立方根3、3
3的立方根 30的立方根 300的立方根关系
3的立方根 30的立方根 300的立方根关系《深度探讨：3的立方根、30的立方根和300的立方根之间的关系》1. 引言在数学中，立方根是一个极具讨论价值的概念。
有趣的是，3的立方根、30的立方根和300的立方根之间似乎存在着一些特殊的关系。
在本文中，我们将从简单到复杂，由浅入深地探讨这一主题，带您了解这些数值之间的奇妙联系。
2. 探索3的立方根让我们来探讨3的立方根。
2，即∛3≈1.4422，这个数值可能显得有些晦涩，但它其实蕴含了丰富的数学奥妙。
从几何意义上理解，3的立方根实际上代表了一个边长为3的正方体的边长。
这意味着，当我们将一个边长为3的正方体展开时，每条边的长度就是∛3。
这样的理解方式将有助于我们更加直观地感受到3的立方根的意义与价值。
3. 探索30的立方根接下来，我们来探讨30的立方根。
5，即∛30≈3.1072，通过这个数值，我们可以发现30的立方根实际上比3的立方根要大，这是因为30比3要大得多。
30的立方根代表了一个边长为30的正方体的边长，同样可以通过几何方式来理解。
这个数字让我们意识到，虽然3和30都是数字，但它们的立方根却有着截然不同的特点和表现。
4. 探索300的立方根让我们来审视300的立方根。
6.709，即∛300≈6.709，通过这个数值我们可以看出，300的立方根比3和30的立方根都要大得多。
这说明了300这个数字的立方根所蕴含的数学意义远比我们想象的要丰富。
同样，我们可以通过几何的方式来理解300的立方根所代表的正方体的边长。
5. 总结与理解通过以上的探讨，我们不难发现，3的立方根、30的立方根和300的立方根之间其实存在着一种特殊的关系。
从数值的大小来看，我们可以明显地感受到数值的变化对立方根的影响，这也进一步表明了立方根在数学中的重要性。
无论是3、30还是300，它们的立方根都代表了一种独特的数学概念和意义，值得我们深入去探讨和理解。
6. 个人观点与理解在我看来，立方根是数学中一个非常有趣的概念。
3.3-立方根(优质课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
27
பைடு நூலகம்
3
(5) ∵ 03=0
即 3 1 1 27 3
∴ 0旳立方根是0
即 3 00
3 27 3
3 27 3
82 3
27 3
11 3
27 3
3 1 1
3 0.064 0.4
3 00
观察以上算式，想一想： 一种正数有几种立方根， 负数有几种立方根 0呢？
1、正数有一种正旳立方根 2、负数有一种负旳立方根 3、0旳立方根还是0
方案一
48
方案二
方案三
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方案一：
23 8,33 27,43 64, 155 64 64 27 3 64 4, 3 27 3 1 55个棱长为1的小立方体可以加工 成2个四阶魔方和1个三阶魔方。
方案二
方案三
返回
方案二：
23 8,33 27,43 64 1 55 64 88 27 3 64 4, 3 8 2, 3 27 3 1 55个棱长为1的小立方体可以加工 成1个四阶魔方和1个三阶魔方和8个二阶魔方。
方案一
方案三
返回
方案三：
23＝8，33＝27，43＝64 1 55 816 27 3 8 2, 3 27 3 1 55个棱长为1的小立方体可以加工 成1个三阶魔方和16个二阶魔方。
方案一
方案二
返回
立方根是它本身旳数有哪些? 有1, -1, 0
平方根是它本身旳数呢? 只有0
算术平方根是它本身旳数呢? 有1、0
例2：计算：
（1） 3 27， （2） 64 3 8 8
（3） 3 64 16 （4） 0.01 3 0.008
3
解：（1）
27＝
立方根符号
立方根符号立方根符号是数学中的一种运算符号，表示一个数的三次方根。
该符号通常写作∛。
下面我们来详细地介绍一下立方根符号。
立方根的定义一个数的立方根是指这个数的三次方，即 a³的逆元素，也就是说，如果 b ³ = a，则 b 即为 a 的立方根。
立方根符号的使用方法立方根符号用来表示一个数的三次方根，通常写作∛a。
其中 a 表示一个实数，它可以是正数、负数或零。
在使用立方根符号时，需要注意以下几点：1. 如果 a 是正数，那么它的立方根也是正数。
2. 如果 a 是负数，那么它的立方根是一个复数，可以表示为 -∛(-a)。
