高二数学导数的应用知识精讲苏教版
高二数学导数的概念苏教版知识精讲
高二数学导数的概念苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数的概念二. 教学目的：1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2. 掌握导数的几何意义。
理解导数与瞬时变化率的关系。
教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，三. 内容梳理： 1. 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点。
作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线。
2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即0x ∆→时，0()()f x x f x x +∆-∆＝A yx∆→∆一个常数＝tan α 3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度。
瞬时速度00()()0s t t s t t v t+∆-∆→→∆时，。
5. 导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即/000()()0()f x x f x x f x x+∆-∆→→∆当时，注意：（1）函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
苏教版高二数学 选修1-2导数在研究函数中的应用课件
第1页 共1页 3.3导数在研究函数中的应用
第一课时 单调性
教学思想：
通过图形去认识和感受导数与函数单调性的关系，利用数形结合的数
学思想，帮助学生真正理解导数思想的本质，同时也可简化理论上的
严格推导。
教学目标：
知识结构：通过实例借助几何直观，探索函数单调性与导数的关系
技能目标：通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中的比较
体会导数方法在研究函数性质过程中的一般性与有效性。
情感目标：感受和体会数学自身发展的一般规律
教学方法：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。
教学内容
例1 确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间内是增函数，哪个区间是减函数。
例2 确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间内是增函数
变式1：求32()267f x x x =-+（x>-1）的单调增区间
变式2：求32()37(0)f x x ax a =-+≠的单调减区间
例3 证明：()2sin f x x x =-在R 上为单调增函数
课后作业：P78,习题1、2。
苏教版数学导数知识点总结
苏教版数学导数知识点总结一、导数的定义导数的定义是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化率。
苏教版数学中，导数的定义如下：若函数y = f(x)在点x_0处可导，则函数在该点的导数为：f'(x_0) = lim_(Δx→0) [f(x_0 + Δx) - f(x_0)]/Δx其中Δx表示自变量x的增量，即x的变化量。
上式表示当Δx趋近于0时，函数在点x_0处的变化率。
二、导数的性质1. 导数存在的条件苏教版数学规定，函数在某一点可导的条件是函数在该点处存在左、右导数且左、右导数相等。
也就是说，函数在某一点可导的条件是函数在该点处存在唯一的切线。
2. 导数的唯一性苏教版数学中，规定函数在某一点处的导数是唯一的，即使函数有多个表达式或定义域，其在该点的导数仍然相同。
3. 导数与函数的关系苏教版数学中，规定函数在某一点可导，那么函数在该点具有连续性。
也就是说，导数与函数的连续性是相关的，导数在某一点存在则函数在该点连续。
三、导数的运算在苏教版数学中，导数的运算主要包括如下内容：1. 基本函数的导数：- 常数函数：常数函数y = C 的导数为0。
- 幂函数：幂函数y = x^n 的导数为n*x^(n-1)。
- 指数函数：指数函数y = a^x 的导数为a^x*ln(a)。
- 对数函数：对数函数y = ln(x) 的导数为1/x。
- 三角函数：三角函数的导数规则为：- sin(x) 的导数为cos(x)。
- cos(x) 的导数为-sin(x)。
- tan(x) 的导数为sec^2(x)。
- 反三角函数：反三角函数的导数规则为：- arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)。
- arccos(x) 的导数为-1/√(1-x^2)。
- arctan(x) 的导数为1/(1+x^2)。
2. 复合函数的导数：苏教版数学中复合函数的导数使用链式法则，即若函数y = g(u) 可导且函数u = f(x) 可导，则复合函数y = g(f(x)) 的导数为：(g(f(x)))' = g'(f(x)) * f'(x)3. 参数方程的导数：苏教版数学中，设参数方程x = φ(t)，y = ψ(t) 的参数方程曲线存在导数，则曲线的切线斜率为y/x 的导数：(dy/dt)/(dx/dt)四、导数在几何与物理问题中的应用在苏教版数学教材中，导数在几何和物理问题中的应用是微积分的重要部分，主要包括下述内容：1. 切线与法线问题：导数可以用来求解曲线的切线、法线方程以及切点坐标等几何问题。
高二数学苏教版选修讲义：常见函数的导数含解析
_1.2导数的运算1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1xΔx＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx→－1x 2，即⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； 7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值．[精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x－1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
