悟学课堂：一种思维型数学教学文化
“悟、学、用”——初中数学思想方法教学三步曲
度去思考． 角度 １ ：从绝 对值 的代 数 意 义考 虑： 正数 的绝对值 是它本 身， 负数 的绝对值 是它 的相 反 数， 零 的绝对值 是 零， 互 为相 反数 的两个 数 的
引进 方程 之后 ， 问题 的解决变 得 易如反掌 ． 当 然， 学 生对 于方程思想 的深 刻认识还有一个循 序渐进 的过 程．对于具 体 的方程 问题， 要让学 生 能够从数学思想 方法 的高度来审视其本质 ．
一
初 中数 学所涉及 的方程 ， 解决 问题 的基本 思想 是消元 和化 归：化 多元为一元 ， 化高次 为 低 次， 化分式 为整式 ． 这 种思想 方法要让 学生 固化 为解决方程 问题 的基本策 略． 对于方程 思 想 的认 识， 要让 学生有 震撼 之感， 特别 对于 小 学 算术 应 用 题， 类似“ 鸡 兔 同笼” 等 经 典 问题，
（ １ ） 求证 ：不论 ｋ取何值 时， 方 程总有 实 数根；
（ ２ ）若 方 程存 在 两个 实数 根 Ｘ ｌ 、Ｘ ２ ， 满 足ｌ １ ｌ ：Ｘ ２ ， 求 ｋ的值．
９ — ３ ６
数 学麸 学
２ ０ １ ３ 年第 ９ 期
显然， 第 （ １ ）小题要求 学生能从分类 的角 度来分 析方程．事 实上， 当二次项 系数含参 数 时， 学 生往往遗漏 系数 为零 的情 形．当表示 一 元 二次 的方程 时， 要 引导学生从两个角度思考， 即从方程 自身的角度 以及它与二次函数联系的 角度 ， 强化方程 与 函数之 间 的联系， 弄清 数与 形之 间 的联 系． 另外 ， 可 引导学 生探讨 一个 关 于 的二 次三项式恒 大于等于零的条件： 拓展 理解可将它理解成关于 ｋ的二次 函数， 要 函数 值恒大于等于零， 即 图像开 口向上且与 轴最 多只有一个 交点． 对 于第（ ２ ） 小题， 关键是 引导
“悟”在数学教学中的价值分析及教学思考
收稿日期：2018-11-16 基金项目：基于大数据的江西省数学学科教师质量检测、评估与服务协同创新 （数学组）——江西省中小学数学教师质量测评 模型、方法与标准研究 （JXJSZLA06）. 作者简介：金贵燕 （1993— ），女，硕士研究生，主要从事数学教育理论与实践研究 .
经历伴随“悟”的学习过程，学生对知识的发展 历程和价值有较完整的理解 .
3. 经历“悟”，体会知识的迁移
y
格式塔心理学认为，一个人学到什么，取决于他
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是如何感知问题情境的. 而提炼综合环境中的问题往
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往是一个复杂的过程，一旦提炼，则需要对过程进行
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“悟”，以形成认知过程 . 因此，探索问题的迁移中
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“悟”需要经历两个环节，“悟”一：解决 （或转化）
4 3 2 1 -1 O 1 2 3 4 x -1
图2
“悟”二：观察分析 . 这一阶段学生发现图中的点
问题；“悟”二：推广 （或一般化） 问题 .
例 2 如图 3，E 是∠AOB 的角
O
平分线 OP 上一点，分别在 OA，OB 上确定点 F，G，使△OEF≌△OEG. A 你有几种确定的方法，并说明理由 .
发展、建构联系等学习的全过程中 .
一、数学知识学பைடு நூலகம்中的“悟”
数学学习是一个连续的过程，一切新的学习都是 建立在先前学习的基础上，或在某种程度上利用先前 的学习. 学习过程是积累的过程，如果没有基于“悟” 的整合，学得结果就是碎片式的，理解也就难免片 面. 处于思维发展阶段的学生必须经过反复思考、深 入研究、自我调整等“悟”的过程，才能更好地洞察 数学知识的本质. 基于“悟”的数学知识学习，需要 经历知识的形成过程、发展过程，以及知识的迁移过 程的感悟 .
让思维之花在小学数学课堂教学中绽放
数学新课改 ， 学习方法多样 ， 也充分激发 了学生 的个人 发 展 。在合作探究 中学生合作意识增强 了， 但过多的合作探究忽 视 了学生 的自主学习 。因为每一个学生都是一个独立 的个体 ， 因为他们的数学基础不同 ， 对知识 的接受能力也不 同， 如果过多 重视合作探究 ， 而忽略 自主探究 ， 有些学生则会 “ 浑水摸鱼” ， 在
跃了， 却忽视了培养学生数学思维意识。数学是一种思维体操 ， 需要静静地感 悟 ， 数学教学 的情景创设 ， 能有效调动学生兴趣 ，
多的情景创设 和合 作交流 ， 让学生停 留在表面形式。在情景创
形成 。让数学 回归本位 ， 就是要重视学生数学思维的培养 ， 让数 线段植树 ， 然后将知识拓展引申到在一片长方形地块植树 、 在 圆
学 习数学需要 一份 安静 的心境 ，“ 微分几何 之父 ” 、 著名数 在静中沉淀 、 升华 。 学大师陈省身一生 至简 ， 至静 ， 在 数学史上却成为世界数学界惟
浮躁 ， 难 以促进学生思维 的真正发展 。为此 ， 教师要返璞 归真 ，
数学的价值不在模仿 ，而在于创新。新课改下的数学教学 核心任务不仅局 限于数学知识 的传授 ， 更重要 的是学生数学思
回归数学本位 ， 情景 的创设仅仅是一个铺垫 ， 就像一场戏剧 ， 仅 学帮助学生构建数学模型 。低年级小学生处 于形象思维 为主 ，
然之心 ， 等待学生静思后 的思维 花开。这样数 学课 堂做 到动静
思维的 自我 内省。热闹的课堂学生的参与度提高了 ，但很多学 结合 、 张弛有道 ， 就像一段优美 的音乐 ， 有激情碰撞时的激越 ， 有 生变成 了数学课堂的匆匆过客 ， 走马观花 ， 蜻蜓点水 ， 流于形式 。 冷静分析热闹的背后 ， 我们的数学课堂缺少了学生静静的思考 ；
身临其境,“悟”数学之道
身临其境，“悟”数学之道———谈《轴对称图形》教学之感受大数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。
音乐能激发或释放情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学可给予以上的一切。
”感悟数学之美，应该是每个数学学习者应有的一种心灵体验。
因此，作为一名小学数学教育工作者，在教学的时候要牢记如何让学生参与到数学的学习之中，让学生置身于数学世界中，真正体验数学所带来的快乐，感受数学之奥妙，获得数学美的享受，从而激发学生学习数学的兴趣。
作为小学生，他们的童年生命之旅，理应是快乐的、健全的和灿烂的。
我们的教学不能让我们的孩子从小就被“泯灭人性、压抑天性、扼杀个性”，而应该让我们的课堂教学蕴含着巨大的生命活力，让师生在充满生命活力的活动课堂中学习，教学的效果是显而易见的，才能真正有助于新人的培养和教师的成长，课堂上才有鲜活的生命色彩。
因此，在上述的基础上我就《轴对称图形》这一课的教学来谈谈自己的感受。
关键是看我怎样将学生置身于探索者、发现者的角色的，让学生身临其境，亲身感受和体验知识的发生和发展过程的。
同时，我又将带领学生深入现实生活，寻找各个领域各种各样的轴对称图形，将它们有机地整合在一起，让学生自己去感受轴对称图形所带来的美，感悟数学所蕴涵的美，领略数学的独特魅力，从而升华到对自然美的热爱，激发学生的满腔学习热情，进而努力学习，将来更好地报效祖国。
这一课的教学设计方法如下。
一、导入新课的设计方法一：实物导入，贴近生活教师可以在课前准备一些玩具，如：勇敢的奥特曼、可爱的布娃娃、活泼的小熊、漂亮的小汽车等。
上课时教师可出示这些玩具，然后引导学生观察这些玩具，找出它们在外形上有什么共同特点。
通过对这些学生比较熟悉的物体形状的认识，引出对称的概念即像这样两边形状、大小都完全相同的物体，我们就说它是对称的。
