5.1二次函数1
苏科版九年级下5.1二次函数的图象和性质(第1课时)课件
当堂检测
1.函数 y= （m 为常数）． （ m-2） x 2 + mx - 3
（1）当 m ______ ≠ 2 时，这个函数为二次函数； （2）当 m ______ = 2 时，这个函数为一次函数．
2.填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是S _________ = 4πr 2 ； （2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、 12月的月平均增长率为 x , 那么该厂12月份化肥产量 y (t）与 x 之间的函数关系式为_____________.
四、典例赏析
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）． （1）如果用 18 m 的建筑材料来修建绿地的边缘 （即周长），求 S 与 x 的函数关系，并求出 x 的取值范 围． （2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各 为多少 m ？ xm
3.下列函数中,哪些是二次函数？
（1）y ax (a 0)
2
（ 3） s
3 2t
2
1 （ 2） y x x
（ 4） y r
2
（5） y ax2 bx c
（ 6） y x 3 x 2 1
1 2 y ( x 2) 3 4.函数 2
中的二次项系数、一次项系数、常数项分 别是多少？
九年级
下册
5.1 二次函数的图象和性质 （第1课时）
一、生活中的二次函数
1.观察图片中喷泉喷出的水注，能否用函数关系式来表 示？
2.正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之 间有什么关系？
5.1《二次函数》教学设计
定义教学二
生活中有许多二次函数的实例，你还能举出一些例子吗？
学生归纳总结二次函数的概念．
学生举例说明生活中二次函数的实例．
通过观察、思考、交流等活动，让学生归纳二次函数的定义，明确二次函数自变量的取值范围．
二次程（教师）
学生活动
设计思路
回顾复习
回顾我们学习过的函数有哪几种？你能分别写出它们的表达形式吗？
回顾已学知识，尝试写出一次函数（正比例函数）、反比例函数表达形式．
回顾已学的函数知识，为二次函数的出现做准备．
情境创设
水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的周长C、面积S分别与半径r之间有怎样的函数关系？这两个函数关系式有何差异？
当x＝－8时，y＝－2×（－8）2＝－128．
通过对例题的解析，加强学生对本节内容的理解．
总结
1．二次函数的定义；
2．二次函数的一般形式；
3．会化一般形式，确定a、b、c．
培养学生反思的习惯．
课后作业
课本P8习题5.1第1、2、3题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.1二次函数
教学目标
1．经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；
2．通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义；
3．通过实例分析，进一步感受函数的三要素和自变量取值范围的确定．
教学重点
分别写出C、S关于r的函数关系式，观察比较两个函数关系式之间的差异．
由学生熟悉的情景入手，用问题激发学生探究欲望，很自然地引入二次函数．
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
《二次函数》课件
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数知识梳理
二次函数知识梳理二次函数是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和物理学等领域。
它的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
本文将从二次函数的定义、性质、图像、应用等方面进行梳理，帮助读者更好地理解和掌握二次函数知识。
一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的二次方作为最高次幂的函数。
一般表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a。
c为常数，决定了二次函数的纵向平移。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点是使函数值等于零的x值。
零点可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0得到。
若Δ=b²-4ac>0，则有两个不同的实数根；若Δ=0，则有两个相等的实数根；若Δ<0，则无实数根。
2. 极值点：二次函数的极值点是函数曲线的最高点（最大值）或最低点（最小值）。
对于开口向上的二次函数，极值点为最小值点；对于开口向下的二次函数，极值点为最大值点。
极值点的纵坐标为c-Δ/4a，横坐标为-b/2a。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称轴，对称轴方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
4. 单调性：对于开口向上的二次函数，当a>0时，函数单调递增；对于开口向下的二次函数，当a<0时，函数单调递减。
