向量范数的等价性定理
向量范数3-1,3-2,3-3
A
X AX
X x1 , x2 , , xn R n
T
试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。 证明 因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得
P T AP I
从而
A P
X
A
1 2 A
T 1
P P
T T 1 2
1
1 T
1 2
P 1 B T B
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也 成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
x y
2 2
x y , x y ( x, x ) ( x, y ) ( y , x ) ( y , y )
x
2 2
2 x
2y2源自 y2 2定理对 x ( x , x ,, x )T C n C n R 分别定义三个函数 1 2 n
x
x
1
x
i 1
n i 1
n
i
1 2
1－范数，
)
2
( xi
2
2－范数(或Euclid范数)
x
max xi
1 i n
∞－范数(或最大值范数)。
它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
AX
AX H A X H A X
即矩阵范数与向量范数相容
算子范数
定义 设
即由向量范数构造矩阵范数
和
分别是 C m 和 C n
3-1,2,3向量范数
主要内容 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用
第一节 向量范数
主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性
一、向量范数的定义
对于向量空间 C上n 的任意向量 x,
如果函数 Cn R 满足：
对应一个实值函数 x
1）正定性 x 0 且 x 0 x 0
d(x, y) x y
实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，
称为2-范数或欧氏范数。
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
x (x1, x2 , , xn )T C n
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
2）齐次性 x x , C
3）三角不等式 x y x y
则称 x为向量x的范数。
范数的性质： (1) x x
(2) x y x y
性质（1）利用范数的齐次性即可证明。 下面证明（2）。根据三角不等式，有
x xyy xy y
x y xy 对任意的 x , y C，n 可以利用范数定义向量间的距离如下：
n
x 1
xi
i 1
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
1－范数， 2－范数(或Euclid范数)
x
max
1in
xi
它们均构成范数。
∞－范数(或最大值范数)。
说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x 1,2,3T
x 6 1
x 14 2
1-3范数
解：取
1 1 2 1 0 0 A 0 0 , B , AB 0 1 0 0 那么， 0 0 0 则可得出
0 0 0 0 , 0 0
f A f B 1 , f AB 2, f AB f A f B
其中 x k x1 , x2 , , xn
k
,
T
x x1 , x2 ,
, xn 。
T
向量收敛 分量收敛
范数收敛
1.3.3 矩阵范数
矩阵可以看做是一个向量
向量范数的概念直接推广到矩阵上？ 推广应考虑到矩阵的乘法运算
定义1.2
定义在Cm×n上的一个非负实值函数，记为
矩阵范数与向量范数不相容的例子：
取
1 则有 A 1 , 1 1 x x , A , 1 0 0 1
Ax 2 A 1 x
1,
而
故矩阵的 与向量的 不相容。
1
对于酉矩阵 U H U UU H I ，我们可有如下的结论：
x1 x2 x3
4
4
4
,
例：求向量 x 1, 2, 4 的１，2和∞-范数。
T
解：
x 1 1 2 4 7 ;
2 x 2 1 22 42 21
x max 1, 2, 4 4 。
1.3.2 向量范数的等价性
在 C n上可以定义各种向量范数，其数值大小一般不同。 但是在各种向量范数之间存在下述重要的关系
4 4
√4.
2 答： 1.中取 x1 0, x3 2 x2 2.中取 x1 0, x3 x2 5 故，1.和2.不满足非负性条件。
范数及其应用
一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样 本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。
L0范数与L1范数
L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我 们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是 希望W的大部分元素都是0，让参数W是稀疏的 。
c1 x
x
c2 x
并称 和 定理
为 Cn上的等价范数。
（向量序列收敛性定理） 设 xk Cn , 则
k xi xi 0, i 1, 2, , n lim xk x 0 lim k k
lim x k = x
k
其中 x k x1 , x2 , , xn
这说明，W的L1范数是绝对值，|w|在w=0处是不可微的。
L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优 化求解特性而被广泛应用。
稀疏的原因
特征选择
稀疏规则化受欢迎的一个关键原因在于它能实现特征的 自动选择。
可解释性
通过稀疏可以使模型更容易解释。
L2范数
L2范数: ||W||2，在回归里面，有人把有它的 回归叫“岭回归”，有人也叫它“权值衰减”。 它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要 的问题：过拟合。
上面的图是线性回归，从左到右分别是欠拟合，合适的 拟合和过拟合三种情况。
Logistic回归
如果模型复杂（可以拟合任意的复杂函数），它可以让 我们的模型拟合所有的数据点，也就是基本上没有误差。 对于回归来说，就是我们的函数曲线通过了所有的数据 点。对分类来说，就是我们的函数曲线要把所有的数据 点都分类正确。这两种情况很明显过拟合了。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5.H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. nnkk i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A HB)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
1 2 n 0.
