20-21第8章第5节第1课时 椭圆及其性质ppt_55
椭圆的几何性质简单性质PPT课件
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
同前
复习练习：
椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的 标准方程为（ C ）
例题选讲：
例1、已知B、C是两个定点，︱BC︱=6， 且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方 程.
A
B
O
C
X
例2、已知椭圆C： , 的左右焦点 分别为F1，F2，P是椭圆的动点：
（1）求|PF1|· |PF2|的最大值；
+
=1的离心率为 0.5，则k=_____
5、
(±a,0) a b (-a,0) a+c
(0, ±b)
(a,0)
a-c
例3、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿 女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道 是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)， 远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道 的短轴长为（ D ） A. mn(km) B. 2mn(km)
复习：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
椭圆及其几何性质课件-高三数学一轮复习
B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l
与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C
的离心率为( A )
A．13
B．12
C．23
D．34
[解析] 设点 M(－c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k＝a－y0 c， 从而直线 AM 的方程为 y＝a－y0 c(x＋a)， 令 x＝0，得点 E 的纵坐标 yE＝aa－y0c.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN＝aa＋y0c. 因为 2yN＝yE，所以a＋2 c＝a－1 c，即 2a－2c＝a＋c，所以 e＝ac＝13.故选 A．
(2)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F
为椭圆的右焦点，且 AF⊥BF.设∠ABF＝α，且 α∈1π2，π6，则该椭圆的离 心率 e 的取值范围为( A )
A．
3－1，
6
3
B．[ 3－1，1)
C．
46，
6
3
D．0，
6
3
[解析] 如图所示，设椭圆的左焦点为 F′，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′
为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos
α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝sin
1 α＋cos
α＝
2sin1α＋π4.∵α∈1π2，π6，∴α＋π4∈π3，51π2，
∴sinα＋π4∈ 23，
2＋ 4
6，∴
2sinα＋π4∈ 26，1＋2
椭圆的几何性质优质课件PPT
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①椭圆是封闭曲线，既是轴对称图形又 是 中心对称图形，它的对称轴 是X轴、Y轴， 对称中心是坐标原点。
②椭圆的特征值是：a、b、c、e,其关系是： a2=b2+c2(a>b>0),e=c/a。
③椭圆的离心率反映了椭圆的
“扁平”程度，e越大椭圆越扁，e越小椭 圆越圆。
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小结：
本节课用代数的方法讨论了椭圆的几何 性质，注意从“数”和“形”两方面去 理解。
其它 圆锥曲线，如圆，双曲线，抛物线 的几何性质亦可类比去讨论。
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Thank you
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椭圆的几何性质
1.引入：
对于一条曲线从哪些方面刻画其特征？ 现在我们以焦点在ⅹ轴上的椭圆为例讨论：
方程：
x2 a2
+
y2 b2
=1
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2.归纳：
①.依据方程和实数的性质可知x、y的 取值范围，在方程中在x、y的位置上 用- x、- y代换，方程不变，反映了椭 圆的对称性。 ②.从椭圆方程可计算出顶点坐标、焦 点坐标、离心率、准线方程。
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点评：上面用代数的方法归纳了椭圆 的几何性质，借助椭圆的图形亦可从 几何的角度得到验证。
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3.学生阅读课本理解并记忆椭 圆的几何性质。 （教师巡视，进行个别指导）
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椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
2020版 第8章 第5节 椭圆
第五节椭圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 [常用结论]与椭圆定义有关的结论以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)． ( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆． ( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]3．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)C[由方程表示椭圆知⎩⎨⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1.]4．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．x24＋y23＝1[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]椭圆的定义与标准方程1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12C[由椭圆的方程得a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.]2．(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.]3．(2019·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.] 4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．y 210＋x 26＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.][规律方法] 1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2．求椭圆标准方程的常用方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．椭圆的几何性质►【例1】 (1)(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59(2)若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 (1)B (2)D [(1)∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1， ∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 故选B.(2)设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.又∵0<e <1，∴13≤e <1.]►考法2 根据椭圆的性质求参数的取值范围问题【例2】 (1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．(1)A (2)4 [(1)∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎨⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6＜m ＜10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(2)由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.] [规律方法] 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程或不等式，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程或不等式求解.2.利用椭圆几何性质求参数的值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.(1) 已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 (2)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．(1)C (2)32[(1)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ，∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.(2)因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝± 1－c 2a 2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝ca ＝32(负值舍去)．]直线与椭圆的位置关系【例3】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．[规律方法] 直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法(1)类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围. (2)解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练.直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a ＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0,1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0,1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12C ．a ∈(0,1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．a ∈(0,1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12B [∵直线y ＝kx －1是椭圆的切线，且过点(0，－1)， ∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部， ∴a ∈(0,1]． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a＝1消去x ，得(a ＋4k 2)y 2＋2ay ＋a －4ak 2＝0. ∵直线和椭圆相切，∴Δ＝(2a )2－4(a ＋4k 2)(a －4ak 2) ＝16ak 2(a －1＋4k 2)＝0， ∴k ＝0或a ＝1－4k 2.∵0＜a ≤1，∴0＜1－4k 2≤1， ∴k 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223C [不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－3 C.3－12D.3－1D [由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1.故选D.]3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e＝12.故选B.]4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.]。
椭圆的基本性质PPT课件
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图
象关于原点成中心对称。y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
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根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
y
a2 b2
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
222222的距离的和等于常数大于f的关系焦点位置的判断叫做椭圆的长轴且长为2aa叫做椭圆的长半轴长叫做椭圆的短轴且长为2bb叫做椭圆的短半轴长为椭圆的焦距为椭圆的半焦距abbcc的几何意义的几何意义bfbf椭圆落在xayb组成的矩形中从图形上看椭圆关于x轴y轴原点对称原点是椭圆的中心
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
（2） x2 y2 1 25 4
y
4
3 2
§椭圆及其性质.pptx
解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点,连接PF1、PF2. 显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2 ×6=12.