5. 函数图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向和形状由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由a、b、c确定。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点在对称轴上方；当a<0时，抛物线开口向下，最高点在对称轴下方。
对称轴是抛物线的对称轴，抛物线关于对称轴对称。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。
一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。
- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。
二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。
- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。
3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。
- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。
2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。
- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。
四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。
2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。
3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。
4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
九年级数学下册第5章二次函数5.1二次函数作业设计（新版）苏科版
九年级数学下册第5章⼆次函数5.1⼆次函数作业设计（新版）苏科版九年级数学下册第5章⼆次函数5.1⼆次函数作业设计（新版）苏科版5.1 ⼆次函数⼀、选择题1．在下列y 关于x 的函数中，⼀定是⼆次函数的是链接听课例1归纳总结( ) A ．y ＝2x 2B ．y ＝2x －2C ．y ＝ax 2D ．y ＝a x22．下列函数中是⼆次函数的有( )①y ＝x ＋1x ；②y ＝3(x －1)2＋2；③y ＝(x ＋3)2－2x 2；④y ＝1x2＋x .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知⼆次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－34．下列函数关系中，是⼆次函数的是链接听课例2归纳总结( ) A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系 B ．当距离⼀定时，⽕车⾏驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三⾓形的周长C 与边长a 之间的关系D ．圆⼼⾓为120°的扇形的⾯积S 与半径R 之间的关系5．共享单车为市民出⾏带来了⽅便，某单车公司第⼀个⽉投放a 辆单车，计划第三个⽉投放y 辆单车．设该公司第⼆、三两个⽉投放单车数量的⽉平均增长率为x ，那么y 与x 之间的函数表达式是( )A ．y ＝a (1＋x )2B ．y ＝a (1－x )2C ．y ＝(1－x )2＋a D ．y ＝x 2＋a ⼆、填空题6．⼆次函数y ＝12(x －2)2－3中，⼆次项系数为__________，⼀次项系数为__________，常数项为________．7．已知关于x 的函数y ＝(a 2－4)x 2＋2x 是⼆次函数，则a ________.8．设矩形窗户的周长为6 m ，则窗户⾯积S (m 2)与窗户的⼀边长x (m)之间的函数表达式是____________，⾃变量x 的取值范围是________.链接听课例3归纳总结9．某商场将进价为40元/套的某种服装按50元/套售出时，每天可以售出300套．市场调查发现，这种服装每提⾼1元售价，每天销量就减少5套．如果商场将每套售价定为x(x＞50)元，每天的销售利润为y元，那么y与x之间的函数表达式为10．如图，正⽅形EFGH的顶点在边长为2的正⽅形ABCD的边上．若设AE＝x，正⽅形EFGH 的⾯积为y，则y与x之间的函数表达式为________________．三、解答题11．已知关于x的函数y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋2.(1)当函数是⼆次函数时，求m的值；(2)当函数是⼀次函数时，求m的值．12．如图，⽤⼀段长为30⽶的篱笆围⼀个⼀边靠墙(墙的长度为20⽶)的矩形鸡场．设BC 边的长为x⽶，鸡场的⾯积为y平⽅⽶．(1)写出y与x之间的函数表达式(不要求写出⾃变量的取值范围)；(2)此函数是⼆次函数吗？如果是，指出此函数的⼆次项系数、⼀次项系数和常数项．13．如图，在长为200 m、宽为80 m的矩形区域内修建等宽的三条路(图中阴影部分)．试写出路⾯⾯积y(m2)与路的宽度x(m)之间的函数表达式．(不要求写出⾃变量的取值范围)链接听课例2归纳总结14．某店销售⼀种⼩⼯艺品，该⼯艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件⼯艺品的售价提⾼1元，每周就会少售出2件．设每件⼯艺品的售价提⾼x元，每周从销售这种⼯艺品中获得的利润为y元．