专题09 直线与圆(热点难点突破)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破含解析
高考数学真题专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆
2 专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆一、选择题1．(2018 全国卷Ⅲ)直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆(x - 2)2 + y 2 = 2上，则∆ABP 面积的取值范围是A ．[2, 6]B ．[4,8]C ．[ 2,3 2]D ．[2 2,3 2]2．(2018 天津)已知圆 x2 + y 2 ⎧⎪x = -1+ - 2x = 0的圆心为 C ，直线⎨2 t , 2( t 为参数)与该圆 ⎪ y = 3 - 2 t ⎩2相交于 A ，B 两点，则△ABC 的面积为．3．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos θ ,sin θ ) 到直线 x - my - 2 = 0 的距离，当θ ， m 变化时， d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4x 2 y2 4．（2017 新课标Ⅲ）已知椭圆C ： + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2，且以线段 A 1 A 2 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切，则C 的离心率为6 3 A.B ．33C ．2 D ． 1335．（2017 新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．26．（2015 山东）一条光线从点(-2, -3) 射出，经 y 轴反射后与圆(x + 3)2 +( y - 2)2 =1相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ． - 5 或-3 B ． - 3 或-2 C ． - 5 或-4 D ． - 4 或- 3352 34 53 47．（2015 广东）平行于直线2x + y +1 = 0 且与圆 x 2 + y 2 = 5相切的直线的方程是A ． 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 055 5 5 5 22B ． 2x + y + = 0 或2x + y - = 0C ． 2x - y + 5 = 0或2x - y - 5 = 0D ． 2x - y + = 0 或2x - y - = 08．（2015 新课标 2）过三点 A (1,3) ， B (4, 2) ， C (1, -7) 的圆交于 y 轴于 M 、N 两点，则MN =A ．2B ．8C ．4D ．109．（2015 重庆）已知直线 l ： x + ay -1 = 0(a ∈ R ) 是圆C ： x 2 + y 2 - 4x - 2y +1 = 0的对称轴，过点 A (-4, a ) 作圆C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝ A ．2B ． 4C ．6D ． 210．（2014 新课标 2）设点 M (x ,1) ，若在圆O : x 2 + y 2 =1 上存在点 N ，使得∠OMN = 45°，则 x 0 的取值范围是⎡-1 1 ⎤⎡⎤⎡2 ⎤A ． [-1,1]B ． ⎢ ， ⎥C ． ⎣- 2, 2 ⎦ D ． ⎢- ， ⎥ ⎣ 2 2 ⎦⎣ 2 2 ⎦11．（2014 福建）已知直线l 过圆 x 2+( y - 3)2= 4 的圆心，且与直线 x + y +1 = 0 垂直，则l 的方程是A ． x + y - 2 = 0B ． x - y + 2 = 0C ． x + y - 3 = 0D ． x - y + 3 = 012．（2014 北京）已知圆C : (x - 3)2+( y - 4)2=1和两点 A (-m ,0) ， B (m , 0) (m > 0) ，若圆C 上存在点P ，使得∠APB = 90，则m 的最大值为A ． 7B ． 6C ． 5D ． 413．（2014 湖南）若圆C : x 2+ y 2=1与圆C : x 2+ y 2- 6x - 8y + m = 0 外切，则m =12A ． 21B ．19C ． 9D ． -1114．（2014 安徽）过点 P （- 3,-1）的直线l 与圆 x 2 + y 2 =1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是66 102 17 2 5 ⎢ ⎪ πA ．（0， ]6πB ．（0， ]3πC ．[0， ]6πD ．[0， ]315．（2014 浙江）已知圆 x 2 + y 2 + 2x - 2 y + a = 0 截直线 x + y + 2 = 0 所得弦的长度为 4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014 四川）设m ∈ R ，过定点 A 的动直线 x + my = 0 和过定点 B 的动直线mx - y - m + 3 = 0 交于点 P (x , y ) ，则| PA | + | PB | 的取值范围是A ．[ 5, 2 5]B ．[ 10, 2 5]C ．[ 10, 4 5]D ．[2 5, 4 5]17．（2014 江西）在平面直角坐标系中， A , B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x + y - 4 = 0 相切，则圆C 面积的最小值为 A ．4πB ．3π C ． (6 - 2 5)πD ．5π54 418．（2013 山东）过点(3，1)作圆(x -1)2+ y 2 =1的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线AB 的方程为A ． 2x + y - 3 = 0B ． 2x - y - 3 = 0C ． 4x - y - 3 = 0D ． 4x + y - 3 = 019．（2013 重庆）已知圆C : (x - 2)2+( y - 3)2=1，圆C : (x - 3)2+( y - 4)2= 9 ，M , N12分别是圆C 1 , C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM + PN 的最小值为A ． 5 - 4B ． -1C ． 6 - 2D ．20．（2013 安徽）直线 x + 2y - 5 + = 0 被圆 x 2 + y 2 - 2x - 4y = 0截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ． 4 21．（2013 新课标 2）已知点 A (-1, 0) ；B (1, 0) ；C (0,1) ，直线 y = ax + b (a > 0) 将△ ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ⎛ A ． (0,1)B ．1- 2 , 1 ⎫ 2 2 ⎪ ⎛ C ．1- 2 , 1 ⎤ 2 3⎦ D ． ⎡1 , 1 ⎫⎣3 2⎝⎭⎝⎭22．（2013 陕西）已知点 M (a ,b ) 在圆O : x 2 + y 2 = 1 外, 则直线ax + by = 1与圆 O 的位置关1762 2 系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013 天津）已知过点 P (2，2) 的直线与圆(x -1)2 + y 2 = 5 相切， 且与直线ax - y +1 = 0垂直， 则a = A ． - 12B.1C ．2D ． 1224．（2013 广东）垂直于直线 y = x +1且与圆x 2 + y 2 = 1相切于第一象限的直线方程是A ． x + y - = 0B ． x + y +1 = 0C ． x + y -1 = 0D ． x + y + = 025．（2013 新课标 2）设抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为 F ，直线l 过 F 且与C 交于 A ， B 两点．若| AF |= 3 | BF | ，则l 的方程为A. y = x -1或 y = -x +1B. y =(x -1) 或 y = - 33 (x -1)3C. y = 3(x -1) 或 y = - 3(x -1)D. y = 2 (x -1) 或 y = - 2 2 (x -1) 226．（2012 浙江）设a ∈ R ，则“ a = 1 ”是“直线l 1 ： ax + 2 y -1 = 0 与直线l 2 ：x + (a +1) y + 4 = 0 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012 天津）设m ，n ∈ R ，若直线(m +1)x +(n +1) y - 2=0 与圆(x -1)2 +(y -1)2 =1相切，则m +n 的取值范围是 A ．[1- 3,1+ 3]B ． ( -∞,1- 3] [1+ 3,+∞)C ．[2 - 2 2,2+2 2]D ． ( -∞,2 - 2 2] [2+2 2,+∞)28．（2012 湖北）过点 P (1,1) 的直线，将圆形区域{(x , y ) | x 2 + y 24}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ． x + y - 2 = 0B ． y -1 = 0C ． x - y = 0D ． x + 3y - 4 = 033 29．（2012 天津）在平面直角坐标系 xOy 中，直线3x + 4y - 5 = 0 与圆 x 2 + y 2 =4 相交于A ,B 两点，则弦 AB 的长等于A. 3B. 2 C ． D ．130．（2011 北京）已知点 A (0,2)，B (2,0)．若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011 江西）若曲线C ： x 2 + y 2 - 2x = 0与曲线C ： y ( y - mx - m ) = 0 有四个不同12的交点，则实数 m 的取值范围是A ．( - 3 ，3 ) B ．( -3 ，0) (0，3 )3 333C ．[ -3 ，3 ] D ．( -∞ ， -3 ) (3 ，+ ∞ )333332．（2010 福建）以抛物线 y 2 = 4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．x 2 +y 2 +2x =0 B ． x 2 +y 2 +x =0 C ． x 2 +y 2 - x =0 D ．x 2 +y 2 - 2x =033．（2010 广东）若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆O 位于 y 轴左侧，且与直线 x + 2 y = 0相切，则圆O 的方程是A. (x - 5)2 + y 2= 5B. (x + 5)2 + y 2= 5C ． (x - 5)2 + y 2= 5D ． (x + 5)2 + y 2 = 5二、填空题34．(2018 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 2x 上在第一象限内的点，B (5, 0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D ．若 AB ⋅ C D = 0 ，则点 A 的横坐标为．35．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A (-12, 0) ，B (0, 6) ，点 P 在圆O ：x 2 + y 2 = 50上，若 PA ⋅ PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是．36．（2015 湖北）如图，圆C 与 x 轴相切于点T (1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A , B （B 在 A33NA NB MAMBNBNANBNA的上方），且AB=2．（Ⅰ）圆C的标．准．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O : x2 +y2 = 1 相交于M , N 两点，下列三个结论：①=；②- = 2 ；③+ = 2 2 ．其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）37．（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为．（2014 重庆）已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A，B 两点，且∆ABC 为等边三角形，则实数a = ．39．（2014 湖北）直线l：y=x+a和l：y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等1 2的四段弧，则a2 +b2 = ．40．（2014 山东）圆心在直线x - 2 y = 0 上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3 ，则圆C 的标准方程为．41．（2014 陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0) 关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．42．（2014 重庆）已知直线x -y +a = 0 与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为．43．（2014 湖北）已知圆O : x2 +y2 =1 和点A(-2,0)，若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有| MB |=λ| MA | ，则（Ⅰ）b=；MAMBMAMB（Ⅱ）λ= .44．（2013 浙江）直线y = 2x + 3 被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.45．（2013 湖北）已知圆O：x2 +y2 = 5 ，直线l：x cosθ+y sinθ=1( 0 <θ<π)．设圆O上2到直线l 的距离等于1 的点的个数为k ，则k = .46．（2012 北京）直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为. 47．（2011 浙江）若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m= ．48．(2011 辽宁)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．49．(2010 新课标)圆心在原点上与直线x +y - 2 = 0 相切的圆的方程为．50．