【2013石景山一模】北京市石景山区2013届高三一模数学理试题含答案
2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版1集合
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】1：集合1.（2013届北京石景山区一模理科）1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则MN 等于（ ）A ． [-2，2]B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x ===,选B.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（2）已知集合{}23Mx x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选D.3．（2013届北京海淀一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则AB =（ ）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<【答案】B{0,1,2,3,4,5,6}A =，{30}B x x x =><或，所以{4,5,6}AB =，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3【答案】B因为A B A = ，所以B A ⊆，即3m =或m =解得3m =，0m =或1m =，当1m =时，集合,A B 不成立。
所以3m =或0m =，选B.5．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U AB =ð（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤<【答案】B2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11}U B x x =-≤≤ð，所以{01}U AB x x =<≤ð，选B.6.（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（ ）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】B因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.7．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()MC N =R（ ）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B{22}N x x x =><-或,所以(){22}C N =x x -≤≤R ，所以(){21}MC N =x x -≤≤R ，选B.8．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④【答案】A ①中，集合{|}1nn n ∈+N 中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在12a <的时候，不存在满足得0＜|x|＜a 的x ， ∴0不是集合{|}1nn n ∈+N 的聚点 ②集合*2{|}n n∈N 中的元素是极限为0的数列， 对于任意的a ＞0，存在2n a >，使0＜|x|=2a n<，∴0是集合*2{|}n n ∈N 的聚点③对于某个a ＜1，比如a=0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有|x ﹣0|=0或者|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z 的聚点 ④故选A9．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x=≤，B {}1x x =<，则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤ C ．{}1x x ≥D ．R【答案】A{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,{1}U B x x =≥ð，所以={2}U A B x x ≥-ð，选A.10．（2013届北京丰台区一模理科）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ． {}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【KS5U 解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【KS5U 解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)-- 【答案】D【KS5U 解析】因为(2,4),(1A B A C ==所以(1,1)B C A C A B =-=--，即(1,1A D B C ==--，选D.4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【KS5U 解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
北京市石景山区2013届高三一模数学理试题
2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）高三数学（理科）一、选择题（60分）1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝A、{x|x＞－3}B、{x|－3＜x＜3}C、{x|x＞－2}D、{x|－2＜x＜3}2、若,a b R∈，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝A、－1B、1C、2D、33、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是A 、4B、6C、D、4、采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为A、4B、5C、6D、75、如右图所示，程序框图输出的结果为A、15B、16C、136D、1536、在平面直角坐标系中，不等式组1040xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域的面积是A、3B、92C、6D、97、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是A、15B、16C、17D、238、函数2cos23xy x=-的图象大致是9、若7cos(2)38xπ-=-，则sin()3xπ+学科网的值为A、14B、78C、±14D、±7810、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为A、（5,7）B、（－15,1）C、（5,10）D、（－∞,1）11、如图，棱长为1的正方体ABC－A1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝12，则下列结论中错误的是A、BD⊥CEB、△CEF的面积为定值C、直线BC与平面CEF所成的角为定值D、直线BE与CF所成的角为定值12、已知单位向量e 与向量a ，b 满足：｜a －e ｜＝｜a ｜，（a －b ）²（b －e ）＝0，对每一个确定的向量a ，都有与其对应的向量b 满足以上条件，设M ，m 分别为｜b ｜的最大值和最小值，令t ＝｜M －m ｜，则对任意的向量a ，实数t 的取值范围是A 、［0,1］B 、［0，12］C 、［1,2+∞］ D ［1，+∞］ 二、填空题（20分） 13、在621()x x +的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】9：圆锥曲线 Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】9圆锥曲线1.（2013届北京石景山区一模理科）7．对于直线l ：y=k (x+1)与抛物线C ：y 2= 4x ，1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】A联立方程组2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得，22222(2)0k x k x k +-+=，当k=0时，上式变为40x -=，解得x=0，l 与C 有唯一交点。
当k ≠0时，2244(2)40k k ∆=--=，解得1k =±。
故l 与C 有唯一交点的充要条件为k=0，或1k =±。
所以1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点充分不必要条件，选A 。
2.（2013届北京朝阳区一模理科）（7）抛物线22ypx =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 【答案】A设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF 。