(1)填空：每件⼯艺品售价提⾼x元后的利润为________元，每周可售出⼯艺品________件，y关于x的函数表达式为____________；(2)若y＝384，则每件⼯艺品的售价应定为多少元？15．某⼯⼚前年的⽣产总值为10万元，去年相对前年的年增长率为x，预计今年相对去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y 万元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)当x＝20%时，今年的总产值为多少？(3)在(2)的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？参考答案⼀、1．A2．[解析] B ①y ＝x ＋1x 不是⼆次函数，因为1x是分式；②y ＝3(x －1)2＋2变形后为y ＝3x2－6x ＋5，是⼆次函数；③y ＝(x ＋3)2－2x 2变形后为y ＝－x 2＋6x ＋9，是⼆次函数；④y ＝1x 2＋x 中1x2是分式，不是⼆次函数．3．[解析] A 把x ＝3代⼊⼆次函数y ＝3(x －2)2＋1，得y ＝3×(3－2)2＋1＝4.故选A. 4．[解析] D A 项，y ＝mx ＋b ，当m ≠0(m 是常数)时，是⼀次函数，错误；B 项，t ＝sv，当s ≠0时，是反⽐例函数，错误；C 项，C ＝3a ，是正⽐例函数，错误；D 项，S ＝13πR 2，是⼆次函数，正确．5．[解析] A 增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)．若该公司第⼆、三两个⽉投放单车数量的⽉平均增长率为x ，则第⼆个⽉投放单车a (1＋x )辆，第三个⽉投放单车a (1＋x )2辆，故y 与x 之间的函数表达式是y ＝a (1＋x )2.故选A.⼆、6． 12 －2 －1[解析] 把函数表达式化为⼀般形式，再写出各项的系数和常数项．∵y＝12(x －2)2－3＝12x 2－2x －1，∴⼆次项系数为12，⼀次项系数为－2，常数项为－1. 7． ≠±2 [解析] 根据⼆次函数的定义，知a 2－4≠0，解得a ≠±2.8． S ＝－x 2＋3x 0＜x ＜3 [解析] S ＝x (3－x )＝－x 2＋3x ，⾃变量x 的取值范围是0＜x ＜3.9． y ＝－5x 2＋750x －22000 [解析] y ＝(x －40)[300－5(x －50)]＝－5x 2＋750x －22000. 10． y ＝2x 2－4x ＋4 [解析] 如图所⽰：∵四边形ABCD 是边长为2的正⽅形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝2，∴∠1＋∠2＝90°. ∵四边形EFGH 为正⽅形，∴∠HEF ＝90°，EH ＝FE ，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∴△AHE ≌△BEF (AAS)，∴AE ＝BF ＝x ，AH ＝BE ＝2－x . 在Rt△AHE 中，由勾股定理，得EH 2＝AE 2＋AH 2＝x 2＋(2－x )2＝2x 2－4x ＋4，即y ＝2x 2－4x ＋4. 三、11．解：(1)由m ＋3≠0，m 2＋m －4＝2，得m ＝2.∴当m ＝2时，y 是x 的⼆次函数．(2)由?m ＋3＝0，m ＋2≠0，得m ＝－3；由m 2＋m －4＝1，m ＋3＋m ＋2≠0，得m ＝－1±212；由?m 2＋m －4＝0，m ＋2≠0，得m ＝－1±172.综上所述当，m ＝－3或m ＝－1±212或m ＝－1±172时，y 是x 的⼀次函数． 12．解：(1)∵BC 边的长为x ⽶，且鸡场ABCD 是矩形鸡场，∴AB ＝12(30－x )⽶，鸡场的⾯积＝AB ·BC ＝12(30－x )·x ，∴y ＝－12x 2＋15x .(2)此函数是⼆次函数，⼆次项系数是－12，⼀次项系数是15，常数项是0.13．[解析] 应⽤等⾯积变换可将三条路均平移靠边，则路的⾯积就等于⼤矩形的⾯积减去空⽩矩形的⾯积．解：由题意，得y＝200×80－(200－2x)(80－x)，整理，得y＝－2x2＋360x.14．[解析] (1)根据售价每提⾼1元其销售量就减少2件可得售价提⾼x元，则销售量减少2x，根据利润＝(售价－进价)×销量列出代数式即可．(2)根据(1)中所求得出，y＝384时，代⼊y与x关系式，列出⽅程求解即可．解：(1)∵该⼯艺品每件进价为12元，售价为20元，∴每件⼯艺品售价提⾼x元后的利润为(20－12＋x)＝(8＋x)元．∵把每件⼯艺品的售价提⾼1元，每周就会少售出2件，∴每周可售出⼯艺品(40－2x)件，∴y关于x的函数表达式为y＝(40－2x)(8＋x)＝－2x2＋24x＋320.(2)∵y＝384，∴384＝－2x2＋24x＋320，整理，得x2－12x＋32＝0，(x－4)(x－8)＝0，解得x1＝4，x2＝8.4＋20＝24，8＋20＝28，答：每件⼯艺品的售价应定为24元或28元．15．解：(1)前年的⽣产总值为10万元，去年的⽣产总值为10(1＋x)万元，今年的⽣产总值为10(1＋x)2万元，∴y＝10(1＋x)2＝10x2＋20x＋10.(2)当x＝20%时，y＝10×1.22＝14.4.即今年的总产值为14.4万元．(3)三年的总产值为10＋10×1.2＋14.4＝10＋12＋14.4＝36.4(万元)．[素养提升]解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x m，∴AB＝(18－3x)m，∴V(m3)与x(m)之间的函数表达式为V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x.x的取值范围为0(2)根据题意，得1.5x(18－3x)＝36，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4.。