为A对T 称A矩阵，设
为 的u相1,应u于2 ,(5.9), un A
的特征向量且
，又设 为任一非零向量，
(ui , u j ) ij
xRn
于是有
n
x ciui , i 1
（5.9）
12
其中 为c组i 合系数，则
n
Ax 2 2 x2
( AT Ax, x) ( x, x)
向量范数
1. 向量范数的定义
函数 （（（123N定）））义正齐三x9定次角（性 性 不向等量x式范，数若）xx满x足0对 ,：yxx于，向其 0量 x中x yRx,nR或 (x或 0,x或 y记 CRCn为n)的；或某 ；个C实n值。非负
称N
(
x)
||
x
||
是R
n
上
或C n
一个向量范数或模。
设
x (x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2 , , yn )T R（n 或 ）C.n
将实数
（或复数 称为向量
n
(x, y) yT x xi yi i 1
( x, y) ）y H x n xi yi i1
的x数, 量y 积.
18
将非负实数
1
x
2
1
(x, x) 2
aij x j
j1
max i
aij
j1
xj
n
t max i
j1
aij .
10
这说明对任何非零 ， x R n 有
Ax
.
x
（5.8）
接下来说明有一向量 ,
x0 0
使
Ax0 .
x0
向量与矩阵范数
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
范数等价判别定理的证明
范数等价判别定理的证明范数等价判别定理是线性代数中重要的定理之一。
它的证明依赖于一些基本概念和定理，但是通过逐步详细论述和举例，我们可以全面理解这个定理的背后原理和重要性。
让我们回顾一下范数的定义和性质。
范数是定义在向量空间上的一种函数，它满足以下三个性质：1. 非负性：对于任意向量x，范数的值大于等于零。
2. 齐次性：对于任意向量x和标量a，范数的值与向量x乘以标量a 的值相等。
3. 三角不等式：对于任意向量x和y，范数的值小于等于向量x和向量y之和的值。
接下来，我们来介绍等价范数的概念。
在同一个向量空间中，如果两个范数定义了相同的“长度”概念，我们就称这两个范数是等价的。
具体地说，设∥·∥1和∥·∥2是向量空间V上的两个范数，如果存在正数a和b使得对于任意向量x∈V，有a∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ b∥x∥1那么我们就称∥·∥1和∥·∥2是等价的。
接下来，我们将证明范数等价判别定理。
这个定理的表述如下：设∥·∥1和∥·∥2是向量空间V上的两个范数，并且V是有限维的，那么当且仅当∥·∥1和∥·∥2诱导出相同的拓扑时，它们是等价的。
证明过程如下。
Step 1: 我们首先假设V上的一个有限维标准基是{e1, e2, ..., en}。
设x是V中的一个向量，它的坐标表示为x = (x1, x2, ..., xn)。
假设∥·∥1和∥·∥2是等价的，我们将证明它们诱导出相同的拓扑。
Step 2: 根据范数的性质，我们知道存在正数k1和k2，使得对于任意i = 1, 2, ..., n，有k1|xi| ≤ ∥x∥1 ≤ k2|xi|Step 3: 我们定义一个新的范数∥·∥3，它满足∥x∥3 = ∥x∥1 + ∥x∥2。
我们来证明∥·∥3也是一个范数。
Step 4: 根据范数的定义，我们知道∥x∥3 ≥ 0，对于任意标量a有∥ax∥3 = ∥ax∥1 + ∥ax∥2 = |a|∥x∥1 + |a|∥x∥2 = |a|∥x∥3，以及对于任意两个向量x和y有∥x+y∥3 = ∥x+y∥1 + ∥x+y∥2 ≤ ∥x∥1+ ∥y∥1 + ∥x∥2 + ∥y∥2 = ∥x∥3 + ∥y∥3。
两个向量组等价的充分条件(一)
两个向量组等价的充分条件(一)两个向量组等价的充分条件1. 引言在线性代数中，向量组是一组由向量组成的集合。
当涉及到两个向量组的等价性时，我们需要找到一些准则来判断它们是否等价。
本文将要讨论的是两个向量组等价的充分条件，即当满足某些条件时，我们可以认为两个向量组是等价的。
2. 向量组的等价性向量组等价是指两个向量组包含的向量能够生成相同的向量空间。
当两个向量组等价时，它们具有相同的维数和秩。
3. 两个向量组等价的充分条件下面我们将介绍两个向量组等价的充分条件：条件一：行向量组的秩相等设有两个向量组A和B，分别由向量a1, a2, …, am和b1,b2, …, bn组成。