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ．由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos120°=a 2+b 2+ab配方得， 22()AB a b ab =+-，又因为2()2a b ab +≤，所以2222()3()()()44a b a b a b ab a b +++-≥+-=,所以)AB a b ≥+，所以1()3a b MN AB +≤=,即MN AB的最大值为3．选：A3．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D双曲线的标准方程为2211y x m-=，所以0m >，且2211,a b m ==，因为24a b =，所以2a b =，224a b =，即41m=，解得4m =，选D.4．（2013届北京海淀一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是 （ ） A ．12B． C． D．【答案】B因为抛物线的焦点(1,0)F ,准线方程为1x =-。
【2013石景山一模】北京市石景山区2013届高三一模理综试题含答案
北京石景山区2012— 2013学年高三第二学期统一测试理综试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分 300分，考时150分钟。
第I 卷（选择题共20题每题6分共120 分）可能用到的相对原子质量： H-1 0-16 Cl-35 . 5 Cu-64在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
请把答案涂在机读卡上。
1•细胞自噬是将细胞内受损、变性、衰老的蛋白质或细胞器运输到溶酶体内并降解的过程。
下图中 A 、B 、C表示细胞自噬的三种方式，相关说法正确的是① 细胞通过 C 减少有害蛋白在细胞内的积累，从而延长细胞 -------------------------- 寿命② 能体现膜结构具有流动性的是：自吞小泡与溶酶体融合、 溶酶体吞噬颗粒物③ 若人工破坏溶酶体膜可阻断细胞自噬进程，受损的物质和 细胞器会在细胞中积累④ 细胞自噬被维持在一定水平，能确保细胞内的稳态 ⑤ 细胞自噬贯穿于正常细胞生长、分化、A .①②③B .①④⑤2•将一份刚采摘的新鲜蓝莓用高浓度的 终在I C 的冷库内贮藏。
从采后算起每量，计算二者的比值得到下图所示曲线。
A •比值大于1,表明蓝莓既进行有氧呼吸，又进行无氧呼吸B .第20天对照组蓝莓产生的乙醇量高于CO 2处理组C .第40天对照组蓝莓有氧呼吸比无氧呼吸消耗的葡萄糖多D •贮藏蓝莓前用 CO 2短时处理，能抑制其在贮藏时的无氧呼吸蛋白质 3.研究人员采用某品种的黄色皮毛和黑色皮毛小鼠进行杂交实验。
第一组：黑鼠2398;第二组：黄鼠X 黄鼠一黄鼠 2396:黑鼠1235。
多次重复发现，第二组产生的子代个体数总比第一组少 1/4左右。
下列判断不正确的是① 该品种中黄色皮毛小鼠不能稳定遗传② 第二组的结果表明该性状的遗传不遵循基因分离定律 ③ 黄鼠和黄鼠交配，不能产生成活的纯合黄鼠后代 ④ 若种群中黑鼠个体占 25%，则黑鼠基因的基因频率为 50%A .①②B .②③C .③④D .②④衰老、凋亡的全过程C .②③⑤D .⑨④⑤ CO 2处理48h 后，贮藏在温度为1 C 的冷库内。
石景山区2013—2014学年第一学期期末高三数学理科
石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N = （ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列}{n a 为等差数列，4724a a ==-，，那么数列}{n a 通项公式为（ ） A ．210n a n =-+ B ．25n a n =-+ C ．1102n a n =-+ D ．152n a n =-+5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A ．3B ．126C ．127D ．1286． 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线y x =围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23 C ．34D ．45是 输入x21x x =-126x ≥输出x 开始 结束否OCxyy x =AB7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[01]x ∈，时，()f x x =，若在区间(11]-，上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0)2，B ．1[)2+∞，C ．1[0)3，D ．1(0]2，第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______． 11． 若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为 ．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切 于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______．14． 已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且1A A ⊥平面ABCD ，P 为1A A 上动点，过BD 且垂直于PC 的平面交PC 于E ，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为 ，当三棱锥E BCD -的体积取得最大值时， 四棱锥P ABCD -的高PA 的长为 ．A DCBE．OA 1ABDCPE三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos 21f x x x x =++()x ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值，并写出()f x 取最小值时相应的x 值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．A PEBDC18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅ ，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且MP PN =，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈= ，，，，. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（23i n = ，，，）． （ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCAA CBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 3sin 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin 2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，……6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分3sin(2)126x π-≤+≤，312sin 2+136x π-+≤+≤（）， ……11分 所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值31-+．…………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有10300=10030⨯人．…………3分 （Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:103:2=．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为3535⨯=，从体质为优秀的学生中抽取的人数为2525⨯=．…6分 （ⅰ）设“在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀”为事件A ，则 3335C 9()1C 10P A =-=． 故在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为910．…9分 （ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===，213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===．…………12分 题号 9 1011 12 13 14答案 22(1)4x y -+=，2 64 4，34390 ，2所以，随机变量X 的分布列为:X 123 P31061011036191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分 17．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分 取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==， 所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ， 所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ……………3分 又PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………4分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．