（板书：对称）【反思：这样的导入更体现了数学与生活的紧密联系，更贴近学生的生活，因为大多数小学生都玩过这样的玩具，他们非常熟悉，一下子就能激发学生的兴趣，调动学生的学习积极性，马上就会融入到问题的研讨和探究当中来，这为下一层次的观察和探究作了有力的铺垫。
培养兴趣点燃思维的火花—-浅谈“四步四悟”高效课堂教学模式下数学导课
培养兴趣点燃思维的火花—-浅谈“四步四悟”高效课堂教学模式下数学导课发布时间：2021-09-07T07:38:39.256Z 来源：《中国教师》2021年21期作者：董开庆[导读] 导课是课堂教学的一个重要环节，是课堂教学的开端，应该具有非常强的艺术性。
董开庆山东省济南市章丘区道通实验学校 250200内容提要：导课是课堂教学的一个重要环节，是课堂教学的开端，应该具有非常强的艺术性。
具备高强艺术性的导课能够能够使人眼前一亮，摄人魂魄，能够培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，使学生的注意力迅速回归课堂，为学生顺利接受新知识创造有利的条件。
关键词：导课学习兴趣高效课堂自悟随着教学改革的不断深化，尊重学生的主体性地位，强调学生的自悟，使学生具备自学能力，已成为一种发展趋势。
在课堂上，教师必须积极调动学生的自主意识，培养学生的学习积极性，让他们积极主动的参与课堂学习，为学生的“悟”提供充分的时间和空间。
因此，对课堂的时间进行有效整合、合理分配，对课堂教学各个环节，尤其是导课进行科学设计，就成为必须。
我校在借鉴和吸收各地经验和本校各学科自主实验探索的基础上，提出“四步四悟”高效课堂教学模式，充分发挥学生的主体作用，让课堂简洁而大气，务实而高效，焕发勃勃生机，实现课堂教学效益最优化。
著名的教育学家乌申斯基曾经说：“没有兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。
”导课是课堂教学的一个重要环节，具有较强的艺术性，但有的教师对这一环节重视不够，认为只要把该讲的知识讲了就可以了，导课总是千篇一律-- “上一课我们讲了……，这一课我们讲……”。
只注重知识的传授甚至是灌输，忽视了培养学生的学习兴趣。
具备高强艺术性的导课能够使人眼前一亮，摄人魂魄，能够培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，使学生的注意力迅速回归课堂，为学生顺利接受新知识创造有利的条件，为真正实现高效课堂打好基础。
笔者借鉴各种优秀教育理论及许多优秀教师的经验，结合自己的多年教学实践在此和各位同仁一起分享几种数学课堂导课方法，以期达到抛砖引玉的作用。
“思 辩 悟”——让数学课堂更精彩
、Hale Waihona Puke 创设悬念 。 学生“ ” 让 思
教学 中 ， 师要根据学生 的认知特 点创设合理 教 的教学悬念 ， 以此来激发学生的学 习动机 ， 发学 生 弓Ｉ
思考 ， 实现师 生与生生 间的思维互动。 在教学 “ 角形 的三边关 系” 三 ～课 时 ， 笔者在课 前给每人发 了两根小棒。 师（ 故意 面带疑惑 ）你们知道发两根， 干什么？ ： Ｊ 嶙
（ ）选择 正确 答 案 的序 号 填 在 括 号 里 三
１ 一张长方形卡纸 ， １ ． 长 ２厘米 ， 宽是 ８ 米， 厘 求
４ 一教学月刊小学版２ １ ２ ０ ０２ ＿ 数
生 由疑 问产 生好奇 ， 好奇又转化 为强烈 的求知欲和 学 习兴趣 。 从原来直接发给学生小棒 围三角形 ， 到让
师生在一问一答 的交流 中实现 了知识 的共享。 以 可 说没有 “ 问” 追 就不会有更多的“ 发现 ” 。
三 、 妙点拨 ． 学生“ ” 巧 让 悟
学生 自己在原有 的两根小棒 的基础上创造 出第三根
小棒 ， 促使学生 自己去思考 需要一根 怎样的小棒 ， 从 而把三 角形三边关系 的教学变成学生主动探讨 的过 程， 促使 学生数学思维 的主动发展 ， 正让学生 “ 真 思 考” 起来。
２ 一张长方形全 家福照片， ８ 米， ６分米 ， ． 长 分 宽
０４ 平方分 米 ）８
求它的面积 。 列式是（
② ４ 分米 ８
） 。
小正方形铺 ， 共能铺几个。 师： 是啊 ， 周长与面积 的意义不 同， 其计算方法、
单位也不 同， 大家要小心 区分呀 ｆ
（ 析 ： 过 将 长 方 形 的 长边 缩 短 ， 到 与短 边 评 通 直
悟,让数学复习更有效
悟，让数学复习更有效江苏省靖江高级中学 陆贤彬“悟”字，不难解释，有感悟、领悟、觉悟的含义．林清玄用拆字法，把“悟”字解释为“独对我心”．在学习中，代表着问题解决时思维的有效参与，也就是我们父母一直叮咛的“用心学习”．“悟”是学习的一种过程、一种状态、也是一种境界，学习轻松者一定擅长“悟”，尤其是数学复习时，“悟”是最经济的、有效的、简单的学习之道，“题不在多，擅悟就行！”．新授课学习时，我们通过一些相关的情境学习新知识、新方法，但由于学习是渐渐地，自然缺乏整体的、全局的认识，我们可能只是在某个方向上是“懂了”，习得的知识、方法呈“点”状，这需要我们一段时间的学习后进行“复习”．所谓数学复习就是将知识和方法连点成线，将它们内化为“知识链”、“方法链”，甚至展线成块，将它们内化为完整的“知识块”、“方法块”， 这一内化的过程我们称之为“悟”．数学复习的一个重要部分就是以题带出概念和方法，应该说不同的内容复习的重点不同，因此复习方法也有差别，下面我们就今年4月份南通、扬州和泰州二模试卷上的一道题为例，通过对题目的分析，和同学们交流如何“悟”．1. “悟”，辨别方向如果我们只是从单一角度去领悟，我们可能就会陷入一种思维定势，可能就会让“知识网络”和“方法网络”缺失结点，我们的思维就会不通畅，因此我们有必要思考这类问题有哪些解决方向，在尝试中辨别，在多向的比较中“悟”出适合自己的方法．【问题1】如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，A 为上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = .（1）若点P 的坐标为，求椭圆的方程； （2）设过点P 的一条直线交椭圆于B,C 两点，且BP mBC = ，直线OA,OB 的斜率之积为12-，求实数m的值．我们知道，解析几何的核心就是用代数方法解决几何问题，因此需要我们将条件中的信息“加工”为代数形式，最后转化成方程（组）或函数问题．对于问题1．题目中的信息“离心率为2”，可加工为“222a b =”，进而方程可变形为：22222221222x y x y b b b +=⇒+=；题目中的信息“2OP AO = ，P ，点A 在椭圆上”，加工的方向有二：方向1，根据向量的坐标相等，得(1,2A --，根据“点A 在椭圆上”，将(1,2A --代人方程22222x y b +=，可以得到椭圆方程是2212x y +=；方向2，由P ，得OP 的直线方程为y x =，由点A 在直线OP 上、点A 在椭圆上，可得，点A 是2y x =与22222x y b +=的一个交点，解方程组，得(,)2A b --，代入2OP AO =得，1b =.不难发现，因为本题只涉及直线OP 与椭圆的一个交点A ,用常规的“联列方程组”反而比较繁．对于第（2）问，由于题目中的信息多，加工的方向就多了起来，此时我们往往是首先确定基本量．方向1：在第（1）问的引导下，采用“设点，满足方程”，而不采用“联立方程组”．将点A B C 、、的坐标作为基本量．