评析 本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算求解能力,也考查数形结合思想, 难度适宜.
2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆C: + =1(a>b>0)相交于A,B两点,
若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于
.
答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1①, + =1②.
①、②两式相减并整理得 =- · . 把已知条件代入上式得,- =- × , ∴ = ,故椭圆的离心率e= = .
思路分析 根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段 OE中点的坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求 解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择.
方法点拨 求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从 而利用e= 求得离心率.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018课标全国Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,
点P在过A且斜率为 ()
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为
A.
B.
C.
D.
答案 D 本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y= (x+a),① 直线PF2的方程为y= (x-c).② 联立①②得y= (a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c).
5 第5讲 第1课时 椭圆及其性质
A．椭圆 C．抛物线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．双曲线 D．圆
栏目 导引
第九章 平面解析几何
(2)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆
角度一 椭圆的长轴、短轴、焦距
已知椭圆mx－2 2＋10－y2 m＝1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，
则 m 等于( )
A．8
B．7
C．6
D．5
栏目 导引
角度二 求椭圆的离心率
第九章 平面解析几何
(1)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点， 若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( )
是( )
A.0，
5
5
B.
55，1
C.0，
2
2
D.
22，1
栏目 导引
性质 对称性
对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
栏目 导引
第九章 平面解析几何
标准方程
轴
性质
焦距 离心率
a，b，c 的关系
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) 长轴 A1A2 的长为__2_a___ 短轴 B1B2 的长为__2_b___ |F1F2|＝__2_c___ e＝ac，e∈(0，1)
椭圆教学课件
椭圆教学课件的
拓扑结构图 封面 目录 封底
椭圆概念和方程
椭圆的性质
演 示 1
演 示 2
演 示 3
演 示 4
演 示 5
演 示 6
椭
圆
椭
圆
– 椭圆的概念及其标准方程 – 椭圆的性质
椭圆的概念及其标准方程
一、定义：平面内到两定点 F1 , F2 的距离之 和为定值（大于 F1 F2 ） 的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点 F1 , F2 叫做椭圆的焦 点，两焦点的距离 F1 F2 叫做椭圆的焦 距。
2 2 2 2 2 2 2
b x a y a b
2 2
得
x y 1 2 2 a b
2
标准方程
椭圆的标准方程
y
y
F2
F1
O
x
F1
O
x
F2
x y 2 1 2 a b
退回目录
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
椭圆的性质
范围
对称性 顶点
F1
y
x
O
F2
离心率 反射性
动画演示
标准方程
椭圆的标准方程
如图，以焦点 F1 , F2 所在 直线为x轴，以线段F1 F2 的中垂
y
M x, y
线y轴建立直角坐标系。设
定长为2a，焦距 F1 F2 =2c, 设椭圆上 点M的坐标 为 (x,y) ,椭圆上的点的集合为
x
F1
O
F2
P M MF1 MF2 2a
由两点间的距离公式得
2
x c
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B．2y52 ＋x92＝1(y≠0)
限 时 集
课
训
堂 考 点
C．1x62 ＋y92＝1(y≠0)
D．1y62 ＋x92＝1(y≠0)
探
究
返 首 页
31
课 前
A [由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8 知，顶点 C 的轨迹是以 A，B
自
主 回 顾
为焦点的椭圆(A，B，C 不共线).设其方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，则 a
顾
后
以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，其中 a＝5，c＝3，b＝ a2－c2 限 时
课 堂
＝4，故点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.故选 A.]
