江苏省徐州市2021届高三9月学情调研考试数学试题及答案
2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理【含答案】
2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范圃：必修1～5，选修2－1，2－2，2－3。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z＝2－i，则|z2－z|＝A.3B.2C.10D.262.若集合A＝{x|y＝log3(x2－3x－18)}，B＝{－5，－2，2，5，7}，则A∩B＝A.{－2，2，5}B.{－5，7}C.{－5，－2，7}D.{－5，5，7}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋2＋9B.18π＋2＋9C.18π＋2＋18D.18π＋2＋184.已知抛物线C1：y2＝6x上的点M到焦点F的距离为92，若点N在C2：(x＋2)2＋y2＝1上，则点M到点N距离的最小值为264333 1 D.25.根据散点图可知，变量x，y呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析，设u＝2lny，v＝(2x－3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u＝－13v＋2，则A.变量y的估计值的最大值为eB.变量y的估计值的最小值为eC.变量y的估计值的最大值为e2D.变量y的估计值的最小值为e26.函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(12，f(12))处的切线方程为 A.5344y x =- B.524y x =-+ C.1144y x =- D.14y x =- 7.已知函数f(x)＝3cos(ωx ＋φ)(ω>0)，若f(－3π)＝3，f(3π)＝0，则ω的最小值为 A.12 B.34 C.2 D.3 8.(3x －2)2(x －2)6的展开式中，x 4的系数为A.0B.4320C.480D.38409.已知圆C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线l ：12x －5y －1＝0与圆C 交于M ，N 两点，则|MN|＝A.3B.4C.6D.810.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－125，则cos(2α＋mπ)＝ A.－613 B.－1213 C.613 D.1213 11.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC ＝∠ABC ＝90°，∠BAC ＝2∠BCA ，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知函数f(x)＝x e x －m(lnx ＋x ＋2x)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 A.(－∞，12] B.(12，＋∞) C.(12，3e )∪(3e ，＋∞) D.(－∞，12]∪(3e ，＋∞)第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2021年高三上学期9月质检考试数学试题 含答案
2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。
2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。
一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。
嫌疑犯A、B、C对簿公堂。
嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。
由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。
高三数学9月学情调研试题含解析 试题
2021届高三数学9月学情调研试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、填空题： (本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1、函数()1f x x =-的定义域为 ▲【答案】[1,+∞)【解析】被开方式大于等于 0【点评】考察函数定义域的求解，该题属于根底题型.2、复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 是虚数单位，那么复数z 的模为 ▲ ． 【答案】10【解析】z a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，110b z =-⇒=， 【点评】考察复数的运算，属于根底题型.3、某算法的流程图如下图，那么物出的n 的值是 ▲ ．【答案】4【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16．【点评】考察流程图，属于根底题型.4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是： [40，50〕，［50，60)，［60，70)，［70，80〕，［80，90〕，［90，100〕，那么图中x 的值是 ▲【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++= 【点评】考察统计知识的根本运用，属于根底题型.5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性一样，那么这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ 【答案】23【解析】322333P ⨯==⨯ 【点评】考察组合，属于根底题型.6、把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗〕，那么该钢球的半径为 ▲ cm. 【答案】 3【解析】由圆柱和球的体积相等得：2343433R R ππ⨯⨯=⇒=【点评】考察圆柱和球的体积计算，属于根底题型.7、在平面直角坐标系xoy 中，假设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得22tan 30b a b a c a a c⨯︒===，得e ==【点评】考察双曲线的离心率计算，属于根底题型. 8、假设函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，那么当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为 ▲ ． 【答案】[﹣1，2]【解析】由周期为π，得2ω=，那么()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，2π]时，()f x ∈[﹣1，2]【点评】考察三角函数的图像和性质，属于根底题型. 9、假设锐角α满足tan 〔α＋4π〕＝3tan α＋1，那么tan2α的值是 ▲ ． 【答案】34【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或者1tan 3α= ∵α为锐角，∴1tan 3α=，∴tan2α＝34【点评】考察三角函数的图像和性质，属于根底题型.10、函数()1||xf x x =+，那么不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为 ▲ ． 【答案】x ＞1【解析】由题意得()f x 为奇函数，通过别离常数法得()f x 是R 上的增函数转换可得(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1【点评】考察通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，假设存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，那么k 的值是 ▲ ． 【答案】20【解析】由等差数列，可得4399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a = 240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．【点评】此题考察的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于根底题型. 12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，那么CP CA 的值是 ▲ ． 【答案】6 【解析】∵1()2CP CA CB =+ ∴222111cos 442CP CA CB CA CB ACB =++∠∴21344CB CB =+-，解得CB ＝2∴21111111()1642()62222222CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中. 13、在平面直角坐标系xoy中，圆假设圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公一共点，那么实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】[﹣2，2]【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公一共点所以1≤22(2)(1)x y -++≤3，又P 在圆M ，可得22(2)(21)a a -++≤5 可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，14、函数假设函数有6个零点〔互不一样〕，那么实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(34，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像由题知，(())g f x a =有6个解，令()f x t =当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去； 当0≤a ≤34时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t = 没有6个解，舍去；当34＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解；当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去． 综上得 a 的取值范围是34＜a ＜2．【点评】此题主要考察根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决此题的关键，综合性较大.二、解答题：本大题一一共5小题，一共计90分。
高三数学9月学情调研考试试题含解析 试题
2021届高三数学9月学情调研考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 为为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积公式：343V R π=，其中R 为球体的半径. 一、填空题：(请将答案写在答题卡相应位置．)()f x 的定义域是【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞ 考点：函数定义域z 满足(2)1z i i -=+〔i 是虚数单位〕，那么复数z 的模是________．【解析】 【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3.某算法的流程图如下图，那么物出的n 的值是_______．【答案】4 【解析】 【分析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值.【详解】第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =.【点睛】此题考察程序框图循环构造中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：〔1〕逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；〔2〕根据循环构造中的特殊形式简化运算.4.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[40，50〕，［50，60)，［60，70)，［70，80〕，［80，90〕，［90，100〕，那么图中x 的值是_______【解析】 【分析】根据频率和为1来计算x 的值.【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】此题考察频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性一样，那么这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】23【解析】 【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率.【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，那么概率62=93P =. 【点睛】此题考察古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗〕，那么该钢球的半径为_______cm【答案】3 【解析】 【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可.【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=. xoy 中，假设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，那么该双曲线的离心率为______．【答案】3【解析】 【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值.【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 30b a =︒=，那么c e a ===. 【点睛】此题考察双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候假如涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题.()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，那么当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 【答案】［－1，2］ 【解析】 【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值.【详解】因为2||T ππω==，所以2ω=，那么()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-，那么max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-.【点睛】此题考察三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.α满足tan 〔α＋4π〕＝3tanα＋1，那么tan 2α的值是_____． 【答案】34【解析】 【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值.【详解】由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，那么1tan 3α=或者tan 0α=〔舍，α为锐角〕，那么22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.()1||xf x x =+，那么不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 【答案】〔1，＋∞〕 【解析】 【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集.【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||xf x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数；又因为0x >时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，那么有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性〔注意定义域〕和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集.11.等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，假设存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，那么k 的值是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据条件求解出n S 的表达式，然后分析n S 取最大值时对应n 的值即为k 的值. 【详解】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =；那么5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，那么20n =时，n S 有最大值，即20k =.【点睛】〔1〕等差数列性质：假设2m n p q c +=+=，那么2m n p q c a a a a a +=+=； 〔2〕等差数列{}n a 中，假设10,0a d ><，那么n S 有最大值；假设10,0a d <>，那么n S 有最小值.△ABC 中，点P 是边AB 的中点，CA ＝4，CP ∠ACB ＝23π，那么CP CA 的值是______． 【答案】6 【解析】【分析】现根据中点对应的向量关系求解出CB 的长度，然后再将CP CA 化简到可利用||||CA CB 、直接进展计算即可.【详解】如下图，1()2CP CA CB =+，那么22211()||||4344CP CA CB CB CB =+=-+=，所以||2CB =；又2111()||8(2)6222CP CA CA CB CA CA CB CA =+=+=+-=. 【点睛】几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求式子的分析，将其变为可以用量直接进展计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系.xoy 中，圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，假设圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公一共点，那么实数a 的取值范围为________． 【答案】［－2，2］ 【解析】 【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，那22(2)(21)5a a -++≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比方针对一些“存在〞“恒成立〞问题，一般只需要根据条件找到临界条件即可进展计算求解.32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+⎪=⎨--≤⎪⎩＞.假设函数[]()y g f x a =-有6个零点〔互不一样〕，那么实数a 的取值范围为______．【答案】〔34，2〕 【解析】 【分析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围. 【详解】作出()f x 、()g x 图象如下：因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，那么()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-； 当3t =-时，3(3)4a g =-=，当1t =时，(1)2a g ==， 故3(,2)4a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点.【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题. 二、解答题。
江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三9月月考数学试卷含答案
D． x 0, .x3 x 0
） B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.已知 A x x2 a , B x x 2 , 若 A B A,则a 的取值范围是（ ）
A． (0,4]
B． (0,4)
C． (,4]
D． (,4)
5. 已 知 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 x 1 时 ， f (x) lg x. 设
x2 [1, 2] ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是
.
