课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数1.4.31.4.4单位圆的对称性与诱导公式北师大版必修3

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大必修4201808223186

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一条件求值【例1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝－31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案－135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案－125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案－110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案－111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时，原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数1.4..4.2单位圆与周期性北师大版必修2

§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)3.理解周期函数的定义．(难点)[基础·初探]教材整理1 正、余弦函数阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题．任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：图1－4－1正弦函数余弦函数定义点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α通常表示法y＝sin x定义域为全体实数，值域为[－1,1]y＝cos x定义域为全体实数，值域为[－1,1]在各象限的符号判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．( )(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制．( ) (3)角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P 在终边上的位置无关．( ) (4)若sin α<0，则α为第三或第四象限角．( )【解析】根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30°＋sin 30°就无法进行运算，改用弧度制时，π6＋sin π6就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sin α<0，α的终边也可能落在y 轴的负半轴上，因而(4)错．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 周期函数阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题． 1．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系． (1)终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(x ＋k ·2π)＝sin_x (k ∈Z )．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(x ＋k ·2π)＝cos_x (k ∈Z )．2．一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期．3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2k π(k ∈Z )是正弦、余弦函数的周期．( )(2)f (x )＝x 2满足f (－3＋6)＝f (－3)，故f (x )＝x 2为周期函数．( ) (3)对正弦函数f (x )＝sin x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以π2是f (x )的周期．( )【解析】 (1)错误．k ∈Z 且k ≠0时，2k π是正弦、余弦函数的周期． (2)错误．因为f (－2＋6)≠f (－2)．(3)错误．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2≠f (π)不满足任意性．【答案】 (1)× (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的定义已知θ的终边经过点P (a ，a )，a ≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ. 【自主解答】当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，得sin θ＝a2a＝22，cos θ＝a 2a ＝22. 当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，得sin θ＝a－2a＝－22，cos θ＝a －2a＝－22.利用三角函数的定义求值的策略1．求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．2．若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．3．若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．[再练一题]1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.【导学号：66470006】【解】设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，则r＝a2＋2a2＝5|a|.当a>0时，sin θ＝2a5|a|＝25＝255，cos θ＝a5|a|＝15＝55.当a<0时，sin θ＝2a5|a|＝－25＝－255，cos θ＝a5|a|＝－15＝－55.三角函数值的符号判断(1)(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．【精彩点拨】(1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号．(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限．【自主解答】(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°·cos 265°>0.(2)∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，∴k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝(2m ＋1)(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x 轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y 轴的右侧时，cos α>0.2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．3．由k π<θ<k π＋π2(k ∈Z )确定θ所在象限时应对k 进行分类讨论．[再练一题]2．(1)判断sin 2·cos 3sin 4·cos 6的符号；(2)若sin α>0，cos α<0，判断角α所在象限．【解】 (1)∵2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0， ∴sin 2·cos 3sin 4·cos 6>0.(2)∵sin α>0，∴α的终边在一、二象限或y 轴的正半轴上． ∵cos α<0，∴α的终边在二、三象限或x 轴的负半轴上．故当sin α>0且cos α<0时，α在第二象限．[探究共研型]利用正弦、余弦函数的周期性求值探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？【提示】相等．探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？【提示】都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等．探究3 公式sin(2k π＋x )＝sin x ，k ∈Z ，cos(2k π＋x )＝cos x ，k ∈Z ，揭示了什么规律，有什么作用？【提示】 (1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．求下列各角的三角函数值．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°；(3)sin174π；(4)cos 253π. 【精彩点拨】当角α不在0～2π之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0～2π之间，再求值．【自主解答】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝sin π6＝12.(2)cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)sin174π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π×2＋π4＝sin π4＝22.(4)cos253π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π×4＋π3＝cos π3＝12.1．利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值． 3.π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 正弦12 22 32 132 22 12 余弦 322212－12 －22－32[再练一题]3．求下列三角函数值． (1)cos(－1 050°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4；(3)log 2(4 sin 1 110°)．【解】 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与30°的角终边相同． ∴cos(－1 050)°＝cos 30°＝32. (2)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴角－31π4与角π4的终边相同．∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin π4＝22.(3)∵sin 1 110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin 30°＝12，∴log 2(4sin 1 110°)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＝log 22＝1.[构建·体系]1．已知P (3,4)是终边α上一点，则sin α等于( ) A.34 B ．43C ．45D ．35【解析】 ∵r ＝32＋42＝5，∴sin α＝45.【答案】 C2．cos 25π6的值为( )A ．－12B ．－32C ．12D ．32【解析】 cos 25π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝cos π6＝32.【答案】 D3．已知函数y ＝f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________.【导学号：66470007】【解析】 f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 【答案】 14．使得lg(cos α·tan α)有意义的角α是第________象限角．【解析】要使原式有意义，必须cos α·tan α>0，即需cos α·tan α同号，所以α是第一或第二象限角．【答案】一或二5．求下列各式的值．(1)sin 1 470°；(2)cos 9π4 .【解】(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝1 2 .(2)cos 9π4＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cosπ4＝22.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大版必修4201808223186

