从音乐中的“音调”谈到律制

从音乐中的“音调”谈到律制
文/陈奕男
注1：本文为跨学科综合帖，适合具有高中物理、高中数学、以及基本乐理基础知识的童鞋阅读。

学过弦乐器如吉他、小提琴的同学对本文会有更深刻的理解。

注2：本人学识有限，文中难免有错误敬请各位读者帮忙指出。

注3：转载请注明出处与作者。

之所以会研究这么无聊的东西，估计都是学吉他给害的。

话说当年学吉他的时候，老湿跟我说到：“比一个音高八度的音，频率也是那个音的两倍。

”那时青涩的我啊，回想起物理课上“声音是由振动产生的”，恍然大悟：原来，音乐中的音调，其实就是不同频率的声音而已。

那么，频率和音调到底有什么样的对应关系呢？
十二平均律
我们知道，一个八度包含12个音名，分别是A #A B C #C D #D E F #F G #G 。

这其中，任意相邻的两个音名之间的“距离”（音程），都是一个“小二度”，或者说一个“半音”。

于是我就开始瞎猜：
∵任意一个“小二度”给人听起来的感觉是一样的，正如A和#A、E和F 的距离听起来一样，那么任意小二度的两个音的频率的比值应该是一个确定的常数，假设它为a。

∴因为相隔一个八度的两个音的频率比为1:2，而一个八度包含12个半音。

∴
举个例子吧，比如国际标准上定义A4这个音的频率，A4 = 440 Hz 。

那么#A4 = A4 * a = 440Hz * a
那么B4 = #A4 * a = A4 * a * a = 440Hz * a * a。

所以
因为我们知道A5比A4高1个八度，所以A5的频率将是A4的频率的2倍，即A5 = 880 Hz 。

所以代入A5、A4的值得到：
两边同时除以440Hz同样能得到。

所以我们最后得出的结果是
这个结论有什么用呢？
它的用处在于，以A4=440Hz为基础，我们可以推出其他所有音名的频率值，比如#A4 = 440 Hz * a
= 466.16376151808991640720312977639 ; B4 = #A4 * a = 493.88330125612411183075454185882 ...
以上所讲的是使用十二平均律计算出各音名频率的方法。

我们来看看百度百科上对十二平均律的定义：十二平均律，亦称“十二等程律”,世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等。

十二平均律是指将八度的音程（二倍频程）按频率等比例地分成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度。

一个大二度则是两等份。

五度相生律
本来按照以上推算，对各音名的频率的研究就可以结束了。

可是有一天，我的吉他老湿又教了我一种新的吉他技法，叫做泛音。

学过吉他的同学应该知道，将手指轻轻放在12品品柱上弹奏琴弦可以发出12品自然泛音。

自然泛音是如何产生的呢，我百度了下终于理解。

这还涉及到一点物理知识。

（图片来自维基百科）
正常情况下我们弹奏某一条琴弦，我们可以想象，弦会进行像下图这样的振动：
然而事实是，弦同时还进行着除这种简单的振动以外的其它许多振动：
弹响一根弦时，弦的振动是这些振动的叠加。

当我们把手指按在弦的中点（1/2）处时，第一种振动和第三种振动就会被制止，而第二种振动，因为手指按着的地方刚好是简谐振动的节点，所以对振动基本不影响。

最终的结果便是：第二种振动发出的声音被保留了下来。

那么听起来是什么效果呢？大家可以看到第二种振动的波长是第一种的1/2 , 又因为波长和频率成反比，所以第二种振动会发出频率为第一种的频率的2倍的声音。

没错，刚好就是高一个八度的音！
到这里是没有问题的，问题是7品泛音和19品泛音。

7品和19品的位置刚好是一条弦1/3点和2/3点，所以如果把手指按在这两个点上面，则上图第一种振动和第二种振动将会被抑制，只留下第三种振动，根据波长和频率成反比，将发出频率为原弦的基频的3倍的音。