(2010 新课标)过点A(4,1)的圆C 与直线x -y = 0 相切于点B(2,1) ，则圆C 的方程为．三、解答题51．(2016 年全国I)设圆x2 +y2 + 2x -15 = 0 的圆心为A ，直线l 过点B(1, 0) 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；（I I）设点E 的轨迹为曲线C1 ，直线l 交C1 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014 江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO =4 ．3（I）求新桥BC 的长；（I I）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？2 653．（2013 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (0,3) ，直线l ：y = 2x - 4 .设圆C的半径为 1，圆心在l 上.y（I ） 若圆心C 也在直线 y = x - 1上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程； （I I ） 若圆C 上存在点 M ，使 MA = 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．54．(2013 新课标 2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为2 ， 在 y轴上截得线段长为2 3 ．（I ） 求圆心 P 的轨迹方程；（I I ） 若 P 点到直线 y = x 的距离为2 ，求圆 P 的方程．255．（2011 新课标）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线y = x 2 - 6x + 1与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ） 求圆 C 的方程；（I I ）若圆 C 与直线 x - y + a = 0 交于 A ，B 两点，且OA ⊥ OB , 求a 的值．56．（2010 北京）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(-2, 0) ，( 2, 0) ，离心率是， 3lAO直线y t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．（I）求椭圆C 的方程；（II）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q(x, y) 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．。
2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第九章节 直线和圆
数学
能力大提升 1
思想方法 1 平行直线系
由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时, 它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
第九章·第二讲 直线的位置关系
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数学
能力大提升 2
示例5 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 解析 依题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1), 因为直线过点(1,2), 所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11. 因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.
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A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0
A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
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知识全通关 2
第九章·第二讲 直线的位置关系
注意 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时， 不要忘记一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零的情况。
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题型全突破 12
考法示例3 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.
2018高考数学(理)专题突破—直线与圆
直线与圆【考点梳理】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2. 4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.【题型突破】题型一、直线的方程【例1】(1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.【答案】(1)A (2)12【解析】(1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2，所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0).∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b ＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号.因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.【类题通法】1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【对点训练】(1)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________.【答案】(1)A (2)94【解析】(1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0， 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10， 则S △ABC ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m －322－14，又1<m <4，所以1<m <2， 所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值.题型二、圆的方程【例2】(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.【答案】(1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 【解析】(1)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2. ∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254， 所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 【类题通法】1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.【对点训练】(1)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A.2 6B.8C.4 6D.10(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.【答案】(1)C (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4【解析】(1)由已知，得AB→＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋ (－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，∴y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，因此|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.(2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a . 由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2. 所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.题型三、直线与圆的位置关系【例3】在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.【答案】(x －1)2＋y 2＝2【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.【例4】(1)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.【答案】(1)x ＋y －3＝0 (2)4【解析】(1)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.(2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4. 【类题通法】1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【对点训练】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ→，求实数t 的取值范围.【解析】(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ→，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。
（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）
（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。
王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()22D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 224D E F+-,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第9章节 直线和圆的
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数学
题型全突破 11
考法3 圆中的弦长问题
第九章·第四讲 直线、圆的位置关系
考法指导 圆的弦长问题在高考中多次出现,考题模式主要有两类:(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长; (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等. 解决圆的弦长问题一般会用到以下方法:
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第九章·第四讲 直线、圆的位置关系
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第九章·第四讲 直线、圆的位置关系
【突破攻略】
圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方 程联立起来消元后用判别式判断,因为当方程组有一组解时,两圆只有一个交 点,两圆可能外切,也可能内切;当方程组无解时,两圆没有交点,两圆可能外离, 也可能内含.
考法2 圆与圆的位置关系的判断及应用
第九章·第四讲 直线、圆的位置关系
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题型全突破 7
注意 判断圆与圆的位置关系时,一般不用代数法,因为利用代数法不能判断内切与 外切,内含与外离;利用几何法的关键是判断圆心距|O1O2|与R+r,R-r的关系.
第九章·第四讲 直线、圆的位置关系
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考法示例3 圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
第九章·第四讲 直线、圆的位置关系
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题型全突破 9
考法示例4 分别求当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x14y+k=0相交和相切.
2020年高考数学(文)之纠错笔记专题09 直线与圆的方程
当 a 2 时，直线分别为 x 2 y 4 0 和 2x 4 y 3 0 ，平行，满足条件
当 a 2 时，直线分别为 x 2 y 4 0 和 2x 4 y 3 0 ，平行，满足条件； 所以 a 2 ；
故选 A. 【名师点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题.
1
存在． （2）直线的倾斜角α和斜率 k 之间的对应关系：
α
0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k
0
k>0 不存在
k<0
1．直线 x y 1 0 的倾斜角为
A．
6
B．
4
3
C．
4
5
D．
6
【答案】B
【解析】直线 x y 1 0 的斜率 k 1，则 tan k 1，所以直线 x y 1 0 的倾斜角 = .故选 4
当 k2 0 时，由 k1·k2 1 ，得 a=0.
所以 a 的值为 0 或 5.
2
【参考答案】0 或 5
1．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．
2．斜率公式
（1）若直线 l 的倾斜角 90°，则斜率 k tan ．
（2）若
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线
【名师点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.