集 训
考
点
探
究
返 首 页
16
课
前 自
2．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过点 F2 作椭圆长轴的垂线
主
回 交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 课
课 后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
22
课
前
自 主
考点 1 椭圆的定义及应用
回
课
顾
后
椭圆定义的应用主要有两个方面
限
时
课
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三 集 训
堂
考 角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
点
探
究
返 首 页
23
课 前
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F
限 时
集
课 堂
的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2 的面积．
训
考
点
探
究
返 首 页
28
已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，
课
前 自
P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝
主
回 顾
________．
课 后
3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
回 顾
5－k＞0，
课
后
(3，4)∪(4，5) [由已知得k－3＞0，
限
5－k≠k－3.
时 集
课
训
堂 考
解得 3＜k＜5 且 k≠4.]
点
探
究
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19
4．已知椭圆的一个焦点为 F(1，0)，离心率为12，则椭圆的标准
课
前 方程为________．
自
主 回 顾
x42＋y32＝1 [设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0).因为椭圆的
集
课 堂
并确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用
训
考
点 探
定义法求椭圆方程要注意条件 2a＞|F1F2|.
究
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30
课
前 自
1.在△ABC 中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC 的周长是
主
回 顾
18，则顶点 C 的轨迹方程是(
)
课 后
A．2x52 ＋y92＝1(y≠0)
课
后
∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为( )
限 时
集
课
堂
A．7
考
B．74
C．72
D．7 2 5
训
点
探
究
返 首 页
25
课 前
(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD 是线段 MF 的垂直平分线，
自
主 回
∴|MP|＝|PF|，
课
顾
∴|PF|＋|PO|
后 限
＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).
顾
后
()
限
时
课 堂
A．
2 2
考
B．
2－1 2
集 训
点 探
C．2－ 2
D． 2－1
究
返 首 页
17
D [法一：设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，依题意，显然有|PF2|
课
前 自 主 回
＝|F1F2|，则ba2＝2c，即a2－a c2＝2c，即 e2＋2e－1＝0，又 0<e<1，解得
主
回 顾
(2)S＝b2tan
2θ＝c|y0|，当|y0|＝b
时，即点
P
的位置为短轴端点时，
课 后
限
S 取最大值，最大值为 bc.
时
集
课
堂
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c．
训
考
点 探
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
究
返 首 页
11
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，
()
点
探
(4)关于 x，y 的方程 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线
究
是椭圆． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
() 返 首 页
14
课
二、教材改编
前
自
主 回
1．若 F1(－3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2 距离之和为 10，则 P 课
顾
点的轨迹方程是( )
课
顾
e＝ 2－1.故选 D.
后 限
法二：因为△F1PF2 为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
时 集
课
训
堂 考 点
|PF1|＝2
2c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以 2
2c＋2c＝2a，所以 e＝ac＝
探
究 21＋1＝ 2－1.故选 D.]
返
首
页
18
课 前 自 主
3．若方程5－x2 k＋k－y23＝1 表示椭圆，则 k 的取值范围是________．
第八章 平面解析几何
第五节 椭圆
2
课
前
自
主 回
[考点要求] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界 课
顾
和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及
后 限
简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解
时 集
课
训
堂 考
椭圆的简单应用．
点
探
究
返 首 页
课
顾
方程为( )
后
限
课 堂
A．6x42 －4y82 ＝1
B．4x82 ＋6y42 ＝1
时 集 训
考 点 探 究
C．4x82 －6y42 ＝1
D．6x42 ＋4y82 ＝1
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33
课
前 自
D [设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
主
回 顾
又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，
课 后
且 2a＝16，2c＝8，则 a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程
限 时
课 堂 考
为6x42 ＋4y82 ＝1.]
集 训
点
探
究
返 首 页
34
课
前
自
主
回
课
顾
利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完
后 限
时
整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量 x 或 y 进行限制．集
返 首 页
12
课
前
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
自
主 回
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
课
顾
后
＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
限
时
课 堂 考
＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k
为直线的斜
集 训
点 探
率).
究
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13
课
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
限 时
集
课 堂 考 点
则rr121＋ ＋rr222＝ ＝24ac2，，所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2， 训
探
究 所以 S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以 b＝3.]
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29
课
前 自
考点 2 椭圆的标准方程
主
回
顾
定义法
课 后
限
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义， 时
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
35
课
前 自
待定系数法
主
回 顾
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确
课 后
定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a，b 的方程组．如果焦点
限 时
集
课 堂
位置不确定，可设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形
时 集
课
训
堂 考
又|MO|＞|FO|，
点
探 究
∴点 P 的轨迹是以 F，O 为焦点的椭圆，故选 A.
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26
(2)由题意得 a＝3，b＝ 7，c＝ 2，
课 前
∴|F1F2|＝2 2，|AF1|＋|AF2|＝6.