浙江省杭州市2016-2017学年下学期高三教学测试数学理试题Word版含答案

浙江省杭州市2016-2017学年下学期高三教学测试数学理试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U ={1,2,3,4,5}，A ={1,2,3}，B = {2,5}，则A ∩(∨U B ) = A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ．{1，3}2．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l ⊥m ，α⊂m ，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，α⊂m ，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m3．“42ππθ+=k ∈k (Z )”是“1tan =θ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x ax x f +=||)(（其中R ∈a ）的图象不可能．．．是5．已知{}n a 是等差数列，公差为2，{}n b 是等比数列，公比为2．若{}n b 的前n 项和为n b a ，则11b a +等于 A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，小于︒90的二面角βα--l 中，l O ∈，α∈B A ,，且AO B ∠为钝角，''OB A ∠是AOB ∠在β内的射影，则下列结论错误．．的是 A ．''OB A ∠为钝角AOB'A 'B αlβ（第6题）ACB ．AOB OB A ∠>∠''C ．π<∠+∠'AOA AOBD ．π>∠+∠+∠''AOA BOA OB B7．如图，双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ,点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线x aby =于点R ．M 是PQ 的中点，若12PF RF ⊥，且1PF AM ⊥，则双曲线的离心率是 A ．2 B ．3C ．2D ．58．已知y x <<0,2522<+<y x ，则下列不．正确的是 A ．)25sin(sin 2y x -<B ．)2sin(sin 2y x ->C ．y x sin )2sin(2<-D ．)1cos(sin 2-<y x第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知[)πϕ,0∈，函数)cos(2cos )(ϕ++=x x x f 是偶函数，则ϕ= ▲ ，)(x f 的最小值为 ▲ ．10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=)0()0(log )(22x x x x x x f ，则))21((f f = ▲ ，方程2)(=x f 的解为 ▲ ．11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 ▲ cm 3，表面积为 ▲ cm 2．12．已知R ,∈y x 且满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤-+≥010521k y kx y x x ，当1=k 时，不等式组所表示的平面区域的面积为 ▲ ，若目标函数y x z +=3的最大值为7，则k 的值为 ▲ ． 13．已知0>a ，]2,0[,sin )1(cos )(∈-+=x x x x a x f ππ，则)(x f 所有的零点之和为 ▲ ．（第11题）俯视图（第7题）14．设⎩⎨⎧<≥=)()(},max{b a b b a a b a ，已知∈y x ,R ，6=+n m ，则|}2||,4max{|22n x y m y x F +-+-=的最小值为 ▲ ．15．如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为)3321(<<R R ，点A 在BD 下方的圆弧上， 则AD AB ⋅||||(的最小值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-． （Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．17．（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=． （Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值．C（第15题）DABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值．19．（本题满分15分）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值；（Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且=，其中∈n N *,11=x ．（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+ .（第20题）（第19题）浙江省杭州市2016-2017学年下学期高三教学测试数学理试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. D ；2. B ；3. A ；4. C ；5. B;6. D;7. C;8. C. 8．解析：因为0>x ，2522<+<+y x x x ，所以2.121110<-<<x ．y y y x +<+<222，所以1>y ，又25<y ，所以251<<y ．由252<+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)25sin(sin 2y x -<，故A 正确；由y x +<22得221244.122ππ->->->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取222π=-x ，212ππ+<<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12sin(sin 2y y x -=-+<π，故D 正确． 二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9. 0，89-； 10. 0；-2或4； 11. 411,2ππ； 12.38；2； 13. 2；14.21；15. 21-. 15．解析：因为||||21||(||||(2AC AD AB -=⋅=⋅ 21)1|(|212--=,因为R R 2||3≤≤，所以1||=时，取到最小值21-．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-． （Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）2222222222)8(b a acb c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-222222222222282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+ 028222222=-+⋅--+bca cb ac b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc 故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==14c b（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ， 所以855sin ≤A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ．所以△ABC 面积的最大值是455，当83cos =A 时取到． 17．（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=． （Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值．解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，ABBC BC CP =，解得21=CP ，31=λ； （Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，232=C P ，22=CH∴23tan 1=∠HC P ，2tan 2=∠HC P=∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α82，所求余弦值为3324. 法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -， )0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C ByABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）设)0,12,0(λ+P ，若⊥C A 1平面1PBC ， )1,2,1(1--=→C A ，)1,0,1(1-=→BC ，)0,122,1(λ+--=→BP ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0111BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→01111BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→001222BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→→→→n n n n θ 18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． 解：（Ⅰ）∵对称轴为1223≥-=mx ∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= }4,32max{m m --= 又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(. （Ⅱ）函数的对称轴为223mx -=，且函数开口向下 ①0223≤-m ，即23≥m （舍去）， ②m m<-<2230，即143≤<m ，4172)223()(2+-=-=m m m f m h y③m m >-223，即430≤<m ，243)()(2++-==m m m f m h∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<+-=4302431434172)(22m m m m m m m h ， 当32=m 时，取得最大值31019．（本题满分15分）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值；（Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．解：（Ⅰ）m kx y l +=:1代入1416:221=+y x C 得 0)4(48)41(222=-+++m km x x k ，0>∆恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)4(4418k m x x k km x x ，所以344142=+-k km ①， 又11||2=++=k m k d ，得m m k 212-=②，联立①②得0224=--m m ，解得2=m ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得22221414164||k m k x x ++-=-，所以22224141641||k m k k AB ++-⋅+=，把kx y l =:2代入1416:221=+y x C 得224116k x +=，所以224181||kk CD +⋅+=， 所以2222241421412416||||k m k m k CD AB +-=++-==λ222)21(41421m m m -+-= 3643)211(1421142122244≥+--=+--=mm m m ，（第19题）当42,2-==k m ，λ取最小值36． 20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且=，其中∈n N *,11=x ．（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+ .解：（Ⅰ）)22,(111n n n n n n x x x x P P --=+++,)2,(111+++-=n n n n n x a x P A )22,(11n n n n x x x x --++0)2,(11=-⋅++n n n x a x 得nn n n x x a x ⋅=-++2114①， 又=-+-++2121)22()(n n n n x x x x 21214)(+++-n n n x a x ② 把①代入②，得)41(4)41()(2212122121nn n n n n n x x x x x x x ⋅+=⋅+-++++， 得21214)(++=-n n n x x x ，所以112++=-n n n x x x ．（Ⅱ）112++=-n n n x x x ，所以2211212n n n n n x x x x x -<-=+++，所以()n x xx ni ii n 21122121>-=-∑=++，所以121+>+n xn ，2212322)2()12(53n n n n x x x n >+=++++>++++ ．又2≥n 时，∑∑∑==+=+++<=-=-ni ni i ni i i n i x x x x x 22121211222)(，因为)1(22222412124122i i i i i i i -+=++<+++=+，所以)21(22)1(22(221-+=-+≤-∑=+n i i x x ni n所以2881-+≤+n x n ，所以4888448821-<+-++≤+n n n x n ，又22=x ，所以22123224)]12(31[4n n x x x n =-+++≤++++ ．（第20题）。