易错点 5 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误
若三条直线 l1 : ax y 1 0,l2 : x ay 1 0,l3 : x y a 0 共有三个不同的交点，则 a 的取值范
直线与圆-高考理科数学压轴题分析详解
重点增分专题十 直线与圆[全国卷3年考情分析](1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．考点一 直线的方程 保分考点·练后讲评 1.[两直线平行]已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：选C 当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，所以两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须满足1k －4≠32(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件． 2．[两直线垂直]已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直， ∴m －4×25＝－1，∴m ＝10. 直线mx ＋4y －2＝0，即5x ＋2y －1＝0， 将垂足(1，p )代入，得5＋2p －1＝0，∴p ＝－2. 把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3.[对称问题]坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B.⎝⎛⎭⎫－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D.⎝⎛⎭⎫45，85解析：选A 直线x －2y ＋2＝0的斜率k ＝12，设坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是(x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85. 4.[两直线的交点与距离]已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1,2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[解题方略]1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法考点二 圆的方程 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[由圆的方程求参数范围]若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2,0)D.⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D 若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2.[求圆的标准方程]已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________． 解析：设C (a,0)(a >0)，由题意知|2a |5＝455，解得a ＝2，所以r ＝22＋(5)2＝3，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝9[解题方略] 求圆的方程的2种方法几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程[小创新——变换角度考迁移]1.[与平面向量交汇]已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A. 5B. 6C.7D ．2 2解析：选C 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1,0)，则|OM |＝1，圆的半径r ＝1－a ，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.2.[与概率的交汇]向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝23π－34π＝16－34π.答案：16－34π考点三 直线与圆的位置关系 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 圆的切线问题[例1] (1)(2019届高三·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.(2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________．[解析] (1)由题意得，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x－1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－k －2＋1－k |k 2＋1＝5，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直线ax ＋y－1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝12.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5， 则|OM |≥d ＝5， 所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23，所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46.[答案] (1)12(2)46[变式1] 本例(2)变为：过点A (1,3)，作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为________．解析：由相切可得S 四边形OBAC ＝2S △OBA ，因为△OAB 为直角三角形，且|OA |＝10，|OB |＝2， 所以|AB |＝22，即S △OBA ＝12×22×2＝2，所以S 四边形OBAC ＝2S △OBA ＝4. 答案：4[变式2] 本例(2)变为：设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线l 1，l 2，则l 1与l 2的最大夹角的正切值是________．解析：设一个切点为B ，圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离为d ＝259＋16＝5， 则tan ∠OMB ＝|OB ||MB |≤223，所以tan 2∠OAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB＝21tan ∠OAB－tan ∠OAB≤24621.故所求最大夹角的正切值为24621. 答案：24621[解题方略] 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．题型二 圆的弦长问题[例2] 已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PM Q N 面积的最大值．[解] (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即(a ＋2)2＋(a －0)2＝(a －0)2＋(a －2)2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PM Q N 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|P Q |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|P Q |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4(d 21＋d 2)＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PM Q N 面积的最大值为7. [解题方略] 求解圆的弦长的3种方法[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 22．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________． 解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22，得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋13．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35数学建模——直线与圆最值问题的求解[典例] 已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OP Q 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[解析] 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OP Q ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，所以|P Q |＝29－d 2，S △OP Q ＝12×|P Q |×d ＝12×29－d 2×d＝ (9－d 2)d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OP Q 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OP Q 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.[答案] D [素养通路]本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题．考查了数学建模这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b 2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2．已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．5．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，且点M 在圆C 上，得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k 2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________.解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m 2，解得m ＝±52 .答案：±528．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为________．解析：以OC 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝⎝⎛⎭⎫522，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝5－254，化简得3x ＋4y －5＝0，所以C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.答案：49．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π3，则实数a ＝________.解析：直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心为M (0，2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π3，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9＝3，解得a ＝±3.答案：±3 三、解答题10．已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B . (1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2,4)，求实数a 的值． 解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程， 消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0， 即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ， 则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ， 故圆心M (1,0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34，由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞， 所以a ＝34.11．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，所以R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.由于|MN |＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|－k －2＋2k |k 2＋12＋(19)2＝20，解得k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6.(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 相切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D ，E ，当线段DE 的长度最小时，求直线l 的方程．解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为12， 所以圆O 的半径为⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|－ab |b 2＋a2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，则|DE |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝4＋2b 2a 2＋2a 2b2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.B 组——大题专攻补短练1．已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求． (2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－(t －2)22，整理得t 2－3t ＝0， 解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0,3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， 所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a,2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ， 所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点， 所以2－1≤a 2＋(2a －4＋1)2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．4．(2018·广州高中综合测试)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k .当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2·(x －1)2＋y 2.整理得，x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)>0，得b 2<2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2， 即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k <－33或k >33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0， 所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为 [－3，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1∪(1， 3 ]．。