…5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP = ，，，(110)AC = ，，，(011)AE =，，． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ………6分 设平面EAC 的法向量为1()n x y z = ，，，由10n AC ⋅= ，10n AE ⋅= 得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ……………8分 所以12221(1)0123cos 31(1)12n AP ⨯+-⨯+⨯<>==+-+⋅ 0， 因为二面角E AC D --为锐角，A PEBDCG DA PBCzyxE所以二面角E AC D --的余弦值为33． ……………9分 （Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ．设(00)F a ，，，则(110)CF a =-- ，，，(112)CP =--，，． 设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，， 由20n CF ⋅= ，20n CP ⋅= 得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =， 所以2(11)2a n a =- ，，是平面PCF 的一个法向量．………12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅= ，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ． ……14分 18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =， ()2xf x e '=-，得(0)1f '=-， ……2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分 （Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分 当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.………7分 （Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅ ，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，………9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分 所以min ()x e x m x ->. 令()1x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， DA PB C zyx EF所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分 所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=， 所以24a =， …………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ，…………2分 解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，， 由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分 因为MP PN = ，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥， 所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3yy y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-， 此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分 综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……………3分 （Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，， 若1(121)i a i n ==- ，，，，则满足1n b n =-． 此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列；若121n a a a - ，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意； 所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分 （ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，， 根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++= ．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a - ，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a - ，，，前12n -项取1，后12n -项取1-， 所以2max(1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）． 要求n S 的最小值，则只需121n a a a - ，，，前12n -项取1-，后12n -项取1， 则2min(1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市石景山区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市石景山区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合M=x∈R x2+2x−3≤0，N=x∈R x+1<0，那么M∩N= ______A. −1,0,1B. −3,−2,−1C. x −1≤x≤1D. x −3≤x<−12. 复数i1−i= ______A. 12+i2B. 12−i2C. −12+i2D. −12−i23. 已知向量a=x,1，b=4,x，则“ x=2”是“ a∥b”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知数列a n为等差数列，a4=2，a7=−4，那么数列a n的通项公式为 ______A. a n=−2n+10B. a n=−2n+5C. a n=−12n+10 D. a n=−12n+55. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为______A. 3B. 126C. 127D. 1286. 在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y=x围成的区域内（阴影部分）的概率为______A. 12B. 23C. 34D. 457. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为______A. 324B. 328C. 360D. 6488. 已知函数f x满足f x+1=1f x+1，当x∈0,1时，f x=x，若在区间−1,1上，g x=f x−mx−m有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______A. 0,12B. 12,+∞ C. 0,13D. 0,12二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知圆C的参数方程为x=1+2cosθ,y=2sinθ,（θ为参数）则圆C的直角坐标方程为______，圆心C到直线l:x+y+1=0的距离为______．10. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=6，c=4，cos B=13，则b= ______．11. 若x,y满足约束条件x≤1,y≥0,x−y+2≥0,则z=x+y的最大值为______．12. 如图，已知在△ABC中，∠B=90∘，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则AB的长为______，CD的长为______．三、解答题（共6小题；共78分）13. 已知函数f x=23sin x cos x+cos2x+1．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．14. 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在85,100之间为体质优秀；在75,85之间为体质良好；在60,75之间为体质合格；在0,60之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：91356801122333445667797056679645856（1）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（2）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．15. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，∠ABC =90∘，AD ∥BC ，且 PA =AD =2，AB =BC =1，E 为 PD 的中点．