如果A和B的行向量组的秩相等，即rank(A) =rank(B)，那么可以说A和B是等价的。
条件二：列向量组的秩相等如果A和B的列向量组的秩相等，即rank([A]) = rank([B])，那么可以认为A和B是等价的。
条件三：A可以由B线性表示，且B可以由A线性表示设A和B是由向量a1, a2, …, am和b1, b2, …, bn组成的向量组。
如果存在两组系数α1, α2, …, αn和β1, β2,…, βm，使得A的每个向量都可以由B的向量线性表示，同时B的每个向量也可以由A的向量线性表示，则可以说A和B是等价的。
4. 结论通过以上分析，我们可以得出两个向量组等价的充分条件有三种情况：行向量组的秩相等、列向量组的秩相等，以及两个向量组可以相互线性表示。
当满足这些条件时，我们可以认为两个向量组是等价的。
在实际应用中，判断两个向量组的等价性对于解决线性方程组、求解矩阵的逆等问题有着重要的意义。
希望通过本文的介绍，读者对两个向量组等价的充分条件有了更深刻的理解。
向量等价的判定条件
向量等价的判定条件1. 向量等价啊，就像两个人拥有相同的本领一样。
如果两个向量的大小和方向都相同，那它们肯定等价。
比如说，我和朋友都朝着正北方向走了10米，我们这就像两个等价的向量，路程和方向都一样，这多直白呀！2. 你知道吗？向量等价还有一种情况呢。
当一个向量可以通过另一个向量乘以一个非零常数得到的时候，它们也是等价的。
这就好比你有10块钱，我有5块钱，虽然数量不同，但我的钱是你的钱乘以0.5呀。
就像向量之间的这种倍数关系一样，它们也是等价的呢，酷吧！3. 向量等价有时候就像双胞胎一样。
如果两个向量在同一个空间里，经过平移之后能完全重合，那就是等价的。
就像两个一模一样的玩具车，在桌子上挪一挪就能完全重叠，这两个向量也是这么个情况，很有趣吧！4. 想象一下向量是箭，要是有两支箭，一支箭的长度是另一支箭的两倍，方向却相同，那这两支箭代表的向量就是等价的哦。
就像一个大蛋糕和半个大蛋糕，虽然大小不一样，但本质上都是那种蛋糕呀。
向量也是这个道理，这难道不神奇吗？5. 向量等价呀，就好像两个人穿一样的衣服，走一样的路。
要是两个向量的方向完全相同，并且其中一个向量的长度是另一个向量长度的倍数，那它们就等价啦。
比如说，一个人走5步的距离，另一个人走10步的距离，但都是朝着正东方向，这就像等价向量一样呢。
6. 哟，向量等价可没那么复杂。
要是两个向量能表示成同一个向量组的线性组合，那它们就是等价的啦。
这就好比一群小伙伴一起拼乐高，有的拿大积木，有的拿小积木，但最后拼出来的东西是一样的。
这两个向量就像这些小伙伴，虽然组合方式可能不同，但结果是等价的，真好玩！7. 嘿，你看向量等价像什么？像不同大小的镜子里的同一个物体的像。
如果两个向量对应的坐标成比例，那它们就是等价的。
就像一个小镜子和一个大镜子里的你，虽然镜子大小不同，但都是你的像呀。
向量也是，这种感觉很奇妙吧？8. 向量等价有点像接力赛中的选手。
如果一个向量可以由另一个向量通过一系列的线性变换得到，那它们就是等价的。
第三章 向量的范数
(2) 当X 0时，有
1
x
X
1 。
(3) 对任意的 X V,有 - X X 。
(4)对任意的X，Y V,有 X Y X Y 。
距离定义
在赋范数向量空间中， 向量X与Y之间的距离 可定义为X - Y的范数，即
d ( X ,Y ) X Y
三、 常用向量范数
记R n X (1, 2 ,, n ) i C
T
① X 10， X 1 17， X 2 11, 4 4 2 n ②X , X1 2 n, n 1 n 1 n e 16 4 n X2 2 4 2n (n 1) n e ③ X 12, X 1 19, X 2 13, ④ X 17, X 1 2 3 17, X 2 32
(2) kX d 1 kX a 2 kX b k (1 X a 2 X b ) k X d
(3) X Y d 1 X Y a 2 X Y b 1 X a 1 Y a 2 X b 2 Y b 1 X d 2 Y d
b
maxX
a
a
Y a, X
b
Yb
b
max X a , X
maxY
,Y
b
X
a
X
②证明： (1) 当X 0时， X a 0, X b 0, X d 0,
当X 0时， X a 0, X b 0,又1，2 0, 1 X 2 X b 0 X d 0
（1
2
2
2
2
2
n
2
第3章 线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
2
( A).
