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2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第六章数列题组30 Word版含解析

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2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)题组训练：第四章 三角函数 题组19 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)题组训练：第四章 三角函数 题组19 Word版含解析

题组层级快练(十九)1．(2015·新课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12. 2．(2014·重庆文)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.3．(2016·武汉调研)已知tan95°＝k ，则tan35°＝( ) A.3－k1＋3 B.k －31＋3kC.k ＋31－3D.k ＋31＋3答案 B解析 ∵tan95°＝tan(60°＋35°)＝3＋tan35°1－3tan35°，∴tan35°＝k －31＋3k .4．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365C．－1665D．－5665答案 A解析因为α是第二象限角，且sinα＝12 13，所以cosα＝－1－144169＝－513.又因为β是第四象限角，cosβ＝4 5，所以sinβ＝－1－1625＝－35.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.5．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于()A.π3 B.2π3C.π6 D.π4答案 A解析由已知得tanA＋tanB＝－3(1－tanAtanB)，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－ 3.又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，0<C<π，∴C＝π3.6．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 答案 B解析a＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c＝62＝2sin60°，∴b>c>a.7．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则cosAcosB＝()A.14 B.34C.12D．－14答案 B解析tanA＋tanB＝sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sin（A＋B）cosAcosB＝sin60°cosAcosB＝32cosAcosB＝233，∴cosAcosB＝34.8．已知cos(α－π6)＋sinα＝435，则sin(α＋7π6)的值为()A.12 B.32C．－45D．－12答案 C解析∵cos(α－π6)＋sinα＝32cosα＋32sinα＝435，∴12cosα＋32sinα＝45.∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sinα＋12cosα)＝－45.9．(2016·太原模拟)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为() A．2 B. 3C．1 D.2 2答案 C解析由cos(α＋β)＝sin(α－β)得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsin β，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以cosβ＋sin β≠0，所以cosα＝sinα，所以tanα＝1.10．(2016·成都一诊)若sin2α＝55，sin (β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 因为α∈[π4，π]，故2α∈[π2，2π]，又sin2α＝55，故2α∈[π2，π]，α∈[π4，π2]，∴cos2α＝－255，β∈[π，3π2]，故β－α∈[π2，5π4]，于是cos (β－α)＝－31010，∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos (β－α)－sin2αsin (β－α)＝－255×(－31010)－55×1010＝22，且α＋β∈[5π4，2π]，故α＋β＝7π4. 11．(2015·重庆理)若tan α＝2tan π5，则cos （α－3π10）sin （α－π5）＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 cos （α－3π10）sin （α－π5）＝sin （α－3π10＋π2）sin （α－π5）＝sin （α＋π5）sin （α－π5）＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3，故选C.12．(2013·新课标全国Ⅱ理)设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________． 答案 －105解析 由tan (θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－13cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－105. 13．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.14．求值：(1)1sin10°－3sin80°＝________；(2)3－sin70°2－cos 210°＝________． 答案 (1)4 (2)2 解析 (1)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin （30°－10°）sin20°＝4.(2)3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210° ＝4－2cos 210°2－cos 210°＝2.15．(2015·东北三校模拟)若cos (α＋π6)－sin α＝335，则sin (α＋5π6)＝________． 答案 35解析 ∵cos (α＋π6)－sin α＝335， ∴32cos α－12sin α－sin α＝335.即32cos α－32sin α＝335，得cos α－3sin α＝65.∴sin (α＋5π6)＝sin αcos 5π6＋cos αsin 5π6＝－32sin α＋12cos α＝12(cos α－3sin α)＝12×65＝35.16．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________． 答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13. ∴cos 2α－sin 2β＝13.17．(2015·广东文)已知tan α＝2. (1)求tan (α＋π4)的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．答案 (1)－3 (2) 1解析 (1)tan (α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.18．已知α，β∈(0，π2)，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13. (1)求sin (α－β)的值． (2)求cos β的值． 答案 (1)－1010 (2)91050 解析 (1)∵α，β∈(0，π2)， 从而－π2<α－β<π2. 又∵tan (α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0. ∴sin (α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos (α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝45×31010＋35×(－1010) ＝91050.1．(2015·重庆文)若tan α＝13，tan (α＋β)＝12，则tan β＝( ) A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.2．(1)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 (tan10°－3)·sin40° ＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40° ＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.(2)sin50°（1＋3tan10°）－cos20°cos80°·1－cos20°＝________．答案23．(2014·新课标全国Ⅰ理)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2 D ．2α＋β＝π2答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，∴α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β. 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简得sin(α－β)＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin (α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选C.4.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010 C.510 D.515答案 B解析 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4. 在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1， 所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255. sin ∠CED ＝sin(π4－∠BEC)＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22(255－55)＝1010. 5．已知f(x)＝sinx －cosx ，则f(π12)的值是( )A ．－62 B.12 C ．－22 D.22答案 C解析 因为f(x)＝sinx －cosx ＝2sin(x －π4)，所以f(π12)＝2sin(π12－π4)＝2sin(－π6)＝－22.6．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________． 答案 12解析 tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）＝1－24＝12.故填12.7．若cos (α＋β)＝15，cos (α－β)＝35，则tan α·tan β＝________． 答案 12 解析 由已知得∴tan α·tan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.8．已知3cos α－3sin α＝23cos (α＋φ)，其中－π<φ<π.则φ＝________． 答案 π69．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos (β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 答案 (1)45 (2)3π4解析 (1)方法一：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝45.方法二：因为tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43. 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos (β－α)＝210，所以sin (β－α)＝7210.所以sin β＝sin [(β－α)＋α]＝sin (β－α)cos α＋cos (β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.10．(2016·衡水调研卷)已知函数f(x)＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R .(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos (β－α)＝45，cos (β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.答案 (1)T ＝2π，最小值为－2 (2)略解析 (1)∵f(x)＝sin(x ＋7π4－2π)＋sin(x －3π4＋π2)＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)，∴T ＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)∵cos (β－α)＝45，cos (β＋α)＝－45，∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加，得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f(x)＝2sin(x －π4)，∴[f(β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×(22)2－2＝0.。

【4份】2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第6章 数列

【4份】2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第6章 数列

2n＋1 故 a n＝ 2 . n ＋1
思维升华
解析答案
跟踪训练1
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)－1,7，－13,19，„；
解 数列中各项的符号可通过(－1)n表示，
从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6， 故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
解析答案
n ＋1 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝ ，则 a4 等于( A ) n ＋2 1 A.30 1 B.32 1 C.34 1 D.20
解析
5 4 1 a4＝S4－S3＝6－5＝30.
解析答案
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 2，n＝1， an＝ ________________. 6n－5，n≥2 解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
解析
∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时符合上式，
∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.
1
2
3
4
5
解析答案
4.(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一
个通项公式an＝________. 5n－4
1
2
3
(2)0.8,0.88,0.888，„；
解 1 1 1 8 8 8 数列变为91－10，91－102，91－103，„，
1 8 故 an＝91－10n .
解析答案
1 1 5 13 29 61 (3)2，4，－8，16，－32，64，„.
解