16.偶函数 f x 满足 f x 1 f x 1 ，且当 x 0,1 时， f x x ，则
f
4 3
__________，则若在区间 1,3 内，函数
g x
f
x kx k
有
4
个零点，则实
（1）求 a 、 b 的值；(5 分)
-3-
（2）求函数 f x 在区间 3,3 上的最小值和最大值．(7 分)
20.(本小题满分
12
分)已知
f(x)=
px2 2 3x q
奇函数，且
f
(2)
5 3
．
（1）求实数 p ,q 的值．(5 分)
（2）判断函数 f（x）在 (, 1) 上的单调性，并证明．(7 分)
A x a x a ，又 A B ，所以 0 a 20 a 4 ，综上可知 a 的取值范围是
(,4] ，故选 C.
5. 解 ： 已 知 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 x 1 时 ， f (x) lg x. 设
a f (6) f ( 4) f ( 4) ， b f ( 3) f ( 1) f (1) ， c f ( 5 ) f ( 1 ) <0 ，
2021年高三9月调研考试(理数)
2021年高三9月调研考试（理数）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合,则集合的子集个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知数列满足，则数列一定是（）A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列3．函数的最小正周期是，则（）A．B．C．D．4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．5．已知函数在定义域内可导，其导函数的图象如右图，则函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是（）A．30 B．60C．70 D．807．如图，平面内有三个向量其中与的夹角为60°, 与、与的夹角都为30°,且∣∣=∣∣=1, ∣∣=,若=+,则的值为（）A．4 B．C．D．28．奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知向量且，则10．已知函数的图象经过点和原点，则．11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的= ．12．在中，已知,则的最大角的大小为．13．在区间上随机取两个实数，，则事件“”的概率为_____ 14．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为_________. 三、解答题15．（本题满分12分）已知，且．（1）求实数的值；（2）求函数的最大值和最小值．16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立.（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.17．（本小题满分12分）如图，在正方体中，分别为棱的中点.（1）试判截面的形状，并说明理由；（2）证明：平面平面．18．（本小题满分14分）等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求与；（2）求数列的前项和19．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为．（1）求的值；（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若动点满足且点的轨迹与抛物线交于两点.（1）求证：；（2）在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。
2021年高三上学期9月质检数学试卷(理科)含解析
2021年高三上学期9月质检数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．20．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄三中高三（上）9月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（△￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．【考点】定积分．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．【解答】解：由题意==8．故答案为：8．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】易得p：k＞0，q：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．【解答】解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴；②若p假q真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（I）因为f（﹣1）=f（2），函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围．【解答】解：（I）因为f（x）=x2+bx+c，f（﹣1）=f（2），所以1﹣b+c=4+2b+c，解得：b=﹣1，…又因为函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），即y=x2﹣2x+c的值域为[0，+∞），故=0，解得：c=1，所以f（x）=x2﹣x+1；…（Ⅱ）因为f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且c＜0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：…令Z=2b+c，则当b=﹣1，c=0时，Z取最小值﹣2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（﹣1，0）和（1，0）点故﹣2＜2b+c＜220．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f（x）=4y=，分类讨论解出f（x）≥4即可；（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]，变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f（x）=4y=则当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]，故当且仅当14﹣x=4时，y有最小值为8﹣a﹣4．令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年10月13日35430 8A66 試l|33559 8317 茗34175 857F 蕿\22566 5826 堦< 21226 52EA 勪/•}25607 6407 搇。
2021年高三9月学情调研数学试题含答案
2021年高三9月学情调研数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，知。
分．请把答案填写在答题卡相应位置上．过落1.已知集合A={}，集合B={}，则＝＿＿＿＿2.命题“”的否定是＿＿＿＿＿3.已知复数z满足（i为虚数单位），则｜z｜＝＿＿＿4.石图是某算法的流程图，其输出值a是＿＿＿＿＿5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为＿＿＿＿7.已知点P（x,y）在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是＿＿＿＿8.曲线y=x+sinx在点(0，0)处的切线方程是＿＿＿＿．9.在等差数列{}中，，则数列{}的前n项和＝＿＿＿10.如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点. F 为边AB上.的，且，则x+y的值为＿＿＿＿11.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x) =＋1.若f(a)=3，则实数a的值为＿＿＿12.已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是CD的中点．若∠AEF为钝角，则线段BE长度的取值范围是＿＿＿＿13.如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q.，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为＿＿＿＿14.已知函数若存在实数a，b，c，d,满足f(a)=f(b)＝f(c)＝f(d )，其中d>c>b>a>0，则abcd的取值范围是＿＿＿＿二、解答题：本大匆共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步璐．15.（本小题满分14分）在锐角△ABC中，A,B,C所对的边分别为a，b，c．已知向量(1）求角A的大小；(2）若a＝7，b=8，求△ABC的面积．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：AP∥平面MBD；（2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD；17.（本小题满分14分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），．道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积。
2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷
2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U，集合M，N是U的子集，且M⫋N，则下列结论中一定正确的是()A. (∁U M)∪(∁U N)=UB. M∩(∁U N)=⌀C. M∪(∁U N)=UD. (∁U M)∩N=⌀2.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为()A. 112B. 13C. 12D. 343.已知z1，z2是复数，下列结论错误的是()A. 若|z1−z2|=0，则z1=z2B. 若z1=z2，则z1=z2C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1=z2z2D. 若|z1|=|z2|，则z12=z224.函数f(x)=5x+2sinx3x−3−x(x∈[−π,0)∪(0,π])的大致图象为()A. B.C. D.5.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是()A. 小寒比大寒的晷长长一尺B. 春分和秋分两个节气的晷长相同C. 小雪的晷长为一丈五寸D. 立春的晷长比立秋的晷长长6.某圆锥母线长为2，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A. 2B. √3C. √2D. 17.抛物线C：y2=4x的焦点为F，P是其上一动点，点M(1,1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是()A. |PM|+|PF|的最小值是2B. 动点P 到点H (3,0)的距离最小值为3C. 存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线x +y −3=0对称D. 与抛物线C 分别相切于A 、B 两点的两条切线交于点N ，若直线AB 过定点(2,0)，则点N 在抛物线C 的准线上8. 已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，满足f(x)>0且f(x)+f ′(x)<0(f ′(x)为函数的导函数)，若0<a <1<b 且ab =1，则下列不等式一定成立的是( ) A. f(a)>(a +1)f(b) B. f(b)>(1−a)f(a) C. af(a)>bf(b) D. af(b)>bf(a) 二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设正实数a ，b 满足a +b =1，则( )A. log 2a +log 2b ≥−2B. ab +1ab ≥174 C. 2a +1b ≤3+2√2D. 2a−b >1210. 已知(1−2x)2021=a o +a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 2021x 2021，则( )A. 展开式中所有项的二项式系数和为22021 B. 展开式中所有奇次项系数和为32021−12C. 展开式中所有偶次项系数和为32021−12D.a 12+a 222+a 323+⋅⋅⋅+a202122021=−111. 半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为√2，则( )A. BF ⊥平面EABB. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为8πD. PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为√2212. 已知函数f(x)=e sinx −e cosx ，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是( )A. f(x)在(0,π2)是增函数 B. f(x +π4)是奇函数C. f(x)在(0,π)上有两个极值点D. 设g(x)=f(x)x，则满足g(n4π)>g(n+14π)的正整数n 的最小值是2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD =3，BC =4，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．14.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的______ 倍.(结果精确到0.01.当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)15.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、NP，且AP的长为4，则a的值为______．16.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n,p)，记p k=C n k p k(1−p)n−k，k=0，1，2，…，n.在研究p k的最大值时，小组同学发现：若(n+1)p为正整数，则k=(n+1)p时，p k=p k−1，此时这两项概率均为最大值；若(n+1)p为非整数，当k取(n+1)p的整数部分，则p k是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为______ 的概率最大．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB=1，bsinA=2．(Ⅰ)求sin(A+C)和边长a；(Ⅱ)当b2+c2取最小值时，求△ABC的面积．18.数列{a n}中，a2=7且2S n=na n+4n(n∈N∗)，其中S n为{a n}的前n项和．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)证明：1a12+1a22+1a32+⋯+1a n2<13−19n+3(n∈N∗).19.在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是AB⏜的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．(1)求证：FO1//平面ADE；(2)若BC=FC=2，求二面角B−AF−C的余弦值．20.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n−1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．(1)当n=2，p=1时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产2品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；(2)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？