设点A 11(,)x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，因为三点在椭圆上，得：2221122x y b +=……①，2222222x y b +=……②，2223322x y b +=……③； 由信息“2OP AO = ”，可得：11(2,2)P x y --；由信息“BP mBC =”可得1232-2x ()x m x x -=-……④，1232-2y ()y m y y -=-……⑤；由信息“OA OB 、的斜率之积为12-”，可得：121220x x y y +=……⑥ 观察上述的6个方程，只有④，⑤是一次形式，将它们变形为123-2x (1)m x mx +-=……⑦,123-2y (1)m y my +-= ……⑧;全局地观察不难发现：⑦平方+2倍的⑧平方，可得：2222222211221212334(2)(1)(2)4(1)(2)(2)x y m x y m x x y y m x y ++-+--+=+运用①②③⑥进行简化，得224(1)m m +-=，所以52m =方向2：仍然不采用“联立方程组”，但根据“OA OB 、的斜率之积为12-”，用OA 的斜率为基本量．设OA 的斜率为k ，则斜率为12k -，设1(,),(2,2),(,).2A s ks P s ks B t t k---2222222222222222222222,22,(12)21122,2,(1)222A A BBx y b s k s b s k b x y b t t b t bk k+=∴+=∴+=+=∴+=∴+= 1,().BP mBC BC nBP n m=∴==(2)(1)2,111(2)(1)2.222C C x t n s t n t ns y t n ks t n t nks k k k=+--=--=-+--=--- 22222222222222222,1(1)(1)(1)(44)4(12)22(1)(2)4(2)2C C x y b n t nks n n s k b kn b n b b +=∴-++--+++=∴-+= 25,52n m ∴=∴= 明显地，方向2的运算要复杂些，原因是缺乏全局的、整体的眼光，但思路比较清晰．我们再用本题的想法来解决一道高考题．2. “悟”，学会联想【问题2】如图(2),椭圆的中心为原点O ，离心率e=2，一条准线的方程是x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点F 满足：2OP OM ON =+ ，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l：x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由．本题可以看成是前一题的变式，它们均可采用“以整体的、全局的视角把握方程思想”． 设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，题中信息“2OP OM ON =+，可加工为：122x x x =+…①；122y y y =+…②题中信息“M 、N 是椭圆上的点”．可以加工为：221124x y +=…③；222224x y +=…④．题中信息“直线OM 与ON 的斜率之积为-12”．可以加工为121220x x y y +=…⑤；题中信息“是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由．”根据圆锥曲线的定义，如果存在定点F ，则点P 的轨迹为圆锥曲线，本题转化为求动点P 的轨迹方程．利用“以整体的、全局的视角把握方程思想”的解题策略，对所得的五个方程进行整体、全局观察，可得：222222121212122(44)2(44)=20x y x x x x y y y y +=+++++．满足条件．3. 悟，尝试归类我们还可以进一步地悟一悟——在联系中归类，“归类成块”是“悟”的最高境界．上两题中均有信息“直线OM 与ON 的斜率之积为-12”，这就与我们新授课上讲的知识可以联系起来： 【问题3】“平面内与两定点12(,0),(,0)A a A a -(0)a >连线的斜率之积等于非零常数m ，求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系”，该题如果设定值是22b a -，其轨迹为标准形式的椭圆．这三个问题具有很强的共性，都是椭圆的轨迹问题，所涉及的斜率之积都是定值22b a-．将问题1进行一般化，并给出两道类似的题目，请同学们自己尝试在解题中领悟．【问题4】（问题1的推广） 椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>， M 、N 是椭圆上的点，直线OM与ON 的斜率之积为定值22b a-，设动点P 满足：,,OP ON MP mMQ λ== ，且Q 点在椭圆上，求m λ、的关系．【问题5】椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为22b a-，点P 是线段MN 的中点，求点P 的轨迹方程．【问题6】椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>，设动点P 满足：,(0)OP mOM nON m n =+> 、，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为定值22b a-，求动点P 的轨迹方程．张老师，请组织两篇论文，话题用话题：核心素养，（面对高二学生，载体内容可以是导数、圆锥曲线、函数，文理通用） 你组织写，直观想象和数据分析，12号写好，行吗？ 谢谢！朱占奎。
小学数学课堂中数学文化的融入与思考
㊀㊀㊀㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３ １１小学数学课堂中数学文化的融入与思考小学数学课堂中数学文化的融入与思考Һ张艳芸㊀（甘肃省武威市凉州区金羊镇九年制学校，甘肃㊀武威㊀７３３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学文化即数学这一科目中存在的人文要素，诸如数学思想㊁数学观点㊁数学发展的历史㊁数学的应用历史等．将数学文化融入小学数学课程教学中，对于丰富教学内涵，促进学生综合发展有着积极意义．文章简单分析了小学数学文化的主要内容及其育人价值，同时指出教师可以将数学文化有机融入资源整合㊁情境创设㊁活动探究㊁随堂练习等教学环节中，以此丰富课堂教学的内涵．ʌ关键词ɔ小学数学；数学文化；融入；策略‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“（以下简称新课标）指出义务教育阶段的数学教学要体现数学学科特征，关注数学学科发展前沿与数学文化．基于此背景，原有的讲述式教学㊁ 题海战术 教学的传统数学课堂不能满足新时期的教学发展要求，将数学文化融入小学数学课堂势在必行．教师应明确数学文化的内涵，积极整合教科书内外的数学文化育人资源，并通过多种方式将文化融入小学数学教学中，使学生在数学文化学习中掌握数学基础知识与基本技能，形成良好的数学思想与数学观点．一㊁小学数学文化的有关研究（一）小学数学文化的内涵数学文化涉及的内容比较广泛，可以从两个方面进行解读．广义的数学文化由数学审美㊁数学教育㊁数学发展等内容构成；狭义的数学文化由数学符号㊁数学历史㊁数学观念㊁数学思想等内容构成．小学数学教学所涉及的数学文化体现为以下几方面：１．数学学科的发展史，包括数字是怎样被创造出来的，数学符号的演变过程是怎样的，数学名词的发展过程，数学运算方法的发展过程等．２．数学家的生平事迹，比如被称为中国数学之父的华罗庚的成长故事，几何学之父欧几里得所取得的数学成就等．３．以数学知识为基础的传统益智游戏，包括数独㊁九连环㊁鲁班锁㊁七巧板等．４．数学艺术，包括数学知识在音乐学科㊁美术学科㊁体育学科的融合应用等．比如，黄金分割与黄金比㊁藏在琴弦中的比㊁达㊃芬奇的自画像㊁数字解读人体健康水平等．５．古今中外经典的数学问题，比如 国王的重赏 问题㊁ 鸡兔同笼 问题㊁ 煎饼问题 等．