3. 如果 a 是零，那么它的立方根也是零。
例如，∛8 表示 8 的立方根，即 2，因为 2³ = 8。
立方根的计算方法计算一个数的立方根可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法。
下面我们介绍一下牛顿迭代法的具体计算方法。
设待求的数的立方根为 x，那么根据立方根的定义，有 x³ = a。
我们可以将其转化为一个方程 f(x) = x³ - a = 0。
根据牛顿迭代法的思想，我们可以从一个初值 x0 开始不断进行迭代，每一次迭代计算如下式子：xi+1 = xi - f(xi) / f'(xi)其中 f'(x) 表示 f(x) 的导数。
对于 f(x) = x³ - a，它的导数为 3x²，所以上式可以改写为：xi+1 = (2xi + a/xi²) / 3我们可以在计算机中编写一个循环来实现这个迭代过程，直到 xi 的值足够接近真实的立方根为止。
例如，计算 8 的立方根可以按照如下步骤进行：1. 选择一个初始值，假设为 x0 = 2。
2. 根据牛顿迭代公式计算 x1：x1 = (2x0 + 8/x0²) / 3 = 7/3 ≈ 2.33 3. 再次使用牛顿迭代公式计算 x2：x2 = (2x1 + 8/x1²) / 3 ≈ 2.084. 继续迭代，直到足够接近 2：x3 ≈ 2.00x4 ≈ 2.00因此，8 的立方根约为 2。
趣味数学—根号的由来
根号的由来早在1480年，德国人便开始用一个点来表示方根，如g 3表示3的平方根，g g 3表示3的4次方根，g g g 3表示3的立方根，到了16世纪初，平方根用小点带上一条小尾巴来表示，就像一个小蝌蚪，因而很难标准。
1525年，德国数学家鲁道夫的代数书中用√8表示8的平方根，显然用“小钩子”要比“小蝌蚪”好多了，不过后来又发现了新问题。
传说，两个工程人员为式中“√2100g +”引起了矛盾，差一点要上法庭打官司。
究其原因，是因为小钩子“√”的意义不明确，不知道它能管后面几个字母及数字。
后来，笛卡尔在他的《几何学》一书中创设了现代的平方根号”，并把立方根写成，在原书第一版中写道：“如果我想求22a b +；如果想求3310100a <<33a b abc ++的立方根，”笛卡尔的根号与鲁道夫的根号最大区别在于：笛卡尔考虑到，当被开方数有几项时，鲁道夫的根号会引起混淆，因次，他在上方用直线把这几项括起来，前面再放上记号“√”，也就是现在使用的根号了。
现代的立方根号出现的很晚，一直到18世纪才在一些书中看到，在1732年以后才渐渐通行。
之后，一般的n 次方根符号也就相继出现了。
逐步逼近法估算在数学计算中，“逐步逼近法”是常用的计算方法。
的近似值，但是若是生活在荒岛上，又这种方法可以运用到其他问题中。
由于34<<，所以可设3x =+（x 是一个正的纯小数）。
两边平方，得21396x x =++.由于x 是一个小量，所以2x 是一个比x 更小的高次小量。
可以忽略掉，故1396x ≈+。
即23x ≈233≈ 再作第二次逼近：233y =+，两边平方，得21212212122139393y y y =++≈+ 所以233y ≈-221193 3.60633333≈-=≈如果继续逼近下去，就可以得到更精确的近似值。
近似求解立方根当立方根是一位整数时，很容易求出这个立方根，但当立方根是两位或两位以上的整数时，也能容易地求出吗？例如140608的立方根，怎样求容易？下面就介绍它的巧妙求法。
认识简单的三次方和立方根
认识简单的三次方和立方根三次方和立方根是数学中常见的概念，它们在现实生活中有许多应用。
了解和掌握这两个概念对于我们的数学学习和解决实际问题非常重要。
在本文中，我们将介绍三次方和立方根的概念、计算方法和应用。
一、认识三次方三次方是指一个数的立方，即将一个数乘以自身三次。
常用的表示方法为 x³，其中 x 是一个实数。
例如，2³表示2的三次方，其计算方法为 2 × 2 × 2 = 8。
同样地，(-3)³表示-3的三次方，即 (-3) × (-3) × (-3) = -27。
计算三次方时，我们可以使用计算器或者手动计算。
对于较小的数，手动计算会更加方便。
例如，计算 5³，我们可以将 5 乘以自身两次，即 5 × 5 × 5 = 125。
当然，对于大的数或小数，使用计算器会更加快捷。
三次方在现实中有广泛的应用。