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求二面角 E −AC −D 的余弦值；（3）在线段 AB 上是否存在一点 F （不与 A ，B 两点重合），使得 AE ∥平面PCF ?若存在，求出 AF 的长；若不存在，请说明理由．16. 已知函数 f x =e x −ax （e 为自然对数的底数）．（1）当 a =2 时，求曲线 f x 在点 0,f 0 处的切线方程； （2）求函数 f x 的单调区间；（3）已知函数 f x 在 x =0 处取得极小值，不等式 f x <mx 的解集为 P ，若 M =x 12≤x ≤2 ，且 M ∩P ≠∅，求实数m 的取值范围．17. 已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 过点 2,0 ，且椭圆的离心率为 12．（1）求椭圆的方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且 MP =PN ，再过作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．18. 已知集合 A = −1,0,1 ，对于数列 a n 中，a i ∈A i =1,2,3,⋯,n ．（1）若 50 项数列 a n 满足 a i 50i =1=−9， a i −1 250i =1=107，则数列 a n 中有多少项取值为零?（ a i n i =1=a 1+a 2+⋯+a n ,n ∈N ∗）（2）若各项非零数列 a n 和新数列 b n 满足 b i −b i−1=a i−1 i =2,3⋯,n ． （ⅰ）若首项 b 1=0，末项 b n =n −1，求证数列 b n 是等差数列；（ⅱ）若首项 b 1=0，末项 b n =0，记数列 b n 的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最大值和最小值．答案第一部分 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C6. B7. B8. D第二部分9. x −1 2+y 2=4； 2 10. 6 11. 4 12. 4；3 第三部分13. （1） f x = 3sin2x +cos2x +1=2sin 2x +π6 +1， 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以函数 f x 的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6 k ∈Z ． （2） 因为 −π4≤x ≤π4，−π3≤2x +π6≤2π3，−32≤sin 2x +π6 ≤1，− 3+1≤2sin 2x +π6 +1≤3，所以当 2x +π6=−π3，即 x =−π4时，函数 f x 取得最小值 − 3+1．14. （1） 根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 1030×300=100 人． （2） 依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10=3:2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为 35×5=3，从体质为优秀的学生中抽取的人数为 25×5=2．（ⅰ）设“在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀”为事件 A ， 则 P A =1−C 33C 53=910．故在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀的概率为 910． （ⅱ）随机变量 X 的所有取值为 1,2,3． P X =1 =C 31⋅C 22C 53=310， P X =2 =C 32⋅C 21C 53=610，P X =3 =C 33C 53=110．所以，随机变量 X 的分布列为：X 123P310610110EX =1×310+2×610+3×110=95．15. （1） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ．取AD的中点G，连接GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90∘，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且CG=12AD，所以∠ACD=90∘，即AC⊥CD．又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（2）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz．A0,0,0，C1,0,0，E0,0,1，P0,0,2，所以AP=0,0,2，AC=1,0,0，AE=0,1,1．因为PA⊥平面ABCD，所以AP=0,0,2为平面ACD的一个法向量．设平面EAC的法向量为n1=x,y,z，由n1⋅AC=0，n1⋅AE=0得x+y=0, y+z=0,令x=1，则y=−1，z=1．所以n1=1,−1,1是平面EAC的一个法向量．所以cos n1,AP=222=33．因为二面角E−AC−D为锐角，所以二面角E−AC−D的余弦值为33．（3）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．F a,0,0，则CF=a−1,−1,0，CP=−1,−1,2．设平面PCF的法向量为n2=x,y,z，由n2⋅CF=0，n2⋅CP=0得a−1x−y=0,−x−y+2z=0,令x=1，则y=a−1，z=a2，所以n2=1,−1,a2是平面PCF的一个法向量．因为AE∥平面PCF，所以AE⋅n2=0，即a−1+a2=0，解得a=23，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且AF=23．16. （1）当a=2时，f x=e x−2x，f0=1，fʹx=e x−2，得fʹ0=−1，所以曲线y=−x+1在点y=−x+1处的切线方程为y=−x+1．（2）fʹx=e x−a．当a≤0时，fʹx>0恒成立，此时f x的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；当a>0时，x∈−∞,ln a时，fʹx<0，x∈ln a,+∞时，fʹx>0，此时f x的单调递增区间为ln a,+∞，单调递减区间为−∞,ln a．（3）由题意知fʹ0=0得a=1，经检验此时f x在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f x<mx在12,2上有解，即∃x∈12,2使f x<mx成立，即∃x∈12,2使m>e x−xx成立，所以m>e x−xx min．令g x=e xx −1，gʹx=x−1e xx，所以g x在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，则g x min=g1=e−1，所以m∈e−1,+∞．17. （1）因为点2,0在椭圆C上，所以4a +0b=1，所以a2=4，因为椭圆C的离心率为12，所以ca=12，即a2−b2a=14，解得b2=3，所以椭圆C的方程为x 24+y23=1．（2）设P−1,y0，y0∈ −32,32，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y−y0=k x+1，M x1,y1，N x2,y2，由3x2+4y2=12,y−y0=k x+1,得3+4k2x2+8ky0+8k2x+4y2+8ky0+4k2−12=0，所以x1+x2=−8ky0+8k23+4k，因为MP=PN，即P为MN中点，所以x1+x22=−1，即−8ky0+8k23+4k2=−2．所以k MN=34y0y0≠0，因为直线l⊥MN，所以k l=−4y03，所以直线l的方程为y−y0=−4y03x+1，即y=−4y03 x+14，显然直线l恒过定点 −14,0．②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=−1，此时直线l为x轴，也过点 −14,0．综上所述直线l恒过定点 −14,0．18. （1）设数列a n中项为1,−1,0分别有x,y,z项．由题意知x+y+z=50, x−y=−9,z+4y=107,解得z=11．所以数列a n中有11项取值为零．（2）（ⅰ）a i∈−1,1且b i−b i−1=a i−1，得到b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，若a i=1i=1,2,⋯,n−1，则满足b n=n−1．此时b i−b i−1=1，数列b n是等差数列；若a1,a2,⋯,a n−1中有p p>0,p∈N∗个−1，则b n=n−1−2p≠n−1不满足题意；所以数列b n是等差数列．（ⅱ）因为数列b n满足b i−b i−1=a i−1，所以b i=a1+a2+⋯+a i−1i=2,3,⋯,n，根据题意有末项b n=0，所以a1+a2+⋯+a n−1=0．而a i∈−1,1，于是n为正奇数，且a1a2⋯a n−1中有n−12个1和n−12个−1．S n=b1+b2+⋯+b n=a1+a1+a2+⋯+a1+a2+⋯+a n−1=n−1a1+n−2a2+⋯+ a n−1．要求S n的最大值，则只需a1a2⋯a n−1前n−12项取1，后n−12项取−1，所以S n max=n−2+n−4+⋯+1=n−124（n为正奇数）．要求S n的最小值，则只需a1,a2,⋯,a n−1前n−12项取−1，后n−12项取1，则S n min=−n−2−n−4−⋯−1=−n−124（n为正奇数）．。
