立体几何与解析几何综合练习

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立体几何与解析几何综合题训练

A C D E BM立体解析综合题练习11．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF 若存在，求出EM EC的值；若不存在，说明理由.2．已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足12123||||||2PF PF F F +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A ，B 两点，且12MA MB =，求直线l 的方程.立体解析综合题练习21．在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．2．椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆M: x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.立体解析综合题练习31．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2．（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．2．已知抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为12-,求证：直线AB 过x 轴上一定点.ABFED C立体解析综合题练习41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，12,1, 3.2PA PD BC AD CD ===== （I ）求证：PQ AB ⊥；（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（III ）求二面角P QB M --的余弦值.2．已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值.立体解析综合题练习51．如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， AC BD O =，侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ，F 为1DC 的中点．（Ⅰ）证明：BD ⊥1AA ；（Ⅱ）证明：//OF 平面11BCC B ；（Ⅲ）求二面角D -1AA -C 的余弦值．2．已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.立体解析综合题练习61．如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.2．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.:M 22221(0)x y a b a b+=>>2A (2,1)M l 22M B C M ABC ∆ABC1B 1C 1A DF1D OA BCDFE立体解析综合题练习71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.2．已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS ,BS 与直线4=x l ：分别交于N M ,两点.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）(ⅰ) 设直线AS ,BS 的斜率分别为21,k k ，求证21k k ⋅为定值； (ⅱ)求线段MN 的长度的最小值.立体解析综合题练习81．在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦2．已知椭圆（）的长轴长是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，直线与关于轴对称．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．立体解析综合题练习91．在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）. （Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ；（Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ；（Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.2．已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点. 试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.1:2222=+by a x C 0>>b a 22)221( ，C )0(≠+=k m kx y l :C N M 、F MF NF x l :1()l x my m =+∈R ()22:109x y C t t+=>,E F x B 0m =83EF =C A (3,0)-AE AF 3x =M N MN B 图（1）图（2）C 1BCAA 1B 1BCADEA 1B 1C 1MY SDN BxAOA BP CDA DFEB G C立体解析综合题练习101．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是边长为6的正方形．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ；（Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ；（Ⅲ）求二面角1C AC D --的余弦值． 2．如图，已知椭圆E:22221(0)x y a b a b 的离心率为32，过左焦点(3,0)F -且斜率为k 的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB 的中点为M,直线l ：40x ky +=交椭圆E 于C,D 两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线l 上；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得四边形AOBC 为平行四边形?若存在求出k 的值，若不存在说明理由.。

高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练习

高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练
习
解析几何与立体几何是高中数学中的重要内容之一，对于高三学生来说，掌握这两个领域的知识和技巧至关重要。

为了帮助同学们更好地复习与训练，以下是一些解析几何与立体几何综合练习题。

一、解析几何部分
1. 已知点A(2,3)、B(5,7)，求直线AB的斜率和方程。

2. 设直线L1过点A(1,2)，斜率为1，求L1与x轴、y轴的交点坐标。

3. 已知直线L2的方程为y=2x-3，求L2与y轴的交点坐标。

4. 设四边形ABCD的顶点分别为A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)、D(3,-2)，求四边形ABCD的周长和面积。

