【小初高学习】2016高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程配套作业 文
极坐标与参数方程
参数方程与极坐标一、参数方程：（1）过点),(00y x P 且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） ①其中t 的几何意义是直线上点到P 的距离（22020)()(t y y x x =-+-） ②若B A ,两点所对应的参数分别为B A t t ,，则B A ,两点到起点οP 距离分别为B A t t ,，=AB B A t t -。
（2）圆心为),(00y x P 的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数，πθ20≤≤） 对应的普通方程为22020)()(r y y x x =-+-（3）椭圆12222=+by a x 的一个参数方程为 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数，πθ20≤≤） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
（4）双曲线12222=-by a x 的一个参数方程为 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数，2,20πθπθ≠≤≤） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。
（5）双曲线)0(22>=p px y 的一个参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线的参数方程。
例1、已知),(y x P 是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是_________________二、极坐坐（1）极坐标)0,(ρ，ρ为半径坐标；θ为角坐标或极角。
ρ坐标表示到极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离极轴（直角坐标系中x 轴正方向）的角度。
①极角的范围：πθ20<≤。
②点)0,(ρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称③点)0,(ρP 与点)0,(2πρ+-P 是同一个点。
（2）直角坐标与极坐标互化公式：θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x 。
高考数学-专题复习-选修部分(2)极坐标及参数方程知识点
极坐标及参数方程知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建
立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为
ρ；
以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标)R )(,0(∈θθ.
3. 若0<ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称
4．极坐标与直角坐标的互化：
（1）极坐标转化为直角坐标:θρθρsin ,cos ==y x
（2）直角坐标转化为极坐标:x
y y x =+=θρtan ,222(θ的取值还要注意()y x ,的位置) 5. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线，)R (∈=ραθ 表示过极点的一条直线.
6．参数方程与普通方程的互化：先消去参数，再注明y x ,的取值范围。
极坐标和参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23B ．23-C ．32D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（） A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程课件 理
2．从极点 O 作直线与另一直线 ρcos θ＝4 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使|OM|·|OP|＝12，求点 P 的轨迹方程．
随堂讲义
专题八 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程
从历年考题全国卷可知，极坐标与参数方程 在选考题中相对容易，选此题同学较多，且重点考 查参数方程与普通方程互化，极坐标与普通坐标的 互化，另重点考几类曲线的参数方程与极坐标方程， 应争取拿满分！
例 1 把极坐标方程 ρ＝2cos θ－4sin θ化成直角坐标方程．
解析：设动点 P 的坐标为(ρ，θ)，M(ρ0，θ)． ∵|OM|·|OP|＝12，∴ρ0ρ＝12，即 ρ0＝1ρ2. 又 M 在直线 ρcos θ＝4 上，∴ρ12cos θ＝4. ∴ρ＝3cos θ，即是点 P 的轨迹方程．
解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标 方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是利用相关点法， 即将动点的极坐标表示为相关点的极坐标，再代入极坐标方程中即 可．
①当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； ②当圆心位于 M(a，0)，半径为 a：ρ＝2acos θ； ③当圆心位于 Ma，π2 ，半径为 a：ρ＝2asin θ. 4．参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点 进行． 5．利用参数方程解决问题，竞争是选准参数，理解参数的几何 意义． 6．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可 以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．
为参数)，则直线与圆的位置关系是(B)
A．相交过圆心
高三第二轮专题复习极坐标与参数方程课件.ppt
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
高考数学总复习 第十八章 第2讲 极坐标与参数方程配套课件 文
答案： 5－1
第十一页，共26页。
【方法与技巧】极坐标与直角坐标的相互转化，一定要记住两 点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ，②ρ2＝x2＋y2即可.直角坐 标方程化为极坐标方程比较容易，只需将公式x＝ρ·cosθ，y＝ ρ·sinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程 则相对困难一些.解此类问题，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的 形式，进行整体代换，其中(qízhōng)方程两边同时乘以ρ及方程 两边平方是常用的变形方法.
解析：将点 ρcosθ＝4，xy＝ ＝tt23 转换成普通方程为 x＝4，y ＝x32(x≥0)，两交点的坐标分别为 A(4,8)，B(4，－8)，则|AB|＝ 16.