例如，求一个立方体的体积时，就需要计算边长的三次方。
此外，在物理学中，速度、加速度等也经常与三次方相关。
二、认识立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的根。
常用的表示方法为∛x，其中 x 是一个实数。
例如，∛8 表示8的立方根，即找到一个数，使其立方等于8。
该立方根为2，因为 2 × 2 × 2 = 8。
对于较小的数，可以通过试错的方法计算立方根。
例如，求解∛27，我们可以尝试2的立方、3的立方、4的立方等，直到找到满足条件的数为止。
在这种情况下，我们可以得到∛27 ≈ 3。
当然，对于复杂数或小数的立方根计算，使用计算器更加方便。
现代科技为我们提供了许多强大的计算工具，我们可以轻松地计算出任何数的立方根。
立方根在实际生活中也有重要的应用。
例如，当我们需要确定一个物体的边长，以使其体积等于给定数时，就需要计算相应的立方根。
此外，在统计学、金融学等领域中，我们也会用到立方根来分析数据和解决问题。
立方根3、3(201910)
(2)3 64 16
4 4 0
课内练习2 1.分别求下列各式的值：
(1) 3 125 (2) 3 0.008
1 (3) 3
64
(4)3 0.001 0.01
2.你能求出下列各式中的未知数x吗？ （1） x3＝343 （2）（x－1）3＝125
课堂小结 请思考下面的问题： 1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示
说明：立方根的个数的性质可以概括为立方根 的唯一性，即一个数的立方根是唯一的.
课内练习1：
1.判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）287
的立方根是
2 3
（2）负数没有立方根
（3）4的平方根是2
（4）-8的立方根是-2
（5）立方根是它本身的数只有0
（6）互为相反数的数的立方根也互为相反数
2.填空：
(2)因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即
3 27 3
思考：除－3以外，还有什么数的立方等于-27?， 也就是说，负数－27还有别的立方根吗?
(5)因为03=0，所以0的立方根是0，即 3 0=0. 通过对以上问题的解答，你能总结出立方根 有什么样的性质？
正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方 根；零的立方根仍旧是零.
(3) (-5)2 81 ( 7)2
问题：要做一个体积为8cm3的正方体模型（如 图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
思考：(1)什么数的立方等于-8？ (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正 方体的边长又该群
1.立方根的概念.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个 数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
用式子表示，就是，如果X3 =a，那么X叫
立方根3、3(新编201908)
(3) (-5)2 81 ( 7)2
问题：要做一个体积为8cm3的正方体模型（如 图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
思考：(1)什么数的立方等于-8？ (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正 方体的边长又该是多少？
1.立方根的概念.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个 数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
3.3 立 方 根
一、复习
1.口答： (1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平 方根? (2)正数有几个平方根?它们Байду номын сангаас间的关系是什么?负数有没 有平方根?0平方根是什么?
(3)当a≥0时，式子， a－ a，± a，的意义各是什么?