2018版高考数学一轮复习课件：重点强化课4 直线与圆
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第五页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x－ 2)，即 kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，则有 d＝|－3k－k22－＋21k－3|＝1， 解得 k＝－43或 k＝－34.]
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
直线 BC 的斜率为
2＋1－ 0－1
2＝－1，
故切线的斜率为 1，切线方程为 y＝x＋ 2＋1.
令 y＝0，解得 x＝－ 2－1，
故所求截距为－ 2－1.]
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
则|MN|＝( )
A．2 6
B.8
C．4 6
D.10
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第十一页，编辑于星期六：Hale Waihona Puke 十二点 三十分。高三一轮总复习
(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，故可得 a＝2， 即点 C(－2,2)．
∴2m＋n＝(2m＋n)m2 ＋1n＝5＋2mn＋2nm≥5＋2 当且仅当2mn＝2nm时取等号． ∴2m＋n 的最小值为 9.]
2mn·2nm＝9.
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第九页，编辑于星期六：二十二点 三十分。
高三一轮总复习
重点 2 圆的方程
直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(解析版)
直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【考点四判断或补全使直线为切线的条件】【考点五证明某直线是圆的切线】【考点六切线的性质定理】【考点七切线的性质与判定的综合应用】【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】【过关检测】【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，∠O=30°，P为OA上一点，且OP=6，以点P为圆心，半径为3的圆与OB的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能【答案】C【分析】过点P作PC⊥OB于点C，根据直角三角形的性质，可得PC=12OP=3，再由直线与圆的位置，即可求解．【详解】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C，∵∠O=30°，OP=6，∴PC=12OP=3，∵以点P为圆心的圆的半径为3，∴以点P为圆心，半径为3的圆与OB的位置关系是相切．故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【变式训练】1.(2023春·广东梅州·九年级校考开学考试)Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，以AC长为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【答案】C【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．【详解】解：根据勾股定理求得BC=5．∵AC=3，BC=4，∴AB=32+42=5，S△ABC=12AC×BC=12×3×4=6，∴AB上的高为：6×2÷5=2.4，即圆心到直线的距离是2.4．∵2.4<3，∴直线和圆相交．故选：C．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2.(2022秋·九年级单元测试)已知⊙O的半径是3，点P在⊙O上，如果点P到直线l的距离是6，那么⊙O与直线l的位置关系是()A.相交B.相离C.相切或相交D.相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．【详解】如图，当点P与P1重合时，⊙O与直线l相切；当点P与P1不重合时，⊙O与直线l相离，∴⊙O与直线l的位置关系是相切或相离．故选：D．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】1(2022秋·江苏连云港·九年级统考期中)直线l与⊙O相离，且⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是．【答案】d>3【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.【详解】解：∵直线l与⊙O相离，且⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，∴d的取值范围是d>3；故答案为：d>3.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设⊙O的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当d>r 时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交；反之也成立.【变式训练】1.(2023·全国·九年级专题练习)已知直线l与半径长为R的⊙O相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是．【答案】0<R<5【分析】若直线和圆相离，则应满足d>r即可．【详解】解：∵直线和圆相离，且点O到直线l的距离为5，∴0<R<5，故答案为：0<R<5．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足d>R是解题的关键．2.(2023·湖南常德·统考模拟预测)如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是．【答案】1≤r≤5【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HM=12CM=1，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．【详解】解：过M作MH⊥AC于H，如图所示：∵CM=2，∠ACB=30°，∴HM=12CM=1，∵AM=5，⊙M与线段AC有交点，∴r的取值范围是1≤r≤5，故答案为：1≤r ≤5．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 和⊙O 相交⇔d <r ；直线l 和⊙O 相切⇔d =r ；直线l 和⊙O 相离⇔d >r ．【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】1(2022秋·九年级单元测试)设⊙O 的半径为R ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若d 、R 是方程x 2-6x+m =0的两根，则直线l 与⊙O 相切时，m 的值为．【答案】9【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据Δ=0即可求出m 的值．【详解】解：∵d 、R 是方程x 2-6x +m =0的两个根，且直线l 与⊙O 相切，∴d =R ，∴方程有两个相等的实根，∴Δ=b 2-4ac =-6 2-4m =36-4m =0，解得，m =9，故答案为：9．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．【变式训练】1.(2022春·九年级课时练习)在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为m ,0 ，半径是2．如果⊙M 与y 轴相切，那么m =；如果⊙M 与y 轴相交，那么m 的取值范围是；如果⊙M 与y 轴相离，那么m 的取值范围是．【答案】±2-2<m <2m <-2或m >2【分析】根据y 轴与圆的位置关系，推出圆心到y 轴的距离和半径之间的关系即可得解．【详解】解：∵⊙M 与y 轴相切，∴|m |=r =2；即m =±2；∴如果⊙M 与y 轴相交，那么m 的取值范围是-2<m <2；如果⊙M 与y 轴相离，那么m 的取值范围是m <-2或m >2．故答案为：±2；-2<m <2；m <-2或m >2．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键．2.(2023·陕西·模拟预测)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，E 是AD 上一定点，AB =3,BC =6,AD =8,AE =2．点P 是BC 上一个动点，以P 为圆心，PC 为半径作⊙P ．若⊙P 与以E 为圆心，1为半径的⊙E 有公共点，且⊙P 与线段AD 只有一个交点，则PC 长度的取值范围是．【答案】154<PC ≤4或PC =3【分析】根据题意可得PC 的最小值为圆P 与AD 相切，切点为M ；PC 最大值为圆P 与圆E 内切，切点为Q ，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．【详解】解：根据题意可知：PC 的最小值为圆P 与AD 相切，切点为M ，如图所示：∴PM ⊥AD ，在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠ABC =∠A =90°，∴四边形ABPM 是矩形，∴PM =AB =PC =3，PC 最大值为圆P 与圆E 内切，切点为Q ，∴P ′C =P ′Q =P ′E +EQ =3+1=4，当PC =PA 时，此时圆P 与线段AD 开始有2个交点，不符合题意，设PC =PA =x ，则BP =BC -PC =6-x ,AB =3，∴6-x 2+9=x 2，∴x =154，则PC 长度的取值范围是154<PC ≤4或PC =3．故答案为：154<PC ≤4或PC =3．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．【考点四判断或补全使直线为切线的条件】1(2023·江苏·九年级假期作业)如图，已知∠AOB =30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm为半径作⊙M ，当OM =cm 时，⊙M 与OA 相切.【答案】4【分析】过M 作MN ⊥OA 于点N ，此时以MN 为半径的圆⊙M 与OA 相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM 的长.【详解】解：如图，过M 作MN ⊥OA 于点N ，∵MN=2cm，∠AOB=30°，∴OM=4cm，则当OM=4cm时，⊙M与OA相切.故答案为4.【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.【变式训练】1.(2022春·九年级课时练习)如图，AB为⊙O的直径，AB=1cm,BC=2cm，当AC=cm时，直线AC与⊙O相切．【答案】1【分析】直线AC与⊙O相切时，∠BAC=90°，根据勾股定理即可求出AC．【详解】解：当∠BAC=90°时，直线AC与⊙O相切，∴AC=BC2+AB2=(2)2+12=1(cm)，故答案为：1．【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．2.(2022春·九年级课时练习)如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=12180°-∠AOB=30°，∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【考点五证明某直线是圆的切线】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若∠BCD=60°，直径AB=10，求线段BC的长．【答案】(1)见解析(2)53【分析】(1)连接OD,BD，根据平行线的性质可得∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD，通过证明△ODC≌△OBC SAS，得出∠ODC=∠OBC，即可求证；(2)易得OB=OD=5，根据△COD≌△COB，得出∠OCD=∠OCB=30°，则OC=2OB=10，根据勾股定理求解即可．【详解】(1)证明：连接OD,BD，如图所示：∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∵AD∥OC，∴∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD，∴∠COD=∠COB．∵OD=OB,OC=OC，∴△ODC≌△OBC SAS．∴∠ODC=∠OBC，∵CB是圆O的切线且OB为半径，∴∠CBO=90°．∴∠CDO=90°．∴OD⊥CD．又∵OD是⊙O半径，∴CD为圆O的切线．(2)解：∵AB是直径，且AB=10，∴OB=OD=5据(1)知，△COD≌△COB，又∠BCD=60°，∴∠OCD=∠OCB=30°，∴在Rt△OBC中：OC=2OB=10，BC=OC2-OB2=102-52=53．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用．【变式训练】1.(2023秋·云南昭通·九年级统考期末)如图，⊙O的半径为2，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD=CD，∠A=30°．(1)求证：直线AC是⊙O的切线；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)33【分析】(1)首先根据AD=CD，∠A=30°得到∠CDB=60°，进而得到∠OCD=60°，然后求出∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°，即可证明；(2)首先得到△DCO是等边三角形，然后作CH⊥BD于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到DH=1，进而利用勾股定理求出CH=CD2-DH2=22-12=3，得到AB=AO+OB=4+2=6，最后利用三角形面积公式求解即可．【详解】(1)证明：如图所示，连接OC∵AD=CD，∠A=30°∴∠ACD=30°∴∠CDB=60°∵OD=OC∴∠OCD=60°∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°∵OC是半径∴直线AC是⊙O的切线；(2)由(1)得△DCO是等边三角形，CD=AD=OD=2作CH⊥BD于点H，则DH=1∴CH=CD2-DH2=22-12=3在△ACO中，∠ACO=90°，∠A=30°∴AO=2OC=4∴AB=AO+OB=4+2=6∴S△ABC=12AB⋅CH=12×6×3=33．【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交AF于点F，∠BAF+∠DCE=90°．(1)求证：AF是圆O的切线；(2)点G在CE上，且BC=CD=CG，连接DG，DG=2，AB=5，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】(1)根据四边形ABCD内接于圆O和∠DCE+∠BCD=180°得出∠BAD=∠DCE，再根据∠BAF+∠DCE=90°得出∠FAD=90°即可证明；(2)连接OB，OC，BD，记OC与BD相交于点N，根据BC=CD用垂径定理得出BN=DN，再根据BC =CG，OA=OD运用三角形中位线得出CN,ON即可解答；【详解】(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠DCE+∠BCD=180°∴∠BAD=∠DCE∵∠BAF+∠DCE=90°∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°又∵AD是圆O的直径∴AF是圆O的切线(2)如图，连接OB，OC，BD，记OC与BD相交于点N∵BC =CD ，∴BC =CD∴∠BOC =∠COD ，又OB =OD∴BN =DN∵BC =CG ，∴CN =12DG =12×2=1又∵OA =OD ，∴ON =12AB =12×5=2.5∴OC =ON +CN =3.5∴AD =2OC =7．