答案(dá àn)： 16
第二十一页，共26页。
【方法(fāngfǎ)与技巧】(1)同直角坐标一样，由于建系的不同，曲 线的极坐标方程(fāngchéng)和参数方程(fāngchéng)也会不同.
数)．
x＝x0＋at，
(5)过点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为__y_＝__y_0＋__b_t__
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为 x＝x0＋tcosα， _y_＝__y_0_＋__ts_i_n_α_，_此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，y)到定点 M0(x0，
第2讲 极坐标与参数(cānshù)方程
第一页，共26页。
考纲要求
考情风向标
1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况．
【小初高学习】高考化学二轮复习 专题8 利用三段式、转化率、产率计算及利用方程式关系式计算、原子守恒
利用三段式、转化率、产率计算及利用方程式关系式计算、原子守恒计算【学习目标】1、掌握“三段式”计算方法，能够利用三段式计算平衡常数、转化率、产率等。
2、培养化学反应中守恒的核心思想，能够利用关系式、原子守恒等快准计算。
一、三段式解答平衡常数、转化率、产率等的计算【例题】[2013广州一模·节选] 亚磷酸（H 3PO 3）是二元酸，H 3PO 3溶液存在电离平衡：H 3PO 3H + + H 2PO 3－。
某温度下，0.10 mol·L －1的H 3PO 3溶液pH 的读数为1.6，即此时溶液中c (H +) = 2.7×10－2mol·L －1。
求该温度下上述电离平衡的平衡常数K ，写出计算过程。
（H 3PO 3第二步电离忽略不计，结果保留两位有效数字）。
解： H 3PO 3H++ H 2PO 3－起始时各物质的浓度（mol•L －1） 0.10 0 0 转化的各物质的浓度（mol•L －1） 2.5×10－22.5×10－2 2.5×10－2平衡时各物质的浓度（mol•L －1）0.10－2.5×10－22.5×10－22.5×10－23-2223332103.8105.210.0105.2105.2)()()(⨯=⨯-⨯⨯⨯=⋅=----+PO H c PO H c H c K mol•L －1【方法归纳】（1）写出有关化学反应方程式。
（2）确定各物质的起始、转化、平衡(或某一时刻)时的物质的量(物质的量浓度)。
（3）根据已知条件建立等式关系并做解答。
说明：①三段式是梳理化学反应各物质量的变化的好工具，这个工具使用的对象是任意一个反应，可以是可逆的，也可以是不可逆的，可以是反应开始直到平衡的，也可以是反应到某一时刻的，甚至可以是从一个时间点到下一个时间点的，……。
梳理完了，该算什么就算什么。
高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题八 第2讲 选修4-4 坐标系与参数方程(共31张PPT)
=
2 m(m 为非零常数)与 ρ=b.若 2
直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率 6 为 . 3
������ = ������cos������, 解析:将椭圆 C 的参数方程 ������ = ������sin������ (φ 为参数,a>b>0)化为 标准方程为
2 4
注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 ������ ������������ PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y=2 x- 2 +1.所以
������
-
������������ 2
2
= 1,
+ 1 = 2,
π 4 ������ 2=Biblioteka 2 2������ 2
+
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0).又直线 l 的极坐标方程为 ρsin ������ +
2 2
m(m 为非零常数),即 ρ sin������·
+ cos������·
2 2
=
2 2
m,则该直
线的一般式为 y+x-m=0.圆的极坐标方程为 ρ=b,其标准方程为 x2+y2=b2.∵直线与圆 O 相切, |������ | ∴ =b,|m|= 2b.又∵直线 l 经过椭圆 C 的焦点, ∴|m|=c.∴c= 2b,c2=2b2. ∵a =b +c =3b ,∴e =������ 2 = 3. ∴e= .
从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标 系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标 方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以 平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题 设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于 极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及直线 与圆的极坐标方程,从点与直线、 直线与圆的位置关系等不同角度考 查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的 综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为 普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算. 预计 2014 年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐 标方程的互化、 参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标 方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.