二、立体几何部分
1. 已知圆柱体的高为8cm，底面直径为6cm，求圆柱体的表面积和体积。

2. 设正方体的边长为3cm，求正方体的表面积和体积。

3. 设棱长为5cm的正六面体A，另有一条边长为4cm的直线段BC平行于A的一条棱，求BC与正六面体A的交点坐标。

4. 已知圆锥的高为12cm，底面半径为4cm，求圆锥的表面积和体积。

以上是一些解析几何与立体几何的综合练习题，希望同学们能够认真思考并灵活运用所学知识来解答这些问题。

通过不断练习，相信你们对解析几何与立体几何的理解和掌握会更上一层楼，为应对高考数学提供有力的支持。

加油！。

立体几何、解析几何、数列-高中数学经典好题解析版

2024年数学立体几何、解析几何、数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．高中数学试卷满分是150分，其中成绩在[]130,150内的属于优秀.某数学老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200位学生的数学成绩（均在[]90,150内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求样本的中位数，并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；（结果保留两位小数）(2)从样本数学成绩在[)120,130，[)130140,的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求这2人来自两组的概率.【答案】(1)中位数为116.43分，22%(2)35【分析】（1）由题意得到0.010x =，求出前三组的频率，分析得到中位数落在[)110,120内，设中位数为m ，列方程求解即可；（2）用分层抽样的方法求出在[)120130,，[)130140,中分别抽取的人数，再列举随机选出2人的所有结果，求这2人来自两组的概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知()20.0120.0180.0220.028101x ++++⨯=，解得0.010x =，样本中数学成绩在[)90,100内的频率10.10P =，在[)100,110内的频率20.22P =，在[)110,120内的频率为30.28P =，∵120.320.5P P +=<，1230.600.5P P P ++=>，∴样本的中位数落在[)110,120内，设样本的中位数为m ，则()0.50.321100.028m -=-⨯，解得116.43m ≈，故样本的中位数为116.43分.由样本估计总体，得本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为()0.120.10100%22%+⨯=；（2）由频率分布直方图可知，按分层抽样的方法，抽取5名学生中成绩在[)120130,内的有3名，分别记为A ，B ，C ，在[)130140,内的有2名，分别记为D ，E ，则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种，其中2人来自两组的有AD ，AE ，BD ，BE ，CD ，CE ，共6种，故所求概率63105P ==.所以这2人来自两组的概率为35.2．如图，在三棱锥A BCD -中，点E ，F ，G ，H 分别在棱AC ，BC ，BD ，AD 上．(1)若四边形EFGH 为平行四边形，证明：AB ∥平面EFGH ；(2)若E ，F ，G ，H 均为所在棱的中点，三棱锥A BCD -的体积为V ，多面体CDGFEH 的体积为1V ，求1V V．【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）由四边形EFGH 为平行四边形得EF GH ∥，由线面平行的判定定理得//EF 平面ABD ，再根据线面平行的性质得EF AB ∥，即可得证；（2）连接ED ，EG ，将三棱锥E DHG -的体积和四棱锥E CDGF -的体积用V 表示出来，相加得1V ，即可求出1V V．【详解】（1）四边形EFGH 为平行四边形，EF GH ∴∥，又EF ⊂/平面ABD ，GH Ì平面ABD ，EF ∴∥平面ABD ．EF ⊂ 平面ABC ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，EF AB ∴∥，又EF ⊂平面EFGH ，AB ⊂/平面EFGH ，AB ∴∥平面EFGH ．（2）连接ED ，EG ，E 为棱AC 的中点，∴点E 到平面DHG 的距离E DHG d -等于点C 到平面DHG 的距离C DHG d -的一半，点E 到平面CDGF 的距离E CDGF d -等于点A 到平面CDGF 的距离A CDGF d -的一半，则三棱锥E DHG -的体积21111133248E DHG DHG C DHG ABD V d S d S V --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭ ，四棱锥E CDGF -的体积31113333248E CDGF A CDGF BCD CDGH V d S d S V --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭四边形，故12312V V V V V +==．【点睛】3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22319232n S S S n n S n ++++⋅⋅⋅+=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若415n n nS b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)23n a n =+(2)26n T n n=+【分析】（1）由方程组法得24n S n n =+，然后再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式即可；（2）先根据（1）求出25n b n =+，然后利用等差数列求和公式求解即可.【详解】（1）当1n =时，115a S ==.当2n ≥时，由22319232n S S S n n S n ++++⋅⋅⋅+=，得()22311(1)912312n n n S S S S n --+-+++⋅⋅⋅+=-，则()22(1)919422n n n S n n n n -+-+=-=+，因为151S =满足4n S n n =+，所以24n S n n =+.当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=+.因为15a =满足23n a n =+，所以23n a n =+.（2）由（1）可知，2415416152523n n n S n n b n a n +++===++，则{}n b 是以7为首项，2为公差的等差数列，所以()1262n n b b n T n n +==+.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*51225,21n n S a a a n ==+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若14(1)n n n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-，*n ∈N (2)1(1)121n n +---+，*n ∈N 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，由此求得通项n a .（2）由（1）可得{}n b 的通项，根据裂项相消法求得结果.【详解】（1）531525S a a == ，即1125a d a +=，12d a ∴=，又21121a a a d =+=+，11a ∴=，2d =，21n a n ∴=-，*n ∈N .（2）由（1）可得()()()()()()121214(1)(1)(1)(1)212121212121n n nn n n n n b n n n n n n +-++--=-⨯=-⨯=--+-+-+，12n nT b b b ∴=+++ 111111(1)(1)1335572121n n n n +⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1(1)121n n +-=--+，*n ∈N .5．我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第n 年绿洲面积为n a 万平方千米．(1)求第n 年绿洲面积n a （单位：万平方千米）与上一年绿洲面积1n a -（单位：万平方千米）之间的数量关系（2n ≥）；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)至少经过()*N n n ∈年，绿洲面积可超过60%，求n 的值．（参考数据：lg 20.301≈）【答案】(1)144(2,N ).525n n a a n n *-=+≥∈(2)1144255n n a -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭(3)6【分析】（1）由题意，列出第n 年绿洲面积与上一年绿洲面积1n a -的关系，即可得到答案；（2）利用递推数列，构造新数列145n a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12-，公比为45的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可；（3）由题意，列出不等关系，然后利用指数与对数的运算性质求解即可.【详解】（1）由题意得，1111(14%)(1)16%0.960.160.16n n n n n a a a a a ----=-+-⨯=+-11440.80.16,525n n a a --=+=+144(2,N ).525n n a a n n *-∴=+≥∈（2）由（1）知，144(2,N )525n n a a n n *-=+≥∈，可变形为：1444555n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又14411(170%)552a -=⨯--=-，所以数列145n a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，45为公比的等比数列，所以1414525n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，故1144255n n a -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭.（3）由（2）知，1144255n n a -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，令1144160%255n n a -⎛⎫=-⨯+>⨯ ⎪⎝⎭，即14255n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以4521log 5n ->，因为452lg 2lg 5lg 2(1lg 2)2lg 2120.3011log 4.152lg 2lg 52lg 2(1lg 2)3lg 2130.3011----⨯-==≈=----⨯-，则1 4.1n ->，所以 5.1n >，因为N n *∈，所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%.6．已知一次函数()f x 的图象过点(1,1)和(2,3)．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n n S f a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 满足()()111n n n n a b a a +=++，证明：1212n b b b +++< ．【答案】(1)12n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求出()21f x x =-，再代入，然后升次作差即可得到{}n a 为等比数列，求出其通项即可；（2）利用裂项求和法即可得到121112212n n b b b +++=-<+ .【详解】（1）设()f x kx b =+，0k ≠，则123k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x =-．故21n n S a =-，当1n =时，11a =，又1121n n S a ++=-，故作差得1122n n n n a S a S ++--=，所以12n n a a +=，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故12n n a -=．（2）由（1）得()()11121121212121n n n n n n b ---==-++++，故1211111111111123355921212212n n n n b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，11335n n n n S a S a +++=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n na 的前n 项和为n T ，证明：2n T <.【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）直接由,n n S a 的关系结合等比数列的定义即可得解.（2）直接用错位相减法求和即可，进一步即可得证.【详解】（1）由题意得1113335n n n n n n S S a a a a +++-+=+=，得112n n a a +=，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，所以{}n a 的通项公式为1111222n n n a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由题意得231111232222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2341111112322222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减，得23411111221111111112222222212n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 111122n n n +⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()1202n n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2n T <.8．已知各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为11,n S b =，且()()1111n n n n S b S b +++=+对一切N n *∈都成立.若{}n a 是公差为2的等差数列，22332a b b a -=-.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求数列()1nn n n c a b =-+的前2n 项和2n T .【答案】(1)121,2n n n a n b -=-=；(2)22221n n T n =+-.【分析】（1）利用,n n S b 的关系结合条件及等比数列的定义可得n b ，再根据等差数列的概念计算求n a ；（2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）由11,0n b b =>，且()()1111n n n n S b S b +++=+对一切N n *∈都成立，可得1111n n n n S S b b ++++=，又1111121S b ++==，所以()111111212,122n n n n n n n n S S S b S b n b b +--+++==⇒+=+=≥，则111222n n n n n n n b S S b b b b ---=-=-⇒=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n b -=.又{}n a 是公差为2的等差数列，22332a b b a -=-，所以()2224423a a a -=-+⇒=，则()22221n a a n n =+-=-.综上121,2n n n a n b -=-=.（2）由上可知()()()111212n nn n n n c a b n -=-+=-⨯-+，故()()101232112132152172n T =-⨯++⨯++-⨯++⨯++ ()()()222114321412n n n n ---⨯-++⨯-+()()()()012113574341222n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-+++-++-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2212222112n n n n -=+=+--.9．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥底面ABCD ，π3SAD ∠=，在AD 边上取一点E ，使得BCDE 为矩形，22SA AE DE ===．(1)证明：BC ⊥平面SBE ；(2)若(R)SF FC λλ=∈ ，且//SA 平面BEF ，求λ的值．【答案】(1)证明见解析(2)12λ=【分析】（1）先求出SE =SE AD ⊥，进而SE CB ^，BE CB ⊥，由此能证明BC ⊥平面SBE ；（2）连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，由已知得//FM AS ，由//EM CD ，//FM AS ，能求出λ．【详解】（1）因为2,1SA AE ==，π3SAD ∠=，所以SE =SE AD ⊥，SE ⊂平面SAD ，又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ⋂平面ABCD AD =，所以SE ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，所以SE CB ^，又BE CB ⊥，且SE BE E =∩，SE ⊂平面SBE ，BE ⊂平面SBE ，所以BC ⊥平面SBE ．（2）连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，因为//SA 平面BEF ，SA ⊂平面SAC ，平面SAC 平面BEF FM =，所以//FM AS ，因为//EM CD ，所以12AM AE MC ED ==，因为//FM AS ，所以12SF AM FC MC ==，结合已知，所以12λ=．10．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，已知AB //,2CD DA DC ==，11111,60,,AB C D BAD D D AD AB BD ∠===︒⊥⊥.