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.1 二次函数》教案_17
5.1二次函数学习目标：1．使学生理解二次函数的概念．2．使学生能够根据实际问题列出二次函数关系式，了解如何确定自变量的取值范围．教学过程：一、知识回顾1．正方形的边长是x ，周长为y ，求y 与x 之间的函数表达式 ．这是 函数。
2．已知长方形的长为x ，宽为y 。
若面积为 20,求y 与x 的函数表达式 ．这是 ___________函数。
3.函数的定义：4.一次函数的关系式是y = （ ）；它的图像是 .5．反比例函数的关系式是y = （ ）．它的图像是 .二、情景引入1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展．扩展的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 ．2．用长16m 的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,求生物园面积y （m 2）与长（m ）之间的函数关系式. 那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = ．3．一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框（边框宽不计） 。
已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元.设镜面宽为x 米，求总费用y 与镜面宽x 之间的函数关系式.（1）镜面的费用 ；（2）边框的费用为 ；（3）其他费用为 ；（4）总费用y 为 .三、探究归纳：1．上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？2．一般地，我们把形如：y = （ ）的函数称为二次函数．其中 是自变量， 是因变量，这是 关于 函数．注意：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式.（2）a,b,c 为常数，且0 a .（3）等式的右边最高次数为2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.(4)通常，二次函数自变量x 可以取任意实数.但在实际问题中，他们的取值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ ① ② ③四、典型评析例1．判断下列函数是否为二次函数．如果是，写出其中a 、b 、c 的值．墙x x ①123212+-=x x y （ ） ②)5(-=x x y （ ） ③231x y -=（ ） ④23)2(3x x x y +-=（ ） ⑤12312++=x x y （ ） ⑥652++=x x y （ ） ⑦1224-+=x x y （ ） ⑧c bx ax y ++=2（ ） ⑨（ ） 例2．已知函数()()12222-++-=-x m x m y m是二次函数，求m 的值． 若是一次函数呢？例3． 写出下列问题中y 与x 之间的函数表达式,并写出自变量的取值范围：（1）如图，在长200m 、宽140m 的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为x(m),绿地面积为y （m 2）（2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t ，设该厂11月、12月的月平均增长率为x ，12月份化肥的产量为y （t ）.(3)如图，用长50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x （m ）,面积为y （m 2）.五、课堂练习（1）如果函数11++=+kx x y k 是二次函数,则k 的值一定是______ .（2）如果函数 1232++=+-kx x y k k 是二次函数,则k 的值一定是______ . （3）如果函数()13232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值一定是______ .（4）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体的棱长a(cm)之间的函数表达式。
二次函数所有知识点
二次函数所有知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，在数学学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就一起详细地了解一下二次函数的各种知识点。
一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要特别注意的是，二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么函数就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／（2a）。
顶点坐标为（b ／（2a），（4ac b²）／（4a））。
通过观察抛物线的对称轴和顶点坐标，可以了解抛物线的基本特征和变化趋势。
三、二次函数的性质1、单调性当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ b ／（2a）），函数单调递减；在对称轴右侧（即 x ＞ b ／（2a）），函数单调递增。
