；
四、典型例题
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
A
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
12
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边），
B
D
C
∴△ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴∠B＝∠C.
四、典型例题
证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D. ∵AD⊥BC， ∴∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边），
G 图①
【当堂检测】
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
证明：(2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC.
沪科版八年级上册15.等腰三角形的性质课件
感悟新知
解：(1)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ AD ⊥ BC，∴∠ ADB=90°. (2)在△ ABC 中，∵ AB=AC，∠ BAC=100°，
感悟新知
特别解读 1. 适用条件： (1)必须是等腰三角形； (2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平
分线才相互重合. 2. 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系
的重要方法.
感悟新知
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边 上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
方法二是利用面积法，由此方法还可得等腰三角形的 性质：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 一腰上的高.
感悟新知
证明：方法一: ∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ ACB. ∵ BD ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴∠ BDC= ∠ BEC=90° . 在△ BEC 和△ CDB 中，
∠ EBC= ∠ DCB， ∠ BEC= ∠ CDB， BC=CB， ∴△ BEC ≌△ CDB.（AAS）∴ BD=CE.
感悟新知
例 1 如图15.3－2，在△ ABC 中，AB=AC，AD 平分∠ BAC. (1)求∠ ADB 的度数； (2)若∠ BAC=100°，求∠ B，∠ C的度数； (3)若BC=3 cm，求BD 的长.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
感悟新知
特别解读 1. 在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已
等腰三角形的性质
2.等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、 线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝 试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
《15.3等腰三角形》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级上册
《等腰三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生：1. 巩固等腰三角形的定义和性质；2. 学会运用等腰三角形的性质解决实际问题；3. 培养空间想象能力和逻辑思维。
二、作业内容本节课的作业内容主要围绕等腰三角形的定义和性质展开，包括以下几个方面：1. 定义等腰三角形，明确等腰三角形的特点和分类。
2. 理解等腰三角形的性质，如两边相等、夹角相等等。
3. 通过实际问题，让学生应用等腰三角形的性质，如解决有关角度和边长的问题。
4. 掌握如何判断一个三角形是否为等腰三角形。
5. 通过实例分析，引导学生掌握在平面图形中应用等腰三角形的性质进行推理和计算。
三、作业要求针对上述作业内容，学生需要完成以下任务：1. 熟记等腰三角形的定义和性质，并能准确解释相关概念；2. 完成一定数量的基础练习题，包括判断题、选择题和填空题，巩固对等腰三角形性质的理解；3. 结合实际问题，应用等腰三角形的性质解决实际问题，并写出解题过程；4. 对于难度较大的题目，可适当查阅教材或网络资源，但需注明出处；5. 按时提交作业，保持作业整洁，字迹工整。
四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 学生对等腰三角形定义和性质的掌握程度；2. 学生应用等腰三角形性质解决实际问题的能力；3. 学生的解题思路是否清晰，解题过程是否规范；4. 学生是否按时提交作业，字迹是否工整；5. 学生是否能够正确引用教材或网络资源，并注明出处。
五、作业反馈教师将根据学生的作业情况，进行以下反馈：1. 对学生的掌握情况进行总结，针对薄弱环节进行重点讲解；2. 展示优秀作业，鼓励学生在解题过程中注重思路的清晰和过程的规范；3. 对学生的解题方法进行点评，引导学生寻找更优的解题方法；4. 针对学生的疑问进行解答，帮助学生解决学习中的困惑；5. 鼓励学生自主学习，积极思考，提高数学学习兴趣和自信心。
通过以上作业反馈的开展，不仅可以帮助学生对自己的学习情况进行总结和反思，还能进一步激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
沪科八年级数学上册第15章3 等腰三角形 第1课时
30 °.
等腰三角形及其推论的有关证明
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延
长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.
∴QM＝QN.
15.3 等腰三角形
第1课时
1.掌握等腰三角形的两条性质定理及推论.
2.知道等腰三角形“三线合一”的特性.
3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.
◎重点:等腰三角形的性质定理及其证明.
◎难点:“三线合一”的理解.
同学们，大家在小学就学过很多关于等腰三角形的知识，
本节我们要更全面、更系统地学习等腰三角形的相关知识.
A.40°
B.100°
C.70°
D.40°或70°
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，以下结论中错
误的是(
B )
A.△ABD≌△ACD
B.∠B＝∠BAD
C.D为BC的中点
D.AD是△ABC的角平分线
3.在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且BD＝CD.若
∠BAC＝100°，则∠CAD＝ 50° .