(1)证明：1D D ⊥平面ABCD ；(2)若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为218，求二面角1B CC D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据线面垂直的定义证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据四棱台1111ABCD A B C D -的体积写出各点坐标即可计算出二面角1B CC D --的余弦值.【详解】（1）在四边形ABCD 中，2,1,60AD AB BAD ∠=== ，BD ∴=222AB BD AD ∴+=，AB BD ∴⊥，又11,,AB BD BD BD B ⊥⋂= 1,BD BD ⊂平面1BDD ，AB ∴⊥平面1,BD D 而1DD ⊂平面1BD D ，1AB DD ∴⊥.又1,,D D AD AB AD A ⊥⋂= ,AB AD ⊂平面1ABCD DD ∴⊥平面ABCD ；（2）()1112122ABCD S C D CD +== 四边形，111114A B C D S =四边形11121·3288V DD DD ⎛ ∴=⋅+=⇒= ⎝四棱台如图建系，)()(()1,0,2,0,0,1,,0,0,0BC CD ∴，()(12,0,0,BC CC ∴==- ，设平面1BCC 的一个法向量()1,,n x y z =，1·0·0n BC n CC ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒200y y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1z =，则()1n = ，平面1CC D 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角1B CC D --的平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 2n n n n θ⋅∴===⋅ .11．已知抛物线2:4C y x =，F 为C 的焦点，直线l 与C 交于不同的两点A 、B ，且点A 位于第一象限.(1)若直线l 经过C 的焦点F ，且6AB =，求直线l 的方程；(2)若直线l 经过点()2,0E ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为1S ，BOF 的面积为2S ，求12S S +的最小值.【答案】(1)y =或y =(2)【分析】（1）分析可知，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式求出m 的值，即可得出直线l 的方程；（2）分析可知，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，可得出218y y =-，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得12S S +的最小值.【详解】（1）解：依题意知，()1,0F .若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，所以，()212121221124446AB x x my my m y y m =++=++++=++=+=，解得2m =±，所以，直线l的方程为12x y =+或12x y =-+，即y =y =+（2）解：若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，设直线l 的方程为2x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立224x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2480y ty --=，则216320t ∆=+>，由韦达定理可得124y y t +=，则128y y =-，即218y y =-.不妨设10y >，则20y <，所以，AOB 的面积为1121212S OE y y y y =⋅-=-，BOF 的面积为2221122S OF y y =⋅=-，所以，121221*********S S y y y y y y +=--=-=+≥，当且仅当()111120y y y =>时，即1y =.所以12S S +的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=(0)a b >>，F 为左焦点，A 为上顶点，(2,0)B 为右顶点，2AB =，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ．(1)求1C 椭圆的离心率；(2)是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 的交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12(2)存在，10x y +=或10x y +=【分析】（1）2AB ==从而求得2a =，进而即可求得1C 椭圆的离心率；（2）结合（1）可得1C 椭圆的标准方程为22143x y +=，由题可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设该直线为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，分别联立直线与1C 和2C ，再利用韦达定理，面积关系，进而即可求解．【详解】（12AB = =又右顶点()2,0B ，得2a =，则23b =，所以1c =，所以1C 椭圆的离心率为12c e a ==．（2）存在．结合（1）可得1C 椭圆的标准方程为22143x y +=，由题可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设该直线为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 整理得()2234690k y ky +--=，则122634k y y k +=+，122934y y k -=+，所以12y y -=联立214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，消x 整理得2440y ky +-=，则344y y k +=-，344y y =-，所以34y y -=若12OPQ OMN S S =，则123412y y y y -=-，解得k =所以符合题意的直线为103x y ++=或103x y -+=．13．设点M 是直线1y =-上的一个动点，O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线l ．过点O 作直线OM 的垂线交直线l 于P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上的一点P （异于原点O ）作曲线C 的切线1l 交椭圆22143y x +=于A ，B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】(1)2xy =【分析】（1）设出P 点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹C 的方程；（2）设出直线1l 的方程，根据直线1l 与曲线C 相切得到关于,k m 的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出AOB 的面积，最后利用基本不等式求解出最大值.【详解】（1）设(),P x y ，则(),1M x -，所以()(),,,1OP x y OM x ==-，因为OP OM ⊥，所以0OP OM ⋅=，所以20x y -=，所以点P 的轨迹C 的方程为2x y =；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，1:l y kx m =+，因为1l 为曲线C 的切线，联立2y kx m x y=+⎧⎨=⎩可得20x kx m --=，所以240k m D =+=，联立224312y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()2223463120k x kmx m +++-=，所以21212226312,3434km m x x x x k k -+=-=++，且()()()222Δ64343120km k m =--+->，即2234k m +>，所以AB ==又因为原点到直线AB的距离d =所以2121OABm S k =⨯⨯=+⎝⎭222223423434m k m k k ++-=≤++，当且仅当22223440k m m k m ⎧+-=⎨+=⎩即2312m k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（此时满足2234k m +>）时取等号，综上可知，AOB【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-；（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（R 为内切圆半径）.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -+=相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点(3,2)N ，和平面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为123,,k k k ，1323k k k +=，试求m ，n 满足的关系式．【答案】(1)2213x y +=(2)32n m=【分析】（1）由点到直线的距离公式，列出方程求得1b =，再由椭圆的几何性质，求得a 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A ，B 的坐标，得到直线AN ，BN 的斜率，进一步得到NP 的斜率，可得m ，n 满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点1111(,),(,)A x y B x y ，设直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN ，BN 的斜率和，进一步得到NP 的斜率，可得m ，n 满足的关系式．【详解】（1）解：由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点在x 轴上，则点(1,0)M 到直线10x y -=的距离为1d =，解得1b d ==，又由椭圆的离心率为3c e a =，解得a =所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）解：①当直线斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3x y ==±，不妨设(1,A B ，因为(3,2)N ，且直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为123,,k k k ，满足1323k k k +=，可得132********k k -++=+=--，所以22233n k m -==-，所以,m n 的关系式为32n m =.②当直线的斜率存在时，设点1111(,),(,)A x y B x y ，直线():1AB y k x =-，联立方程组22(1)13y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(31)6330k x k x k +-+-=，可得22121222633,3131k k x x x x k k -+==++，所以()()12122112121222[2(10](3)[2(10](3)3333y y k x x k x x k k x x x x -----+---+=+=----21212212122(42)()6122(126)23()9126kx x k x x k k x x x x k -+++++==-+++，因为1323k k k +=，所以22233n k m -==-，综上可得，,m n 的关系式为32n m =.【点睛】方法点睛：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.15．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>已知直线l 过点()0,1-，直线l 与双曲线C 的左，右两支的交点分别为,M N ，直线l 与双曲线C 的渐近线的交点为,P Q ，其中点Q 在y 轴的右侧.设,,OMP OPQ OQN 的面积分别是123,,S S S .(1)求双曲线C 的方程；(2)求213S S S +的取值范围.【答案】(1)22148x y -=(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据双曲线的离心率以及顶点到渐近线的距离，列式计算，求出2,b a 的值，即得答案；（2）将213S S S +转化为||||||PQ PM QN +，利用直线和双曲线的方程联立，求出弦长||MN 的表达式，联立直线和渐近线方程求得||PQ 的表达式，即可得||||||||||||PQ PQ PM QN MN PQ =+-的表达式，结合参数范围，即可求得答案.【详解】（1）由题意可得双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，ca=(,0)a=，即得3ab c =，故b =，结合222+=a b c ，解得24a =故双曲线C 的方程为22148x y -=；（2）由题意得213||||||S PQ S S PM QN =++，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由22128y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得()222290k x kx -+-=，则()22222Δ43620902k k k k ⎧⎪≠⎪⎪=+->⎨⎪-⎪<⎪-⎩，即得k <<则21212229,22x k x k x x k +==--，且12MN x x -===由22120y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得()()22222210,Δ44280k x kx k k '-+-==+-=>，则2221,22P Q P Qx x x x k k k +==--,得22PQ k==-，故213||||1||||||||||1||S PQ PQ MN S S PM QN MN PQ PQ ===++--，而k <，(]21311,3,,2MN S PQS S ∞⎡⎫=∴∈+⎪⎢+⎣⎭.【点睛】关键点睛：解答第二问面积比的范围问题时，关键是利用弦长公式，表示出213||||||||||||S PQ PQ S S PM QN MN PQ ==++-的表达式，进而结合参数范围，求得答案.16．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组（岁）本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p 3[35,40)1000.54[40,45)a 0.45[45,50)300.36[55,60)150.3（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n 、p 、a 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．【答案】(1)频率分布直方图见解析；1000n =，0.65p =，60a =；(2)2.5【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得n 、p 、a（2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及[)45,50岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以第二组高为0.30.065=．故补全频率分布直方图如下：结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=，所以20010000.2n ==；因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==；因为第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，则在[)40,45岁中抽取4人，在[)45,50岁中抽取2人．设年龄在[)40,45中被抽取的4个人分别为：1234,,,A A A A ；年龄在[)45,50岁中被抽取的2个人分别为：12,B B ；则总的基本事件有：123412A A A A B B -,124312A A A A B B -,121342A A B A A B -,122341A A B A A B -,134212A A A A B B -,……412123A B B A A A -，共20个；记“[)45,50岁中被抽取的人恰好有分在同一组”为事件C ，而事件C 包含的基本事件有8个；所以()82205P C ==.【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1;频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数;频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.17．为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[)50,60，[]90,100的数据），如下图所示.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数；(3)在[)70,80，[)80,90内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[)70,80的概率.【答案】(1)50n =，0.030x =，0.004y =(2)平均数为70.6，中位数为71(3)35【分析】（1）利用[)50,60的频数8及频率0.16可得出样本容量，进而求出x ，y 的值；（2）中点值以及占比计算出平均值，面积法得到中位数；（3）使用列举法得出2人成绩都在[)70,80的概率.【详解】（1）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=.（2）550.16650.3750.4850.1950.0470.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；设中位数为m ，则(70)0.040.50.160.3m -⨯=--，所以71m =.（3）在[70,80)，[80,90)成绩分组的学生分别为20人，5人，现要按分层抽样抽取5人，则在[70,80)，[80,90)成绩分组中各抽取4人，1人；记成绩在[70,80)的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80,90)的学生为E .则从这5人中抽取2人有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，(),D E 共10种情况.2人成绩都在[70,80)的有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),B C ，(),B D ，(),C D 共6种情况.