当 a ＜ 0 时，情况则相反，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。
2、最值当 a ＞ 0 时，函数有最小值，且在顶点处取得，最小值为（4ac b²）／（4a）。
当 a ＜ 0 时，函数有最大值，同样在顶点处取得，最大值为（4acb²）／（4a）。
四、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）这是最常见的形式，通过给定 a、b、c 的值，可以确定函数的图像和性质。
2、顶点式：y ＝ a（x h）²＋ k（a ≠ 0）其中（h，k）是抛物线的顶点坐标。
这种形式可以直接看出顶点的位置。
3、交点式（两根式）：y ＝ a（x x₁）（x x₂）（a ≠ 0）其中 x₁和 x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
五、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图像与 x 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的根。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。
本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。
开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。
顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。
三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。
对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。
3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。
判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读二次函数是数学中的一种重要函数类型，它在图形学、物理学、经济学等多个学科中广泛应用。
本文将从定义、性质、图像、最值、应用等几个方面对二次函数进行解读。
一、定义二次函数是一种形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
函数中的x的最高次数为2，因此称为"二次"函数。
a决定了函数的开口方向和形状，b决定了函数在x轴上的平移，c决定了函数图像在y轴上的平移。
二、性质1.对称性：二次函数的图像关于与顶点的纵轴对称。
2.单调性：当a>0时，二次函数向上开口，凹上凸下；当a<0时，二次函数向下开口，凹下凸上。
3. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即满足ax^2 + bx+ c = 0的解。
4.最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
三、图像二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。
根据函数的a值的正负关系，可以得到不同形状的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。
函数的b值影响了抛物线在x轴方向上的平移，c值影响了抛物线在y轴方向上的平移。
四、最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c，根据函数的开口方向和抛物线的顶点位置，可以知道函数的极值。
当a > 0时，函数是最小值，即抛物线的顶点是函数的最低点；当a < 0时，函数是最大值，即抛物线的顶点是函数的最高点。
五、应用1.物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、抛体运动等。
2.经济学中，二次函数可以用于描述成本、利润等与产量的关系。
3.图形学中，二次函数可以用于生成平滑的曲线和曲面。
六、解题技巧1.求二次函数的顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=c-b^2/4a来求得。
2. 求二次函数的零点：二次函数的零点可以通过求解ax^2 + bx +c = 0的解来得到，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。
苏科版数学九年级下册《5.1 二次函数》教学设计2
苏科版数学九年级下册《5.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析苏科版数学九年级下册《5.1 二次函数》是学生在学习了函数、方程等知识后的进一步拓展。
本节课主要介绍二次函数的定义、性质以及图像。
教材通过具体的例子引导学生理解二次函数的概念，并通过大量的练习让学生熟练掌握二次函数的性质和图像。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但二次函数相对于一次函数和反比例函数来说，较为复杂，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二次函数的本质，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义和性质。
2.能够绘制二次函数的图像。