最新高考数学(理)全国通用大一轮复习2017年高考数学理科真题汇编解析第六章数列

最新高考数学(理)全国通用大一轮复习2017年高考数学理科真题汇编解析第六章数列

第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.(2017北京理10)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =_______. 解析 由11a =-，48a =，则21132a a d =+=-+=，由11b =-，48b =，则2q =-，则212b b q ==.故22212a b ==. 2.（2017全国1理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）. A ．1B ．2C ．4D ．8解析 45113424a a a d a d +=+++=，61656482S a d ⨯=+=，联立112724 61548 a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②，得()211524-=d ，即624d =，所以4d =.故选C.3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析 设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．故选B.4.（2017全国3理14）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________．解析 因为{}n a 为等比数列，设公比为q ．由题意得121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112111 3 a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①② 显然1q ≠，10a ≠，式式②①，得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， 所以()3341128a a q ==⨯-=-．题型68 等差、等比数列求和问题的拓展1.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）. A.440B.330C.220D.110解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为()12122212n n n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.2.2017山东理19）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=， （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，依次联结点()111P x ，，()222P x ，，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T.解析 （1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -= （2）过1231,,,,n P P P P +向x 轴作垂线，垂足分别为1231,,,,n Q Q Q Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯，所以1n n T b b b b =++++=13n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯②-①②，得132(n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(221n n n---+--所以(21)21.2n n n T -⨯+=题型69 等差、等比数列的性质及其应用1.（2017江苏09）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ． 解析 解法一：由题意等比数列公比不为1，由()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，因此36319S q S =+=，得2q =． 又3123S a a a =++()2117174a q q a =++==，得114a =，所以78132a a q ==．故填32．解法二（由分段和关系）：由题意3363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以38q =，即2q =．下同解法一．2.（2017全国2理15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 解析 设{}n a 首项为1a ，公差为d ．由3123a a d =+=，414610S a d =+=，得11a =，1d =，所以n a n=，()12n n n S +=，()()112222122311nk k Sn n n n ==++++=⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足1111+n k n k n nn k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k na k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．解析 （1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-， 从而当4n …时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++-()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”． （2）由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n …时，21124n n n n n a a a a a --+++++= ① 当4n …时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++= ② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥ ③()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥ ④将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …， 所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以312a a d '=-， 从而数列{}n a 是等差数列．评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得22n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列．解析 （1）由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，且公比138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为t ，由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139a t a α==， 所以123ααα==，不妨令123αααα===，则43t α=． 所以()3211311k k k a aα----==，()2311223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，所以131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，综上11n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．2.(2017北京理20)设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 解析（1）111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n …时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k kb na -关于*k ∈N 单调递减.从而{}112211ma x ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n=---=-=-，将1,2,3n =代入，满足此式，所以对任意1n …，1n c n =-，于是11n n c c +-=-，得{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则()[]()()121111211(1)1k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以()()11212111211,,n b a n n d nd d nd c b a n d nd ⎧-+-->⎪=⎨-⎪⎩当时当时….①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m …时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n …， (){}(){}()11211211max ,01max ,0n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--. 此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <，所以()()()11211211121n b a n n d nd c b d nd d a d n nn-+---==-+-++… ()111212||n d d a d b d -+-+--.对任意正数M ，取正整数12112211||max ,M b d a d d d m d d ⎧⎫+-+-->⎨⎬-⎩⎭，故当n m …时，nc M n>. 题型71 等差数列与等比数列的交汇问题——暂无第二节 数列的通项公式与求和题型72 数列通项公式的求解 题型73 数列的求和1.（2017天津理18）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N .解析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以2n n b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ① 由114=11S b ，可得1516a d += ② 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. (2)设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=1112(14)4(31)4=(32)4814n n n n n ++⨯----⨯--⨯--，得1328433n n n T +-=⨯+.所以数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2.（2017全国3理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 前6项的和为（ ）. A ．24-B ．3-C ．3D ．8解析 因为{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d ，则2326a a a =，即()()()211125a d a d a d +=++.因为11a =，代入上式可得220d d +=，又0d ≠，则2d =-，所以()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-.故选A. 第三节 数列的综合题型74 数列与不等式的综合1.(2017浙江理22)已知数列{}n x 满足：11x =，()()*11ln 1n n n x x x n ++=++∈N .证明：当*n ∈N 时. （1）10n n x x +<<； （2）1122n n n n x x x x ++-…； （3）1-21122n n n x -剟. 解析 （1）用数学归纳法证明：0n x >. 当1n =时，110x =>，假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +…，则()110ln 10k k k x x x ++<=++…，矛盾，故10k x +>. 因此()*0n x n >∈N ，所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>. 因此()*10n n x x n +<<∈N . （2）由()111l n 1n n n nx x x x +++=++>，得()()21111114222l n1nnnnn n n nx x x x x x x x ++++++-+=-+++.11 记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++….()()()()()222122222ln 1ln 1ln 10111x x x x x f x x x x x x x x -++++'=-+++=++=+++++…，知函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f =…，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=…，即()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …. （3）因为()()*11111ln 12n n n n n n x x x x x x n +++++=+++=∈N …，得112n n x x +…，以此类推，21111,,22n n x x x x -厖，所以112112112n n n n n n x x x x x x x x ----⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=x ?，故112n n x -…. 由（2）知，()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …，即111112022n n x x +⎛⎫--> ⎪⎝⎭…， 所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖?，故212n n x -…. 综上，()*121122n n n x n --∈N 剟.。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)课件：第六章 数列 6-专题研究2 含答案

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)课件：第六章 数列 6-专题研究2 含答案

探究 2
裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或
多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵 消掉，从而达到求和的目的．
【误区警示】 用裂项相消法求和的关键是将其通项公式 准确进行裂项，求解时应注意两个方面：一要掌握一些常见的 1 1 1 1 1 1 1 裂项，如 ＝ － ， ＝ ( － )， n（n＋1） n n＋1 n（n＋2） 2 n n＋2 1 ＝ n＋1＋ n n＋1 － n 等，特别要注意常数的处理，如
【答案】 3n－1＋2
n
1 ＋ n(3n＋1)＋2n 1－2 2
题型二 裂项相消法 例2 求和：
1 1 1 (1)Sn＝ ＋ ＋…＋ ； 1×2 2×3 n（n＋1） 1 1 1 (2)Sn＝ ＋ ＋…＋ . 1×3 2×4 n（n＋2）
1 1 1 1 1 【解析】 (1)Sn＝1－ ＋ － ＋…＋ － 2 2 3 n n＋1 1 n ＝1－ ＝ . n＋1 n＋1 1 1 1 1 1 1 (2)Sn＝ 1－3＋2－4＋…＋n－n＋2 2 1 1 1 2n＋3 1 3 ＝21＋2－n＋1－n＋2＝4－ . 2（n＋1）（n＋2） n 【答案】 (1)Sn＝ n＋1 2n＋3 3 (2)Sn＝4－ 2（n＋1）（n＋2）
题型三 错位相减法 2n－1 1 1 1 例3 求和：Sn＝1×2＋3×4＋5×8＋…＋ 2n .
1 【思路】 数列 1，3，5，…，2n－1 成等差数列，数列2， 1 1 1 ， ，…， n组成等比数列，此例利用错位相减法可达目的． 4 8 2
1 1 1 1 【解析】 ∵Sn＝1× ＋3× ＋5× ＋…＋(2n－1)× n， ① 2 4 8 2 1 1 1 1 1 ∴2Sn＝1×4＋3×8＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)× n＋1. 2 ①－②，得 1 1 1 1 1 1 2Sn＝1×2＋2×4＋2×8＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1 1 1 2× －2× n＋1 4 2 1 1 3 2n＋3 ＝1× ＋ －(2n－1)× n＋1＝ － n＋1 . 2 1 2 2 2 1－ 2 ②

高考数学一轮复习 第六章 数列大题冲关 理

高考数学一轮复习 第六章 数列大题冲关 理

第六章 数列高考中数列问题的热点题型对近几年高考试题统计看，新课标全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大．但自主命题的省市高考题每年都考查，难度中等．考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循．热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用．[典题1] [2015·湖北卷]设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1知，a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②，得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.用错位相减法解决数列求和问题的步骤第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k(k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差． 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n . 技巧点拨1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．2．等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{b n }是一个公差为d 的等差数列，则{ab n }(a ＞0，a ≠1)就是一个等比数列，其公比q ＝a d ；反之，若数列{b n }是一个公比为q (q ＞0)的正项等比数列，则{log a b n }(a ＞0，a ≠1)就是一个等差数列，其公差d ＝log a q .设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋4＝6a 2⇒a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ， 由a 2＝2，可得a 1＝2q，a3＝2q ，又S 3＝7，所以2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝2或q ＝12.∵q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)，得a 3n ＋1＝23n， ∴b n ＝ln 23n＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2， ∴数列{b n }为等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n 3ln 2＋3n ln 22＝3n n ＋12ln 2.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵活运用等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式．其中求通项是解答题目的基础．同时要重视方程思想的应用．[典题2] [2015·天津卷]已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)． 又q ≠1，所以a 3＝a 2＝2. 由a 3＝a 1q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2 n2 .所以{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧2n －12 ，n 为奇数，2n2 ，n 为偶数.(2)由(1)，得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ，整理，得S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.1．根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项，如根据a n 与S n 的关系求a n .根据递推关系求a n .2．根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求和，裂项求和、错位相减法求和等．[2017·安徽合肥模拟]已知数列{a n ＋1＋a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，a 1＝0.(1)求数列{a n ＋1＋a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)设a n ＋1＋a n ＝b n . 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－2)－(2n －2)＝2n.当n ＝1时，b 1＝S 1＝2，满足n ≥2时b n 的形式． 所以a n ＋1＋a n ＝b n ＝2n.(2)由(1)，得a n ＋1＋a n ＝2n，则a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1.两式相减，得a n ＋2－a n ＝2n . 当n 为奇数时，a n ＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋…＋(a n －2－a n －4)＋(a n －a n －2)＝0＋21＋23＋…＋2n －4＋2n －2＝21－2n －11－22＝2n3－23. 当n 为偶数时，由(1)知，a 1＝0，a 2＋a 1＝2，得a 2＝2.a n ＝a 2＋(a 4－a 2)＋(a 6－a 4)＋…＋(a n －2－a n －4)＋(a n －a n －2)＝2＋22＋24＋…＋2n －4＋2n －2＝2＋22－2n －2·221－22＝2n3＋23. 综上所述，数列{a n }的通项公式是a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n3－23，n 为奇数，2n3＋23，n 为偶数.热点三 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等．如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等．主要有以下几个命题角度：[考查角度一] 放缩法证明数列不等式[典题3] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)求证：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜13.(1)[解] 由题意知，S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*.令n＝1，有S21－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，可得S21＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又a n为正数，所以a1＝2.(2)[解] 由S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*，可得(S n＋3)(S n－n2－n)＝0，则S n ＝n2＋n或S n＝－3，又数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n2＋n，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.又a1＝2＝2×1，所以a n＝2n，n∈N*.(3)[证明]当n＝1时，1a1a1＋1＝12×3＝16＜13成立；当n≥ 2时，1a n a n＋1＝12n2n＋1＜12n－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n＋1＜16＋16＝13.所以对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜13.数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到．即先放缩再求和或先求和再放缩．[考查角度二] 数列中不等式的恒成立问题[典题4] 已知单调递增的等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n log12a n，S n＝b1＋b2＋…＋b n，对任意正整数n，S n＋(n＋m)a n＋1＜0恒成立，试求m的取值范围．[解] (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n.(2)b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ， ∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝21－2n1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0，得 2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1＜0对任意正整数n 恒成立，∴m ×2n ＋1＜2－2n ＋1，即m ＜12n －1对任意正整数n 恒成立．∵12n －1＞－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．。