所以从这5名学生中随机抽取2人，2人成绩都在[70,80)的概率35P =.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比不为1的等比数列，26a =，4522a a +=，1134a b =，且22b 是13b 与3b 的等差中项．(1)求：数列{}n a 和{}n b 的通项公式．(2)设()21,283636,n n n n n a b n d n n n b ⎧-⎪⎪=⎨-+-⎪⎪⎩为奇数为偶数，求21ni i d =∑.(3)若对于数列{}n a 、{}n b ，在k a 和1k a +之间插入k b 个()*2k ∈N ，组成一个新的数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2024T ．【答案】(1)22n a n =+,3nn b =;(2)()2324934329n nn n --+(3)4104【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式，计算可得；（2）结合两个数列的通项公式，可判断的前项中两个数列的项数，然后分组和错位相减求和可得；（3）求出{}n a 的项数和总共有多少个2，利用分组求和可得.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，1q ≠由2456,22a a a =+=，则222322a d a d +++=，故2d =，所以()()2262222n a a n d n n =+-=+-=+，则14a =，由1134a b =，则13b =，又由22b 是13b 与3b 的等差中项，所以213223b b b ⨯=+，即21293q q =+，解得3q =或1q =（舍去），故111333n n n n b b q --==⋅=，（2）由()21,283636,n n n n n a b n d n n n b ⎧-⎪⎪=⎨-+-⎪⎪⎩为奇数为偶数，则()()231,83636,3n n nn n d n n n ⎧-+⎪=⎨-+-⎪⎩为奇数为偶数1212212n nnii dd d d d -==++++∑ ()()1321242n n n n d d d d d d P Q -=+++++++=+ ，则()()()()321234323n n P n -=⋅-+-++- ，()()()()35219234323n n P n +=⋅-+-++- ，两式相减得，()()()()()32121823232323n n n P n -+-=⋅-+-++--- ，()()()221313822319nn n P n +⎡⎤---⎣⎦-=⋅---，则()3249332n n n P --=，()222242828284333n n n Q ⎡⎤--⨯-⨯=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦242362363643636236=836333n nn n M N ⨯-⨯-⨯-⎡⎤++++=-+⎢⎥⎣⎦其中()()2222222422222424333999n n nn n M =+++=+++①，422213211321339939n n nn n N --=+++=++ ()22223121249999n n n M +=+++ ②①-②相减可得，()()()22221218422821213214999999999n n n n n n n n n M ++--⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭ 则2221321448363699999n n n n nn n n M N -⎛⎫=+++-=- ⎪⎝⎭ 所以249n nQ n =则()221324934329n nini n n d =--=+∑；（3）根据题意可得，1231,2,2,2,,2,2,2,2,2,2,2,2,2,,,,,k k a a a a a + 则213332024k k +++++≤ ，故()3131202413k k -++≤-，则131202422k k ++-≤，故当6k =时，73161099202422+-=≤成立，当7k =时，8317202422+->成立，所以{}n a 共有7项，共有2017个2，则()2024742722201741042T +⨯+=⨯+=19．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且121n n S S -=+，其中2n ≥．(1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2)当2n ≥时，求证：12311111212n n S S S S ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<- ⎪⎝⎭．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用n S 与n a 的关系证明{}n a 是等比数列（2）求得21n n S =-，利用放缩得()11122n n n S -<≥，再求1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的和即可证得结论.【详解】（1）由()1212n n S S n -=+≥，得121n n S S +=+，两式相减，得()()1122n n n n S S S S n +--=-≥，又当2n ≥时，1n n n a S S -=-，11n n n a S S ++=-，所以12n n a a +=，()122n na n a +=≥，又2121S S =+，11a =，所以22a =，212a a =，（注意验证1n =是否符合12n n a a +=）因此数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知12n n a -=，所以122112nn n S -==--．当2n ≥时，121n ->，所以11212220n n n n n S --=->-=>，所以1111212n n n S -=<-，所以当2n ≥时，21123111111111121211222212nn n n S S S S -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-．【点睛】数列型不等式问题的求解过程中常用到放缩法，一般有两种情况：一是先放缩，再求和；二是先求和，再放缩．常用的放缩技巧如下：（1）对21n的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况：①()22111121n n n n n n <=-≥--；②()221111121211n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪--+⎝⎭；③2211112121214n n n n ⎛⎫<=- ⎪-+⎝⎭-．（2>=)2n <≥．（3）对121n -的放缩，为111212n n -≤-．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =-，2112n n n n S S a na n n +++=+-+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()3123n an n a k a ++≤⋅-对任意的*N n ∈恒成立，求实数k 的最小值．【答案】(1)3n a n =-(2)281【分析】（1）利用退一相减法可得数列{}n a 为等差数列，进而可得通项公式；（2）代入，分离参数可得3823nn k -≥⨯，再设3823nn n b -=⨯，根据数列{}n b 的单调性可得最大项及k 的最小值.【详解】（1）由已知2112n n n n S S a na n n +++=+-+①，则当2n ≥时，()()()2112111n n n n S S a n a n n --+=+---+-②，①-②得()()111212122n n n n n a a a n a n a n ++-+=+----+，即11n n a a --=，所以数列{}n a 是以2-为首项，1为公差的等差数列，所以213n a n n =-+-=-；（2）由（1）得3n a n =-，即不等式()2233nn k n -≤⋅-+对任意的*N n ∈恒成立，所以3823nn k -≥⨯，设3823n nn b -=⨯，又()11131838619232323n n n n n n n n b b ++++---+-=-=⨯⨯⨯，所以当3n ≤时，10n n b b +->，当4n ≥时，10n n b b +-<，所以当4n ≤时，数列{}n b 单调递增，当4n ≥时，数列{}n b 单调递减，所以43822381n n n b b -=≤=⨯，所以282k ≥，即实数k 的最小值为282.21．已知点(4,7)A ，集合22(,)11612x y S x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭∣，点P S ∈，且对于S 中任何异于P 的点Q ，都有0AP PQ ⋅>．(1)证明：P 在椭圆2211612x y +=上；(2)求P 的坐标；(3)设椭圆2211612x y +=的焦点为12,F F ，证明：12APF APF ∠=∠．参考公式：()()222222()()ad bc ac bd a b c d -++=++．【答案】(1)证明见解析(2)()2,3P (3)证明见解析【分析】（1）分析当P 在22:11612x y C +=内时，设线段PA 与C 有一交点Q 推导出矛盾即可；（2）记AQ 在AP上的投影向量为AQ ' ，可推导P 是C 上与A 距离最小的点，再设()00,P x y ，结合椭圆的方程与所给方程得出不等式求解最值即可；（3）设直线AP 与x 轴交于(),0B b ，根据,,A B P 共线可得1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合112253PF BF PF BF ==与正弦定理，转证12BPF BPF ∠=∠即可.【详解】（1）记22:11612x y C +=，若P 不在C 上，则在C 内.因为224711612+>，所以A 在C 外，设线段PA 与C 有一交点Q ，此时AP 和PQ 共线反向，0AP PQ ⋅<，不合题意，因此P 在C 上.（2）0AP PQ ⋅>等价于2AP PQ AP AP AP ⋅>⋅= .记AQ 在AP上的投影向量为AQ ' ，则条件等价于2AP AQ AP '⋅> ，AQ AP '> ，这表明P 是C 上与A 距离最小的点.设()00,P x y ，则22003448x y +=，()()2220047AP x y =-+- .因为()()222222()()ad bc ac bd a b c d -++=++，故()()22222()ac bd a b c d +≤++，当且仅当ad bc =时取等号.所以()()()()()()2222200000011147414214182545x y x y x y ⎡⎤-+-=-+-+≥--⎢⎥⎣⎦，又()()222000012341643x y x y ⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭，故00828x y -≤+≤，故()221188205AP ≥-= ，当且仅当0028x y +=且()()002417x y -=⨯-时取等号，解得002,3x y ==，故此时()2,3P .（3）因为()4,7A ，()2,3P ，设直线AP 与x 轴交于(),0B b ，则7330422b--=--，解得12b =.故1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则要证12APF APF ∠=∠即证12BPF BPF ∠=∠.又()()122,0,2,0F F -，故2PF x ⊥轴，故112253PF BF PF BF ==.在1PF B △和2PF B ，由正弦定理，1212sin sin sin sin PBF PBF BPF BPF ∠∠=∠∠，又1PBF ∠和2PBF ∠互补，所以12sin sin PBF PBF ∠=∠，所以12sin sin BPF BPF ∠=∠，从而有12BPF BPF ∠=∠.22．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .已知1212n n S n +=-+，1n nb a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求证：()131622n n T n ≤-+⋅.【答案】(1)12221n nn a n n +=-++(2)证明见解析【分析】（1）根据112221n nn n n a S S n n +-=-=-++，注意验证当1n =时也成立，即可求解；（2）由由（1）和1n n b a =得11232n n n b n a n ⎛⎫==⋅++ ⎪⎝⎭，讨论当1n =时，13b =，当2n ≥时，()142n nb n ≤⋅+，得123234678432222nn n T n b b b b +=++++≤+++++ ，再利用错位相减即得.【详解】（1）当1n =时，1111211123a S +==-=+，当2n ≥时，1112222112121n n n n n n n a S S n n n n ++-⎛⎫=-=---=- ⎪++++⎝⎭，经验证：当1n =时也成立.所以{}n a 的通项公式为：12221n nn a n n +=-++.（2）由（1）得12221n nn a n n +=-++，又()()111112212232221n nn n n n n n n n b n a n n +⎛⎫===⋅⎪++-++=⋅++ ⎝⎭，当1n =时，13b =，当2n ≥时，()142n nb n ≤⋅+，所以当2n ≥时，123234678432222n nn T n b b b b +=++++≤+++++ ，令23467842222n n M +=++++ ，则34511678422222n n M ++=++++ ，两式相减得：223451111116111143482122222222212n n n n n n M -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 2111311431147612422242242n n n n n n n n -++++++⎛⎫=+--=+--=- ⎪⎝⎭，所以7622n n M +=-，所以76136332222n n n T n n M ++≤+=+-=-，即()131622n n T n ≤-+⋅.【点睛】本题证明数列不等式，其常用方法有：（1）利用二项式定理的展开式，进行简单的放缩；（2）利用放缩法，注意放缩技巧和放缩的适度；比如：添项或舍去一些项；将分子和分母放大或缩小；真分数的性质；利用基本不等式；函数的有界性；绝对值不等式.（3）利用导数法，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.（4）利用数学归纳法与放缩法结合.23．设m 为大于零的常数，双曲线22122:12x yC m m-=，抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为双曲线1C 的左焦点1F ．(1)曲线1C 与2C 是否总存在交点？(2)是否存在过抛物线2C 的焦点1F 的弦AB ，使AOB 的面积有最大值或最小值？若存在，请给出弦AB 所在的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)是(2)存在最小值，方程为x =【分析】（1）由抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为双曲线1C 的左焦点1F ，求出抛物线方程，通过联立方程组判断曲线1C 与2C 是否总存在交点.（2）设直线方程，通过联立方程组，借助韦达定理，求AOB 的面积，并判断最值是否存在.【详解】（1）双曲线()22122:102x y C m m m-=>的左焦点1F 的坐标为(),0．而抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为1F ，则2p=，从而p =，且抛物线的开口向左，于是抛物线2C 的方程为：2y =-．联立1C 与2C 的方程，即2222,22.y x y m ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得，22220x m +-=，即220x m +-=．因为判别式()()222Δ4160m m =--=>，所以曲线1C 与2C 总有两个不同的交点．（2）若过焦点1F 的直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为()y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2,.y y k x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩消去x ，得22120y m -=．由韦达定理知，12y y k+=-，21212y y m =-，则124y y -=⋅于是AOB 的面积()111121.2AOB AOF BOF S S S OF yy =+=+ 因为12y y 、异号，所以1212y y y y +=-，则211211622AOB S OF y y m =-=⋅= 从而AOB S 无最大值，并且因为2111k +>，所以26AOB S m >△．若过焦点1F 的直线斜率不存在，则此直线的方程为x =，代入抛物线方程2y =-，得12,y y ==-．于是211211116222AOB S AB OF y y OF m =⋅=-⋅=⋅= ．综上所述，AOB S 无最大值，有最小值为26m ，此时弦AB 所在的直线方程为x =．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．24．已知数列{}n a ,()11ππ1,2cos 2sin N .22n n n n a a a n *+==-+∈(1)求23,a a .(2)求{}n a 的通项公式；(3)设(){}2nn n a -的前n 项和为n T ,若()2024N m T m *=∈,求m .【答案】(1)234,9a a ==(2)π2sin2nn n a =-(3)4048【分析】(1)将1,2n n ==分别代入关系式运算即可.(2)考查等比数列的构造,通过构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可.(3)考查数列的周期性，通过对πsin2n 的周期性取值讨论求解即可.【详解】（1）当1n =时,得21ππ2cos 2sin 422a a =-+=；当2n =时,得322π2π2cos2sin 9.22a a =-+=（2）设()()11π1πππsin cos 2sin cos ,2222n n n n n n a a αβαβ+++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭整理得()()1ππ22cos 2sin ,22n n n n a a βααβ+=+-++又1ππ2cos2sin ,22n n n n a a +=-+21,22,βααβ-=-⎧∴⎨+=⎩解得1,0,αβ=⎧⎨=⎩()11ππsin2sin ,22n n n n a a++⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭又1πsin 2,2a +=。