苏教版数学高二-1.4导数的应用要点讲解
导数的应用要点讲解导数的在函数中的应用主要包含两方面：一是在求函数的极值、最值中的应用；二是在解最优化问题中的应用。
下面针对这两个要点分别进行讲解。
一、在求函数的极值、最值中的应用若函数在0x x =处取得极值，则0()0f x '=；而在导数值为零处可求出极值点.对于闭区间上的连续函数则一定存在着最大值和最小值，可通过对极值点处和端点处的函数值进行比较得到函数的最值，以于开区间若函数有且仅有一个极值点（单峰函数），此极值即为函数的最值.因此一般利用导数求函数的极值或最值要经过三步，一．函数求导数，二．求极值点，三．求极值或最值.例题：已知函数32()(1)7f x x ax a x =+--+有极大值和极小值，求a 的取值范围.分析：这是一个导数在求函数极值．最值中的应用问题，这类问题一般分两个方面，一是直接求极值．最值，另一类是已知极值、最值求函数或变量的范围，本题属于第二类问题.破解的方法其实是一样的三步，即求导、求极值、求最值.解析：对函数求导得，2()32(1),()0,f x x ax a f x ''=+--=令则232(1)0x ax a +--=，要使函数有极大值和极小值，则导函数与x 轴有两个交点，因此2412(1)0a a ∆=+->，整理可得2330,a a a a +-><>即，因此a 的取值范围为33,22⎛⎛⎫--+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：这在问题在学习时要做到举一反三，加强训练，既要学会从正面求极值．最值，又要学会从反面求函数或变量的范围，做到以不变应万变.二、最优化问题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考．1．用料最省问题例1 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为3500m ，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d ，高为h ，表面积为S ，由2π5002d h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得22000πh d =． 又22π2000ππ24d d S d h d ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而2π20002d S d '=-．令0S '=，即2π200002d d-=，得d =h =350002πd <<∵时，0S '<；35002πd >时，0S '>， 所以，当35002πd =，3500πh =时，用料最省． 点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解．2．流量最大问题例2 用宽为a 、长为b 的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图）．问斜角?兹多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值．设横截面面积为S ，则1()2S AB ED CD =+·． 由于2cos AB a a θ=+，sin CD a θ=，因此21π[(2cos )sin ]sin (1cos )022S a a a a a θθθθθ⎛⎫=++=+<< ⎪⎝⎭·． 又22(2cos cos 1)S a θθ'=+-，令0S '=，即22(2cos cos 1)0a θθ+-=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-． 由于π02θ<<，得cos 1θ≠-， 那么1cos 2θ=，此时π3θ=． ∵当π03θ<<时，0S '>；当ππ32θ<<时，0S '<， 所以，当π3θ=时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大． 点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键．。
高中数学苏教版选修22第一章 导数在实际生活的应用课件
则利润函数
答 生产1000个单位产品时，边际成本最低； 当产品的单价为75时，利润最大.
用图象来表示有下列3种形式，这就是如何确定生产规 模的一般数学模型.
练习
课堂小结
求解实际应用题的步骤： ①仔细审题. 关注实际生活背景. ②建立数学模型. 建立函数模型，关注定义域. ③求解数学问题. 可以用导数法求解最值问题. ④检验并回答. 作答要符合问题要求.
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定， 如何确定它的高与底半径，才能使它 的用料最省？
答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.Fra bibliotek解题回顾
1.对于一个实际生活问题，我们需要将其转化为 数学问题，会用图形语言和数学符号语言表达问题.
2.出现两个或两个以上变量时，需要明确哪个字母 是自变量，然后将其它变量用这个自变量表示， 从而问题就转化成了一个单变量函数问题，我们 再用导数法求这个函数的最值.
例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去 边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边 长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解题回顾
1.应用题解题基本步骤 （1）仔细审题，明确题意； （2）建立数学模型； （3）解答数学问题； （4）检验并回答实际问题. 2.本题利用了导数法求解容积最大问题 3.对于开区间内，如果函数只有一个极值， 那么这个极值也是最值.