《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第六章数列题组30 Word版含解析

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题组层级快练(三十)1．(2015·新课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11答案 A解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， 得3a 3＝3，则a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A 项．2．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，∴a 3＝5. 故d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．(2016·衡水调研卷)在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A4．(2014·重庆文)在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 1＋a 7＝a 3＋a 5.因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B. 5．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 6．(2016·武汉市二中)已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 D解析 a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝70，解得d ＝23.故选D.7．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 答案 C解析 ∵数列{a n }是等差数列，且S 8－S 3＝10，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝10，∴5a 6＝10，a 6＝2，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝11a 6＝22.8．(2016·山东泰安一中模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为S n ＝n （a 1＋a n ）2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.由S 33－S 22＝1，得a 32－a 22＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.10．在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，已知a 2a 3＝13，则S 4S 5等于( )A.815 B.40121 C.1625 D.57 答案 A解析 由题意可得S 4S 5＝4（a 1＋a 4）25（a 1＋a 5）2＝2（a 2＋a 3）5a 3＝815.11．已知在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6答案 D解析 ∵d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝2a 6＝0.∴a 6＝0，a 5>0，a 7<0.∴S 5＝S 6.故选D.12．(2014·福建理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 因为S 3＝3a 1＋3×（3－1）2d ＝3×2＋3×22d ＝12，所以d ＝2.所以a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.13．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 A解析 因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180. 又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60. 所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.14．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________． 答案 1n （n ＋1）4解析 设公差为d ，则由S 2＝a 3，得2a 1＋d ＝a 1＋2d ，所以d ＝a 1＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋1）4.15．已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于________．答案 0解析 记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112.∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0. 16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．答案 891解析 ∵A 6＝{x|26<x<27且x ＝7m ＋1，m ∈N }，∴A 6的元素x ＝各数成一首项为71，公差为7的等差数列． ∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．答案 (1)S 6＝－3，a 1＝7 (2)d ≤－22或d ≥2 2 解析 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0. 即2a 12＋9da 1＋10d 2＋1＝0. 故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.18．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 答案 (1)略 (2)最大项a 4＝3，最小项a 3＝－1 解析 (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. 所以当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎫2－1an －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分 选修系列4题组75 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分 选修系列4题组75 Word版含解析

题组层级快练(七十五)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝1 答案 A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x.选D.3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C4．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C5．(2016·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( ) A ．ρ＝1 B ．θ＝π2C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1 答案 A解析 ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A 正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故B 不正确；ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故D 不正确． 6．在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2答案 D解析 极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D.7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1，0)D ．(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－π2)．8．在极坐标系中，点(2，－π3)到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.9＋π29D.7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）2＋（－3－0）2＝7.故选D.9．(2016·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( ) A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A. 10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意． 方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA|＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l 上任意一点， 则有cos θ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcos θ＝2.11．(2015·湖南)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________． 答案 x 2＋y 2－2y ＝0解析 两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.12．(2015·北京)在极坐标系中，点(2，π3)到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．答案 1解析 点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.13．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________． 答案 ρsin θ＋ρcos θ＝1(或ρsin (θ＋π4)＝22)解析 曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，所以AB 的方程为－x ＋y ＝0.又易知AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆C 1的圆心(0，1)，所以AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，或化成ρsin (θ＋π4)＝22. 14．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为(2，π4)，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)8 解析 (1)圆C 的圆心的极坐标C(2，π4)， ∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)点P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)． 当直线l 与圆C 相切于点D 时，则|PD|2＝|PC|2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8.15．(2016·河北唐山三模)在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos (θ＋π4)＝2距离的最大值．答案 (1)ρ＝2sin θ(ρ≠0) (2)1＋322解析 (1)设P(ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2. C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322.16．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝2sint ，(t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 12＋y 12＝1得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝2sint ，(t 为参数)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.1．(2016·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________． 答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.2．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ＝5，则点(4，π3)到直线l 的距离为________．答案 3解析 在直角坐标系中，直线l 的方程为x ＝5.在直角坐标系中，x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，故点(4，π3)的直角坐标为(2，23)，到直线x ＝5的距离为5－2＝3. 3．在极坐标系中，直线ρsin (θ＋π4)＝2被圆ρ＝2截得的弦长为________． 答案 4 3解析 直线ρsin (θ＋π4)＝2的直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是4，圆心到直线的距离d ＝|－22|12＋12＝2，所以直线ρsin (θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长是242－22＝4 3. 4．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρ＝4sin θ(π2<θ<π)交点的极坐标是________．答案 (2，5π6)解析 由题意分析可得，曲线C 1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4.对ρ＝4sin θ变形得ρ2＝4ρsin θ，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1.又∵π2<θ<π，∴交点为(－3，1)，转化为极坐标ρ＝2，tan θ＝1－3，由题意θ＝5π6，所以交点的极坐标为(2，5π6)．5．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin (θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin (θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0. 同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.6．(2016·唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．答案 (1)C ：ρ＝2 l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2 (2)ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)解析 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)． 7．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin (θ－π3)＝6.(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2：3x －y ＋12＝0 (2)16 解析 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x 2＋y 2＝100. 所以C 1为圆心在(0，0)，半径等于10的圆． 由C 2：ρsin (θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0，0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝|12|（3）2＋（－1）2＝6<10，所以直线C 2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos (θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 答案 (1)x ＋3y －2＝0，M(2，0)，N(233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析 (1)由ρcos (θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)，则P 点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．。

2017届高三数学(全国理)一轮复习单元滚动检测第六单元 数 列 含解析

2017届高三数学(全国理)一轮复习单元滚动检测第六单元 数 列 含解析

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测六数列第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2015·黄冈中学期中)已知｛a n}是等差数列，a1＋a7＝－2，a3＝2,则｛a n｝的公差d等于( ）A．－1 B．－2C．－3 D．－42．（2015·福建）若a，b是函数f（x)＝x2－px＋q（p＞0,q＞0)的两个不同的零点，且a,b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ）A．6 B．7 C．8 D．93．（2015·青岛模拟)已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n＝3n＋a （n∈N*），则实数a的值是（)A．－3 B．3C．－1 D．14．已知数列｛a n｝是等差数列,若a2 016＋a2 017<0，a2 016·a2 017<0，且数列{a n｝的前n项和S n有最大值，那么S n取得最小正值时，n等于( )A．4 029 B．4 030C．4 031 D．4 0325．等比数列｛a n}中，a2＝2,a4＝8，a n>0，则数列{log2a n｝的前n项和为（)A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!6．（2015·重庆模拟)已知a1＝1，a n＝n（a n＋1－a n）(n∈N*），则数列｛a n｝的通项公式是( )A．a n＝2n－1 B．a n＝（错误!）n－1C．a n＝n2D．a n＝n7．（2015·浙江)已知{a n｝是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n,若a3，a4，a8成等比数列,则( )A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0,dS4＜0 D．a1d＜0,dS4＞08．（2015·天津模拟）已知数列{a n｝的前n项和S n＝2a n－1，则满足错误!≤2的正整数n的集合为( ）A．｛1,2} B．｛1，2,3,4｝C．{1，2，3｝D．{1，2,4｝9．设函数f(x)＝2x－cos x,｛a n｝是公差为π8的等差数列，f(a1）＋f(a2）＋…＋f(a5)＝5π，则［f（a3)］2－a1a5等于（）A．0 B.错误!π2C.错误!π2D.错误!π210．（2015·黄冈中学月考）若数列｛a n}满足错误!－错误!＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列｛a n｝为“梦想数列"．已知正项数列｛错误!}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是（）A．2 B．4C．6 D．811．数列{a n｝是等差数列,若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列,则q等于( ）A．1 B。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第六章数列题组31 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第六章数列题组31 Word版含解析