21.某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB=2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．(1)若OE=3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)若椭圆的离心率为√3，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？2x2+(2a−1)x(a∈R)．22.已知函数f(x)=xlnx−12(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)已知函数g(x)=e xx −f′(x)有两个不同的零点x1，x2，且x1<x2.证明：x2−x1<4a2−2a−12a−1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于A，(∁U M)∪(∁U N)=∁U M≠U，所以A错误；对于B，因为M⫋N，所以M∩(∁U N)=⌀，选项B正确；对于C，因为M⫋N，且M∩(∁U N)=⌀所以M∩(∁U N)≠U，选选C错误；对于D，因为M⫋N，所以(∁U M)∩N≠⌀，选选D错误．故选：B．根据题意，利用集合的定义与运算性质，分别判断选选中的运算是否正确即可．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，采取抽签方式决定演讲顺序，二年级3人相邻，基本事件总数n=A33A88在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本事件个数m=A33A66A72，∴在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为：P=mn =A33A66A72A33A88=34．故选：D．基本事件总数n=A33A88在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本事件个数m=A33A66A72，由此能求出在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了共轭复数的性质、模的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．A.由|z1−z2|=0，可得z1=z2，z1=z2，即可判断出正误；B.z1=z2，利用共轭复数的性质可得z1=z2，即可判断出正误；C.|z1|=|z2|，又|z1|2=z1⋅z1，|z2|2=z2⋅z2，即可判断出正误；D.若|z1|=|z2|，取z1=1，z2=i，即可判断出正误．【解答】解：A.∵|z1−z2|=0，z1=z2，∴则z1=z2，正确；B.z1=z2，则z1=z2，正确；C.|z1|=|z2|，又|z1|2=z1⋅z1，|z2|2=z2⋅z2，则z1⋅z1=z2z2，因此正确；D.若|z1|=|z2|，取z1=1，z2=i，则z12≠z22．故选D．4.【答案】A【解析】解：f(−x)=−5x−2sinx3−x−3x =5x+2sinx3x−3−x=f(x)，∴函数f(x)为偶函数，故排除BD，∵f(π)=5π3π−3−π>0，故排除C，故选：A．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的特点判断即可．本题考查了函数的图象性质，掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题． 5.【答案】C【解析】解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n }，其中a 1=15，a 13=135，则d =10， 同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n }，其中b 1=135，b 13=15，则d′=−10， 故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A 正确； 因为春分的晷长为b 7，所以b 7=b 1+6d′=135−60=75， 因为秋分的晷长为a 7，所以a 7=a 1+6d =15+60=75， 故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B 正确；因为小雪的晷长为a 11，所以a 11=a 1+10d =15+100=115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C 错误； 因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b 4，a 4，所以a 4=a 1+3d =15+30=45，b 4=b 1+3d′=135−30=105， 所以b 4>a 4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D 正确． 故选：C ．先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n }的基本量以及由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n }的基本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可．本题考查了数列知识的应用，解题的关键是看懂题意，构造等差数列，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题． 6.【答案】A【解析】解：如图所示，截面为△SMN ，P 为MN 的中点，设OP =x(0<x ≤√3)，SB =2,OB =√3，所以SO =1，SP =√x 2+1,MN =2√3−x 2，故S △SMN =12⋅MN ⋅SP =12⋅√x 2+1⋅2√3−x 2=√−(x 2−1)2+4，所以当x =1时，S △SMN =2，此时的截面面积最大． 故选：A ．截面为△SMN ，P 为MN 的中点，设OP =x(0<x ≤√3)，分别求出MN 和SP 的值，然后利用三角形的面积公式表示出截面的面积，再利用二次函数的性质求解最值即可．本题考查了圆锥的结构特征的理解和应用，主要考查了圆锥的截面问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题． 7.【答案】A【解析】解：A ：当MP 垂直于准线时，|PM|+|PF|的值最小，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：|PM|+|PF|等于M 到准线的距离为1−(−1)=2，所以A 正确； B ：设P(x,y)则y 2=4x ，所以|PH|=√(x −3)2+y 2=√x 2−6x +9+4x =√x 2−2x +9=√(x −1)2+8≥2√2，当x =1时，|PH|的最小值为2√2，所以B 不正确；C ：假设存在这样的直线l ，由题意设直线l 的方程为：x −y +m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， {x −y +m =0y 2=4x联立可得：y 2−4y +4m =0， △=16−16m >0，所以m <1，所以y 1+y 2=4，x 1+x 2=y 1+y 2−2m =4−2m ， 所以A ，B 的中点P 为(2−m,2)，由题意可得P 在直线x +y −3=0上，所以2−m +2−3=0，解得m =1，不满足m <1，所以C 不正确； D ：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x =y 24，x′=y2，设直线AB 的方程为：x =my +2，所以AN ，BN 切线方程分别为：x −x 1=y 12(y −y 1)，即x =12y 1y −14y 12， 同理可得：x =12y 2y −14y 22，两式联立求出y N =y 1+y 22，可得x N =14y 1y 2，因为A ，B 在抛物线上y 2=4x ， {x =my +2y 2=4x，整理可得：y 2−4my −8=0， 所以y 1y 2=−8，所以x N =14⋅(−8)=−2，不在准线x =−1上，所以D 不正确．故选：A ．由抛物线的性质分别对所给命题判断A 中，|PM|+|PF|的值最小时是过M 作准线的垂线与抛物线的交点P ，再由抛物线的性质可得|PM|+|PF|的最小值，可得A 正确；B 设P 的坐标，由两点间的距离公式求出|PH|的表达式，由二次函数的最值的求法可得B 不正确；C 假设存在这样的直线，由题意可得直线l 与直线x +y −3=0，设直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和，及判别式大于0，可得参数的取值范围，进而求出AB 的中点的坐标，代入直线x +y −3=0中，求出直线l 的参数，不满足判别式大于0的条件，判断出C 不正确；D ：设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，设在A ，B 出的切线的方程，两式联立求出切线的交点的横坐标，可得不在准线上，判断D 不正确．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线相切的性质及命题真假的判断，属于中档题． 8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查导数知识的综合运用，考查运用函数的单调性进行大小比较，正确构造函数再求导数是解决问题的关键，属于综合题．先令F(x)=e x f(x)求导数，利用f(x)+f ′(x)<0，可得F(x)=e x f(x)的单调性，根据0<x <1，x <1x ，得到F(x)>F(1x)，即可得出结论．【解答】解：令F(x)=e x f(x)，∴F ′(x)=e x [f(x)+f ′(x)]； 又∵f(x)+f ′(x)<0， ∴F ′(x)<0，∴F(x)是(0,+∞)上的减函数；令0<x <1，则x <1x ，所以F(x)>F(1x )， 可得f(x)>e 1x −x f(1x)，下面证明：e 1x −x >1x 2，即证明1x −x +2lnx >0，令g(x)=1x −x +2lnx ， 则g ′(x)=−(x−1)2x 2<0，g(x)在(0,1)为减函数，即g(x)>g (1)=0，即e 1x −x >1x 2，∴xf(x)>1x f(1x)，若0<a <1<b 且ab =1，则af(a)>bf(b)， 故选C ．9.【答案】BD【解析】解：因为正实数a ，b 满足a +b =1， 所以ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等号， log 2a +log 2b =log 2(ab)≤log 214=−2，A 错误； 令t =ab ∈(0,14],ab +1ab =t +1t 在(0,14]上单调递减， 当t =14时取得最小值174，B 成立；2a+1b=2(a+b)a+a+b b=3+2b a+ab≥3+2√2，C 不成立；∵正实数a ，b 满足a +b =1，a −b =a −(1−a)=2a −1>−1，则2a−b >2−1=12，D 成立． 故选：BD ．结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式及应用条件的简单应用，属于基础试题． 10.【答案】ABD【解析】解：∵(1−2x)2021=a o +a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 2021x 2021， 故所有项的二项式系数和为2n =22021，故A 正确；令x =−1，可得a o −a 1+a 2−a 3+⋯−a 2021=32021 ①， 令x =1，可得a o +a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021=−1 ②，①+②，并除以2，可得展开式中所有奇次项系数和为a o +a 2+a 4+a 3+⋯+a 2020=32021−12，故B 正确；②−①，并除以2，可得a 1+a 3+a 5+⋯+a 2021=−1−320212，故C 错误；令x =12，可得a 0+a 12+a 222+⋯+a 202122021=0，而a 0=1，∴+a 12+a 222+⋯+a 202122021=−1，故D 正确，故选：ABD ．由题意利用二项式系数的性质，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题． 11.【答案】BCD【解析】解：对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF⊥AB，∠ABF=90°，但六边形ABFPQH为正六边形，∠ABF=120°，矛盾，所以A错；对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为23−8⋅13⋅12⋅1⋅1⋅1=203，所以B对；对于C，取正方形ACPM对角线交点O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R=√2，其表面积为4πR2=8π，所以C对；对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为∠PNS，其正弦值为PSPN =1√2=√22，所以D对．故选：BCD．A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于函数f(x)=e sinx−e cosx，其中e是自然对数的底数，所以f′(x)=cosxe sinx+sinx⋅e cosx，对于A：由于x∈(0,π2)时，cosx>0，sinx>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)为增函数，故A正确；对于B：设ℎ(x)=f(x+π4)=e sin(x+π4)−e cos(x+π4)，所以ℎ(−x)=e sin(−x+π4)−e cos(−x+π4)=e cos(−x+π4−π2)−e cos(x−π4)=e cos(x+π4)−e sin(x+π4)=−ℎ(x)，故B正确；对于C：由f′(x)=cosxe sinx+sinx⋅e cosx，在x∈(0,π2)时，cosx>0，sinx>0，所以f′(x)>0，所以函数在此区间上无极值点，由x=π2时，f′(x)=1≠0，下面考虑x∈(π2,π)上由f″(x)=e sinx(cos2x−sinx)+e cosx(cosx−sin2x)，当x∈(π2,3π4)时，cos2x−sinx<0，cosx−sin2x<0，所以f″(x)<0，函数f′(x)为单调递减函数，由f′(π2)=1，f′(3π4)=√22(e−√22−e√22)，所以f′(3π4)<0，故明显存在f′(x)=0；在x∈(3π4,π)上，f′(x)=cosxe sinx+sinx⋅e cosx，由|sinx|<|cosx|，而cosx<0，sinx>0，所以sinx<−cosx，所以sinx +cosx <0，而由e sinx >e cosx ，明显成立， 即|cosx|⋅e sinx >|sinx|⋅e cosx ， 即cosxe sinx +sinx ⋅e cosx <0， 所以不存在零点，故f′(x)在(0,π)只有一个零点，即函数f(x)只有一个极值点．故C 错误； 对于D ：由n =1时，g(π4)=esin π4−e cosπ4π=0，所以g(2π4)=g(π2)=esin π2−e cosπ2π2=2π(e −1)，明显g(π4)>g(π2)不成立，由n =2时，g(π2)=2π(e −1)， 同理g(3π4)=esin 3π4−e cos 3π43π4=43π(e√22−e−√22)，由g(π2)≈1.0939，g(3π4)≈0.6515， 所以g(π2>g(3π4),所以n 的最小值为2，故D 正确． 故选：ABD ．①直接利用函数的求导问题的应用求出函数的单调性和导数为正值的关系，从而确定A 的结论； ②直接利用函数ℎ(x)和函数−ℎ(x)的关系确定B 的结论；③直接利用函数的导数和函数的极值的关系确定函数的极值点的个数； ④利用分类讨论法和赋值法来确定函数的值，进一步比较出函数的大小． 本题考查的知识要点：函数的求导问题，函数的导数和单调性的关系，函数的导数和极值点的关系，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】−74【解析】解：如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，∵E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且AD =3，BC =4， ∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=−74． 