2.解题时，先仔细审题，准确理解题意， 将实际问题数学化，建立目标函数，然 后用导数法求目标函数的最值，最后回 到实际问题.
例题解析
R
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法， 可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量， 哪个是常量.
苏教版导数知识点总结
导数知识点总结
苏教版导数知识点总结
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
下面给大家整理了苏教版导数知识点总结，欢迎阅读!
苏教版导数知识点总结
考试内容：
导数的背影．
导数的`概念．
多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．
（2）理解导数的几何意义．
（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
知识要点：
知识要点：。
苏教版高中数学选修(1-1)课件导数的应用MicrosoftPowerPoint演示文稿.pptx
利用导数求函数 y f x 极值的步骤 ① 求导函数 f ' x； ② 求 f 'x 0 的根； ③ 通过列表检查 f ' x在方程 f ' x 0 的根的左右两侧的符号，
进而确定函数在何处取得极值.
对于函数 y f x ，如果在某点 (x0 , f x0 ) 处 导数 f ' x0 0 ，则 x x0 可纳入其左侧或右侧的
小结：利用导数研究函数的单调性与极值后，勾画函数
图象，在利用图象寻找最值的过程中发现需对 a 分类讨论。
变：已知函数 f x 3x2 6x 3a 6 e x
有极大值也有极小值，求实数 a 的范围.
例 3、已知函数 f x a 3x x3 有三个零点，
求实数 a 的范围.
变①已知函数 y x3 2x 与直线 y x a 有三个公共点，
小结：利用条件中给的函数的切线、极值、单调性等情况 获得导函数的相关信息，体现数学的等价转化思想。
例 2、已知函数 f x 3x2 6x 3a 6 ex ， x 0,1，
a 0.
（1）若 f x 在 0,1上是增函数，求实数 a 的范围；
（2）求 f x 在区间 0,1上的最大值.
单调区间。
旧题回顾
（教学与测试（测试反馈）P143）
6.已知函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 处
有极值10 ，求 a, b 的值
求实数 a 的取值范围。
小结：1 增强形数转化的意识； 2.研究函数零点个数或方程根的个数有关问题时， 一般要考虑数形结合的方法。
变：② x 2,2时，函数 y x3 2x 图象恒在
直线 y x a 的上方，求实数 a 的范围.
③ x 2,2时，函数 y x3 2x 图象恒在
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.2 瞬时变化率——导数讲义(含解析)苏教
1．瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．问题1：当点P n→点P时，试想割线PP n如何变化？提示：当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置．问题2：割线PP n斜率是什么？提示：割线PP n的斜率是k n＝f(x n)－f(x0)x n－x0.问题3：割线PP n的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能．1．割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．2．切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt ＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导 数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨]先计算f (2＋Δx )－f (2)Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析](1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋Δx Δx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通]根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－12(1＋Δx )2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12(1＋Δx )2－2＋52Δx ＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 2m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨]先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析]因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通]要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2，所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨]根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析](1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通]由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别 联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x ) f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________． 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝12(1＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12(Δx )2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1.∴当Δx 无限趋近于0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2＋1－2×12－1Δx ＝4＋2Δx . ∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S (4＋Δt )－S (4)Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔSΔt →4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－(3×12－4×1＋2)Δx＝2Δx ＋3(Δx )2Δx＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx ＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，word11 / 11 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；a ＝－5时，切点为(2,3)．。
高中数学导数概念课件苏教版选修
导数在解决实际问题中的作用
导数在优化问题中的应用：导数可以用来解决最优化问题，例如求函数的 最大值或最小值。
导数在物理中的应用：导数可以用来描述物理量的变化率，例如速度、加 速度、电流等。
导数在经济学中的应用：导数可以用来分析经济变量的变化趋势和拐点， 例如需求函数、供给函数等。