且 如果 B 1 则 I B为非奇异矩阵， ，
( I B)
1
1 , 1 B
其中‖· ‖是指矩阵的算子范数. 证明 用反证法. 若 det( I B) 0, 则 ( I B) x 0
Bx 0 x0 1,
即存在 x0 0 使 Bx0 x0 , 有非零解， 故
T 证明：记x x1 xn , || x || max | x i || x j | ， 1 i n
n
于是有
(1)
| x i | 2 || x ||2 || x || || x ||2 ， (a) || x || | x j | 2
2 2
n
i 1 i 1
i 1
i 1
1
2
注： R 上一切范数都等价（证 明见后）。
向量范数概念可以推广到矩阵.
2 视 nn 中的矩阵为 n 2 中的向量，则由 n上的2范数 R R R
可以得到 nn 中矩阵的一种范数 R
F ( A) A
F
n ai2 j , i , j 1
i 1
x x1 n x2 即 x2 2 x 1 n x 2； n (3) ( a ) x x j x i x 1， n i 1 n (b ) x 1 x i x j n x j n x ，
x nx 即 x x x n x 。 1 1
,
1 2
称为 A 的Frobenius范数.
A
F
显然满足正定性、齐次性及三角不等式.
n 如果矩阵 A R n的某个非负的
范数等价性
范数等价性范数是在数学中用于描述向量和矩阵的一种规模度量，它可以用来衡量不同矩阵之间的距离和差异。
因此，范数等价性是指两个矩阵具有相同的范数。
它是用来衡量两个数字之间的大小的度量，可以说它是范数之间的一种比较。
范数等价的具体定义是：如果存在常数C1和C2使得对于任意x，有C1||x||1<=||x||2<=C2||x||1，则称矩阵A和B之间存在范数等价关系。
范数等价性既可以用于数学理论分析，也可以用于实际应用。
从实际应用的角度来说，范数等价性可以用来比较不同矩阵之间的差异，从而更有效地评估相关参数。
比如，我们想知道一个车辆在不同路况下的行驶动态。
如果我们使用范数等价性来比较它们之间的差异，我们可以得到更准确的结果。
从理论分析的角度来看，范数等价性是一个相当重要的概念，因为它具有代数学、几何学以及拓扑学之间的广泛关系。
在几何学和拓扑学中，范数等价关系被称为同调等价关系，它用于描述数学结构中的相似性。
比如，一个几何拓扑空间可以用它的范数等价结果来描述，以便深入了解这个空间的结构。
噪声极大化（NML）是范数等价性的一个重要应用，它可以用来有效衡量复杂系统的噪声敏感性，从而更好地了解这个系统的结构，发现它的不稳定因素和复杂行为。
NML是一种最大化系统噪声的方法，它可以将系统中的噪声从一个可控制的水平最大化。
通过它，我们可以更加清晰地了解系统的脆弱性差异，从而更好地把握系统的效果，及时采取相应的控制策略。
因此，范数等价性的应用也是不可或缺的。
它既可以用来比较两个矩阵之间的差异，也可以用来理解各种复杂系统的结构。
未来，它在数学理论和应用领域都将有更多的探索和发展。
范数等价判别定理的证明
范数等价判别定理的证明范数等价判别定理是泛函分析中的一个重要结果，它表明在有限维赋范空间中的所有范数是等价的。
以下给出范数等价判别定理的证明。
首先，设$X$是一个有限维赋范空间，记$n = \dim(X)$。
证明思路：我们需要证明任意两个范数$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价，即存在常数$c_1>0$和$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$c_1\|x\|_a \leq \|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$。
首先证明$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价的充分性，即存在$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$\|x\|_b \leqc_2\|x\|_a$。
由于$X$是有限维空间，我们可以选取$X$的一组基$\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$。
对于任意的向量$x\in X$，我们可以将其表示为$x = \sum_{i=1}^n x_ie_i$。
其中$x_i$是标量。
我们要证明存在常数$c_2>0$使得$\|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$成立。
由范数的定义可知，$\|x\|_a = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}}$，$\|x\|_b = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。
考虑$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$之间的大小关系：若$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，则对于任意的$i=1,2,\ldots,n$，有$|x_i|^a \geq |x_i|^b$，进而$\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}} \geq \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。
关于向量与矩阵范数笔记
}1/p
( ∑n
)1/p
( ∑n
)1/p
|xi + yi|p
≤
|xi|p
+
|yi|p ,
i=1
i=1
i=1
其中实数 p ≥ 1.