【2013石景山一模】北京市石景山区2013届高三一模 理综.
2013年石景山区高三统一测试化学2013.3可能用到的相对原子质量:H—1 O—16 Cl—35.5 Cu—64第Ⅰ卷(选择题共42分一、选择题(本部分共7个小题,每小题6分,每小题只有一项符合题目要求6.下列物质的性质、用途正确的是A.浓硫酸、浓硝酸都具有强氧化性,不能盛放在金属容器中B.Na2SiO3是制备硅胶和木材防火剂的原料C.食盐可作调味剂,不可作防腐剂D.合金的硬度大,熔点也高7.下列说法正确的是A.相对分子质量相近的醇比烷烃沸点高是因为醇分子间存在氢键B.苯和油脂均不能使酸性高锰酸钾溶液褪色C.红外光谱分析不能区分乙醇和乙酸乙酯D.蛋白质溶液中加硫酸铵或氯化铜溶液,均会发生蛋白质的变性8.下列说法正确的是A.不用其它试剂,无法鉴别AlCl3溶液和NaOH溶液B.NaHSO4、NH3、Cu2(OH2CO3分别属于酸、碱、盐C.SO2使溴水褪色,不能说明SO2具有漂白性D.HCl、NO2溶于水都有化学键断裂,因此均属于化学变化9.下列解释物质用途或现象的反应方程式不.正确..的是A.硫酸型酸雨的形成会涉及反应:2H2SO3+O22H2SO4B.明矾放入水中可形成带正电的Al(OH3胶粒:Al3++3H2O Al(OH3(胶体+3H+C.选用CuSO4溶液除去乙炔气体中的H2S:H2S+Cu2+ ===CuS↓+2H+D.热的纯碱液可以清洗油污的原因:CO32¯+2H2O H2CO3+2OH¯10.常温下,浓度均为0.1mol/L的四种溶液pH如下表溶质Na2CO3NaClO NaHCO3NaHSO3pH 11.6 10.3 9.7 4.0依据已有的知识和信息判断,下列说法正确的是A.常温下,HSO3¯的水解能力强于其电离能力B .常温下,相同物质的量浓度的H 2SO 3、H 2CO 3、HClO ,pH 依次升高C .Na 2CO 3溶液中存在以下关系:c (Na ++ c (H +=c (CO 32¯+ c (HCO 3¯+ c (OH¯D .向氯水中加入少量NaHCO 3固体,不能增大HClO 的浓度 11.用下图所示实验装置进行相应实验,能达到实验目的的是A .装置①可用于除去Cl 2中含有的少量HCl 气体B .按装置②所示的气流方向可用于收集H 2、NH 3等C .装置③可证明非金属性Cl>C>SiD .装置④向左推动针筒活塞可检验该装置的气密性 12.反应aA(g+bB(gc C(g( △H <0在等容条件下进行。
2013年1月石景山高三数学(理)试题
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种7A ．38 B ．4 C ．2 D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ． 11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．12． 在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．PA BCO•D（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；图1 图2A 1BCDE（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)。
【2013石景山一模】北京市石景山区2013届高三一模 数学理试题
北京市石景山区2013届高三统一测试数学（理）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷 （选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M N 等于（ ） A ． [-2，2] B ．{2} C ．[2，+∞） D ． [-2,+∞） 2．若复数（a －i ）2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（ ）A ． 1B ．-1CD ．3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q 共线的概率为（ ）A ．13 B ．14C ．16D ．1124．执行右面的框图，输出的结果s 的值为（ ） A ．-3 B ．2 C ．12-D ．135． 如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。
则下面结论中，错误．．的结论是( )A ．∠ECA = 90oB ．∠CEM=∠DMA+∠DBAC ．AM 2 = AD·AED ．AD·DE = AB·BC6．在（2x 2－1x）5的二项展开式中，x 的系数为（ ） A ．-10 B ．10 C ．-40 D ．407．对于直线l ：y=k (x+1)与抛物线C ：y 2= 4x ，k=±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f （x ）=221(0)4(0)og x x x x x >⎧⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3第Ⅱ卷 （非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．直线2p sin θ=1与圆ρ=2 cos θ相交弦的长度为 。
2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版2函数
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】2函数1.（2013届北京石景山区一模理科）8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数221(0)()4(0)og x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3【答案】C根据题意：当0x >时，0x -<，则2()4f x x x -=-+，若函数为奇函数，可有2()4f x x x =-。
则函数24(0)y x x x =--≤的图象关于原点对称的函数是2()4f x x x =-。
由题意知，作出函数2()4f x x x =-（x ＞0）的图象，看它与函数2()1(0)f x og x x =>交点个数即可得到友好点对的个数，如图观察图象可得：它们的交点个数是2．即()f x 的“友好点对”有2个．选C.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】B由题意知0000212(1)12()1(1)(21)63x x x n n x n ++++++++=+++=，因为0,x n N ∈，所以12n +≥，021+1x n n ++>。
因为79=321=63⨯⨯，所以当13n +=时，00212321x n x ++=+=，此时解得02,9n x ==，生成点为(9,2)。
2013北京市石景山区高三(一模)物 理
2013北京市石景山区高三（一模）物理一、选择题1．（3分）按照玻尔理论，大量氢原子从n=3的激发态向低能级跃迁时，最多能向外辐射（）A．2种不同频率的光子B．3种不同频率的光子C．4种不同频率的光子D．5种不同频率的光子2．（3分）对于同种金属，产生光电效应时，关于逸出光电子的最大初动能E k，下列说法正确的是（）A．E k与照射光的强度成正比B．E k与照射光的波长成正比C．E k与照射光的频率成线性关系D．E k与光照射的时间成线性关系3．（3分）如图是沿x轴正向传播的简谐横波在某时刻的波形图，波速为2.0m/s，下列说法正确的是（）A．该波的振动周期为4.0sB．此时刻质点P的振动方向沿y轴正方向C．经过△t=3.0s，质点P将沿x轴正向移动6.0mD．经过△t=4.0s，质点Q通过的路程是0.40m4．（3分）如果月球和地球同步卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）A．月球的线速度小于地球同步卫星的线速度B．月球的角速度大于地球同步卫星的角速度C．月球的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径D．月球的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度5．（3分）如图所示，轻杆长为L一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球（可视为质点）．小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度．下列说法正确的是（）A．小球通过最高点时速度不可能小于B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力可能为零C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小6．（3分）带有等量异种电荷的两平行金属板水平放置，a、b、c三个α粒子（重力忽略不计）先后从同一点O垂直电场方向进入电场，其运动轨迹如图所示，其中b恰好沿下极板的边缘飞出电场．下列说法正确的是（）A．b在电场中运动的时间大于a在电场中运动的时问B．b在电场中运动的时间等于c在电场中运动的时间C．进入电场时c的速度最大，a的速度最小D．a打在负极板上时的速度与b飞离电场时的速度大小相等7．（3分）如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内．现有一小球从一水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道．OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2．