（二）数学文化融入小学数学教学课堂的意义数学文化充分体现了数学这一学科的 美 ，包括人文之美㊁逻辑之美㊁对称之美㊁规律之美等．在小学数学课堂教学中融入数学文化，可以凸显数学教育的 美 ，在丰富课堂教学内涵的同时赋予学生 美 的学习感受㊁ 美 的应用感受与 美 的探究感受．第一，有利于 激趣 ．数学文化包含较多数学应用㊁数学审美㊁数学精神等育人要素．将以上教学要素融入数学课堂教学，有利于解决 知识本位 教学模式所造成的课堂教学内容单一㊁课堂教学过程枯燥等教学问题，对于提升课堂教学的趣味性，增强学生的数学学习动机有着积极意义．第二，有利于 发展 ．数学文化包括古今中外的经典数学问题，如几何问题㊁代数问题㊁应用问题等．利用此类文化教学资源启发学生的数学智慧，可以促进学生的综合能力发展．第三，有利于 成长 ．古今中外数学家的成长故事是数学文化的一部分．教师将这一部分内容融入数学教学课堂，能够为学生树立不畏困难㊁勇于攀登㊁坚持不懈的数学学习观念，从而有效挖掘其数学潜能，促进其学习能力的成长㊁人格的成长．二㊁数学文化融入小学数学课堂的路径分析（一）在教学设计中融入数学文化，做好准备高效的课堂教学是在有效备课的基础上建立的．要使数学文化充分融入小学数学教学课堂，教师要在课前做好准备工作．在实际教学中，教师应先分析课程教学主题，再根据教学主题挖掘教科书中的文化育人要素，整合教科书外的文化育人内容，并将收集㊁整理到的文化内容融入教学设计中，为有序融入数学文化奠定教学基础．以人教版一年级数学下册 认识图形（二） 一课的教学设计为例，教师可以按照如下步骤㊀㊀㊀１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１将数学文化融入教学设计中．［步骤１］：分析课程内容，提炼主题．认识图形（二） 一课充分利用了立体图形与平面图形的关系，从描㊁画出简单的立体图形的面入手，引入平面图形，旨在让学生学会从立体图形的表面抽象出平面图形．从这一课内容，可以确定该课的教学主题，即 从立体图形的表面抽象出平面图形 ．［步骤２］：围绕课程主题，收集㊁整理数学文化教学资源．一方面，教师可以挖掘教科书中的数学文化育人要素．比如，教师可以挖掘教科书中的 你知道吗 模块中的数学文化要素，并基于文化要素设计不同的趣味内容．七巧板是我国的一种传统益智玩具，由７块板组成，用它们可以拼出千变万化的图案，如：教师通过巧妙运用教科书中的数学文化育人资源，引导学生在观察㊁操作㊁创新的过程中感悟数千年前老祖宗的数学智慧，从而加深学生对数学几何知识的学习情感．另一方面，教师可以收集教科书以外的数学文化育人要素，通过收集更多内容丰富数学课堂教学内涵．比如，教师可以将古希腊数学家对几何学的研究编入教学设计中：公元前３３８年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识，作出‘几何原本“，提出 由任意一点到任意一点可作直线 一条有限直线可以继续延长教师通过收集教科书外有关于几何知识的数学文化内容，进一步丰富 认识图形（二） 一课的教学内容，使学生在广泛了解数学文化的过程中积累更多数学知识，对几何教学内容形成更深刻的认知．［步骤３］：基于收集内容，完善教学规划．教师可以将教科书中的数学文化要素作为导学内容，在教学导入阶段为学生呈现七巧板的不同摆放情况，如：利用七巧板摆出马的图形；利用七巧板摆出房子的图形 通过呈现不同内容，使学生体会几何构造的奇妙，顺利引出课堂教学内容．之后，教师可以在讲解理论知识时渗透欧几里得对几何知识的研究内容，加深学生对平面几何知识的理解．（二）在趣味情境中融入数学文化，激发兴趣小学数学不乏一些抽象的㊁复杂的数学知识．由于小学生的认知发展水平较低，很多学生在理解数学知识时存在困难，久而久之出现了负面的课堂学习情绪．数学文化不乏趣味元素，教师合理应用数学文化中的趣味元素可以为小学数学课堂教学增光添彩，继而使学生产生主动学习的意愿．教师可以相关内容为基础，利用情境教学法创设教学情境，深化学生的学习体验，使学生在情境的作用下展开想象，从而加深学生的数学认识．以人教版三年级数学下册 位置与方向 一课的教学为例，根据本课关于 根据方向和距离确定位置 的教学要求，教师可以利用融合教科书中的数学文化内容创设教学情境：应用多媒体播放‘寻龙诀“影片中主角拿着罗盘辨别方位的片段： 寻龙分金看缠山，一重缠是一重关，关门如有八重险 ．利用影片创设教学情境时，教师还可以基于情境提出引导性问题：主角手中拿的工具是什么？它有什么作用？你对这个工具的了解有多少？通过提出此类问题让学生将情境学习的关注点转移到 罗盘 上，以 罗盘 为切入点渗透数学文化：影片中的主角手中持有的工具是罗盘，在古代被称为司南．司南是我国古代四大发明之一．早在两千多年以前，我们的祖先利用磁铁制作了指示方向的工具 司南，之后又在司南的基础上又发明了罗盘完成文化渗透后，教师可以继续创设游戏教学情境：今天，老师在讲桌的正南方向㊁正西方向藏了两份 宝藏 ，现在我们开始 寻宝 ，看看谁能最先找到宝藏吧！在此情境中，教师还可以为学生发放指南针，让学生利用指南针参与 寻宝 活动．这样，通过创设影视情境㊁游戏情境激发了学生对数学文化㊁数学知识的学习兴趣，使学生在兴趣的驱动下主动探索相关内容，进一步实现了数学文化与数学教学活动的完美融合．（三）在活动探究中融入数学文化，增强感悟注入式的课堂教学难以引发学生对数学知识的深度理解，只能造成学生重复性的㊁机械性的记忆与模仿．要避免传统教学模式为小学数学教学课堂带来的负面教学影响，教师需要摈弃固有的 注入 教学观念，积极尝试新的方式方法开展教学工作．教师可以基于数学文化的丰富性㊁趣味性特征开展教学活动，在活动介绍㊁活动组织㊁活动总结的过程中引导学生体㊀㊀㊀㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １１会数学文化，进一步增强学生对数学文化的感悟．例如，在教学 多边形的面积 时，教师可以先组织探究活动，再渗透数学文化．活动１：如何计算平行四边形的面积？活动中，教师为不同学习小组的学生发放相同大小的平行四边形卡片，同时发放方格纸㊁手工刀㊁刻度尺等操作工具，让学生在活动中尝试运用不同方法探究平行四边形的面积．如：有的学生将平行四边形放入１ｃｍ２的方格纸中，通过填补的方式将平行四边形填补成长方形，再用数一数的方式查出平行四边形的面积（见下图）；有的学生采取割补的方法，沿着平行四边形的高裁出一个直角三角形，对直角三角形采取平移操作，通过平移将平行四边形转化为矩形，随后回顾矩形面积的计算公式Ｓ矩形＝长ˑ宽，计算出矩形的面积．由于矩形是平行四边形转化而来的，矩形的面积与平行四边形面积相同．如此，学生在拼接㊁割补的过程中体会平行四边形面积的计算原理，能够充分理解Ｓ平行四边形＝底ˑ高这一面积计算公式．活动２：如何计算三角形的面积？活动中，教师为不同学习小组的学生发放若干张完全相同的三角形卡片，包括直角三角形卡片㊁等腰三角形卡片㊁等边三角形卡片等．之后，教师在活动中提出问题：如何计算三角形的面积？根据之前学习所得，你有怎样的想法？通过提问的方式驱动学生主动尝试应用方格纸㊁手工刀进行填补㊁割补㊁拼接等操作，让学生在手工操作的过程中得到新发现 完全相同的两个三角形可以构成一个平行四边形（或矩形）．由这一发现组织学生探究三角形面积计算公式，使其在活动中得到Ｓ三角形＝１２ˑ底ˑ高这一公式．活动３：在品鉴数学文化的过程中，你发现了什么？此活动安排在平行四边形㊁三角形面积探究活动之后，在学生初步掌握计算公式后，教师可以应用多媒体播放微课视频：你知道吗？在两千多年以前，我国的数学家就已经就 面积计算 问题展开了深入探究．在‘九章算术“一书中就有关于长方形㊁三角形面积计算方式的记录： 方田术曰，广从步数相乘得积步． 其中， 方田指的是长方形田地； 广 和 从 是指长和宽； 圭田术曰，半广以乘正从． 其中， 圭田 指的是三角形田地，也就是说三角形的面积为Ｓ三角形＝１２ˑ底ˑ高．