高中数学立体几何解析几何常考题汇总

新课标立体几何解析几何常考题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若BD=AC=2，EG=2。

求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD = 同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。

(2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE（2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定AHGFE D CB AEDBC3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

考点：线面平行的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A CB D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11A C AD ⊥，又1111D B AD D ⋂=∴1A C ⊥面11AB D考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定A 1ED 1C 1B 1DCBASDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CNMPCBA6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，又BD 平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂=∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

高中数学解析几何综合提高测试题(附答案)-精选文档

高中数学解析几何综合提高测试题（附答案）高二数学解析几何综合提高【本讲主要内容】解析几何综合提高直角坐标系（平面及空间），直线和圆的方程，简单的线性归划，直线与圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 两点间距离公式：①数轴上：②平面上：③空间：平面上线段AB的中点坐标公式2. 直线的倾斜角、斜率直线的倾斜角；直线的斜率：直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在判断两条直线的位置关系和确定它们的夹角等问题中起着关键作用。

3. 直线的方程：①点斜式：②斜截式：③两点式：④截距式：⑤一般式：4. 两条直线的位置关系：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2则：l1与l2的夹角公式：（为l1与l2的夹角）点P（x0，y0）到直线l：的距离公式：5. 简单的线性归划：在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示在直线的某一侧的平面区域。

简单的线性归划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax＋by的最值问题，一些实际问题可以借助这种方法解决。