下列说法正确的是（）A．tanθ1tanθ2=2 B．cotθ1tanθ2=2 C．cotθ1cotθ2=2 D．tanθ1cotθ2=28．（3分）如图所示，某点O处固定一点电荷+Q，一电荷量为﹣q1的点电荷以O为圆心做匀速圆周运动，另一电荷量为﹣q2的点电荷以O为焦点沿椭圆轨道运动，两轨道相切于P点．两个运动电荷的质量相等，它们之间的静电引力和万有引力均忽略不计，且q1＞q2．当﹣q1、﹣q2经过P点时速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，下列关系式正确的是（）A．a1=a2 B．a1＜a2C．v1=v2 D．v1＞v2二、非选择题9．（18分）（1）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，通过测量单摆摆长L，利用秒表记录该单摆50次全振动所用的时间并求出周期T，根据单摆周期公式T=2π计算出重力加速度g．①如果该同学用秒表记录的时间如图1示，则秒表的示数为s；②如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是A．测摆线长时摆线拉得过紧B．开始计时时，秒表按下稍晚C．实验中将51次全振动误记为50次D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了③如果某同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置．他第一次量得悬线长为L1（不计摆球半径），测得周期为T1：第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2．根据上述数据，可求得g值为A. B. C. D.（2）在“用油膜法估测分子的大小”的实验中，已知滴入水中的油酸溶液中所含的纯油酸的体积为4.0×l0﹣6mL，将玻璃板放在浅盘上描出油膜轮廓，再将玻璃板放在边长为l.0cm的方格纸上，所看到的图形如图2示油膜的面积约为cm2（保留两位有效数字）．由此可估算出油酸分子的直径约为cm（保留一位有效数字）．（3）下列说法正确的是A．“描绘小灯泡的伏安特性曲线”实验中滑动变阻器需要用限流式接法B．“测定金属的电阻率”实验中由于待测金属丝的电阻较小，电流表一定用内接法C．“测定电源的电动势和内电阻”实验中为了使电压表示数变化明显，宜选用旧的干电池做待测电源D．“将电流表改装为电压表”实验的校准电路中滑动变阻器需要用分压式接法．10．（16分）如图所示，一轨道固定在竖直平面内，水平ab段粗糙，bcde段光滑，cde段是以O为圆心、半径R=0.4m 的一小段圆弧，圆心O在ab的延长线上．物块A和B可视为质点，紧靠在一起，静止于b处．两物体在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动．B运动到d点时速度恰好沿水平方向，A向左运动的最大距离为L=0.5m，A与ab段的动摩擦因数为μ=0.1，m A=3kg，m B=lkg，重力加速度g=l0m/s2，求：（1）两物体突然分离时A的速度的大小v A；（2）两物体突然分离时B的速度的大小v B；（3）B运动到d点时受到的支持力的大小F N．11．（18分）如图所示，两条光滑的金属导轨相距L=lm，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内．在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=0.5T．ab和cd是质量均为m=0.1kg、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，ab置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd受到F=0.6﹣0.25t（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态．不计导轨的电阻．（sin37°=0.6）（1）求流过cd棒的电流强度I cd随时间t变化的函数关系：（2）求ab棒在水平导轨上运动的速度v ab随时间t变化的函数关系；（3）求从t=0时刻起，1.0s内通过ab棒的电荷量q；（4）若t=0时刻起，l.0s内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Q cd．12．（20分）如图所示的直角坐标系中，在直线x=﹣2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向．在电场左边界上A（﹣2l0，﹣l0）到C（﹣2l0，0）区域内的某些位置，分布着电荷量+q．质量为m的粒子．从某时刻起A点到C点间的粒子，依次以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示．不计粒子的重力及它们间的相互作用．（1）求匀强电场的电场强度E：（2）若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离．（3）若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小．物理试题答案一、选择题1．【解答】根据=3知，最多向外辐射3种不同频率的光子．故B正确，A、C、D错误．故选B．2．【解答】根据光电效应方程E km=hv﹣W0=，知最大初动能与光的强度无关，与光的照射时间无关．与光的波长不是成正比关系，与光的频率成线性关系．故C正确，A、B、D错误．故选C．3．【解答】A、由图象可知，波的波长为4m，则T=．故A错误．B、波沿x轴正方向传播，根据“上下坡”法知此时质点P沿y轴负方向运动．故B错误．C、质点不随波迁移，在平衡位置两侧上下振动．故C错误．D、经过△t=4.0s，即两个周期，质点走过的路程等于8倍的振幅，s=5cm×8=40cm．故D正确．故选D．4．【解答】因为地球同步卫星的轨道半径大约为3.6×107m，小于月球的轨道半径．A、线速度，因为月球半径大于同步卫星半径，故A正确；B、角速度ω=，因为月球半径大于同步卫星半径，故ω月＜ω同，故B错误；C、月球的轨道半径大于同步卫星的轨道半径，故C错误；D、a=，因为月球半径大于同步卫星的半径，故a月＜a同，故D错误．故选A．5．【解答】A、小球在最高点的最小速度可以为零，此时重力等于杆子的支持力．故A错误．B、当小球速度为时，重力提供向心力，杆作用力为零，故B正确C、杆子在最高点可以表现为拉力，也可以表现为支持力，当表现为支持力时，速度增大作用力越小，故C错误D、杆子在最高点可以表现为拉力，也可以表现支持力，当表现为拉力时，速度增大作用力越大，故D错误故选B6．【解答】由题意知a、b、c三个粒子在电场中受到相同的电场力，在电场方向产生相同的加速度a，由题中图象得，粒子在电场方向偏转的位移满足：y a=y b＞y c由于在电场方向粒子做初速度为0的匀加速直线运动，有，可得粒子在电场中运动的时间，所以粒子在电场中运动时间有：t a=t b＞t C，由此判断A、B均错误；在垂直电场方向的位移满足x a＜x b＜x c，由于在垂直电场方向上微粒做匀速直线运动，根据t a=t b＞t C可得：v0a＜v0b＜v0c，故C正确；对a和b而言，在电场方向偏转的距离相等，则电场力对a、b做功相同，由于v0a＜v0b＜v0c可知，a打在负极板上时的速度小于b飞离电场时的速度大小，故D错误．故选C．7．【解答】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．速度与水平方向的夹角为θ1，tanθ1==．位移与竖直方向的夹角为θ2，tanθ2=，则tanθ1tanθ2=2．故A正确，B、C、D 错误．故选A．8．【解答】在p点时，两电荷受力均为库仑力分别为因为q1＞q2，所以F1＞F2由牛顿第二定律F=ma，因为m相同，所以a1＞a2，所以AB均错误．由牛顿第二定律F=ma，q1做匀速圆周运动，所以：q2做向心运动，所以：因为F1＞F2，所以所以v1＞v2所以D正确，C错误．故选：D．二、非选择题9．【解答】（1）①如果该同学用秒表记录的时间如图1示，则秒表的示数为99.8s②如果该同学测得的g值偏大，g=A、测摆线长时摆线拉得过紧，导致摆长L偏大，所以g值偏大，故A正确B．开始计时时，秒表按下稍晚，测量时间比实际时间偏小，所以g值偏大，故B正确C．实验中将51次全振动误记为50次，得到的周期计算结果偏大，所以g值偏小，故C错误D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，根据公式T=2π得周期偏大，所以g值偏小，故D错误故选AB．③：设摆球的重心到线与球结点的距离为r，根据单摆周期的公式T=2π得T1=2π①T2=2π②联立两式解得g=故选B（2）围成的方格中，不足半个舍去，多于半个的算一个，共有80个方格，故油膜的面积S=80×1 cm2=80 cm2．纯油酸的体积是：4.0×l0﹣6mL油酸分子的直径：d==5×10﹣8cm（3）A、在“描绘小灯泡的伏安特性曲线”实验中，由于小灯泡的电阻较小，使用电流表的外接法误差较小，电流和电压要从零开始测起，滑动变阻器需采用分压式接法．故A错误B、“测定金属的电阻率”实验中由于待测金属丝的电阻较小，电流表应该采用外接法，故B错误C、“测定电源的电动势和内电阻”实验中为了使电压表示数变化明显，宜选用旧的干电池做待测电源，旧电池内阻较大，故C正确D．“将电流表改装为电压表”实验的校准电路中滑动变阻器需要用分压式接法．故D正确．故选CD．故答案为：（1）①99.8 ②AB ③B （2）①80 ②5×10﹣8 （3）CD10．【解答】解：（1）A向左做匀减速运动，根据牛顿第二定律得：μm A g=m A a0﹣=﹣2aLv A=1m/s（2）A、B分开过程系统动量守恒：m A v A﹣m B v B=0v B=3m/s（3）B由位置b运动到d的过程中，机械能守恒：m B=m B gR+mBB在d处的合力为F，依题意：F=m B g﹣F N=m BF N=7.5N答：（1）两物体突然分离时A的速度的大小是1m/s；（2）两物体突然分离时B的速度的大小是3m/s；（3）B运动到d点时受到的支持力的大小是7.5N．