2.计算：
(1) 0.0036
(2) 2 1 4
用式子表示，就是，如果X3 =a，那么X叫
做a的立方根.数a的立方根用符号“3 a ”表
示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3 是根指数.(注意：根指数3不能省略). 2.开立方.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数 的立方根可以通过立方运算来求.
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例1 求下列各数的立方根：
(1)27；(2)－27；(3) 1 ；(4)－0.064；(5)0. 27
分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运 算来求.
解 (1)因为33=27，所以27的立方根是3，即
3 27 3
思考：除3以外，还有什么数的立方等于27? 也就是说，正数27还有别的立方根吗?
想銮旂而抽恸 方兴 琇不肯 愚谓不烦殿下亲征小劫 冠军将军 庆之曰 理固得而齐 富厚贫薄 等级相倾 谅缘奸臣交乱
3次根式的模型
3次根式的模型
3次根式，也被称为立方根，是数学中的一个重要概念。
它表示一个数的立方根，即一个数的3次方等于它本身。
对于一个正数a，它的3次根记为∛a。
这意味着如果一个数x的3次方等于a，那么x就是a的3次根。
例如，∛8=2，因为2的3次方等于8。
3次根有许多实际应用。
在工程领域，它可以用来计算立方体的体积。
如果我们知道一个立方体的体积V，那么边长L等于∛V。
在物理学中，3次根可以用来计算一些量的立方根。
例如，如果我们知道一个物体的体积V和密度D，那么它的质量M等于V乘以D的3次根。
在经济学中，3次根可以用来计算一些指标的增长率。
如果我们知道一个指标的初始值和最终值，那么它的年均增长率等于这两个值的差的3次根。
总之，3次根是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
无论是计算体积、质量还是增长率，3次根都能帮助我们获得准确的结果。
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3
0.008
(3)
3
1 64
(4) 0.001 0.01
3
2.你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x3＝343
（2）（x－1）3＝125
课堂小结 请思考下面的问题： 1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示 数a的立方根?a的取值范围是什么? 2.数的立方根与数的平方根有什么区别?
思考:
1.一个正方体的体积变为原来的8倍，其边长变为原来 的多少倍？
2.一个正方体的体积变为原来的27倍，其边长变为 原来的多少倍？ 3.一个正方体的体积变为原来的n(n>0)倍，其边长 变为原来的多少倍？
作
业：
配套作业（1）
；
/ 微商货源网
ห้องสมุดไป่ตู้
ekn051ach
实在是帮不上忙„„但我相信，经过这件事„„他会变好的，以后，你和念儿的生活我和肖艳会尽力照顾的。” “六弟，我已经想好了，我和念儿要回娘家住一段时间，等这些事情都平息了，我们再回来„„” 是啊，马天栓的事免不了人们的流言蜚语，留给她的却是无尽的辛酸和泪水„„也许只有娘家才是她唯一的去处。 这天晚上，我失眠了。我虽然竭力地控制着自己，但是最近发生的事还是情不自禁地在我脑海里浮现。 老天爷跟我开了个不大不小的玩笑，把我那平静的生活掀起了一片小小的涟漪，我不得不整理一下自己人生的方向。 不经坎坷不知人情冷暖，不经世俗不知世态炎凉。感谢上帝给了我这次人生的磨难，使我得到了人生的启迪。我终于懂得了什么是情，什么是 义，什么是爱，什么是恨„„ “苏林，你在想什么？” “我在想„„如果有一天，我不再上班了，回到你身边，过着平静的日子，该多好啊„„” “你真的这么想吗？那你就回来吧。回到生你养你的这片土地，只有亲人和孩子，我们共同耕耘共同收获„„再说，我也实在是经不起这种风 吹雨打，天天为你担惊受怕了„„” 第二天，我把已写好的辞职报告交给了老厂长。 他看完后，耐心地对我说：“苏林，你还年轻， 正是干一番事业的最佳年龄，你怎么说不干就不干了呢？人生难免会遇到这样那样的挫折，你 不能灰心，要知难而进！我老了，我想把这副重担交到你的肩上，你可不要让我失望啊！” “老厂长，这里的环境不适应我，我活得太累了，我想„„” “你的意思我明白，先把这个拿回去。我给你一个月的时间，你要好好想一想，等你想好了，再来告诉我。” 