6. 曲线和方程：把曲线看作适合某种条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}，建立直角坐标系后，点集P中任一元素M都有一个有序实数对（x，y）和它对应，（x，y）是某个二元方程f(x,y)＝0的解，反之以二元方程f(x,y)＝0的解为坐标，都有一点M与它对应，且M是点集P中的一个元素。

这种对应关系就是曲线与方程的关系。

7. 圆的方程：标准方程：，其中圆心是（a，b），半径为r一般方程：参数方程：，半径为r，为参数8. 直线与圆的位置关系：相切：d＝r 相离：d 相交：dr其中：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径【解题方法指导】例1. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦。

（1）当时，求AB的长。

（2）当弦AB被点平分时，写出AB的直线方程。

解：（1）当时，直线AB的斜率为直线AB的方程为：即：①把①代入，得即解此方程得所以，（2）当弦AB被点平分时，，直线O 的斜率为－2，所以直线AB的斜率为，根据点斜式，直线AB的方程为即点评：（1）中求|AB|时，由直线的方程和圆的方程联立消元得一元二次方程。

立体几何、解析几何综合10题(含答案)

城北中学高二上期第八周20班周末双休数学练笔题目及参考答案1、已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解：由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)，离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.2、如图4所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求证：AE ∥平面BFD ；(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .(2)证明由题意可得G 是AC 的中点，连结FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF . 而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点，在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD .3、设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.4、矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影E 恰好落在AD 上. (1)求证：CD ⊥AB(2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.(1)证明过C 点作AD 的垂线，垂足为E 则CE ⊥面ABD ，∵AD ⊥AB ，∴CD ⊥AB(2)解：∵CE ⊥面ABD∴∠CDE 为CD 与平面ABD 所成的角，cos ∠CDE ＝DECDDE ∶CD ＝CD ∶DA ＝AB ∶DA ＝2∶3∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为32 5、设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解：由QM →＝λMP →知Q 、M 、P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.6、如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P —ABCD 的体积．证明(1) 因为PH 是四棱锥P —ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1，可得PH ＝ 3.等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.7、已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l 的方程．解： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，∴－3＋a 23＝33.∴a 2＝4.而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y11＋3，⎩⎨⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎨⎧x 214＋y 21＝1，(43－3x 1)24＋(－3y 1)2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233(取正值).∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.8、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=900，AB=a,AD=3a,sin ∠ADC=55,又PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的正切值。

平面解析几何以及立体几何复习题

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。

1.椭圆的对称轴是坐标轴，离心率23e =，长轴长为6，则椭圆的方程为（）。

.A 2213620x y += .B 22195x y +=或22195y x += .C 22195x y += .D 2212036x y +=或2212036y x += 2. 圆22230x y y +--=的圆心及半径为（）。

.A 012（，），r = .B 014（，），r = .C 012（，-），r = .D 014（，-），r = 3.下列命题中的真命题是（）。

.A 若直线l 垂直于平面a 内的二直线、a b ，则l ^a.B 若直线l 与平面a 相交，则过l 且与a 垂直的平面只有一个 .C 过平面a 外一点，只能作一个平面与a 平行 .D 与两条异面直线都相交的二直线也是异面直线4.直线210ax y ++=与直线220x y ++=垂直，那么a 的值为（）。

.A 4 .B 4- .C 1 .D 1-5.双曲线22123y x -=的离心率为（）。

.A 3 .B 2.C 3 .D 26.双曲线的方程是221205x y -=，那么它的焦距是（）。

.A 5 .B 10 .C .D7.抛物线214y x =的焦点坐标是（）。

.A 1016（，） .B 1016（，） .C ()0,1 .D ()01，8.圆心为23（，）-，半径r = ）。

.A ()()2223=18x y +++ .B ()()2223=18x y ++- .C ()()2223=18x y -++ .D ()()2223=18x y -+-9.抛物线24x y =的准线方程为（）。

.A 1x = .B 1x =- .C 1y = .D 1y =- 10.过点13（，）-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（）。

3立体几何及平面解析几何练习(含答案)

立体几何练习1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定2．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（） A ．43 B ．23 C ．433 D ．33．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（）A.60ºB. 90ºC.105ºD. 75º4. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 31=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；(2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF 的值．5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；6如图，四面体PABC 的六条边均相等，D E F 、、分别是AB BC CA 、、的中点，则下列四个结论中不成立．．．的是 ( )A ．平面PDE ⊥平面ABCB ．D F ⊥平面PAEC ．BC //平面PDFD ．平面PAE ⊥平面ABC 7已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD 四棱柱，12AA =，E 是侧棱AA 1的中点，求（1）求异面直线BD 与B 1E 所成角的大小；（2）求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积PA GB CD FE P A DF E C B.E A 1D 1C 1B 1AD CB平面解析几何（1）1a =“”是“直线x+y =0和直线0x ay -=互相垂直”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（2）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是（）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．072=-+y x（3）直线1y x =-上的点到圆C ：224240x y x y ++-+=的最近距离为（）A. 1B. 22C. 2－1D. 22－1（4）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A ．3或3-B ．3-或33C ．33-或3D ．33-或33（5）若圆22680x y x y +--=的过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．106B ．206C ．306D ．4066、已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (I) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.1、答案B2、B3、B5解析：(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥ 平面SAC ，∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝F ，连结SF ，则SF ⊥BD ，∵AB ＝2，SA ＝4，∴BD ＝22，SF ＝SA 2＋AF 2＝42＋(2)2＝32，∴S △SBD ＝12BD ·SF ＝12·22·32＝6，设点A 到平面SBD 的距离为h ，∵SA ⊥平面ABCD ，∴13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD ·SA ，∴6·h ＝12·2·2·4，∴h ＝43，即点A 到平面SBD 的距离为43. 6、A7 (1)解：连接B 1D 1 ED 1四棱柱中BD// B 1D 1，所以∠EB 1D 1或其补角为所求因为AA 1=2 AB=1 所以B 1D 1=ED 1=B 1E=2 ∠EB 1D 1=600因此异面直线BD 与B 1E 成600角 ……6分（2）因为21121=⨯⨯=-C A V 柱平面解析几何1——5 CADCB6解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.(Ⅰ) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a . 解得43-=a . ………………6分 (Ⅱ) 解：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . ………………12分。

成人高考数学立体几何与解析几何考核试卷

8.在直角坐标系中，直线y=mx+b与x轴的交点是(b, 0)。( )
9.正弦函数的值域是[-1, 1]。( )
10.圆柱的侧面积可以用底面周长乘以高来计算。( )
五、主观题（本题共4小题，每题10分，共40分）
1.已知空间直角坐标系中点A(1, 2, 3)，求点A到平面2x - 3y + z - 6 = 0的距离。
2.若一个圆的半径为r，则其直径长度为2r。( )
3.在一次函数y=mx+b中，若m<0，则函数图像是向下倾斜的。( )
4.平面上任意两点的中点坐标是这两点坐标的平均值。( )
5.任何三角形的内角和都是180°。( )
6.若抛物线的方程为y^2=4ax，则焦点在y轴上。( )
7.正方体的所有面都是正方形。( )
成人高考数学立体几何与解析几何考核试卷
考生姓名：__________答题日期：__________得分：__________判卷人：__________
一、单项选择题（本题共20小题，每小题1分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在空间直角坐标系中，点A(2, 3, -1)到平面x+2y-z=6的距离是：
A. (2, 4)
B. (3, 5)
C. (1, 3)
D. (5, 8)
( )
17.以下哪个选项是点(2, -3)关于原点的对称点？
A. (-2, 3)
B. (-2, -3)
C. (2, 3)
D. (3, 2)
( )
18.在等腰直角三角形中，若斜边长度为c，则腰的长度是：
A. c/2
B. c√2/2
( )
4.两个平行的平面之间的最短距离是______。

立体几何和解析几何练习题

立几和解几测试题1、已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或22、点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是（） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-=错误！未指定书签。