导数在计算机科学中的应用：导数可以用来描述图像的边缘、纹理等特征， 例如在图像处理和计算机视觉中的应用。
导数与函数图 像：通过导数 可以绘制函数 图像的切线， 从而更直观地 理解函数的变
化规律。
导数与极值： 导数为零的点 可能是函数的 极值点，通过 导数可以判断 函数在某一点 处是否取得极
值。
导数的物理意义
速度的变化率
函数的斜率
单位时间内函数的变 化量
瞬时速度
导数的运算规则
函数和、差的导数
导数的和差运算规则：$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
导数作为微积分的基础概念，在高等数学中具有重要地位 导数在解决微分方程、积分方程等问题中具有关键作用 导数在研究函数的性质、图像等方面具有广泛应用 导数在解决实际问题中，如最优化问题、经济问题等，具有实际意义
如何学好导数
理解导数的定义
• 导数的定义：导数定义为函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。 • 导数的几何意义：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 理解导数的几何意义 • 导数与函数图像的关系：导数可以描述函数图像的形状和变化趋势，例如函数的增减性、极值点和拐点等。 • 导数与切线斜率的关系：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 如何学好导数 • 理解导数的定义和几何意义：掌握导数的定义和几何意义是学好导数的基础，需要认真理解并掌握。 • 掌握导数的计算方法：学会计算导数是学好导数的关键，需要掌握各种导数的计算方法，例如基本初等函数的导数、复合函数的导
数学苏教版选修1-1 导数的应用1
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围. 答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域. 答:由已知得 f (0) f (2) 0,可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
例3: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤： i）求导数f′(x)； ii）求方程f′(x)=0的全部实根； iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。 ⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数， 求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： i）求f（x）在（a，b）内的极值； ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确 定f（x）的最大值与最小值。 ⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。
高二数学导数及其应用苏教版知识精讲
高二数学导数及其应用苏教版知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：导数及其应用二. 重点、难点：教学重点：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．2. 熟记基本导数公式：x m（m为有理数）、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．教学难点：导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．三. 主要知识点：1. 知识网络2. 方法分析有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明．本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的． 3. 方法总结（1）导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象；（2）在导数的定义中“比值xy∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率”；（3）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于定义法解决单调性问题是十分简捷的；（4）函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；（5）在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；（6）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键． 4. 概念与公式（1）导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =．（2）导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))((')(000x x x f x f y -=-．（3）导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．（4）可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．（5）求函数)(x f y =的导数的一般方法： ①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆．②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(．③令0→∆x ，得导数'y ＝()f x ' （6）常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=对数函数的导数： x x 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log = 指数函数的导数： x x e e =)'( a a a x x ln )'(= （7）法则1 )(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+，[()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（8）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ） 在某个区间内有导数，如果在这个区间内'y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数．（9）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．（10）极大值：一般地，设函数f （x ）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＜f （x 0），就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值＝f （x 0），x 0是极大值点．极小值：一般地，设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）.就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极小值，记作y 极小值＝f （x 0），x 0是极小值点．（11）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．（12）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ） ②求方程f ′（x ）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值．