题组层级快练(三十一)1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C2．在等比数列{a n }中，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21答案 B3．(2016·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8答案 B解析 ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎨⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0，(舍去)故所求的公比q ＝4.5．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( ) A ．21 B ．42 C ．135 D ．170答案 D解析 方法一：S 8＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8)＝2＋8＋32＋128＝170. 方法二：q 2＝a 3＋a 4a 1＋a 2＝4，又q>0，∴q ＝2.∴a 1(1＋q)＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝23.∴S 8＝23·（28－1）2－1＝170.6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴778＝14－78q1－q .解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1，∴n＝3.故该数列共5项．7．(2016·沧州七校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 由S 6S 3＝3知该等比数列的公比q ≠－1，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10，所以m ＝11.9．(2016·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1答案 D解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54.②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2. ∴a n ＝2×(12)n －1＝42n .∴S n ＝2×[1－（12）n ]1－12＝4(1－12n )．∴S na n ＝4（1－12n ）42n＝2n －1，选D. 10．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2答案 B 解析 因为a 3·a 9＝2a 52，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 62＝2a 52，所以a 62a 52＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.11．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12B ．－12C ．1或－12D ．1或12答案 C解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12. 12．(2016·浙江湖州一模)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．－8B ．5C ．8D ．15答案 B解析 ∵在等比数列{a n }中，8a 2－a 5＝0，∴公比q ＝2.∴S 4S 2＝a 1（1－24）1－2a 1（1－22）1－2＝5，故选B.13．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________． 答案 23；－1解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 32＝a 2a 7，即(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)·(a 1＋6d)，解得d ＝－32a 1①，∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1②，由①②可得a 1＝23，d ＝－1.14．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________． 答案 2 2n ＋1－2解析 由等比数列的性质，得a 3＋a 5＝(a 2＋a 4)q ，解得q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n ＋1－2.15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________． 答案 －2解析 由S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.16．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________． 答案 －2，2n －1－12解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q|＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.17．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 答案 略证明 由已知得2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3，即2q 6－q 3－1＝0，得q 3＝1或q 3＝－12.当q 3＝1即q ＝1，{a n }为常数列，S 62S 3＝S 12－S 6S 6命题成立．当q 3＝－12时，S 62S 3＝1－q 62（1－q 3）＝14. S 12－S 6S 6＝1－q 121－q6－1＝14.∴命题成立． 18．(2016·山西大同质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝5×2n －3 (2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d. 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54（1－2n ）1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，以2为公比的等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 依题意得a 2 016a 2 013＝q 3＝8，q ＝2，选A.2．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10等于( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或3答案 A解析 由a 2a 6＝16，得a 42＝16⇒a 4＝±4.又a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8，∵q 4>0，∴a 4＝4.∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1.3．(2015·浙江金丽衢十二校二联)在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由题意可得q 3＝8，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84.4．(2015·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m ＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得 m ＝5.5．(2013·新课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q 2＝9. 所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19，故选C 项．6．(2016·武汉调研)在等比数列{a n }中，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．32 答案 A解析 方法一：∵数列{a n }是正项等比数列，∴a 1·a 5＝a 1·a 1q 4＝16⇒a 1q 2＝4①，又a 4＝8⇒a 1q 3＝8②，由①②得，q ＝2，∴a 5＝a 4q ＝8×2＝16.方法二：由a 1·a 5＝a 32＝16 ⇒a 3＝4，q ＝2.7．(2016·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n }的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q.当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.8．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.9．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 答案 240。

2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第6章数列高考专题突破三高考中的数列问题文档

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1．设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则12354b b b b b a a a a a ++++等于( ) A ．54 B ．56 C ．58 D ．57答案 D解析 由题意得，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴1ab ＋…＋5ab ＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，则数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n ＋1D ．2n ＋1答案 C解析 ∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.3．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N ＋都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2013等于( ) A.20122013B.40262014C.40242014D.20132014答案 B解析 因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2013＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋12013－12014 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12014＝40262014，故选B.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N ＋都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9 (k ∈N ＋)，则k的值为________．答案 4解析 当n >1时，S n －1＝23a n －1－13，∴a n ＝23a n －23a n －1，∴a n ＝－2a n －1，又a 1＝－1，∴{a n }为等比数列，且a n ＝－(－2)n －1， ∴S k ＝(－2)k －13，由1<S k <9，得4<(－2)k <28， 又k ∈N ＋，∴k ＝4.题型一 等差数列、等比数列的综合问题例1 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时， S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 题型二 数列的通项与求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn }是等比数列；(2)求通项a n 与前n 项的和S n . (1)证明 因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N ＋时，a nn≠0.又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N ＋)为常数， 所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12·(12)n －1， 所以a n ＝n ·(12)n .∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ，12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(12)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1＝12－(12)n ＋11－12－n ·(12)n ＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n＝2－(n ＋2)·(12)n .综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n .思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求{a n }的通项a n ；(2)若c n ＝1n (b n －6)，求{c n }的前n 项和S n .解 (1)因为b 1＋b 3＋b 5＝6， 所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝6，所以log 2(a 1a 3a 5)＝6，所以log 2(a 31q 6)＝6，所以log 2(a 1q 2)＝2，即b 3＝2，a 1q 2＝4＝a 3. 因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1b 3b 5＝0，所以b 5＝0＝log 2a 5，a 5＝1， 所以a 5a 3＝14＝q 2，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝4，q 2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.所以a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n ＝25－n ，所以b n ＝5－n (n ∈N ＋)，所以c n ＝1n (5－n －6)＝－1n (n ＋1)，所以S n ＝－[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝－(1－1n ＋1)＝－nn ＋1 (n ∈N ＋)． 题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇例3 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N ＋，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n ， 16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N ＋.数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ， 又f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ， 由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合， ∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N ＋)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝4n2n ＋1. 命题点2 函数与不等式的交汇例4 已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设公差为d ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n (n ＋1)2n，∴T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1－n (n ＋1)2n＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故m ≥32.命题点3 数列应用题例5 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元． (1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元． 解 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N ＋， 则a 1＝2×1000－500＝1500， a 2＝2×1500－500＝2500，…， a n ＝2a n －1－500(n ≥2)． ∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是以a 1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列． ∴a n －500＝1000×2n －1， ∴a n ＝1000×2n －1＋500.(1)∵a 4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元． (2)由a n ＞32500，即2n －1＞32，得n ＞6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元．思维升华 数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n 项和公式或递推关系式，建立数列模型．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N ＋)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)f ′(x )＝2x ln2，f ′(a 2)＝2a 2ln2，故函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln2(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意，得a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n2n＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.1．在等差数列{a n }中，a 2＝4，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋λn (λ∈R )．(1)求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 是首项为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝S 2－S 1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ，∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a 1＝S 1＝12＋1×1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)由(1)知λ＝1，∴1S n＋b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴b n ＝2n －1－1n (n ＋1)＝2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝(1＋21＋…＋2n －1)－[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝1－2n 1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n －2n ＋1n ＋1. 2．(2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3). 3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列{a n ＋23(－1)n }为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 解 (1)在S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N ＋)中分别令n ＝1,2,3得： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N ＋)得：S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1(n ≥2)，两式相减得：a n ＝2a n －1－2(－1)n (n ≥2)，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n (n ≥2)， ∴a n ＋23(－1)n ＝2[a n －1＋23(－1)n －1](n ≥2)． 故数列{a n ＋23(－1)n }是以a 1－23＝13为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，a n ＝13×2n －1－23×(－1)n ＝2n －13－23(－1)n . 4．(2015·湖南)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ∈N ＋.(1)证明：a n ＋2＝3a n ；(2)求S n .(1)证明 由条件，对任意n ∈N ＋，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N ＋，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N ＋，a n ＋2＝3a n .(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2. 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)． 综上所述，S n ＝⎩⎨⎧ 32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n 2－1)，n 是偶数.5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N ＋时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N ＋，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N ＋，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值． (1)解 令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )， ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列， ∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ， 12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n ＜2. 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.(3)解 ∵f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )⎝⎛⎭⎫12n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，b n ＞0；当n ＝9时，b n ＝0； 当n ＞9时，b n ＜0.∴当n ＝8或9时，S n 取得最大值．。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分 选修系列4题组77 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分 选修系列4题组77 Word版含解析