这样，通过组织不同的教学活动，先引导学生感悟数学文化的内涵，再为其呈现数学文化的文字形态内容，使学生在听㊁说㊁操作等学习过程中感悟数学文化中蕴藏的精妙内涵，进一步强化学生课堂学习成果．（四）在随堂练习中融入数学文化，引导迁移数学文化不止存在于数学科研工作中，更体现在生活㊁艺术等方面．教师可以根据数学文化的内涵设计具有拓展意义的数学练习题，通过丰富习题类型提升小学数学随堂练习教学质量，发展学生的迁移思维㊁应用思维等．例如，在教学 圆 时，教师可以设计如下习题：１．右面图形的周长是多少厘米？你是怎样计算的？２．一枚铜钱的直径为２８ｍｍ，中间正方形的边长为６ｍｍ，这枚铜钱的面积是多少？其中，第１题内蕴藏着转化的数学思想．要想解答这一习题，学生需要将这一不规则的图形转化成三个半圆，再求三个半圆的弧长，即可得到答案；第２题将数学知识与文化生活相连接，学生需要先计算出圆的面积，然后计算出正方形的面积，于将两个面积相减得到问题答案．通过设计不同练习题，引导学生套用数学公式，分析数学问题，联系生活实际，继而加深学生对数学知识㊁数学文化的感悟，进一步提升学生的人文水平．结㊀语问渠那得清如许，为有源头活水来． 数学文化就是数学学科的 源头活水 ，教师只有认识到数学文化的育人价值，并采取合适的教学手段凸显数学文化的趣味性㊁学术性，才能实现文化育人的教学追求．小学数学教师应充分认识到数学文化的重要育人价值，并从教学导入㊁新知教学㊁练习教学等不同教学角度采取文化融入教学策略，确保数学文化充分发挥其应用的育人价值．ʌ参考文献ɔ［１］潘婷．数学文化更易打开小学生的数学之门［Ｊ］．人民教育，２０２２（２４）：７０．［２］许延娟．小学数学课堂中数学文化的融入思考［Ｊ］．第二课堂（Ｄ），２０２２（１２）：３７．［３］朱冬梅．以文 化 人 小学数学文化的育人视角分析［Ｊ］．试题与研究，２０２２（３５）：１３５－１３７．。
浅析数学“悟学课堂”的要义——“二次函数的图像的性质(4)”
“ 二 次 函数 的 图像 的性质 （ ４ ） ” 一课 ， 客 人们对 执教 老师 的素质和在 “ 悟学 ” 模 式下师生 的精彩表 现赞誉有加 ， 他 们对 “ 悟学课 堂” 的教学模式表现 出浓厚 的兴趣．
执教者将教材 内容经过精心且恰 当的处 理 ， 设计 了 完整 而 流畅 的教学环 节． 教者 利用学 校教 学特 色 “ 悟学 课堂 ” 模式 ， 并在 “ 悟学 ” 的理念下 给学生 腾 出了较 大 的 思维 时间和空 间 ， 使得课 堂生动 、 生趣 、 生效． 说明 ： “ 悟 学课堂 ” 模式 的预学基本 操作流 程 为 ： 教
重 视这种原 生态 的思维 ， 这是对 知识 、 对 学生预 习的尊
时， 最— — 为— —一 当 — 随 的增大而— — ；当 — —
１
随 的增大而一
问题 ２ ： 式子÷ 一 ＋ ２ ｌ 有最值吗？若有， 用怎样的
方法求 出最值 ？试求 出最值．
１
ｆ ｎ － ］ Ｊ ｍ ３ ： 用描点法画 二次函 数ｙ ＝ ÷ ２ － ６ ｘ ＋ ２ １ 的图 像．
称 轴— 一
当 ＝ — 时， ’ ， —
， 顶 点坐 标 （ —
Байду номын сангаас
—
） ， 有 最—
—
点．
— 时， ｙ
“ 悟学 课堂 ” 的教 学理 念 主张 “ 慢 教育 ” ， 即放慢 节 奏， 拉长 学生 思维 的过程． 在二次 函数 的图像 和性 质教 学中， 执教者一开始就慢 下来 ， 让学生对 问题 １ ～ 问题３ 进 行 自主独立 学 习和小组合 作学 习 ， 课堂上 ， 老师让 学生 充 分思考后 ， 展示 了学生 学习 的真实情况 ， 这是 学生 的 原 生态思维 过程 ， 很有价值 ， 让学 生非 常透彻地 掌握 函 数 图像研究 的基 本套路 ，这 里的慢是 为了 以后 的快 ， 为 继 续研究 函数 问题 提供 了思 维方 向 ， 听课 中发现 ， 老师
课堂中的体“悟”让数学思维走向深刻
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2017.09
课程与教学
Kechengyujiaoxue
解程序和步骤的道理，才能使学生更好地掌握 道理的教学手段。 “思维的发展需要经历坎坷，经受锤炼。 ”在初步感知了 12×3 的计算方法后，教师经常会让学生来归纳两位数乘一 位数的计算方法，这时的方法提炼没有实际经验的支撑，没 有知识内化的过程，犹如空中楼阁。在课堂教学中，像这种 教师指令式，没有思考空间的活动并不是体验，并不能够体 现出体验学习的本质。因此，在实现竖式简化后，教师不能 急于求成，要给学生充足的内化知识的时间，即让学生去 “悟” 。我们可以让学生自己用简单的方法来算一算，算好 后可以组织学生说说积的每一位上的数是怎么来的，表示 什么？进一步理解其中的道理，并让学生用这样的方法尝 试计算 312×3，这里，教师不但要给与学生独立练习的机 会，更要让学生经历自我辨析、与同学互评互纠的学习过 程。这样的体验之后再来组织学生观察、比较、分析、归纳 两三位数乘一位数的计算方法就更加水到渠成了。 感知活动与思维活动的完美融合才能实现属性的完美结 合，才能使学生远离生搬硬套、机械模仿，真正理解数学知 识，掌握数学方法，明白数学道理。 三、局部——整体，对比体验优化思维 为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重基础知识 与其它学科知识及学生生活经验间的联系，适时适量的组织 学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分 析、概括、判断，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系 等；要注重知识的“生长点”与“延伸点” ，把每堂课教学 的知识置于整体知识的体系中，处理好局部知识与整体知识 的关系，引导学生感受数学知识的整体性和完整性，体会从 不同的角度、从不同的层次分析和理解数学知识。 如上面的《两三位数乘一位数（不进位） 》的教学。例 题 12×3 学生尝试计算时受已有的加法计算方法的影响可能 出现如右图这样的情况。从这一生成资源中我们发现学生已 有知识经验对新知教学的影响。因此，在课堂教学中，教师 不仅要结合小棒图来理解 12×3 表示 3 个 12，里面不只有 3 个 2，还有 3 个 10，所以计算的时候 3 不但要和个位上的 2 相乘，还要和十位上的 1 相乘。还应将这个知识点放到整个 计算知识体系中来，直面新旧知识间的联系与区别，让学生 自己来比较加法和惩罚的区别：12×3 和 12+3，乘法中 3 要 和 12 的每一位上的数都相乘，加法中 3 表示 3 个一，只要 和个位上的 2 相乘。这样的对比能让学生感受数学知识的完 整性，能让学生在比较中进一步明晰乘法和加法的意义，明 白乘法和加法竖式计算的道理。 总之，数学课堂教学中应竟可能多的让学生在教学活动 中去“悟” ，可以让学生获得深刻的情感体验，激发迫切的 学习需要；可以体现数学的实质，让学生更好的认识和理解 所学知识，引发学生的数学思考；可以沟通学生已有知识基 础、已有生活经验与新知之间的联系，让学生的认知更全 面、更完整，思维更深入。▍
“学、诱、导、悟”课堂模式在关于初中数学中的实践与探索
“学、诱、导、悟”课堂模式在关于初中数学中的实践与探索作者：李晓平来源：《读写算·基础教育研究》2016年第03期【摘要】数学教育与语文教育在中国的教育模式中起着主体的作用，从一个小学生到研究生、从课堂教学到实际社会生活，数学与语文都我们息息相关。
数学的教学过程教师应明白其教育模式，即在“学”的基础上，进行“诱”导课堂教学的兴趣，架起一个新旧知识的“导”的桥梁，从而让学生对知识有一个清晰化的脉络，“悟”出数学学习的道理及其意义。
达到一个数学的高标准教学。
【关键词】初中数学教育“学、诱、导、悟”课堂模式教与学的对立统一，在数学教学过程中是相互成立的，教师不应该将课堂教学局限于知识的传授，而是将教学变得生动有趣，注重研究数学学习的特点及内涵，并探索如何使学生在课堂上能够更加有效的学习，如何提高学生的学习兴趣，培养学生自主学习。