故答案为：−74．可连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，根据题意即可得出四边形EPFQ 为平行四边形，从而可得出PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行数量积的运算即可．本题考查了三角形中位线的性质，向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 14.【答案】1.26【解析】解：由题意，两颗星的星等与亮度满足：m 1−m 2=2.5(lgE 2−lgE 1)， 令“心宿二”的星等m 1=1.00，“天津四“的星等m 2=1.25， 则m 2−m 1=2.5(lgE 1−lgE 2)=1.25−1.00=0.25， 所以lgE 1−lgE 2=0.252.5=0.1，则lgE 1=lgE 2+0.1=lg100.1E 2，所以E 1=100.1E 2，即E1E 2=100.1=1+2.3×0.1+2.7×0.1×0.1=1.257， 则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍， 故答案为：1.26．由已知“心宿二”的星等m 1=1.00，“天津四“的星等m 2=1.25，则得出lgE 1−lgE 2=0.252.5=0.1，利用对数的运算性质即可求解．本题考查了函数的实际应用，涉及到对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题． 15.【答案】2【解析】解：由题意可知：|BM|=|BN|，|F 2P|=|F 2N|，|AM|=|AP|，根据双曲线的定义，可知|BF 1|−|BF 2|=|MF 1|−|NF 2|，|AF 2|−|AF 1|=2a ，则|AF 1|=|AF 2|−2a ，所以|BF 1|−|BF 2|=|MA|+|AF 1|−|NF 2|=|MA|+|AP|+|PF 2|−2a −|NF 2|=8−2a =2a ，所以a =2． 故答案为：2．利用已知条件结合双曲线的定义，圆的切线与圆的半径的关系，转化求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 16.【答案】18【解析】解：继续再进行80次投掷实验，出现点数为1次数X 服从二项分布X ～B(80,16)， 由k =(n +1)p =81×16=272=13.5，结合题中的结论可知，当k =13时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次， 所以出现18次的概率最大， 故答案为：18．由随机变量X ～B(80,16)，结合k =(n +1)p =81×16=272=13.5取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13的概率最大，由此得解．本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到随机变量服从二项分布的性质，考查了学生分析问题的能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及acosB =1与bsinA =2得：2RsinAcosB =1，2RsinBsinA =2(R 是△ABC 的外接圆半径)， 两式相除，得12=cosB sinB，设cosB =k ，sinB =2k ，∵B 是△ABC 的内角，∴sinB >0，∴k >0， ∵sin 2B +cos 2B =1，∴k =√55，∴cosB =√55，sinB =2√55， 将cosB =√55代入acosB =1，得a =√5，∴sin(A +C)=sin(π−B)=sinB =2√55； (Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理知b 2=a 2+c 2−2accosB =5+c 2−2c ， ∴b 2+c 2=2c 2−2c +5=2(c −12)2+92≥92，当且仅当c =12时，b 2+c 2取得最小值92， ∴S △ABC =12acsinB =12×√5×12×2√55=12，∴b 2+c 2最小时△ABC 的面积为12．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理即可得出2RsinAcosB =1，2RsinBsinA =2，进而得出cosBsinB =12，从而可求出cosB =√55,sinB =2√55，然后即可求出sin(A +C)和a 的值；(Ⅱ)根据余弦定理即可得出b 2=c 2−2c +5，从而得出b 2+c 2=2(c −12)2+92，从而可得出c =12时，b 2+c 2取最小值，进而可求出对应的△ABC 的面积．本题考查了正弦定理和余弦定理，三角函数的诱导公式，配方法求最值的方法，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由2S n =na n +4n ，取n =1，有2a 1=a 1+4，得a 1=4， 当n ≥2时，2S n−1=(n −1)a n−1+4(n −1)， 两式相减得2a n =na n −(n −1)a n−1+4， 即(n −2)a n −(n −1)a n−1+4=0(n ≥2)， ∴(n −3)a n−1−(n −2)a n−2+4=0(n ≥3)，两式再相减得(n −2)a n −(2n −4)a n−1+(n −2)a n−2=0， 即a n +a n−2=2a n−1(n ≥3)，∴{a n }为等差数列，又d =a 2−a 1=7−4=3， 则a n =4+3(n −1)=3n +1；证明：(Ⅱ)要证1a 12+1a 22+1a 32+⋯+1a n2<13−19n+3，即证142+172+1102+...+1(3n+1)2<13−19n+3， ∵1(3n+1)2<1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，∴142+172+1102+...+1(3n +1)2<13(1−14+14−17+...+13n −2−13n +1) =13(1−13n+1)=13−19n+3．故1a 12+1a 22+1a 32+⋯+1a n2<13−19n+3(n ∈N ∗).【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式证明{a n }为等差数列，求其首项与公差，则通项公式可求； (Ⅱ)把{a n }的通项公式代入要证明的不等式左侧，利用放缩法及裂项相消法求和即可证明．本题考查数列递推式，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分析法与放缩法证明数列不等式，是中档题．19.【答案】(1)证明：连接O 1C ，因为EA ，FC ，都是圆柱O 1O 2的母线，所以AE//CF ， 因为C ，D 是AB⏜的两个三等分点，AB 为圆O 1的直径，所以AD//O 1C ， 又因为AD ∩AE =A ，CF ∩O 1F =F ，所以平面AED//平面O 1CF ， 又因为O 1F ⊂平面O 1CF ，所以FO 1//平面ADE ．(2)解：连接AC ，因为AB 为圆O 1的直径，所以AC ⊥BC ， 又因为CF ⊥平面ABC ，所以CF ⊥CB ，CF ⊥AC ， 所以CA 、CB 、CF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下： C(0,0，0)，B(0,2，0)，F(0,0，2)，A(2√3,0，0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2，0)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ (−2√3,0，2)， 设平面ABF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2y =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2z =0，令x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)， 平面ACF 的法向量为n⃗ =(0,1，0)， 所以二面角B −AF −C 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217．【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)当n =2时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为C 32(12)3+(12)3=12，(1分) 设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则X ～B(3,12)，ξ=500X ，(2分)∴P(ξ=500k)=P(X =k)=C 3k⋅(12)k ⋅(12)3−k ,k =0,1,2,3，(4分)ξ 0 500 1000 1500 P18383818∴Eξ=500×3×12=750.(6分)(2)记2k −1个元件组成的系统正常工作的概率为p k .2k −1个元件中有i 个正常工作的概率为C 2k−1i p i (1−p)2k−1−i ，因此系统工常工作的概率p k =∑C 2k−1i 2k−1i=k p i (1−p)2k−1−i .(7分) 在2k −1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k +1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：(a)原系统中至少有k +1个元件正常工作，概率为p k −C 2k−1kp k (1−p)k−1； (8分) (b)原系统中恰有k 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为[1−(1−p)2]C 2k−1kp k (1−p)k−1； (9分) (c)原系统中恰有k −1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为p 2C 2k−1k−1p k−1(1−p)k .(10分)因此，p k+1−p k =p 2C 2k−1k−1p k−1(1−p)k +[1−(1−p)2]C 2k−1k p k (1−p)k−1−C 2k−1kp k (1−p)k−1=p k (1−p)k C 2k−1k−1(2p −1)， 故当p >12时，p k 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性． (12分)【解析】(1)当判断X为该电子产品需要维修的系统个数，则X～B(3,12)，ξ=500X，求解概率得到分布列，然后求解期望．(2)新系统正常工作可分为下列情形：(a)原系统中至少有k+1个元件正常工作，求出概率；(b)原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作求出概率；(c)原系统中恰有k−1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，求出概率；然后判断当p>12时，p k单调增加，说明增加两个元件后，能提高系统的可靠性．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)以O为坐标原点，以OD所在的坐标为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意A(0,1)，E(3,0)，由∠OEF=30°，所以|OF|=|OE|⋅tan30°=√3，所以F(√3,0)，k EF=−√3，所以直线EF的方程为：y=−√3x+√3，设OD=a，则D(a,0)，所以椭圆x2a2+y2=1，当a最大时直线EF与椭圆相切，{x2a2+y2=1y=−√3x+√3整理可得：(1+3a2)x2−6√3a2x+8a2=0，△=(6√3a)2−4(1+3a2)⋅8a2=0，解得a=2√63(−2√63舍)所以椭圆的长半轴长为2√63；(2)因为e=ca =√32，b=1，a2=b2+c2，所以a2=4，所以椭圆的方程为：x24+y2=1；设OG=t>0，则G(t,0)，直线MN的方程为：y=x−t，联立{y=x−tx24+y2=1，整理可得：5x2−8tx+4t2−4=0，设M(x1,y2)，N(x2,y2)则x1+x2=8t5，x1x2=4t2−45，|y1−y2|=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√64t225−4⋅4t2−45=45⋅√5−t2，S△OMN=12|OG|⋅|y1−y2|=12⋅t⋅45⋅√5−t2=25√5t2−t4，要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时t=1，所以1<t<2，当t2=−52(−1)=52，即t=√102，S△OMN有最大值为1，综上所述，当OG=√102时，三角形OMN的面积最大．【解析】(1)由题意可得E，F的坐标，进而求出直线EF的直线方程，设椭圆的方程，由题意可得直线EF与椭圆相切时，椭圆的长半轴最大，由判别式为0可得参数a的值，求出椭圆的长半轴的值．(2)由离心率及b的值可得a的值，进而求出椭圆的方程，设G的坐标，设直线MN的方程，由直线MN与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出三角形OMN的面积的表达式，当N与B重合时t=1，可得t的范围，由面积的最大值可得t的值，进而求出|OG|的大小及三角形的面积．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，二次函数的最值的求法，属于中档题．22.【答案】(1)解：函数f(x)=xlnx −12x 2+(2a −1)x ，故f(x)的定义域为(0,+∞)，则f′(x)=lnx −x +2a ，令ℎ(x)=lnx −x +2a ，则ℎ′(x)=1x −1=1−x x，当0<x <1时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增， 当x >1时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减，所以当x =1时，ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=2a −1，当a ≤12时，ℎ(1)=2a −1≤0，则f′(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，此时f(x)无极值点； 当a >12时，ℎ(1)=2a −1>0，因为0<e −2a <1，ℎ(e −2a )=−2a −e −2a +2a =−e −2a <0， 所以ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个零点， 所以f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，又e 5a >e 2>1，ℎ(e 5a )=5a −e 5a +2a <7a −e 4a a =a(7−e 4a )<a(7−e 2)<0， 所以ℎ(x)在(1,+∞)上有且只有一个零点， 所以f(x)在(1,+∞)上有且只有一个极值点．综上所述，当a ≤12时，f(x)无极值点；当a >12时，f(x)有2个极值点． (2)证明：函数g(x)=e x x −f′(x)=e x x−lnx +x −2a ， 则g′(x)=e x (x−1)x 2−1x +1=(x−1)(e x +x)x 2，当0<x <1时，g′(x)<0，则g(x)单调递减， 当x >时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，所以当x =1时，g(x)取得最小值g(1)=e +1−2a ， 因为函数g(x)有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2， 所以g(1)<0，即e +1−2a <0，所以2a >e +1， 又g(2a)=e 2a 2a−ln2a +2a −2a =e 2a 2a−ln2a ，令φ(x)=e x x−lnx(x ≥e)，则φ′(x)=e x (x−1)−xx 2，令m(x)=e x (x −1)−x(x ≥e)，则m′(x)=xe x −1≥e e+1−1>0， 所以m(x)单调递增，所以m(x)≥m(e)=e e (e −1)−e >0， 所以φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增，所以φ(2a)>φ(e +1)>φ(e)=e e−1−1>0， 所以g(2a)>0，所以x 2<2a ，令n(x)=lnx −x +1(x >0)，则n′(x)=1x −1=1−x x，当0<x <1时，n′(x)>0，则n(x)单调递增， 当x >1时，n′(x)<0，则n(x)单调递减， 所以当x =1时，n(x)取到最大值为n(1)=0， 所以n(x)≤0，即lnx ≤x −1， 所以g(12a−1)=e 12a−112a−1−ln(12a−1)+12a−1−2a ≥e 12a−112a−1+1−2a ，令p =12a−1∈(0,1e )，则g(p)>e p p−1p >0，所以x 1>12a−1， 所以x 2−x 1<2a −12a−1=4a 2−2a−12a−1．【解析】(1)求出函数f(x)的定义域，利用导数研究函数f(x)的性质，通过函数的单调性以及导函数的零点情况进行分析，即可得到答案；(2)利用导数研究函数g(x)的最值，从而得到g(1)<0，得到g(2a)=e 2a 2a−ln2a +2a −2a =e 2a 2a−ln2a ，构造函数φ(x)=e x x−lnx(x ≥e)，利用导数研究函数φ(x)的性质，可得g(2a)>0，即x 2<2a ，再令n(x)=lnx −x +1(x >0)，继续用导数研究n(x)的性质，得到lnx ≤x −1，结合g(12a−1)，推导出x 1>12a−1，即可证明x 2−x 1<4a 2−2a−12a−1．本题考查了导数的综合应用，主要考查了函数极值点的理解和应用，同时考查了函数零点问题，要掌握常见的解决函数零点问题的方法，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于难题．。