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一条件求值【例1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝－31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案－135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案－125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案－110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案－111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时，原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用北师大版必修9

π ∴所求函数的解析式为 y＝ 3sin t ＋ 10(0≤ t≤ 24)．
6
(2)由于船的吃水深度为 7 m，船底与海底的距离不少于 4.5 m，故在船舶航行时水深 y
应不小于 7＋ 4.5＝ 11.5(m)．
∴当 y≥ 1 y＝ 3sin t＋ 10≥ 11.5，得 sin t≥ ，
x01 2
3
4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数 φ)的解析式应是 ________．
y＝ Asin(ωx＋
【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，可知点 (1,0)不符合题意；
又∵ 0< A≤ 2，函数图象过点 (4，－ 2)，∴ A＝ 2，
又 0≤ t≤24，所以 0≤ t<3 或 9<t <15 或 21< t≤ 24，所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即
9< t<15.
[构建·体系 ]
1．如图 1－ 9－ 3 所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是
()
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12 15 18
21
24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
经长期观测， y＝ f(t)的图像可近似地看成函数 y＝Acos ωt ＋b 的图像．

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式

角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
[思考辨析判断正误] 1.sink2π－α＝±cos α.( × ) 提示当 k＝2 时，sink2π－α＝sin(π－α)＝sin α. 2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( × ) 提示应看原三角函数值的符号.
答案以－α代换公式中的α得到
sinπ2－α＝cos(－α)＝cos α，cosπ2－α＝－sin(－α)＝sin α.
梳理对任意角α，有下列关系式成立：
sinπ2＋α＝cos α，
cosπ2＋α＝－sin α
(1.13)
sinπ2－α＝cos α，
跟踪训练 1 已知 cosα＋π6＝35，π2≤α≤32π，求 sinα＋23π的值. 解 ∵α＋23π＝α＋π6＋π2， ∴sinα＋23π＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35.
解答
类型二利用诱导公式化简
例 2 化简：csoins[kπk＋＋π21－ π＋αsαi]ncokπs－kππ2＋－αα，其中 k∈Z.
解当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝csoisn[2m2mπ＋＋π21－π＋αsαi]nco2sm2πm－ππ2＋－αα＝cossπ2in－πα＋siαnc－osπ2α－α＝－－ssiinn
＝－sinπ2－α·cosπ2－α＝－cos α·sin α＝1.
公式
α α＋2kπ(k∈Z)
π＋α －α π－α π2－α π2＋α
sin α sin α －sin α －sin α sin α cos α
cos α
cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α

高中数学第一章三角函数 1.4.3、4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与

5．解读诱导公式(π2＋α，π2－α) 诱导公式(π2＋α，π2－α)不同于前面的四个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．
类型一正、余弦函数的定义域、值域、最值
【例 1】 (1)函数 y＝sin3x的定义域是( A )
A．R
B．[－1,1]
【解析】 ∵y＝cosx 在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π) 上是单调递增函数．∴y＝－23cosx 在(0，π)是单调递增函数，在[π， 2π)上是单调递减函数，A 成立．
规律方法函数 y＝Asinx＋B 或 y＝Acosx＋B 型函数的单调性常常利用 y＝sinx 与 y＝cosx 的单调性解决．但要注意 A>0， A<0 情况的讨论．
6．诱导公式(函数名称改变)
sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(π2＋α)＝－sinα .
sin(π2－α)＝ cosα
，cos(π2－α)＝ sinα
.
文字概括：
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
[答一答] 3．怎样记忆七组诱导公式？
(2)原式＝(cosπ7＋cos67π)＋(cos27π＋cos57π)＋(cos37π＋cos47π)＝ [cosπ7＋cos(π－π7)]＋[cos27π＋cos(π－27π)]＋[cos37π＋cos(π－37π)]＝ (cosπ7－cos7π)＋(cos27π－cos27π)＋(cos37π－cos37π)＝0.
知识点二余弦线与利用单位圆看 y＝cosx 性质
[填一填] 3．根据单位圆理解余弦函数 y＝cosx 性质 (1)定义域是全体实数； (2)最大值是 1 ，最小值是－1 ，值域是 [－1,1] ； (3)它是周期函数，其最小正周期是 2π ；