题组层级快练(七十七)1．不等式x 2－|x|－2<0(x ∈R )的解集是( ) A ．{x|－2<x<2} B ．{x|x<－2或x>2} C ．{x|－1<x<1} D ．{x|x<－1或x>1}答案 A解析 方法一：当x ≥0时，x 2－x －2<0，解得－1<x<2，∴0≤x<2. 当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1，∴－2<x<0. 故原不等式的解集为{x|－2<x<2}． 方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2. ∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}． 2．ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 ` D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当ab ≥0，a<b 时，|a －b|≠|a|－|b|，故条件不充分． 当|a －b|＝|a|－|b|时，则ab ≥0且|a|≥|b|.故条件必要． 综上可知，ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的必要不充分条件． 3．已知a ，b ∈R ，ab>0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．|a ＋b|≥a －b B ．2ab ≤|a ＋b| C ．|a ＋b|<|a|＋|b| D ．|b a ＋ab|≥2答案 C解析 当ab>0时，|a ＋b|＝|a|＋|b|.4．若2－m 与|m|－3异号，则m 的取值范围是( ) A ．m>3 B ．－3<m<3 C ．2<m<3 D ．－3<m<2或m>3答案 D解析 方法一：2－m 与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m －2)(|m|－3)>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，（m －2）（m －3）>0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，（m －2）（－m －3）>0.解得m>3或0≤m<2或－3<m<0.方法二：由选项知，令m ＝4符合题意，排除B ，C 两项，令m ＝0符合题意，可排除A 项．5．(2016·四川成都模拟)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|>k 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k<1 B ．k ≥1 C ．k>1 D ．k ≤1答案 A解析 由题意得k<(|x ＋2|＋|x ＋1|)min ，而|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－(x ＋1)|＝1，所以k<1，故选A.6．设不等式|2x －1|<1的解集为M ，且a ∈M ，b ∈M.则( ) A ．ab ＋1>a ＋b B ．ab ＋1≥a ＋b C ．ab ＋1<a ＋b D ．ab ＋1≤a ＋b答案 A解析 由|2x －1|<1得，－1<2x －1<1，解得0<x<1，∴M ＝{x|0<x<1}，∵a ，b ∈M ，∴0<a<1，0<b<1，ab ＋1－a －b ＝(a －1)(b －1)>0，∴ab ＋1>a ＋b.7．(2016·广州综合测试一)若不等式|x －a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，则有⎩⎪⎨⎪⎧|1－a|＝1，|3－a|＝1，解得a ＝2.8．(2016·重庆五区抽测)若函数f(x)＝|x ＋2|＋|x －m|－4的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞)解析 根据题意，不等式|x ＋2|＋|x －m|－4≥0恒成立，所以(|x ＋2|＋|x －m|－4)min ≥0. 又|x ＋2|＋|x －m|－4≥|m ＋2|－4， 所以|m ＋2|－4≥0⇒m ≤－6或m ≥2.9．若关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥a 2＋a ＋1(x ∈R )的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(0，＋∞)解析 ∵|x －1|－|x －2|＝|x －1|－|2－x|≤|x －1－x ＋2|＝1， 若不等式|x －1|－|x －2|≥a 2＋a ＋1(x ∈R )的解集为空集， 则|x －1|－|x －2|<a 2＋a ＋1恒成立， 即a 2＋a ＋1>1，解得a<－1或a>0，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．10．(2015·重庆)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________． 答案 －6或4解析 当a ＝－1时，f(x)＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a<－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a<x ≤－1，3x ＋1－2a ，x>－1，f(x)min ＝f(a)＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a>－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x>a ，f(x)min ＝f(a)＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4. 11．(2016·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|. (1)当a ＝2时，解不等式f(x)≤－12；(2)若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|x ≥114} (2)(－∞，32]解析 (1)当a ＝2时，f(x)＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x<3，－1，x ≥3，f(x)≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x<3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤12，解得114≤x<3，或x ≥3， 所以原不等式的解集为{x|x ≥114}．(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|.所以若存在实数x ，使得f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，故实数a 的取值范围是(－∞，32]．12．(2016·山西忻州四校二次联考)已知函数f(x)＝|x ＋2|＋|2x －4|. (1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)≥m 2－3m 的解集是R ，求m 的取值范围． 答案 (1){x|0<x<83} (2)－1≤m ≤4解析 (1)由题设知，当x ≥2时，不等式等价于x ＋2＋2x －4<6，即2≤x<83；当－2<x<2时，不等式等价于x ＋2＋4－2x<6，即0<x<2； 当x ≤－2时，不等式等价于－x －2＋4－2x<6，即无解． 所以不等式的解集是{x|0<x<83}．(2)由图像或者分类讨论可得f(x)＝|x ＋2|＋|2x －4|的最小值为4，则m 2－3m ≤4，解得－1≤m ≤4.13．(2016·辽宁大连双基考试)设函数f(x)＝|x －1|＋12|x －3|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)≤a(x ＋12)的解集非空，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，13)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－32)∪[47，＋∞)解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧32x －52>2，x>3，解得不等式的解集为(－∞，13)∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x －1|＋12|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x>3.f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)，直线y ＝a(x ＋12)绕点(－12，0)旋转，由图可得不等式f(x)≤a(x ＋12)的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－32)∪[47，＋∞)．14．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－2|x －a|，a>0. (1)当a ＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 答案 (1){x|23<x<2} (2)(2，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f(x)>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x<1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x<1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为{x|23<x<2}．(2)由题设可得，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x<－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x>a.所以函数f(x)的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a －13，0)，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a>2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．1．(2016·天津南开区上学期一模)已知函数f(x)＝|mx|－|x －n|(0<n<1＋m)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为( ) A ．3<m<6 B ．1<m<3 C ．0<m<1 D ．－1<m<0答案 B解析 不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，即|mx|<|x －n|(0<n<1＋m)的解集中的整数恰有3个．|mx|<|x －n|可化为(mx)2－(x －n)2<0，即[(m ＋1)x －n]·[(m －1)x ＋n]<0，由于不等式解集中整数恰有3个，所以m －1>0，m>1，不等式的解为－n m －1<x<n m ＋1<1，从而解集中的3个整数为－2，－1，0，－3≤－n m －1≤－2，即2<nm －1≤3，2m －2<n ≤3m －3，结合0<n<1＋m ，得2m －2<m ＋1，m<3，即1<m<3，选B.2．关于x 的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d 有解时，d 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 因为|2 014－x|＋|2 015－x|≥|(2 014－x)－(2 015－x)|＝1，所以当不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d 有解时，只需d ≥1即可． 3．不等x ＋3>|2x －1|的解集为________． 答案 {x|－23<x<4}解析 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋3>2x －1或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x ＋3>1－2x ， 解得12≤x<4或－23<x<12，故不等式的解集为{x|－23<x<4}．4．(2016·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a<4)． (1)若f(x)的最小值为3，求a 的值； (2)求不等式f(x)≥3－x 的解集． 答案 (1)1 (2)R解析 (1)因为|x －4|＋|x －a|≥|(x －4)－(x －a)|＝|a －4|， 又a<4，所以当且仅当a ≤x ≤4时等号成立． 故|a －4|＝3，所以a ＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x 即不等式|x －4|＋|x －a|≥3－x(a<4)，①当x<a 时，原不等式可化为4－x ＋a －x ≥3－x ，即x ≤a ＋1. 所以，当x<a 时，原不等式成立．②当a ≤x ≤4时，原不等式可化为4－x ＋x －a ≥3－x. 即x ≥a －1.所以，当a ≤x ≤4时，原不等式成立． ③当x>4时，原不等式可化为x －4＋x －a ≥3－x ， 即x ≥a ＋73，由于a<4时，4>a ＋73.所以，当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x 的解集为R .。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第二章函数与基本初等函数题组6 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第二章函数与基本初等函数题组6 Word版含解析

题组层级快练(六)1．(2016·北京大兴区期末)下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝ln(x －2) B ．y ＝－x C ．y ＝x －x －1D ．y ＝(12)|x|答案 C2．若函数y ＝x 2＋bx ＋c(x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b>0 D ．b<0答案 A3．(2015·湖南文)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数答案 A解析 由函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域是(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，所以y ＝f(x)为奇函数，且函数f(x)在(0，1)上是增函数．故选A. 4．函数f(x)＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．5．(2016·保定模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x<1，则“c ＝－1”是“函数f(x)在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A6．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞) 答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5，∴y ＝log a 5>0，∴a>1. 由复合函数单调性知，单调递减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x<－1，解之得x<－3.7．(2014·上海理)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0.若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2] D ．[0，2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f(x)＝(x －a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a ≥0.当x>0时，f(x)＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a ≥f(0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.8．(2016·杭州模拟)已知减函数f(x)的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是( ) A ．m －n<0 B ．m －n>0 C ．m ＋n<0 D ．m ＋n>0 答案 A解析 设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R 上的减函数， ∴f(－x)是R 上的增函数，－f(－x)是R 上的减函数．∴当m<n 时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m －n<0一定成立，故选A. 9．(2016·合肥一中模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，1) C ．[1，＋∞) D ．[－1，0] 答案 B10．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝f （x ）x 在区间(0，＋∞)上一定( ) A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析 ∵f(x)＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a>0.∴g(x)＝f （x ）x ＝x ＋ax －2a 在(0，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．11．若函数y ＝－|x|在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥0解析 y ＝－|x|在[0，＋∞)上单调递减，∴a ≥0.12．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________． 答案 (0，110)解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R 上为单调递减函数． 不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得0<x<110.13．函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞) 解析 函数图像如图.14．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，x ∈（－∞，0）， ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，x ∈（0，＋∞）， ③⎩⎪⎨⎪⎧a>1，x ∈（－∞，0）， ④⎩⎪⎨⎪⎧a>1，x ∈（0，＋∞） 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．15．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0，1)上是单调递减的函数的序号是________．16．(2016·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝e |x －a|(a 为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a，x ≥a ，e a －x ，x<a ，当x ≥a 时，f(x)单调递增，当x<a 时，f(x)单调递减，又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 17．求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝－x 2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log 12(－x 2＋4x ＋5)． 答案 (1)单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1] 单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞) (2)单调递增区间为(2，5)，单调递减区间为(－1，2]解析 (1)∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 （x ≥0），－x 2－2x ＋3 （x<0）， 其图像如图所示，所以函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝－x 2＋4x ＋5，则f(x)＝log 12u.∵u>0，∴－1<x<5且x ∈(－1，2]时，u 为增函数；x ∈(2，5)时，u 为减函数． 又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同增异减，故f(x)的单调递增区间为(2，5)；单调递减区间为(－1，2]． 18．已知函数f(x)＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a 的取值范围．答案 (1)a>1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x|x>0且x ≠1}；0<a<1时，{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}(2)lg a2(3)(2，＋∞)解析 (1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x ≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}． (2)设g(x)＝x ＋ax －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，g(x)＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x －x 2.而h(x)＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max ＝h(2)＝2. ∴a>2.(2016·衡水调研卷)已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，满足(x －2)f ′(x)>0，且函数y ＝f(x ＋2)为偶函数，a ＝f(2)，b ＝f(log 23)，c ＝f(25)，则实数a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c>b>a解析 因为函数y ＝f(x)的定义域为R ，满足(x －2)f ′(x)>0，所以x －2>0时，f ′(x)>0，函数y ＝f(x)是增函数；又函数y ＝f(x ＋2)为偶函数，故其图像关于直线x ＝2对称，即在区间(－∞，2)上函数y ＝f(x)为减函数．由f(25)＝f(4－25)，4－25<log 23<2，得f(4－25)>f(log 23)>f(2)，即c>b>a.。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)课件：第六章 数列 6-3 含答案