(1.10) (1.11)
下述定理指出, 可以利用已知的向量范数去构造新范数.
定理 1.3. 设 ∥ · ∥β 是 Cm 上的向量范数, A ∈ Cm×n 且 rank(A) = n, 则由
成为度量空间.
在 n 维向量空间 Cn 中, 对任意向量 x = (x1, . . . , xn)T ∈ Cn, 定义
1 范数
2 范数 ∞ 范数 p 范数
∑n ∥x∥1 = |xi|
(i=1 ∑n
)1/2
∥x∥2 =
|xi|2
i=1
∥x∥∞ = max |xi|
1≤i≤n
( ∑n
)1/p
∥x∥p =
如果把cn上的向量范数pp12限制到cm上恰好是cm上的向量范数p由定理25可以得到cmn上的算子范数p?acmnapmaxxp1axpp1229并且由定理26知这些算子范数都是相容的即abpapbp?acmn?bcnkp12
关于向量与矩阵范数笔记
摘要 向量与矩阵的范数定义方式很多, 各种范数之间关系比较复杂, 稍作 整理, 以备查询.
定理 1.6. 有限维线性空间 V 上的任意两个向量范数都是等价的.
定义 1.3. 设 {x(k)} 是 Cn 中的向量序列, 其中 x(k) = (x(1k), x(2k), . . . , x(nk))T . 如果当 k → ∞ 时 x(k) 的每一个分量 x(ik) 都有极限 xi(i = 1, 2, . . . , n), 则称向量序列 {x(k)} 是收敛 的, 并且向量 x = (x1, x2, . . . , xn)T 称为 {x(k)} 的极限, 记为
第八讲向量范数及其性质
二、 线性空间Vn上向量范数的等价性
Th2 、 C n 中 的 向 量 序 列 ) x( k ) (1 k , 2(k , ) , nk () ，) k 1, 2, ( 收敛到向 量 x (1 , 2 , n ) 的充要条件是对任一种范 数 ，序列 { x
(k )
x } 收敛于零。
x
S
Sx , x C
n
n C 是 的向量范数。
二、 线性空间Vn上向量范数的等价性
Th1、 设 x 和 x 为有限线性空间 V 的 任意两种向量范数（它们不限于 p 范数） ，则 存在两个与向量 x 无关的正常数 c1 和 c2 ，使下 面不等式成立 c1 x x c2 x , x V 。
一、 向量范数的概念及lp范数
5、一般线性空间上的向量范数
例 5、设 A 是任意一个 n 阶对称正定矩阵， 列向量 x R ，则函数 x
n
A
( x Ax ) 是一种
T
1 2
向量范数，称为加权范数或椭圆范数。
一、 向量范数的概念及lp范数
例 6、在线性空间 C [a , b] 上，由 l p 范数类 推，可定义
为 l1 , l2 , l 范
一、 向量范数的概念及lp范数
例 3、设 x (2i ,0,1 4i, 12) ， i 1 ， 求 x ， x 1， x 2， x p。
2
解： x max{ 2i , 0 , 1 4i , 12 } 12
x 1 2i 0 1 4i 12 2 17 12 14 17
n i 1
2) 1-范数： x 1 i ；
3) 2-范数： x 2 ( x , x )
3-1,2,3向量范数
n
A
max 1 i m
j 1
aij
5
1
A
F
i, j
a ij
2 2
23
因为
5 0 0
AH A 0 9 6
0 6 9
1
A 2 max( AH A) 2 15
d(x, y) x y
实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，
称为2-范数或欧氏范数。
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
x (x1, x2 , , xn )T C n
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
第二章 范数理论
主要内容 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用
第一节 向量范数
主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性
一、向量范数的定义
对于向量空间 C上n 的任意向量 x,
如果函数 Cn R 满足：
对应一个实值函数 x
1）正定性 x 0 且 x 0 x 0
证明
x
max
1in
xi
范数定义中的条件(i)显然成立， 现验证条件(ii)和(iii)也成立
x
max
1in
xi
max
1in
xi
x
x
y
max 1in
xi
yi
max 1in