2010届高三数学一轮复习必备精品：三角函数的图像与性质

2009~2010学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料
第23讲 三角函数的图象与性质
一．【课标要求】
1．能画出y =sin x , y =c os x , y =t a n x 的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y =A sin （w x +φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin （w x +φ）的图像，观察参数A ，w ，φ对函数图像变化的影响
二．【命题走向】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法
预测2010年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换；
三．【要点精讲】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
2．三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，
递减区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，
递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，
x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+
=+π
πϕω，凡是该图象与直线B y =的交
点都是该图象的对称中心
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横
坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向
右(ϕ＜0＝平移
ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω
ϕ
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．
第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2
x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值
点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

四．【典例解析】
题型1：三角函数的图象
例1．（2009浙江理）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．
是 ( )
解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a
π
π=>∴<，而D 不符合要求，
它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D
例2．（2009辽宁理，8）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，则(0)f =（ ）
A.2
3
-
B. 23
C.- 12
D.12
答案 C
题型2：三角函数图象的变换
例3．试述如何由y =31
sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象
解析：y =3
1
sin （2x +3π）
）
（纵坐标不变倍
横坐标扩大为原来的3
πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 3
13π
=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移
x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变
倍
纵坐标扩大到原来的
另法答案：
（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =3
1
sin2x 的图象；
（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =3
1
sin x 的图
象；
（3）再将y =3
1
sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x
的图象。

例4．(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π
+
+=x y D.22sin y x =
解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移
4π个单位,得到函数sin 2()4
y x π=+即sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos22cos y x x =+=,故选B.
答案:B
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. 22cos y x =
B. 2
2sin y x = C.)4
2sin(1π
+
+=x y D. cos 2y x =
解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移
4π个单位,得到函数sin 2()4
y x π=+即
sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos22cos y x x =+=,故选A.
答案:A
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
题型3：三角函数图象的应用
例5．已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+。

（１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2
πϕ<
） 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+ 的解析式；
（２）如果t 在任意一段
1
150
秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最
小正整
数值是多少？
解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A ＝300。

设t 1＝－1900，t 2＝1180
， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝1
75。

∴ ω＝2T π
＝150π。

又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1
180
＋ϕ）＝0，
而||2πϕ<
， ∴ ϕ＝6
π。

故所求的解析式为300sin(150)6
I t π
π=+。

（２）依题意，周期T ≤
1150，即2πω≤1
150
，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *
，
故最小正整数ω＝943。

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径
300
-300
1180
-
1900
o
I
t
例6．（1）（2009辽宁卷理）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)
的图象如图所示，2
()23f π
=-
，则(0)f =( )
A.2
3
- B. 23 C.－ 12
D. 1
2
解析 由图象可得最小正周期为2π
3
于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π
12对称 所以f(2π3)＝－f(π2)＝2
3
答案 B
（2）（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________
解析：由图可知，
()544,,2,125589,510T x πωπϕππϕϕ⎛⎫
=
∴=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫
+∴=
⎪⎝⎭
把代入y=sin 有：1=sin
答案：
910
π
题型4：三角函数的定义域、值域
例7．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域； （2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。

解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－
2π≤x ≤2k π+2
π
，且x ≠2k π（k ∈Z ）。

图
∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－
2π，2k π+2
π
］且x ≠2k π，k ∈Z }。

（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。

又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。

故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－
2π，2k π+2
π），k ∈Z }。

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线
例8．已知函数f （x ）=x
x x 2cos 1
cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，
并求其值域
解析：由c os2x ≠0得2x ≠k π+
2
π，解得x ≠
4
2π
+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠4
2π
π+k ，k ∈Z }，
因为f （x ）的定义域关于原点对称，
且f （－x ）=x
x x x x x 2cos 1cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=
-+---=f （x ）。

所以f （x ）是偶函数。

又当x ≠
4
2π
π+k （k ∈Z ）时， f （x ）=1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x x
x x x x x 。

所以f （x ）的值域为{y |－1≤y <
21或2
1
<y ≤2}。

点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型5：三角函数的单调性
例9．求下列函数的单调区间： （1）y =
21sin （4π－3
2x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜。