这时，我的同窗生产厂长王大年走了进来。老厂长顺便用文件把我的辞职报告掩盖起来，不想让别人知道。 “正好苏林也在，我当着苏林的面，跟老厂长打个招呼，原材料再进不来，我们就停产了。你们销售科的业务员却在打牌聊天，车间的工人都 在闹情绪，再不发工资，他们就**。我这个生产厂长实在是没法干了！”大年在老厂长面前指手画脚地嚷嚷着，显然是针对我来的。 “大年，你的心情我理解，我跟苏林正在商量货款的事。”老厂长最明白目前的状况，他的位子也在岌岌可危。 “老厂长，我现在就去开个会，招集业务员制定货款回收计划。我保证只要我还在厂干一天，一定让工人拿着工资回家过年。” 俗话说得好，江山易改本性难移，我永远也改不了舍命陪君子冷眼看小人的恶习。 年假过后，我果真不去上班了。 老厂长知道了非常生气，他也声称有病在家休养。只好由镇里的领导出面对我厂进行了改制，由我的好友王大年实行个人承包。政策落实之后， 王大年多次邀我给他负责跑业务，我都婉言谢绝了。他一怒之下把我在厂工作时拖欠的十四个月的工资全扣了下来。 我听说后十分恼火，妻子却安慰我说：“只要他觉得良心上过得去就行，这钱他不给，咱就不要了，只要我俩好好干，这点钱算不了什么！
例1 求下列各数的立方根： 1 (1)27；(2)－27；(3) ；(4)－0.064；(5)0.
27
分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运 算来求.
解 (1)因为33=27，所以27的立方根是3，即
3
27 3
思考：除3以外，还有什么数的立方等于27? 也就是说，正数27还有别的立方根吗?
3.3
立方根
一、复习
1.口答： (1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平 方根? (2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没 有平方根?0平方根是什么?
(3)当a≥0时，式子， a －
2.计算：
a ，±
a，的意义各是什么?
(1) 0.0036
2
1 (2) 2 4
(2)因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即
3
27 3
思考：除－3以外，还有什么数的立方等于-27?， 也就是说，负数－27还有别的立方根吗?
(5)因为03=0，所以0的立方根是0，即 3 0=0.
通过对以上问题的解答，你能总结出立方根 有什么样的性质？ 正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方 根；零的立方根仍旧是零. 说明：立方根的个数的性质可以概括为立方根 的唯一性，即一个数的立方根是唯一的.
课内练习1：
1.判断下列说法是否正确，并说明理由：
8 （1）27
2 3
的立方根是
（2）负数没有立方根 （3）4的平方根是2 （4）-8的立方根是-2 （5）立方根是它本身的数只有0 （6）互为相反数的数的立方根也互为相反数
2.填空：
(1) (_____) 125, 125 _____ 64 64 3 (2) (_____) , 3 _____ 25 25
2
(3) (-5) 81 ( 7 )
问题：要做一个体积为8cm3的正方体模型（如 图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
思考：(1)什么数的立方等于-8？ (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正 方体的边长又该是多少？
1.立方根的概念. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个 数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，就是，如果X3 =a，那么X叫 3 做a的立方根.数a的立方根用符号“ a ”表 示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3 是根指数.(注意：根指数3不能省略). 2.开立方. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数 的立方根可以通过立方运算来求.
3 3
3.求下列各数的立方根：
（1）1，（2）-1 ，（3） -0.027 （4）343
例2 计算：
(1) 3
27 8
(2) - 64 16
3
27 3 解 : (1)3 8 2 3 (2) 64 16 4 4 0
课内练习2
1.分别求下列各式的值：
(1)
3
125
(2)