(完整word版)极坐标与参数方程(近年高考题和各种类型总结)
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 2.8.1 坐标系与参数方程课件 理
2021/12/13
第二十八页，共四十三页。
[解] (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的圆 心是 C(1，－1)，
所以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k＝52. (2)解法一：由圆 C 的参数方程xy＝ ＝1－＋12＋co2ssθin，θ， 得圆 C 的 圆心是 C(1，－1)，半径为 2.
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[解] (1)曲线 C 的普通方程为x92＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
x＋4y－3＝0， 由x92＋y2＝1 解得xy＝ ＝30， 或xy＝ ＝22－4522. 15， 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，－2215，2245.
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第三十四页，共四十三页。
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[解] (1)由xy＝ ＝3－＋5＋2si2nctost， 消去参数 t，得(x＋5)2＋(y－ 3)2＝2，
所以圆 C 的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由 ρcosθ＋π4＝－ 2，得 ρcosθ－ρsinθ＝－2. 可得直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0.
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所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0. 又由①得 t1＋t2＝421c＋os3αc＋oss2iαnα， 故 2cosα＋sinα＝0，于是直线 l 的斜率 k＝tanα＝－2.
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解决参数方程问题的 3 个要点 (1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适 当的消参方法．
高考数学二轮专题突破8-2 选修4-4-坐标系与参数方程
角坐标方程为 x2＋y2＝2y＋4x，即 x2＋y2－4x－2y＝0. 答案 x2＋y2－4x－2y＝0 x＝8t2， y＝8t (t 为参数)．若斜率为 1 的直线经过抛
9．已知抛物线 C 的参数方程为
物线 C 的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则 r＝________. 解析 消去参数 t 得抛物线 C 的标准方程为 y2＝8x，其焦点为(2,0)，所以过 |4－2| ＝ 2. 2
直线 y＝x 的距离 d＝ 答案 14
∴x2＋y2＝x， 整理得 x－
∴所表示的图形为圆． 由 x＝－1－t， y＝2＋3t 得
消 t 得 3x＋y＋1＝0， ∴所表示的图形为直线． 答案 圆，直线 x＝ 5cos θ， y＝sin θ 5 x＝ t2， 4 (0≤θ<π)和 y＝t (t∈R)，
6．已知两曲线参数方程分别为
它们的交点坐标为________． 解析 x2 消去参数θ得曲线方程为 ＋y2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分．消 5
＝1 化为直角坐标方程为 y－x＝1. 联立方程组 1， x＋y＝1， y－x＝1 得 x＝0， y＝1， 则交点为(0,1)，对应的极坐标为 1，
答案
π 2
13．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相 π 同 的 长 度 单 位 ． 已 知 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 θ ＝ (ρ ∈ R) ， 它 与 曲 线 4 x＝1＋2cos α， y＝2＋2sin α 解析 (α为参数)相交于两点 A 和 B，则|AB|＝________.
直线 l 的直角坐标方程为 y＝1. x2＋y－12＝1， y＝1 ⇒ x＝－1， y＝1 或 x＝1， y＝1.