高中数学第一章三角函数 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一条件求值【例1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：cos π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 32π－θ－1＋cos2π－θcos π＋θsin π2＋θ－sin 3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明左边＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ1＋cos θ1－cos θ＝21－cos 2θ＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7＝a ＋3a ＋1.证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7]－cos[2π＋α＋8π7]＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝－a cos α＋8π7－3cos α＋8π7－a cos α＋8π7－cos α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin π－α＋5cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α的值．解由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2cos α.∴sin π－α＋5 cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋αcos π2＋αsin 2π－α的值，则结果如何？解原式＝cos α－sin α－sin αsin －α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】若例3中的条件不变改为求sin π－α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos 3π2－α＋cos －π＋α的值．解由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝－31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵sin π－α＋5cos 2π－α2sin 3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案－135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案－125．化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－π＝________.解析原式＝sin θ－πcos π2＋θcos －θsin θ＋π2[－sin θ＋π]＝－sin θ－sin θcos θcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2cos 2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)证明 ∵左边＝－2sin 32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ ＝－2sin[π＋π2－θ]－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案－110．已知α为第二象限角，化简1＋2sin 5π－αcos α－πsin α－3π2－ 1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝1＋2sin α－cos αcos α－|cos 3π2＋α|＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案－111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时，原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式11 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

高中数学第一章三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.4。

3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形(关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称)，sin y x =的对称中心是(π0)k ，,k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ,对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式,求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选(Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+,转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例 2 由函数2sin3y x =,π5π66x ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明:此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求,体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=( ）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解:∵函数图象关于原点中心对称,且x ∈R ， ∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=,即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ)． 3．综合运用例４已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称,且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数,y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称, 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>,3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导

2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4。

3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题（重点）。

2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用。

3.理解诱导公式的推导过程(重点）.4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点）．知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1］周期2π在［0,2π]上的单调性在错误!，错误!上是增加的；在错误!上是减少的在［π,2π］上是增加的；在[0,π］上是减少的（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R。

（√）(2）函数y＝sin x在［0，π］上是单调减函数．(×)（3）函数y＝cos x在［0，π］上的值域是[0，1］．(×)（4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√）知识点2 2kπ±α，－α，π±α（k∈Z)的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin（2kπ＋α)＝sin α,cos(2kπ＋α）＝cos α.（1。

北师大版必修4高中数学第1章三角函数44.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与

1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量 x 的值．
(1)y＝－sin x，x∈π3，π；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]． [解] (1)y＝－sin x，x∈π3，π的单调递减区间为π3，π2，单调递增区间为π2，π.
当 x＝π2时，ymin＝－1；当 x＝π 时，ymax＝0，故函数 y＝－sin x， x∈π3，π的值域为－1，0.
[提示] 它们的对应关系如表：
相关角
终边之间的对应关系
2kπ＋α 与 α π＋α 与 α －α 与 α 2π－α 与 α π－α 与 α
终边相同关于原点对称关于 x 轴对称关于 x 轴对称关于 y 轴对称
1．当 α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A．sinπ2＋α＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos (210°＋α)＝cos (30°＋α) D．cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知 D 正确．]
x 取最大值 1，当 x＝－6π时，y＝sin x 取最小值－12.
①
(2)由图②可知，y＝cos x 在
[ －π，0] 上是增加的，在0，3π上是减少的．且
当 x＝－π 时取最小值－1，当 x＝0 时，取最大值 1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角 x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点 P(cos x，sin x)；第三步：研究 P 点横坐标及纵坐标随 x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．
(2)y＝cos x，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．
当 x＝0 时，ymax＝1；当 x＝－π 或 π 时，ymin＝－1，故函数 y＝ cos x，x∈[－π，π]的值域为[－1,1].