3.能够运用二次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图像的绘制。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解二次函数的性质，通过小组合作让学生互相讨论和学习。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的概念，例如：抛物线的顶点问题。
让学生思考什么是二次函数，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的定义和性质，引导学生理解二次函数的本质。
通过具体的例子让学生了解二次函数的图像特点。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题来巩固对二次函数的理解。
教师可以设置一些填空题、选择题和解答题，让学生在练习中掌握二次函数的性质。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生互相讨论如何绘制二次函数的图像。
教师可以设置一些小组任务，让学生在合作中加深对二次函数图像的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用二次函数解决实际问题，例如：抛物线与直线的交点问题。
教师可以设置一些应用题，让学生在解答中运用二次函数的知识。
6.小结（5分钟）教师引导学生对本次课程的内容进行总结，巩固所学知识。
江苏输容市九年级数学下册第5章二次函数5.1二次函数学案新版苏科版【word版】.doc
5.1 二次函数【学习目标】基本目标：1、理解二次函数的定义.2、能够根据实际问题列出二次函数关系式，了解如何确定自变量的取值范围.提升目标：确定较为复杂问题的二次函数关系式【重点难点】重点: 二次函数的定义.难点: 根据实际问题列出二次函数关系式.【预习导航】1、我们学过的函数有函数和函数.2、一次函数的关系式是y= （）；特别，当时，一次函数就是正比例函数y= .3、反比例函数的关系式是y= ( ).【新知导学】1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。
2．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是。
总结归纳：1.上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？2.一般地，我们把形如：y = ( )的函数称为二次函数. 其中 是自变量， 是因变量，这是 关于 函数.3.一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 .但在实际问题中，他们的取值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？① ② ③设计意图:引导学生尽力探索实际问题中两个变量之间的数量关系，写出函数表达式，感受将实际问题数学化的基本方法。
【典型例题】例1．判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中a 、b 、c 的值.① 231x y -=( ) ②)5(-=x x y ( ) ③12321+-=x x y ( ) ④23)2(3x x x y +-=( ) ⑤ 21xy = ( ) ⑥652++=x x y ( ) ⑦1224-+=x x y ( ) ⑧c bx ax y ++=2( )例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？变式1：4(2)3a y a x x +=++是二次函数,则a 的值为_________________.变式2:2y=(m+1) -4x+1x m m -是二次函数,则m 的值为_________________.例3. 已知二次函数2y ax =，当3x =时，5y =-。
二次函数知识点归纳图像
二次函数知识点归纳图像引言二次函数是高中数学中的重要知识点，在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将通过图像的方式来归纳和总结二次函数的相关知识点，帮助读者更好地理解和记忆这一内容。
1. 二次函数的概念二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。
2. 抛物线的开口方向二次函数抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是图像的对称轴上的点。
顶点的横坐标由公式 x = -b/(2a) 计算，纵坐标由将横坐标代入函数中得到。
4. 抛物线的对称轴对称轴是指通过抛物线顶点且垂直于 x 轴的一条直线。
对称轴的方程可以通过将公式 x = -b/(2a) 代入得到。
5. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。
焦点是指到抛物线上任意一点的距离与到准线上同一点的距离相等的点，焦点的横坐标由公式 x = -b/(2a) 计算，纵坐标通过将横坐标代入函数得到。
准线是一条与 x 轴平行且与焦点关于抛物线对称的直线，准线的纵坐标由公式 y = c - (b^2 - 1)/(4a) 计算。
6. 抛物线与坐标轴的交点抛物线与 x 轴的交点称为零点或根，抛物线与 y 轴的交点称为截距。
零点的横坐标可以通过解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 得到，截距可以直接从常数项 c 得到。
7. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即抛物线关于顶点和对称轴对称。