在音程上来讲就是高1个八度+1个纯五度。

等等。

怎么有些不对？！
1个八度+一个纯五度也就是19个半音，理论上也就是吉他的第19品发出的音。

那么，也就是19品的音和弦长2/3处（19品品柱）的音是一样的咯？
按照刚才所学的，假设第一弦空弦的音为e，那么根据12平均律，第一弦19品的音应该是：
然而，根据泛音的频率和波长的关系，第一弦19品泛音的频率应该是：
2的（19/12）次方怎么可能等于3？！直觉告诉我不会，经过计算：
与3非常接近！但不等于3！
通过这种方式得到的原音和五度音的频率比为2:3，也就是：五度音= 基音* (3/2) ，通过对求出的五度音再求其五度音的方式，可以得到一个八度中所有音名的频率，这种方法叫做五度相生律。

百度百科是这样定义的：五度相生律是根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度关系，即由某一音开始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生年定出的音律叫做五度，产生再次一律，如此继续相生所定出的音律叫做五度相生律。

五度相生律所订出的七个基本音级间的音高关系，和十二平均律中七个基本音级的音高关系是不同的。

五度相生律以一音为基音，然后将频率比为3：2的纯五度音程作为生律要素，分别向基音两侧同时生音。

下面以C为例，来阐述五度相生律的生律原理。

假如C为基音，按照五度相生原理向上可生出G、D、A、E、B，向下可生出F、降B、降E、降A、降D、降G，将连同基音在内的十二个音写在一个八度之内。

真是颠覆了哥的世界观。

不过想想也对，古代劳动人民没有测量频率的计算工具，怎么可能算出2的12次方根这样的数字呢。

所以古代人创造音律的时候，最先肯定是通过弦长的整数比为来确定的呀。

纯律
知道了五度相生律的产生方法，纯律就比较好理解了。

五度相生律是通过一个音为基音，求它的五度音、再求五度音的五度音。

这样反复求出所有音级。

而纯律，则是以一个音为基音，直接通过这个音求出其它音级的律制。

来看百度百科：
纯律，是用纯五度（弦长之比为2：3）和大三度（弦长之比为4：5）确定音阶中各音高度的一种律制。

例如：大七度为纯五度加大三度，小三度为纯五度减去大三度，由于纯律音阶中各音对主音的音程关系与纯音程完全相符且其音响亦非凡协和，故称“纯律”。

总的来说
三种律制在实际的应用上各有长处，五度相生律是根据纯五度定律的，因此在音的先后结合上自然协调，适用于单音音乐。

纯律是根据自然三和弦而定律，因此在和弦音的同时结合上纯正而和谐，适用于多声音乐。

但随着多声部音乐的发展，转调的频繁，加上键盘乐器在演奏纯律上的困难，因而受到很大限制。

十二平均律在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然，但由于它转调方便，在键盘乐器的演奏和制造上有着许多优点，因此近百年来被广泛采用。

（十二平均律、五度相生律、纯律）
十二平均律的出现虽然解决了转调问题，却也产生另一个和音不够完美的问题——十二平均律中的和音均不是严格的整数比。

（百度百科）
五度相生律EF、BC之间亦为半音，但比十二平均律中的半音要小。

其余相邻两音级之间虽然亦为全音，但比十二平均律中的全音要大。

纯律的EF、BC之间的半音比其他两种律制的半音要大。

全音的情况有两种：CD、FG、AB为大全音，和五度相生律中的全音相等，比十二平均律中的全音大。

ED、GA为小全音，比其他两种律制的全音都小。

三种律制在同一种乐器中有时均会用到，比如钢琴本身是一种十二平均律乐器，但是由于人耳对音高的感觉在低音区和高音区并不与频率完全对应，因为在钢琴低音和高音的调律中，也会用到纯律和五度相生律。

引用：/view/31722.htm
/view/25661.htm
/wiki/File:Moodswingerscale.svg
/view/175658.htm
/view/35591.htm
/thread-2671-1-1.html
/view/35591.htm。