“学、诱、导、悟”这一教学模式的提出，在数学教学中深得人心，将这一教学模式运用到课堂中，受到教师好评，学生喜爱，同时也取得了很好的教学效果。
一、当下初中数学教育存在的问题（一）教学形式单一近年来，由于新课改理念在数学教学中逐渐的渗透，学校也加大了对师资力量的培训。
可是数学教学的模式比较固定，教师与学生都习惯了传统的教学方式，即教师讲、学生听。
在数学教学中，传统的方法就是教师先推断公式，并让学生记住公式和一些定理、公理，然后教师再讲解课本上的习题，最后就是学生自己做题。
教师往往并不会关心学生的学习状态及学习情况，更没有在习题的讲解里进行举一反三，这就导致了很多学生并没有达到很好的学习效果。
（二）教与学的不合理搭配在数学教学中，教学的讲解与学生的练习是密不可分的。
教与学只有合理搭配，才能让教学起到事半功倍的效果。
课堂上，教师一味的讲解，而不关心学生的学习状态。
这种教学方式存在很大的弊端，教师往往会忽略其中的问题，即并不是每个学生都能在教师的讲解下很快的明白其中的道理，甚至有的学生还停留在上一道题的研究中，但教师已经在讲解下一道题的讲解了。
高中数学论文：浅谈高三课堂关于引导学生“悟”数学的设计与实践
【案例3】以下是自己在高三第一轮于《解析几何》的直线部分和椭圆部分时，所选择的两个教学用题，设计意图：题1在“运算求解”中去发现、收集相关信息，提升“数形结合”思想基本技能，形成学科基本能力；题2于甄别常规问题差异中，感悟“一题多解”本质目的：在思维发散处，悟之快乐，活跃思维，领略数学思想方法的魅力．
但除O点外，感觉应该还有，可不知怎么找？
生2：由要求可以“反算”求得⊿ABC的高 ，∴作AB的平行线，距离为 时，直线与抛物线交点个数，就是本题结果，选择（A）．
师：两人感觉很好，只是配合上未能达到“英雄略见所同”——（生3有点等不急的样子）
生3：AB上方有两个点是没问题的，只是过O作的一条“平行线”，能否有“两个交点”，精确方法还有点把握不住——能用导数方法吗？可我用两种方法得来，结果不同：
（注：此前课中有一“即景”练习题：已知函数 ，试比较 与 的大小，曾让学生“悟过”不谐调——对 ，分母“缺少” ，如何调节！？）
师：你们的发现、思考，已进入命题要求“范围”，作好关键一步“选择与调整”．
生6：应该选择函数： ，这样选项ＡＢ前半部分可调整为：
……①，即 ，接下去——
众生：研究函数 的单调性，选择（A）．
2．2悟道生于观察而成于思维反思点
【案例2】（“案例1”之课结尾10分钟）
题2（2012年浙江理科9）设 ， （ ）
（A）若 ，则 （B）若 ，则
（C）若 ，则 （D）若 ，则
（注：将“2”换成“ ”，即文科试题第10题）
选此题为本课时教学“压轴”问题，曾“悟”：此题特点是什么，解答此题可以获得什么启示？立于学生视角，会“悟”到什么？待我也真切地“悟了一番”后明白“设计意图”：发现，合理地发现问题蕴藏的“函数单调性”？再发现，具有“灵性”地观察发现——利用条件形式“构造”出单调性所需要的特征关系？我们知道：任何“发现”，都不可替代的！于是，我只轻轻地对学生说：不用动笔，不用做，认真看，细想想，只问自己发现了什么？若感觉“不对劲”的话，想想是什么，以此“调节”你的思考方向！（学生们早已跃跃欲试了，话音刚落——）
数学课堂教学中“悟”的重要性
数学课堂教学中“悟”的重要性朱威【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2013(000)008【总页数】2页(P30-30,31)【作者】朱威【作者单位】江苏省苏州中学 215007【正文语种】中文本文以“正四面体”的教学片段为例，阐述了“悟”在培养学生独立性和自主性中的重要作用.感悟也就是因感知而悟.任何一个新知识，学生在开始阶段都有一个感知的过程，教师应努力创设一个良好的氛围，把学生引入问题情境中，让学生由此产生兴趣，进而激发学生自主探究的动力.本节课一开始，教师把多个正四面体模型放到学生面前，让学生通过观察形成对几何体的感性认识，然后围绕以下问题展开讨论：正四面体应如何定义？正四面体有何性质？正四面体的外接球及内切球有什么特征？若已知正四面体的棱长为a，如何求正四面体的外接球、内切球的半径？又给你一个正方体，你能切割出一个正四面体吗？围绕正四面体，你还能设计并提出哪些问题？这一系列问题使学生通过交流和感悟形成对正四面体的初步认识.因此，在课堂教学中要给学生充分的时间感知和想象，教师不能为了教学进度而“赶”悟.体悟就是在感悟的基础上让学生身体力行地参与教学的每一环节，从中悟出数学知识的真谛.教师可以让学生参与教学设计、讨论、小组交流、教学评价等，让学生做学习的主人，在做中悟.改变传统教学中的“以教师为中心、以课堂为中心、以书本为中心”的做法，提倡自主、探索与合作的学习方式，促进学生的学习产生实质性的变化，进而推动学生的创新意识和实践能力的发展.学生对正四面体有了初步的认识之后，接下来到了应用环节.问题1 现在有四个大小相同半径为R的球两两外切，问这四个球形成怎样的结构？若把其中三个球放在水平的桌面上，则这四个球的最高点到桌面的距离是多少？教师准备了四个篮球，请一个学生摆放，然后让学生观察、操作，引导学生思考、交流.学生：这四个球的球心连结后构成一个正四面体，这四个球的最高点到桌面的距离就是这个正四面体的高加上2R.教师：回答得很好.请大家把结果算出来.教师要让学生去做、去悟，很多问题他们通过体悟，完全可以自己解决.学生通过感悟和体悟，对知识有了深入的了解.在此过程中，他们对知识有了一定的认识和体会，我们分别称之为觉悟和领悟，但通常只是浅层次的，要真正地达到，还需要教师做更多的引导.为此，我们设计一系列问题，让学生参与研究、探索、总结.问题2 如果还有一个小球与这四个球都外切，则这个小球应该在什么位置？它的半径又是多少？问题3 如果这五个球全放在一个大球内部，则这个大球的半径最小值是多少？问题4 如果这五个球全部放在一个正方体内，则这个正方体的体积最小值又是多少？问题5 如果这五个球全部放在一个正四面体内，则这个正四面体的棱长的最小值是多少？教师给出这一系列问题后，学生探究的积极性非常高.他们交流探究结果，领悟问题的本质.学生对这四个球的问题很感兴趣，况且通过体悟，学生已经知道其中的本质，有所觉悟，但不一定完全领悟.教师通过一系列问题的探究，引导学生去领悟，总结数学解题思想，让学生自主思考和探究.这样学生不仅领悟知识，还领悟知识产生的过程，更领悟了探究知识的重要性.省悟是指在学习过程中反思自己的解法和得失.教师要教会学生反思，从问题中总结方法，并且进行推广.如果解不出来，要反省自己存在哪些薄弱地方，从而有针对性地改正.在“悟”数学的过程中，我们对待数学后进生的方法是教会他省悟. 如这节课的教学中，教师发现后进生对有些问题还是不理解.例如，学生对正四面体的中心分高的比为3∶1没有很好地把握和运用，了解下来，是他们没有知其所以然，只是知道这个结论而已.针对这些学生，我给他们时间反思为什么是这个比值？提示他们可以通过平面图形——正三角形——来类比用体积的分割方法来理解，这样学生终于省悟了，以后也就不会出现这方面的错误.苏霍姆林斯基说，对于跟不上的学生，老师不应该多给他补课，而应该鼓励他深入思考以前的问题，通过自己的努力，把问题真正弄明白.对待数学后进生，我们要指导他们如何自主学习，帮助他们解决自学中的困难，给他们一定悟的时间和更多悟的机会，让他们通过自已思考而省悟.深悟就是深入到数学的本质中，通过探究，创造新的思想，解决更多的问题.数学学习过程是一个再创造的过程，通过数学课堂可以给学生提供更多的机会让他们参与数学的再创造和再发现.这非常有利于学生创造能力的培养.为了提高学生的应用能力和探究能力，教师接着又提出：问题6 从空间一点出发的四条射线，它们两两之间的夹角相等，求这个角和其正弦值.问题7 一个棱长为a的正四面体在平面上的投影是什么图形？这些图形中面积的最大值是多少？如果不对已学的数学知识深悟，而只是停留在领悟上，思维能力就没有得到充分的提高.所以，教师应该鼓励学生深悟，指导学生进一步探索，培养良好的思维习惯.。