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学文)课件：第六章 数列 6-3 含答案
偶
常用技巧 (1)若{an}是等比数列， 且 an>0(n∈N*)， 则{logaan}(a>0 且 a≠1) 成等差数列，反之亦然． b (2)三个数成等比数列可设三数为 ，b，bq，四个数成等比数 q b b 列且公比大于 0 时，可设四个数为q3，q，bq，bq3.
1．(课本习题改编)等比数列 x，3x＋3，6x＋6，„的第四项 等于( ) B．0 D．24
性质 (1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq． (2)等比数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，当 n 为偶数时，S ＝S 奇·__q__． (3)等比数列{an}中，公比为 q，依次 k 项和为 Sk，S2k－Sk， S3k－S2k(Sk≠0)成等比数列，新公比 q′＝qk．
n－1
1 n－1 8－n 1 ＝2 ·( ) ＝2 ＝ ＝2－1， 2 2
7
∴8－n＝－1，即 n＝9. (2)∵a2·a8＝a3·a7＝36 且 a3＋a7＝15， ∴a3＝3，a7＝12 或 a3＝12，a7＝3. 1 2 ∵q ＝4 或 q ＝ ，∴q＝± 2或 q＝± . 4 2
4 4
a1[1－（－ 2）8] a1（－15） (3)∵S8＝ ＝ ＝15(1－ 2)， 1＋ 2 1＋ 2 ∴a1＝－(1－ 2)· (1＋ 2)＝1. 2 【答案】 (1)9 (2)± 2或± 2 (3)a1＝1
答案 解析 2，2，2 2或－ 2，2，－2 2 设插入三个数分别为 a，b，c，则 b2＝1×4，∴b＝2 或
b＝－2(舍)， a2＝1×b＝2.∴a＝± 2， 同时 c2＝b×4＝8， ∴c＝±2 2， 且 a，c 同号．∴这三个数为 2，2，2 2或－ 2，2，－2 2.

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分 选修系列4题组78 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练选考部分 选修系列4题组78 Word版含解析

题组层级快练(七十八)1．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋3)2<2a 2＋6a ＋11 B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b|＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1<a ＋2－ a答案 C解析 (a ＋3)2－(2a 2＋6a ＋11)＝－a 2－2<0，故A 恒成立；在B 项中不等式的两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇐(a 4－a 3)＋(1－a)≥0⇐a 3(a －1)－(a －1)≥0⇐(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以B 项中的不等式恒成立； 对C 项中的不等式，当a>b 时，恒成立，当a<b 时，不恒成立； 由不等式2a ＋3＋a ＋1<2a ＋2＋a 恒成立，知D 项中的不等式恒成立．故选C.2．(2016·湖北教学合作联考)设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x ＝b y ＝2，2a ＋b ＝8，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23答案 B解析 由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＋1y ＝1log a 2＋1log b 2＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab)． 又∵a>1，b>1，∴8＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤8，当且仅当2a ＝b ，即a ＝2，b ＝4时取等号． 所以1x ＋1y ＝log 2(ab)≤log 28＝3.故(1x ＋1y)max ＝3. 3．(2016·湖北八校第二次联考)若2x ＋3y ＋5z ＝29，则函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为( ) A. 5 B ．215 C ．230 D.30 答案 C解析 由柯西不等式得u 2＝(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2≤(12＋12＋12)(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6) ＝3(2x ＋3y ＋5z ＋11)＝3×(29＋11)＝120， ∴u ＝230，故选C.4．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝2，则x ＋4xy ＋4y 的最大值是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11答案 C解析 x ＋4xy ＋4y ＝(x ＋2y)2≤(12＋22)[(x)2＋(y)2]＝5(x ＋y)＝5×2＝10. ∴x ＋4xy ＋4y ≤10. 当且仅当1×y ＝2x. 即y ＝4x(x>0)时等号成立．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，x ＋y ＝2，得x ＝25符合x>0，∴x ＋4xy ＋4y 的最大值为10，故应选C.5．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________． 答案 2解析 (am ＋bn)(bm ＋an)＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab(m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b)2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时等号成立)． 6．(2016·沧州七校联考)若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值为________． 答案 3322解析 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝ 3314＝3322，当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时取等号．所以x ＋y 的最小值为3322. 7．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 答案3解析 方法一：(a ＋b ＋c)2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤a ＋b ＋c ＋(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)＝3.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号成立．方法二：柯西不等式：(a ＋b ＋c)2＝(1×a ＋1×b ＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c)＝3.8．(2016·湖北名校联盟)若x 2＋y 2＝1，则x ＋2y 的最大值为________． 答案5解析 方法一：(柯西不等式法)5＝1×5＝(x 2＋y 2)(12＋22)≥(x ＋2y)2，∴－5≤x ＋2y ≤5，因此x ＋2y 的最大值为 5.方法二：(几何法)令z ＝x ＋2y ，则直线x ＋2y －z ＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点，圆心到直线的距离d ＝|z|12＋22≤1⇒|z|≤5，解得－5≤x ＋2y ≤5，因此x ＋2y 的最大值为 5. 方法三：(三角换元法)设x ＝sin θ，y ＝cos θ，则x ＋2y ＝sin θ＋2cos θ＝5sin (θ＋φ)，其中tan φ＝2，且φ∈(0，π2)，由于－1≤sin (θ＋φ)≤1，因此－5≤5sin (θ＋φ)≤5，即x＋2y 的最大值为 5.9．函数y ＝x －1＋5－x 的最大值等于________． 答案 2 2解析 y 2＝(x －1)＋(5－x)＋2（x －1）（5－x ）＝4＋2（x －1）（5－x ）≤4＋[(x －1)＋(5－x)]＝8，当且仅当x －1＝5－x ，即x ＝3时取“＝”．∴y ≤2 2.即原函数的最大值为2 2.10．若a>0，b>0，且1a ＋1b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．答案 4 2解析 ∵a>0，b>0，且1a ＋1b ＝ab ，由基本不等式得ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，a 3＋b 3≥2（ab ）3≥223＝4 2.11．(2016·江苏南通)已知x>0，y>0，a ∈R ，b ∈R .求证：(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2yx ＋y .答案 略证明 因为x>0，y>0，所以x ＋y>0.所以要证(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2yx ＋y ，即证(ax ＋by)2≤(x ＋y)(a 2x ＋b 2y)，即证xy(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0显然成立．故(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2yx ＋y.12．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy. 答案 略证明 因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y>0.故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy.13．(2015·新课标全国Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab>cd ，则a ＋b>c ＋d ；(2)a ＋b>c ＋d 是|a －b|<|c －d|的充要条件． 答案 略解析 (1)因为(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d)2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab>cd 得(a ＋b)2>(c ＋d)2. 因此a ＋b>c ＋ d.(2)①若|a －b|<|c －d|，则(a －b)2<(c －d)2，即(a ＋b)2－4ab<(c ＋d)2－4cd. 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab>cd. 由(1)得a ＋b>c ＋ d.②若a ＋b>c ＋d ，则(a ＋b)2>(c ＋d)2，即 a ＋b ＋2ab>c ＋d ＋2cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab>cd.于是(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab<(c ＋d)2－4cd ＝(c －d)2. 因此|a －b|<|c －d|.综上，a ＋b>c ＋d 是|a －b|<|c －d|的充要条件． 14．(2015·湖南)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立． 答案 略解析 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a>0，b>0，得ab ＝1.①由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． ②假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，则由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立． 15．(2015·陕西)已知关于x 的不等式|x ＋a|<b 的解集为{x|2<x<4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值． 答案 (1)a ＝－3，b ＝1 (2)4解析 (1)由|x ＋a|<b ，得－b －a<x<b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1．函数y ＝3x －1＋45－x 的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．18 D ．20答案 A解析 根据柯西不等式，得y 2＝(3x －1＋45－x)2≤(32＋42)[(x －1)2＋(5－x)2]＝25×4. ∴y ≤10，∴选A.2．设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________． 答案 9解析 由柯西不等式得[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](22＋22＋12)≥(2x －2＋2y ＋4＋z －3)2，又2x ＋2y ＋z ＝－8，故(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥9.3．若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值为________． 答案 2解析 由柯西不等式可得(12＋13＋16)(2b 2＋3c 2＋6d 2)≥(b ＋c ＋d)2，所以由条件可得(5－a 2)≥(3－a)2，解得1≤a ≤2，a 的最大值是2.4．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 答案12129解析 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(22＋32＋42)≥(2x ＋3y ＋4z)2，所以x 2＋y 2＋z 2≥（2x ＋3y ＋4z ）222＋32＋42＝12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时等号成立，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为12129.5．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14.求证：|x ＋5y|≤1.证明 因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|.由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1.6．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解析 (1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，所以f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|－m ≤x ≤m}． 又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式，得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9. 7．已知函数f(x)＝|x －5|＋|x －3|. (1)求函数f(x)的最小值m ；(2)若正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝3，求证：1a 2＋2b2≥m.解析 (1)∵f(x)＝|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x|＝2，当且仅当x ∈[3，5]时取最小值2，∴m ＝2.(2)证明：∵(1a 2＋2b 2)[12＋(12)2]≥(1a ×1＋2b ×12)2＝3， ∴(1a 2＋2b 2)×32≥3， ∴1a 2＋2b 2≥2.。