江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期9月月考数学试题(wd无答案)
江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题(★★) 1. 若复数满足，则复平面内表示的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限(★) 2. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 在中，内角，，的对边分别是，，，外接圆半径为，若，且的面积为，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 在中，，，，点 D为边上一点，且 D为边上靠近 C的三等分点，则（）A．8B．6C．4D．2(★★★) 6. 已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（）A．B．C．10D．9(★★) 7. 已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（）A．1B．3C．6D．7(★★★) 8. 已知 A， B， C为球 O的球面上的三个定点，，， P为球 O的球面上的动点，记三棱锥 p一 ABC的体积为，三棱锥 O一 ABC的体积为，若的最大值为3，则球 O的表面积为A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 关于函数下列结论正确的是（）A．图像关于轴对称B．图像关于原点对称C．在上单调递增D．恒大于0(★★) 10. (多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有（）A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0(★★★★) 11. 已知，，记，则（）A．的最小值为B．当最小时，C．的最小值为D．当最小时(★★★) 12. 已知符号函数下列说法正确的是（）A．函数是奇函数（）B．对任意的C．函数的值域为D．对任意的三、填空题(★★) 13. 已知向量的夹角为，若，则________.(★★★) 14. 已知函数则=________.(★★★★) 15. 在平面直角坐标系中，过点的一条直线与函数的图像交于两点，则线段长的最小值是__________．(★★★) 16. 已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点则实数的取值范围是_____四、解答题(★★) 17. 已知△ ABC中，为钝角，而且，， AB边上的高为.（1）求的大小；（2）求的值.(★★★) 18. 设数列的前项和为，点在直线上.（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和.(★★★) 19. 如图，在三棱柱中，侧面是为菱形，在平面内的射影恰为线段的中点.（1）求证：；（2）若，，求二面角的平面角的余弦值.(★★★) 20. 已知直线与曲线交于不同的两点、， O 为坐标原点.（1）若，，求证：曲线是一个圆；（2）若曲线，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.(★★★) 21. 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区，其中是半径为1百米的扇形，.管理部门欲在该地从到修建小路：在弧上选一点（异于、两点），过点修建与平行的小路.问：点选择在何处时，才能使得修建的小路弧与及的总长最小？并说明理由.(★★★★) 22. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求证：；（3）求证：当时，.。
2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷(解析版)
2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷一、选择题（每小题5分）.1．已知全集U，集合M，N是U的子集，且M⫋N，则下列结论中一定正确的是（）A．（∁U M）∪（∁U N）＝U B．M∩（∁U N）＝∅C．M∪（∁U N）＝U D．（∁U M）∩N＝∅2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）A．B．C．D．3．已知z1，z2是复数，下列结论错误的是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z224．函数（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的大致图象为（）A．B．C．D．5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长6．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2B．C．D．17．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是其上一动点，点M（1，1），直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（）A．|PM|+|PF|的最小值是2B．动点P到点H（3，0）的距离最小值为3C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x+y﹣3＝0对称D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点（2，0），则点N在抛物线C的准线上8．已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，满足f（x）＞0且f（x）+f′（x）＜0（f′（x）为函数的导函数），若0＜a＜1＜b且ab＝1，则下列不等式一定成立的是（）A．f（a）＞（a+1）f（b）B．f（b）＞（1﹣a）f（a）C．af（a）＞bf（b）D．af（b）＞bf（a）二、选择题（共4小题）.9．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．log2a+log2b≥﹣2B．ab+C．D．2a﹣b＞10．已知（1﹣2x）2021＝a o+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则（）A．展开式中所有项的二项式系数和为22021B．展开式中所有奇次项系数和为C．展开式中所有偶次项系数和为D．11．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN所成角的正弦值为12．已知函数f（x）＝e sin x﹣e cos x，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（）A．f（x）在是增函数B．f（x+）是奇函数C．f（x）在（0，π）上有两个极值点D．设，则满足的正整数n的最小值是2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期9月调研数学(文)试卷含解析
2021年高三上学期9月调研数学（文）试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=__________．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是__________．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=__________．4．计算÷=__________．5．“α=”是“tanα=1”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为__________．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是__________．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是__________．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=__________．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为__________时，log2a•log2（2b）取得最大值．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为__________．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为__________．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是__________．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围__________．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．xx学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）9月调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={﹣1，0}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是∃x0∈R，使得≤0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“∀x∈R，3x＞0”的“”的否定是：“∃x0∈R，使得≤0”．故答案为：∃x0∈R，使得≤0．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．解答：解：z=（1﹣i）i=1+i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查复数求模，属于基础题．4．计算÷=﹣20．考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．解答：解：=lg=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．解答：解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tanα=1能求α．6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出y=sinx的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求．解答：解：y=sinx的导数为y′=cosx，即有曲线在处的切线的斜率为k=cos=．故答案为：．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．考点：曲线与方程；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．解答：解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．点评：本题考查曲线与方程、两条直线垂直的条件．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先由递推公式求a2，a3，a4，再猜想通项公式；解答：解：∵a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，∴a2=a12﹣2a1+2=9﹣6+2=5，a3=a22﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7，a4=a32﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9，即a2=5，a3=7，a4=9，由归纳推理猜想an=2n+1．故答案为：2n+1．点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为[2，+∞）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先根据集合A、B的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离从而求出a 的范围．解答：解：集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，∴集合B是以（a，0）为圆心，以为半径的圆，若A∩B=B，画出图象，如图示：，显然，直线和圆相切时是临界值，∴圆心（a，0）到直线的距离d==，解得：a=2，∴a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思想，是一道中档题．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：导数的综合应用．分析：设切点为（a，b），利用导数求出直线PM的方程，继而求出M点的横坐标，再根据直线PM⊥直线PN，求出直线PN的方程，继而求出N点的横坐标，根据中点坐标公式，求出Q点的横坐标，再利用导数求出最值，问题得以解决．解答：解：设P点的坐标为（a，b），如图所示，∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴直线PM的斜率k PM=f′（a）=，∴直线PM的方程为y﹣b=（x﹣a），令y=0，解得x M=a﹣ab，∵直线PM⊥直线PN，∴k PN=﹣=﹣a，直线PN的方程为y﹣b=﹣a（x﹣a），令y=0，解得x N=a+，∵MN的中点为Q，∴x Q=（x M+x N=）=（a﹣ab+a+），又b=lna，∴x Q=（a﹣alna+a+），令g（a）=a﹣alna+a+，∴g′（a）=1﹣（lna+1）+1+=（1﹣lna）（1+），令g′（a）=0，解的a=e，当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞e时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a=e时取得极大值，即为最大值，最大值为g（e）=e﹣e+e+=，故点Q的横坐标的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了曲线的切线方程和导数与最值得关系，关键是把点的坐标问题转化为求函数的最值问题，培养了学生的转化能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．解答：解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（I）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；（II）由题意A，B满足A∩B=B得B是A的子集，建立关于a的不等关系，可解出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，..…．∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．（13分）点评：本题考查集合的求法，对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键，考查计算能力．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）令，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范围是，进而得m（t）的解析式．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，直线是抛物线m（t）=的对称轴，分a ＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．解答：解：（1）∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1．∵，且t≥0…①，∴t的取值范围是．由①得：，∴=，．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，∵直线是抛物线m（t）=的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；2）当a=0时，m（t）=t，在上单调递增，有g（a）=2；3）当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，g（a）=，若即时，g（a）=，若∈（2，+∞）即时，g（a）=m（2）=a+2．综上所述，有g（a）=．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．解答：解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．24565 5FF5 念26435 6743 权)39299 9983 馃X32324 7E44 繄737513 9289 銉q227775 6C7F 汿733495 82D7 苗H40277 9D55 鵕。
