2018-2019 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 含答案
2019届九年级数学上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系课件(新版)北师大版
B.23,-2
C.-23,2
D.-32,2
关闭
B
答案
123456
2.(2017·四川雅安中考)已知x1,x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两
根,且x1x2=-3,则k的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
关闭
B
答案
123456
3.已知关于x的方程x2-3mx+2(m-1)=0的两根为x1,x2,且
6.已知关于x的方程2x2-(m-1)x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1, 求m的值及方程的两个根.
解:∵x1,x2 是方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两个根, ∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,
*5.一元二次方程的根与系数的关系
x1+如x2果=方-程������������ ax2,x+1bx2x=+c=������0������ (a≠.0)有两个实数根x1,x2,那么
123456
1.(2017·四川凉山州中考)一元二次方程3x2-1=2x+5两实根的和与
积分别是( )
A.32,-2
∴
������ -1 2
2-4������2+1=1,
化简,得 m21.
分以下两种情况:
123456
①当 m1=11 时,x1+x2=������2-1=5,x1-x2=1,
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������1-������2 = 1,
北师大版 九年级数学上册 第二章 2.5一元二次方程的根与系数的关系_教学课件
的另一个根为( B)
A.5
B.1 C.3 D.-2
当堂小练
3.关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)若方程的一个根为2,求另一个根.
解:(1)因为关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等 的实数根, 所以Δ=4-4(2k-4)＞0, 解得k＜52. (2)设方程的另一个根为x2, 则2+x2=-2,解得x2=-4. 所以方程的另一个根为-4.
导引： 由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝ 4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而 求得k的值． ∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－ 2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1， ∴4k2－4(k2－2k．1
C．－1
D．－3
新课讲解
知识点2 一元二次方程的根与系数的应用
已知方程的一根求另一根，可以直接代 入先求方程中待定字母的值，然后再解方程 求另一根．也可以直接利用根与系数的关系 求另一根及待定字母的值．
新课讲解
典例分析
例 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求 方程的另一个根和p的值．
x11＋x22＝－p，x11x22＝q.
已知方程的一根求另一 根，可以直接代入先求方 程中待定字母的值，然后
再解方程求另一根．
当堂小练
1.方程x2+2x-4=0的两根为x1,x2,则x1+x2的值为( B ) A.2 B.-2 C.4 D.-4
2.已知关于x的一元二次方程x2-3x-k=0的一个根为-2,那么它
2019秋九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案2(新版)北师大版
拨，分析总结得到 次方程的根与
结论.
系数关系，为
学生独自完成 后面继续研究
吗？
巩固上诉知识 做铺垫
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求 教师出示探究问
出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否 题，学生通过特殊 让学生通过
成立，若不成立，新的结论是什么？
例子入手，再通过
法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
出课题学生初步了 境，激发学生
二、探究新知
解本课所要研究的 好奇心，求知
1.课本思考
问题
欲
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系 学生通过去括号、 通过思考问 数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根 合并得到一般形 题，让学生知
4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1， 一般形式推导证
它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？
明，教师引导学生
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、 根据求根公式进行
积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达 探究、交流，尝试
1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系
学生归纳，总结阐 述，体会，反思. 并做出笔记.