课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数1.3蝗制北师大版必修1

3 【答案】 4
5．已知集合 A＝ { α|2 kπ< α< π＋2kπ，k∈ Z} ， B＝ { α| － 4≤ α≤ 4} ，求 A∩ B. 【解】 ∵ A＝ { α|2 kπ<α< π＋2kπ，k∈ Z } ，令 k＝ 1，有 2π< α<3 π，而2π>4 ；令 k＝ 0，有 0< α< π；令 k＝－ 1，有－ 2π< α< －π，
(1)将α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－ 720°～ 0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
【解】 (1)∵ 180°＝π rad，
570π 19π
5π
∴ α1＝－ 570°＝－ 180 ＝－ 6 ＝－ 2× 2π＋6 ，
[小组合作型 ]
弧度制与角度制的互化
将下列角度与弧度进行互化．
7π
11
(1)20°； (2)－ 15°； (3)12； (4)－ 5 π.
【精彩点拨】本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换算公式，即
π
180°
度数× 180＝弧度数，弧度数×
π ＝度数．
【自主解答】
20π π (1)20°＝ 180＝9.
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于 2π
C． 1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是
1 弧度
【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知 A ，B， C 均正确， D 错误．
【答案】 D
2．已知 α＝－ 2 ，则 α的终边在 ( )

2016-2017学年高中数学第一章三角函数 1.4.3-1.4.4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、单位圆的对称

π 6
-��
=- 23.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练 3
已知 cos
�� + π
4
= 23,则 sin
π 4
-��
的值等于(
)
A.23
B.-23
C.
5 3
D.±
5 3
解析:sin π -�� =sin π - π + ��
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (1.9)
sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (1.10)
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (1.11)
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α. (1.12)
4
24
=cos
�� + π
4
= 23.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究四诱导公式在三角形中的应用
【例 4】在△ABC 中,若 sin��+2��-��=sin��-��2��+��,试判断△ABC 的形状.
思路分析:充分利用三角形内角和定理以及诱导公式,寻求两内角之间的关系,从而确定三角形形状.
3
+cos
π-
π 3
-��
=-cos π + �� -cos π + �� =-2cos π + �� .

高中数学第一章三角函数1.4.31.4.4单位圆的对称性与诱导公式学案北师大版必修4

高中数学第一章三角函数1.4.31.4.4单位圆的对称性与诱导公式学案北师大版必修44.4 单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y＝sin x y＝cos x基本性质定义域R值域[－1,1]最大(小)值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1基本性质周期性周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π单调性在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π上的最大值为1.( ) (3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( )【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，故(2)正确．(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误．【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导(1)π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．(2)公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( ) (3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.【精彩点拨】画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )；第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3.【精彩点拨】利用诱导公式将所给的角化成锐角求解．【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝32·32·22＝34·22＝328. (2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34；当n 为偶数时，原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.给值求值已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α. 【精彩点拨】解答本题要注意到⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∵⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－13×13＝－19.1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.[探究共研型]三角函数式的化简探究1 三角函数式本着怎样的思路化简？【提示】总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数．探究2 怎样处理含有k π±α的角？【提示】含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．化简下列各式．(1)cos2π－αsin 3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos α－3πsin －π－α；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z )．【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】 (1)原式＝cos α·－sin α·－sin αsin α·－cos αsin α＝－1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．[再练一题] 4．化简：cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z .【解】cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α.①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α； ②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α.综上可知，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为奇数.[构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】由诱导公式知D 正确．【答案】 D2．cos 2π3的值是( )【导学号：66470011】A ．－32B ．32C.12D ．－12【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______．【解析】在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π24．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________.【解析】 cos (π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.【答案】 125．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4.11 【解】原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋54π＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝sin π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝34.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

高中数学第一章三角函数1.4.2_1.4.3单位圆与周期性单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课时素

学习资料课时素养评价五单位圆与周期性单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(20分钟40分）1.cos 1 110°的值为 ( )A.B。

C.— D.—【解析】选B.cos 1 110°=cos（3×360°+30°)=cos30°=.2.M和m分别是函数y=sin x—1的最大值和最小值,则M+m等于（)A. B.—C。