2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题教师版
绝密★启用前2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{220B x x x =--<且}x Z ∈，则AB =（）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,D ．{}1,0,1,2,3-答案：A先求解出一元二次不等式的解集为集合B ，然后根据交集运算直接求解出A B 的结果. 解：由题意{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，所以{}1A B ⋂=， 故选：A. 点评：本题考查集合的交集运算，其中涉及到一元二次不等式的解法，难度较易.2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（） A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．72种答案：C由题意可知先从4名大学生中选出两名作伴，再分配到每个山村，得到结果. 解：根据题意有两个人是分到同一个地方的， 先选出两人作伴，之后再进行全排，则由分步计数原理有234336C A ⋅=（种），故选：C. 点评：该题考查的是有关排列组合的问题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，属于基础题目.3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案：B由题设可得乙和丁说的话矛盾，从而可得二人中必有一个人的话为假话，从而可判断其余的人为真话，故可得正确的选项. 解：由题意可知乙与丁说的话矛盾，故说假话的人必然在他们二人之中，再由题意只有一个人说的话为假话，则丙必定说了真话，则可判断一定去过长城的是乙， 故选：B. 点评：本题考查推理与论证，注意利用矛盾律来帮助推理，本题属于容易题.4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27答案：C根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 解：根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==，根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C. 点评：本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.5．设,,a b c 为单位向量，且0a b ⋅=，则()()a cbc -⋅-的最小值为（） A ．－2 B2C ．－1D ．1答案：D先根据条件计算出a b +的值，然后将()()a cbc -⋅-展开计算，根据余弦函数的取值范围求解出()()a cbc -⋅-的最小值. 解：由题意可知0a b ⋅=，所以2222a b a a b b +=+⋅+=，所以()()()21cos ,a c b c a b a b c c a b c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅⋅<+>，所以()()12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-⋅<+>≥-,a c b +同向，所以()()a c b c -⋅-的最小值为1故选：D. 点评：本题考查根据向量的数量积运算求解最小值，难度一般.求解和向量有关的最值问题时，可以借助向量夹角的余弦值的“有界性”去分析问题.6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（）A ．360sinnnπ︒B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 答案：C设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 解：设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 点评：本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（） A ．正六边形 B ．五边形C ．矩形D ．三角形答案：C 1 解：由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积. 故答案选C.8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 解：解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 点评：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题． 二、多选题9．若01,1c a b <<>>，则（） A ．log log a b c c > B ．c c ab ba > C ．log log b a a c b c>D ．()()a b c b a c ->-答案：AB由对数函数的知识可判断A 、C ，由幂函数的知识可判断B ，根据不等式的性质可判断D.解：因为01,1c a b <<>>，所以由对数函数得单调性得log log 0c c a b <<， 则由换底公式有110log log c c a b>>，即0log log a b c c >>，则选项A 正确；由题意1c y x-=为减函数，所以11c c b a -->，且0ab >，则由不等式的基本性质得c c ab ba >，则选项B 正确；由题意0log log a b c c >>，又a ＞b ＞1，则log log b a a c b c <，则选项C 错误； 由题意,ac bc ac bc >-<-，所以ab ac ab bc -<-，即()()a b c b a c -<-，则选项D 错误； 故选：AB 点评：本题考查的是对数函数、幂函数和不等式的性质，考查了学生的基础知识水平，较综合. 10．下列四个命题中，真命题为（） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =答案：AB利用特值法依次判断选项即可得到答案. 解：对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB 点评：本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2) D ．OP OQ ＝－3答案：BCD根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误. 解：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确； 故选：BCD 点评：本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的分析能力，属于中档题. 12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0 答案：ABD对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1，可得a n －12＝a n －1a n －2－a n －1a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 解： 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1，可得a n －12＝a n －1a n －2－a n －1a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误； 由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 点评：此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 三、填空题13．某公司的广告费支出x (单位：万元)与营业额y (单位：万元)之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：由最小二乘法求得回归直线方程为0.67y x a =+，则a 的值为__________． 答案：54.9算出x 、y 后可求a 的值. 解：由线性回归方程的定义及表数据可得x =30，y =75，所以a =54.9． 故答案为：54.9 点评：本题考查线性回归方程的性质，注意回归直线必定经过样本中心(),x y ，本题属于基础题.14．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______. 答案：①③④⇒②（或②③④⇒①）m α⊥，n β⊥，αβ⊥，由面面垂直的性质定理得m n ⊥；m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥． 解：∵α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线， 若①m n ⊥，③n β⊥，则m β. 又∵④m α⊥， ∴②αβ⊥. 即①③④⇒②.若②αβ⊥，③n β⊥，则n α. 又∵④m α⊥， ∴①m n ⊥.即②③④⇒①.故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①） 点评：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题．15．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________． 答案：22圆的标准方程为()()22121x y -++=，则圆心为()12C -，，半径为1，则直线与圆相离，如图：PACB PACPBCS SS=+四边形，而1122PACSPA CA PA =⋅=，1122PBCS PB CB PB =⋅=，又21PA PC =-21PB PC =-PC 取最小值时，PA PB =取最小值，即PACPBC SS=取最小值，此时CP l ⊥，2232410153534CP -⨯-===+，则23122PA =-=122122PACPBCSS==⨯=PACB 面积的最小值是22故答案为22四、双空题16．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记sin sin ABDBADλ∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．答案：122 根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1cos 2A =；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin23Cπλθ，求出cos cos 3B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，表示出2221sin cos 3=⎛⎫++ ⎪⎝⎭λπθθ，求出最值，即可得出结果.解：因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =； 设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin23AD DACCDCπθλ，又313sin sincos sin cos sin 222223C B B BB λθπ，由sin sin 2223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．因为222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭πλθλθ， 所以222122sin cos 1cos 21cos 233==⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λππθθθθ2226=⎛⎫-⎪⎝⎭πθ，因为πθ0,3，所以2,662πππθ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以当206πθ-=时，λ1，此时)sin1B==，所以4Bπ=，tan tan234ACD⎛⎫∠=--=+⎪⎝⎭πππ答案为：12；2.点评：本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.五、解答题17．记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求{}n a的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．答案：（1）(2)nna=-；（2）见解析.试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q=-，12a=-即可求解；（2）利用等差中项证明S n+1，S n，S n+2成等差数列．试题解析：（1）设{}n a的公比为q.由题设可得()()1211216a qa q q⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得2q=-，12a=-.故{}n a的通项公式为()2nna=-.（2）由（1）可得()()111221133n nnna qSq+-==-+--.由于()()321214222212123333n n nn nn n nS S S+++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1nS+，n S，2n S+成等差数列.点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18(3，4)；②一条准线方程为x ＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上，____________，是否存在过点P (－1，1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 答案：答案见解析先根据所选的条件求解出曲线C 的方程，根据直线的斜率是否存在作分类讨论；当直线的斜率不存在时直接进行求解并判断，当直线的斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，并利用根的判别式以及坐标特点判断出结果. 