渗透数学文化,构建智慧课堂
渗透数学文化，构建智慧课堂安徽省濉溪中学邹元峰摘要：素质教育背景下，在高中数学课堂教学中教师不仅仅要传授给学生理论知识，更重要的是要培养学生优秀的数学思维能力，这样才能够对所学知识有较为透彻的理解和认知。
高中数学知识相较于初中数学知识，知识量比较多、难度比较大，学生往往存在较大的学习压力，针对以上问题教师需要不断地创新教学模式与理念，在高中数学课堂中渗透数学文化，构建智慧数学课堂。
关键字：高中；数学；数学文化；方法著名的数学家齐民友曾经说过：“通过历史证明可以看得出，如果不具备发达的数学文化一定会衰落的，一个不掌握数学文化的民族也必定会衰落。
”由此可以得出，数学文化在数学课堂教学中发挥着重要的作用，高中数学教师在课堂中要注重数学文化的渗透，引导学生掌握相应的数学思想方法与解题技巧，最大程度地提高解题效率与质量。
一、在数学课堂中展现出数学文化的实用性学生学习数学知识的最终目的是利用所学知识解决实际生活问题，做到由此及彼、学以致用，所以在高中数学课堂教学中教师要充分展示出数学文化的实用性，以此来让学生意识到学习数学知识的重要性，从而能够全身心地投入到数学课堂中去。
在学习“概率与统计”的时候，教师就可以结合实际生活案例来开展教学，无形之中渗透数学文化，比如，教师可以设定“风险和决策奖”等生活化案例：小明在找工作过程中收到了3个单位的通知，这3个单位的岗位有普通、中等、优等三个层次，转正之后的工资是1500元、2000元、3000元，而小明可以正式入职到3个单位中的概率是0.4、0.3、0.2，而无法入职任何一个单位的概率是0.1，试问小明应该如何选择？通过这道数学案例题型的设定，学生充分意识到了学习数学知识的重要性，能够更加认真地学习数学知识。
二、利用数学史来渗透数学文化高中数学教材中内容较为有限，无法满足学生的学习需求，高中数学教师可以结合数学史来拓展数学教材内容，以此来丰富学生的数学知识，构建完整的数学知识体系。
让思维和思想共生——一年级数学课堂“思维可视化”教学实践与思考
让思维和思想共生——一年级数学课堂“思维可视化”教学实践与思考摘要：思维模式可视化是现在小学教学理念之中的实践成果，做到让思维与思想共生，从而提高学生的学习成绩。
这种教学手法能将知识通过图片的方式更加直观地展现出来。
提高小学生的自主学习能力、独立思考能力、表达能力等方面，让学生的思维模式得到更好的锻炼。
关键词：思维模式；可视化教学；数学教学思维可视化是将不可视思维展现出来，通过这种教学模式，能够更利于培养学生的记忆力和理解能力，提高学生信息传递。
一年级的数学知识教学课堂中，一般都是通过加减法来展开运算，学生也是第一次接触到图形，并对图形产生了初步认识。
在学习陌生知识时，老师应当带领学生认识这些知识的背后意义，从而展开对学生的思维模式的锻炼，让学生能够正确看待问题，从而解决遇到的问题。
在解除了“思维可视化”教学实践后，老师更应当锻炼出学生的表达能力以及思考能力。
小学教育活动之中，因为学生还没有掌握复杂的图示技术，但是学生可以通过灵活的双手来绘制一些简单的图形，来表现出自己的思维方式，来加深理解能力，提高学习效率。
一、利用绘图解答问题，找寻更适合的解决方法学生在解决问题中，经常容易出现粗心大意的情况，在展开解题前，容易忽略解析题的问题。
老师在带领学生学习分数乘法时，需要让学生认真仔细的阅读题目，随后在根据题目的要求，来展开作答，在作答时，应全部使用分数形式来解决问题。
使用套用模式一般存在两个原因，其中一个便是学生没有找到寻找解题方法的思路。
另外便是老师没有帮助学生养成学习思考的习惯。
学生学习中，老师应当注重学生对题目的阅读理解能力，在没读完一句话后，学生就应当对这句话有所理解，从题目和要求之中寻找问题，不能丢字落字。
通过画图的方式，来提升学生的记忆能力，能够让学生理解图片的含义，从而帮助学生理解数量以及分析问题，展开思维和思想的锻炼。
在锻炼了学生的思维，让学生体会到绘图解答得好处后，学生便更容易接受使用绘图的方式来解决遇到的问题。
引导学生体验感悟,进行自主发现生成数学教学
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学数学教学是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要途径。
传统的数学教学往往过于注重填鸭式的知识传输，忽略了学生对数学概念和方法的理解和掌握。
为了激发学生的学习兴趣和独立思考能力，教师们可以通过引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学。
教师可以利用具体的教学实例引起学生的兴趣。
以数学应用问题为例，教师可以给学生提供一个实际生活中的问题，如购物时的打折问题或购买食材的比价问题等，让学生通过观察和分析问题，尝试找到解决问题的方法。
通过实际问题的引导，学生能够更好地理解数学概念和方法，并将其应用于实际生活中。
教师可以采用探究式学习的方式，让学生自主发现数学规律和定理。
在几何学中，教师可以给学生一些简单的几何图形，让他们通过观察和实践，自主发现点、线、面等几何概念的特点和性质。
通过自主发现，学生可以更好地理解几何学的基本概念和相应的定理，并能够独立应用于其他几何问题中。
教师还可以利用情境教学的方式，将数学知识融入到实际情境中。
在概率与统计学中，教师可以设计一个统计调查的情境，让学生自主选择调查的对象和方法，并通过收集数据、整理数据等步骤，发现并应用概率与统计的知识解决问题。
通过情境教学，学生能够更加深入地理解数学知识，并将其应用于实际情境中，增强学习的实用性和可操作性。
教师还可以鼓励学生自主思考和解决问题的能力。
在数学课堂上，教师可以给学生提出一个开放性的问题，如：在一个正方形花坛中，如何排列花卉才能使得花卉的面积最大？教师引导学生自己思考，通过观察和尝试，试图找到一种最优解决方法。
通过自主思考和解决问题的过程，学生不仅能够主动参与到学习过程中，还能够培养其独立思考和解决问题的能力。
“学”数学“悟”数学
“学”数学“悟”数学本文以“节约用水”教学为例，对如何“学”数学和“悟”数学进行了探讨。
学生的学习过程必须是一个“学”数学“悟”数学的过程。
最终目的是做数学，做数学能让学生把数学理论和实际问题紧密地联系起来。
标签：数学教学探讨“综合与实践”领域的教学，学生在教师的指导下，发现实际生活中的问题，并在现有的知识结构基础上认识问题和解决问题，让学生积极参与到数学学习活动中来，并在学习实践中通过收集、处理信息的过程来加深对知识的认知，同时获得新知识，提升分析问题和解决问题的能力，锻炼团队协作能力。
一、“学”数学“悟”数学，引发学生“问”“提出疑问”是让学生带着好奇心参与到数学学习活动中。
笔者认为“提问”是实践学习的核心内容，应贯穿整个实践的始终。
研究结果显示，在数学学习活动中，高年级学生比低年级学生更侧重于对实际生活问题的解决。
解决问题是目的，发现问题是解决问题的关键钥匙。
因此，我们需要不断引导学生发现问题，并引发学生深入思考，让学生将所学的知识与现实问题进行有效结合，并通过实践来找出有效的解决办法。
例如，笔者教学“节约用水”一课时，先让学生结合生活经验，讨论浪费水资源的现象。
学生们列举了身边的浪费水资源的现象，并提出了“一个滴水的水龙头一年浪费多少水？”的问题二、做数学，引起学生“议”“综合与实践”教学成功gQQfReJQFbG5LNKhhlTo2A==的秘诀在于，认识数学问题“是什么（这是个什么类型的问题）”“为什么（为什么会出现这种情况）”“怎么办（用什么方法来解决这一问题）”。
具有可行性的数学学习思路和计划，是解决数学问题的有效路径。