-D。

-2【解析】选D.因为M=y max=-1=-,m=y min=——1=-，所以M+m=--=-2.3。

函数y=4sin x+3在[-π，π]上的递增区间为 ( ）A.B。

C。

D。

【解析】选B.y=sin x的增区间就是y=4sin x+3的增区间.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f（x）=sin x,则f的值为( )A。

-B。

C。

-D。

【解析】选D。

因为定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,且f（x）的最小正周期为π，所以f=f=f=sin=。

5。

已知定义在R上的奇函数f（x)满足f（x+2)=-f(x），则f（6）的值为.【解析】因为f（x)是定义在R上的奇函数,所以f（0）=0,又f（x+4）=f［(x+2)+2]=-f(x+2）=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2）.由f（2）=-f(0）=0，得f（6）=0。

答案:06.cos π+sin= .【解析】原式=cos+sin=cos +sin =+=。

答案:7.已知f（x+3)=-,求证:f(x)是周期函数，并求出它的一个周期。

【解析】因为f（x+6)=f[(x+3）+3］=-=-=f（x)，所以f(x)是周期函数,且6是它的一个周期。

（30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分）1。

满足sin≥的α的集合为 ( )A.｛α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}B。

高中数学第一章三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式浅议诱导公式的推广素材北

高中数学第一章三角函数1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式浅议诱导公式的推广素材北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式浅议诱导公式的推广素材北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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浅议诱导公式的推广对于绝对值大于2π的角的三角函数求值，能否直接套一个公式得出结果？要想解决这个问题，下面首先对诱导公式进行扩展,供同学们参考。