推荐学习K122016高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程 理
专题八选修专题第二讲极坐标与参数方程1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρtan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ.中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p (t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.根据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcosθ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的普通方程；(2)P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
全国各地高考数学三轮复习试题汇编专题8选修系列第2讲坐标系与参数方程(A卷)理(含解析)
专题8 选修系列第2讲 坐标系与参数方程（A 卷）一、选择题（每题5分，共10分）1. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·3)在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos ρθ=（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ= （D ）sin 1ρθ=- 2．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·6）在极坐标系中,已知点(4,1),(3,1)2A B π+,则线段AB 的长度是（ ）A ．1B C ．7 D ．5二、非选择题（90分）3.(2015.芜湖市高三5月模拟·11)4．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·14）（极坐标与参数方程选讲）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l 和曲线C的公共点有 个．5．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·14）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系)20,0)(,(πθρθρ＜＞≤中，点（1，0）关于直线1sin 2=θρ对称的点的极坐标是 ．6.（2015·江苏省扬州中学开学检测·23）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为：122x ty t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．直线l 与圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．7.(2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·21)已知曲线1C 的参数方程为ααα(sin 2,cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22)4cos(=+πθρ，求1C 与2C 交点的极坐标，其中.20,0πθρ<≤≥8.（2015·赣州市高三适用性考试·23）9.(2015.南通市高三第三次调研测试·21)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos()204θπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB =r 的值．10．（2015·陕西省安康市高三教学质量调研考试·23）（本小题满分10分）平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为（1）求C 1和C 2的普通方程；（2）求C 1和C 2公共弦的垂直平分线的极坐标方程．11.(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·23)（本小题满分10分）已知椭圆C ：1162422=+y x ，直线l ：1128x y +=， （I ）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；（II ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OR OP OQ =⋅．当点P 在l 上移动时，求点Q 在直角坐标系下的轨迹方程．12.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·23）专题8 选修系列第2讲 坐标系与参数方程（A 卷）参考答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题考查了极坐标系中直线方程的表示. 【解析】在极坐标系中，点π(2,)6-对应直角坐标系中的点1)-，故所求的直线方程为sin 1ρθ=-.2.【答案】D【命题立意】本题重点考查极坐标与直角坐标系的互化以及诱导公式，难度中等． 【解析】在直角坐标系中A 点坐标为(4cos1,4sin1)，B 点坐标为(3c o s (1),3s i n (1))22ππ++，即(3-3c，所以||5AB ==．3.【答案】【命题立意】本题旨在考查极坐标方程与普通方程的转化． 【解析】由sin()24πρθ+=得0x y +-=，由2ρ=得2216x y +=，则弦心距为2=，则弦长为=4.【答案】1【命题立意】本题旨在考查极坐标系方程，参数方程和普通方程的转化以及直线与圆的位置关系． 【解析】∵,44x tx y y t=⎧∴-+=⎨=+⎩；又)()422πρθθθ=+=+4sin 4cos θθ=+，2224sin 4cos ,44x y x y ρρθρθ∴=++=+，即22(4)(4)8x y -+-=．圆心（4,4）到直线x －y ＋4＝0的距离d r ==，所以直线与圆相切，只有一个交点．故答案为：1． 5.【答案】⎫⎪⎭2,4【命题立意】本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化． 【解析】直线2ρsin θ=1即y=12，点（1，0）关于直线2ρsin θ=1对称的点的直角坐标 为（1，1），故对称点的极坐标为⎫⎪⎭2,4，故答案为：⎫⎪⎭2,46. 【命题立意】本题考查的是参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，圆的弦长的求法. 【解析】直线l 的普通方程为：240x y +-=； ………2分圆C 的普通方程为：22(1)1x y -+=； ………4分 圆心C 到直线l 的距离为：d ==； ………7分所以AB ===………10分7.【答案】1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0或7π4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【命题立意】本题旨在考查参数方程与极坐标方程、直角坐标方程的转化与应用． 【解析】解法一：将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，得()2224x y -+=，所以1C 的普通方程为：2240x y x +-=． ……………………4分将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得：40x y --=． …………………6分由2240,40,x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y =⎧⎨=-⎩ ……………………8分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0或7π4⎛⎫⎪⎝⎭． …………………10分 解法二：将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，得()2224x y -+=，所以1C 的普通方程为：2240x y x +-=． …………………………4分 所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………………………6分代入πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos(2)4πθ+= ………………………………8分8.【答案】（Ⅰ）2ρ=；（Ⅱ）1118OAA OBB S S ∆∆=【命题立意】本题主要考查坐标系和参数方程的应用，考查极坐标方程和普通方程的转化. 【解析】（Ⅰ）在曲线C 的参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）中用2y代y …………1分得到曲线1C 的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），化为普通方程为224x y +=……3分故曲线1C 的极坐标方程2ρ=……………………………………………………………5分 （Ⅱ）依题意知点A 、1A 的极坐标分别为ππ(2,),(2,)66-……………………………6分 设B 、1B 的极坐标分别为1π(,)6ρ，2π(,)6ρ-…………………………………………7分则1281632πππππsin()sin()cos()sin()cos464646463ρρ====+-+-………………8分 所以12sin60OAA S ∆=︒，1121sin6016sin602OBB S ρρ∆=︒=︒………………………………9分故1118OAA OBB S S ∆∆=…………………………………………………………………………………10分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0或7π4⎛⎫⎪⎝⎭． ……10分 9.