【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟练掌握圆部分的这些知识点．【考点六切线的性质定理】1(2023·浙江衢州·统考二模)如图，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P ，C 为切点，若∠P =30°，⊙O 的半径为3，则PB 的长为．【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到∠OCP =90°，再根据30°所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CP ，即∠OCP =90°，又∠P =30°，⊙O 的半径为3，∴OP =2CO =6，∴PB =6-3=3．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．【变式训练】1.(2022秋·福建福州·九年级统考期中)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 外的一点，且BC 是⊙O 的切线，AC交⊙O于点D，若∠C=60°，则∠A=°．【答案】30【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∵∠C=60°，∴∠A=90°-60°=30°，故答案为：30．【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．2.(2023·湖南永州·校考二模)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=32°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是．【答案】26°/26度【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠PAB=90°，∵∠B=12∠AOC，∠ABC=32°，∴∠AOC=64°，∴∠P=180°-∠PAB-∠AOC=26°．故答案为：26°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．【考点七切线的性质与判定的综合应用】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC=BE．(1)求证：AB 是⊙O 的切线．(2)若AE =24，BE =15，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)⊙O 的半径为10．【分析】(1)连接OE ，连接BO ，通过证明△BOE ≌△BOC SSS 即可进行求证；(2)连接OE ，则BC =BE =15，AB =BE +AE =39根据勾股定理求出AC =AB 2-BC 2=36，设⊙O 的半径为r ，根据OA 2=OE 2+AE 2，列出方程求解即可．【详解】(1)证明：如图，连接OE ，连接BO ，在△OBC 和△OBE 中，OE =OCBE =BC BO =BO，∴△BOE ≌△BOC SSS ，∴∠BEO =∠BCO ，∵∠BCO =90°，∴∠BEO =90°，∵OE 是半径，∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：如图，连接OE ，∵BE =15，AE =24，∴BC =BE =15，AB =BE +AE =15+24=39，∴AC =AB 2-BC 2=392-152=36，设⊙O 的半径为r ，则OE =OC =r ，OA =36-r ，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴36-r 2=r 2+242，解得：r =10，∴⊙O 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【变式训练】1.(2023·河南周口·校联考三模)如图，点E 是以AB 为直径的⊙O 外一点，点C 是⊙O 上一点，EB 是⊙O 的切线，EC ⊥OC，连接AC 并延长交BE 的延长线于点F ．(1)求证：点E 是BF 的中点；(2)若EC =OC ，⊙O 的半径为3，求CF 的长．【答案】(1)见解析(2)32【分析】(1)连接BC，证明EC是⊙O的切线．根据EB是⊙O的切线，可得EC=EB，进而证明EF= EC，等量代换可得EF=EB，即可得证；(2)根据EC=OC，可得四边形OCEB是正方形，则△ABF是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【详解】(1)证明：连接BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵EC⊥OC，∴EC是⊙O的切线．∵EB是⊙O的切线，∴EC=EB，∴∠ECB=∠EBC．∵∠ECB+∠FCE=90°，∠EBC+∠F=90°，∴∠FCE=∠F，∴EF=EC，∴EF=EB，∴点E是BF的中点．(2)解：若EC=OC，由(1)得，四边形OCEB是正方形，∴△ABF是等腰直角三角形．∵⊙O半径为3，∴AB=6，∴AF=2AB=62，∵BC⊥AF∴CF=12AF=32．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．2.(2023·云南昆明·统考二模)如图，在△ABC中，O为AB上一点，以点O为圆心，OB为半径作半圆，与BC相切于点B，过点A作AD⊥CO交CO的延长线于点D，且∠AOD=∠CAD．(1)求证：AC是半⊙O的切线；(2)若CO=AO，BC=4，求半⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)433【分析】(1)过点O作OF⊥AC于点F，由切线的性质知∠B=90°，∠BOC+∠BCO=90°，又∠CAD +∠ACO=90°，AOD=∠CAD，∠AOD=∠BOC，推证∠BCO=∠ACO，由角平分线性质定理得OF =OB，结论得证；(2)由切线长定理知CF=BC=4，由等腰三角形性质知AF=CF=4，∠OCA=∠OAC，进一步推证=433．∠OAC=30°，由直角三角形性质，求解圆半径为OF=AF3【详解】(1)证明：过点O作OF⊥AC于点F．∵BC为半⊙O切线，∴OB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°．∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠CAD+∠ACO=90°．∵∠AOD=∠CAD，∠AOD=∠BOC∴∠BOC=∠CAD，∴∠BCO=∠ACO，∴CO平分∠ACB．∵OB⊥BC，OF⊥AC，∴OF=OB，∴OF是半⊙O的半径．∵OF⊥AC，∴AC是半⊙O的切线．(2)∵BC，AC是半⊙O的切线，BC=4，∴CF=BC=4．∵CO=AO，OF⊥AC，∴AF=CF=4，∠OCA=∠OAC.∵∠BCO=∠OCA,∴∠OCA=∠OAC=∠BCO．∵∠B=90°，∴∠BCA+∠OAC=90°，即∠OCA+∠OAC+∠BCO=90°，∴∠OAC=30°．在Rt△OFA中，OA=2OF，∴AF=OA2-OF2=3OF，∴⊙O 的半径为OF=AF3=43=433．【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．3.(2023·全国·九年级专题练习)如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA=∠CBD．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)连接OC，根据角平分线求得∠ABC=∠CBD，由等边对等角可得∠PCA=∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO=90°，即可得证；(2)连接OC，设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，即可求解．【详解】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)解：连接OC，如图，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1(2023·甘肃陇南·校考一模)如图，⊙O与∠A=90°的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若BE=10，CF=3，则⊙O的半径为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【分析】连接OD，OF，首先根据切线长定理得到BD=BE=10，CE=CF=3，然后证明出四边形ADOF是正方形，然后设AD=AF=x，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接OD，OF，∵AC、AB、CB与⊙O相切，∴BD=BE=10，CE=CF=3，AD=AF，OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO=∠AFO=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形ADOF是矩形，∴矩形ADOF是正方形，∴AD=OD，设AD=AF=x，Rt△ABC中，AB=BD+AD=x+10，AC=CF+AF=x=3，BC=BE+CE=13，由勾股定理得，AB2+AC2=BC2，∴10+x2=132，2+x+3∴x1=2，x2=-15(舍去)，∴OD=2，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练】1.(2022秋·山东淄博·九年级统考期末)如图，△ABC中，∠C=90°，圆O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．若AB=5，AC=3，则OD=．【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形OECD是矩形，可得OD=CE，再由切线长定理可得AF=AE, BF=BD,CD=CE，设OD=CD=CE=r，可得AF=AE=3-r，BF=BD=4-r，可得到关于r的方程，即可求解．【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∴OE⊥AC,OD⊥BC，∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，∴OD=CE，∵圆O是△ABC的内切圆，∴AF=AE,BF=BD,CD=CE，设OD=CD=CE=r，∵AB=5，AC=3，∴BC=AB2-AC2=4，AF=AE=3-r∴BF=BD=4-r，∵AF+BF=5，∴3-r+4-r=5，解得：r=1，即OD=1．故答案为：1【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．2.(2023秋·陕西延安·九年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F．(1)求⊙O的半径．(2)若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．【答案】(1)1(2)OQ=52【分析】(1)先利用勾股定理求得AB=5，利用三角形面积公式S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，即可求解；(2)证明四边形ODCE为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．【详解】(1)解：如图，连接OF，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r．∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=BC2+AC2=5．∵S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，∴12×3×4=12×3r+12×4r+12×5r，解得r=1，∴⊙O的半径为1；(2)解：∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF．OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．∴四边形ODCE为正方形，∵OD=OE，∴四边形ODCE为正方形，∴CD=CE=r=1，∴BD=BF=2．∵Q是Rt△ABC的外心，∴QB=QA=12AB=52，∴FQ=QB-BF=12．在Rt△OFQ中，OF2+FQ2=OQ2，即12+122=OQ2，解得OQ=52(负值舍去)．【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【过关检测】一、单选题1.(2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末)在平面直角坐标系中，以点-3,4为圆心，3为半径的圆()A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相切C.与x轴相离，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离【答案】B【分析】由已知点-3,4可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d 为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．【详解】解：点-3,4到x轴的距离为4，大于半径3，点-3,4到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：B．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．2.(2022秋·福建福州·九年级统考期中)《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形(内切圆)的直径是多少？()A.3步B.5步C.6步D.8步【答案】C【分析】设三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r，由S△ABC=12(AB+BC+CA)⋅r可求得半径，则可求得直径．【详解】解：设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=7，BC=24，∴AB=AC2+BC2=72+242=25，设内切圆的半径为r，则S△ABC=12(AB+BC+CA)∙r，∴12AC⋅BC=12(AB+BC+CA)⋅r，即12×7×24=12×(7+24+25)×r，解得r=3，∴内切圆的直径是6步，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．3.(2023·全国·九年级专题练习)如图，在⊙O中，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°【答案】A【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，利用圆周角定理求出∠COB的度数，即可求出∠E的度数．【详解】解：如图所示，连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠CDB=25°，∴∠COB=2∠CDB=50°，∴∠E=90°-∠COE=40°．故选：A．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．4.(2023·广东深圳·校考一模)如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与⊙O相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，若∠APC=36°，则∠CAE的度数是()A.27°B.18°C.30°D.36°【答案】A【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知OC∥AE，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可解答．【详解】解：连接OC，∵PE与⊙O相切于C，∴半径OC⊥PE，∴∠OCP=90°，∵AE⊥PE，∴∠AEP=90°，∴OC∥AE，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO=12∠PAE，∵∠APC=36°，∴∠PAE=90°-∠P=90°-36°=54°，∴∠EAC=12∠PAE=12×54°=27°．故选：A．【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．5.