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
○1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
北师大版九年级数学上册教案：2.5一元二次方程根与系数的关系
2.教学难点
-难点内容：
a.理解判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
b.熟练运用韦达定理求解一元二次方程的根。
c.将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的了解一元二次方程根与系数关系的基本概念。一元二次方程根与系数关系是指在特定条件下，方程的根与其系数之间存在一定的数学规律。它是解决一元二次方程问题的重要工具，可以帮助我们快速找到方程的根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析方程ax^2+bx+c=0的判别式Δ和韦达定理，展示它们在实际问题中的应用，以及如何帮助我们解决方程的根。
此外，课堂总结环节，学生们的反馈让我意识到，他们在学习一元二次方程根与系数的关系时，对知识点的整体把握还有待加强。为了帮助学生更好地构建知识体系，我计划在下一节课中，通过思维导图等形式，梳理一元二次方程的相关知识点，使学生们能够更清晰地理解各个知识点之间的联系。
最后，我觉得自己在教学过程中，还需要注意以下几点：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调判别式Δ和韦达定理这两个重点。对于难点部分，如Δ与根的关系，我会通过列举具体方程和对应根的情况来帮助大家理解。
2018年北师大版九年级上册第二章2.5一元二次方程的根与系数的关系(教案)
-通过具体例题，让学生理解并掌握根的判别式的应用。
举例：讲解一元二次方程ax^2+bx+c=0时，重点引导学生掌握如何通过韦达定理直接从系数得到方程根的和与积，以及如何将实际问题转化为方程问题。
2.教学难点
-难点内容：
-理解并推导韦达定理的过程，特别是对于a、b、c与x1、x2之间关系的理解；
3.利用韦达定理解决实际问题，如已知方程的一个根，求另一个根或方程的系数；
4.通过实际例题，让学生掌握根的判别式的应用，判断方程根的情况。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言表达问题的能力，通过一元二次方程根与系数关系的探索，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；
2.培养学生运用韦达定理解决实际问题的能力，增强学生的数学建模和数学应用素养；
学生小组讨论部分，整体效果还是不错的，大家能够围绕实际问题进行讨论，并提出自己的观点。但我也发现，有些学生在这个环节中比较被动，可能是因为他们对自己的想法不够自信。我需要在课堂上多给予鼓励和支持，帮助他们建立自信。
总的来说，今天的课堂教学有亮点也有不足，我会针对这些问题进行反思和改进，以期在下一节课中更好地满足学生的学习需求，提高他们的数学素养。
2018年北师大版九年级上册第二章2.5一元二次方程的根与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课选自2018年北师大版九年级上册第二章2.5节，主要内容包括：
1.探索一元二次方程的根与系数的关系；
2.学习韦达定理，即一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根x1、x2与系数a、b、c的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系
所以
x1·x2
=
2x2
=
6 5
，即
x2
=
3. 5
由于
x1 + x2 =
2
+
3 5
=
k，
5
解得 k = -7.
答：方程的另一个根是 3 ，k 的值为 -7.
5
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、
倒数和.
解：根据根与系数的关系可知 x1
∵(x1 x2 )2 x12 2x1x2 x22，
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2；
先将所求的代
3. x1
x2
x12 x22
(x1 x2 )2 2x1x2 ；
数式化成含两 根之和，两根
x2
4.( x1
x1
1)( x2
x1x2
1)
x1x2
x1x2
(x1 x2
)
1；
之积的形式， 再整体代入.
5. | x1 x2 | = (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
求它的另一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
∴ห้องสมุดไป่ตู้
x1
=
16 3
.
1
·x1
=
c a
16 . 3
4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且
(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. (1)求 k 的值；(2)求 (x1 - x2)2 的值.
九年级数学上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系教案北师大版(最新整理)
2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案（新版）北师大版的全部内容。
*2。
5一元二次方程的根与系数的关系教学目标： 【知识技能目标】1。
能说出根与系数的关系;2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 【过程性目标】在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中,通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦。
【情感态度目标】1。
通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯； 2。
通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点：重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程:一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系? (1)x 2－2x ＝0； (2）x 2＋3x －4＝0; （3)x 2－5x ＋6＝0.方程1x2x21x x +21x x •二、探究归纳方程1x2x21x x + 21x x •x 2－2x ＝00 2 2 0可以得到：一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q 一般地,对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0）,试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值,你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. （此探索过程让学生分组进行交流、协作完成） 探索过程 qqp p q p p x x pqp p q p p x x qp p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---•-+-=•-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的。
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.5一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程根的判别式一、教学内容分析:“一元二次方程根的判别式”是北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》的内容。
本节是主要探索根的判别式及其运用,在整个中学数学中占有很重要的作用。
不但可以判别一元二次方程根的情况,还可以为研究不等式,二次函数等奠定基础,还可以用它来解决很多综合性的问题.通过对本节的学习,可以培养学生的观察,分析,归纳的能力,以及逻辑思维能力和推理论证能力。
并体会类比,分类的数学思想方法。
二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对根的判别式的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究根的判别式的作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以通过学生动手动脑以及小组合作学习的方法,培养逻辑思维能力和推理论证能力。