【答案】2r =【命题立意】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，点到直线的距离，意在考查分析转化能力，容易题.cos()204θπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，10.【答案】（1）2220x y y +-= ；（2）cos()4πρθ-=． 【命题立意】本题重点考查了圆的普通方程和极坐标方程互化、直线方程等知识． 【解析】所以，圆心到直线的距离d =AB =2r =． 11.【答案】（1）C ：222482cos 3sin ρθθ=+，l ：242cos 3sin ρθθ=+；（2）22222448234602cos 3sin 2cos 3sin x y x y ρθθθθ⇔⋅=⇔+--=++． 【命题立意】本题旨在考查极坐标与直角坐标方程的相互转化与应用． 【解析】（I ）C ：222482cos 3sin ρθθ=+，l ：242cos 3sin ρθθ=+（II ）设(,)Q ρθ，则2OR OP OQ =⋅22222448234602cos 3sin 2cos 3sin x y x y ρθθθθ⇔⋅=⇔+--=++ 12.【答案】（1）2:10:2l x y C y ax --== （2）14a =【命题立意】本题主要考查直线和抛物线的参数方程和直线与抛物线的位置关系以及直线参数方程中参数的几何意义，难度中等.【解析】。
高考复习课件高考二轮文科数学专题小综合(八)
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名师导学·高考二轮总复习·文科数学专题小综合(八) 选修系列 4
一选择题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分)
1．极坐标 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝－ 2＋1－ t t，(t 为参
数)所表示的图形分别是( )
A. 直线、直线
B. 直线、圆
(1)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方 程；
(2)求点 M 到 A，B 两点的距离之积．
【解析】(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由 ρsin2θ－cos θ＝0 得 ρ2sin2θ＝ρcos θ.
所以 y2＝x，即为曲线 C 的直角坐标方程；
点 M 的直角坐标为(0，1)
在 g(x)图像的上方，实数 k 的取值
范围为－1<k≤2.
12. (16 分)在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为
ρsin2θ －cos θ ＝0，点 M1，π2 . 以极点 O 为原点， 以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1 的 直线 l 过点 M，且与曲线 C 交于 A，B 两点．
5．若 a>0，b>0，则(a＋b)1a＋1b的最小值为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选 D
(a
＋
b)
1a＋1b
＝
1
＋
a b
＋
b a
＋
1
＝
2
＋
ba＋ab
≥2
＋
2
ba·ab＝4.
6．在极坐标系中，点2，π3 和圆 ρ＝2cos θ 的圆 心的距离为( )
∴f(x)≥f(4)即|x－3|＋|x＋4|≥9. ∴x3≤－－x－4，x－4≥9①或－3－4<x＋x<x3＋，4≥9② 或xx≥－33，＋x＋4≥9，③ 解不等式①：x≤－5；②：无解；③：x≥4. 所以 f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5 或 x≥4}．
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第二讲 极坐标与参数方程
配套作业
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3
B .⎝
⎛⎭⎪⎫2，4π3 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D .⎝
⎛⎭⎪⎫
2，－4π3
2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不能确定
3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标
系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )
A .14
B ．214
C . 2
D ．2 2
解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2
＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.
4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．过圆心
解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2
＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．
二、填空题
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为
________________________________．
解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.根据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2
＝1，
即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.
∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.
答案：ρ2＋4ρsin θ＋3＝0
6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为____________．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2
三、解答题
7．求极点到直线2ρ＝1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．
解析：由2ρ＝1sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22
.
8．极坐标系中，A 为曲线ρ2
＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB |的最小值．
解析：圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1，0)，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线
的距离d ＝|－1－7|2
＝42， 所以|AB |min ＝42－2.
9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.
(1)求曲线C 2和直线l 的普通方程；
(2)P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．
解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)，即C 2：x 24＋y 23＝1， 直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.
(2)设点P (2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪6＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π65 ＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255
.
10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3
. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．
解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.
直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32
t (t 是参数)．
(2)将直线的参数方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋33)t－3＝0，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t2＝－3，
因为直线l与曲线C相交于A，B两点，
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.。