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，CD=3，则线段AB的长是()A.23B.43C.3D.6【答案】D【分析】连接OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB，根据角平分线的定义得到∠OBD=∠CBD，根据平行线的性质得到BC⊥AC，设OD=OB=x，则AO=2x，AB=3x，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OD，∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC，∵OD=OB，∴OBD=ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BC，∴BC⊥AC，∴∠ADO=∠C=90°，∵∠A=30°，∴AO=2OD，设OD=OB=x，则AO=2x，AB=3x，∴AD=3x，AC=332x，∴CD=AC-AD=332x-3x=3，∴x=2，∴AB=3x=6．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题6.(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，BD是⊙O的切线，∠BCE=30°，则∠D=．【答案】30°/30度【分析】连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据切线的性质得到∠OBD=90°，于是得到∠D= 90°-60°=30°．【详解】如图，连接OB，∵∠BCE=30°，∴∠BOD=2∠C=60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，故答案为：30°．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握圆周角定理和切线性质．7.(2023·浙江宁波·校联考一模)如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B=50°，则∠DAE=．【答案】15°/15度【分析】如图，连接OA，OC，求解∠AOC=360°-2×90°-50°=130°，可得∠AEC=12∠AOC=65°，证明∠D=∠B=50°，再利用三角形的外角和的性质可得答案．【详解】解：如图，连接OA，OC，∵▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，∴∠OAB=∠OCB=90°，而∠B=50°，∴∠AOC=360°-2×90°-50°=130°，∴∠AEC=12∠AOC=65°，∵▱ABCD，∴∠D=∠B=50°，∴∠DAE=∠AEC-∠D=65°-50°=15°；故答案为：15°．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键．8.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．【答案】1<d<5/5>d>1【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，∴OP=3，∵⊙P的半径为2，∴AP=BP=2，∴OA=1，OB=5，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，∴平移的距离d的取值范围是1<d<5，故答案为：1<d<5．【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为．【答案】16cm/16厘米【分析】根据题意，结合切线长定理得到相应线段长，再由三角形周长定义求解即可得到答案．【详解】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴由切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EC=EB，∵P到⊙O的切线长为8cm，PA=PB=8cm，∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm，∴△PDE的周长为16cm，故答案为：16cm．【点睛】本题考查求三角形周长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．10.(2023秋·河南漯河·九年级统考期末)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．【答案】1【分析】先根据勾股定理求出AB=3，由切线长定理得BD=BE，AD=AF，CF=CE，设OD=OF= AF=AD=x，则CF=CE=4-x，BD=BE=3-x，然后根据CE+BE=5，求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠A=90°，BC=5，CA=4，∴AB=BC2-AC2=3，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD=BE，AD=AF，CF=CE，如图，连接OD，OF，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OD=OF，∴∠ODA=∠A=∠OFA=90°，∴四边形ADOF是正方形，设OD=OF=AF=AD=x，则CF=CE=4-x，BD=BE=3-x，∵CE+BE=5，∴4-x+3-x=5，∴x=1，则⊙O的半径为1．故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．三、解答题11.(2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作ED⊥AE交⊙O于点D，若AD平分∠BAC．。
高考直线与圆知识点
高考直线与圆知识点直线与圆是高中数学中重要的几何概念之一，也是高考中常考的知识点。
了解直线和圆的性质，能够灵活运用相关定理和公式，对解题和理解几何问题有很大帮助。
本文将介绍高考直线与圆的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握相关内容。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中与$x$轴正方向夹角的正切值。
设直线L的斜率为$k$，则有斜率公式：\[k = \tan \theta = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直线上的两个点。
直线的斜率决定了其在平面直角坐标系中的倾斜程度。
二、直线的方程直线的方程可以由直线上的一点和其斜率求得。
直线的一般方程形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$、$C$为常数。
而直线的斜截式方程为$y = kx + b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。
根据已知信息，可以通过这两种形式的方程来确定直线的位置和性质。
三、圆的方程圆的方程可以用不同的方式表示。
设圆的圆心坐标为$(a, b)$，半径为$r$，则有以下三种常见的圆的方程形式：标准方程、一般方程和截距方程。
1. 标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$2. 一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$D$、$E$、$F$为常数。
3. 截距方程：$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$，其中$a$、$b$分别是$x$轴和$y$轴上的截距。
四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系主要有以下三种情况：- 直线与圆相离，即直线不交圆。
- 直线与圆相切，即直线与圆只有一个交点。
- 直线与圆相交，即直线与圆有两个交点。
2. 判断直线和圆的位置关系的方法有很多，常用的是判别式法和距离关系法。
专题09直线与圆(热点难点突破)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破
1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2B ．4 2C ．6D ．210【答案】C 【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)， |AB |＝|AC |2－r 2＝－4－2＋－1－2－4＝6.2．已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2B ．± 3 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m24⇒m ＝± 3. 3．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 24．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0. 又因为光线与圆(x ＋3) 2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.5．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19 D.496．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．3 5 B ．4 5 C ．57D ．67【答案】D 【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝ 6.因为圆心到BD 的距离为－2＋－2＝2，所以|BD |＝232－22＝27.则四边形ABCD 的面积为S ＝12×|AC |×|BD |＝12×6×27＝67.故选D.7．若直线l ： ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10【答案】B 【解析】由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0. 因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方， 而a －2＋b －2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.8．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件． 9．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，22) C ．[2，＋∞) D ．[3，22)【答案】B 【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.②综①②得2≤k ＜2 2.10．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________. 【答案】± 211．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．【答案】x 2＋(y －1)2＝10【解析】设所求圆的半径为r ，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1， 故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.12．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)13．设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|PA |的最小值是________． 【答案】2【解析】圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝5，所以|PA |＝|PC |2－1≥d 2－1＝2. 14．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2⇒a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 15．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3).2分 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.4分又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，5分 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，8分点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134.10分又|OA |＝32＋52＝34，∴S ＝12|OA |d ＝12.12分16．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分 (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分 17．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .18．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程．解：(1)将圆C：x2＋y2＋4 x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x－3y＋3－2＝0的距离d＝41＋3＝2＝r，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.。
专题09 直线与圆教学案-2018年高考数学理考纲解读与热
专题9 直线与圆【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长．多为B 级或C 级要求． 【重点、难点剖析】 1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在且l 1与l 2不重合时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝－1.特别地，当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l 1⊥l 2.2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2；对于二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF ＞0.3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化． 5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值． 【题型示例】题型1、直线和圆的方程【例1】 (2017²天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为____________． 解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°， 得cos 120°＝－11³1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1【变式探究】【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。
最新-2018高考数学热点集锦 直线和圆、离心率 精品