高2020届高2017级高考调研第一轮复习理科数学课件目录(理)

高2020届高2017级高考调研第一轮复习理科数学课件目录(理)
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目录
第6课时 空间向量及运算 题组层级快练(五十四)(word) 第7课时 空间向量的应用(一) 平行与垂直 题组层级快练(五十五)(word) 第8课时 空间向量的应用(二) 空间的角与距离 第1学时 异面直线所成的角与线面角 题组层级快练(五十六)(word) 第2学时 二面角 题组层级快练(五十七)(word) 第3学时 综合问题 题组层级快练(五十八)(word)
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第八章 立体几何
第1课时 空间几何体的结构、三视图、直观图 题组层级快练(四十八)(word) 第2课时 空间几何体的表面积、体积 题组层级快练(四十九)(word) 专题研究 球与几何体的切接问题 专题层级快练(五十)(word) 第3课时 空间点、线、面的位置关系 题组层级快练(五十一)(word) 第4课时 直线、平面平行的判定及性质 题组层级快练(五十二)(word) 第5课时 直线、平面垂直的判定及性质 题组层级快练(五十三)级快练(六十六)(word) 第9课时 抛物线(一) 题组层级快练(六十七)(word) 第10课时 抛物线(二) 题组层级快练(六十八)(word) 第11课时 直线与圆锥曲线的位置关系 题组层级快练(六十九)(word) 专题研究一 求曲线的轨迹方程 专题层级快练(七十)(word) 专题研究二 最值与范围问题 专题层级快练(七十一)(word) 专题研究三 定点、定值问题 专题层级快练(七十二)(word) 专题研究四 探索性问题 专题层级快练(七十三)(word)
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第四章 三角函数
第1课时 三角函数的基本概念 题组层级快练(二十二)(word) 第2课时 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 题组层级快练(二十三)(word) 第3课时 三角恒等变换 第1学时 基本公式 题组层级快练(二十四)(word) 第2学时 基本公式的应用 题组层级快练(二十五)(word) 第4课时 三角函数的图像与性质 题组层级快练(二十六)(word)

2017版高考数学一轮总复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和高考AB卷理

2017版高考数学一轮总复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和高考AB卷理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第2节 等差数列及其前n 项和高考AB 卷 理等差数列中的运算问题1.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99 C.98D.97解析 由等差数列性质，知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.答案 C2.(2013·全国Ⅰ，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 ∵a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3， ∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.答案 C3.(2013·全国Ⅱ，16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________.解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝0，①S 15＝15a 1＋15×142d ＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，d ＝23，所以S n ＝－3n ＋n （n －1）2×23＝13n 2－103n . 令f (n )＝nS n ，则f (n )＝13n 3－103n 2，设f (x )＝13x 3－103x 2，则f ′(x )＝x 2－203x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝203，∴当x >203时，f ′(x )>0，0<x <203时，f ′(x )<0，则f (n )的最小值在f (6)、f (7)中取到. 则f (6)＝－48，f (7)＝－49， 所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49. 答案 －494.(2016·全国Ⅱ，17)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.5.(2014·大纲全国，18)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）. 6.(2015·全国Ⅰ，17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ). 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3（2n ＋3）.等差数列中的运算问题1.(2015·重庆，2)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A.－1 B.0 C.1D.6解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B2.(2014·福建，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12D.14解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 答案 C3.(2014·辽宁，8)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A.d <0 B.d >0 C.a 1d <0D.a 1d >0解析 {2a 1a n }为递减数列，可知{a 1a n }也为递减数列，又a 1a n ＝a 21＋a 1(n －1)d ＝a 1dn ＋a 21－a 1d ，故a 1d <0，故选C.答案 C4.(2016·北京，12)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×（6－1）2×(－2)＝6.答案 65.(2016·江苏，8)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 答案 206.(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.解析由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a1＝5.答案5等差数列的性质7.(2015·北京，6)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0解析A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2a1a3，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2a1a3，即a2>a1a3成立.答案C8.(2015·广东，10)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.解析因为{a n}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.答案109.(2012·江西，12)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.解析∵{a n}，{b n}均是等差数列，根据等差数列的性质a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，即a5＝2a3－a1，b5＝2b3－b1，∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.答案35等差数列的综合应用10.(2016·浙江，6)如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n＋2|，A n≠A n＋2，n∈N*，|B n B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|，B n≠B n＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若d n ＝|A n B n|，S n为△A n B n B n＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列 C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A11.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以公比q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n. (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.12.(2013·山东，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数).令c n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝1， 则a 2＝2a 1＋1，即a 1＝d －1，① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ，② 由①②联立解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由题意知，T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－n 2n－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1. 故c n ＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *).∴R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1，14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ， 两式相减得34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ，整理得R n ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1。

(浙江专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和练习

(浙江专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和练习

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n 项和练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·宜昌模拟)等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A.33B.72C.84D.189解析 由已知，得q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2，则有a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84. 答案 C2.已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A.－3B.±3C.－3 3D.±3 3解析 由等比中项知y 2＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y 2＝xz ， 所以xyz ＝y 3＝－3 3. 答案 C3.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q 2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q2q＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C4.(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )， 整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·舟山联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于________.解析 ∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴a 1＋a 1＋a 1q ＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2).∵a 1≠0，q ≠0，∴解得q ＝－12.答案 －127.(2016·哈尔滨一模)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 正项等比数列{a n }的公比q ＝a 4a 2＝164＝2， a 1＝a 2q ＝2，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0228.(2016·甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案 8三、解答题9.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *). (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式. (1)证明 依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列.(2)解 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2).当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·绍兴十校联考)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5， －2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A.－1B.1C.1或－1D. 2解析 ∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，又∵a 1＝4，则有q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，∴q ＝±1，故选C. 答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2016·温州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015110，则a 21＝________. 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110)10＝2 015. 答案 2 01514.已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2). 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.。