解：选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，设21m a =，21n b =-(a ＞0，b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由题设得229161a b =⎪-=⎪⎩，解得a 2＝1，b 2＝2，所以C 的方程为2212y x -=，1°当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，与曲线C 有且仅有一个交点(－1，0)，不符合题意；2°当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入2212y x -=得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0()，若220k -=，即k =±时，方程()有且仅有一解，不符合题意；若22k -≠0，即k ≠±时，其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k＋3)＞0，则32k >-，所以方程()有两个不同实数解时，32k >-且k≠ 于是1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⋅-=--，解得k ＝－2，与32k >-且k ±≠所以不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设21m a =，21n b =(a ＞b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，由题设得242⎧==⎩，解得a 2＝4，b 2＝3，所以C 的方程为22143x y+=，1°当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，代入22143x y +=得32y =±，P (－1，1)不是线段AB 的中点，不符合题意；2°当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入22143x y +=得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0，其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)＞0， 于是1228(1)2(1)234k k x x k ++=-=⋅-=-+，解得34k =，故337(1)1444y x x =++=+，即3x －4y ＋7＝0，所以存在直线l ：3x －4y ＋7＝0，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，难度一般.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(2sin(x －A )，sin A )，n =(cos x ，1)，f (x )＝m n ⋅，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤512f π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求f (x )的单调递增区间； （2）若a＝sin B ＋sin C＝2△ABC 的面积． 答案：（1）π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)；（2. （1）根据向量的数量积并借助三角恒等变换的知识化简()f x ，再根据条件求解出()f x 的具体表达式，最后利用整体代换法求解出()f x 的单调递增区间；（2）先根据正弦定理求解出b c +的值，然后再根据余弦定理求解出bc 的值，最后利用三角形的面积公式求解出三角形面积. 解：（1）由题意得f (x )＝m n ⋅＝2sin(x －A )·cos x ＋sin A ＝2(sin x ·cos A －cos x ·sin A )·cos x ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －2cos 2x ·sin A ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －(2cos 2x －1)·sin A ＝sin2x ·cos A －cos2x ·sin A ＝sin(2x －A )， 由题意知5π5π()sin()1126f A =-=，所以5ππ2π62A k -=+(k ∈Z)， 因为A ∈(0，π)，所以5ππ5π(,)666A -∈-，所以5ππ62A -=，即π3A =， 所以π()sin(2)3f x x =-，令πππ2π22π232k x k ''--+≤≤(k ′∈Z)，解得π5πππ1212k x k ''-≤≤+(k ′∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间为π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)． （2）在△ABC 中由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==sin sin sin 3b cB C+==+解得b c +=22224b c bc ++=，在△ABC 中由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，于是2212b c bc +-=，解得bc ＝4，所以△ABC的面积为11sin 422bc C =⋅=点评：本题考查三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，要求学生能熟练的掌握的公式以及利用三角恒等变换进行化简，难度较易.20．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，AB AD AE ===，EC BD ⊥.(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在平面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.答案：（1）证明见解析；（2）427（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，先通过证明OE BD ⊥，EO AC ⊥得出EO ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理由EO ⊂平面BED 证明平面BED ⊥平面ABCD 即可；（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，先通过平面DMN //平面EBC 得出点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并设()01MP MN λλ=≤≤，从而求出平面ABE 的法向量n 及DP 的坐标，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin n DP n DPθ⋅=，最后根据01λ≤≤即可求出sin θ的最大值.解：(1)证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，因为AD AB =，CD CB =，AC AC =， 所以ADC ABC ∆≅∆，易得ADO ABO ∆≅∆， 所以90AOD AOB ∠=∠=︒， 所以AC BD ⊥.又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ， 又EO ⊂平面AEC ，所以OE BD ⊥. 又底面ABCD 是圆内接四边形，因为90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =，1CD=，可得2AC =，32AO =， 所以90AEC ∠=︒，32AE AO AC AF ==， 易得AEO ∆与ACE ∆相似，所以90AOE AEC ∠=∠=︒， 即EO AC ⊥.又AC 、BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，所以EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD .(2)解：如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则//MN BE ，由(1)知，30DAC BAC ∠=∠=︒，即60DAB ∠=︒，所以ABD ∆为正三角形，所以DN AB ⊥，又BC AB ⊥， 所以平面DMN //平面EBC ， 所以点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3E ⎛ ⎝⎭，334M ⎛ ⎝⎭，30,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭AE ， 333,424DM ⎛= ⎝⎭，330,,44MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,n =， 设()01MP MN λλ=≤≤，可得3,,42444DP DM MP λ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin 42n DP n DPθ⋅==，因为01λ≤≤，所以当0λ=时，sin θ.故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为7. 点评：本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题. 21．已知()ln af x x x x x=-+，其中a ∈R ． （1）讨论f (x )的极值点的个数；（2）当n ∈N 时，证明：2222341ln 2lnln ln 2324n n n n ++++⋅⋅⋅++＞． 答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析.（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得到22()ln 11ln a af x x x x x '=+--=-，再令2()ln a g x x x =-，x ＞0，用导数法研究其不等零点，求导233122()a x ag x x x x+'=+=，然后分0a =、0a >和0a <三种情况讨论求解.（2）根据（1）a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1，即1ln 1x x -≥，进而有221ln (1)x x-≥，然后令1n x n+=得到22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞求解.解：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，则22()ln 11ln a af x x x x x '=+--=-， 令2()ln a g x x x =-，x ＞0，则233122()a x ag x x x x +'=+=，①当0a =时，()ln f x x '=，令()0f x '=，则1x =， 当0＜x ＜1时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当x ＞1时，()0f x '>，f (x )单调递增， 所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．②当0a >时，()0g x '>，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又(1)0g a =-<，221(e )(1)0e e aa aa g a a =-=-> 所以g (x )在(1，e a )上存在唯一零点，记为x 0，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点． ③当0a <时，令()0g x '=，得x =当0＜x时，()0g x '<，g (x )单调递减，当x ()0g x '>，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g )＝12， 当a ≤12e-时，g (x )min ≥0，故f′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x )在(0，＋∞)上无极值点， 当12e-＜a ＜0时，g (x )min ＝g ＝12＜0，又(1)0g a =->，021a <-<，下面证1(2)ln(2)04g a a a-=-->， 令1()ln(2)4a a a ϕ=--(12e -＜a ＜0)，222212141e ()02444a a a a a a ϕ--+'=+=>>-， 所以()a ϕ在(12e-，0)上单调递增，所以11e e(2)()()ln 102e e 22g a a ϕϕ-=>-=+=->，所以g (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，记为,()αβαβ<，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个极值点． 综上所述，当a ≤12e-时，f (x )无极值点； 当12e-＜a ＜0时，f (x )有两个极值点； 当a ≥0时，f (x )有一个极值点．（2）由（1）知，当a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1， 所以ln 1x x x -≥，即1ln 1x x-≥， 所以221ln (1)x x-≥，令1n x n+=得 故22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞，所以2222341ln 2ln ln ln 23n n ++++⋅⋅⋅+＞111111233412n n -+-+⋅⋅⋅+-++，112224n n n =-=++． 点评：本题主要考查函数的极值点与导数、构造不等式放缩证明，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于较难题.22．某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p (0＜p ＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k (k ∈N)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k 个电子元件进行逐一检测．（1）记对电子元件总的检测次数为X ，求X 的概率分布和数学期望；（2）若p ＝0.99，利用(1－α)β(0＜α<<1，β∈N)的二项展开式的特点，估算当k 为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？答案：（1）答案见解析；（2）k ＝10；2；（3）p ＞12. （1）根据题意，分析出X 可能的取值为1，k ＋1，求得其概率，得到分布列，进而求得其期望；（2）根据题意，列出式子，结合基本不等式求得最值；（3）列出式子，利用作差比较法，求得结果.解：（1）X 可能的取值为1，k ＋1，P (X ＝1)＝p k ，P (X ＝k ＋1)＝1－p k ，X 的概率分布为：所以X 的数学期望E (X )＝1·p k ＋(k ＋1)(1－p k )＝k ＋1－kp k ． （2）根据(1－α)β(0＜α<<1，β∈N)的二项展开式的特点，可知(1)1βααβ--≈， 记每个电子元件的检测次数为Y ，p ＝0.99＝1－0.01，所以()111111(10.01)110.01k k k E Xk kp Y p k k k k k k +-===+-=+--+-+≈ 10.010.2k k =+≥，当且仅当10.01k k =，即k ＝10时取等， 故当k ＝10时每个电子元件的检测次数最小，此时总的检测次数kY ＝10×0.2＝2． （3）记当系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P -， 当系统配置有2n ＋1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P +，若前2n －1个电子元件中恰有n －1个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n 个正常工作，此时后两个元件至少须有1个正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n ＋1个正常工作，此时系统必定正常工作；可以求得：112121121212122121[C ][C ][C (1)][C ](1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n P p p P p p p p p p p p ----+----=⋅⋅+-+--+--故11121212121212C C [C (1)1](1)(1)n n n n n n n n n n P P p p pp p p p -+-+----=⋅+---+- 21C (21)(1)nn n n p p p -=--， 令21210n n P P +-- ＞，得2p －1＞0，即p ＞12， 所以当p ＞12时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性．点评：该题考查的是有关随机变量的概率问题，有期望、分布列、二项式综合应用，属于较难题目.。