11．【解答】解：（1）cd棒处于平衡状态，沿斜面的方向：又：F cd=BI cd L得：I cd=0.5t（A）（2）ab棒中的电流：I ab=I cd=0.5t（A）则回路中电源的电动势：E=I cd R总ab棒切割磁感线，产生的感应电动势为：E=BLv ab解得：ab棒的速度：v ab=8t所以．ab棒做初速度为0 的匀加速直线运动．（3）由上公式可知，ab棒的加速度：a=8m/s2，1.0s内的位移为：m根据：φ得： c（4）t=1.0s时，ab棒的速度：v ab=8t=8m/s根据动能定理：1.0s内克服安培力做的功：J即，回路中产生的焦耳热：Q=W安=12.8Jcd棒上产生的焦耳热和ab产生的热相等，故：J．答：（1）流过cd棒的电流强度I cd随时间t变化的函数关系I cd=0.5t；（2）ab棒在水平导轨上运动的速度v ab随时间t变化的函数关系v ab=8t；（3）1.0s内通过ab棒的电荷量是0.25c；（4）cd棒上产生的焦耳热是6.4J．12．【解答】解：（1）设从A点射入的粒子由A点到A'点的运动时间为t，根据运动轨迹的对成称性可得：x方向有：2l0=v0t得t=①y方向有：l0=（）2②解得 E=③（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次到达x轴用时△t，水平分位移△x，则△x=v0△t ④△y=（△t）2⑤要粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须满足条件2l0=n•2△x（n=1，2，3…）⑥联立③④⑤⑥解得：△y=l0⑦故粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须是在AC间纵坐标为：y=（﹣1）n l0，（n=1，2，3…）⑧（3）当n=1时，粒子射出的坐标为y1=l0⑨当n=2时，粒子射出的坐标为y2=﹣l0 ⑩当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图所示）．y1、y2之间距离为 L=y1﹣y2=（11）所以，磁场圆O1的最小半径R==（12）若使粒子经磁场后汇集于直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点，分析知此点只能是答图中的Q点，且粒子在磁场中做圆周运动的半径等于磁场区域圆半径．由 qv0B=m（13）联立（12）（13）得：B=（14）答：（1）匀强电场的电场强度E 的大小为；（2）带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离为（﹣1）n l0，（n=1，2，3…）；（3）磁场区域的最小半径为，相应的磁感应强度B 的大小为．11 / 11。
【解析版】北京市石景山区2013届高三一模数学理试题
2013年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．22．（5分）（2013•石景山区一模）若复数（a﹣i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则3．（5分）（2013•石景山区一模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率B因此向量与=4．（5分）（2013•石景山区一模）执行右面的框图，输出的结果s的值为（）﹣S=5．（5分）（2013•石景山区一模）如图，直线AM与圆相切于点M，ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、EC．则下面结论中，错误的结论是（）6．（5分）（2013•石景山区一模）在的二项展开式中，x的系数为（）的二项展开式的通项公式为••7．（5分）（2013•石景山区一模）对于直线l：y=k（x+1）与抛物线C：y2=4x，k=±1是直，消去8．（5分）（2013•石景山区一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•石景山区一模）直线2ρsinθ=1与圆ρ=2cosθ相交弦的长度为．y=±1+故答案为：10．（5分）（2013•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．b=sinB=sin=，又B=A=，C=故答案为：11．（5分）（2013•石景山区一模）在等差数列{a n}中，a1=﹣2013，其前n项和为S n，若=2，则S2013的值等于﹣2013．=2{=An+B}=a{12．（5分）（2013•石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是．=．故答案为：13．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．，=|，||﹣（==+2=故答案为：14．（5分）（2013•石景山区一模）对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3，…，i n）（n是不小于3的正整数），若对任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有i p＞i q，则称i p，i q 是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2．则数组（5，2，4，3，1）的逆序数等于8；若数组（i1，i2，i3，…，i n）的逆序数为n，则数组（i n，i n﹣1，…，i1）的逆序数为．C个数对，）中的逆序数为﹣，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•石景山区一模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．2x+2x+≤，2A+），求得A=，再利用正弦定理ab（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsinsin2x+cos2x=（sin2x+2x+﹣≤+≤，]2A+），＜2A+＜2A+=，解得A=．，A=B=sinC=ab=16．（13分）（2013•石景山区一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．=．．=，，．=17．（14分）（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求直线AB与平面PDC所成角；（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．，则）先求出向量，，，，，设=••，再根据，则•，∴，就是面，），，=，=，（，，，﹣，λ==λ，==•，由•=⊥，∴•=0（18．（13分）（2013•石景山区一模）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．）上，x=）上，上，）的递增区间是，递减区间是…（10分）=，即．19．（14分）（2013•天津模拟）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．知2（Ⅱ）由，，圆心为（﹣，，所以由2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的外接圆圆心为（﹣，…．20．（13分）（2013•石景山区一模）给定有限单调递增数列{x n}（n∈N*，n≥2）且x i≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x i，x j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{x n}具有性质P．（Ⅰ）判断数列{x n}：﹣2，2和数列{y n}：﹣2，﹣1，1，3是否具有性质P，简述理由．（Ⅱ）若数列{x n}具有性质P，求证：①数列{x n}中一定存在两项x i，x j使得x i+x j=0；②若x1=﹣1，x2＞0且x n＞1，则x2=1．（Ⅲ）若数列{x n}只有2013项且具有性质P，x1=﹣1，x3=2，求{x n}的所有项和S2013．==。