例如，在教学“节约用水”一课时，教师首先带领并教学生制订研究方案设计样表（如表1）。
其次，采用小组学习法，进行有效分组，让小组成员充分讨论方案的合理性和可行性。
最后，提出想法，改进方案。
如此，设计的课程更为科学和实用。
与此同时，在这一过程中，学生的思想变得更加严谨。
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悟学课堂：一种思维型数学教学文化
作者：吴锋
来源：《教学与管理(中学版)》2014年第12期
摘要：所谓“学习”就是同教科书（或是客观世界）的相遇与对话，同教室里的伙伴们的相遇与对话，同自己的相遇与对话。
“数学教学文化”是指师生围绕数学课程在教与学的互动中构建的关于“教与学”的价值体系及行为方式，相对于传统的“记忆型教学文化”而言，“思维型教学文化”理念下的教师不是照本宣科，当教材的“传声筒”，学生也不是被动地接受数学概念、公式、法则等数学知识，教师和学生要带着批判的眼光，运用批判性思维，在课堂系统中进行各种有意义的创新和探究性学习，开展形式灵活的数学活动，并且能从中体会到学习和创造的乐趣。
关键词：悟学课堂思维型数学教学教学文化
数学教学文化从“记忆型教学文化”向“思维型教学文化”的过渡与转变，可描述为“宁静的课堂革命”，这种革命，在学习方式上表现为从各自呆坐的学习走向活动性的学习，从习得、记忆、巩固的学习转向探究、反思、表达的学习；在教学的方式上表现为从传递、讲解、评价的教学转向触发、交流、分享的教学。
当今的学校学习，不只追求学习的“量”，更追求学习的“质”，要求终身学习主体的形成，“悟学课堂”就是在这种历史变化中应运而生的。
一、课前悟学——构思教材内容的整合
以新人教版数学八年级上册第14.1.1节《同底数幂的乘法》为例，本节内容很简单，如果只是满足于教教材，把书本知识与例、习题按部就班逐条向学生讲解，虽然也能完成教学，但因此会让教师牺牲自己的教学个性，上课如同嚼蜡，毫无激情可言，学生也觉得索然无味，学习效果受制于个人的记忆与模仿能力，而学习能力及个性的发展与培养则无从谈起。
本课是这一章的起始章节，对于章头图的扩大绿地面积问题，我们不能视而不见。
笔者是这样处理的，先通过动画展示绿地由中间一块向两边扩展（如下图），然后提出问题，请学生表示出扩大后的绿地面积，学生容易得到两种表达方式，分别是p（a+b+c）和
pa+pb+pc。
接着引导学生思考两者关系，根据同一绿地面积相等得出结论p（a+b+c）
=pa+pb+pc，再由教师对这个结论进行解读，引导学生发现等式左右两边分别是积与和的形式，从左向右是积变和，称之整式乘法，从右往左是和变积，谓之因式分解，它们是两个方向相反的变形过程，即为本章的学习重点。
这样设计只有三言两语，却把本章的主要学习内容向学生进行了展示，帮助学生明确学习什么，怎么学习，从而明晰目标，明了方法，增强信心。
荷兰数学教育家弗莱登塔尔说过：“数学是现实的，学生应从现实生活中学数学，再把学到的数学用到现实中去。
”课堂一开始，一章的主体内容就已占据了学生头脑，老师带领学生见识了“森林”，再去一棵棵地认识树木就变得轻松了。
悟学课堂所倡导的第一重境界是“技术”层面的，即能根据课本内容精心构思和有效实施，让课堂教学有较高的效率，学生有学习的收获，是一种解决问题的有效教学，而不只是接受教师单向的知识灌输。
“悟学课堂”所要实现的两个基本目标，一是“师本”与“生本”有机结合，指向师生的共同发展，只有教师发展好了，学生才能更好地发展；二是“悟教”与“悟学”有机结合，教与学均要以思为前提，以悟为根本，以主动思悟促进自我“教”“学”意识的觉醒。
二、课堂悟学——倾听学生思维的碰撞
曾经的一次习题评讲课让笔者至今记忆犹新。
有这样一道题：如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=120°。
（1）求证△ABC为等边三角形；（2）试求∠BAD的度数。
其中第2小问因缺少条件，点D是不确定的，因此本题无法求解。
错题在一些资料中也很常见，评讲时我原准备把第2问略去，然而有学生提出要自己添加条件，如D为弧AC的中点，不仅如此，在学生这种思维的激发下，又有多个同学从不同角度提出自己添加条件的想法。
本来想用两分钟完成一道题，最终花掉了将近十分钟的时间，未能及时完成的教学任务可以另外安排时间弥补，但如果为了完成任务而未倾听学生发言，那将会失去很多。
因为在课堂上我看到了学生满意的笑容，会心的交流，很多学生的求知欲被激发，同时也切实体会到成功的喜悦。
勿庸置疑，由于先天的遗传因素、后天的家庭教育及社会环境等的影响，学生在各方面客观存在着一定的差异，他们作为一个个活生生的生命个体，每个人思维的角度、思维的习惯都有不同。
与其提高全体学生的理解水准，不如首先形成一种规范——每一个人倾听他人的见解，接纳他人的主张，并致力于生成自己的理解方式。
教师放开言路，为学生提供更多的自由探索和充分发表意见的机会，他们就能在学习中获得更为丰富的情感和思维活动的体验。
悟学课堂的最高境界是，教学以提升学生全面素质为价值取向，教学展示精彩多姿，教学过程张弛有度，常常使学生感到心灵的共鸣和思维的共振，学习成为一种愉悦的情感体验，是一种让学生“充满期待和享受”的有效教学。
“倾听”正是教学中教师活动的核心，能让所有学生着迷的教学是在娴雅的关系之中相互倾听彼此的心声，每一个人的细腻思考得到细致交流。
能够紧扣教师心弦的教学也不是那些受到喝彩的、热热闹闹的、华而不实的教学，而是借助细腻的交流展开的，静悄悄的、返璞归真的教学。
三、课后悟学——促进思维文化的形成
现代教学理论认为，教以生为本，学以“悟”为根，教是为了不教，学是为了活学。
新课程背景下的课堂应当是师生不断检验教学、反思教学的过程。
学生在教师的引领下预学，在教师的引导下自主学习，还必须在教师的指导下积极思考，主动领悟知识。
美国心理学家波斯纳说过，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的认识。
师生双方经历课堂探究之后，在获得体验的同时，必定形成多少不等的经验，通过一定的手段和方式对前面学习的情况进行
必要的思考、总结和提高。
课后“悟学”强调课堂后阶段的反思和领悟，力求使课堂教学成为反映新课程要求和学习活动内在规律的过程。
悟学分为学生“悟”与教师“悟”。
学生通过主动反思力图领悟知识真谛，把握知识精华，完成新旧知识的内化和重组，掌握其原理和规律，通过探究寻找新知识的生长点，找到揭开原理、规律的突破口。
教师的“悟学”是对课堂教学活动的回顾、思考的过程，是对学生学习信息进行检查、归纳和反馈的过程，是对教学过程重新认识、重新评价和总结经验教训的过程。
作为教师，了解学生、了解学生的学习，对于更加有效地指导学生学习是一项重要任务，教师要注重检查及检查之后的交流，把握学生个体信息，及时进行反馈处理，让每一位学生都感受到自己在课堂上的独特价值。
正如前苏联心理学家维果茨基所强调的，教学不能只适应发展的现有水平，走在发展的后面，而应适应最近发展区，从而走在发展的前面。
学生个体的最近发展区因人而异，要通过悟学，帮助各层次的学生跨越最近发展区而达到新的发展水平。
通过多角度、多时段、全方位的主动思悟，探索教与学的规律，掌握教与学的方法，领会教与学的本质，构建和谐有效课堂。
通过这种与教科书、伙伴及自己的相遇与对话，运用批判性思维去感悟，在“学习”中促进师生双方的持续发展，逐渐地，悟学课堂就积淀为一种思维型数学教学文化。
参考文献
[1] 郭宗雨.数学新教材中“章头图”和“引言”的教学功能及处理策略.教学与管理，2012（3）.
[2] 佐藤学著.教师的挑战：宁静的课堂革命.钟启泉，陈静静，译.上海：华东师范大学出版社，2012.
[3] 皮连生.学与教的心理学.上海：华东师范大学出版社，1997.
[4] 吴锋.高效课堂：“预学·导学·悟学”课堂教学模式在数学复习课中的运用.中学数学教学参考，2011（7）.
【责任编辑孙晓雯】。