这意味着对于两个关于对称轴对称的点 P 和P’，它们关于顶点的函数值相等，即f(P) = f(P’)。
8. 抛物线的平移和缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放的方式进行变换。
平移是指将抛物线沿 x 轴或 y 轴的正负方向移动，缩放是指通过改变 a、b 和 c 的值来改变抛物线的形状和大小。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1.二次函数的概念：一般地，形如 y = ax^2 + bx + c（a，b，c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0，而 b，c 可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2.二次函数 y = ax^2 + bx + c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2.⑵ a，b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二次函数基本形式：1.二次函数基本形式：y = ax^2 的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。
0 （0.0） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而增大；x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值。
向下 a < 0 （0.0） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值。
2.y = ax^2 + c 的性质：结论：上加下减。
总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。
0 （0.c） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而增大；x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值 c。
向下 a < 0 （0.c） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值 c。
3.y = a(x - h)^2 的性质：结论：左加右减。
总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。
0 (h。
0) x = hx。
h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随 x 的增大而减小；x = h 时，y 有最小值。
向下 a < 0 (h。
0) x = hx。
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5.1二次函数的定义及二次函数2x y =和2x y -=图像与性质
知识点一:二次函数的定义
一般地，形如c bx ax y ++=2
(a 、b 、c 是常数，0≠a )的函数叫做x 的二次函数。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
解题要点：判断一个函数为二次函数的方法与步骤：
（1）先将函数进行整理，使其右边是含自变量x 的代数式，左边是因变量y ； （2）判别右边含自变量的代数式是否为整式； （3）判别含自变量的项的最高次数是否为2； （4）判别二次项的系数是否为0。
【例1】下列函数中，y 是x 的二次函数的是 。
①121-=
x y ；
②()1552
-+-=x x x y ； ③x
y 4=； ④24x x y -=； ⑤2x y =； ⑥012=-+y x ； ⑦212x y ++=； ⑧0232
=-+y x 。
【例2】若()
m
m x m m y -+=2
2是二次函数，求m 的值。
知识点二: 二次函数2ax y =图象的性质
函数
2x y = 2x y -=
图像
开口方向 向上
对称轴方程
0=x （或y 轴）
顶点坐标
()0,0
增减性
当0<x 时，y 随着x 的增大而减小；
当0>x 时，y 随着x 的增大而增大。
自变量x 的取值范围 任意实数
函数值y 的取值范围 0≥y
最值 当0=x 时，0=最小值y
请你解答下列问题：
1、对于函数2
x y =，下列结论正确的是（ ）
A 、当x 取任何实数时，y 的值总是正的
B 、x 的值增大，y 的值也随着增大
C 、x 的值增大，y 的值随着减小
D 、图象关于y 轴对称 2、拋物线2
x y -=，不具有的性质是
A 、开口向下
B 、对称轴是y 轴
C 、与y 轴不相交
D 、最高点是原点 3、对于函数2x y -=，下列判断中正确的是( )，
A 、若a 、b 互为相反数，则a x =与b x =对应的函数值相等
B 、对于同一个自变量x ，有两个函数值与其对应
C 、对于任意实数x ，都有0<y
D 、对于同一函数值y ，都有两个x 值与其对应
4、二次函数1
2
-=m mx y 有最低点，则=m 。
5、已知m
m mx y +=2
，当m 时，它的图像是开口向下的抛物线，当x 时，y 随着x 增大而
增大。
6、函数x y =与2
x y =的图像（ ）
A 、有1个交点
B 、有2个交点
C 、有3个交点
D 、没有交点
7、已知函数1
2+=m mx y 是 关于x 的二次函数。