3、已知抛物线1C :212y xp =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）A ．316B ．38C ．233D ．4334、设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.5、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.6、如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别1,BB AB 的中点，AB CB AC AA 221===.（1）证明：1BC ∥平面CD A 1；（2）求二面角E C A D --1的正弦值。

7、如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，E 为BD 中点，G 为PD 中点，DAB ∆≌DCB ∆,1===AB EB EA ，23=PA ,连结CE 并延长交AD 于点F 。

（1）求证：⊥AD 平面CFG ；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值。

8、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB .A 1B 1C 1ABCDEABCDEF GP（1）求证：⊥1AA 平面ABC ；（2）求二面角111B BC A --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得B A AD 1⊥，并求1BC BD的值。

简单几何立体几何解析几何试题汇总

第一套：直线、平面、简单几何体（一）第一套：直线、平面、简单几何体（二）第三套：立体几何基础详细讲解及例题第四套：立体几何中的向量方法第五套：解析几何椭圆及其标准方程1 第六套：解析几何椭圆及其标准方程2 第七套：解析几何椭圆及其标准方程3直线、平面、简单几何体（一）班级__________ 姓名__________ 学号__________ 评分__________一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面推理错误的是（） A ．A a ∈，A β∈，B a ∈，B a ββ∈⇒⊂ B ．M α∈，M β∈，N α∈，N βαβ∈⇒=I 直线MNC ．α⊄l ，A A α∈⇒∉lD ．A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈且A 、B 、C 不共线α⇒、β重合2．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果GH 、EF 交于一点P ，则（）A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上 C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝BC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成角为（）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．下列说法正确的是（）A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则αl ∥B ．若直线a 在平面α外，则a α∥C ．若直线a b ∥，b α⊂，则a α∥D ．若直线a b ∥，b α⊂，则直线a 就平行于平面内的无数条直线 5．在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（） A ．α、β都垂直于平面γB ．α内存在不共线的三点到平面β的距离相等C ．l 、m 是α内两条直线，且βl ∥，m β∥D ．l 、m 是两条异面直线，且αl ∥，m α∥，βl ∥，m β∥6．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥B ．若m α∥，n αβ=I ，则m n ∥C ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥7．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（） A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º8．PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60º，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是（）A ．12B C D9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．150º10．二面角P —a —Q 为60º，如果平面P 内一点A 到平面Q 的距3，则A 在平面Q 上的射影A 1到平面P 的距离为（）A ．1B 3C 3D ．211．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得(0)AE CFEB FDλλ==>,记()f λλλαβ=+，其中λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成角，则（）A ．()f λ在(0,)+∞单调递增B ．()f λ在(0,)+∞单调递减C ．()f λ在(0,1)单调递增，而在(1,)+∞单调递减D ．()f λ在(0,)+∞为常数12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 、A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1的关系为（）A ．相交不垂直B ．相交垂直C ．异面直线D ．平行直线题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．设MN αβ--是直二面角，A MN∈，AB α⊂，AC β⊂，45BAN CAN ∠=∠=o ，则BAC ∠= 。

立体几何测试题(共10篇)

立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。

“立体几何与解析几何”检测题

Ａ．ＡＣ上ＳＢ
ＢＡ／平面ＳＤ．Ｂ／Ｃ
Ａ
图２
图３正方体ＡＣ —ＡＢｌｌｌ中，，ＢＤ１ＣＤ
Ａ２点Ｅ为Ａ的中点，Ｆ在Ｂ＝，Ｄ点
Ｃ鲋与平面ＳＤ所成．Ｂ
的角等于ＳＣ与平面ＳＤ所成的角Ｂ
：
底面为正方形，Ｄ上底面ＳＡＣ则下列结论中不正确ＢＤ，
的是（）
Ｃ
１，２Ｐ为ｃ的准线上一点，ＡＡＰ的面积为（则Ｂ
Ａ．８１Ｂ２．４Ｃ．６３Ｄ．８４
）
二、空题填９（０１年福建卷・文１）．２１５如
正（）图主视侧（）图左视
图１
俯视图
Ａ．＝０ｎＣ．＝２ｎＤ． ≥３ｎ；
８（０１课标全国卷・９已知直线Ｚ抛物线Ｃ．２１年文）过
Ｃ１．０Ｄ８２．√
Ａ８．
Ｂ６２．√
的焦点，且与Ｃ的对称轴垂直，与Ｃ交于Ａ、ｚ曰两点，ＡｆＢＩ３（０１．２１年辽宁卷・８理）如图２，四棱锥Ｓ— ＢＤ的ＡＣ
ＣＤ上，若 ∥平面Ａ，线段ＢＣ则
Ｅ的长度等于Ｆ。
图３
ＤＡ．Ｂ与ＳＣ所成的角等于ＤＣ与所成的角
４（０年广东卷・７正五棱柱中，同在任何侧．２１文）不
１．２１０（０１年课标全国卷・理１）已知矩形ＡＣ的５ＢＤ

立体几何与解析几何检测卷

两支上，则双曲线的离心率ｅ的取值范围为（
）。
１或＞１
１ｋｌ
（Ａ）ｅ＞
（Ｃ）１＜ｅ＜ √ ｓ
（Ｂ）１＜ｅ＜，ＩＸ
（Ｄ）ｅ＞
（Ｄ） ≤
一
９．某种游戏中，黑、黄两个 “ 电子狗 ” 从棱长为１
关于直线，，：一＋对称，则的取值范围为
）。（Ａ）一１＜后＜１（ｃ）一１≤ ≤— １（Ｂ）后＜
一
８．斜率为２的直线过中心在原点，焦点在轴上
的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右（
等箸
+
=
，
(A ) 3
7
．
(B)
9
了
z
(c )
=
5
丁
，
(D)
0
3
-
2
，
(c )
寺寺
+
1
~ 5 寺
-
+
=
1
已知动点 P 在直线
，
1 上
为坐标原点以
4旁
OP
为直角边点
0
为直角顶点作等腰三角形
膏中生之友【
2 0 1 0 1 2 上半月刊l
— ．
＠麓力胡薯ｉ蓦ｓ。ｍ
，
— —
推广到空
间，棱长为ａ的正四棱锥内任意一点到各面距离之和。
三、解答题（本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤）

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C 【解析】试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C【解析】设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C.25．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（）A ． [0，22]B ．[22，1]C ．[21，1] D ．[21，22] 【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 考点：1线面平行；2线面垂直。

解析几何与立体几何测试题

17．(本小题满分 12 分) 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．（1）求证直线 l 恒过定点；（2）若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程．
18.(本小题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， A1 B1 A1C1 ， D ， E 分别是棱 BC ， CC1 上的点（点 D 不同于点 C ），且 AD DE ， F 为 B1C1 的中点．求证：（1）平面 ADE 平面 BCC1 B1 ；（2）直线 A1 F // 平面 ADE ．
C1 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x2－6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上． (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 与直线 x－y＋a＝0 交于 A、B 两点，且 OA⊥OB，求 a 的值．
解析几何与立体几何测试题
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1.如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
( A) 6
( B) 9
(C )
( D)
)
19．(本小题满分 12 分) 已知方程 x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0 表示一个圆． (1)求实数 m 的取值范围； (2)求该圆半径 r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．
20．（本小题满分 13 分） 1 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90° ，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 2 的中点 (Ｉ)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC；（Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

高三数学习题集：立体几何与解析几何

高三数学习题集：立体几何与解析几何高三数学学习题集：立体几何与解析几何导言：高三数学学习题集：立体几何与解析几何为同学们提供了一系列有关立体几何和解析几何的习题，帮助学生加深对这两个数学领域的理解和应用能力。