一、kπ±α(k∈Z）的诱导公式⒈象限的参数式集合设α∈（0,2)，由图1易知，第一象限的角的集合为：｛β｜β=2kπ+α,k∈Z}={β|β=偶π+α}第二象限的角的集合为：｛β｜β=(2k+1)π-α，k∈Z｝={β|β=奇π—α}第三象限的角的集合为：{β|β=（2k+1)π+α，k∈Z}={β|β=奇π+α｝第四象限的角的集合为：{β|β=2kπ—α,k∈Z}=｛β｜β=偶π-α｝⒉诱导公式的扩展sin(偶π+α)=sinα, cos（偶π+α)=cosα， tan(偶π+α）=tanα,sin(奇π—α)=sinα, cos(奇π-α)=—c osα, tan(奇π—α）=—tanα,sin(奇π+α）=—sinα，cos （奇π+α)=-cosα， tan （奇π+α)=tanα,sin （偶π-α)=-sinα，cos(偶π-α）=cosα， tan （偶π—α)=-tanα。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学第1章三角函数章末归纳提升苏教版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第1章三角函数章末归纳提升苏教版必修4(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．(2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________．【思路点拨】 (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)r ＝|OP |＝－4m 2＋m 2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45.∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45.∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z ，解得：2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．【答案】 (1)25或－25 (2){x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }已知P (－3，m )为角α的终边上的一点，且sin α＝1313，则m 的值为________．【解析】 r ＝3＋m 2，∴sin α＝y r＝m3＋m2＝1313，平方解得m ＝±12， ∵sin α＝1313＞0，∴m ＞0，∴m ＝12. 【答案】 1诱导公式1．在计算、化简或证明三角函数式时常用的三个技巧有：(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin 2α＋cos 2α”代替． (2)切化弦．利用商数关系式把正切化为正弦和余弦函数．(3)整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．2．应用诱导公式需注意的五个问题：(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为：“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．(2)在运用这六组诱导公式时，要仔细体会其中的数学思想——化归思想，并在学习过程中能自觉地运用．(3)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数有关问题(特别是化简、求值、证明)中常使用．(4)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k π±α的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．(5)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”． 3．方程思想的渗透对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出．(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值．【思路点拨】要求tan α的值，只需求得sin α，cos α的值．而由已知条件sinα＋cos α＝13，α∈(0，π)，再利用sin 2α＋cos 2α＝1，求得2sin αcos α的值，进而求得sin α－cos α的值．【规范解答】 ∵sin α＋cos α＝13，①将其两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝19，∴2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α＜0＜sin α.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176.∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178.化简：1＋cos(π2＋α)·sin(π2－α)·tan(π＋α)．【解】原式＝1－sin α·cos α·tan α＝1－sin α·cos α·sin α＝1－sin 2α＝cos 2α.1.主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，利用“五点法”作图或利用图象的伸缩和平移变换来作图．具体要求：①用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π；②对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别；③已知函数图象来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．2．解决三角函数有关性质的问题时，常用到数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，主要体现在三角函数的奇偶性、单调性、周期性以及其图象的对称性等知识的考查．如图1－1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的部分图象．图1－1(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的．【思路点拨】 (1)根据函数图象与A ，ω，φ的关系求出函数解析式；(2)根据函数图象变换的有关性质进行求解．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－－322＝12，k ＝－12＋－322＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴所求函数的解析式为y ＝12sin(2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin(2x ＋π6)－1的图象．函数y ＝2a ＋b sin x 的最大值是3，最小值是1，求函数y ＝－4a sin bx2的最大值和最小值，以及相应的x 的值．【解】当b ＝0时，y ＝2a ，此时y max ＝y min ，与题意不符，故b ≠0.若b ＞0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝3，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，此时y ＝－4a sin bx 2＝－4sin x2，当x ＝4k π－π(k ∈Z )时，y 有最大值4；当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，y 有最小值－4.若b ＜0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时y ＝－4a sin bx 2＝4sin x2，当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，y 有最大值4；当x ＝4k π1.(1)数形结合是重要的数学思想，它能把代数关系与几何图形有机结合起来，将抽象的思维方式转化为直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．(2)数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．2．数形结合在本章中的体现本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．试判断方程sin x ＝x100π实数根的个数．【思路点拨】本题主要考查数形结合法求超越方程的根，在同一坐标系内作出函数y 1＝sin x 与y 2＝x100π的图象，由函数图象分析交点的个数．【规范解答】令y 1＝sin x ，y 2＝x100π，即求两个函数图象的交点数．∵|sin x |≤1，∴|x100π|≤1，|x |≤100π，如图．每一个最小正周期有两个交点，[0,100π]内共有50个最小正周期，所以有100个交点．又y 1＝sin x ，y 2＝x100π均为奇函数，所以在[－100π，0]内也有100个交点，而原点处的交点重复计算了一次，所以方程sin x ＝x100π实数根有199个．若集合M ＝{θ|sin θ≥12，0≤θ≤π}，N ＝{θ|cos θ≤12，0≤θ≤π}，求M ∩N .【解】法一首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象．如图①②，结合图象得集合M ，N 分别为M ＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N ＝{θ|π3≤θ≤π}．得M ∩N ＝{θ|π3≤θ≤56π}．法二作出单位圆的正弦线和余弦线如图．由单位圆三角函数线知M ＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N ＝{θ|π3≤θ≤π}．由此可得M ∩N ＝{θ|π3≤θ≤5π6}．综合检测(一) 第1章三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上) 1．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.【解析】画出图形可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z .【答案】－30°＋k ·360°，k ∈Z2．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f (f (π4))＝________.【解析】 ∵π4∈[0，π2)，∴f (π4)＝－tan π4＝－1，∴f (f (π4))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.【答案】－23．函数y ＝3cos(25x －π6)的最小正周期是________．【解析】 T ＝2π25＝5π.【答案】 5π4．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)(π2＜α＜3π2)，则sin θ＋cos θ＝________.【解析】 ∵r ＝－4cos α2＋α2＝5|cos α|＝－5cos α，∴sin θ＝3cos α－5cos α＝－35，cos α＝－4cos α－5cos α＝45.∴sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.【答案】 155．如果sin(π＋A )＝－12，则cos(32π－A )＝________.【解析】 sin(π＋A )＝－sin A ＝－12，∴sin A ＝12，cos(32π－A )＝cos[π＋(π2－A )]＝－cos(π2－A )＝－sin A ＝－12.【答案】－126．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.【解析】 sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ2θ＋cos 2θsin 3θ－cos 3θ ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107. 【答案】 1077．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2，∴α＝4或α＝1.【答案】 1或48．函数y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )的定义域为________．【解析】 ∵y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )＝25－x 2＋log 3sin x ，∴要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，sin x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π<x <2k π＋πk ∈Z ，∴－5≤x <－π或0<x <π.【答案】 [－5，－π)∪(0，π)9．函数y ＝2cos(x －π3)(π6≤x ≤2π3)的最大值和最小值之积为________．【解析】 ∵π6≤x ≤23π，∴－π6≤x －π3≤π3，∴12≤cos(x －π3)≤1，∴1≤2cos(x －π3)≤2，故所求最大值和最小值之积1×2＝2. 【答案】 210．将函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin(3x ＋π4)向右平移π8个单位得y ＝sin[3(x －π8)＋π4]，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(x －π8)．【答案】 y ＝sin(x －π8)11．(2013·扬州高一检测)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．【解析】由函数的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴2πω·k ＝43π(k ∈Z )，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 【答案】 32图112．如图1为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (ω＞0，A ＞0，|φ|＜π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为________．【解析】 A ＝3－－2＝2，B ＝3＋－2＝1，由图可知2sin φ＝1，|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以2sin(－πω＋π6)＋1＝－1，可得－πω＋π6＝－π2，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1.【答案】 2sin(23x ＋π6)＋113．(2013·合肥高一检测)函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[0，π]上的单调增区间为________．【解析】由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－512π＋k π≤x ≤π12＋k π(k∈Z )，令k ＝0,1得所求单调递增区间为[0，π12]，[712π，π]．【答案】 [0，π12]，[712π，π]14．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π6)；③y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【解析】函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(π6－2x )＝4cos(2x －π6)，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin[2×(－π6)＋π3]＝4sin 0＝0，因此点(－π6，0)是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点(－π6，0)不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．【答案】 ②③ 二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求值sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)．【解】原式＝(32)2－1＋1－cos 230°＋sin 30°＝(32)2－1＋1－(32)2＋12＝12. 16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f (α)＝α－π23π2＋απ－α－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【解】 (1)f (α)＝－cos α·sin α－tan α－tan α·sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(－3·π2＋α)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，cos α＝－1－－152＝－265，∴f (α)＝265.17．(本小题满分14分)已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值．【解】由题意知a ≠0.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是 4，－3或－4，－1.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．【解】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }．19．(本小题满分16分)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标缩短到原来的13倍，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，然后把整个曲线向左平移π3，得到函数y ＝sin x的图象，求函数f (x )的解析式，并画出函数y ＝f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图．【解】将正弦曲线y ＝sin x 向右平移π3个单位长度，得函数y ＝sin(x －π3)的图象，再将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y ＝sin(x 2－π3)的图象，然后将曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得函数y ＝3sin(x 2－π3)的图象．∴f (x )＝3sin(x 2－π3)．令z ＝x 2－π3，则x ＝2z ＋2π3.列表：描点画图(如图) ：11 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y －1 1 3 1 －1 1 3(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－(－π6)＝2π.由T ＝2πω得ω＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，解得φ＝－π3. ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1. (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]．如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰有两个不同的解的条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。