直线和圆、离心率【两年真题重温】【2018⋅新课标全国理，7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A、B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ( )A．2 D．3【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的性质及简单的直线与双曲线的位置关系．由题知，AB是双曲线的通径，故||AB=22ba，故22ba=4ab=，∴e=B．【2018新课标全国文，4】椭圆221168x y+=的离心率为( )A．13 B．12 C． D．2【答案】D（A（B（C）（D）【答案】D故圆的方程为22 2. x y+=【命题意图猜想】【最新考纲解读】【回归课本整合】【方法技巧提炼】1.如何求解圆的切线方程答案：4解析：可得圆方程是22(3)(4)5x y-+-=，半径为，如图，5OC==，则有OQ==因为,OQ CQ QA OC⊥⊥,则由等面积可知：2,QA OC OQ QC QA⋅=⋅⇒=则24PQ AQ==.答案：22(1)18x y++=解析：设圆心坐标为(,)a b，因与点(21)P-，关于直线1y x=+对称，则有11102112122ba ab b a -⎧⨯=-⎪=⎧⎪--⇒⎨⎨=-+-+⎩⎪=+⎪⎩，.另外，求解离心率的范围也是一个热点题型，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.例3已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 答案：A解析：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.如图，由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则,c OF MF ==利用平面几何折线段大x另外，求解离心率的范围也是一个热点题型，关键是善于发掘题目的隐含条件，借助双曲线的几何性质构造关系，从而确定不等关系式，进而得到关于离心率的不等式，最后求其范围.例4设双曲线12222=-byax)0(ba<<的半焦距为c，直线l过)0,(a、),0(b两点，且原将22acb-=代入，平方后整理，得316)(1622222=+⋅-caca．令xca=22，则【考场经验分享】【新题预测演练】1.【唐山市2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试】 抛物线22y px =的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1, 2).若点F 恰为ABC ∆的重心，则直线BC 的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0 (C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0 [答案]B[解析]因A 在抛物线上，且坐标为(1, 2)，故有2112222, 2.(1,0),(,),(,),p p F A x y B x y =∴=∴设由重心坐标公式可知：【答案】D4．【北京市朝阳区2018-2018学年度高三年级第一学期期末统一考试】设直线10x my--=与圆22(1)(2)4x y-+-=相交于A，B两点，且弦AB的长为则实数m的值是 .【答案】6.【保定市2018—2018学年度第一学期高三期末调研考试】若双曲线22221(0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F,抛物线24y bx=的焦点恰好为C．相交 D．不能确定【答案】B【解析】224x y +=, 是圆心为原点,半径为2的圆,∴OP 垂直平分线到原点的距离为1∴OP 垂直平分线就是由221x y +=的切线组成,∴OP 垂直平分线所组成的图形就是圆221x y +=的圆外和圆上部分,a y x ≥+就是以(0,±a),(±a,0)为四个顶点的正方形和其外部要使x ²+y ²=1圆外和圆上部分被 正方形和其外部部分覆盖取其反面,就是x ²+y ²=1的内部覆盖了x y a+=内部结合图形,只要正方形四个顶点满足要求即可∴||01a ±+≤,0||1a +±≤,解得1≤a.A．相交B ．相离C ．相切D ．不确定答案：C解析：左焦点F 为(-c,0),渐近线方程为b y xa =即0bx ay -=,∴圆心到直线的距离为b=，所以相切.12.【山东省枣庄市2018届高三上学期期末测试试题】13.【福州市2018届第一学期期末高三质检】直线y=与椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）交于A B、两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为A．B．C1D．4-【答案】C【解析】设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得：O F2=OA=OB=O F1=c，又y=得223AOFπ∠=, 13AOFπ∠=．∴2||AF=，1||AF c=．由椭圆定义知，12||||2AF AF a+=,∴2c a=，1cea∴=．15.【山西省2018届高三第二次四校联考】若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围为A ．)33,0()0,33( -B ．)33,33(-C ．]33,33[-D ．),33()33,(+∞--∞ 【答案】A16.[2018·福建卷]设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于A.或B.或2C.或2D.或【答案】 A【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝c ，|PF 2|＝c ，且|PF 1|>|PF 2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝＝；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝c ，离心率e ＝＝，故选A.18.【2018年长春市高中毕业班第一次调研测试】设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足1212P F P F F F +=,）A.B.2 D.1 【答案】A 19.[唐山市2018—2018学年度高三年级第一学期期末考试]椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与椭圆的一个交点为P ，若1245F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e = . 【答案】1【解析】90,90, BAO BOF BAO BOF ∠+∠=︒∴∠=︒-∠sin cos,cBAO BFOa ∴∠=∠=22242,310 b c a e e+=∴-+=()()22355 0,1,,0,1,e e e e--∈∴=∈∴=【答案】2【解析】抛物线24y x=的焦点为(1,0)F，其准线为 1.x=-过点F且与抛物线的准线相切，根据抛物线的定义可知圆心必落在抛物线上. 又(1,0)F、)4,4(M在圆上，并且M点在抛物线上，因直线FM的垂直平分线过圆心，故此时问题转化为求直线FM与抛物线的交点个数，即为存在几个圆，显然直线FM 的垂直平分线与抛物线有2个交点，故满足条件的圆有2个.【解析】利用弦中点与圆心的连线和弦MN 垂直可得，101,=2.13MN MN k k -⨯=-∴-故弦MN 所在直线方程为12(1),y x -=-即210x y --=.【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝＝5;图1－428.（2018届北京东城区普通高中示范校高三综合练习(一)，18）。
最新-2018年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第4讲
第4讲 直线、圆的位置关系【2018年高考会这样考】1．考查直线与圆相交、相切的问题．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．考查与圆有关的量的计算，如半径、面积、弦长的计算． 【复习指导】1．会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系．2．掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．基础梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d ＜r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d ＞r ⇔相离．2．圆与圆的位置关系的判定设⊙C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， ⊙C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0)，则有： |C 1C 2|＞r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2相离； |C 1C 2|＝r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2外切；|r 1－r 2|＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2相交； |C 1C 2|＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔⊙C 1与⊙C 2内切； |C 1C 2|＜|r 1－r 2|⇔⊙C 1与⊙C 2内含．一条规律过圆外一点M 可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可． 一个指导直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法． 两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝ 1＋k 2[ x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )． A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5＜ 6.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心． 答案 B2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )． A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 答案 D3．(2018·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )．A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析 由已知得圆的圆心为(－1,2)，则3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 答案 B4．(2018·东北三校联考)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )． A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析 圆O 1的圆心为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2，故两圆相交． 答案 B5．(2018·沈阳月考)直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. 解析如图，取AB 中点C ， 连接OC 、OA .则OC ⊥AB ，|OA |＝22， |OC |＝|0－2×0＋5|12＋ －22＝5，∴|AC |＝8－5＝3， ∴|AB |＝2|AC |＝2 3. 答案 2 3考向一 直线与圆的位置关系的判定及应用【例1】►(2018·东莞模拟)若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )． A ．[－3，3] B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 [审题视点] 设出直线l 的点斜式方程，构造圆心到直线距离与半径的关系的不等式，从而求解．解析 设直线l 的方程为：y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0 则：|2k －4k |1＋k2≤1.解得：k 2≤13，即－33≤k ≤33.答案 C已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．【训练1】 (2018·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m 1＋1 －0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B答案 B考向二 圆与圆的位置关系的判定及应用【例2】►若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________. [审题视点] 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形解得．解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a ＞0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－ 3 2＝1⇒a ＝1. 答案 1当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】 (2018·济南模拟)两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝ 2＋1 2＋ 1＋1 2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线，故选B. 答案 B考向三 直线与圆的综合问题【例3】►(2018·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．[审题视点] 第(1)问利用平面几何的知识解决；第(2)问设点Q 的坐标，从而确定点A 、B 的坐标与AB 的直线方程．(1)解 设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝232，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明 设点Q (q,0)，由几何性质，可知A 、B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错． 【训练3】 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． 解(1)如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋ －1 2＝2，得k ＝34.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.当k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ， 即CD →·PD →＝0，∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0， 化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.难点突破20——高考中与圆交汇问题的求解从近两年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高了，因此也就成了高考命题的一个新热点．由于圆的特有性质，使其具有很强的交汇性，在高考中圆可以直接或间接地综合出现在许多问题之中，复习备考时值得重视． 一、圆与集合的交汇【示例】► (2018·江苏)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ，y ⎪⎪⎪m2≤ x －2 2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．二、圆与概率的交汇【示例】► (2018·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．三、圆与圆锥曲线交汇【示例】► (2018·陕西)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )．A.12B ．1C ．2D ．4。
考点23 直线与圆-2018届高考数学文30个黄金考点精析精