2013届北京市石景山区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种B ．63种开始 输出y 输入x否是结束 >2x2=-1y x 2=log y xC ．65种D ．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．38 B ．4 C ．2 D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ． 11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；PA BC O•D正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 3231123++++=n a a a a L ．12． 在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX . 18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数． 19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．ABCDE图1 图2A 1B CDE20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2s i n s i n +c o s =2s i n +s i n 2x x x x x =２ 2s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分 （Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分题号 9 10 11 12 13 14 答案 2；6 6 11222n ；--- 3329①（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -.所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则44sin =cos 555BE θ<⋅>==⋅n ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分 （Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，2221(-0)(0-3)(6--0)A B x x =++22-1245x x =+ …………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33．即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33． …………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分所以1134p -=，14p =. ……………………7分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， A 1BCD Exzy(1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X 分布列为：X 0 1 2 3 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得 x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0af e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=，因为32e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分 （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。
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北京市石景山区2013届高三统一测试
数学（理）试题
本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．
第Ⅰ卷 （选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M N 等于（ ）
A ． [-2，2]
B ．{2}
C ．[2，+∞）
D ． [-2,+∞）
2．若复数（a －i ）2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（ ）
A ． 1
B ．-1
C
D ．3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q 共线的概
率为（ ）
A ．
13 B ．14
C ．16
D ．112 4．执行右面的框图，输出的结果s 的值为（ ）
A ．-3
B ．2
C ．12-
D ．13
5． 如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割
线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。
则下面结论中，错误．．
的结论是( )
A ．∠ECA = 90o
B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA
C ．AM 2 = AD·AE
D ．AD·D
E = AB·BC
6．在（2x 2－1x
）5的二项展开式中，x 的系数为（ ） A ．-10 B ．10
C ．-40
D ．40
7．对于直线l ：y=k (x+1)与抛物线C ：y 2= 4x ，k=±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q
关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．
已知函数f （x ）=221(0)4(0)
og x x x x x >⎧⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对． A ． 0 B ． 1 C ．2
D ． 3 第Ⅱ卷 （非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．直线2p sin θ=1与圆ρ=2 cos θ相交弦的长度
为 。
10．在△ABC 中，若∠B=
4
π，
，则∠C= 。
11．在等差数列{a n }中，a l =-2013，其前n 项和为S n ，若10121210S S -=2，则2013S 的值等于 。
12．某四棱锥的三视图如图所示，
则最长的一条侧棱长度是 。
13．如图，在矩形ABCD 中，
BC =2，点E 为BC 的中点，点F 在
边CD 上，若AB ·AF
AE ·BF 的值是____ ．
14．对于各数互不相等的整数数组(i 1，i 2，i 3，…，i n )（n 是不小于3的正整
数），若对任意的p ，q ∈{1,2，3，…，n}，当p<q 时有i p >i q ，则称i p ，
i q 是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组(2，3，1)的逆序数等于2．则数组(5，2，4，3，1)的逆序数等于 ；若数组（i 1，i 2，i 3，…，i n ）的逆序数为n ，则数组（i n ，i n －l …，i 1）的逆序数为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数f （x ）=sin （2x+6
π）+cos 2x ． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间。
（Ⅱ）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知f （A ）
，a=2，B=3π，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分13分）
PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5
日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率； （Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算
出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天
数，求ξ的分布列及期望．
17．（本小题满分14分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PD ⊥平面ABCD ，
AD =1，BC =4。
（I ）求证：BD ⊥PC ；
（II ）求直线AB 与平面PDC 所成的角；
（Ⅲ）设点E 在棱PC 上，PE PC λ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．
18．（本小题满分13分）
已知函数f （x ）=ax －1－1n x ，a ∈R ．
（I ）讨论函数f （x ）的单调区间：
（II ）若函数f （x ）在x=l 处取得极值，对∀x ∈（0，+∞），f （x ）≥bx －2恒成立，求
实数b 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
设椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =，且AB ⊥AF 2．
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）若过A 、B 、F 2三点的圆与直线l ：x 3-=0相切，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）在（II ）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，
线段MN 的中垂线与x 轴相交于点P （m ，O ），求实数m 的取值范围。
20．（本小题满分13分）
给定有限单调递增数列{x n }（n ∈N *，n≥2）且x i ≠0（1≤ i ≤n ），定义集合A={（x i ，x j ）|1≤i ，
j≤n ，且i ，j ∈N *}．若对任意点A 1∈A ，存在点A 2∈A 使得OA 1⊥OA 2（O 为坐标原点），则称数列{x n }具有性质P 。
（I ）判断数列{x n }：-2，2和数列{y n }：-2，-l ，1，3是否具有性质P ，简述理由。
（II ）若数列{x n }具有性质P ，求证：
①数列{x n }中一定存在两项x i ，x j 使得x i +x j =0：
②若x 1=-1, x n >0且x n >1，则x 2=l 。
（Ⅲ）若数列{x n }只有2013项且具有性质P ，x 1=-1，x 3 =2，求{x n }的所有项和S 2013．。