分析：（1）要将原函数化为y =－
21sin （32x －4
π
）再求之。

（2）可画出y =－|sin （x +4
π
）|的图象 解：（1）y =
21sin （4π－32x ）=－21sin （3
2x －4π）。

故由2k π－
2π≤3
2x －4π≤2k π+2π。

⇒3k π－
8π3≤x ≤3k π+8
π9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+
2π≤3
2x －4π≤2k π+2π3。

⇒3k π+
8π9≤x ≤3k π+8
π21（k ∈Z ），为单调增区间。

∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8
π
9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8
π21］（k ∈Z ）。

（2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4
π，k π+
4
π
］。

-5π4
-
3π4
7π4
5π4
3π4π4
-π4
o
y x
例10．（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A ．［2k π－
2π
，2k π＋
2
π］（k ∈Z ）
B ．［2k π＋
2
π，2k π＋
2
3π］（k ∈Z ） C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）
解析：A ；函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间
题型6：三角函数的奇偶性
例11．判断下面函数的奇偶性：f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1+）。

分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x ）与f （－x ）的关系。

解析：定义域为R ，又f （x ）+f （－x ）=lg1=0， 即f （－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数。

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。

例12．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题： ①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；
②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；
④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立
答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2
π+k π（k ∈Z ） 解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数。

当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=
－sin x 仍是奇函数。

当ϕ=2k π+
2
π
，k ∈Z 时，f （x ）=c os x ，或当ϕ=2k π－
2
π
，k ∈Z 时，f
（x ）=－c os x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的。

无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零。

所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数。

①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分 题型7：三角函数的周期性
例13．求函数y =sin 6x +c os 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值。

分析：将原函数化成y =A sin （ωx +ϕ）+B 的形式，即可求解
解析：y =sin 6x +c os 6x =（sin 2x +c os 2x ）（sin 4x －sin 2xc os 2x +c os 4x ）
=1－3sin 2xc os 2x =1－43sin 22x =8
3
c os4x +85。

∴T =
2
π。

当c os4x =1，即x =
2
π
k （k ∈Z ）时，y m ax =1。

例14．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12
(
=π
f ，
（1）求ω、a 、b 的值；
（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

解析：(1) )sin()(22ϕω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω，
又 )(x f 的最大值。

4)12
(
=π
f ， 224b a +=∴ ① ，且 12
2cos b 122sin
a 4π+π=错误！未找到引用源。

，
由 ①、错误！未找到引用源。

解出 a =2 , b =3.
(2) )3
2sin(42cos 322sin 2)(π
+=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ，
)3
2sin(4)3
2sin(4π
βπ
α+
=+
∴，
3
223
2π
βππ
α+
+=+
∴k ， 或 )3
2(23
2π
βπππ
α+
-+=+
k ，
即 βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6
π
πβα+
=+k ，
3
3
)6
tan()tan(=
+
=+∴π
πβαk )(Z k ∈。

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的
周期性。

题型8：三角函数的最值
例15．（2009安徽卷文）设函数，其中，
则导数的取值范围是
A.
B.
C. D.
解析 21
(1)sin 3cos x f x x
θθ='=⋅+⋅sin 3cos 2sin()3
π
θθθ=+=+
520,sin(),1(1)2,21232f πθπθ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤'∈∴+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，选D
例16．（2009江西卷理）若函数()(13tan )cos f x x x =+，02
x π
≤<，则()f x 的最大值
为
A ．1
B ．2
C ．31+
D ．32+ 答案：B
解析 因为()(13tan )cos f x x x =+=cos 3sin x x +=2cos()3
x π
-
当3
x π
=
是，函数取得最大值为2. 故选B。

五．【思维总结】
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，
很多函数的性质都是通过观察图象而得到的
2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域
3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。

5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。

7．判断y =－A sin （ωx +ϕ）（ω＞0）的单调区间，只需求y =A sin （ωx +ϕ）的相反区间即可，一般常用数形结合而求y =A sin （－ωx +ϕ）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x 的系
数变为正的，再设法求之。