2007级高数(下)试题及答案
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.文）含答案
宁夏和海南都是新课标教材，使用的是同一套数学题。
பைடு நூலகம் 四川省蓬安中学校 张万建 整理 zwjozwj@
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.理) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.文) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江苏卷不分文理）含答案
注：使用全国卷Ⅰ的省份：河北 河南 山西 广西 ；
使用全国卷Ⅱ的省份：吉林 黑龙江 云南 贵州 新疆 青海 甘肃 内蒙 西藏
07高数下(含答案)2022
2007（2）工科高数考试试卷一、填空题（每小题3分，共计15分）(,)(0,0)22211lim______.2sin ________.3ln()________.4''6'100________.5()2[,)10()0()x y xx y xyz z y x y x yx y dxdy y y y f x x f x xx f x πππππ→+≤=∂=++=∂∂+-+=---≤<⎧=⎨≤<⎩⎰⎰、、设则、二重积分的符号为、微分方程的通解为、设为周期为的周期函数，它在上的表达式为若的傅立叶级()(0)()________.2s x s s π+=数的和函数为，则二、选择题（每小题3分，共计15分）11011110011110001(,)()(,)()(,)()(,)()(,)x x x y y dx f x y dy A dy f x y dxB dy f x y dxC dy f x y dxD dy f x y dx-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、二次积分等于（ ）2221132222000212133202:1,0,()4sin cos ()sin ()sin cos ()sin cos x y z z I zdVA d d r drB d d r drC d d r drD d d r drππππππππθϕϕϕθϕϕθϕϕϕθϕϕϕΩΩ++≤≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、设则三重积分等于（ ）1131131()(1)()(1)sin11()(1)()(1)(sin)6nnn n nnnn n n A B n n C D nπ∞∞==∞∞==--+--∑∑∑∑、下列数项级数中为条件收敛的级数是（ ）4(,)(,)()()()()()()()()LD D DDD L L P x y Q x y D Pdx Q dy PQ QP A dxdyB dxdyyx yx PQ QP C dxdy D dxdyxy xy+=∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 、设有界闭区域由分段光滑曲线所围成，取正向，函数，在上具有一阶连续偏导数，则（ ）12125()'()()0()''()'()0()''()'()()()''()'()0y y y y A y p x y q x B y p x y q x y C y p x y q x y f x D y p x y q x +++=++=++=++=、下列方程中，设，是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ）三、求解下列问题（每小题7分，共计49分）1322()().i j k i j k αβαβααβ=--=+-⋅-⨯、已知向量和，求2222(,)42008.z z x y x y z z dz =++-=、设函数由方程所确定，求2233352(,1,)24z x y =----、已知小山的高度为，那么在处登山，最陡的方向是多少？2114.yxdx edy -⎰⎰、计算二次积分22225(0)(0).x y z a a z h h a zdS ∑∑++=>=<<⎰⎰、设为球面被平面截得的顶部，计算211(2)6(1)21n nn x n +∞=--+∑、求级数的收敛域。
07级工科《高等数学》下试题.doc
《高等数学》（下）试题（A）闭卷（7）适合专业年级：07环科、电商、计算机、食工、电气、贪质、建环;水利、农机；木科、土管（农）、环规；地理、土管（测）；生态、城管等姓名_学号专业______________ 班级____________木试题•一共五道大题，共4页，满分100分，考试时间120分钟。
总分题号—‘二三四五阅卷人题分1012125610核分人得分注：1.答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废。
2.试卷若有雷同以零分计。
一.是非题（每小题2分，共10分.正确打人错误打X.） 1、limw n=0是级数$人收敛的充要条件.zt=l7. ¥级数含一^x"的收敛半径n=\ (- 3)'1A. ¥8. 3 C. 2 D. 1A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、若曲而27:x2 + y2 +^2= a2，则孙？ +/ +ZZ 2)dS =(级数a (-i) Zl-\fn是绝对收敛.3、若V为W的体积一半，则dxdydz = 2V .4、常微分方程;v it 4），= 0的特征根是土2 .5、若向量场，则旋度^+―^+―& 拽V二、选择填空（每小题3分，共12分.）6、f(x,y)dy =C. ^dy^f(x,y)dx B. ' f(x,y)dxD. ' f(x,y)dxA. pa4B. 2pa4C. 4pa4D. 6pa4三、填空（每小题4分，共12分）0办= __________________ 10、若户^，”，^（人:^在^巧平而内积分与路径无关，则$/^+11、c os«是有向曲面S在处的法向量的方向余弦，由两类曲面积分关系，有虫科P cos adS = ____________12、对于微分方程y it f （y, y），若令尸= ________ ，y & _____________ ，则化为降阶可解.四、解答题（每小题7分，共56分）A xds ,其中，L是上半岡周x2+y2=2x, 0.13、i in6 [e、cosx_ y]dx-^- [e y sinx+ y- x]dy ,其中，L 力4x2 + 9），2 = 36 在14、计算 / =第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.2 215、I = x2dydz + y2dzdx+ z2dxdy ,其中，S ：—7+ -p- 1，外侧.c16、计算/= cos yjx2 + y2 dxdy,其中，D:x2 y2P2.1)17、计算/=龄斗(x2+ >,2 + z2- z)dxdydz，其屮，W: x2 + + z2a2.~ x n+118、求¥级数x? ( 1,1)的和阑数S(x). H=I n20、求微分方程x2/ + xy = y2,刈）=-1的特解.五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x）= /（0^+2,（1）求/（x），（2）把/（x）展开成又的¥级数.07级《高等数学》（下）试题A参考答案和评分标准（2007-2008学年第2期）一、是非题（毎小题2分，共10分.正确打V，错误打X.） XXV XX二、选择填空（每小题3分，共12分.）DBAC三、填空（毎小题4分，共12分）2 2 215、计算/ — 觀 x 2dydz + y 2dzdx + z,2clxdy , s:*+fr+fr=i ，外侧‘解根据高斯公式及三重积分的对称性质，得 /=齦 x 2dydz + y 2dzdx+ z 2dxcly =虫科（2x+ 2y+ 2z ）dv= 016、计算/=虫科 cos^/x 2+)，2 dxdy ，其中 £>:x 2+y解极坐标计算< dJ () cosr ?rJr 2p ?[r sin r cosrj = -4p (7 分)四、解答题（毎小题7分，共56分）13、计算义也，£是上半圆周X2+），2=2X ,0.z , ,x = 1 + cosf，z 解令. (0 < z < ^), y = sin t(3分)则虫,(1 + cos t)yj(- sinz)2 + (cos ，)2t/z = p（7分）14、计算/= 6IX C0SA '- y]dx+ [e y sinx+ y- x]dy , K 中 L 为 4x 2+9y 236在第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.解由于#=fcosx- 1=所以曲线积分与路径无关.选择折线路径(3,0)(0,0) (0,2)（3分）d K cosx- y]dx+ [e ysinx+ y- x}dyos xdx + ydy= 2 - sin 3（7分）（7分）a'2P 217、计算/=虫科(x2+ )’2+ z2- ^)dxdydz ,其•中，V : %2 + V2 + z2a2解山球平.标和对称性I =虫柳科^2+/+ z2）dxdydz-嫩zd 又dydz （3分）dJ siny dj（7分）°° w+i18、求幂级数, jv? （ 1，1）的和函数只x）./?=!x n解令久⑴二刃二，X?（ 1，1），逐项求导得, trr noo'1=1n=l 1-X（3分）因此，5,(x)= Q ------- d t= - ln(l- x)，x? ( 1，1)z o1所以，S(x) = xS} (%) = -x ln(l -x), xe (-1J) （7分）19、/（x）周期是2p,—个周期闪/（%）= •x2，（-/? < x /?），把/（x）展开成企弦级数.解：6Z0 = —x2dx= -^―2 P 7a、、=— A cos nxdx =4l)n—,(H= 1,2,3,L)显然，b n= 0，（n= 1，2，L ）（5分）*7 2f(x) = —+ cosnx= —+ (- l)n— cosnx , x? ( ?