（1）求满足条件的m 的值； （2）当x 为何值时，函数有最大值，最大值是多少？这种情况下，当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小？ （3）当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少 ？这种情况下，当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小？
8、已知函数m m mx y +=2，
（1）当m 取何值时，它的图像是开口向上的抛物线？ （2）当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小？ （3）当x 为何值时，y 随着x 的增大而增大？
（4）当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少 ？
5.2二次函数2ax y =与c ax y +=2的图像与性质
知识点一：二次函数2ax y =的图像的画法
【例1】在同一直角坐标系下画出下列函数的图像 （1）2
2
1x y =
； （2）22x y =； （3）23x y -=； （4）2x y -= x … 3- 2-
0 2 3 … y
…
2
9
2
2
2
9 …
再描点，画图，得2
2
x y =的图像。
（2）先列表如下：
x
… 0 … y
…
…
再描点，画图，得2
2x y =的图像。
x
… … y
…
…
再描点，画图，得2
3x y -=的图像。
x
… … y
…
…
再描点，画图，得2
x y -=的图像。
二次函数2
ax y =的图像性质具有以下特征：
（1）开口方向由a 的符号确定，当a 时，图像的开口向上；当0<a 时，图像的开口 。
（2）开口大小由||a 的大小决定，a 越大，抛物线的开口越 ；a 越 ，抛物线的开口越大。
（3）对称轴是直线0=x ，即 轴。
（4）当a 且x 0<时，y 随着x 增大而减小；当a 0>且x 时，y 随着x 增而增大； 当a 时，在y 轴右侧，y 随着x 增大而减小；当a 0<时，在y 轴 侧，y 随着x 增而增大。
（5）顶点坐标是 ；当a 时，()0,0是最低点；当0<a 时，()0,0是最 点。
请你解答下列问题： 1、抛物线2
3
1x y =
的开口方向为 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，顶点是这条抛物线的最 点。
2、2
3x y =的图像名称叫 ，开口向 ，顶点坐标为 ，当0>x 时，y 随着
x 增大而 。
3、在同一坐标系中作出231x y =
与22
1
x y =的图像，
观察到 的图像开口更大些，也就是说， y 随着x 增大得 （填“快”或“慢”）些。
4、抛物线2
ax y =与2
x y =的开口大小、形状一样，开口方向相反，则=a 。
5、函数22x y =与22x y -=的图像形状 ，开口方向 ， 2
2x y =开口向 ，
22x y -=开口向 ，它们的对称轴为 。
6、若二次函数2
ax y -=，当2=x 时，2
1
=
y ；则当2-=x 时，y 的值是 。
7、若1=a ，对于二次函数2
x a y =的图像有如下判断：①开口方向向上；②以y 轴为对称轴；③当0<x 时，y 随x 的增大而增大；④0=x 时，y 的值最大，且最大值为0。
其中判断正确的是 。
8、关于函数()02
≠=a ax y 与()02
≠-=a ax y 的 图像，下列说法正确的是（ ）
A 、()02
≠=a ax y 的图像开口向上，()02
≠-=a ax y 的图像开口向下
B 、()02
≠=a ax y 有最小值，()02
≠-=a ax y 有最大值
C 、()02
≠=a ax y 与()02
≠-=a ax y 的图像都是轴对称图形
D 、若0>a ，则()02
≠=a ax y 的图像全部在x 轴上方，()02
≠-=a ax y 的图像全部在x 轴下方
9、二次函数1
2-=m mx
y 有最低点，则=m 。
10、若已知点A ()m ,1-，()n B ,2-，(
)
p C
,2的图像上，则m 、n 、p 的大小关系是（ ）
A 、p n m >>
B 、n p m >>
C 、m n p >>
D 、m p n >>
11、已知1-<a ，点()1,1y a -，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,y a ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛+3,1y a 都在函数x y 5=的图像上，则（ ） A 、321y y y << B 、231y y y << C 、123y y y << D 、132y y y <<
12、若1>a ，点()1,1y a -，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,y a ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛+3,1y a 都在函数x y 2
1
-=的图像上，则1y 、2y 、3y 的大小关
系为 。
知识点二：二次函数c ax y +=2的图像及性质
Ⅰ二次函数c ax y +=2的图像可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。
（1）当0>c 时，抛物线2
ax y =向上平移c 个单位可得到c ax y +=2
（2）当0<c 时，抛物线2
ax y =向下平移c 个单位可得到c ax y +=2
Ⅱ二次函数c ax y +=2的图像和性质
函数
c ax y +=2
图像
0,0>>c a
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值。