2018届高考数学30个黄金考点精析精训考点23 直线与圆 【考点剖析】1.最新考试说明： 1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判 断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.命题方向预测：（1）两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.（3）直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，近几年多有与圆锥曲线结合出现在综合性较强的解答题. 3.课本结论总结： (1).直线的概念与方程①概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)；②直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)；③位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；④距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． (2)．圆的概念与方程①标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)；②直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； ③圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. (3)确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 4.名师二级结论：（1）与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. （2）对称 ①点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． ②点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.③直线关于直线的对称：10若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；20若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线． （3）计算直线被圆截得的弦长的常用方法 ①几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．②代数方法运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝1＋k2[x A ＋x B2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． (4)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(5)过圆上一点只能作圆的一条切线，这条切线垂直过切点的半径；过圆C 外一个P 可作圆的两条切线，在使用直线的斜率为参数这类圆的切线方程时要注意斜率不存在的情况，如果切点是A ，B ，则点A ，B 在以线段CP 为直径的圆D 上，从而圆C ，D 的方程中消掉二次项得到的方程就是切点弦AB 的方程． 5.课本经典习题：(1) 新课标A 版必修二第127页，例2 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54,求直线l 的方程.【答案】092=++y x ,或032=+-y x根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线的距离513322=+-+=k k d ，即023*******=--⇒+=-k k k k解得:2,,21=-=k or k ，所以,所求直线l 有两条,它们的方程分别为: 092=++y x ,或032=+-y x .【经典理由】此例很好地融合了直线与圆的有关知识,而直线与圆的位置关系是高考命题的热点． (2) 新课标人教A 版必修二第133页，B 组第2题:已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P 在圆422=+y x 上运动,求222PC PB PA ++的最大值和最小值. 【答案】: 最大值为88,最小值为72.【经典理由】在几何中求最值,通常可直接应用几何性质来求,也可转化为函数的最值来求解;此题很好地将圆和最值问题联系在一起,这也是高考命题的热点． 6.考点交汇展示：(1)直线、圆与不等式的交汇1.【2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初】若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13m n+ 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】B【解析】圆心坐标为()3,1--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=，32m n +=，所以()1311332m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1962n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19622n m m n ⎛⎫≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭6=，当且仅当9n mm n=时取等号，因此最小值为6，故选B ． (2) 直线、圆与向量的交汇【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-(3) 直线、圆与圆锥曲线的交汇【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A【考点分类】热点1 直线的方程与位置关系1.【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】直线12l l ⊥的充要条件是()()20300a a a a a a ++=∴+=∴= 或3a =- 。
江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2018届高三数学《直线和圆》重点难点高频考点串讲一
１江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学《直线和圆》重点难点高频考点串讲一1已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时,必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是 （ ）（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：具有性质P 的集合A 有{3},{1,5},{1,3,,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7个. 考点：集合的特殊子集.2．集合{,11P x x R x =∈-<},{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤ 【答案】C 【解析】试题分析：{02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅,则12a -≥或10a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
故选C 。
考点：绝对值不等式的解法,集合的运算。
点评：中档题,绝对值不等式的解法,一般围绕“去绝对值符号”,方法有：平方法、分类讨论法,有时利用绝对值的“几何性质”,会简洁些。
3．设甲：函数22()log ()f x x bx c =++的值域为R ,乙：函数2())g x x bx c =++有四个单调区间,那么甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意,由于甲：函数22()log ()f x x bx c =++的值域为R ,则说明二次函数的函数值最小值为小于等于零,则可知224c-04c-04b b ≤⇔≤,而对于乙：函数2())g x x bxc =++有四个单调区间,说明对称轴为大于零,最小值大于等于零,22-b 4c-000,4c-02b b b ≤>⇔<≤，,故可知结论能推出条件,反之不成立故答案为B. 考点：充分条件点评：主要是考查了充分条件的判定的运用,属于基础题。
专题10直线与圆-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(浙江专版)(Word版含解析)
【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等学科素养2016 13 圆的标准方程简单圆的标准方程、圆心、半径等数学计算2014 5 直线与圆相交简单直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用数学计算2012 3 简易逻辑关系简单两条直线的位置关系数学计算16 直线与圆的最值问题一般点到直线的距离公式、直线与直线的距离公式数学计算2011 12 两条直线的位置关系简单两条直线垂直的充要条件数学计算2009 9 数形结合一般直线与圆的位置关系数学计算【应试策略】1.已知点A（-3，-1），B（1，5），直线l过线段AB的中点，且在x轴上的截距是它在y轴上的截距的2倍.求直线l的方程．【答案】230x y+-=【应试策略】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3. 直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．2.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A. 18 B. 6 C. 52 D. 42【答案】C【应试策略】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.3.直线l 经过点(5,5)P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，求l 的方程．【答案】250x y --=或250x y -+=251k=+解得2k =或12k =．代入所设l 的方程化简为：250x y --=或250x y -+=． 【应试策略】1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB ∆中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长222l R d =-. 方法二、设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y ，则弦长212122111PQ x x k y y k=-+=-+. 【真题展示】1.【2012年.浙江卷.理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．2.【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8- 【答案】B3.【2009年.浙江卷.文9】已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 二、填空题4.【2012年.浙江卷.理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________． 【答案】945.【2013年.浙江卷.文13】直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________． 【答案】5【解析】圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距离22521d ==+可知弦长2225545l =-()=.6.【2011年.浙江卷.文12】若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______【答案】1 【解析】：121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴= 7.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--，5 【解析】试题分析：由题意，知22a a =+，12a =-或，当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．【对症下药】1、两圆公共弦长的求解方法点拨：当两圆相交求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时，把两圆方程相减消去二次项，所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆的方程和这条直线方程就可以求出公共弦长. 2、圆的中点弦问题的解法说明：解法1利用根与系数的关系求解，是一种通法，但运算量很大；解法2用的是点差法，利用弦端点坐标满足曲线方程得到两个关系式，把两个等式相减直接得出弦的中点坐标和斜率的关系，也是一种常用的方法；解法3充分运用圆这种特殊曲线的几何性质解题，从而使解题过程大大简化，在解答解析几何问题中，如能恰当运用几何图形的几何性质，常常可以简化解题过程. 3、与圆有关的最值问题的解题策略点拨：与圆上点(),x y 有关的最值问题的常见类型及解法： （1）形如y bt x a-=-的最值转化为过点(),a b 和(),x y 的直线的斜率的最值. （2）形如t ax by =+的最值，转化为动直线截距的最值.（3）形如()()22t x a y b =-+-的最值，转化为点(),x y 与(),a b 的距离的平方的最值.【考题预测】1.设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C 的面积为 .【答案】4π2.已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ）（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】 试题分析：3.已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m ≤或2m ≥B. 28m ≤≤C. 210m -≤≤D. 2m ≤-或8m ≥ 【答案】C【解析】4.过点()2,1作圆()()22124x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 .【答案】2【解析】如下图所示，圆的圆心坐标为()1,2A ，点()2,1P ，过点P 作圆的弦BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，则222224BC AC AD AD=-=-，且AD AP ≤，当点D 与点P 重合时，AD 取最大值，此时BC 取最小值，且()()22max 21122AD AP ==-+-=，因此()2min 24222BC =-=.yxOPBADC【综合点评】数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知()221125x y -+=， 22240x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A.5 B. 15 C. 1215D. 115 【答案】B。
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1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
【答案】C 【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A(－4，－1)，
|AB|＝|AC|2－r 2＝ －4－2 2＋ －1－1 2－4＝6.
2．已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14
x 2的准线相切，则m ＝( ) A ．±2 2 B ．± 3 C. 2 D. 3
【答案】B 【解析】抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m 24
⇒m ＝± 3. 3．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( ) A. 2 B ．2 2
C ．3 2
D ．4 2
4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－23
C ．－54或－45
D ．－43或－34
【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0.
又因为光线与圆(x ＋3) 2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1
＝1， 整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34
，故选D. 5．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b
∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b
2的最小值为( ) A ．1 B ．3
C.19
D.49
6．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．3 5 B ．4 5
C ．57
D ．67
【答案】D 【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC|＝2×3＝6.因为圆心到BD 的距离为 2－1 2＋ 2－1 2＝2，所以|BD|＝。