，) (7 分)2 n=i3 M=i n20、求微分方程x2/ + ;vy = y2, }<1)= - 1的特解.解(1)变形得 Bernoulli 方程y0+ x J y= Z 2y2两端同除以y2，令还-/2z，i ； - ] - 2 o - I - 2-Z x z= X ! z X z= - Xx [（ix11+ 2Cx 2clx+ c =——+ Cx= ------------2x 2x由 y （l ）=- 1，得 C=3， （6分）所求特解为v= （7分）1- 3x 2五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x ）= Q 綾八 f （f ）dt+ 2, （1）求/0），（2）把/0）展开成x 的¥级数.解⑴ /如）=2，- /（x ）,记尸/（x ），得yiib ），= 2e\y （0）= 0，y （0）= 2 ①（2 分）特征方程r 2+ 1= 0,特征根r, 2 = i对应齐次方程通解y= C, cos%+ C 2sin%（4分）2x3 y=I7^’ 由）’（卜1 得（6分）所求特解>，=2x1- 3x 2（7分）解（2）将原方程变形，得// \22、义/XUdxu+ x —^代入上式，得clu X ——=U dxdx2- 2u（3分）分离变W:积分得u — 2 2 "" y ~2 C?,即Cx（3分）因为/ = 1不是特征根，可设特解代入方程①得A = 1)，(0) = 0, ><0) = 2 得 = - 1，C 2 = 1 所以 /(x)= sinx • cosx+ e x （7分）(2) /(%)= sinx- cosx+ e x s_丄人丄人丄•V + —X' 3! 5!7! X 7 + LT丄义2 + 2! 4! 6! x 6 + L+ %+ — 4- —x 3 + —x 4 + —x 5 + —x 6 + —%7L $2! 3! 4! 5! 6! 7!A '9+io!x ，° +L 4zi+l (4n+ 2)! 4n+2Z（10 分）。
2007级高数下册考试题
一、填空题（每小题4分，共24分） 1）设432z x y x =+，则()1,2dz =3412dx dy+。
2）曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为0x a y za c-==。
3）已知()()()()2222,0,0,0x y xyx y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,xf y =y-。
4）函数22z x y =+在点()01,2P 沿从点()01,2P到点(12,2P+方向的方向导数是1+。
5）设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分()()2224Lxy y dx xx dy -+-=⎰ 18π-。
6）设L 为直线y x =上点()0,0到点()1,1之间的一段，则曲线积分2Lxy ds =⎰4。
二、（本题7分）计算二重积分222x yDxy e d σ⎰⎰，其中D是由1,,0y x x ===所围成的区域。
解：三、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定。
四、（本题7分）计算()()22222xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰，其中∑为半球面z =五、（本题7分）计算()1x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面()()221012z x y z =+≤≤。
六、（本题7分）求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值。
七、（本题7分）设,x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f 具有连续的二阶偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂。
八、（本题7分）求微分方程()20xy x e dx xdy -+-=的通解。
九、（本题8分）设()f x 具有二阶连续的导数，()()00,01f f '==，且()()()()20xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=⎡⎤⎣⎦是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解。
安徽专升本2007年高数答案
2007参考答案一、单项选择题（每题3分，满分30分） 1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D二、填空题（每题3分，满分30分） 11.2t12.1 13.y=(x+2)e x14. 10(,)ydy f x y dx ⎰15.12 16. 5317. 1)] 18. -219. 9710897-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭20. 35三、计算题（共65分）21.【精析】原式= 0lim x →3·2(sin )x x x x x -=0lim x →32sin x x x-=0lim x →361cos x x-=0lim x →22612x x=12.22. 【精析】由题意可得， 'y =-''211,,1(1)y x x =--'''(4)3412123,,(1)(1)y y x x ⋅⋅⋅==--一般地，可得()'(1)!(1)(1)n nn n yx •-=--23. 【精析】ln )x x dx +⎰=ln dx x xdx +⎰=21ln ()2xd x +⎰=211(1)ln 22x x x xdx -+⋅-⎰=2211arcsin(1)ln .24x x x x C -+-+ 24.【精析】121(x dx -⎰=121(212x dx -++⎰=11211(21)2x dx dx --++⎰⎰=103+0 =103.25. 【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为 (21)!!,3!n n n a n -=⋅则11(21)!!3!lim lim 3(1)!(21)!!n n n n n na n n a n n ++→∞→∞+⋅=⋅⋅+- =21lim3(1)n n n →∞++=23由比值审敛法可知，23ρ=＜1，所以此无穷级数收敛. 26. 【精析】由题意可得，2'01sin (0)lim x x x cx f x++→+-= =01lim(1sin )x c x x x+→+- =1,则C=0.2'00(0)limlim()x x ax bx c cf ax b b x---→→++-==+=因为''(0)(0)1f f b +-===c=0, b=1, a 为任意常数.27. 【精析】令cos ,x r θ=sin ,y r θ=则其积分区域为1≤r ≤2,0≤θ≤2π,故222201rDd e rdr e d ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰=22e π. 28. 【精析】由题意可知其增广矩阵312~112111121122573225733378400000r r r A ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2121121100151,00000r r ---⎛⎫⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭从而有{12343421,5 1.x x x x x x -+-=-=令2142,,x c x c ==则原方程的全部解为{191,12,2115,32.42x C C x C x C x C =--==+=()12,C C 为任意常数29. 【精析】（1）由密度函数为p(x)= xAe-,则()1p x dx +∞-∞=⎰，即121,;2xx Aedx Ae dx A +∞+∞---∞===⎰⎰则 （2）由（1）可知A=12，则p(x)= 12xe -,有 {}11111()(1)22x P x F F e dx e +∞--<<+∞=+∞-==⎰；（3）1()0,2x E x e dx ξ+∞--∞=⋅=⎰ 21()()2xD x o e dx ξ+∞--∞=-⋅⎰=20x x e dx +∞-⋅⎰=2四、证明与应用题（共25分）30. 【证明】令函数22()(1)ln (1)f x x x x =++-，则'21()(1)2ln(1)ln (1)21f x x x x x x=+⋅+⋅++-+ =22ln(1)ln (1)2x x x +++- =2[ln(1)1]12x x ++--则当x (0,1)∈时，'()0f x <，而(0)0f =，所以()0f x <， 即22(1)ln (1)x x x ++<. 31. 【证明】 由0kA =（k 为正整数），则21212()()k k k E A E A A A E A A A A A A ---++++=++++----=kE A -因为0,kA = 则21()(),k E A E A A A E --++++=所以 E A -可逆， 且121().k E A E A A A ---=++++32. 【精析】等式2244x y +=两边同时对x 求导，有'820x y y +⋅=，得斜率'4,xk y y==-切设（x,y ）为曲线上任意一点，切线方程为 4()xY y X x y-=--；上式中令Y=0，得切线在x 轴上的截距1A X x=，令X=0，得切线在y 轴上的截距4B Y y =（其中注意到2244x y +=）. 故所求面积为 1122(01);242A B S X Y x xy ππ⋅⋅=-=-<< 故2'223/212()(1)x S x x x -=--，令'()S x =0，解得)x x ==.由S （x ）的可导性及驻点唯一性可知，x =是S （x ）的最小值点，所以所求的最小面积为(222S π=-.综上所述，所求切点为（2），此面积为22π-.。