高中数学第一章三角函数 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)课件高一必修4数学课件

第一章 §4 正弦函数和余弦(yúxián)函数的定义与诱导公式
4.4 单位圆的对称性与诱导(yòudǎo)公式(二)
12/12/2021
第一页，共二十九页。
学习目标
1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性(gòngxìng)与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
12/12/2021
第八页，共二十九页。
[思考辨析判断(pànduàn)正误]
1.sink2π－α＝±cos α.( × ) 提示当 k＝2 时，sink2π－α＝sin(π－α)＝sin α.
2.口诀(kǒujué)“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( ×) 提示应看原三角函数(sānjiǎhánshù)值的符号.
12/12/2021
第五页，共二十九页。
梳理对任意(rènyì)角α，有下列关系式成立：
sinπ2＋α＝cos α，
cosπ2＋α＝－sin α
(1.13)
sinπ2－α＝cos α，
cosπ2－α＝sin α
(1.14)
诱导公式 1.13～1.14 的记忆：π2－α，π2＋α 的正(余)弦函数值，等于 α 的
sin ＝
x－－cocsosxx－sincoxs－π2＋sinxx－cocsoxs2π－x＝csoins
x x.
12/12/2021
第十八页，共二十九页。
解答
(2)求 f －331π.
解
f －331π＝csoins－－333311ππ＝－cossin1100ππ＋＋π3π3 ＝－cossinπ33π＝－ 3.

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