并体会类比,分类的数学思想方法。
三、教学目标1.知识与技能：掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用。
2．过程与方法：经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点；体会解决问题能力，发展实践能力与创新意识。
3．情感态度与价值观：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲；形成合作交流、独立思考的学习习惯。
四、 教学策略本节“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合为辅，小组合作与交流为主的教学方法和学习方法。
并使用幻灯片辅助教学。
五、教学过程（一）导入新课师问:还记得一元二次方程的求根公式吗?生答: 求根公式：x=2b a-±，ax 2+bx+c=0（a ≠0）当b 2-4a c ≥0 师问：上节课中我们提到了，只有当b 2-4a c ≥0时，才可以带入公式，所以上节课的课后疑问是什么？（说明：每一堂课的课后疑问作为下一堂课的课前疑问解答，体现前后知识连接，激发学生兴趣）生答：当b 2-4ac ﹤0时，一元二次方程的根又是怎样的呢？（开始新课探索） （二）自主探索1．学生活动：用公式法解下列方程课件展示：（1）2 x2-9x+8=0;（2）9 x2+6x+1=0;（3）16 x2+8x+3=0师生点评，（三位同学到黑板上做）老师只要点评（1）b2-4ac>0，•有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=0，有两个相等的实根。
北师大版九年级数学第二章一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点进阶：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点进阶：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-；⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点进阶：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用例1.已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．举一反三：【变式】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3例2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用例3.关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．举一反三：【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．例4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )．A ．m ≠0B ．m ＞1C ．m ＜1且m ≠0D ．m ＞-12．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（ ）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或103．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（ ）． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）．A ．2010B ．2011C ．2012D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则a b 的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元， 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________．8．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___．9．一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ．12．已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程②有实数根且k 为正整数，则代数式的值为 .三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．15．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2+2=2（1﹣x ）有两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两实数根x 1、x 2满足|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．。
北师大版九年级上册5一元二次方程的根与系数的关系第二章：一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一元二次方程的根与系数的关系教学设计教学目标1.了解一元二次方程的概念、形式和解法。
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系公式。
3.能够用解二次方程的根与系数的关系公式解决实际问题。
4.提高学生的分析问题和解决问题的能力。
教学重点1.掌握一元二次方程的根与系数的关系公式。
2.能够用解二次方程的根与系数的关系公式解决实际问题。
教学难点1.帮助学生理解一元二次方程的根与系数的关系。
2.提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学内容一、复习1.一元二次方程的概念、形式和解法。
2.讨论一元二次方程的两个根和重根的情况。
二、引入1.提问：一元二次方程的根和系数是否有什么关系？2.学生自主探究：通过屏幕上展示的不同的一元二次方程和其系数，探究根与系数的关系。
三、学习1.通过老师的讲解，学生理解一元二次方程的根与系数的关系公式。
2.学生通过老师给出的实际问题，在小组内讨论并解决问题。
学生将解题过程及得出结果进行汇报。
四、巩固1.通过多种形式的例题进行巩固。
如填表题、选择题、应用题等。
2.演练班级以前的一元二次方程综合性应用。
五、作业1.完成课堂练习和课后作业。
2.下一堂课前需要学生查阅一些和一元二次方程相关的案例，并准备进行课堂展示。
教学方法1.探究式教学法2.讨论式教学法3.问答式教学法教学评价1.课堂表现评价：积极参与讨论、提出问题、解决问题的能力。
2.课后作业评价：经过练习巩固知识，能否正确解决题目。
3.课堂展示评价：能否举一反三，将一元二次方程和实际问题应用结合。
[精品]2019九年级数学上册 第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系(新版)北师大版
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一元二次方程的根与系数的关系学习目标1．由具体的一元二次方程的解推导出两根之和、两根之积与系数的关系。
2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数。
3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值。
学习过程一、自研自探 （一）温故知新1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是 2．一元二次方程3x 2－6x ＝0的两个根是 3．一元二次方程x 2－6x ＋9＝0的两个根是 （二）新知探究请自主阅读课本P 49－50“做一做”部分内容，然后思考并完成以下问题：1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1＋x 2，x 1·x 2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？2.归纳总结：一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，能得出以下结果：x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ .二、互动合作（合作探究内容） 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。