高数(2-2)历年期末试题参考答案
2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
2007级高数下期末试卷
2007-2008学年第二学期《高等数学》期末试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1. 一平面通过点()3,2,1M 且平行于平面1032=++z y x ，它的方程为 。
2. xOy 坐标面上曲线y y x 222=+绕y 轴的旋转曲面方程为 。
3. 设函数yx xy z +=，则全微分=dz 。
4. 函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1处的梯度为 。
5. 设()y x z z ,=为由方程z xy e e z +=-所确定的隐函数，则=∂∂yz 。
6. 二次积分()dy y x f dx x ⎰⎰+02210的极坐标形式为 。
7. 设周期为2的函数()x f 在一个周期内的表达式为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=5.01,115.0,x x x x f ，它的傅立叶级数的和函数为()x S ，则()=-5.3S 。
8. 设L 的方程为29x y --=，则曲线积分()⎰=+L ds y x 22 。
9. 幂级数()∑∞=-12n n n x的收敛区间是 。
10. 函数()x x x f sin =的麦克劳林级数为 。
11. 已知二阶常系数线性齐次微分方程的特征根全为1，则其对应的微分方程为 。
12. 微分方程x xy y =+'2满足条件()211=y 的特解为 。
二、计算题（每小题6分，共24分）1. 设函数()y x z z ,=为由方程()0,=--z y z x f 所确定的隐函数，其中()v u f ,具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f 。
求yz x z ∂∂+∂∂的值。
2. 求微分方程x x y y x ln =+'的通解。
3. 计算二重积分⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域（第一象限）。
4. 计算曲线积分()dz y x ydy xdx Γ 1-+++⎰，其中Γ是由点()1,1,1到点()3,2,1的直线段。
2007年高考数学试题及答案(共37份)
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题湖南卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 不等式2x x >的解集是（ ）A (0)-∞，B (01)，C (1)+∞，D (0)(1)-∞+∞ ，，2 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A EF OF OE =+B EF OF OE =-C EF OF OE =-+D EF OF OE =--3 设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件4 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A 4122-B 2122-C 10122-D 11122-5 在(1)n x +（n ∈N *）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（ ）A 8B 9C 10D 116 如图1，在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E F ，分别是1A B ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A E F 与1B B 垂直B E F 与B D 垂直C E F 与CD 异面D E F 与11A C 异面7 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2） 从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A 48米 B 49米 C 50米 D 51米CA 18 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A 1B 2C 3D 49 设12F F ，分别是椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A2B12C2D210 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有m in m inj j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A 10B 11C 12D 13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在横线上11 圆心为(11)，且与直线4x y -=12 在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =，π3C =，则A =13 若0a >，2349a =，则14loga =14 设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ，频率0 水位（米）图2（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b15 棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E F ，分别是该正方体的棱1A A ，1DD 的中点，则直线E F 被球O 截得的线段长为三、解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间17 （本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率18 （本小题满分12分）如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，C A C B =，45BAP ∠=，直线C A 和平面α所成的角为30（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B A C P --的大小19 （本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，（I ）证明C A ，C B为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程20 （本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n = ，，，（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项21 （本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）湖南卷 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 D2 B3 A4 B5 C6 D7 C8 C9 D 10 B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在横线上11 22(1)(1)2x y -+-=12π613 314 （1）[2)+∞，（2）9215 3π三、解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）17 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=18 解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结O B因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以C O α⊥， 又因为C A C B =，所以O A O B =而45BAO ∠= ，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面O BC 因为B C ⊂平面O BC ，故PQ BC ⊥（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，B O α⊂，所以BO β⊥过点O 作O H A C ⊥于点H ，连结B H ，由三垂线定理知，B H A C ⊥故B H O ∠是二面角B A C P --的平面角由（I ）知，C O α⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2A C =，则AO =sin 302O H AO ==在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==，于是在R t B O H △中，tan 22BO BH O O H∠===故二面角B A C P --的大小为arctan 2解法二：由（I ）知，O C O A ⊥，O C O B ⊥，O A O B ⊥，故可以O 为原点，分别以直线O B O A O C ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）因为C O a ⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=不妨设2A C =，则AO =1C O =在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(00)A ，(001)C ，，所以A B =-，(0A C =-，设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z -=+=⎪⎩，取1x =，得1(11n =易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量设二面角B A C P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，所以1212cos ||||n nn n θ===故二面角B A C P --的大小为arccos19 解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，（I ）当A B 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2-，，此时(1(11C A C B =-=-，当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-综上所述，C A C B为常数1-（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)C M x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)C O =-，，由CM CA CB CO =++ 得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是A B 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 当A B 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-将1212()2y y y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程所以点M 的轨迹方程是224x y -=解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当A B 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2122x x +=…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭ ………………………③由①②③得222x +=…………………………………………………④2y =……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有222224(2)1x yy x y+⨯==+- 整理得224x y -=当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程故点M 的轨迹方程是224x y -=20 解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+= …………………………①于是213(1)n n S S n ++=+ …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+ ……………………………………………③于是2169n n a a n +++=+ ……………………………………………………④由④－③得：26n n a a +-= …………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *由题设知，1187n n b -=⨯ 当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N *的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可）21 解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤ 于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立 故24a b -的最大值是16（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x < 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x < 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--。
2007年江苏省高考数学试卷及解析
2007年江苏省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列函数中，周期为的是（）A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x2．（5分）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．24．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A．[﹣π，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣，0]D．[﹣，0] 6．（5分）设f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）7．（5分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．128．（5分）设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．10．（5分）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x ≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为（）A．2 B．1 C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ=．12．（5分）山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有种不同的选修方案．（用数值作答）13．（5分）已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=．14．（5分）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．16．（5分）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d （cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．18．（12分）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM ⊥面BCC1B1；（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于P，Q，（1）若，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．20．（16分）已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列{b n}的前n项和，（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k﹣1=（m﹣1）a1；（2）若b3=a i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．21．（16分）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．2007年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2007•江苏）下列函数中，周期为的是（）A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x【分析】利用公式对选项进行逐一分析即可得到答案．【解答】解：根据公式，的周期为：T=4π，排除A．y=sin2x的周期为：T=π，排除B．的周期为：T=8π，排除C．故选D2．（5分）（2007•江苏）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A ∩∁U B为（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．【解答】解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={﹣1，2}，故选A3．（5分）（2007•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．【解答】解：由得b=2a，，．故选A．4．（5分）（2007•江苏）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】由题意用线面垂直和面面平行的定理，判断线面和面面平行和垂直的关系．【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；③中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；故选C．5．（5分）（2007•江苏）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A．[﹣π，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣，0]D．