（13）函数的最大值和最小值：在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．①在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．③函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．（14）利用导数求函数的最值步骤：①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．【典型例题】例1. （2003年烟台统考）已知函数f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力．解：∵f ′（x ）＝3x 2＋6ax ＋3a ＋6，令f ′（x ）＝0，则x 2＋2ax ＋a ＋2＝0 又∵f （x ）既有极大值又有极小值∴f ′（x ）＝0必有两解，即△＝4a 2－4a －8＞0 解得a ＜－1或a ＞2．点评：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略．变式：已知f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1，试讨论函数y ＝f （x ）的单调性 提示：分△＞O ，△＝O ，△<O 三种情况分别就a 的不同取值进行讨论．例2. 过曲线C ：y ＝x 2－1（x>0）上的点P 作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求P 点的坐标，使∆OMN 的面积最小．点拨：1、设点P （x 0，x 20－1），求出y'|0x x =＝2x 0，即切线斜率．写出切线方程：y －（x 20－1）＝2x 0（x －x 0）2、分别令x ＝0，y ＝0求出M ，N 点的坐标，则S OMN ∆可表示．3、通过求导求S OMN ∆的最小值及P 点坐标．答案：P （32,33-） 思考：若P 点不在曲线上，如何求切线方程？已知曲线C ：y ＝x 2－1（x>0），过点P （2，1）作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求∆OMN 的面积．易错点：学生往往会把过P 点的切线斜率算成y'|2=x ＝2·2＝4．点拨：设切点Q （x 0，x 02－1），过Q 点的切线斜率为y'|0x x =＝2x 0，得切线方程y －（x 02－1）＝2x 0（x － x 0），P 点代入，得x 0＝22+±，代回得切线方程，下略．例3. 设函数f （x ）＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d （a 、b 、c 、d ∈R ）的图象关于原点对称，且x ＝1时，f （x ）取极小值－32． （1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当x ∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x 1，x 2∈[－1，1]时，求证：|f （x 1）－f （x 2）|≤34． 目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力．解（1）：∵函数f （x ）图象关于原点对称，∴对任意实数x ，都有f （－x ）＝－ f （x ）. ∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ，即bx 2－2d ＝0恒成立． ∴b ＝0，d ＝0，即f （x ）＝ax 3＋cx. ∴f ′（x ）＝3ax 2＋c ．∵x ＝1时，f （x ）取极小值－32． ∴f ′（1）＝0且f （1）＝－ 32， 即3a ＋c ＝0且a ＋c ＝－32． 解得a ＝31，c ＝－1.（2）证明：当x ∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A （x 1，y 1）、B （x 2＋y 2），使得过这两点的切线互相垂直，则由f ′（x ）＝x 2－1，知两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且（x 12－1）（x 22－1）＝－1． （*）∵x 1、x 2∈[－1，1]， ∴x 12－1≤0，x 22－1≤0 ∴（x 12－1）（x 22－1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立． （3）证明：∵f ′（x ）＝x 2－1，由f ′（x ）＝0，得x ＝±1． 当x ∈（－∞，－1）或（1，＋∞）时，f ′（x ）＞0; 当 x ∈（－1，1）时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）在[－1，1]上是减函数，且f max （x ）＝f （－1）＝32， f min （x ）＝f （1）＝ －32． ∴在[－1，1]上，|f （x ）|≤32．于是x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤|f （x 1）|＋|f （x 2）|≤32＋32＝34． 故x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤34． 探究：①若x 0点是y ＝f （x ）的极值点，则f ′（x 0）＝0，反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y ＝f （x ）在[－1，1]上递减是解第（3）问的关键．例4. 已知平面向量a ＝（3，－1）.b ＝（21，23）． （1）证明a ⊥b ；（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋（t 2－3） b ，y ＝－k a ＋t b ，x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f （t ）； （3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f （t ）－k ＝0的解的情况．【考查目的】本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力．解：（1）∵a b ⋅＝3×21＋（－1）×23＝0 ∴a ⊥b ． （2）∵x ⊥y ，∴x y ⋅＝0 即[a ＋（t 2－3） b ]·（－k a ＋t b ）＝0． 整理后得－k 2a ＋[t －k （t 2－3）] ab ⋅＋ （t 2－3）·2b ＝0 ∵a b ⋅＝0，2a ＝4，2b ＝1，∴上式化为－4k ＋t （t 2－3）＝0，即k ＝41t （t 2－3） （3）讨论方程41t （t 2－3）－k ＝0的解的情况，可以看作曲线f （t ）＝ 41t （t 2－3）与直线y ＝k 的交点个数．于是f ′（t ）＝41（t 2－1）＝ 43t （t ＋1）（t －1）． 令f ′（t ）＝0，解得t当t ＝－1时，f （t ）有极大值，f （t ）极大值＝2． 当t ＝－1时，f （t ）有极小值，f （t ）极小值＝－21．函数f （t ）＝41t （t 2－3）的图象如图所示，可观察出：（1）当k ＞21或k ＜－21时，方程f （t ）－k ＝0有且只有一解； （2）当k ＝21或k ＝－21时，方程f （t ）－k ＝0有两解；（3）当－21＜k ＜21时，方程f （t ）－k ＝0有三解．探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径．例5. （2004·温州市一模∙21）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，都有4S n ＝（a n ＋1）2（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N *成立，求实数t 的最大值．分析：利用S n －S n －1＝a n （n ≥2）易得a n ＝2n －1，从而S n ＝n 2则问（2）转化为t ≤22nn恒成立，故只需求出数列22n n n b =的最小项，有以下求法：法一：研究数列{b n }的单调性．