等腰三角形的性质及其推论
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
1.等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角
即等边对
等角 .推论:等边三角形的三个内角
个内角都等于
相等 ，
相等 ，每一
60° .
2.等腰三角形顶角的平分线
形顶角的平分线、
垂直平分 底边，即等腰三角
底边的中线 和
沪科版八年级上册课件 15.3 等腰三角形(第一课时) (共18张PPT)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 6:43:11 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
∠ADB=∠AEC
2021秋八年级数学上册15、3等腰三角形1等腰三角形的性质课件新版沪科版
*4.【中考·衢州】“三等分角”大约是在公元前五世纪由 古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C 点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑 动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( ) A．60° B．65° C．75° D．80°
8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D， 点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于 (A) A．15° B．30° C．45° D．60°
*9.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE 是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD； ③BE＝BD，其中正确结论的个数为( A ) A．3 B．2 C．1 D．0
10．已知等腰三角形的一个外角等于110பைடு நூலகம்，则这 个等腰三角形的一个底角的度数为( D ) A．40° B．55° C．70° D．55°或70°
【点拨】本题应用分类讨论思想，分顶角为 70°和底角为70°两种情况，解题时易丢掉一 种情况而漏解．
11．【中考·杭州】在△ABC中，AC＜AB＜BC. (1)如图①，已知线段AB的垂直平分线与BC边 交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
提示：点击 进入习题
1C 2C 3D 4D 5C
6B 7D 8A 9A 10 D
答案显示
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
答案显示
1．【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝
过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相 交于点F. (1)求证：∠C＝∠BAD； 证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC. ∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠C＝∠BAD.
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A
顶 角
腰
底角
腰 C
底边
如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD， 请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰 三角形？
△ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD）
若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC， 则有多少个等腰三角形？
△ABC（AB=AC）
A
△ADB（AD=BD）
△BDC （BD=BC）
B
D
C
材料: 剪刀、一张矩形纸 方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；
（2）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开。
大胆猜测
请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片,它除了两腰相等以外,你还能发 A 现什么?
B
C
如果一个图形沿一条直 线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合,我们就说这个图形 关于这条直线对称,那么这个 图形就叫轴对称图形,这条直 线叫对称轴.互相重合的点是 对应点,叫做对称点.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
③ 底角=（180°－顶角）÷2
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
BAD CAD BD CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. AD BC BAD CAD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. AD BC CD BD (3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ， 则∠C= ___度，∠A=____度？
∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） A
∵∠B=80° （已知）
∴∠C=80° 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为 180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C ∠A=20° B
2.填空选择
1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则 55° ∠B=______ 2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它 30 的顶角为______度 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°， 则这个等腰三角形的顶角为（ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120°
12
∠B=∠C ∠1=∠2
∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD
B D C
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
70°,40°或55°,55° __________________.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 _______. 35 °，35 ° 结论:在等腰三角形中,
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设问：你发现了什么现象，猜想等腰△ABC有哪些性质？
结论:
角: ①
等腰三角形是轴对称图形；
∠B = ∠C → 两个底角相等
② ∠BAD=∠CDA
→
AD为顶角∠BAC的平分线
→ AD为底边BC上的高
③∠ADC= ∠ADB=900
边: ④BD = CD →
AD为底边BC上的中线
等腰三角形性质 定理1 等腰三角形的两个底角相等（简称“等 边对等角”）； 定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。 （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高“三线合一”）
1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边 上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
1.判断对错
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。（ ×） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ×）
15.3等腰三角形
第一课时
下载图片
等腰三角形
你知道什么是等腰三角形吗?
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就
是等腰三角形。
相等的两条边AB和AC叫做腰;
另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠A叫做顶角; 底边与腰的夹角∠B和∠C叫做 底角.
只有等腰三角形才有底角和底边. B
A
B
D
CБайду номын сангаас
5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。
解：相等，理由如下： 连接AD 在△ABC中， ∵AB=AC，D为ＢC中点
A E B D F
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF
C
C
在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50° ，则∠B=——度，∠C=——度？
∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角）又 ∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为 180° ） ∠A=50° （已知） ∴∠B=65° ∠C=65° A
B
C
等腰三角形
性质1：等边对等角 性质2：“三线合一”
3. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已 知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？ ∵ AB=AC ,AD ⊥BC（已知）
A 12
∴BD=CD（等腰三角形的高与 底边上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一）
∵BD=2cm（已知）
∴CD=2cm
B D C
A 4.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。