[﹣，0]【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：f（x）=sin x﹣cos x=2sin（x﹣），因x﹣∈[﹣π，﹣]，故x﹣∈[﹣π，﹣]，得x∈[﹣，0]，故选D6．（5分）（2007•江苏）设f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【分析】本题是关于函数图象对称性的一个题，方法一：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），知对称轴是x=1，故有f（）=f（），f（）=f（），又x≥1时，f（x）=2x﹣1，函数在（1，+∞）上是增函数，＞＞，由此可选出正确选项；方法二：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），知对称轴是x=1，由对称性知其在（﹣∞，1）上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，由此特征判断函数值的大小即可．【解答】解：方法一：由条件f（x）=f（2﹣x）可得函数图象关于直线x=1对称，则f（）=f（），f（）=f（），由于当x≥1时，f（x）=2x﹣1，即函数在[1，+∞）上为增函数，由于＞＞，故有f（）=f（）＞f（）＞f（）=f （）故应选B．方法二：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2﹣x），知对称轴是x=1，由对称性知其在（﹣∞，1）上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，∵1﹣＜﹣1＜1﹣∴f（）＜f（）＜f（）故应选B．7．（5分）（2007•江苏）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．【解答】解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B8．（5分）（2007•江苏）设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x 的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，然后由对数函数的单调性解之．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），，，即=，1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1则即解得﹣1＜x＜0故选A9．（5分）（2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．10．（5分）（2007•江苏）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x，y）|x+y ≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为（）A．2 B．1 C．D．【分析】将x+y和x﹣y看成整体，设，根据题意列出关于u，v的约束条件，画出区域求面积即可．【解答】解析：令，∴，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积选B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）（2007•江苏）若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ=．【分析】先由两角和与差的公式展开，得到α，β的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积．【解答】解：由已知，，∴cosαcosβ=，sinαsinβ=∴故应填12．（5分）（2007•江苏）山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有75种不同的选修方案．（用数值作答）【分析】由题意知本题需要分类来解，可以从A、B、C三门选一门有C31•C63，也可以从其他六门中选4门有C64，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门有C31•C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：7513．（5分）（2007•江苏）已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=32．【分析】先对函数f （x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x）+0﹣0+极值﹣8﹣1f（x）17极值24可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案为：3214．（5分）（2007•江苏）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离．【解答】解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0∴BC⊥平面APM又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APM，又∵平面ABC∩平面APM=PM，∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高设底面边长为a，则设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离故答案为：15．（5分）（2007•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．【解答】解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为16．（5分）（2007•江苏）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B 两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]．【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360°，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果．【解答】解：∵∴根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin=10sin，故答案为：10sin．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）（2007•江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【分析】（1）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，有5次恰好发生2次，根据独立重复试验概率公式写出结果．（2）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到概率．（3）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，表示除第三次外另外四次恰有一次正确，根据独立重复试验的概率公式得到概率．【解答】解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确的概率是（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.85次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，根据独立重复试验的概率公式得到18．（12分）（2007•江苏）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM ⊥面BCC1B1；（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．【分析】（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面．（2）在正方体中，易知AB⊥面BCC1B1，所以欲证EM⊥面BCC1B1，可以先证AB ∥EM；或者也可以从平面ABB1A1⊥平面BCC1B1入手去证明，那么我们一开始就需要算出BM的长度．（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角．【解答】解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；（2）因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以EM⊥面BCC1B1；（3）EM⊥面BCC1B1，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，∠EMH=90°，所以，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=．19．（14分）（2007•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于P，Q，（1）若，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（1）设过C点的直线的方程，与抛物线方程联立设出A，B的坐标则【分析】可分别表示出来，根据求得﹣c﹣k2c+kc•k+c2=2，求得c．