法二：数列作为一类特殊的函数，欲求22{}n n 的最小项可先研究连续函数22(0)xy x x =>的单调性，求导得42(ln 22)x x x y x ⋅-'=，易得2ln 2x =为函数22x y x =的极小值也是最小值点，又22ln ln 2e <<，所以2[]3ln 2=而334223b b =<，故389t b ≤= （注：不能直接对22(*)ny n N n=∈求导，为什么？）探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在．特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明了一点：欲用导数，得先构造函数．例6. 已知双曲线:(0)mC y m x=<与点M （1，1），如图所示．（1）求证：过点M 可作两条直线，分别与双曲线C 两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A 、B ，其△MAB 是正三角形，求m 的值及切点坐标． 【考查目的】本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的沟通．（1）证明：设(,)mQ t C t∈，要证命题成立只需要证明关于t 的方程|x t MQ y k ='=有两个符号相反的实根．|x t MQy k ='=221201m m t t mt m t t -⇔-=⇔-+=-，且t ≠0，t ≠1．设方程220t mt m -+=的两根分别为t 1与t 2，则由t 1t 2＝m<0，知t 1，t 2是符号相反的实数，且t 1，t 2均不等于0与1，命题获证．（2）设1212(,),(,)m mA tB t t t ，由（1）知，t 1＋t 2＝2m ，t 1t 2＝m ，从而 2121212121()2,()2222t t m m m t t m m m t t t t m++=+===，即线段AB 的中点在直线y x =上． 又1221212121()1()ABm mm t t t t k t t t t t t --===---，∴AB 与直线y x =垂直． 故A 与B 关于y x =对称， 设(,)(0)m A t t t <，则(,)m B t t有t 2－2mt ＋m ＝0 ① 由22,,60MAMB m m k k AMB t k=-=-∠=︒及夹角公式知2222tan 601t mm t t m m t-+︒=+⋅，即22m tt m -= ②由①得221t m t =- ③从而2214(1)(21)02121m t t t t t m t t --=--=>--由②知2222m t m t m t -==，代入③知t =因此，1,(2m A B =-． 探究：求切线方程的常见方法有：1、数形结合．2、将直线方程代入曲线方程利用判别式．3、利用导数的几何意义．小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为沟通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点．【模拟试题】一、选择题1.函数32cos y x x =，则y '等于 （ ）A. 26sin x xB. 22sin x x +-C. 26sin x x ++D. 26sin x x -2. 已知曲线23123,,2sin y x y x y x ===，这三条曲线与x ＝1的交点分别为A 、B 、C ，又设k 1、k 2、k 3分别为经过A 、B 、C 且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A. k 1<k 2<k 3 B. k 3<k 2<k 1 C. k 1<k 3<k 2 D. k 3<k 1<k 23. 已知a>0，函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在 [－2，2]上的最小值为 （ ）A. －37B. －29C. －5D. －115. （2004年浙江高考）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）二、填空题6. 某汽车启动阶段的路程函数为S （t ）＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的速度和加速度分别为7. 曲线21y x =与曲线y =在交点处的切线的夹角为 ． 8. 已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是 ．三、解答题9. 已知曲线2212::(2)C y x C y x ==--与，求与C 1、C 2均相切的直线l 的方程．10. 函数32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点(1,())P f x 的切线方程为y ＝3x ＋1（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，求()y f x =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围．11. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f （t ）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效． ①求服药一次治疗疾病有效的时间？②当t ＝5时，第二次服药，问t 1[5,5]16时，药效是否连续？[参考答案]http//1. D2. D3. D4. A5. C6. 4，37. 90°8. （－∞，－1）9. 解答：由2y x =得2y x '=，由2(2)y x =-- ，得2(2)y x '=--； 设直线l 与2y x =的切点为211(,),(2)P x y y x =--与的切点为22(,)Q x y①＋②整理得121212(2)(2)y y x x x x +=+--+ 由③得1220x x +-=120y y ∴+=即21y y =-，代入④与①联立可解得x 1＝0或x 1＝2当x 1＝0时，x 2＝2；当x 1＝2时，x 2＝0 ∴直线l 过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，－4）点因此所求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4．10. 解：（1）由32()f x x ax bx c =+++求导数得2()32f x x ax b '=++过()y f x =上点(1,(1))P f 的切线方程为：(1)(1)(1),(1)(32)(1)y f f x y a b c a b x '-=--+++=++-即，而过()y f x =上，(1,(1))P f 的切线方程为31y x =+ 故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩ 即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩()y f x =在x ＝－2时有极值，故(2)f '-＝0 412a b ∴-+=- ③由①②③式联立解得2,4,5a b c ==-=，32()245f x x x x ∴=+-+ （2）22()32344(32)(2)f x x ax b x x x x '=++=+-=-+ ①②32()(2)(2)2(2)4(2)513f x f =-=-+---+=极大，3(1)1214154f =+⨯-⨯+=，()f x ∴在[－3，1]上最大值为13．（3）()y f x =在区间 [－2，1]上单调递增，又2()32f x x ax b '=++， 由（1）知20a b +=，2()3f x x bx b '∴=-+依题意()f x '在[－2，1]上恒有2()0,30f x x bx b '≥-+≥即在[－2，1]上恒成立．