高中数学第一章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值课堂探究新人教B版选修2_2

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值课
堂探究 新人教B 版选修2-2
探究一 利用导数求函数的极值
求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值．
【典型例题1】 求下列函数的极值： (1)f (x )＝1＋3x －x 3
； (2)f (x )＝ln x x
2；
(3)f (x )＝x 2·e －x
.
思路分析：按照求极值的方法，首先从方程f ′(x )＝0入手，求出函数f (x )在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值．
解：(1)函数定义域为R ，且f ′(x )＝3－3x 2
， 令f ′(x )＝0得x ＝±1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
在x ＝1处取极大值3. (2)函数定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝
x
x 2－ln x x 2
x 4
＝
x －2x ln x x 4＝1－2ln x
x 3
， 令f ′(x )＝0，得x ＝e ， 且当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，
当x ＞e 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝1
2e ，无极小值．
(3)函数f (x )的定义域为R ，
f ′(x )＝2x e －x ＋x 2e －x (－x )′＝x (2－x )e －x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e －2
. 探究二 利用导数求函数的最值
1．如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，求f (x )在区间[a ，b ]上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值．
3．求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论．
4．求函数在开区间上的最值时，要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况，从而画出函数的大致图象，结合图象求出最值．
【典型例题2】 求下列函数的最值： (1)f (x )＝x 3
－2x 2
＋1，x ∈[－1,2]；
(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2；
(3)f (x )＝ln x
x
－x .
思路分析：按照求函数最值的步骤求解，其中(3)要注意结合函数图象． 解：(1)f ′(x )＝3x 2
－4x ，
令f ′(x )＝0，有3x 2
－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
(2)f ′(x )＝2cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2，
令f ′(x )＝0得x ＝－π6或x ＝π
6
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
当x ＝－π2时f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π
2，
当x ＝π2时f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－π2. (3)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x x
2
－1， 令f ′(x )＝0，得x 2
＝1－ln x ，显然x ＝1是方程的解． 令g (x )＝x 2
＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1
x
＞0，
∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解． ∵当0＜x ＜1时，f ′(x )＝1－ln x
x
2
－1＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0，
∴函数f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，∴当x ＝1时，函数f (x )有最大值，且最大值是f (1)＝－1，函数无最小值．
点评 本例(3)中，为了说明x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一根．又构造了函数g (x )，通过求导分析其单调性从而说明根的唯一性，这种方法在导数应用中经常使用．
探究三 根据函数的极值与最值求参数值
1．已知函数的极值或最值求参数值时，主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值，列出方程(组)，利用待定系数法求解；同时应注意：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．对于可导函数f (x )，若它有极值点x 0，则必有f ′(x 0)＝0，因此函数f (x )有极值的问题，往往可以转化为方程f ′(x )＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．
3．有些含参数的问题，需要对参数进行分类讨论求解．
【典型例题3】 (1)若函数f (x )＝ax 3
＋bx －4在x ＝1处取得极值，且极值为0，求实数a ，b 的值．
(2)已知函数f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋b (a ≠0)，问是否存在实数a ，b 使f (x )在区间[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．
思路分析：(1)可利用f ′(1)＝0，f (1)＝0求解；(2)利用求最值的方法建立关于a ，b 的方程组确定a ，b 的值，注意对a 的讨论．
解：(1)由于f (x )＝ax 3
＋bx －4，所以f ′(x )＝3ax 2
＋b . 依题意可得f ′(1)＝0且f (1)＝0.
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ＋b ＝0，a ＋b －4＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝6.
(2)存在．
f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，
令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．
①当a ＞0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：
所以当x ＝0所以b ＝3.
又f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)＞f (2)， 所以当x ＝2时，f (x )取得最小值， 所以－16a ＋3＝－29，即a ＝2.
②当a ＜0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：
所以当x ＝0又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)＞f (－1)，所以当x ＝2时，f (x )取得最大值，
所以－16a －29＝3，即a ＝－2.
综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 探究四 易错辨析
易错点：忽视极值存在的条件而出错
【典型例题4】 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2
在x ＝－1处有极值0，求常数a ，b 的值． 错解：因为f (x )在x ＝－1处有极值0， 且f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧ f －＝0，f －
＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2
＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝9.
综上所述，a ＝1，b ＝3或a ＝2，b ＝9.
错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证x ＝－1两侧函数的单调性，故求错．
正解：因为f (x )在x ＝－1处有极值0，且f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧ f －＝0，f
－
＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2
＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝9.
当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2
＋6x ＋3＝3(x ＋1)2
≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．
当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2
＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．
所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.。