（2）设过Q的切线方程，通过对抛物线方程求导求得切线的斜率，进而可表示出切线方程求得与y=﹣c的交点为M的坐标进而根据P为线段AB的中点，求求得Q点的坐标，根据x1x2=﹣c，进而可表示出M的坐标，判断出以点M和点Q 重合，也就是QA为此抛物线的切线．（3）根据（2）可知点Q的坐标，根据PQ⊥x轴，推断出点P的坐标，进而求得，判断出P为AB的中点．【解答】解：（1）设过C点的直线为y=kx+c，所以x2=kx+c（c＞0），即x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），，因为，所以x1x2+y1y2=2，即x1x2+（kx1+c）（kx2+c）=2，x1x2+k2x1x2﹣kc （x1+x2）+c2=2所以﹣c﹣k2c+kc•k+c2=2，即c2﹣c﹣2=0，所以c=2（舍去c=﹣1）（2）设过Q的切线为y﹣y1=k1（x﹣x1），y′=2x，所以k1=2x1，即y=2x1x﹣2x12+y1=2x1x ﹣x12，它与y=﹣c的交点为M，又，所以Q，因为x1x2=﹣c，所以，所以M，所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ⊥x轴，所以因为，所以P为AB的中点．20．（16分）（2007•江苏）已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列{b n}的前n项和，（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k﹣1=（m﹣1）a1；（2）若b3=a i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设{a n}的公差为d，由a1=b1，把b k=a m代入a1q k﹣1=a1，进而可表示，题设得证．出S k﹣1（2）利用）b3=a1q2，a i=a1+（i﹣1）a1（q﹣1），进而可得q2=1+（i﹣1）（q﹣1），q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）=0，整理即可求得q=i﹣2，进而可判定i﹣2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n﹣1（n∈N+），设数列{a n}中的某一项a m（m∈N+）=a1+（m﹣1）a1（q﹣1）只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即在方程a1q n﹣1=a1+（m﹣1）a1（q﹣1）中m有正整数解即可．（3）设数列{b n}中有三项b m，b n，b p（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设n﹣m=x，p﹣n=y，进而可得以2=，令x=1，y=2，求得q．【解答】解：设{a n}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q ﹣1）（a1≠0）（1）因为b k=a m，所以a1q k﹣1=a1+（m﹣1）a1（q﹣1），q k﹣1=1+（m﹣1）（q﹣1）=2﹣m+（m﹣1）q，所以（2）b3=a1q2，a i=a1+（i﹣1）a1（q﹣1），由b3=a i，所以q2=1+（i﹣1）（q﹣1），q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）=0，解得，q=1或q=i﹣2，但q≠1，所以q=i﹣2，因为i是正整数，所以i﹣2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n﹣1（n∈N+），设数列{a n}中的某一项a m（m∈N+）=a1+（m﹣1）a1（q﹣1）现在只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即在方程a1q n﹣1=a1+（m﹣1）a1（q ﹣1）中m有正整数解即可，m﹣1==1+q+q2+…+q n﹣2，所以m=2+q+q2+q n ﹣2，若i=1，则q=﹣1，那么b2n=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，﹣1只要考虑n≥3的情况，因为b3=a i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b n}中任意一项为b n=a1q n﹣1（n∈N+）与数列{a n}的第2+q+q2+q n﹣2项相等，从而结论成立．（3）设数列{b n}中有三项b m，b n，b p（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q p﹣1，设n﹣m=x，p﹣n=y，（x，y∈N+），所以2=，令x=1，y=2，则q3﹣2q+1=0，（q﹣1）（q2+q﹣1）=0，因为q≠1，所以q2+q﹣1=0，所以，即存在使得{b n}中有三项b m，b m+1，b m+3（m∈N+）成等差数列．21．（16分）（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f （x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．【分析】（1）不妨设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．进而有g（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．（2）由（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．所以有g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．而方程f（x）=0即为x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即为x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②最后按方程的类型，分（ⅰ）当c=0时，b≠0，（ⅱ）当c≠0，b=0（ⅲ）当c≠0，b≠0讨论．（3）由a=1，f（1）=0得b=﹣c，将函数的系数都用c表示：f（x）=bx2+cx=cx （﹣x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f （x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠0两种情况，用判别式判断求解．【解答】解：（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．所以，d=0．（2）由题意及（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx2+cx=x（bx+c），则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②当b=0时，c≠0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．当b≠0，c=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．当b≠0，c≠0时，方程①的根为x1=0，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根．则方程b2x2+bcx+c=0无实数根时，符合题此时△=（bc）2﹣4b2c＜0，得0＜c＜4，综上所述，b=0时，c≠0时，b≠0时，0≤c＜4；（3）由a=1，f（1）=0得b=﹣c，f（x）=bx2+cx=cx（﹣x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]．③由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．当c=0时，符合题意．当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f2（x）﹣cf（x）+c=0④的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．那么当（﹣c）2﹣4c＜0，即0＜c＜4时，f2（x）﹣cf（x）+c＞0，符合题意．当（﹣c）2﹣4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得，即，⑤则方程⑤应无实数根，所以有且．当c＜0时，只需，解得，矛盾，舍去．当c≥4时，只需，解得．因此，．综上所述，所求c的取值范围为．。
高等数学试题(下)
高数II 试题一、选择题（每题4分，共16分）1．函数222222 0(,)0 0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点 . (A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。
2．设f 为可微函数，(,)z f x y z xyz =++，则z x ∂=∂ 。
(A )12121f yz f f x y f ''+''+-． (B )．12121f x y f f yz f ''--''+； (C )． 12121f yz f f x y f ''+''--；(D )．1212f xzf f yzf ''+''+。
3．设),(y x f 在()22:24D x y +-≤上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A )． 220 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰； (B )． 20 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(C )． 4cos 00d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰；(D )． 4sin 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰。