①当16bx =≥时，()(1)30f x f b b ''==-+>小，6b ∴≥ ②当26bx =≤-时，()(2)1220f x f b b ''=-=++≥小，b ∴∈∅③当216b -≤≤时，212()012b b f x -'=≥小，∴0≤b ≤6 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0．11. 解答：（1）当0≤t ≤1时，y ＝4t ， 当t ≥1时，1()2t ay -=，此时M （1，4）在曲线上，114(),32a a -∴=∴=，这时31()2t y -= 所以＝＝)(t f y 34(01)()1()(1)2t tt y f x t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩（2）①340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即 解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩1516t ∴≤≤∴服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时． ②设1[5,5]16t ∈，5小时第二次服药后，血液中含药量g （t ）为：第二次产生的含药量4（t －5）毫克以及第一次的剩余量31()2t -毫克，即g （t ）＝4（t －5）＋ 31()2t -只要证明，当1[5,5]16t ∈时,g （t ）≥0.25即可33111()4()ln 4()ln 2222t t g t --'=+=-，()g t '∴在R 上是增函数，1()[5,5]16g t '∴在上有21()(5)4()ln 202g t g ''≥=->， 1()[5,5]16g t ∴在上是增函数，故g （t ）≥g （5）＝0.25，∴当t ＝5时，第二次服药，1[5,5]16t ∈时，药效连续．。
高二数学导数的运算知识精讲 苏教版
高二数学导数的运算知识精讲 苏教版一. 本周教学内容：导数的运算二. 本周教学目标：1、能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解。
2、能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。
三. 本周知识要点： （一）常见函数的导数对于基本初等函数，有下面的求导公式：（1）0'=C ； （5）'()ln (0,1)x xa a a a a =>≠ （2）1)'(-=n nnxx ；（6）'11(log )log (0,1)ln a a x x a a x x a==>≠ （3）x x cos )'(sin =；（7）'()x xe e =（4）x x sin )'(cos -= （8）'1(ln )x x=（二）函数的和差积商的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即 '')'(v u v u ±=±法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+ [()]'()Cu x Cu x '=两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数的和、差、积不一定不可导．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（三）简单复合函数的导数1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2、求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-的复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得12x 183)2x 3(23u 2u y 'x 'u -=⋅-=⋅=， 从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y'x 时，就可以转化为求y u '和u'x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3、复合函数的导数：设函数u ＝ϕ(x)在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x)，函数y ＝f(u)在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f'(u)，则复合函数y ＝f （ϕ(x)）在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f'x （ϕ(x)）＝f ′(u)ϕ'(x).例1. 求 （1）（x 3）' （2）（21x）' （3）')x 解：（1）（x 3）'＝3x 3－1＝3x 2；（2）（21x）'＝（x －2）'＝－2x －2－1＝－2x －3（3）x21x 21x 21)x ()x (2112121==='='--例2. 求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ xcos )x (sin y ='='∴236cosy 6x =='=ππ ∴所求切线的斜率23k =∴所求切线的方程为 )6x (2321y π-=-，即036y 12x 36=-+-π答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．例3． （1）求y ＝x 3+sinx 的导数.（2）求y ＝x 4－x 2－x+3的导数.（3）求453223-+-=x x x y 的导数．（4）求2(23)(32)y x x =+-的导数．（5）y ＝3x 2+xcosx ，求导数y ′解：（1）y'＝（x 3+sinx ）'＝（x 3）'+（sinx ）'＝3x 2+cosx（2）y'＝（x 4－x 2－x+3）'＝（x 4）'－（x 2）'－x'+3'＝4x 3－2x －1，（3）2'66y x x =-+（4）)'23)(32()23()'32('22-++-+=x x x x y 3)32()23(42⋅+++=x x x 98182+-=x x（5）y'＝（3x 2+xcosx ）'＝（3x 2）'+（xcosx ）'＝3·2x+x'cosx+x （cosx ）'＝6x+cosx －xsinx例4. 求y ＝xsin x 2的导数。
苏教版选修1-1高中数学《导数的应用复习》ppt课件
•导数为0的点不一定是极值点；
f (x)<0
f (x)>0
•若极值点处的导数存在，则一定为0，且极值点
两O侧a导在函极小数x值异1 点号附。近x2
bx
判别函数f(x)在f(x0)是极大(小)值的方法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 , 那么,f(x0)是极大值;
…
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
判断函数单调性的常用方法：（导1数）法定义法（2）
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
例2:已知函数f(x) =ax3+bx2－3x在x=±1处取得
极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调性; (2)若x∈[0,3],求f(x)的最值.
解:(2)f(x) =x3－3x ∴ f'(x)=3x2－3=3（x+1)(x-1) 令f'(x)=0,解得x1=-1(舍),x2=1 ∵f(0)=-3, f(1)=0 ,f(3)=24
2 1 x 2(1 x)
由 f (x) 0 x 得x<-1或x>12(.1
即1x)
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2素材 本章概览 第1章导数及其应用
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第1章导数及其应用
本章概览
三维目标
导数是高等数学的基础，是对函数图象和性质的总结和拓展，是微积分的核心概念之一.利用导数可以解决现实生活中的最优化问题,也可以简捷地解决中学数学中一些较为复杂的问题.