2021年高三上学期9月调研数学试卷 含解析
2021年高三上学期9月调研数学试卷含解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是．2．若复数z满足z﹣2=i（1+i）（i为虚数单位），则z= ．3．双曲线x2﹣=1的离心率为．4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2．5．如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为．6．已知||=2，||=1，•=﹣1，则，的夹角大小为．7．已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为．8．等比数列{an }中，若a3=3，a6=24，则a8的值为．9．已知钝角α满足cosα=﹣，则tan（α+）的值为．10．已知函数f（x）=，则f（0）的值为．11．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为．12．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．13．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为．14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为．二．解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，计算：（1）；（2）．16．如图，在三棱锥S﹣ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA ⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．（1）AB∥平面EFGH；（2）GH∥EF；（3）GH⊥平面SAC．17．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B （5，），DF⊥OC，垂足为F．（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．20．已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（3）求函数f（x）的单调区间．xx学年江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高三（上）9月调研数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是4．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集的定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴A∪B中的元素个数为4个．故答案为：4．2．若复数z满足z﹣2=i（1+i）（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的基本性质计算得答案．【解答】解：由z﹣2=i（1+i），得z=i+i2+2=1+i．故答案为：1+i．3．双曲线x2﹣=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．【解答】解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2=0.8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先计算数据的平均数，然后利用方差公式直接计算即可．【解答】解：8，9，10，10，8的平均分为9∴该组数据的方差s2= [（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]= =0.8故答案为：0.85．如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为．【考点】几何概型．【分析】先明确是几何概型中的面积类型，再分别求出半圆与正方形的面积，进而由概率公式求得要应面积的比值即可得到答案．【解答】解：根据题意可得此问题是几何概型，因为半圆的半径为1，所以其面积为：，因为正方形的边长为2，所以其面积为4所以该点落在正方形内的概率为：故答案为：6．已知||=2，||=1，•=﹣1，则，的夹角大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量数量积的定义求出夹角即可．【解答】解：∵||=2，||=1，且•=﹣1，∴||×||×cosθ=2×1×cosθ=﹣1，解得cosθ=﹣；又θ∈[0，π]，∴θ=，即，的夹角为．故答案为：．7．已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】所有的取法有=6种，其中这2张卡片中最小号码是2的取法有两种，由此求得2张卡片中最小号码是2的概率．【解答】解：所有的取法有=6种，其中这2张卡片中最小号码是2的取法有两种：2、3；2、4．故这2张卡片中最小号码是2的概率为=．故答案为．8．等比数列{a n}中，若a3=3，a6=24，则a8的值为96．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，则由题意可得24=3q3，解得q=2，由此根据a8=a6•q2求得结果．【解答】解：∵等比数列{a n}中，若a3=3，a6=24，设公比为q，则有24=3q3，解得q=2，∴a8=a6•q2=24×4=96，故答案为96．9．已知钝角α满足cosα=﹣，则tan（α+）的值为．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由同角三角函数关系得到sinα=，易得tanα=﹣，所以结合两角和与差的正切函数解答即可．【解答】解：∵钝角α满足cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα===﹣，∴tan（α+）===﹣．故答案是：．10．已知函数f（x）=，则f（0）的值为27．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（0）=f（1）=f（2）=f（3），由此能求出f（0）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=f（1）=f（2）=f（3）=33=27．故答案为：27．11．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由V E﹣PAB =V P﹣ABE，利用等积法能求出三棱锥E﹣PAB的体积．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，∴S△ABE==，∴三棱锥E﹣PAB的体积：V E﹣PAB =V P﹣ABE===4．故答案为：4．12．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n ＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1x=，n=2不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4不满足条件n＞5，x=，n=5不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．13．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a的值．【解答】解：由y=ax3﹣6x2+12x，得y′=3ax2﹣12x+12，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ+），由最小正周期为π，可求ω，由f（﹣x）=f（x），且|φ|＜，可解得φ，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin[（ωx+φ）+]=2sin（ωx+φ+），最小正周期为π，∴ω==2，∵f（﹣x）=f（x），∴可得：φ+=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴解得：φ=，∴f（x）=2cos2x，∴由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，可解得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故答案为：[kπ﹣，kπ]，k∈Z．二．解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，计算：（1）；（2）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据题意，先解出tanα值，（1）把所求的式子的分子分母同时除以cosα，把tanα值代入进行运算．（2）把所求的式子的分子分母同时除以cos2α，把tanα值代入进行运算．【解答】解：∵，∴．（1）．（2）==．16．如图，在三棱锥S﹣ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA ⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．（1）AB∥平面EFGH；（2）GH∥EF；（3）GH⊥平面SAC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）根据线面垂直的性质，得SA⊥GH，结合在同一个平面SAB内SA⊥AB，得AB∥GH，结合线面平行判定定理，得AB∥平面EFGH；（2）由线面平行的性质，得AB∥EF，结合AB∥GH，得EF∥GH；（3）由面面垂直的判定定理，得平面SAC⊥平面EFGH，而直线GH在平面EFGH内与交线FG垂直，根据面面垂直的性质定理，得GH⊥平面SAC．【解答】解：（1）∵SA⊥平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴SA⊥GH又∵在平面SAB内，SA⊥AB，∴AB∥GH∵AB⊈平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；…（2）∵AB∥平面EFGH，AB⊆平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF∴AB∥EF又∵AB∥GH，∴EF∥GH…（3）∵SA⊥平面EFGH，SA⊆平面SAC∴平面SAC⊥平面EFGH，交线为FG∵EF∥GH，EF⊥FG，∴GH⊥FG∵GH⊆平面EFGH，∴GH⊥平面SAC．…17．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象向右平移个单位，求出函数g（x）的解析式，然后在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）===．所以f（x）的最小正周期为2π．（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，π]时，，∴当，即时，，g（x）取得最大值2．当，即x=π时，，g（x）取得最小值﹣1．18．如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B （5，），DF⊥OC，垂足为F．（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？【考点】利用导数研究函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；已知三角函数模型的应用问题．【分析】（I）利用函数的解析式，结合函数的图象求出A，ω，通过函数经过B，求出φ，即可求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）求出D（4，4），曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面积的表达式，利用函数的导数求出面积的最大值，推出P的位置即可．【解答】解：（Ⅰ）对于函数y=Asin（ωx+φ）由图象可知，A=，ω==，将（5，），代入y=sin（x+φ）得：，|φ|＜，所以φ=，所以函数的解析式为y=sin（x）．（Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）从而得曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．设点P（）（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S=，0≤t≤4．因为S′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈时S′＞0，S递增，t∈时S′＜0，S递减，所以当t=，S最大，此时点P的坐标．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．【分析】（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka+b=0∴O，O1到直线l的距离分别为，∴，∵d与d1的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，，∴也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时P（18，0），直线与圆外离，舍去．20．已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（3）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】（1）根据f（0）＞f（1），可得，利用a＞0，可求a的取值范围；（2）确定f（x）在（﹣∞，﹣2）及（﹣2，+∞）上均为减函数，从而可解不等式；（3）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（1）∵f（0）＞f（1），∴∵a＞0，∴a（e﹣1）＜e+1∵e﹣1＞0，∴∵a＞0，∴；（2）当a=2时，，定义域为{x|x≠﹣2}∵∴f（x）在（﹣∞，﹣2）及（﹣2，+∞）上均为减函数∵x∈（﹣∞，﹣2），f（x）＜0，∴x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）＜1；x∈（﹣2，+∞）时，f（0）=1，∴由f（x）＜f（0）得x＞0综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（3）当x≠﹣a时，令f′（x）=0，可得x2=a2﹣2a①a=2时，由（2）知，函数的单调减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；②0＜a＜2时，a2﹣2a＜0，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调减区间为（﹣∞，﹣a），（﹣a，+∞）；③a＞2时，a2﹣2a＞0令f′（x）＞0，得x2＜a2﹣2a，∴；令f′（x）＜0，得x2＞a2﹣2a，∴或∴函数的单调增区间为，单调减区间为（﹣∞，﹣a），（﹣a，），（，+∞）．xx年12月26日u36949 9055 違_28912 70F0 烰27488 6B60 歠az33377 8261 艡o 23916 5D6C 嵬4。