4．幂级数0(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则幂级数0nnn a x∞=∑的收敛半径为 。
(A )．3； (B )．4；(C )．1； (D )．5。
二、填空题（每题4分，共20分）1．设函数y z x =，则函数yz x =的全微分 。
2．函数222u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP方向的方向导数为 ，其中O 为坐标原点。
DA2007-2008学年第二学期高数试卷A参考答案
2007-2008学年第二学期高数试卷A 参考答案试卷号：A20080630一、1. 0 ；2. 0)2(2)1(4=+-+-z y x ；3. =I ⎰⎰101),(xdy y x f dx ；4. 32a π, ；5、R = 2 。
6、(4)0y y -=。
二、1、 B ； 2、 A ；3、B ；4、 C ；5、 A ；6、（化工、食工做） D ；6、（物理、机电、电气、计算机做） D三．1、令,12t x =+则 212-=t x ，,tdt dx =当0=x 时1=t 。
4=x 时3=t⎰++40122dx x x =⎰⎰+=+-312312)3(21221dt t tdt t t =3221333213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t2、)cos()sin(y x e y x e xzx x -+-=∂∂ ，)cos(y x e y z x --=∂∂ ))cos())cos()((sin(dy y x dx y x y x e dz x---+-=3、令1sin )1(11+-=++n u n n n ππ，111sin)1(2sin )1(lim lim11221<=+-+-=++++∞→+∞→πππππn n u u n n n n n nn n所以原级数收敛且是绝对收敛的。
4、原式=⎰⎰⎰--++-∂+∂-∂-∂aa D dy x y dx y x dxdy yy x x x y )2()())()2((22 =⎰⎰⎰---D aaxdx dxdy )3(=32ab π-5、设长方体得长、宽、高分别为z y x ,,，则)(2xz yz xy S ++=，3a xyz = 令)(),,(3a xyz xz yz xy z y x F --++=λ 则00=-+==-+==-+=xy y x F xz z x F yz z y F z y x λλλ，解得z y x ==，代入3a xyz =得a z y x === ， 2min 6a S =四 )(),(),(2x y y x Q xy y x P ϕ==。
2007年高考数学全国卷II(含答案)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-CD ．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A B C D 8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ）A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B C ．12D 12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF = ，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
2007年高数下册期末考试卷答参考案2022
华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k_____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a 2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2v u y v u x -=+=，从而2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR xR xR yx R dzz y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr rd d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1因此通解为)sin cos (212x C x C ey x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C.141332--=-=-z y x D.141332-=-=--z y x解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ）A.0B. eC. e1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--1111)1(edx edy xedxxxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy2（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdyydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nnC. ∑∞=-11)1(n nnD. ∑∞=-121)1(n nn解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n的敛散性解答：11231lim232lim21231lim=+=+=+∞→∞→∞→nn nn n nnn ，因此该级数与等比∑∞=121n n同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yz x z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy ey dx edz zz+++=1211因此zzey yz exz +=∂∂+=∂∂12,113.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(ydxy x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。
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南昌大学 2007～2008学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设32,2,a i j k b i j k =--=+- 则(2)(3)a b -⋅=_____.2. 函数 2222ln[(25)(4)]z x y x y =--+- 的定义域是____________________________________. 3. 设函数(cos sin )x z e y x y =+, 则10x y dz ===_______.4.交换累次积分的次序(,)1dyf x y dx =⎰⎰________.5. 微分方程2'y y x=的通解为__________.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是( B ).(A) 3540x z --=. (B) 37540x y z -+-=. (C) 350x y z ++= (D) 75120x y z -+-=. 2．设 2uz v=, 而 2,2u x y v y x =-=+, 则z x∂=∂( A ).(A)()()()22232x y x yy x -++. (B) ()222x y y x-+.(C) ()()2232x y x y y x-+-+. (D)()()22222x y y x -+.3． 设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 取得极小值,则下列结论正确的是 ( B ). (A) 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零.(B) 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零. (C) 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零. . (D) 0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在. 4．设L 为取正向的圆周224x y +=, 则曲线积分22()()Lx y dx x y dy ++-⎰ 之值为 ( A ).(A) 0. (B) 4π. (C) 4. (D) π. 5．函数()cos f x x =关于x 的幂级数展开式为 ( D ). (A) 2421(1)(11) n n x x x x -+-+-+-<<(B) 2421(11) n x x x x +++++-<<. (C) 21(11) n x x x x +++++-<<.(D) 2421(1)()2!4!(2)!nnxxxx n -+-+-+-∞<<+∞.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．求与两平面 43x z -= 和 251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程.2．设(,),z f u v =而,y u xy v e ==,且f 具有二阶连续偏导数,求z x y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算曲线积分222(2)()y y L xe y dx x e y dy -+-⎰, 其中L 是由点(,0)A a 沿上半圆周22(0)x y ax a +=> 到点(0,0)O 的弧段.2、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑为上半球面z =的上侧。