通过大量的实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的概念,了解导数在研究函数单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础.
通过本章的学习,体会导数的思想及其丰富的内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值.
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高二数学导数的应用知识精讲苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
导数的应用
二. 本周教学目标：
1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；
2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.
三. 本周知识要点：
（一）基本知识
1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点。
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点。
3. 极大值与极小值统称为极值。
4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，
)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”
，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；
如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
5. 求可导函数f (x )的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )。
（2）求方程f ′(x )=0的根。
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值。
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值。
（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值。
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的。
（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件。
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
7. 利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值。
【典型例题】
例1. 在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602
x h -=cm ，得箱子容积 260)(3
22
x x h x x V -==)600(<<x 2
3()602
x V x x '=-)600(<<x 令2
3()602
x V x x '=-＝0 解得x=0（舍去），x=40
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值。
答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积
x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数260)(3
22
x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值。
例2. 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2h ，得2V h R π=
，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R
+2πR 2 令()S R V R R '=-
+=2402π 解得，
h=2V R π
即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？
提示：S =2Rh π+2
2R π⇒h =R R S ππ222
- ⇒V (R )=R
R S ππ222
-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 22262
2=⇒+=πππ．
例3. 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。
解：收入211252588R q p q q q q ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭
利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫
=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214
L q '=-
+ 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大。
例4. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得四周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b 。
解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =3
3h ,BC =b ∴AD =3
32h +b ∴S =h b h h b h )3
3()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3
230cos =︒，AB =CD ∴l =h 32×2+b ②
由①得b =3
3-h S h ，
代入②，∴l =h
S h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43
S 当h <43S 时，l ′<0，h >43
S 时，l ′>0.
∴h =43
S 时，l 取最小值，此时b =S 3324 小结：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义。
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单。
【模拟试题】
1. 函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________。
2. 函数f (x )=sin2x －x 在［－2π,2
π］上的最大值为_____；最小值为_______。
3. 将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___。
4. 使内接椭圆22
22b
y a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____。
5. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大。
6. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
参考答案
1. －15
2. 2π －2π
3. 2a 2
a 4. 2a
2b 5. 23R 6. 解：设正方形边长为x ，则V =（8－2x ）·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <2
5)，V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的
∴当x =1时，容积V 取最大值为18。