通过解答这些问题，学生们将能够巩固概念，掌握重要的技巧和方法，并在数学考试中取得优异成绩。

一、立体几何题目1. 设立方体的棱长为a，求其对角线的长度。

2. 一个球形饮水机的容量为5000立方厘米，若其直径为25厘米，求该饮水机的高。

3. 已知一个正方体的表面积为96平方厘米，求其棱长和体积。

4. 在一个正方体中，从一个顶点到与其相对的底面的中心的距离为x，求立方体的棱长。

5. 一个正方体和一个等腰三角形的底面都是边长为a的正方形，且高都为h。

若它们的体积相等，求h。

二、解析几何题目1. 设直线L1的方程为y = 2x + 3，直线L1和直线L2的夹角为60度，求直线L2的斜率和方程。

2. 已知点A(3, -2)和点B(1, 4)，求线段AB的中点坐标。

3. 设直线L的方程为2x - 3y = 6，点A(1, 2)在直线L上，求点A关于直线L的对称点坐标。

4. 设直线L过点A(-1, 2)和点B(4, 5)，求直线L的斜率和方程。

5. 设直线L的方程为x + y = 8，直线L与直线y = 2x的交点坐标为P(x1, y1)，求x1和y1的值。

结语：这份高三数学学习题集：立体几何与解析几何为同学们提供了一系列丰富的习题，帮助学生巩固理论知识，提高解题能力。

通过解答这些题目，同学们将能够掌握立体几何和解析几何的重要概念和方法，为高考的数学部分做好充分准备。

希望同学们能够积极参与练习，提升数学水平，取得优异成绩。

新高考数学解析几何综合练习

解析几何综合练习1．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√32，短轴长为2（1）求椭圆C方程（2）过定点P(0,12)的动直线l与椭圆交于M1,N1，过M1作x轴垂线交圆x2+y2=4于M2，过N1作x轴垂线交圆x2+y2=4于N2，且满足M2与M1在x轴同侧，N2与N1在x轴同侧，问直线M2N2是否恒过定点？,m)为抛物线上一点，且Q到E的准线距离等于其到原点O得距离2．抛物线E:y2=2px(p>0)，Q(14（1）求E的方程（2）设AB为圆(x+2)2+y2=4的一条不垂直于y轴的直径，分别延长AO，BO交E于CD两点，求四边形ABCD面积最小值3.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x=−√2b有且仅有一个交点，点P为椭圆上任意一点，P1(−1,0) , P2(1,0)，若PP1⋅PP2最小值为a2（1）求椭圆标准方程（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于不同两点AB，点O为原点，且OM=12(OA+OB)，当三角形AOB面积最大时，求T=1|MP12|−2|MP2|的取值范围4. 圆心在x轴上移动的圆经过A（-4，0），且与x轴，y轴分别交于B（x，0），C（0，y）两个动点，记M （x，y）的轨迹为曲线Γ（1）求Γ方程（2）过F（1，0）的直线l与Γ交于PQ两点，直线OP，OQ与圆F：(x−1)2+y2=1的另一交点分别为MN，求三角形OMN和三角形OPQ面积之比的最大值5.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过A作C的切线l1，与x交于点M，当FD=2时，∠AFD=60∘轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：y=p2（1）求抛物线方程（2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线的切线l2，与直线l1交于点P，与直线l交于点N，求三角形PMN的面积的最小值，并求此时x1的值6.O为坐标原点，点W(x n,y n)为直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆C:2nx2+4ny2=1的一个交点，且|k=−x n2y n,n∈N∗（1）证明l与椭圆相切（2）已知直线l与椭圆D:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)交于AB两点，且W为AB中点（i）证明椭圆D的离心率为定值（ii）记三角形OAB的面积为S，若b2=43+14n，证明2n⋅sin(S2)>1.。

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立体几何与解析几何综合练习
说明：本卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共8道选择题，6道填空题，6道解答题，答题时间120分钟，总分150分。

第Ⅰ卷选择题（40分）
一、选择题（8*5'=40'）
1．（2015新课标Ⅰ理·10）设命题P ：∃n ∈N ，2
n >2n
，则⌝P 为______．
A ．∀n ∈N ，2n >2n
B ．∃n ∈N ，2n ≤2n
C ．∀n ∈N ，2n ≤2n
D ．∃n ∈N ，2n ＝2n
2．（2015浙江文·4）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，
______．
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则
D ．若，则
3．（2013四川理·6）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是______． A
．
12B ．3
2
C ．1
D ．3 4．（2014四川理·8）如图，在正方体
11
11ABCD A
BC D -中，点
O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面
1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是______．
A ．
B ． C
．]3 D
．[3
5．（2015北京理·5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是______． A ．2+ B ．4 C ．2+．5
6．（2015四川理·10）设直线l 与抛物线y 2
=4x 相交于A , B 两点，与圆(x -5)2
+y 2
=r 2
(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是______．
A ．
B ．
C ．
D ． 7．（2015浙江文·7改编）如图，斜线段与平面所成的角
为45°，为斜足，平面上的动点满足∠PAB=45°，则点的轨迹是______．
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支 8．（2014江西理·10）如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点
E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2，3，4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是______．
A B C D
第Ⅱ卷非选择题（110分）
二、填空题（6*6'=36'）
9．（2015新课标Ⅰ文·15）若x ,y 满足约束条件20
210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
,则y x z +=3的最大值为
____________．
αβl m l α⊂m β⊂l β⊥αβ⊥αβ⊥l m ⊥//l β//αβ//αβ//l m ()13，
()14，()23，()24，
AB αB αP P 俯视图
侧(左)视图
10．（2015新课标Ⅰ理·15）若x ，y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的最大值为____________．
11．（2015浙江文·14）已知实数，满足，则的最大
值是____________．
12．（2015江苏·10）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．
13．（2011江苏·8）在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
x x f 2
)(=
的图
象交于P. Q 两点，则线段PQ 长的最小值是____________．
14．（2012江苏·12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2
-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________．三、解答题（74'）
15.（2015新课标Ⅰ文·17，12分）
已知a , b , c 分别是△ABC 内角A , B , C 的对边，sin 2
B =2sin A sin
C ．（Ⅰ）若a =b ，求cos B ；
（Ⅱ）若B =90°，且a=，求△ABC 的面积．
16.（12分）
作图是一种基本的数学能力，请完成下列两项任务（要求作图要写出作法）：（Ⅰ）如右图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中的各棱长都是1，M 是棱CC 1的中点，作出截面A 1BM 与底面ABC 的交线，并求其所成锐二面角的大小．
（Ⅱ）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，作出这个正方体，作出异面直线A 1D 与AC 的公垂线，并求出它们距离．
17.（2015四川文·18，12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请将字母F , G , H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：DF ⊥平面BEG ．
18.（2015陕西理·18，14分）如图，在直角梯形
中，
，，
，，
是的中点，是与
的交点．将
沿
折
起到
的位置，如图．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若平面
平面
，求平面与平面夹角的
余弦值．
19.（2015浙江文，14分）如图，已知抛物线，圆，过点P (t ,0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．（Ⅰ）求点A ，B 的坐标；（Ⅱ）求△PAB 的面积．
20.（2013新课标Ⅱ理·23，10分）
已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α
<2π)，M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
x y 2
2
1x y +≤2463x y x y +-+-
-E
D
C
A B
立体几何与解析几何综合练习答题卡
16
17
E
D C
A B
18
19 20
立体几何与解析几何综合练习参考答案
16
（Ⅰ）如左图所示（作法在此处省略），写出交线作法得1分，正确作出交线得2分，算出二面
角大小45°得2分．
（Ⅱ）如右图所示（作法在此处省略），正确作出正方体得1分，写出距离作法得2分，作出距离得2分，算出距离大小得2分．
17 （Ⅰ）（2分）如图
（Ⅱ）（Ⅲ）略（每题5分）
18
（Ⅰ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，
BAD=
，所以BE
AC ．
即在图2中，BE ，BE
OC ．从而BE
平面
．又CDBE ，所以CD 平面.
（Ⅱ）
19（Ⅰ）；（Ⅱ）． 20
(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，
sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，
y ＝sin α＋sin 2α
(α为参数，0<α<2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．
当α
＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
H
G
F
E
D
C
A B
22
2222(2,),(,)11t t A t t B t t ++3
2
t。