五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分): 1、判定正项级数 1!nn n n∞=∑的敛散性2、设幂级数 114n nn x n-∞=∑.(1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数. 六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、求微分方程 '''2109x y y y e -+= 的通解. 2、(应用题) 计算由平面0z = 和旋转抛物面221z x y =-- 所围成的立体的体积.七、(6分) 已知连续可微函数 ()f x 满足 1(0)2f =-,且能使曲线积分[()]()x L e f x ydx f x dy -+-⎰与路径无关, 求()f x .南昌大学 2007～2008学年第二学期期末考试试卷及答案 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设32,2,a i j k b i j k =--=+-则(2)(3)a b -⋅=18-.2. 函数 2222ln[(25)(4)]z x y x y =--+- 的定义域是{}22(,)425x y x y <+<.3. 设函数(cos sin )x z e y x y =+, 则10x y dz === ()e dx dy +.4. 交换累次积分的次序：(,)1dyf x y dx =⎰⎰110(,)dx f x y dy -⎰⎰.5. 微分方程2'y y x=的通解为：11Cxx y Cey e--+==或..二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是( B ).(A) 3540x z --=. (B) 37540x y z -+-=. (C) 350x y z ++= (D) 75120x y z -+-=. 2．设 2uz v=, 而 2,2u x y v y x =-=+, 则z x∂=∂( A ).(A)()()()22232x y x yy x -++. (B) ()222x y y x-+.(C) ()()2232x y x y y x-+-+. (D)()()22222x y y x -+.3． 设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 取得极小值,则下列结论正确的是 ( B ). (A) 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零.(B) 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零. (C) 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零. .(D) 0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在.4．设L 为取正向的圆周224x y +=, 则曲线积分22()()Lx y dx x y dy ++-⎰ 之值为 ( A ).(A) 0. (B) 4π. (C) 4. (D) π. 5．函数()cos f x x =关于x 的幂级数展开式为 ( D ). (A) 2421(1)(11) n n x x x x -+-+-+-<<(B) 2421(11) n x x x x +++++-<<. (C) 21(11) n x x x x +++++-<<.(D) 2421(1)()2!4!(2)!nnxxxx n -+-+-+-∞<<+∞.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．求与两平面 43x z -= 和 251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程.解: 因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的方向向量s 与两平面的法向量1n 、2n都垂直.所以取12104(43)215ij ks n n i j k =⨯=-=-++--. 故所求直线方程为325431x y z +--==.解: 因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的2．设(,),z f u v =而,y u xy v e ==,且f 具有二阶连续偏导数,求：z x y∂∂∂2.解:'u z y f x∂=⋅∂2'''''y u uu uv zf y f x e f x y∂⎡⎤=+⋅+⎣⎦∂∂ '''''y u uu uv f xyf ye f =++四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算曲线积分222(2)()y y L xe y dx x e y dy -+-⎰, 其中L 是由点(,0)A a 沿上半圆周22(0)x y ax a +=> 到点(0,0)O 的弧段.解: 2222,.y y P xe y Q x e y =-=-222,2 2.yyQ P xe xexy∂∂==-∂∂2.Q P xy∂∂-=∂∂连接OA 构成闭路OABO, 其围成区域为D. 沿2101:0,2aO A y I xdx a ===⎰.1LDQ P I d I xy σ⎛⎫∂∂∴==-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰12Dd I σ=-⎰⎰222112(2).2224a aa ππ⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪⎝⎭2、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑为上半球面z =的上侧。
解: 记1∑为平面0z =的下侧.1,1,1.P Q R xyz∂∂∂===∂∂∂由高斯公式有 原式11∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰30Ω=-⎰⎰⎰32.R π=A （a ，0）BDxy五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分): 1、判定正项级数 1!nn n n∞=∑的敛散性解: 11(1)!limlim!(1)nn n n n nu n nu n n ++→∞→∞+=⋅+lim 1nn nn →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭11lim1.11nn en →∞==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以原级数收敛.2、设幂级数 114n nn x n-∞=∑.(1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.解: (1). 11lim 4..4n n na R a ρ+→∞==∴=当14x =时, 114n n∞=∑发散;当14x =-时, 11(1)4nn n∞=-∑收敛.故收敛区间为[1/4,1/4).-(2). 设()S x =114n nn x n-∞=∑.111111'()4(4).14n n n n n S x xx x∞∞---=====-∑∑11'()ln(14).144xxS x dx dx x x==---⎰⎰即 1()ln(14).4S x x =-- [1/4,1/4).-((0)0).S =六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、求微分方程 '''2109x y y y e -+= 的通解. 解: 2121090.9, 1.r r r r -+=∴==912.xxY C eC e ∴=+2λ= 不是特征根, 所以设 2*.xy Ae =代入原方程得: 211.*.77x A y e =-∴=-故原方程的通解为: 92121.7x x xy C e C e e=+-2、(应用题) 计算由平面0z = 和旋转抛物面221z x y =-- 所围成的立体的体积.解法一: DV zd σ=⎰⎰22(1)Dx y dxdy =--⎰⎰212(1)d r rdr πθ=-⎰⎰1240112.242r r ππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦解法二: V dv Ω=⎰⎰⎰2211000rd rdr dz πθ-=⎰⎰⎰212(1)d r rdr πθ=-⎰⎰1240112.242r r ππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦七、(6分) 已知连续可微函数 ()f x 满足 1(0)2f =-,且能使曲线积分[()]()x L e f x ydx f x dy -+-⎰ 与路径无关, 求()f x .解: (),().xP e f x y Q f x -⎡⎤=+=-⎣⎦(),'().xP Q ef x f x yx-∂∂=+=-∂∂因为曲线积分与路径无关, 所以 Q P xy∂∂=∂∂.于是得：'()().x f x e f x --=+即： '()().x f x f x e -+=-()()dxx dx f x ee e dx C --⎰⎰⎡⎤∴=-+⎣⎦⎰()xx x e e e dx C --⎡⎤=-+⎣⎦⎰ (1)().xx edx C e C x --⎡⎤=-+=-⎣⎦⎰ 由1(0)2f =-, 得 1.2C =- 1()().2xf x ex -∴=-+。