把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【小对子交流学习】（参阅课本50页例题）1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）x 2－2x ＋1＝0 （2）x 2－23x －1＝0 （3）2x 2－3x ＋1＝0三、展示提升 请组长组织，全组同学完成互动合作，并在白板上展示出来。
【例题】已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值；解：设方程的另一个根是x 1，那么5621-=x ∴x 1= ，又x 1+2=5k-∴k= 【合作展示提升】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x +m=0． (1 )若x =1是方程的一个根，求方程的另一个根；(2) 若x 1、x 2是方程的两个不同的实数根，且x 1和x 2满足：x 12+x 22+2x 1x 2―x 12x 22=0，求m 的值．四、课堂小结：这节课你学到了什么？ 五、巩固训练1．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为( )A ．2B ．3C ．4D ．82．设一元二次方程x 2－6x ＋4＝0的两实根分别为x 1和x 2，则(x 1＋x 2)－x 1·x 2＝( )A ．－10B ．10C ．2D ．－23．菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为 。
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2018-2019 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题
1. 若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( ) A ．－4 B ．3 C ．－43 D.4
3
2．(2016·江西)设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，则αβ的值是( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1
3．一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＝－1，x 2＝2 B ．x 1＝1，x 2＝－2 C ．x 1＋x 2＝3 D ．x 1x 2＝2
4．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )
A.14 B ．－1
4
C ．4
D ．－1 5. 对于任意的非零实数m ，关于x 的方程x 2－4x －m 2＝0的根的情况是( ) A ．有两个正实数根 B ．有两个负实数根 C ．有一个正实数根，一个负实数根 D ．没有实数根
6. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0的两根之和等于两根之积，则m 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
7. 已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是____，m＝____．
8. 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝____，x1x2＝____．
9. 已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0，则a＝____．
10. 方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程________________________．
11. 设x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝____，m＝____．
12. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
13. 已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为____．
14. 不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
(1) 3x2－1＝0，x1＋x2＝ _______ ，x1·x2＝ _______ ；
(2) x2－6x＝0，x1＋x2＝ _______ ，x1·x2＝ _______
15. 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程______________________________________．
16. 已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则m＝____，另一个根为____．
17. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2＋4x＝0；
(2)2x2－3x＝5.
18. 已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．
19. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．
20. 关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.
(1)a为何值时，方程的一根为0?
(2)a为何值时，两根互为相反数？
21. 学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的
两个根为x1，x2，就能快速求出1
x1＋
1
x2
，x12＋x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2
＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，得1
x1＋
1
x2
＝
x1＋x2
x1x2
＝
2
3
.”
(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；
(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．
22. 已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.
(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．
参考答案： 1---6 DDACC A 7. －3 1 8. －b a c a
9. 12
10. x 2－x －6＝0(答案不唯一) 11. 4 3 12. －1 13. 23
14. (1) 0 －1
3
（2） 6 0
15. 答案不唯一，如：x 2－5x ＋6＝0 16. 2 2
17. (1) x 1＋x 2＝－4 x 1x 2＝0 (2) x 1＋x 2＝32 x 1x 2＝－5
2
18. 由根与系数的关系可得：m ＋(－2)＝－1，∴m ＝1.又∵－2m ＝n ，∴n ＝－2 19. ∵(m －1)(n －1)＝－6，∴mn －(m ＋n)＋7＝0.又∵m ，n 是关于x 的一元二次方
程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a.∴a －3＋7＝0.解得a ＝－4 20. (1)由方程的一根为0可得：－a ＋1
2
＝0，∴a ＝1
(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，∵两根互为相反数，∴x 1＋x 2＝0.∴a 2－4
2＝0，∴a
＝±2.∵当a ＝－2时，方程2x 2－(a 2－4)x －a ＋1＝0无解，∴a ＝2
21. (1)小亮的说法不对．若有一根为零时，就无法计算1x 1＋1
x 2的值了，因为零作除
数无意义
(2)答案不唯一，如：一元二次方程x 2－5x －6＝0.设方程的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6.又∵x 12＋x 22＋2x 1x 2－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，将x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6代入，得x 12＋x 22＝52－2×(－6)＝37 22. (1)由题意得m ≠0且(－2m)2－4m(m －2)>0，∴m>0
(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －2
m ，又∵|x 1－x 2|＝1，∴(x 1－x 2)2＝1，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝1，即22
－4×m －2
m
＝1，∴m ＝8，经检验m ＝8是原方程的解，且符合题意，∴m ＝
8。