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第六章数列题组29 Word版含解析

2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第六章数列题组29 Word版含解析

题组层级快练(二十九)1．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22答案 C解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴x ＝8＋13＝21，故选C. 2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝12n ＋1B ．a n ＝1n ＋2C ．a n ＝1n （n ＋2）D ．a n ＝12n －1答案 C解析 观察知a n ＝1（n ＋1）2－1＝1n （n ＋2）. 3．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C4．(2016·济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56B.65 C.130 D ．30答案 D解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），∴1a 5＝5×(5＋1)＝30. 5．(2016·保定模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 015的值为( ) A ．－12B ．－1 C.12D ．2答案 B解析 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 015＝(－1)671×2×12＝－1.6．在数列{a n }中，已知a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 016等于( ) A ．a B ．b C ．b －a D ．a －b答案 D解析 通过计算数列的前12项可知，数列的周期为6，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝a －b.7．(2014·辽宁)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a 1d<0 D ．a 1d>0 答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d<0.故选C.8．如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n 个图形的边数为( )A ．5n －1B ．6nC ．5n ＋1D ．4n ＋2答案 C解析 第一个是六边形，即a 1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，∴a 2＝6＋5＝11，a 3＝11＋5＝16，观察可得选项C 满足此条件．9．(2016·衡水调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1，2}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3}D ．{1，2，4} 答案 B解析 因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1，2，3，4.10．数列53，108，17a ＋b，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b)可以是( ) A ．(21，－5) B ．(16，－1) C ．(－412，112)D ．(412，－112)答案 D解析 由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a ＋b)＝(a －b)－24＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得a ＝412，b ＝－112.故选D.11．(2016·广东三校期末联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( ) A ．－27B.27 C ．－37D.37答案 D解析 a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.12．(2014·新课标全国Ⅱ文)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________． 答案 12解析 由a n ＋1＝11－a n 及a 8＝2，得2＝11－a 7，解得a 7＝12；由a 7＝12，得12＝11－a 6，解得a 6＝－1；同理可得a 5＝2.由此可得，a 4＝12，a 3＝－1，a 2＝2，a 1＝12.13．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 013＝________；a 2 014＝________． 答案 1，0解析 a 2 013＝a 504×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.14．(2013·新课标全国Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________． 答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.15．数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N *)，且a 2 014＝2，则a 2 012＝________． 答案 －3思路 将所给数值直接代入求值较为麻烦，将a n 整理为a n ＝1a n ＋1－1时用起来较为方便．解析 由a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N *)，a 2 014＝2，得a n ＝1－a n ＋1a n ＋1＝1a n ＋1－1，∴a 2 013＝1a 2 014－1＝－12，∴a 2 012＝1a 2 013－1＝－2－1＝－3. 16．(2015·新课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________． 答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴{1S n }是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .17．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式． 答案 (1)a 2＝3，a 3＝6 (2)a n ＝n （n ＋1）2解析 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n>1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n （n ＋1）2.综上，{a n}的通项公式a n＝n（n＋1）2.设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a7＋a8的值为________．答案28解析a7＋a8＝S8－S6＝82－62＝28.。

2017版高考数学(文)(全国)一轮复习 练习 第六章 数列 专题探究课三 含解析

2017版高考数学(文)(全国)一轮复习 练习 第六章 数列 专题探究课三 含解析

(建议用时：60分钟)1.（2015·成都诊断)已知公比q＞0的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S3＝7，数列｛b n}中b1＝0，b3＝1。

(1)若数列{a n＋b n｝是等差数列，求a n，b n；（2）在(1）的条件下，求数列｛b n}的前n项和T n。

解（1)由题意得S3＝1＋q＋q2＝7，∴q＝－3或q＝2,∵q＞0，∴q＝2，∴a n＝2n－1。

∴a1＋b1＝1,a3＋b3＝5,∴数列{a n＋b n｝的公差d＝2，∴a n＋b n＝2n－1.∴b n＝2n－1－a n＝2n－1－2n－1。

（2)由(1)得b n＝2n－1－2n－1,∴T n＝（1－20）＋(3－21)＋(5－22）＋…＋［(2n－1)－2n－1］＝［1＋3＋5＋…＋（2n－1）］－（20＋21＋22＋…＋2n－1)＝n2－2n＋1。

2.（2016·河南六市联考)已知{a n｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14。

(1）求数列{a n}的通项公式;(2)若数列｛b n}满足b12＋错误!＋…＋错误!＝a n＋1（n∈N*),求数列｛b n}的前n项和S n。

解(1)设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0,由a2＋a6＝14,可得a4＝7。

由a3a5＝45，得(7＋d)（7－d)＝45，可得d＝2(d＝－2舍去）.∴a1＝7－3d＝1.可得a n＝2n－1. （2）设c n＝错误!，则c1＋c2＋…＋c n＝a n＋1。

即c1＋c2＋…＋c n＝2n，可得c1＝2,且c1＋c2＋…＋c n＋c n＋1＝2（n＋1）。

∴c n＋1＝2，可知c n＝2（n∈N*）.∴b n＝2n＋1,∴数列｛b n｝是首项为4，公比为2的等比数列.∴数列｛b n}的前n项和S n＝错误!＝2n＋2－4.3.（2016·石家庄一模）设数列｛a n｝的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝λS n＋1（n∈N ＊,且λ≠－1)，且a1，2a2,a3＋3为等差数列{b n}的前三项.(1）求数列{a n}，｛b n｝的通项公式；(2)求数列{a n b n｝的前n项和。

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题组层级快练(三十)1．(2015·新课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11答案 A解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， 得3a 3＝3，则a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A 项．2．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，∴a 3＝5. 故d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．(2016·衡水调研卷)在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A4．(2014·重庆文)在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 1＋a 7＝a 3＋a 5.因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B. 5．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 6．(2016·武汉市二中)已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 D解析 a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝70，解得d ＝23.故选D.7．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44答案 C解析 ∵数列{a n }是等差数列，且S 8－S 3＝10，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝10，∴5a 6＝10，a 6＝2，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝11a 6＝22.8．(2016·山东泰安一中模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为S n ＝n （a 1＋a n ）2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.由S 33－S 22＝1，得a 32－a 22＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.10．在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，已知a 2a 3＝13，则S 4S 5等于( )A.815 B.40121 C.1625 D.57 答案 A解析 由题意可得S 4S 5＝4（a 1＋a 4）25（a 1＋a 5）2＝2（a 2＋a 3）5a 3＝815.11．已知在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6答案 D解析 ∵d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝2a 6＝0.∴a 6＝0，a 5>0，a 7<0.∴S 5＝S 6.故选D.12．(2014·福建理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 因为S 3＝3a 1＋3×（3－1）2d ＝3×2＋3×22d ＝12，所以d ＝2.所以a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.13．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 A解析 因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180. 又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60. 所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.14．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________． 答案 1n （n ＋1）4解析 设公差为d ，则由S 2＝a 3，得2a 1＋d ＝a 1＋2d ，所以d ＝a 1＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋1）4.15．已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于________．答案 0解析 记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112.∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0. 16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．答案 891解析 ∵A 6＝{x|26<x<27且x ＝7m ＋1，m ∈N }，∴A 6的元素x ＝各数成一首项为71，公差为7的等差数列． ∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．答案 (1)S 6＝－3，a 1＝7 (2)d ≤－22或d ≥2 2 解析 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0. 即2a 12＋9da 1＋10d 2＋1＝0. 故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.18．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 答案 (1)略 (2)最大项a 4＝3，最小项a 3＝－1 解析 (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. 所以当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎫2－1an －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52，所以，数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设函数f(x)＝1＋22x －7，易知f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数． 所以，当n ＝3时，a n 取得最小值－1； 当n ＝4时，a n 取得最大值3.1．(2016·保定模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．72 B ．54 C ．36 D ．18答案 A2．(2016·山东师大附中)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 答案 C解析 由等差数列性质得2a 3＝4，2a 4＝10. 即a 3＝2，a 4＝5，公差d ＝3，a 1＝2－6＝－4 ∴S 10＝－4×10＋10×92×3＝95，故选C.3．(2016·北京海淀区期末)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 7＋a 8＋a 12＝12，则此数列的前13项之和为( ) A ．39 B ．52 C ．78 D ．104 答案 A解析 设数列的公差为d ，则由a 1＋a 7＋a 8＋a 12＝12可得4a 1＋24d ＝12，即a 1＋6d ＝3，即a 7＝3，故前13项之和为13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝39.4．(2016·东北师大附中)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为( ) A ．－25B ．－45C ．－15D ．－35答案 C解析 {a n }的公差d ＝3－57－2＝－25∴新等差数列的公差d′＝(－25)×12＝－15，故选C.5．(2016·西安五校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4<S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6<S 5 D ．S 6>S 5答案 B解析 ∵a 2＝－6，a 8＝6，∴a 5＝0 ∴S 4＝S 5，故选B.6．(2016·衡水调研卷)在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝p ，a 3＋a 5＝q ，则S 6＝( ) A ．p ＋q B.32(p ＋q) C ．2(p ＋q) D.52(p ＋q) 答案 B解析 (a 2＋a 4)＋(a 3＋a 5)＝2(a 3＋a 4)＝2(a 1＋a 6)＝p ＋q ， ∴a 1＋a 6＝12(p ＋q)．∴S 6＝6（a 1＋a 6）2＝32(p ＋q)．7．(2016·湖北八校)根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1 km ，以后每分钟上升的高度增加2 km ，在达到离地面240 km 高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是( ) A ．20分钟 B ．16分钟 C ．14分钟 D ．10分钟 答案 B解析 本题主要考查等差数列的通项公式．设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，显然a 1＝1，而a n －a n －1＝2.所以可得a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2＝240.所以从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟．故选B.8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48，选B.9．(2015·陕西)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 答案 5解析 由题意知，1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项，故a 1＋2 0152＝1 010，解得a 1＝5.10．(2016·保定模拟)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 答案 －72解析 设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋11d ＝－89a 1＋9×（9－1）2d ＝－9.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1， ∴S 16＝16a 1＋16×（16－1）2d ＝－72.。

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